한국정밀공학회 2013 년도 춘계학술대회논문집 1. 서론 저자 등은 리니어볼베어링, 유정압베어링 및 공기정압베어링 등 다양한 베어링을 적용한 직선운동유니트의 운동오차를 해석하기 위해 전달함수를 이용한 운동오차 해석 알고리즘을 제안한 바 있다. 단위크기의 형상오차에 의한 베어링내 한 개 패드의 반력변화를 나타내는 전달함수 개념의 도입 및 적용에 의해 유니트의 해석 모델을 단순화하고 부가되는 볼스크류, 리니어모터 등 구동계의 영향을 플러그인방식으로 간편하게 모델링할 수 있는 장점을 실험적으로 검증하였다. 본 논문에서는 이 알고리즘을 회전운동유니트에 적용하기 위한 첫 단계로, 먼저, 유정압저널베어링을 대상으로 하여 축의 형상오차에 의한 운동오차를 해석하기 위해 전달함수를 이용한 해석 모델(TFM)을 제안하고 이에 의한 해석 결과를, 전체 베어링에 대해 유한요소법을 적용한 해석(FAM) 결과와 비교함으로써 해석 모델의 타당성을 검증하였다. 2. 운동오차 해석을 위한 모델링 유정압저널베어링에 있어 축의 형상오차 에 의한 반력을 고려한 힘의 평형상태를 그림 1 에 나타 내었다. 임의로 설정한 베어링내 기준위치 Rb 로부터 임의의 각도 Ω에 부하가 작용하는 경우 축 형상오차에 따른 회전방향 반력 Wφ에 의해 축은 부하방향과 λ만큼의 각도를 갖고 편심된다. 여기에서 축의 형상오차를 식 (1)과 같이 푸리에급수로 나타내면, 한 개의 패드에 있어 서 베어링간극은 식 (2)와 같이 나타낼 수 있 으며 여기서 ε0는 부하에 의한 편심율, n 은 패 드수, i 는 패드의 순서를 나타낸다. 한편, 부하 방향 및 그에 직각방향에 있어서의 전달함수를 식 (3)과 같이 각 주기 형상오차 E(ω)에 의한 유막반력의 변화 Fr,e(ω), Ft,e(ω) 로 정의하면 축이 α만큼 회전했을 때 부하방향 및 그에 직 각방향에 대한 한 개 패드의 반력은 식 (4), (5) 와 같으며 Ak, Bk는 푸리에 계수를 나타낸다.
( )
∑ ∞ = = 1 exp ) ( k j E k k ω α ω α δ (1)(
)
{
}
n i k h h i k i / )} 1 ( 2 { 2 ) ( cos 1 ) ( 0 0 − + = ∑ ∞ = + − − + + = π π β α θ δ Ω β θ ε θ (2) ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) (ω F, ω Eω K ω F, ω Eω Kr = re t = te (3)(
)
∑ + = ∞ =1 sin cos ) ( ) ( k r k k k k k r K A B F α ω ω α ω α (4)(
)
∑ + = ∞ =1 ( ) sin cos ) ( k t k k k k k t K A B F α ω ω α ω α (5) 이상의 관계를 이용하면 베어링 전체에 있전달함수를 이용한 유정압저널베어링의 운동오차 모델링
Motion Error Analysis Model of the Hydrostatic Journal Bearings
using Transfer Function
*,#박천홍1, 심종엽1, 황주호1 , 김경호1
*,#Chun Hong Park(pch657@kimm.re.kr)1, Jong Youp Shim1 , Jooho Hwang1 , Gyungho Khim 1
1한국기계연구원 첨단생산장비연구본부 초정밀시스템연구실
Key words : Hydrostatic journal bearing, Motion error analysis, Transfer function,
Fig. 1 Model for analyzing the motion error
