g-] K ¤• ¤8 ý } º4 Ñ ÷ ö n ÚP ] K ¡X ì Ä “ Ö «“ Ó Þ; d

g-] K ¤• ¤8 ý } º4 Ñ ÷ ö n ÚP ] K ¡X ì Ä “ Ö «“ Ó Þ; d



™

»„ ç ¡0 å 

^∗

· ‚ Ð# Ü r )

3 l

qŸ íK € ª œ@ /† < Ɠ § “ §€ ª œ“ §Ã ºÂ Ò, 3 l qŸ í 530-729 (2007¸   4 Z 4 24{ 9  ~ à Î6 £ §)

ì



r  c ”   l  / B N" î Z O Ü ¼– РÒ'  Ä »A  ) a & h ì  rÜ ¼– Ð ³ ð‰ & ³ ) a 4 Ÿ ¤™ èà º † < Êà º 
_  $ í | 9 `  ¦ µ 1 ßy “ ¦, s  † < Ê Ã

º : £ ¤Ã ºô  Ç % ò % i \ " f y Œ ™ † < Êà ºü < › ' aº  s  e ”   H  כ Ü ¼– РÒ'  m  g-† < Êà º, 7 £ ¤ g

m

(z)  " î " î % i  . s 

†

<

Êà º 3  p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤   H  כ Ü ¼– РÒ' , à º ms  & ñ à º“    â Ä º÷  rë ß –  m   z  ´Ã º“    â Ä º t  S

X

‰ © œ # Œ 3> h_  / å Là ºK \  ¦ ½ ¨Ù þ ¡ .
  s  † < Êà º_  z  ´] j& h “   6 £ x6   x\ V F G$ í y © œ^ ‰_  Š © œF G -Š © œF G 



©

œ  ñ Œ •6   xs  ë ß –× ¼  H „  l  y Œ ™Ã ºÖ  ¦\ 
 z Œ ™`  ¦ ˜ Ð% i  .

PACS numbers: 02.30.Gp, 45.40.-f

Keywords: :£¤Ãº†<Êú, yŒ™†<Êú, y©œ^‰ Š©œFG, „l Ä»„Ö¦

I. W Ä X ì Ä 9 0ß O Ë

Ó ü

to † < Æ\ " f Z …! s q† < Êà º
 Ø Ô © œ× ¼Ø Ԇ < Êà º \ O s  € ª œ % i † < Æ

`



¦ l Õ ü t l  # Q§ > 1 p ws , à º† < Æ [ þ t\  _  # Œ ƒ  ½ ¨ ) a ´ ú §“ É r :

£

¤Ã º† < Êà º[ þ t“ É r s Ê ê Ó ü to † < Æ`  ¦ q 2 Ÿ ©ô  Ç / B N† < Æ_  # Œ Q ì  r 

\

 t @ /ô  Ç / B N‰  ³`  ¦ K M ® o . ‰ & ³F \ • ¸ à º´ ú §“ É r : £ ¤Ã º† < Êà º[ þ t s

 à º† < Æ [ þ tõ  Ó ü to † < Æ [ þ t\  _  # Œ ƒ  ½ ¨÷ &“ ¦ e ” Ü ¼ 9, s

 ×  æ\  { 9  ҍ  H ƒ  H $ ™ Ó ü to † < Æ`  ¦ q 2 Ÿ ©ô  Ç / B N† < Æ # Œ Q ì  r 

\

 6 £ x6   x| ¨ c ± ú ˜s  `  ¦ t • ¸ — ¸ É r .   " f à º† < Æ\ " f • ¸{ 9 

 )

a # Q‹ "  : £ ¤Ã º† < Êà º\  @ / # Œ 6 £ x6   xì  r  \ O    H ´ ú ˜“ É r % 3  x

9

y  ´ ú ˜ €   `  Št  · ú §“ ¦, Õ ª˜ Ð   f ”  Ä ºo  Ø  æì  rô  Ç 6 £ x 6

 

xì  r \  ¦ ¹ 1 Ôt  3 l w “ ¦ e ”  “ ¦ ³ ð‰ & ³   H  כ s  & h ] X   

“

¦ Ò q ty Œ •ô  Ç .

Abramowitz_  Õ þ ˜ [1]`  ¦ q 2 Ÿ ©ô  Ç Ã º† < Æõ  Ó ü to † < Æ_  † < Êà º [

þ

t`  ¦ & ñ o ô  Ç Õ þ ˜[ þ t\   H ´ ú §“ É r : £ ¤Ã º† < Êà º[ þ ts  ™ è> h÷ &“ ¦ e ”  Ü

¼ 9 @ / Òì  r_  : £ ¤Ã º† < Êà º[ þ t“ É r “ ¦Ä »ô  Ç s 2 £ §`  ¦  Ò# Œ~ à Γ ¦ e ” 



. t ë ß – { 9 Â Ò † < Êà º  H  f ”  s 2 £ § $   Ò# Œ~ à Ît  3 l w “ ¦ e

”

  HX <, Õ ª s Ä »  H @ / Òì  r à º† < Æs Ž  H Ó ü to † < Æs Ž  H & h ] X ô  Ç 6

£

x6   xì  r \  ¦ ¹ 1 Ôt  3 l w # Œ ƒ  ½ ¨  Ö ¸µ 1 Ï >  ”  ' Ÿ ÷ &t  3 l w

l  M :ë  Hs  . s   7 Hë  H\ " f  H µ 1 Ï|  ) a t   H  Å Ò š ¸A  ÷ &

% 3

6 £ §\ • ¸ Ô  ¦½ ¨ “ ¦  f ”  & h ] X ô  Ç 6 £ x6   xì  r \  ¦ ¹ 1 Ôt  3 l w 

#

Œ s 2 £ § $   Ò# Œ~ à Ît  3 l w “ ¦ e ”   H : £ ¤Ã º† < Êà º 
\  ¦ ì  r

$ 3

 # Œ, Õ ª\    ´ ú “ É r & h ] X ô  Ç " î g A`  ¦  Ò# Œ “ ¦, Ó ü to † < Æ\ 

"

f 6 £ x6   x÷ &  H  î  r \ V\  ¦ ¹ 1 Ô  ™ è> h “ ¦  ô  Ç .

