Digital Watermark for Copyright Protection of Multimedia Contents

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Digital Watermark for Copyright Protection of

Multimedia Contents

Feb. 3, 2005

Dongeui University Jae-Gark Choi

cjg@deu.ac.kr

.

Contents

Sec. 1 Introduction

Sec. 2 Overview of Digital Watermark

Sec. 3 An Improved Watermark Detection

Method based on Correlation Analysis

.

Sec. 1 Introduction

• 컴퓨터와 인터넷에 의한 MM 의 디지털화

• digital data 는 analog data 에 비해 저장 및 편집 용이

• 누구나 digital data 의 내용을 쉽게 변형 및 복제 가능

• digital data 는 원본과 복사본의 구분이 불가능

 저작권 보호문제가 심각하게 대두 .

Ex. MP3 File: 저작권 보호 대책없이 대중화 , 해결노력

• MM 정보보호 새로운 수단으로서 Watermarking 등장

.

Sec. 2 Overview of Digital Watermark

• Definition

– MM 에 지적 소유권자의 mark 를 삽입 , 저작권 확인시 삽입한 WM 를 검출 , MM 의 저작권을 주장

– 삽입한 마크를 watermark

– mark 를 삽입 및 검출하는 기술을 watermarking

– 저작권 보호를 위해 MM 에 심어 두는 감지되지 않는 신호 / 정보 – Audio, Image, Video, 3D Geometric model, Text 에 적용가능

.

History

•

steganography( ^“ covered ^{” + “} to write ^”)

Greek

•

origin

•

Tirkel

digital watermark ”

• Now, digital WM receive remarkable attention.

• Number of Publication on Digital Watermarking by INSPEC

Year 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Publication 2 2 4 13 29 64 103 ?

.

Watermark Types

• Visibility

– Visible: visual message like Logo – Invisible

• Robustness

– Fragile – Robust

• Embedding domain

– Spatial domain watermarking

– Frequency domain watermarking(DCT, DFT, DWT) – Fractal domain watermarking

• Need of original content for watermark detection

– Non-Blind watermarking : 원영상 필요 – Blind watermarking: 원영상 불필요

• Readable 과 Detectable 기법

– Detectable : 워터마크의 존재 여부만을 판단 – Readable : 워터마크 내에 정보 삽입

.

Applications

• Copyright Protection

• Fingerprinting

• Copy Protection: DVD

– CCI (Copy Control Information) : Never, One, No More, Free Copy

• Broadcast Monitoring

• Authentication and Integrity Check

• Medical Safety

• Data Hiding

• Etc.

.

Watermarking Requirements(1)

• Imperceptibility ( 무감지성 )

– 워터마크의 삽입으로 인해 저작물의 품질이 저하되어서는 안됨 .

• Robustness ( 강인성 )

– 삽입된 WM 는 의도 / 비의도적 영상 변형에 의해 삭제 불가능 해야 함 .

• Security ( 보안성 )

– WM 삽입 과정이 알려진다 하더라도 key 를 모르는 상태에서는 불법적 인 WM 삭제 불가능 ( 암호와 유사 )

• Unambiguousness ( 명확성 )

– WM 삽입 영상에 대해 명확한 소유권 증명 방법이 있어야 함 .

– non-blind 방식 : 명확성이 없음 .( 워터마크 검출시 원영상을 사용 )

• Number of bits which can be hidden ( 충분한 정보의 삽입 )

– invisibility & roustness 를 고려한 정보량의 자동 결정 필요 – 저작물의 번호 , 구매자에 대한 정보 수록 , 많은 정보 삽입 필요  invisibility & roustness 저하

• Low decision error probability ( 낮은 검출 오류 확률 )

.

Watermarking Requirements(2)

 모든 조건 만족 어려움 .

Watermark Type Application Invisible & robust

watermark

Right management, Identification

Invisible & fragile Integrity check, Authentication Visible & non-

reversible Content distribution Visible & reversible Ownership claiming

.

공격의 종류

• Waveform Attacks ( 파형공격 )

– Lossy compression (JPEG, MPEG) – Filtering, Cropping, Thresholding – Analog to Digital Conversion

• Synchronization Attacks ( 동기공격 )

– Geometric transformation

• rotation

• translation

• warping

• resizing

• enhancement

• etc

 특히 취약

.