한국정밀공학회 2013 년도 춘계학술대회논문집 어 부하방향 및 그의 직각방향에 대한 반력의 합은 식 (6) 및 식 (7)과 같이 나타낼 수 있다. ∑ ∑ − + − − + = = ∞ = n i k tk i i i i k r r F F W 1 1 , , ) sin( ) ( ) cos( ) ( Ω β α β Ω β α β (6) ∑ ∑ − + + − + = = ∞ = n i k rk i i i i k t t F F W 1 1 , , ) sin( ) ( ) cos( ) ( Ω β α β Ω β α β (7) 한편, 베어링내에서의 부하에 따른 미소 변 위가 베어링 강성에 비례한다고 가정하면 부하 방향 및 그 접선방향에 있어서 축 형상오차에 의한 축 중심의 변위는 식 (8)과 같으며, 이로 부터 편심방향 λ는 식 (9)와 같이 구할 수 있 다. 단, e0는 주어진 하중에 있어서 축형상오차 가 없는 경우의 편심량이며 Ke0 는 그 때의 베 어링 강성이다. 0 0 0 r/ e , t t/ e r e W K e W K e = + =− (8) ) / ( 1 r t e e Tan− = λ (9) 3. 해석 모델의 이론적 검증 위의 알고리즘을 이용하여 그림에 나타낸 치수를 갖는 베어링에 부하가 변화할 때의 전달함수를 구해 그림 2 에 나타내었다. 2 주기이상의 성분은 축의 형상오차에 의한 영향이므로 변화가 없으며 1 주기 성분은 하중에 따른 편심의 영향이며 베어링은 부하가 없을 때 최대의 강성을 얻도록 설계되었으므로 부하가 증가할수록 전달함수의 크기는 감소함을 보이고 있다. 그림 3 에 같은 치수의 베어링에 있어 하나의 주기만을 갖는 축 형상오차가 존재하는 경우 TFM 과 FAM 에 의해 구한 베어링 회전오차를 비교하여 나타내었다. 두 방법에 의한 해석결과는 잘 일치하고 있으나 하중이 커지는 경우 두값의 차가 상대적으로 커지는 경향을 보였으며 이것은 하중이 커짐에 따라 두 방법에 의해 구한 베어링 강성값이 미소하게 달라짐에 따른 영향으로 추정된다. 한편, 여러 주기의 형상오차가 복합된 축을 가정했을 때의 운동오차 해석결과를 그림 4 에 비교하여 나타내었다. 그림 2 의 전달함수와 비교하면 여러 주기가 복합되 있음에도 불구하고 전달함수의 크기가 큰 5 주기 성분이 운동오차를 크게 지배하고 있음을 보이고 있으며 두 해석방법에 의한 결과는 대체로 잘 일치하고 있어 전달함수를 이용한 운동오차 해석 모델이 매우 유효함을 확인할 수 있다. 4. 결론 유정압저널베어링에 있어 축의 형상오차가 운동오차에 미치는 영향을 모델링하여 알고리즘을 구축하였으며 전체 베어링을 유한요소해석한 결과와 비교한 결과, 제안한 알고리즘은 운동오차 해석에 매우 유효함을 확인할 수 있었다. 후기 본 연구는 지식경제부가 지원한 산업융합 원천사업인 ‘기계장비 정밀도 시뮬레이션 플랫폼기술개발’과제에서 얻어진 결과입니다. Fig. 3 Comparison of calculated motion error in the
case of a single frequency shaft form
Fig. 4 Comparison of calculated motion error in the case of multiple frequencies shaft form
Fig. 2 Calculated transfer function
-0.005 0.000 0.005 -0.005 0.000 0.005 0.010 a3=0.1 µm, F=1 kgf/µm ef=0.085 µm(by FAM) ef=0.080 µm(by TFM) -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 a7=0.5 µm, F=200 kgf/µm ef=0.372 µm(by FAM) ef=0.341 µm(by TFM) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2
Shaft form error a2=0.1, a3=0.1, a5=0.1, a7=0.1 b2=0.05, b4=0.1, b6=0.05 ef=0.688 µm -0.2 0.0 0.2 -0.2 0.0 0.2 F=50 kgf/µm ef=0.192 µm(by FAM) ef=0.178 µm(by TFM) 0 5 10 15 20 25 30 -5 0 5 10 D=80mm, L=80mm n=4, rα=0.8 Ps=10bar, h0=20µm F=1 kgf F=100 kgf F=200 kgf F=300 kgf Spatial frequency ω T F Kr (ω ) ( k gf /µ m )