#

Œl " f  7 H½ + É † < Êà º\  ¦ g-† < Êà º   ҏ É r s Ä »  H, s  † < Êà º _

 : £ ¤Z > ô  Ç  â Ä º · ú ˜ 9”   † < Êà º[ þ t ×  æ\  Ä »{ 9  >  y Œ ™ † < Ê

∗E-mail: [email protected]

Ã

ºü < ƒ  › ' a$ í `  ¦ t l  M :ë  Hs  . Ó ü t : r s  † < Êà º  H { 9 ì ø Í



o ) a y Œ ™ † < Êà º (generalized Gamma function)
   + þ A ) a y

Œ

™ † < Êà º (modified Gamma functions)ü <  H „  ) €  Ø Ô  [2]. s  † < Êà º\  @ /ë  H   m “ ¦ ™ èë  H  g\  ¦ æ ¼  H s Ä »  H Meijer_  @ /ë  H  G

^m,n_p,q

-† < Êà º [3,4]ü <   u   H  כ `  ¦ x  l  0

A† < Ês  .

s

 † < Êà º  H 1930¸  @ /\  ×  æ$ í   c ” _  5 Å q• ¸ ì  r$ 3 s  Ž  H

 [5, 6], ì  r  c ”   l  / B N" î Z O s  Ž  H [7–9]   H ì  r 

\

" f % ƒ6 £ §Ü ¼– Ð • ¸{ 9 ÷ &% 3  . 1937¸  \  $ 5 Å q \ P  ×  æ$ í   f  ¨ Ã

º> à º– РÒ'  Zahn\  _  # Œ g-† < Êà º ×  æ$ í  _  È Òõ Ö  ¦ õ

 › ' aº   # Œ  6 £ §% ƒ! 3 
 z Œ ¤  [5].

φ

1

(x) = Z

_∞

0

ye

^{−y−x/y1/2}

dy (1) Õ

ªo “ ¦ Laporte\  _  # Œ m  † < Êà º– Ð S X ‰ © œ÷ &% 3   [6].

φ

m

(x) = Z

_∞

0

y

^m

e

^{−y−x/y1/2}

dy (2)

#

Œl " f m“ É r € ª œ_  & ñ à ºs  . ¢ ¸ô  Ç Õ ª  H s  & h ì  r† < Êà º 3  p

ì  r~ ½ Ó& ñ d ” _  K e ” `  ¦ ˜ Ð% i  . s Ê ê 1941¸  \  Torrey\  _

 # Œ ‰ & ³@ /& h “   + þ AI _  m  g-† < Êà º ×  æ$ í   c ”  5 Å q• ¸ ì



rŸ í– Ð Ò'  % 3 # Q& ’   HX <  n š ¸ _  È Òõ  S X ‰Ò  ¦s  s  † < Êà º

\



¦ Ÿ í† < Ê “ ¦ e ” % 3 ~    כ s   [8]. Õ ªo “ ¦ 1951¸  \   H 3  g-† < Êà º Kruseü < Ransey\  _  # Œ à ºd ” & h Ü ¼– Ð ƒ  ½ ¨÷ &

% 3

“ ¦ [10] ¢ ¸ô  Ç, s  M : g-† < Êà º 4 Ÿ ¤™ èà º ¨ î €  Ü ¼– Ð S X ‰ © œ÷ &

% 3

 .   õ & h Ü ¼– Ð ¢ - a„  ô  Ç + þ AI _  m  g-† < Êà º g

m

(x)  H   6

£

§% ƒ! 3  & ñ _  ) a .

g

m

(x) = Z

_∞

0

y

^m

e

^−y2−x/y

dy (3) m = 0, 1, 2, ... s  .

-90-

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

g

0

(x)

x

dashed: J

₀

(x)

Fig. 1. The comparison between g

0

(x) and the first-order Bessel function J

₀

(x).

II. g-] K ¤• ¤8 ý M Ä ] Ø V R Ëù m Ç

g

m

(x)  H  6 £ §% ƒ! 3  y Œ ™ † < Êà ºü < ƒ  › ' a ) a . d ”  (3)\ " f y\  ¦ 1/u– Ð  Ë ¨€   g

m

(x)\  ¦  6 £ §% ƒ! 3  j þ t à º e ”  .

g

m

(x) = Z

_∞

0

e

^−1/u2−xu

u

^m+2

du (4)



 " f y Œ ™ † < Êà º  H g-† < Êà º\ " f x = 0“   : £ ¤Ã ºô  Ç  â Ä ºs 



.

g

m

(0) = 1 2 Γ

µ m + 1 2

¶

(5)

s

\  ¦  r  æ ¼€    6 £ §% ƒ! 3  ³ ðr  ) a .

g

2m+1

(0) = m!

2 (6)

 © œ ç ß –é ß –ô  Ç m = 0“    â Ä º\  ¦ Õ ª 9 0  Z …! s q† < Êà ºü < q “ § K

˜ Ѐ   Fig. 1õ  ° ú   . Z …! s q† < Êà º˜ Ð   s `›   À 1 Ïo  0\  à º§ 4 

†

<

Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . g

0

(0) = √

π/2 = 0.886s  .

d

”

 (3)s 
 (4)\  ¦ p ì  rK ˜ Ѐ   g

m

(x)  H  6 £ § 3t  l 

‘ :

r $ í | 9 `  ¦ ”   .

(i) g

m

(z)  H  6 £ §õ  ° ú  “ É r í  H¨ 8 Šd ”  (recurrence rela- tion)`  ¦ ë ß –7 á ¤ô  Ç .

