b10= -7, b19= -25이다. a20- a10=10 -7{{{{{{{{{{{(((((((((( )))))))))) + -25(((((((((( ))))))))))}}}}}}}}}}} 2 = 10 -32(((((((((( )))))))))) 2 = -160 【 4】 ④ 해설 계차수열 b{{{{{{{{ n {{{ }}}}}}}}}}}은 2, 4, 6, 8, 10, …이므로 일반항은 bn= 2n 주어진 수열의 일반항을 an으로 놓으면 an= a1+ n-1 2k k=1
= 1 + 2 n-1 k k=1
= 1 + 2(((((((((((n - 1)))))))))))n 2 = 1 +n - n2 =n - n + 12 a10=10 - 10 + 1 = 912 【 5】 ⑤ 해설 계차수열 b{ n {{ {{{{ {{{{ }}}}}}}}}}}은 1, 3, 5, 에서 bn= 1 + n - 1((((((((((( )))))))))))2 = 2n - 1 an= a1+ n-1 bk k=1
= 1 + n-1 2k - 1 ((((((((((( ))))))))))) k=1
=n - 2n + 22 S10= 10 2 k - 2k + 2 ((((((((((( ))))))))))) k=1
= 10ㆍ11ㆍ21 6 - 2ㆍ 10ㆍ11 2 + 20 = 295 【 6】 ⑤ 해설 【 1】 2700 해설 ∴ bn= 2n ∴ an= 2 + n - 1 2k k = 1
= 2 + 2ㆍn n - 1(((((((((( 2 )))))))))) =n - n + 22 S20= 20 2 k - k + 2 (((((((((( )))))))))) k = 1
=20 21 41 6 -20 21 2 + 2 20 = 2700 【 2】 ③ 해설 계차수열 b{{{{{{{ n {{{{ }}}}}}}}}}}은 3, 7, 11, 15, 에서 bn= 3 + n - 1((((((((((( )))))))))))4 = 4n - 1 an= 2 + n-1 4k - 1 ((((((((((( ))))))))))) = 2n - 3n + 32 k=1
S8= 8 2k - 3k + 32 ((((((((((( ))))))))))) k=1
= 2ㆍ8ㆍ9ㆍ17 6 - 3ㆍ 8ㆍ9 2 + 24 = 324 【 3】 ⑤ 해설 수열 a{{{{{{{{ n {{{ }}}}}}}}}}}의 계차수열을 b{{{{{{{{{{{ n}}}}}}}}}}}이라 하면, a 20= a1+ 19 b k k = 1
… ㉠ a 10= a1+ 9 b k k = 1
… ㉡ ㉠ - ㉡에서 a20- a 10= 19 b k k = 1
-9 b k k = 1
= b10+ b11+ … + b19 수열 b{{{{{{{{ n {{{ }}}}}}}}}}}은 일반항이 -2n + 13인 등차수열이므로정답 및 해설지
1
2, 4, 7, 11, 16, … ㉠ 수열 ㉠의 계차수열을 bn이라 하면 이는 2, 3, 4, 5, … 이므로 bn= n + 1 따라서, 수열 ㉠의 일반항은 ak= 2 + n - 1 k + 1 (((((((((( )))))))))) k = 1
=n - n + 22 2 a10= 10 - 10 + 22 2 = 46 【 9】 ① 해설 위에서 4째줄에 있는 수열을 an이라 하면 왼쪽부터 계차수열은 첫째항이 4, 공차가 1인 등차수열이므로, an= 10 + n - 1 k + 3 (((((((((( )))))))))) k = 1
= n + 5n + 142 2 ∴ a6= 6 + 5 6 + 142 2 = 40 【 10】 ② 해설 분할된 평면의 수를 수열 a{{{{{{{{ n {{{ }}}}}}}}}}}이라 하면 an { {{ {{{{ {{{{ }}}}}}}}}}} = 2, 4, 7, 11, ……이고, a{{{{{{{{{{{ n}}}}}}}}}}}의 계차수열 bn { {{ {{{{ {{{{ }}}}}}}}}}} = 2, 3, 4 ……이다. bn= n + 1이므로 a10= 2 + 9 bk k = 1
= 2 + 9 k + 1 ((((((((((( ))))))))))) k = 1
= 2 + 9ㆍ10 2 + 9 = 56개 【 11】 ④ bn= 4 + n - 1(((((((((( ))))))))))2 = 2n + 2 an= 1 + n - 1 2k + 2 (((((((((( )))))))))) k = 1
= 1 + n - 1 2k k = 1
+ n - 1 2 k = 1
= 1 + 2 n - 1 k k = 1
+ 2 n - 1(((((((((( )))))))))) = 1 + 2ㆍ((((((((((n - 12 ))))))))))n+ 2 n - 1(((((((((( )))))))))) = 1 +n - n + 2n - 2 2 =n + n - 1 2 a10=10 + 10 - 1 = 1092 【 7】 ⑤ 해설 이 수열의 계차수열 1, 2, 3, 4, …의 일반항은 n이므로 구하는 수열의 일반항 an= 1 + n - 1 k k = 1
a16= 1 + 15 k k = 1