The Relationship between

Watermarking & Spread Spectrum Communication

SS 통신에서 잡음  워터마킹에서 영상신호 SS 통신에서 정보  워터마킹에서 워터마크 대역확산전의 정보와 잡음

워터마킹전의 WM 와 영상

대역확산후의 정보와 잡음 워터마킹후의 WM 와 영상

pixel bit

W C

bit W

C

I w n

s ) /sec log (1 ) /

1 (

log ₂

2 2 2

2

2













 

pwr pwr

• Watermarking is similar to Spread Spectrum Communication.

.

Watermark Information Bit per Pixel (1)

• Reliable transmission of wm is possible, if its information rate does not excee d C

• Conditions to increase channnel capacity – Large _w²:  fixed value for invisibility – Small variance of the original image (_s²)

pixel bit

W C bit

W C

I w n

s ) /sec log (1 ) /

1 (

log ₂

2 2 2

2

2 





 _{  }





communication watermarking

C 채널용량

에러없이 채널에 전송할 수 있는 최 대 정보 전송률

bit / sec

에러없이 영상에 삽입할 수 있는 최대 정보량

bit / pixel W

대역폭

Hz

cycles / sec

W=W_s•W_b

cycle / pixel  W_b = 1 W_s : 영상의 크기

SNR 신호 대 잡음비

_s² / _n²

워터마크전력 대 영상전력 비

_w² / _I²

.

Watermark Information Bit per Pixel (2)

2) log ln

) 1 ( log log

) 1 ( log (

/ ) 2(

ln

/ ) 2(

ln 1

1

&

1 if

factor headroom

is where /

) 1

( log

/ )

1 ( log

/ )

1 ( log

2 2

2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

e x x

x e

x

image W bit

C pixel

bit C

W

pixel bit

W C

pixel bit

W C

image bit

W W C

e

I w s

I w b

b I

w

I w b

b

I w b

b

I w b

s















































 











• 512x512 Lenna image can carry 50, 200, 450 bits according to k=1, 2, 3 and =3

 _w²=1 (k=1) & W_s=512x512 & _I²=2521  C=50

 _w²=4 (k=2) & W_s=512x512 & _I²=2521  C=200

 _w²=9 (k=3) & W_s=512x512 & _I²=2521  C=450

.

Block Diagram of Watermark Embedding

WMed Ima ge

I

(x,y)

Random Pattern {-1, 1}

Key

Readable watermarki

ng

Information (b₀b₁b₂…b_n-1) b=0: -1, b=1:

1

X k

Original Image

I(x,y)

+ 

+

RP: White Noise( ) )

( _w²  Rw 

Watermark - Random Pattern

- Binary Bit

f

N₀

자기상관함수

) (

Rw ^Gw^{( f )}

에너지밀도함수





.

Block Diagram of Watermark Detection

Test Image

I

w

(x,y)

Random Pattern {-1, 1}

Key



Original Image

I(x,y)

Correlator Existence or/ not Information

b₀b₁b₂…b_n-1

Non-Blind/

Private Watermarking

+ -

RP: White Noise( ) )

( _w²  Rw 

수신된 신호에서 잡음 ( 원영상 ) 제거후 신호 검출하는 형태

.

Watermarking Techniques According to Embedi ng Domain

• Spatial domain watermarking

– 원영상에 직접 WM 를 삽입 ( 밝기세기를 직접 변화 )

– 다양한 영상신호처리 ( 압축 , 필터링 등 ) 과정시 WM 손실 큼 . – 삽입되는 WM 신호의 양이 적음 .

– 불건전한 제 3 자의 고의적 공격에 취약함 .

• Frequency domain watermarking

– 주파수 변환 뒤 , 주파수 계수에 WM 를 삽입 – DCT, DFT, DWT

– 인간의 시각특성 ( 저주파 민감 , 고주파 둔감 ) – WM 가 삽입될 적절한 주파수 대역의 선택이 핵심 .

– 저 / 고 중간대역에 WM 삽입 후 , 역변환 , WM 가 전영상에 분산 – 화질저하감소 , 공격에 강함 .

H

L H

Frequency Transformation

.

Spatial Domain Watermarking(1)

Correlation-Based Detectable Watermark Technique

• Watermark Embedding Procedure: Iw(x,y)= I(x,y) + k W(x,y)

+

k

X

I(x,y )

I_w(x,y)

W(x,y): Pseudorandom pattern {-1, 1}

.