2g

m

(x) = (m − 1)g

m−2

(x) + xg

m−3

(x) (7) m = 3, 4, 5, ...s  . s  í  H¨ 8 Šd ” “ É r  6 £ §% ƒ! 3  ç ß –é ß –y  7 £ x" î

½ +

É Ã º e ”  . & h ì  rÜ ¼– Ð & ñ _  ) a g

m−1

(x)_  x & h ì  r † < Êà º\  ¦ y~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ¼ # p ì  r €    6 £ §õ  ° ú   .

∂

∂y

³

y

^m−1

e

^−y2−x/y

´

= (m − 1)y

^m−2

e

^−y2−x/y

−2y

^m

e

^−y2−x/y

+ xy

^m−3

e

^−y2−x/y

(8) s

\  ¦ 0 Ò'  ∞ t  y– Ð & h ì  r €   ý a  s  0s ÷ &# Q 0 A d ” 

“ É

r í  H¨ 8 Šd ”  (7)s   ) a .

x = 0{ 9  M :  H d ”  (5)`  ¦ s 6   x €   y Œ ™ † < Êà º_  { 9 ì ø Í& h “  

› '

a> d ” `  ¦ ˜ Г   .

Γ

µ m + 1 2

¶

= m − 1 2 Γ

µ m − 1 2

¶

(9)



 " f à º m“ É r { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð — ¸Ž  H z  ´Ã º\  @ / # Œ $ í w n  ô

 Ç .

(ii) g

m

(x)  H p ì  r`  ¦ ½ + É M :   à º 
m ”  ×  ¦# Q[ þ t

“

¦  Ҡ ñ  Ÿ ÷ ¶ .

dg

m

dx = −g

m−1

(x) (10)

m = 1, 2, 3, ...s  . s   H " î Ñ þ ˜† < ÊÜ ¼– Ð 7 £ x" î `  ¦ Ò q t| Ä Ìô  Ç .

(iii) d ”  (10)\  ¦ s 6   x # Œ d ”  (7)`  ¦  r  æ ¼€   g

_m

(z)  H



6 £ §% ƒ! 3  3  p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” _  K e ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

x d

³

g

m

dx

³

− (m − 1) d

²

g

m

dx

²

+ 2g

m

(x) = 0 (11) m = 3, 4, 5...s  .

0

A_  3  p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” _  K  / B Nç ß –“ É r g

m

(x)\  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç 3 

"

é

¶ z  ´ 7 ˜'  / B Nç ß –s  . g

m

(x)\  ¦ Ÿ í† < Ê   H s  / B Nç ß –_  l $  (basis)\  ¦ g

m

(x), f

m

(x), h

m

(x)  €   { 9 ì ø ÍK   H  6 £ §% ƒ

! 3

 " f– Ð 1 l qw n “   [ j † < Êà º_  ‚  + þ A  ½ + Ë g 1 J– Ð æ ¼# Œ ”   :

Ag

m

(x) + Bf

m

(x) + Ch

m

(x), A, B, C  H  © œÃ º.

{ 9

 1 l qw n “     É r 2> h_  K   H  6 £ §% ƒ! 3  ½ ¨K ”   .

Y (x) = g

m

(x) U (x)– Ð ¿ º“ ¦ s \  ¦ d ”  (11)\  @ /{ 9  €  



6 £ §õ  ° ú  “ É r › ' a> d ” `  ¦ % 3   H .

xg

m

(x) d

³

U dx

³

+

½ 3x dg

m

dx − (m − 1)g

m

(x)

¾ d

²

U dx

²

+

½ 3x d

²

g

m

dx

²

− 2(m − 1) dg

m

dx

¾ dU

dx = 0 (12) dU/dx = V (x)– Ð ¿ º“ ¦ Û  ¦€   0 A d ” “ É r 2 p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” s 

÷

&# Q 2> h_  " f– Ð 1 l qw n “   K \  ¦ ”   . s  " f– Ð 1 l qw n & h 

“



 2> h_  K \  ¦ y Œ •y Œ • V

1

(x)õ  V

2

(x)  €   3 p ì  r~ ½ Ó& ñ d

”

 (11)_    É r 2> h_  K   H Y

1

(x) = g

m

(x) R

V

1

(x)dx, Y

2

(x) = g

m

(x) R

V

2

(x)dx– Ð Å Ò# Q”   .

g

m

-† < Êà º  H  6 £ §% ƒ! 3  4 Ÿ ¤™ èà º / B Nç ß –Ü ¼– Е ¸ S X ‰ © œ½ + É Ã º e ” 



. 7 £ ¤ x@ /’   z\  ¦ s 6   x €  , z = re

^−iθ

s  . r = |z| s 

“

¦ 0 ≤ θ ≤ π/2 \  _  # Œ F Gý a³ ð / B Nç ß –\ " f_  † < Êà º g

m

(r, θ)– Ð   ¨ 8 Š ) a . Õ ª Q€   s \  ¦ z  ´Ã ºÂ Òü < ) ‡Ã ºÂ Җ Ð


¾

º# Q j þ t à º e ”  .