= 1 + 15ㆍ16 2 = 121 【 8】 46 해설 위 그림과 같이 한 개의 평면은 n개의 직선에 의하여 n = 1일 때 : 2부분, n = 2일 때 : 4부분 n = 3일 때 : 7부분, n = 4일 때 : 11부분 n = 5일 때 : 16부분, …으로 나뉘어진다. 따라서, 평면이 n개의 직선으로 나뉘어지는 부분의 개수를 an이라고 하면, 수열 a{{{{{{{{ n {{{ }}}}}}}}}}}은 다음과 같다.정답 및 해설지
2
a10= a1+ 9 2k + 4 (((((((((( )))))))))) k = 1
= 4 + 2ㆍ9ㆍ10 2 + 36 = 130 【 14】 ④ 해설 n행 n열의 수를 나열하면 1, 3, 7, 13, …이 수열의 계차 수열은 2, 4, 6, …이므로 일반항은 bn= 2n an= 1 + n - 1 2k k = 1
= 1 + 2 × n n - 1(((((((((( 2 )))))))))) =n - n + 1 2 ∴ a12= (((((((((( )))))))))) - 12 + 1 = 13312 2 【 15】 ① 해설 삼각수를 a{{{{{{{{{{{ n}}}}}}}}}}} 그 계차수열을 b{{{{{{{{{{{ n}}}}}}}}}}}이라 하면, b n { {{ {{{{{ {{{ }}}}}}}}}}}은 2, 3, 4, 5 …이므로 bn= n + 1이다. an= 1 + n - 1 k + 1 ((((((((((( ))))))))))) = 1 + n - 1 k + n -1((((((((((( ))))))))))) k = 1
k = 1
=n n + 1(((((((((( )))))))))) 2 이 때, n n + 1((((((((((( ))))))))))) 2 2000에서 n = 62일 때 n n + 1((((((((((( 2 ))))))))))) = 1953 n = 63일 때 n n + 1(((((((((( 2 )))))))))) = 2016 n = 62 【 16】 ④ 해설 주어진 행렬에서 an + 1= 3an … ㉠ bn + 1= 2an+ bn … ㉡ { { { { { { { { { { { {{{{{{ { { { { { { { { {{{{{{ ㉠에서 수열 a{ n {{ {{{{ {{{{ }}}}}}}}}}}은 공비가 3인 등비수열이므로 an= a1ㆍ3n - 1 ∴ 가(((((((((( )))))))))) =3n -1 해설 제 m행의 첫째항을 수열 b{{{{{{{ m {{{{ }}}}}}}}}}}으로 나타내면 bm { {{ {{{{{ {{{ }}}}}}}}}}} : 1 2 3 6 9 10 19 14 33 … cm { {{ {{{{{ {{{ }}}}}}}}}}} : 2 4 6 4 10 4 14 … 에서 cm= 2 + m - 1(((((((((( ))))))))))ㆍ4 = 4m - 2 ∴ bm= 1 + m - 1 4k - 2 (((((((((( )))))))))) k = 1
= 1 + 4ㆍ(((((((((((m - 12 )))))))))))m - 2 m - 1(((((((((( )))))))))) = 2m - 4m + 3 = 22 ((((((((((m - 1)))))))))) + 1 2 이때, 2((((((((((m - 1)))))))))) + 1 2007이어야 한다.2 2 m - 1 ((((((((((( ))))))))))) 1003에서 31 = 961,2 32 = 1024이므로 2 m - 1 = 31 ∴ m = 32 따라서 2007은 제 32행에 위치한다. 제 32행에 있는 수 들은 공차가 2인 등차수열을 이루므로 n번째에 있는 수를 an이라 하면 a1= 2((((((((((32 - 1)))))))))) + 1 = 1923 2 ∴ an= 1923 + n - 1(((((((((( ))))))))))ㆍ2 = 2n + 1921 an= 2007에서 2n + 1921 = 2007, 2n = 86 ∴ n = 43, m = 32 ∴ n - m = 43 - 32 = 11 【 12】 ② 해설 1 6 7 22 29 38 67 54 121 … 계차수열은 첫째항이 6이고 공차가 16인 등차수열이다. 일반항을 bn이라고 하면 bn= 6 + 16 n - 1((((((((((( ))))))))))) = 16n - 10 1아래 8번째수는 1, 7, 29, …의 9번째수이므로 이를 a9 로 놓으면 ∴ a9= 1 + 8 16k - 10 (((((((((( )))))))))) k = 1
= 1 + 16 × 8ㆍ92 - 10ㆍ8 = 497 【 13】 ④ 해설 an + 1- an = 2n + 4이고, a1= 4이므로정답 및 해설지
3
해설 bn= an + 1- an ((((((((((n = 1, 2, 3, …))))))))))이라 하면 a n { {{ {{{{{ {{{ }}}}}}}}}}} : 3, 9, 18, 30, 45, … bn { {{ {{{{ {{{{ }}}}}}}}}}} : 6, 9, 12, 15, … ∴ a10= a1+ 9 bk k = 1