Spatial Domain Watermarking(2)

Correlation-Based Detectable Watermark Technique

• Watermark Detectin Procedure:

– Correlation Response Z between I_w(x,y) and W(x,y)

– if

z

present

absent





























0 1 2

0 1

0

) 1 (

) ( )]

( ))

( )

( 1 [(

)

1 (

i L

i L

i

i L w

i w i

I i

w i

L I i

L d z



X 

I(i) w(i) + d(i)

-

z correlator

r(i) = I(i) + w(i)

.

Spatial Domain Watermarking(3)

Correlation-Based Readable Watermark Technique

• Watermark Embedding Procedure: add wm to each subimage

+

k

X

I(x,y) I_w(x,y)=

I(x,y) + k W(x,y)

W(x,y): Pseudorandom pattern {-1, 1}

b

0

b

1

b

2

b b 3

4

b

5

b

6

b

7

b₁

5

b=0 : -1 b=1 :

1

X

I₀ I₁ I₂ I₃ I₄ I₅ I₆ I₇

I₁₅

.

Spatial Domain Watermarking(4)

Correlation-Based Readable Watermark Technique

• Watermark Detection Procedure:

I’(x,y) Test Image

W(x,y): Pseudorandom pattern {-1, 1}

b

0

b

1

b

2

b b 3

4

b

5

b

6

b

7

b₁

5

I₀ I₁ I₂ I₃ I₄ I₅ I₆ I₇

I₁₅

block-wise correlator

b

0

b

1

b

2

b b 3

4

b

5

b

6

b

7

b₁

5

b=0 : -1 b=1 :

1

.

Spatial Domain Watermarking(5)

Correlation-Based Readable Watermark Technique

• Watermark Generation

– Sequence of information bits (e.g. serial number) : a_j  {1, 1 } – Spread sequence : b_j =a_j, j cr  i < (j+1)  cr (cr=chip-rate) – Pseudo-noise sequence (PN seq.) : p_j  {1, 1 }

– Watermark : w_j = b_j p_j

– Watermarked image : v_j’ = v_j +b_j p_j

b_j a_j

cr=10 PN seq (p_j)

PNb_j (p_jx b_j)

.

• Detection of watermark - private version

– Corrupt watermarked image :

v

– Information bit

a

s

• Detection of watermark - public version

i i

cr j

cr

j i i

cr j

cr j

cr j

cr

j i

i j

a cr

b cr

b p

v p v

p s























   























 ^{( 1) 1 2}

1 ) 1

(

"

( )





 

else rand

n of

probabilty

p_i^public pⁱ

}, 1 , 1 {

) / 1 _(

_ ,

n a s^public_j cr  ^j





Spatial Domain Watermarking(6)

Correlation-Based Readable Watermark

Technique

.

Spatial Domain Watermarking(7)

Direct Sequence CDMA Spread Spectrum watermarin g

-1 1 -1

1 -1 -1 -1 -1

1 1 1

-1 -1 1

1 1

1 -1 -1

-1 1 1

-1 1

-1 -1 -1

1 -1 1

1 -1

-1 1 1

-1 -1 -1

1 1

1 -1 1

-1 1 1 -1 -1

-1 -1 -1

1 1 -1

1 -1

b₀:0 b₁:0 b₂:1 b₃:1 b₄:0 b₅:1 b₆:0

RP₀ RP₁ RP₂ RP₃ RP₄ RP₅ RP₆

-3 5 1

1 -3 -7

3 1



+ + - - + - +

W

9 8 9 9 8 7

9 7 9 9 8 7 9

6 9

+

I

9 5

10 9 3 8

9 8

9 9 5 0 9 9

9

=

I_w

.

Spatial Domain Watermarking(8)

Direct Sequence CDMA Spread Spectrum watermarin g

E[ (RP

-E[RP

])•(I

-E[I

]) ] = +15.6  b

= 0

E[ (RP

-E[RP

])•(I

-E[I

]) ] = +16.4  b

= 0

E[ (RP

-E[RP

])•(I

-E[I

]) ] = -26.4  b

= 1

E[ (RP

-E[RP

])•(I

-E[I

]) ] = - 3.1  b

= 1

E[ (RP

-E[RP

])•(I

-E[I

]) ] = +21.6  b

= 0

E[ (RP

-E[RP

])•(I

-E[I

]) ] = -23.6  b

= 1

E[ (RP

-E[RP

])•(I

-E[I

]) ] = + 0.4  b

= 0

.