(i) z  ´Ã ºÂ Ò Reg

m

(r, θ) =

Z

_∞

0

y

^m

e

^{−y2−r cos θy}

cos

µ r sin θ y

¶

dy (13)

(ii) ) ‡Ã ºÂ Ò Img

m

(r, θ) =

Z

_∞

0

y

^m

e

^{−y2−r cos θy}

sin

µ r sin θ y

¶

dy (14) {

 " f g-† < Êà º  H t 2 £ § r-» ¡ ¤ Å Ò0 A– Ð ”  1 l x  9 0Ü ¼– Ð Ã º§ 4 

  H † < Êà ºe ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

III. g-] K ¤• ¤8 ý ò k @• ¤A 0

d

”

 (11)_  g-† < Êà º_  K   H / å Là º~ ½ ÓZ O  (series method)`  ¦ s

6   x # Œ ½ ¨½ + É Ã º e ”  . # Œl " f ms  3˜ Ð  ß ¼ 
 ° ú  “ É r

&

ñ

à º“    â Ä º  H Ó ü t : rs “ ¦ z  ´Ã º“    â Ä º t  { 9 ì ø Í o # Œ ½ ¨ K

‘ : r . { 9 ì ø ÍK \  ¦  6 £ §% ƒ! 3  é  H .

g(x) = X

∞ λ=0

a

λ

x

^k+λ

, a

0

6= 0 (15) 3  p ì  r~ ½ Ó& ñ d ” s Ù ¼– Ð > à º k  H { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð 3> h_  ° ú כ`  ¦

”   .

d

”

 (15)`  ¦ d ”  (11)\  @ /{ 9  # Œ „  > h €    6 £ §õ  ° ú   .

X

∞ λ=0

a

λ

(k + λ)(k + λ − 1)(k + λ − 2)x

^k+λ−2

−(m − 1) X

∞ λ=0

a

λ

(k + λ)(k + λ − 1)x

^k+λ−2

+2 X

∞ λ=0

a

λ

x

^k+λ

= 0 (16) s

\  ¦  r  ç ß –¼ #  >  æ ¼€    6 £ §õ ° ú   .

k(k − 1)(k − m − 1)a

0

x

^k−2

+(k + 1)k(k − m)a

1

x

^k−1

+

X

∞ λ=0

{(k + λ + 2)(k + λ + 1)(k + λ − m + 1)a

λ+2

+2a

λ

}x

^k+λ

= 0 (17) {

9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð x

^k+λ

_  > à º 0s # Q  Ù ¼– Ð  6 £ §_  3t   â Ä º Ò q t|   .

k(k − 1)(k − m − 1)a

0

= 0 (18) (k + 1)k(k − m)a

1

= 0 (19) (k + λ + 2)(k + λ + 1)(k + λ − m + 1)a

_λ+2

= −2a

_λ

(20) d

”

 (18)\ " f a

0

  H 0s   m Ù ¼– Ð k = 0, 1, m+1_  3> h_  K

 ” > rF ô  Ç . d ”  (3)_  & h ì  r+ þ A K   H s  3t  K _  ‚  + þ A





½ + ËÜ ¼– Ð
 è ß – . d ”  (19)• ¸ ë ß –7 á ¤K   Ù ¼– Ð k 1s 




 m + 1{ 9 M : a

1

= 0e ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s ] j d ”  (20)_  {

9

ì ø ÍK \  ¦ ms  ‹ Œ •Ã º{ 9  M :ü < f . Ëà º{ 9  M :, Õ ªo “ ¦ & ñ à º  





 z  ´Ã º{ 9  M :– Ð
¾ º# Q Ò q ty Œ •  .

1. mT  b c l• ¤ø m Ç C I (A) k = 0{ 9 M :

d

”

 (20)Ü ¼– РÒ' 

(λ + 2)(λ + 1)(λ − m + 1)a

λ+2

= −2a

λ

(21)



 " f a

m−1

= 0s “ ¦ m − 1s  f . Ëà ºs Ù ¼– Ð, — ¸Ž  H f . Ëà º λ\  @ / # Œ a

λ

= 0s  .

λ ‹ Œ •Ã ºs €  

a

λ+2

= −2a

λ

(λ + 2)(λ + 1)(λ − m + 1) (22) s

Ù ¼– Ð > à º\  ¦  6 £ §% ƒ! 3  j þ t à º e ”  .

a

2l

= (−2)

^l

a

0

(2l)!(−m + 2l − 1)(−m + 2l − 3) · · · (−m + 1)

= (−2)

^l

a

0

(2l)! Q

_l

j=1

(−m + 2j − 1)

= a

0

(2l)! Q

_l

j=1

(

^m+1₂

− j)

= Γ(

^m+1₂

− l)a

0

Γ(2l + 1)Γ(

^m+1₂

) (23)



 " f a

0

= 1“    â Ä º 3  p ì  r~ ½ Ó& ñ d ”  (11)_  K \  ¦  6 £ § õ

 ° ú  s  % 3   H .

y

0

(x) = X

∞ l=0

Γ(

^m+1₂

− l)

Γ(2l + 1)Γ(

^m+1₂

) x

^2l

(24) (B) k = m + 1{ 9 M :

d

”

 (19)– РÒ'  a

₁

= 0s Ù ¼– Ð — ¸Ž  H f . Ëà º\  @ / # Œ a

_λ

= 0s  . d ”  (20)– РÒ' 

(m + λ + 3)(m + λ + 2)(λ + 2)a

λ+2

= −2a

λ

(25)



 " f — ¸Ž  H ‹ Œ •Ã º λ\  @ / # Œ

a

λ+2

= −2a

λ

(m + λ + 3)(m + λ + 2)(λ + 2) (26) s

Ù ¼– Ð > à º a

2l

“ É r  6 £ §% ƒ! 3  j þ t à º e ”  .

a

2l

= (−2)

^l

a

0

Q

_2l

j=1

(m + j + 1) Q

_l

j=1

2j

= (−1)

^l

a

0

Q

_2l

j=1

(m + j + 1) Q

_l

j=1

j

= (−1)

^l

Γ(m + 2)a

0

Γ(m + 2l + 2)Γ(l + 1) (27)



 " f a

0

= 1“    â Ä º, d ”  (24)_  y

0

\  1 l qw n “   K \  ¦  6 £ § õ

 ° ú  s  % 3   H .

y

m+1

(x) = X

∞ l=0

(−1)

^l

Γ(m + 2)

Γ(m + 2l + 2)Γ(l + 1) x

^2l+m+1

(28)

