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제 3 장 운동역학 : 일과 에너지

3.1 개요



F

 ma

a

(4) 일 – 운동에너지 해석 절차 (5) 위치 에너지 ( ↔ 일 ) (6) 일 – 위치에너지 관계 (7) 운동에너지 - 위치에너지

↓

3.2

일

F

F

F

A

B



F

0

r

r + dr

dr

du = F dr

NOTE : dot product :

cross product : X



dv

F

dr











A

B

A B = │B│cos θ

│A│



F

dr

F

dr











cos



(1) 정의 (2) 일정한 힘 ( = 상수 : 크기 + 방향 ) 0

r

r



r

r

dr

F

F

dr

F

r

r

















(



)







F



(

r



r

)

좌우

와

_r

r





j

a

i

a

A





j

b

i

b

B





)

(

)

(

a

i

a

j

b

i

b

j

B

A











j

b

j

a

i

b

j

a

j

b

i

a

i

b

i

a

















b

a

b

a





(3) 무게 x y z 0 zB zA A B W=mg



F

dr







k

w

j

i

F

where

)



(

0

)



(

0

)



(



)

dzk

dyj

dxi

dr









z

z

w

wdz

k

dz

dyj

dxi

k

w







ˆ



(





ˆ

)











(



)

)

(





w

z



z



_

A B A B 2m 2m 1m 1m W=10N _W=10N

j





10

(

2



1

)





10



j





10

(

1



2

)



10



0 _{x x} A B (4) 스프링력이 한 일



F

dr







i

kx

F

where

;





ˆ



kx

i

dxi







ˆ



i

dx

dr



ˆ

)

(

2

x

x

k

kxdx













)

(

2

x

x

k

_







_

ex2) 스프링의 원래 길이 : 2m A B ( 인 장 ) ( 압 축 ) 2.2m 2.5m A B 1.5m 2m

)

2

.

0

5

.

0

(

2

_





k



)

0

5

.

0

(

2

_





k



(1) 일정한 힘 (2) 무게 (3) 스프링력 힘 변위 힘의 변위 방향 같다 : + 반대 : -동일선상

dr

F



(

예제 3.1)

l

l



_

_

_







예제 3.2)

스프링의 원래길이

l

l

A

B d

(1) F.B.D w=mg N FS (2)

















)

(

)

;

i

mg

d

where

_





)

(

2

)

x

x

k

iii









)

90

:

(

0

)



N

과

d



이므로

ii





0



x

_d

_l

l

x







3.3

운동 에너지



F

J

m

N

s

m

kg

s

m

kg













:

단위

B



F

3.4

일 – 운동에너지 관계



 



)

(

:

a



Note











dt dv v v dt dv v v dt d where; (  )     A B B A   v dt dv   2 2 2 1 ) ( 2 1 dt dv v v dt d v dt dv _{   } 









T



T









T

T



3.5

일 – 운동에너지 해석절차

:







T



T





T



T



_

예제

3.3)

l

l

θ F (1) F.B.D x y F N w=mg s f F (µN) θ Fcosθ mgsinθ



_

_

_

_

_

_

_









2

2

1

mv

T



)

(

0

2

1

정지상태





mv

T



_

0

)

sin

cos

(













mg



N

F



ma





b

a

예제 3.4) A C B 1

l

l

(1) F.B.D F (µN) w=mgN Fs f θ x y w=mg F f N Fs

(2)













_









(4)





a

b

0

)

0

(

)

cos

(

N



mg





m





 



3.6

보존력 : 위치에너지

_





(B) 위치에너지 i) 보존력에 한해서 좌우 (위치 ) ii) 질점이 어떤 지점에서 어떤 지점으로 이동 할때 어떤 힘에 대항하는 힘이 한 일 값 iii) 기준 설정 (A지점 ) (B지점 )

(1) 무게 ( 중력 ) A B ZA B Z Z - ZB A w=mg

① 무게가 한 일 :

_





wz

v







_

(2) 스프링 위치 에너지

① 스프링 한일 : _{A B 2} (xB2 x2A) k _   





iii) _{A B}

k

x

k

x

)

2

(

)

(

2

_





)

(

2

x

x

k

_







2

1

2

x

kx

k

_



_

3.7

역학적 에너지 보존 법칙 :

FBD→

모든 힘 (

보존력 )









T

V

V

T







V

T

V

T









예제 3.7) m d h A B

(1) F.B.D

FB

w=mg

(2)

T



V



T



V

0

2

1

_



mv

T

2

)

(

0





mg

h



d



k

d

예제 3.8) t n A B VA VB r 마찰력 무시

(1) F.B.D

w=mg

N ( 일 X )

( 보존력 ) 에너지 보존 법칙

B B A A

V

T

V

T







)

(

2

1

V

g

w

T



V



V



V



0

)

(

2

1

V

g

w

T



V



V



V

wr

V

g

w

V

g

w

(

)

2

2

1

)

(

2

1







a

b



r

V

g

w

w

N

)

(

)

(







_b

_a

(b)

(2) 일 – 운동에너지 B C C B T T



















F



ma

예제 3.9) 기준면 w B A t n θ R Rcosθ

(1) F.B.D wsinθ wcosθ θ t n N w=mg ( 보존력 )

(2) 에너지 보존 법칙

T



V



T



V

0

)

(

2

1





V

g

w

T

)

(

2

1

V

g

w

T



0







V

V

V

)

cos

(

R

R



w

V







)

cos

1

(

)

(

2

1

0

0

_

_

_

_

_



V

wR

g

w

a

(3) 추가 방정식 ( 1 개 ) ∑F=ma ( V B 에 대한 ) ① 좌표계 ( t – n ) ②









V

m

ma

F

R

V

g

w

N

w

)

(

)

cos

(









b

b

a









_

T

T

)

cos

(

R

R



w













0

)

(

2

1





V

g

w

T



)

(

2

1

V

g

w

T





)

(

2

1

)

cos

(

V

g

w

R

R

w









3.8

일률과 효율

dt

dr

F

dt

dv

P







)

:

(

dt

dr

v

where



P



F



V



예제 3.10) 전기모터 v=3m/s (일정 속도 ) x y θ ) ( , _{A B} TB TA 속도위치값계산시 ma F    



_

(1) 좌표계 설정 ( x – y ) (2) F.B.D x y N w=mg T F (µN) f

(3)



F

 ma

ma

F





)

0

(

)

cos

(

N



mg





m

ma

F





)

0

(

)

sin

(

T



mg







N



m

P



F



V



T



V



TV

예제 3.11) A B d = 1mile = 5280 ft V =5 ft/secA B 점에서 엔진 power ★ 일 – 에너지

(1) F.B.D w=mg N F F L R ( 에너지 보존법칙 X ) → 저항력

56 (2)

















2

1

mv

T



2

1

mv

T



P



F



V

V

F

V

F









P

3.9

요약



 

(2) 기본적 힘 ① 무게 : ② 스프링 : _{A B}

₂

(

x

x

)

k

_







)

(





w

z



z







F



(

r



r

)

(3) 일 – 운동에너지 관계





_{ }











2

1

mv

T

(4) 일 – 운동에너지 해석 절차 ① F.B.D ②







2

1

mv

T



2

1

mv

T







(5) 위치 에너지 ① 보존력 ( 무게 , 스프링 , 일정한 힘 ) ( 비보존력 : 저항 력 ) ② 어떤 힘에 대항하는 힘이 한 일 ③ 기준 설정 ex) 스프링 : 원래 길이 무게 : A 점에 설정









_

V

V

B B A A

V

T

V

T







V

F

dt

dr

F

dt

dv

P