Watermarking in Frequency Domain

• 주파수 변환 (DCT) 뒤 , 주파수 계수에 WM 를 삽입

• 인간의 시각특성상 중간 주파수 대역에 삽입

• 주파수영역의 WM 는 제 3 자의 고의적 공격 , 영상처리에 강한 특성

• 주 연구 대상 (WM in S. Domain  WM in F. Domain)

• 주파수 변환 방법으로 DCT 가 가장 보편적으로 사용 .

• DCT  DWT

• 기존연구 :

– Ingemar J. Cox: address WM in DCT Domain – M. Barni

– Adrian G. Bors

– Michell D. Swanson

.

대표적인 워터마킹 기법 -Cox 방식 (1)

• 현재 가장 널리 사용되는 워터마킹 기법

– Spread spectrum 의 원리에 기반한 방법 – Cox 방식

• 특징

– 알고리즘 공개 기반

– 워터마크 = 백색잡음 (white noise) : detectable watermarking

• Pseudo-random number

– Key = random number 의 seed value – 워터마크의 검출

• Correlation-based technique

• 원영상의 차신호 이용  올바른 저작권 증명 불가능 – 강인성 (robustness)

• 시각적으로 중요한 부분에 워터마크 삽입

– 주파수 영역에서 중간 대역 & 크기가 큰 계수 에 삽입  워터마 크의 제거 시 현저한 화질 저하 초래

.

• 워터마크의 삽입

– 워터마크의 자기 상관 함수

– Invisibility 와 Robustness 를 고려한 워터마크의 변조

• Robustness : 원 신호의 크기와 워터마크의 크기가 비례하 도록 변조

• Invisibility : 눈에 띄지 않고  조절 – 워터마킹된 영상 :

) ( )]

( ) (

[ )

(   

 

w

E w n w n

R   

) (

| ) (

| )

( )

(

' n X n X n w n

X   

) (

| ) (

| )

(

' n X n w n

w  

대표적인 워터마킹 기법 -Cox 방식 (2)

.

• 워터마크의 검출

– 입력신호 :

– Correlator 의 출력 :

+ X



r(n)

X(n) w(n)

d(n) Correlator

+ -

































1 0 1

0 2 1

0

) ( ) 1 (

) 1 (

) ( )]

( ))

( )

( ) ( 1 [(

) (

L n L

n L

n

n w n L N

n L w

n w n X n

N n w n L X

n O

대표적인 워터마킹 기법 -Cox 방식 (3)

)) ( )

(

| ) (

| ) ( ) ( (

) ( )

( )

( ) (

n N n

w n x n

x n r

n N n

w n

x n

r















.

Watermark Embedding in DCT by J.

Cox

• Procedure

– NxN 원영상 I NxN DCT coefficients

– DCT 계수를 zig-zag sacn: T={ t₁ , t₂ , … , t_L , t_L+1 , … , t_L+M , … , t_NxN } – WM 신호 삽입 대역 선택 (L & M 결정 ): T = { tT _L , t_L+1 , … , t_L+M }

• L 이 작아지면 저주파 영역에 , M 이 커지면 고주파 영역에 WM 가 삽입

• L & M 의 적절한 선택이 매우 중요

– T 에 WM 신호 삽입 : t’T _L+i = t_L+i +  t_L+iwi , i = 1, 2, 3, … , M

• WM W = { w1 , w2 , w3, … , wM }: N(0,1) 로 발생된 랜덤한 실수값

– T’ = { t’T’ _L , t’_L+1 , … , t’_L+M } 를 T 에 포함하여 WM 가 삽입된 DCT 계수 T’={ t₁ , t₂ , … , t’_L , t’_L+1 , … , t’_L+M , … , t_NxN } 를 생성 .

– 계수 T’ 을 inverse zig-zag scan

– IDCT 하면 WM 가 삽입된 영상 I’ 을 생성

• WM 삽입 대역 L&M 선택과  설정이 매우 중요

DCT N

x N

.

Watermark Detection in DCT by J. Cox

• WM detection

– 검출시 원영상이 필요한 경우 : Ingemar J. Cox

 보다 효율적인 WM 삽입 가능 (WM 삽입 대역을 적응적으로 선택가 )

 WM 검출시 원영상이 있어야 함 .

