1. 서 론
3차원상 한 포인트에서 단면을 생성하는 방법은 재구성법을 고려함으로써 실제적으로 가능하게 할 수 있고, 본 논문에서는
한 포인트의 이동 좌표의 일관성을 가지는 점-이동법 중 하나 를 발견함과 동시에 실제적 영상처리 프로그램에 응용하는 법 을 밝히고자 한다.
일반적인 영상 처리 프로그램에 있어 의료영상의 경우에는 3차원 영상을 화면상에서 읽어 들이는 형태로 관상면, 시상면, 횡단면 즉 xy, yz, zx평면에서의 해석-방법이 주로 사용된다.
이는 인체의 몸이 좌우 대칭이고 앞뒤를 인식하기 쉬운 형태 이기 때문에 그리고 데이터를 처리하여 표시하기 쉬운 이점 때
자동-원형 경로 생성법을 사용한 3차원 영상의 정단면 표시
박 광 신
아주대학교 의용공학과
Display of Cutting Plane Using Method to Create Automatic Circular Path in Three-dimensional Image
K. S. Park
Dept. Biomedical Engineering, Ajou University
= Abstract =
This paper says about explaining a method which enables represent all cutting-sections at any di- rection and designing a program about this. Or this methods have been suggested which are to select a point(P) from all the points in three dimensional vision sequence required in procession symmetric cross section. Previous algorism to display three-dimensional information to two-dimension can be made by 2 helping variables at the arranged status that all of slides were chosen among trans-axial, coronal, and saggital section. But, it is a method from this researching which composes cutting sec- tion in the flat meeting a right angle with normal vector with terminal point which is controled by radius, azimuth, elevation on spherical coordinates. Besides, as a practical application, the parameter α should be nominated one among a lot of circular courses which is movable point P. And parameter β should be notify quantity of moving on determined circular course. So the movement of point P is pre- dicted. Therefore, we searched for the producing way of automatic circular course which is repro- duced the possible course of point P. The theoretical adequacy was testified through the way which is matching to the experiment toward application-technique on the line and nominated course by predict- ed one point. It is the new application techique which is applied to existing old coordinates as well as a choice method of one center point of cutting-section which shows productable cutting-section on the third dimension. Accordingly the expecting effectiveness is expected as the raise of diagnosis effect through medical image-use as well as upgrading effectiveness by judgement of section.
Key words: center point, automatic circular course, spherical coordinate
통신저자: 박광신, (443-749) 경기도 수원시 영통구 원천동 산5 아주대학교 의용공학과
Tel: 031-219-2304, Fax: 031-214-1500 E-mail: [email protected]
문이다. 물론 analyze 또는 ge에서 만든, 의료용 표시 프로그 램에서는 대각선 방향으로 잡은 단면을 잡아 주기도 한다. 좀 더 고차원적인 영상 해석 법으로 본 논문에서는 여러 방향에 서 단면을 잡아줄 뿐만 아니라 연속적인 패턴상에서 단면을 표 시함으로써 3차원 의료 영상 자체를 이해하고 인식하는 데에 주안점을 두었다.
2. 구좌표계를 이용한 단면 생성
3차원공간에서 물체의 단면이 어떤 방향에서 잡아 주었는지 는 단면의 법선벡터를 앎으로써 해결할 수 있다. 본 논문에서 설명하는 프로그램 방식은 이 법선벅터가 항상 원점을 향한다 는 기본 가정을 토대로 하였기 때문에, 아래의 알고리즘으로
생성된 단면을 바라보는 사용자의 초점은 가상적으로 원점에 고정되어 있다. 이와같이 원점을 주위로 뱅뱅도는 단면의 프로 그램 방식(알고리즘)은 수학적으로 명쾌하게 설명될 수 있어 프로그램 작성과 수행에 효율적이고 단면을 보는 사람으로 하 여금 혼동의 소지를 줄 수 인자를 자체적으로 배제하는 이점 이 있다.
우선 아래와 같이 4가지 단면의 일부분을 재구성하여 완성 된 면의 중심을 단면 재구성 포인트라고 일시적으로 부르기로 한다면 단면재구성 포인트를 구좌표계상에서 조절하는 수학적 해석이 존재한다.