(C) k = 1 { 9 M : 0

A_   â Ä ºü <  ð ø Ít – Ð a

1

= 0s Ù ¼– Ð — ¸Ž  H f . Ëà º\  @ /

# Πa

λ

= 0s  . d ”  (20)Ü ¼– РÒ' 

(λ + 3)(λ + 2)(λ − m + 2)a

λ+2

= −2a

λ

(29) a

m−2

= 0\ " f m − 2  H ‹ Œ •Ã ºs  .   " f — ¸Ž  H ‹ Œ •Ã º λ\ 

@

/ # Πa

λ

= 0s  ÷ &  HX <, s   H a

0

= 0“ ¦ ÷ &# Q & ñ d ”  (15)\  — ¸í  Hs  . 7 £ ¤, k = 1“    â Ä º  H d ”  (15)– Ð K \  ¦ ½ ¨

½ +

É Ã º \ O “ ¦ y

k=1

(x) = y

m+1

(x) ln x + P

_∞

λ=0

b

λ

x

^λ+1

_  + þ A I

– Ð K \  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”  .  8  [ jô  Ç Ã º† < Æ& h  > í ß –“ É r s   7 H ë



H_  $ í   õ  › ' a>  Y O # Q" f Ò q t| Ä Ìô  Ç .

2. mT  ÿ … • ¤ø m Ç C I

(A) k = 1 { 9 M : d

”

 (19)– РÒ'  a

1

= 0s Ù ¼– Ð — ¸Ž  H f . Ëà º λ\  @ / # Œ a

λ

= 0s  . λ ‹ Œ •Ã ºs €   d ”  (22)õ  1 l x{ 9 ô  Ç + þ AI   ) a



. s – РÒ'  > à º\  ¦ ½ ¨ €    6 £ §õ  ° ú   .

a

2l

= (−2)

^l

a

0

(2l + 1)! Q

_l

j=1

(2j − m)

= a

0

(2l + 1)! Q

_l

j=1

(

^m₂

− j)

= Γ(

^m₂

− l)a

0

Γ(2l + 2)Γ(

^m₂

) . (30)



 " f  6 £ §õ  ° ú  s  % 3   H .

y

1

(x) = X

∞

l=0

Γ(

^m₂

− l)

Γ(2l + 2)Γ(

^m₂

) x

^2l+1

. (31) (B) k = m + 1 { 9 M :

ms  ‹ Œ •Ã º{ 9  M :ü < 1 l x{ 9   .   " f y

1

(x)\  1 l qw n  ) a K  y

m+1

(x)\  ¦ d ”  (28)õ  ° ú  s  % 3   H .

y

m+1

(x) = X

∞

l=0

(−1)

^l

Γ(m + 2)

Γ(m + 2l + 2)Γ(l + 1) x

^2l+m+1

(32) (C) k = 0 { 9 M :

ms  ‹ Œ •Ã º{ 9  M :ü <  ð ø Ít – Ð d ”  (20)Ü ¼– РÒ'  (λ + 2)(λ + 1)(λ − m + 1)a

λ+2

= −2a

λ

(33) a

m−1

= 0\ " f m − 1  H ‹ Œ •Ã ºs  .   " f — ¸Ž  H ‹ Œ •Ã º λ\ 

@

/ # Πa

λ

= 0s  ÷ &  HX <, s   H a

0

= 0• ¸ ÷ &# Q & ñ d ”  (15)\  — ¸í  Hs  .   " f k = 0“    â Ä º  H d ”  (15)– Ð K \  ¦

½

¨½ + É Ã º \ O “ ¦ y

k=0

(x) = y

m+1

(x) ln x + P

_∞

λ=0

c

λ

x

^λ

_  + þ A I

– Ð K \  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”  .

3. mT  X N ˕ ¤  Ù Ã Å ÷ m Ǖ ¤ø m Ç C I

(A) k = 0{ 9 M :

λ = 2l“    â Ä ºü < λ = 2l + 1“    â Ä º– Ð
¾ º# Q˜ Ѐ     6

£

§õ  ° ú   .

a

2l

= Γ(

^m+1₂

− l)a

0

Γ(2l + 1)Γ(

^m+1₂

) (34) s

  â Ä º  H ms  ‹ Œ •Ã º“    â Ä ºü < 1 l x{ 9  # Œ d ”  (24)s  K 

H

†

d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

a

2l+1

= (−2)

^l

a

1

(2l + 1)!(2l − m)(2l − m − 2) · · · (2 − m)

= (−2)

^l

a

1

(2l + 1)! Q

_l

j=1

(2j − m)

= a

1

(2l + 1)! Q

_l

j=1

(

^m₂

− j)

= Γ(

^m₂

− l)a

1

Γ(2l + 2)Γ(

^m₂

) (35) Õ

ª QÙ ¼– Ð " f– Ð 1 l qw n “   ¿ º K , (a

0

= 1, a

1

= 0)“    â Ä ºü <

(a

0

= 0, a

1

= 1)“    â Ä º\  ¦  6 £ §% ƒ! 3  j þ t à º e ”  .

y

1

(x) = X

∞ l=0

Γ(

^m+1₂

− l)

Γ(2l + 1)Γ(

^m+1₂

) x

^2l

(36) y

2

(x) =

X

∞ l=0

Γ(

^m₂

− l)

Γ(2l + 2)Γ(

^m₂

) x

^2l+1

(37) (B) k = 1{ 9 M :

0

A\ " f ms  f . Ëà º{ 9  M :ü < 1 l x{ 9 ô  Ç   õ \  ¦ % 3   H . d ”  (31)– РÒ' 

y

3

(x) = X

∞ l=0

Γ(

^m₂

− l)

Γ(2l + 2)Γ(

^m₂

) x

^2l+1

(38)

t ë ß – s   â Ä º  H y

2

ü < 1 l x{ 9  # Œ y

2

ü < y

3

  H " f– Ð 1 l qw n “   K

  m  .