– 검출시 원영상이 필요없는 경우 : M. Barni

• Procedure

– Test 영상 J NxN DCT coefficients

– zig-zag scan 하여 T* = { t*₁ , t*₂ , … , t*_L , t*_L+1 , … , t*_L+M , … , t*_NxN } – T* 중 WM 가 삽입되는 대역인 {t_L , t_L+1 , … , t_L+M } 에 대해 WM 를 검출

 WM 신호 W 는 소유자 만이 아는 M 개의 실수로 security 를 결정

 삽입에 사용된 WM W 와 같은 WM W 로 검출시 Detect Response Z 가 큰 값을 보임 . (WM 는 whiteness 를 가지므로 )

DCT N

x N





 ^M

i i M

i

i i

L w w

t Z

1 2 1

*

.

WM 시스템 설계시의고려 사항

• WM 신호 크기와 영상화질 저하 관계

– WM 신호 크기 클수록 다양한 공격로부터 강한 특성 & WM 검출 용이 . – WM 크기가 너무 크면 화질저하 초래 , WM 삽입됨을 쉽게 감지

– 적절한 WM 신호크기 선택이 중요

• WM 를 삽입할 적절한 주파수 영역의 선택

– 인간의 시각특성 : 고주파에 둔감 , 저주파에 민감

– 현재의 영상압축기술은 고주파 신호의 중복성 제거 이용

– WM 를 저주파 대역에 삽입 : 압축시 WM 손실적지만 , 화질저하발생 – WM 를 고주파 대역에 삽입 : 화질저하 적어지지만 , 압축시 WM 손실 – 따라서 중간대역에 WM 삽입

• WM 시스템의 안정성

– WM 시스템도 알고리즘 공개 , 안정성은 key 에 의존

– WM 는 특정 key 로 부터 발생 , 발생된 WM 나 WM 삽입 영상부터 key 유추불가

.

Rightful Ownership Ensurence(1) against insertion of illegal

watermarks

• Watermark algorithm

– Type 1 : detection using original image

– Type 2 : detection not using original image

• Is rightful ownership ensured if owner preserves the original image ?



X 

r(i)

x(i) w(i)

+ d(i)

-

z correlator

X 

r(i)

w(i)

d(i) z

correlator

(a) type1 (b) type2

r(i) = x(i) + w(i)

.

• Type 1

– 원소유주의 경우 : [(x+w)- x] w

= w

– 해적의 경우 : [(x+w)- (x+w-wf )] w_f

= w

원영상에 상대방의 워터마크가 없는 자가 진짜 소유자

 원소유자의 원영상 x 에 해적의 wf 가 있는지 확인 :

[x- (x+w-wf )] wf = wf2  원소유자의 원영상에 wf 가 존재로 판정

 해적의 원영상 x+w-wf 에 원소유주의 w 가 있는지 확인 : [(x+w-wf )-x] w= w²  해적의 원영상에 w 가 존재로 판정

 Type 1

의 경우 Rightful Ownership 증명이 불가능

x+w 워터마킹된 영상 x+w

w_f 워터마크 w

x+w-w_f 원영상 x

해 적 원소유주

Rightful Ownership Ensurence(2)

.

• Type 2

– 원소유주의 경우 : [(x+w)] w

= w

– 해적의 경우 : [(x+w)] wf

= 0

x+w+w

 원소유주의 경우 : [(x+w+wf )] w= w²  소유권 증명

 해적의 경우 : [(x+w+wf )] wf = wf2  소유권 증명

 각자의 원영상에 상대방의 워터마크가 있는지 확인

 원소유자의 원영상 x 에 해적의 wf 가 있는지 확인 : (x) wf = 0  원소유자의 원영상에 wf 가 없음으로 판정

 해적의 원영상 x+w+wf 에 원소유주의 w 가 있는지 확인 : (x+w+wf ) w= w²  해적의 원영상에 w 가 존재로 판정

 Type 2

의 경우 Rightful Ownership 증명이 가능

x+w 워터마킹된 영상 x+w

w_f 워터마크 w

x+w-wf

원영상 x

해 적 원소유주

Rightful Ownership Ensurence(3)

.

System Demo

.

An Improved Watermark Detection

Method Through Correlation Analysis

This work was supported by Korea Research Foundation Grant KRF-1999-041-E00253

.

Watermark Detection

• Watermark detection

– correlation response,

– if z > threshold, watermark is said to be present, otherwise, watermark is said to be

absent.