2.1. 구좌표계를 이용한 3차원 상 임의의 단면의 벡터 해석
<기본 가정>
→K・→
→ F=0 F・→
→ T=0 T・→
K=0
구 좌표계에서 r, θ, φ로 결정된 한 점을 terminal point, 3차 원 중심을 initial point로 정의되는 벡터를→
K라고 부르기로 한 다. 그리고 →
K의 terminal point를 initial point, z축의 한 점을
Fig. 1.개요1
Fig. 2. 단면의 중심의 중요성
Fig. 3. 단면에 수직인→
K로 유도할 수 있는 단면 구성의 중요 두 벡터( x, y축 단위 증가량)
terminal point로 정의 되는 벡터를 →→
F 라 부르기로 한다. 아직 정해지지 않은 →
F 의 terminal point는→ F와→
K와 이루는 각도가 직각이라는 기본 가정으로 구한다.
→T는 →
F 와 이루는 각도가 직각이라는 기본가정과 이로부터 내부적으로 내포하는 z축의 component는 0이라는 점으로 얻 는다. →
F 의 방향이 z축의 어느 한 점을 향한다는 관점은 구좌표계 를 기반으로→
UF와→
UT로 얻은 단면의 중심에서의 단면의 법선 벡터 (→
k)는 3차원 중심을 향한다는 의미이고, 이러한 관점은 3차원의 모든 단면을 응시할 수는 없다는 한계와 단면을 응시 하는 데 일관성이 있다는 점으로 컴퓨터 프로그램을 이용하여 이를 관철하는데 효과적이라는 장점을 내포한다.
구체적으로→ K, →
T, →
F , 각 벡터의 component는 다음과 같이 구해진다. 기본적으로 사용자가 실제적으로 조정할수 있는 인 자는 구좌표계안의 radius, azimuth, elevation parameter 이 다.
구좌표계상 radius, azimuth, elevation로 단면재구성 포인트 (a,b,c)를 나태낼 수 있다.
a=γ×sinθ×cosф b=γ×sinθ×sinф c=γ×cosθ
원점에서 (a,b,c)점을 바라볼때 벡터를 지정할 수 있다.
→K=ai+bj+ck
이 벡터와 수직한 단면의 가로축 정보는→
T, 세로축 정보를
→F라고 하였을때→ T와→
F는 다음과 같이 구할 수 있다.
→F를 구해 보자. 우선→
G는 원점에서 (0, 0, c’)점을 바라 볼 때 지정된 벡터이다.
→G=c’k
→K와→
F 그리고→
G가 직각 삼각형을 이루어 피타고라스 정리 를 이용해 →
G를 구할 수 있다.
‖→
K‖2+‖→ F‖2+‖→
G‖2
c’2=a2+b2+c2+(-a)2+(-b)2+(c’-c)2
c’=a2+b2+c2 c
→G=0・i+0・j+ a2+b2+c2 c k
→F=→ G-→
K 이므로→
F는 다음과 같다.
→F=-ai-bj+(c’-c)k
→F=-ai-bj+(a2+b2 c )k
그리고→
F의 단위 벡터는 이와 같다.
→T를 구하는 과정이다.
assume →
T=pi+qj로 가정한다면
→K ・→
T=0 관계로 단면 구성하는 프로그램상 for문의 증분 대상인→
T의 단위벡터는 다음과 같다.
p=- b a q
→T=- b qi+qj a
→T와→
F의 단위 벡터는 결과적으로 for문내부 변수의 증분 대 상이 된다.
2.2. 벡터 해석에 따른 단면의 구성의 프로그램적 이해
2.2.1. 단면만 포함한 2차원적 정보
단면에 3차원적 정보를 추가하기 전으로, 즉 3차원 물체를 단면을 보기위해 자른 상태를 사용자가 직접 보는 장면을 시 각화하기 전에 우선 첫 번째 단계로 2차원 단면만을 벡터 해 석 과정을 통해 얻는다.
구체적인 단면 생성 해석방법의 프로그램 구성도는 다음과
→UF= 1
×→ F (-a)2+(-b)2+ a2+b2
c
→UT= 1 1 → T (- b
)2+1 q a
→UT= 1 (- b
i+j ) (7) (- b
)2+1 a a
Fig. 4. 구 좌표계를 이루는 중요 인자들
같다.
단면 재구성 포인트인 a, b, c변수를 선언 한다. 이로부터 단 면의 가로, 세로 증분 값에 해당하는 각 컴포넌트를 구하게 되 고 이를 2중 for 문 내부에서 3차원 배열 각 해당 영역에 연산 하여 단면재구성 포인트로부터, 즉 →
K의 terminal point로부터 해당 단면 영상을 생성한다.
기본적으로 3차원 배열 데이터의 해당 주소는 음수로 지정 할 수 없기 때문에 3차원 좌표계의 원점을 데이터의 정중앙값 으로 지정함으로써 원점을 가상 초점으로 고정하기 위해 단
면-생성-프로그램내부에서 이를 고려한다.
