제목 출처 보도일자 '이달의 과학기술자상' 이용남
서강대 수학과 교수 서울경제 2009년11월4일(수)
'이달의 과학기술자상' 이용남 서강대 수학과 교수
새로운 4차원 공간 찾아내
특이점 변형이론 새방법으로 독창적 연구 수학계 60년 난제 '세베리 추측' 오류 증명
4차원은 우리가 살고 있는 3차원 공간에 시간의 축이 추 가된 것이다. 4차원 공간은 3차원처럼 눈에 보이지 않는 추상적 개념이지만 수학적으로 표현할 수 있는 4차원 공 간은 무수히 많다. 그동안 수학자들은 다양한 특성을 갖 는 4차원 공간을 찾는 데 많은 노력을 기울여왔다.
지난 1949년 이탈리아의 수학자 프란체스코 세베리가 기 하학적 종수가 0이고 단순 연결된 곡면은 평면과 거의 같다'는 4차원 다양체에 관한 추측을 내놓은 후 수학자들
이 이를 증명하기 위해 노력했지만 60년 가까이 해결되지 않은 채 남아 있었다.
이용남(45) 서강대 수학과 교수는 박종일 서울대 수학과학부 교수와 함께 수학계의 난제 중 하나였던 세베리의 추측이 틀렸다는 것을 증명했다. 다양체를 여러 가지 방법으로 변형하는 과정을 통해 기하학 적 종수가 0이고 단순 연결됐지만 평면과 근본적으로 다른 다양체를 구성해내는 데 성공한 것이다.
◇새로운 4차원 공간 발견=다양체는 선ㆍ면ㆍ원ㆍ구와 같은 기하학적 도형의 집합을 1개의 공간으로 보았을 때 공간을 말한다. 예를 들면 구 모양을 하고 있는 축구공은 여러 개의 가죽 헝겊을 붙여서 만 든 것인데 하나의 가죽 헝겊을 펴면 평면의 일부가 되는 식이다.
2차원 다양체인 구에다 임의의 폐곡선을 그린 후 이를 폐곡선 내의 한 점으로 줄여나갈 수 있다. 적도 원의 반경을 천천히 줄여나가면 북극점으로 수렴되는 것과 같은 원리다. 이때 수학적으로 구는 기하학 적 종수가 없고 단순 연결돼 있다고 정의한다.
아주 좋은 성질을 갖는 특정한 종류의 4차원 다양체를 찾는 것은 수학계의 오랜 관심사였다. 특히 기
하종수가 0이고 단순 연결된 일반형 복소곡면의 존재는 대수기하학 분야의 핵심문제로 남아 있었다.
60년 전 세베리가 '4차원 다양체 중 구와 같이 기하종수가 0이고 단순 연결돼 있는 일반형 복소곡면 은 없다'는 추측을 내놨지만 지금까지 이를 아무도 증명하지 못했다.
이 교수는 '특이점(singularity) 변형이론'이라는 연구방법을 이용, 기하종수가 0이고 단순 연결됐지만 평면과 근본적으로 다른 다양체를 구성해 내는 데 성공했다. 세베리의 추측이 틀렸다는 것을 처음으로 규명한 것이다.
기하학적 종수가 0이고 단순 연결된 평면은 곡률이 양(+)이라는 게 지금까지의 연구결과였다. 이 교수 가 발견한 4차원 구조물은 같은 조건에서 곡률이 음(-)인 곡면이 존재한다는 것을 새로 밝혀냈다. 이 연구결과는 수학분야 최고의 학술지인 '인벤시오네 마테마티케(Inventiones Mathematicae)' 2007년 12월호에 게재됐다.
◇기존과 다른 독창적인 연구방법 사용=이 교수의 연구결과는 최근 20여년간 4차원 다양체 분야에서 얻어진 가장 획기적인 연구 성과 중 하나로 평가 받고 있다. 수학계의 노벨상으로 불리우는 필즈상 수 상자인 도날드슨 교수를 비롯해 이 분야 전문가들은 "4차원 다양체 및 복소곡면 연구에서 1983년 이 후 최대의 발견이며 새로운 지평을 열었다"고 극찬했다.
수학계에서는 앞으로 새로 쓰여질 4차원 다양체 또는 복소곡면론에 관한 모든 교과서에 이 교수의 연 구결과가 실릴 것으로 예상하고 있다.
이 교수가 새로운 4차원 공간을 발견하면서 사용한 연구방법인 특이점 변형이론(Q-Gorenstein smoothing)은 기존에 알려져 있던 방법과는 전혀 다른 새로운 기술이다.
1990년 모리 교수에게 수학계의 노벨상으로 불리우는 필즈상을 수여한 3차원 이상의 대수다양체의 최 소모델이론에서 발전한 방법론이다. 복수곡면을 만드는 데 기존의 고전적 관점으로만 접근하지 않고 새로운 이론을 사용해 독창적인 연구결과를 도출해낸 것이다.
김영훈 서울대 수리과학부 교수는 "새로운 일반형 곡면을 찾아낸 것도 대단한 성과지만 그 방법이 기 존의 알려져 있던 것들과 달리 완전히 새로운 것이어서 이후에도 많은 일련의 성과들이 예상된다"면서
"유사한 방법으로 다른 원하는 복소곡면들을 찾아 낼 수 있고 새롭게 찾은 복소곡면들의 성질들을 더 욱 밀도 있게 탐구할 수 있다"고 평가했다.
특히 대수기하학이 전공인 이 교수는 박 교수와 공동연구를 통해 위상수학의 방법론을 과감하게 접목 한 것도 연구성과를 높이는 데 일조했다는 평가다. 이 교수는 "특이점 변형이론은 기존에 나와 있는 이론인데 이번 연구에 잘 적용한 것 같다"면서 "이 이론을 더욱 발전시켜 창의적인 연구성과를 계속 내놓겠다"고 말했다.
서울대 수학과를 졸업한 이 교수는 같은 대학에서 석사를, 미국 유타대에서 대수기하학으로 박사를 받 았다. 고등과학원 연구원과 포스텍 방문조교수를 거쳐 2000년부터 서강대 교수로 재직하고 있다. 올해 대한수학회가 수여하는 우수논문상을 받았다.