(C) k = m + 1 { 9 M : 0

A d ”  (26)s 
 (32)% ƒ! 3  ms  & ñ à º{ 9  M :ü < Ä » ô  Ç — ¸

€ ª

œs 
 " 4 / å LÃ º (power series)  m  .

y

4

(x) = X

∞ l=0

(−1)

^l

Γ(m + 2)

Γ(m + 2l + 2)Γ(l + 1) x

^2l+m+1

(39) s

 © œ`  ¦ כ ¹€  • €   ms  & ñ à º     z  ´Ã º{ 9  M :• ¸ 3> h_ 

"

f– Ð 1 l qw n “   K  y

1

, y

2

, y

4

\  ¦ % 3   H .

IV. g-] K ¤• ¤8 ý “ Ö «“ Ó Þ; d

1930¸  @ /\  s  † < Êà º % ƒ6 £ § ™ è> h÷ &“ ¦
" f 1950¸  @ / s

Ê ê– Ð  H Z >   É r ƒ  ½ ¨ \ O % 3   HX < s   H Ä »6   xô  Ç 6 £ x6   xì  r 

\



¦ ¹ 1 Ôt  3 l w % i l  M :ë  Hs  .   " f Ä ºo   H  Å Ò  î  r /

B

M\ " f 6 £ x6   xì  r \  ¦ ™ è> h l – Ð ô  Ç . à º m“   g-† < Êà º

\

" f m = 0“    â Ä º  H ç ß –é ß – Ù ¼– Ð Ò q t| Ä Ì “ ¦, Õ ª  6 £ §Ü ¼– Ð

×



æכ ¹ô  Ç à º“   m = 1“   6 £ x6   x\ V\  ¦ ¹ 1 Ôl – Ð ô  Ç . # Œl " f

™

è> h½ + É s  † < Êà º_  6 £ x6   xì  r   H y © œ^ ‰+ þ A { 9  [ þ t_  Š © œF G -

Š

©

œF G   © œ  ñ Œ •6   xs  Šҍ  H „  l  y Œ ™Ã ºÖ  ¦ † < Êà ºs  . g

1

(z)  H

‚



+ þ A6 £ x² ú šs  : r\ " f Š © œF G _  r ç ß –  © œ› ' a† < Êà º (time corre- lation function)\  ¦ É Òo \    ¨ 8 Š €   4 Ÿ ¤™ èà º ¨ î €  \ " f % 3 

`



¦ à º e ”  .

ç



H{ 9  “ ¦ (homogeneous) 1 p x~ ½ Ó& h “   (isotropic) y © œ^ ‰ { 9 



[ þ t– Ð s À Ò# Q”   Ä »^ ‰> \  ¦ Ò q ty Œ •  . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð y © œ^ ‰ {

9

   H 3> h_  " f– Ð   É r › ' a$ í — ¸F ' pà Ô\  ¦ ° ú   H . s M : ì  r



_  Š © œF G  — ¸F ' pà Ô µ(t)  r„  » ¡ ¤ ~ ½ ӆ ¾ Ós  “ ¦ & ñ 



. ‚  + þ A6 £ x² ú šë ß – “ ¦ 9 €   { 9  [ þ t_   © œ  ñ Œ •6   xÜ ¼– Ð “   

#

Œ µ 1 ÏÒ q t   H ì ø Í6 £ x† < Êà º  H, { 9  _   ^ ‰  Òì  r(self-part) ´ ò õ

\    É r — ¸Ž  H { 9  [ þ ts  Šҍ  H ´ òõ _  ½ + ËÜ ¼– Ð j þ t à º e ” 



 [11,12].

ω\  ¦ ü @Â Ò Å Ò à º, τ \  ¦  r„     H { 9  [ þ t_  Ø  æ[  t– Ð “   ô



Ç ¢ - a o r ç ß –(relaxation time)s  “ ¦ €  , „  l  y Œ ™Ã ºÖ  ¦ _

  ^ ‰  Òì  r“ É r  6 £ §% ƒ! 3  ³ ðr   ) a  [12,13].

χ

s

(ω + i/τ )

χ

s

(0) = 1+i(ω+i/τ ) Z

_∞

0

e

^{i(ω+i/τ )t}

hµ(0) · µ(t)i µ

²

dt

(40) h...i   H œ íl › ¸| \  @ /ô  Ç € © œ © œ^  ¦ ¨ î ç  H (ensemble average),

¢

¸  H ü @Â Ò  © œs   Œ •6   x t  · ú §`  ¦ M :_  : Ÿ x> † < Æ& h  ¨ î ç  Hu s 



 [11–14].

(θ

i

(t), φ

i

(t), ψ

i

(t))\  ¦ z  ´+ « > “ ¦& ñ >  (laboratory fixed frame of reference)\ " f i  P : { 9  _  r ç ß – t\ " f_  š ¸ {

9

 Q y Œ •s  “ ¦  . ¢ ¸ô  Ç I

i

ü < Ω

i

(i = 1, 2, 3) \  ¦ 3 " é ¶ y

©

œ^ ‰_  3> h_  Å Ò» ¡ ¤(principal axes)\  @ /ô  Ç › ' a$ í — ¸F ' pà Ôü <

y

Œ

•5 Å q• ¸   . Õ ª Q€   y Œ •î  r1 l x| ¾ Ó L

i

ü < L“ É r  6 £ § › ¸| `  ¦ ë

ß

–7 á ¤ô  Ç .

L

i

= I

i

Ω

i

(41)

L = q

L

²₁

+ L

²₂

+ L

²₃

(42)



 " f e ” _ _  — ¸€ ª œ`  ¦ ”   3 " é ¶ y © œ^ ‰_  î  r1 l x\  -t   H

# î

”  î  r1 l x\  -t ü <  r„   î  r1 l x\  -t _  ½ + ËÜ ¼– Ð  6 £ §% ƒ! 3  j

þ

t à º e ”  .