결과적으로 단면 재구성 포인트를 중심으로 하여 구성된 4 개의 분할 영상과 이로부터 재조합된 영상을 얻게된다.
2.2.2. 크기 재조정을 통해 단면의 연속성 유지
사용자가 컴퓨터 화면을 통해서 단면을 본는 도중에는 단면 의 중심을 움직일 때마다 단면의 중심이 화면의 어떠한 고정 된 위치에 있어야 한다. matlab상 에는 단면자체를 화면의 일 정 영역으로 고정시키기 때문에 단면의 중심, →
K의 terminal point(a, b, c)을 움직일 때마다 생성된 단면들의 중심이 화면 의 같은 위치에 놓이지 않는다. 이는 matlab figure창 자체가 영상의 크기를 위주로 설계되었기 때문이다. 따라서 3차원영상 의 단면의 크기가 최대인 경우를 고려하여 이 값을 기본 2차
Fig. 5. 단면 생성 알고리즘
Fig. 6. 원점 이동(volview kitware 화면 이용)
Fig. 7. 분할 영상들의reconstruction
원 영상의 크기로 잡아 단면을 표시한다. 이 경우, 단면의 크 기를 u by u라고 한다면 79×79+95×95+68×68=60을
2 최대 한계값으로 둘 수 있다.
그럼에도 불구하고 u by u 크기의 단면에서도 불필요한 부 분이 존재한다.
2.2.3. 단면에 3차원 정보를 첨가한 후처리 과정
방위각 경도, 반지름의 값으로부터 단면이 3차원 뇌 영상이 현재 어느 위치에 해당하는지 가늠하고 원하는 단면을 가늠하 기위해 조절인자를 이용하는 것은 바람직하지 않다. 정확하지 않고 예측하기 어렵기 때문이다.
x축 y축 단위 증가량을 통한 단면을 생성하는 2중 for문 아 래 →
Uk의 정수배((5),(6),(7))만큼 해당하는 여백에 해당하는 단면 부분에 0보다 큰 최소의 정수(8)로 값을 채운다. 수학적 이지는 않지만 실험적으로 u가 60인 값에서 잡을 수 있는 가 능한 단면의 여백이 단면의 위치를 가늠하는 것을 도와주는 영 상으로 채워진다.
결국 아래의 프로그램 과정을 통하여 구 좌표계 조절인자에 따른 단면을 해치지 않고 한 화면에 3차원적 image가 형성되 게 된다.
2.2.4. 단면의 윤곽화
단면이외의 여백의 영역에서의 단면의 위치를 가늠하게 해 주는 정보는 단면의 영역을 제시하는 여백의 기능을 갖지 않 아 단면의 경계를 모호하게 할 소지가 있다. 단면의 윤곽을 나
Fig. 8. 단면생성하고 단면의 크기 조정하는 알고리즘
Fig. 10. 3차원 위에서 단면 표시 알고리즘
Fig. 9. 원 단면 영상과 여백이 제거된 영상
Fig. 11. 여백이 제거된 영상과 여백을3차원 형상으로 대체한 영상
타내게 하는 선을 처리함으로써 잘려진 물체의 3차원 형상을 가시화 할 수 있다.
단면과 여백사이의 경계선을 검출하는 FOR 문(2)에서 단면 과 비교대상인 여백부분이 존재해야 하므로 (1)FOR 문에서 단 면이외의 3차원 상 위치를 알려주는 정보가 존재하는 여백에 0 값을 채워 넣게 된다.
그런 후 3차원 형상에서 단면을 부각시키는 윤곽선을 생성 한다. 구체적인으로 알아보자. (3)의 IF 문들은 3차원적 형상 과 단면이 함께 있는 평면의 모든 점(P) 각각에서 P값이 0이
아닌 경우 P와 인접한 화소 값이 0인 경우 이는 경계선을 위 한 한 점의 값으로 바뀐다.
(4)는 만일 여백 값이 경계선의 값과 같으면 단면을 부각하 는 경계선의 존재를 무시하지 못하도록 하는 역할을 하여, 단 면 이외의 여백 공간에 단면의 위치를 나타내는 3차원 형상을
생성하는 부분이다.
2. 3. 벡터해석을 통한 단면해석 프로그램의 실험적 평가
2.3.1. 조절 인자로 잡힌 단면의 3차원적 신뢰
구좌표계의 조절인자 r을 감소, azimuth를 증가, elevation을 증가시킴에 따라 단면이 올바르게 생성되었는지 확인을 거쳤
Fig. 12. 3차원 위의 단면을 가시화하기 위한 윤곽선 생성 알고리즘
Fig. 13. 3차원 형상과 단면이 혼재한 영상과 단면 부각을 위한 윤곽선 처 리된 영상
주황색: 윤곽선 영역
다. 결과는 긍정적이다.