• Types of watermark detectors



^{r i w i}  ^E

z  

( ) ( ) /



X 

r(i)

x(i) w(i)

+ d(i)

-

z correlator

X 

r(i)

w(i)

d(i) z

correlator

(a) type1 (b) type2

r(i) = x(i) + w(i)































1

0 2

1

0 1

0

) 1 (

) ( )]

( )) ( ) ( 1 [(

) 1 (

L i

L i L

i

i L w

i w i x i w i L x

i L d

z





































1

0 1

0 2

1

0 1

0

) ( ) 1 (

) 1 (

) ( )) ( ) ( 1 (

) 1 (

L i L

i

L i L

i

i w i L x

i L w

i w i w i L x

i L d

z

 Goal of this work is to develop type 2 detector with smaller error prob.

.

Decision Error Probability in Type

• Assumptions 2

– whiteness of a watermark

• white noise (mean = 0, variance =

– an original image, x(i)

w(i)

independen t, stationary,

ergodic

• Decision error probability

– false negative: wm is present, but decide it is not.

– false positive: wm is absent, but decide it is.

• Problem

– for an input image without any attack (

 probability of false negative ?

) (

)]

( ) ( [ )

,

(

m n E w m w n

m n

R





.

• Correlation Response, Z

• Distribution of Z ^:

– Approachs to

Gaussian

central limit theorem

N

• Mean of Response Z

 ^{( ) ( )}  ^/ 

^{( ) ( )}  ^{/ 1}

1

0

 

  



 w

N i w

N

i

r i w i E x i w i E

z









1

0  







 w

N i w

N

i

x i w i E E x i E w i E



E

1 ] [ z  E







 x(i) w(i),

( ) r(i)

where E

w i

Probability of False Negative

.

 





 





  ^  ^

) ( 8 2

1

2 2

x x

w E c erf P P

 

• Variance of the Response Z

• Error probability

0 0 . 5 1

z

 z

r ( i ) = x ( i ) + w ( i ) r ( i ) = x ( i )

where P₊

= prob. of false positive, P

= prob. of false negative

 

 

 

























 

 























2 1

0

1 0 1 2 0

1 0

2 2 1

0 2

/ ) , ( ) , (

/ ) ( ) ( ) ( ) (

/ ) ( ) ( ]

]) [ [(

w N

i

N

j x w

w N

i

N j

w N

i

E j i R j i R

E j

w i w j x i x E

E i

w i x E

z E z E



w x x

w x x

z N E

2 2

2 2 2

2  





     ^







x

u du e

x erfc

0

2 2

1 )

(



z

.

• Conditions for a smaller error probability

–

Large E

– Small mean value of the original image (

Small

Reduction of Error Probability

 





 





  ^  ^

) ( 8 2

1

2 2

x x

w E c erf P P

 

0 0 . 5 1

z

 z

r ( i ) = x ( i ) + w ( i ) r ( i ) = x ( i )

w x x

w x x

z N E

2 2

2 2 2

2

 









z

.

• Proposition 1 :

small mean value of the original image (

)

– Solution :



= 0

– Error probability

0 )

1

(

0





i

w i













₀¹

( ) ( ) 

(  ( )) ( ) 

( ) ( )

x i w i

m

x

i w i

x

i w i



   

N

i ac

w N

z² E i ₀¹x(i)w(i) ² /E² E ₀¹x (i)w(i) ² / E²  ² /E

 





 

 

 

 















 

 _

 2 8 2

1

x

Ew

erfc P

P 

 





 





  ^  ^

) ( 8 2

1

2 2

x x

w E c erf P P

 

w x x

z E

2

2 2 



 ^

w x

z E

2  2

 

.

• Proposition 2 :

small variance of the original image (

)

– Solution : classification of signal according to its magnitude

• Variance of

x(i)

• Variance of

x(i)



x M x

x i

x

class_{x i} M

 





 

 



 







 

min max

min )

(

( ( ) ) 1 , , 1 min

min max

2

2 , where

12

L L x x

x   



2 2 2

2 2

12

L _x

x_k



 

 





 



 





2 8

1

x

ME

erfc P

P 

 





 





  ^  ^

) ( 8 2

1

2 2

x x

w E c erf P P

 

.

c la s s 1

c la s s 2

c la s s 3

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5

8 1 5

2 3

3 5 0

2 7 1 6 2 1

2 2

3 6

1 7 2 0 3 6 3 7

c la s s 3

c la s s 2

c la s s 1

w1( i) is a p p lie d w2( i) is a p p lie d w3( i) is a p p lie d

Example of Classification