E = P

²

2M + 1

2 X

3 i=1

I

i

Ω

²_i

= P

²

2M + f (θ, ψ)L

²

2I

3

(43)

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 2 4 6 8 10

g

1

(r, π /3)

r

solid : real dashed : imag

Fig. 2. The radial dependence of g

1

(r, π/3).

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

g

1

(3, θ )

θ solid : real dashed : imag

Fig. 3. The phase dependence of g

1

(3, θ).

M “ É r { 9  _  | 9 | ¾ Ós “ ¦ P   H ‚  î  r1 l x| ¾ Ós  . f (θ, ψ)  H y Œ • î



r1 l x| ¾ Ó  © œ› ' a† < Êà º– Ð" f  6 £ §% ƒ! 3  & ñ _  ) a  [15].

f (θ, ψ) = I

3

I

1

sin

²

θ sin

²

ψ + I

3

I

2

sin

²

θ cos

²

ψ + cos

²

θ (44) y

Œ

•_  % ò % i “ É r 0 ≤ θ ≤ π s  9 0 ≤ ψ ≤ 2πs  . f (θ, ψ)  H θ ü < ψ\  @ / # Œ p ì  r 0 p xô  Ç † < Êà º“  X <, % i † < Æ& h Ü ¼– Ð  r„   î



r1 l x\  -t ü < y Œ •î  r1 l x| ¾ Ó_  › ' a> \  ¦ ï  r . d ”  (43)\ " f # î

”



î  r1 l x\  -t   H ¨ î ç  Hu  > í ß –\ " f  © œÃ º\  ¦ Å ÒÙ ¼– Ð > í ß –\ 





H s \  ¦ Á ºr  “ ¦ y Œ •î  r1 l x| ¾ Ó  © œ› ' a† < Êà º Ÿ í† < ʝ ) a  Òì  rë ß –

“

¦ 9ô  Ç .

Š

©

œF G  µ_  r ç ß – 0õ  t\ " f_   s y Œ •`  ¦ γ  & ñ _  €   d

”

 (40)_  Š © œF G -Š © œF G   © œ› ' a† < Êà º\  ¦  6 £ §% ƒ! 3  š ¸{ 9  Q y

Œ

•_  † < Êà º– Ð ³ ðr ½ + É Ã º e ”  .

µ(0) · µ(t)

µ

²

= cos γ(θ, ψ, L) (45) Õ

ª Q€   cos γ_  ¨ î ç  H“ É r d ”  (43)`  ¦ s 6   x # Œ  6 £ §% ƒ! 3  j þ t Ã

º e ”  .

hcos γi =

R cos γe

^−βE

dE

R e

^−βE

dE

= 1 Z

Z

_∞

0

L

²

dL Z

_π

0

sin θdθ

× Z

_2π

0

dψ cos γe

−βf (θ,ψ,L)L²/2I3

(46) Z  H œ íl 0 Au \  Á º› ' a >    & ñ ÷ &  H ì  rC † < Êà º . ⍠ H β = 1/k

B

T – Ð Å Ò# Qt   H % i “ : r• ¸s  9 k

B

  H ^  ¦ç ¼ë ß –  © œÃ º s

“ ¦ T   H ] X @ /“ : r• ¸s  .

u = Lt/I

3

– Ð " é ¶s  \ O   H € ª œ`  ¦ & ñ _  # Œ d ”  (40)_  t

&

h

ì  r`  ¦ u & h ì  rÜ ¼– Ð    â €   cos ㍠ H ü @& h Ü ¼– Ð d ”  (42)_  y

Œ

•î  r1 l x| ¾ Ó L`  ¦ Ÿ í† < Ê t  · ú §>   ) a . d ”  (43)õ  d ”  (46)`  ¦ d

”

 (40)\  @ /{ 9  €   g-† < Êà º É Òo \    ¨ 8 Š_  ×  æכ ¹  Òì  r

\


 è ß – .

χ

s

(ω + i/τ )

χ

s

(0) = 1 + i(ω + i/τ ) Z

Z

_∞

0

du Z

_π

0

sin θ dθ

× Z

_2π

0

dψ cos γ(θ, ψ, u)g(θ, ψ, u) (47)

#

Œl " f g  H  6 £ §% ƒ! 3  & ñ _  ) a .

g(θ, ψ, u) = Z

_∞

0

Le

^{−(βf /2I3)L2}−(1/τ −iω)I3u/L

dL (48) d

”

 (46)\ " f & ñ _  ) a ì  rC † < Êà º Z  H  6 £ §% ƒ! 3  ³ ðr  ) a .

Z = Z

_∞

0

L

²

dL Z

₀

π

sinθdθ Z

_2π

0

dψe

^{−βf (θ,ψ)L2/2I3}

(49)





õ & h Ü ¼– Ð & h ì  r³ ð‰ & ³ g(θ, ψ, u)  H 4 Ÿ ¤™ èà º ¨ î €  \ " f_  g

1

(z)  ) a .

g

1

(z) = Z

_∞

0

ye

^−y2−z/y

dy (50) z  H z = z

1

− iz

2

– Ð Å Ò# Qt   H 4 Ÿ ¤™ èà º“  X <, d ”  (47)õ  d ”  (48)`  ¦ q “ §K ˜ Ѐ   z  ´Ã º z

1

õ  z

2

_  % ò % i s   6 £ §% ƒ! 3  & ñ _

H † d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  : z

1

> 0, z

2

> 0.