3. 응용법: 자동 원형 경로 생성법 3. 1. 변수 정의 (αβ)
단면재구성 포인트(a, b, c)이 원점과 대칭인 점을 가상하고
단면재구성 포인트와 더불어 이루는 원은 수많이 있다. 구-형 상에서 선택한 하나의 원을 단면재구성 포인트가 이동하는 경 로 지정한다면 단면 재구성 포인트가 경로를 따라 움직임에 따 른 결과적인 단면은 연속적이고 우리가 예측도 가능하다는 장 점 때문에 3차원 영상자체를 실제적으로 이해하고 인식하는데 상당한 도움을 줄 수 있다고 사료한다
구-형상의 단면재구성 포인트의 수많은 원형경로 중 하나를 선택하는 인자가 α(단위:°or raa)이고, α에 의한 원형경로 형
Fig. 14. 조절인자r을 감소에 따른 단면 변화 양상
Fig. 17. α값이 증가함에 따른 원의 경로와 α의 정의 Fig. 15. 조절인자azimuth를 증가에 따른 단면 변화 양상
Fig. 16. 조절인자elevation을 증가에 따른 단면 변화 양상
성을 이루는 원형인 특성벡터 →
UI를 다음과 같다.
→UI= →
UF×cos(α)+→
UT×cos(α)
α로 선택된 원의 경로에서 단면 재구성 포인트를 어느 정도 움직일 수 있는 지를 결정하기 위한 회전 인자를 β라고 두고, 재구성된 단면재구성 포인트를 원점에서 바라보았을 때 벡터
가 존재하고 이는 아래와 같다.
3.2. 특성
α로 정한 원의 경로를 통해 이동된 단면을 나타내는→ K는 바 로 이동 이전의 단면의→
K로 인해 계산되기 때문에, 즉 이동을 할 때마다 각각→
K가 재 수정을 거치기 때문에 α로 정해진 원
의 경로를 계속 탈 수 있을까라는 의문이 생길 수 있다. 원의 경로를 위해 정한 α값을 변경시키지 않은 상태로 β값을 바꾸 어 단면을 이동시키면 계속 원하는 원의 경로를 이동 전 또는 후의 →
K의 terminal이 타기 때문에 이로 인한 문제는 없다.
또한 만일 일정한 α값으로 정해진 원의경로를 타는 → K로 단 면이 재생성 되는 과정에서, α값을 변화 시킨다면 움직인 (변 화된) →
K의 terminal point와 이 점이 원점을 기준으로 대칭인
Fig. 18. β값에 따르는→ UK정의
→UK’= [→
UI×sin(β)+→
UK×cos(β)]
→K’= [→
UI×sin(β)+→
UK×cos(β)]×‖→ K‖
Fig. 19.α로 정해진 원의 경로로→
K가 β값만큼 회전된 벡터, → K의 정의
Fig. 20. 한 점에서의 원의 경로를 따라 β값만큼 단면의 중심이 이동되면 기
존의 원의 경로는 무시되고 새로운 원의 경로들이 재생성된다. 하지만 α가 일정함에 따라 기존에 선택된 하나의 경로 위를→
K의terminal point, 즉 단면 의 중심이(a, b, c) 이 움직일 수 있다.
점으로 구성될 수 있는 원의 경로들 중의 하나가 재 경로화됨 을 알 수 있다.
쉬운 비유로 우리가 길을 가는 도중 사거리에서 좌회전을 하 기위해 몸을 왼쪽으로 90도 뒤트는 것과 유사하다고 볼 수 있 다.
3.3. 실험을 통한 자동 경로 생성법의 신뢰성
단면-재구성-포인트에 의해 형성된 단면을 자동경로 생성 법을 적용하기위해 α가 10도, 20도 30도일 경우 각각에서 β를 10도, 20도, 30도 40도 변화시킨 결과는 다음과 같다. 단면들 의 연속적인 성향을 띄고 물체(뇌)의 형태를 올바르게 잡을 수 있음으로써 본 자동 경로 생성법이 신뢰성을 올바르게 고려할 수 있다.
4. 결 론
3차원 회전 가능한 영역에서 축 회전 파라미터와 기본 평면 형태의 대칭성으로부터 한 점(P)에서 고려될 수 있는 모든 단 면을 나타 낼 수 있는 방법을 설명되었다. 한 포인트에서 서로 orthogonal한 시상, 관상, 횡단면에서 축 회전 정도가 표시하는 인터페이스로 회전적 요소에 기인한 단면의 위치를 고려하는 프로그램을 설계하였다. 뿐만 아니라 대칭적 단면처리 요구 시 3차원 크기의 영상 배열의 모든 점에서 한 점(P)을 선택하는 두 가지 방법이 제시 되었다. 첫째로 기존의 방식중 하나로 시 상, 관상, 횡단면 중에서 선택된 것의 모든 슬라이드가 나열된 상태에서 두 도움 변수를 이용하여 P를 구하는 알고리즘이다.
둘째는 여기서 소개한 새롭게 제시하는 방식으로 구 좌표계 조 절 인자로 조절되는 →
K의 terminal point, 즉 단면의 중심을 검 출하여, 법선 벡터가→
K와 직각을 이루는 평면에서의 단면을 구 성되는 법(method)이다.
점(P)가 움직일 수 있는 수많은 원 형의 경로 들 중 하나를 α로 지정하고 원형 경로 상 움직이는 정도를 β로 지정하여, 단
Fig. 21.β값이 증가함에 따른→
K의 이동
Fig. 22. →
K가 초기치(9i+22j+ 2k), α가0도인 경로에서 β를10도씩 움직인 경 우 단면
Fig. 23.→
K가 초기치(9i+22j+ 2k), α가30도인 경로에서 β를10도씩 움직인 경우 단면
면-재구성-포인트의 움직임을 예상할 수 있고, 경로에 따른 이 포인트의 이동-가능한 경로들이 재생성되는 자동 경로 생 성법을 소개하였다.
구좌표계를 이용한 단면의 벡터 해석적 접근과 자동 경로 생 성법은 3d scan의 의학적 시각화에 이용되는 여타 프로그램의 3차원 영상으로 내부를 가시화는 부분에서 응용이 될 소지있 어, 단면을 판단함에 유리하고 효율적이기에 진단에 미시적이 나마 도움을 줄 수 있겠다.
참 고 문 헌
1. 김창근, Matlab의 사용법과 그 응용, 교우사, 서울,2002 2. 용호택, 박익근, 박장식, Matlab 공학응용, 아진, 서울, 2002 3. 임종수, Matlab 완벽가이드 II, 아진, 서울, 2000
4. Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, Steven L. Eddins, MATLAB 을 이용한 디지털 영상 처리, 아이티 씨, 서울, 2004 5. Dennis D. Zill, Michael R.cullen, ADVANCED ENGINEER-
ING ATHEMATICS, Jones and Bartlett Publishers, Toronto,2000
6. 정성태, VISUAL C++을 이용한 실용 영상 처리, 생능출 판사, 파주, 2005
대한PACS학회지 2005;11:95-104
=초 록=
3차원 회전 가능한 영역에서 축 회전 파라미터와 기본 평면 형태의 대칭성으로부터 한 점(P)에서 고려될 수 있는 모든 단면을 나타 낼 수 있는 방법을 설명되었다. 한 포인트에서 서로 orthogonal한 시상, 관상, 횡단면에서 축 회전 정도가 표시하는 인터페이스로 회전적 요소에 기인한 단면의 위치를 고려하는 프로그램을 설계하였다. 뿐만 아니 라 대칭적 단면처리 요구 시 3차원 크기의 영상 배열의 모든 점에서 한 점(P)을 선택하는 두 가지 방법이 제시 되었 다. 첫째로 기존의 방식중 하나로 시상, 관상, 횡단면 중에서 선택된 것의 모든 슬라이드가 나열된 상태에서 두 도움 변수를 이용하여 P를 구하는 알고리즘이다. 둘째는 여기서 소개한 새롭게 제시하는 방식으로 구 좌표계 조절 인자 로 조절되는→
K의 terminal point, 즉 단면의 중심을 검출하여, 법선 벡터가→
K와 직각을 이루는 평면에서의 단면을 구성되는 법(method)이다. 점(P)가 움직일 수 있는 수많은 원 형의 경로 들 중 하나를 α로 지정하고 원형 경로 상 움직이는 정도를 β로 지정하여, 단면-재구성-포인트의 움직임을 예상할 수 있고, 경로에 따른 이 포인트의 이동- 가능한 경로들이 재생성되는 자동 경로 생성법을 소개하였다. 구좌표계를 이용한 단면의 벡터 해석적 접근과 자동 경로 생성법은 3d scan의 의학적 시각화에 이용되는 여타 프로그램의 3차원 영상으로 내부를 가시화는 부분에서 응용이 될 소지있어, 단면을 판단함에 유리하고 효율적이기에 진단에 미시적이나마 도움을 줄 수 있겠다.