Ä

ºo   H g

1

(r, π/3)_  t 2 £ §~ ½ ӆ ¾ Ó _ ” > r$ í `  ¦ ˜ Ðl  0 A 

#

Œ z  ´Ã ºÂ Òü < ) ‡Ã ºÂ Ò\  ¦ Fig. 2\  Õ ª§ 4  . Fig. 3\   H g

1

(3, θ)_  z  ´Ã ºÂ Òü < ) ‡Ã ºÂ Ò_  0 A © œ _ ” > r$ í `  ¦ Õ ª§ 4  . g

†

<

Êà º  H  Å Ò À 1 Ïo  ”  1 l x  9 / B I 0\  à º§ 4 † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

Õ

ªo “ ¦ à º§ 4  & ñ • ¸ Z …! s q† < Êà º˜ Ð   s `›    Ø Ô .

V. ~ ¿ W d l

Ä

ºo   H s 2 £ §s   f ”  Å Ò# Qt t  · ú §“ É r 4 Ÿ ¤™ èà º ¨ î €  \ " f_  :

£

¤Ã º† < Êà º 
\  ¦ y Œ ™ † < Êà ºü <_  › ' aº  $ í \  ‚ à Ìî ß – # Œ m  g-† < Êà º, 7 £ ¤ g

m

(z)– Ð " î " î % i  . s  g

m

(z)_  Å Òכ ¹ $ í | 9 õ  y

Œ

™ † < Êà ºü <_  › ' aº  $ í `  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ Œ ¤Ü ¼ 9, g

m

(z)s  3  p  ì



r~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤ Ù ¼– Ð / å Là º~ ½ ÓZ O `  ¦ s 6   x # Œ à º ms 

&

ñ

à º{ 9  M :ü < q & ñ à º{ 9  M :_  s  ~ ½ Ó& ñ d ” _  { 9 ì ø ÍK \  ¦ ½ ¨ 

% i

 .

  s  † < Êà º_   © œ l ‘ : rs  ÷ &  H g

1

(z) “ ¦„  % i † < Æ õ

 „   l † < Æs    ½ + ˝ ) a y © œ^ ‰_  Š © œF G -Š © œF G   © œ  ñ Œ •6   x s

 ë ß –× ¼  H „  l  y Œ ™Ã ºÖ  ¦ † < Êà º\ " f
 z Œ ™`  ¦ ˜ Ð% i  . · ú ¡Ü ¼

–

Ð s  † < Êà º  H “ ¦„   % i † < Æõ  “ ¦„   „   l † < Æs    ½ + ˝ ) a Ó ü t^ ‰ _

 î  r1 l x`  ¦ l Õ ü t   HX < Ä »6   x >  æ ¼{ 9  à º e ” `  ¦  כ s  .

g

m

-† < Êà º  H & ñ à º à º m÷  rë ß –  m   — ¸Ž  H z  ´Ã º m\  @ /

# Œ { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð $ í w n    HX <, q & ñ à º{ 9   â Ä º s \  K { © œ

  H Ó ü to & h  ‰ & ³ © œ`  ¦ ¹ 1 ԍ  H ƒ  ½ ¨ € 9 כ ¹½ + É  כ Ü ¼– Ð ˜ Г   .

Õ

ª ü @\  s  † < Êà º  H s   7 Hë  H\ " f ƒ  ½ ¨ ) a  כ ü @\ • ¸ à º† < Æ

&

h

Ü ¼– Ð 4 Ÿ ¤¸ ú šô  Ç # Œ Qt  $ í | 9 [ þ t`  ¦ t 
, s   Òì  r“ É r · ú ¡ Ü

¼– Ð Ó ü to † < Ƙ Ð  à º† < Æ  7 Hë  H\ " f  À Ò# Q4 R  ½ + É  כ s  .

Y c

p w Š à U Ø ”  ô

[1] M. Abramowitz and I. A. Stegun, edited, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover, New York, 1970) p.1001.

[2] J.-P. Jurzak, arxiv: math.NT/0202270.

[3] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Tables of In- tegrals, Series, and Products, 4th (Academic, New York, 1965) p.1068.

[4] L.T. Wille, J. Math. Phys. 29, 599 (1988).

[5] C. T. Zahn, Phys. Rev. 52, 67 (1937).

[6] O. Laporte, Phys. Rev. 52, 72 (1937).

[7] I. I. Rabi, Phys. Rev. 51, 652 (1937).

[8] H. C. Torrey, Phys. Rev. 59, 293 (1941).

[9] N. F. Ramsey, Phys. Rev. 78, 695 (1950).

[10] U. E. Kruse and N. F. Ramsey, J. Mathematics and Physics, 30, 40 (1951).

[11] R. Kubo, Statistical Mechanics (North Holland, Am- sterdam, 1964) p.361.

[12] J.-P. Hansen and I. R. McDonald, Theory of Simple Liquids, 2nd (Academic, London, 1990) p.193.

[13] D. Wei and G. N. Patey, J. Chem. Phys. 91, 7113 (1989); ibid. 93, 1399 (1990).

[14] S.-H. Kim, G. Vignale and B. DeFacio, Phys. Rev.

A 46, 7548 (1992).

[15] S.-H. Kim, SAEMULLI (New Phys.) 44, 87 (2002).

An Introduction to the g-function and Its Physical Application

Sang-Hoon Kim

^∗

and Kyeonghee Jo

Division of Liberal Arts, Mokpo National Maritime University, Mokpo 530-729 (Received 24 April 2007)

We investigated an integral representation of a complex function. The representation was obtained from the molecular beam magnetic resonance and was named the as

mth-order g-function or gm

(z) because it was connected to the Gamma function as a special case.

We showed that g

m

(z) was a solution of a third-order differential equation, that we solved by using a series method for both integer and non-integer m. Furthermore, we introduce a physical example of the 1st-order g-function, g

1

(z), by using a dipole-dipole interaction of rigid polar molecules.

PACS numbers: 02.30.Gp, 45.40.-f

Keywords: Special function, Gamma function, Rigid dipoles, Electric susceptibility

∗E-mail: [email protected]