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(1)

제 3 장 운동역학 : 일과 에너지

3.1 개요

F

 ma

가속도

a

가 관심사가 아닌 경우 (1) 일 정의 (2) 운동에너지 정의

(2)

(4) 일 – 운동에너지 해석 절차 (5) 위치 에너지 ( ↔ 일 ) (6) 일 – 위치에너지 관계 (7) 운동에너지 - 위치에너지

에너지 보존법칙 (8) 일률 ( power ) = 동력

(3)

3.2

i ) 물체에 힘이 가해진다 . ii) 위치변화 ( 변화 ) 존재 iii) 힘과 힘의 방향으로 발생한 변위의 곱 같은 방향

F

F

F

(4)

A

B

F

0

r

r + dr

dr

미소구간 한일 값 : F 와 dr 의 곱 같은 방향

du = F dr

NOTE : dot product :

cross product : X

(5)

A B B A B A

dv

F

dr

Note

A

B

θ

A B = │B│cos θ

│A│

A B B A B A

F

dr

F

dr

cos

해석 ① F│(│dr│cos θ) │ θ 힘과 힘의 방향 변위의 곱 F dr

(6)

(1) 정의 (2) 일정한 힘 ( = 상수 : 크기 + 방향 ) 0

r

B

r

A

A B B A B A

r

r

dr

F

F

dr

F

B A

r

r

(

)

AB

F

(

r

B

r

A

)

(7)

좌우

r

r

B A B A

일정한 힘이 한 일값은 이동경로에는 무관하고 오직 시작점과 끝점의 위치에 의해서 좌우된다 (Note)

j

a

i

a

A

1

2

j

b

i

b

B

1

2

)

(

)

(

a

1

i

a

2

j

b

1

i

b

2

j

B

A

j

b

j

a

i

b

j

a

j

b

i

a

i

b

i

a

1

1

1

2

2

1

2

2

b

a

b

a

(8)

(3) 무게 x y z 0 zB zA A B W=mg

A B B A

F

dr

k

w

j

i

F

where

)

(

0

)

(

0

)

(

)

dzk

dyj

dxi

dr

A B z z B A B A B A

z

z

w

wdz

k

dz

dyj

dxi

k

w

ˆ

(

ˆ

)

(

)

)

(

B A B A

w

z

z

(9)

A B A B 2m 2m 1m 1m W=10N W=10N

j

B A

10

(

2

1

)

10

j

B A

10

(

1

2

)

10

ex1)

(10)

0 x x A B (4) 스프링력이 한 일

A B B A

F

dr

A B 본래 길이

(11)

i

kx

F

where

;

ˆ

A B B A

kx

i

dxi

ˆ

i

dx

dr

ˆ

)

(

2

2 2 A B x x

x

x

k

kxdx

B A

)

(

2

2 2 A B B A

x

x

k

where ; x = A 지점에서 스프링의 변형된 길이 x = B 지점에서 스프링의 변형된 길이 A B

(12)

ex2) 스프링의 원래 길이 : 2m A B ( 장 ) ( 축 ) 2.2m 2.5m A B 1.5m 2m

)

2

.

0

5

.

0

(

2

2 2

k

B A

)

0

5

.

0

(

2

2

k

B A

=( ㅡ ) =( ㅡ )

(13)

(1) 일정한 힘 (2) 무게 (3) 스프링력 변위 힘의 변위 방향 같다 : + 반대 : -동일선상

dr

F

A B w=mg +

(14)

(

예제 3.1)

 cos l  cos l l

l

l

A B θ A B : 물체에 작용하는 힘 (1) F.B.D T w=mg

AB

W

T ) cos (l lmg W  

0 

T )

  0 ) dr T ii T i 방향변위가없다 (2) where ;

(15)

예제 3.2)

스프링의 원래길이

l

0 A 지점 스프링 길이

l

0

A

B d

(16)

(1) F.B.D w=mg N FS (2)

S F N W B A

)

(

)

;

i

mg

d

where

W

)

(

2

)

2 2 A B F

x

x

k

iii

S

)

90

:

(

0

)

N

d

이므로

ii

N

각 지점에서 스프링 변형된 길이

0

A

x

0 2 2

d

l

l

x

B

B

(17)

3.3

운동 에너지

V A B

F

운동에너지 정의 : 2 1 ) ( 2 1 : m vv mv2 T

J

m

N

s

m

kg

s

m

kg

2

2

:

단위

(18)

B

F

A VA VB

3.4

일 – 운동에너지 관계

A B B A F dr

 

 

)

(

:

a

Note

  dt dv m ma F

A B dt dr dv m

  ) ; ( dr vdt dt dr v where   

  B A dt v dt dr m( )

(19)

dt dv v v dt dv v v dt d where; (  )     A B B A   v dt dv   2 2 2 1 ) ( 2 1 dt dv v v dt d v dt dv

B A V V B A mdv dt dt dv m 2 2 2 1 2 1 B A B A V V V V dv mv m

  2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 A B mv mv  

T

B

T

A

B A B A

T

T

스칼라 방정식 (1개 ) ( A→B 이동 )

(20)

3.5

일 – 운동에너지 해석절차

:

AB

T

B

T

A (1) F.B.D (2) 물체에 작용한 힘들이 한 총일값 :

AB (3) 운동에너지 변화값 :

T

B

T

A 2 2 1 A A mv T  2 2 1 B B mv T(5) 미지수 2 개 존재 : 추가 방정식 ∑F=ma : 벡터방정식 좌표계 설정

ABTBTA (4) : 1개의 스칼라 방정식 미지수 1 개

(21)

예제

3.3)

µ A B θ F V =?B d i) 스프링 원래길이 :

l

0

l

(22)

θ F (1) F.B.D x y F N w=mg s f F (µN) θ Fcosθ mgsinθ

f S F F F N W B A ) )( sin ( ) mg d i

W    ) ( 2 ) 2 2 A B F x x k iii S   

where (2) ) )( cos ( ) F d iv F   

) 90 : ( 0 )  N dii N

) )( ( ) N d v f F   

0 1 :l l xA  0 1 ) ( : l d l xB   변형된 길이 각 지점에서 변형된 길이

(23)

2

2

1

B B

mv

T

0 2 1 2B mv

)

(

0

2

1

2

정지상태

A A

mv

T

ABTBTA

0

)

sin

cos

(

mg

N

F

ma

x (3) (4) ( 미지수 N ) = : 1개 방정식 Where : 미지수 N , V : 2 개B

F  ma x x ma F

(5) 1개 추가방정식 : ① 좌표계 설정 ( x - y ) ( y축 방향운동 )

b

a

(24)

예제 3.4) A C B 1

l

d V =?c A C B 1

l

d Ⓒ : 물체 원래 위치

(25)

(1) F.B.D F (µN) w=mgN Fs f θ x y w=mg F f N Fs

(26)

(2)

AB

W

N

FS

Ff where : ①

W  (mgsin)(d) ) 90 : ( 0   N d N

) ( 2 2 2 A B F x x k S   

where i) xAl1 0  B x ii) ( N)(d) f F  

0 2 1 2 A A mv T 0 2 1 2   B B mv T (3) (정지 상태 ) ( 정지 상태 ) A→B l1 l1 0 xc l1 c c

(27)

(4)

ABTBTA 0 스칼라 방정식 ( 1 개 ) ( d , N ) = 0

a

b

2 개 미지수 (5) 추가방정식 : ∑F=ma ① 좌표계 설정 ( x – y ) ② ∑F =may y

0

)

0

(

)

cos

(

N

mg

m

( x 축 방향 운동만 하므로 )

A B B A F dr

 

 

(28)

3.6

보존력 : 위치에너지

(A) 보존력 물체에 작용하는 각 힘들이 한 일 값은 물체운동 경로에 무관하고 시작점 (A) 과 끝점 (B) 의 위치에 의해서 좌우되는 힘 ex) i) 일정한 힘 ( = 상수 ) :

ABF (rBrA) ( F ) ii) 무게 : ) ( 2 2 2 A B B A x x k   

) ( B A B A  w zz

iii) 스프링 : ★ 비 보존력 ( 저항 력 ) i) 마찰력 : 이동 경로의 거 ii) 항력 : 속도

(29)

(B) 위치에너지 i) 보존력에 한해서 좌우 (위치 ) ii) 질점이 어떤 지점에서 어떤 지점으로 이동 할때 어떤 힘에 대항하는 힘이 한 일 값 iii) 기준 설정 (A지점 ) (B지점 )

(30)

(1) 무게 ( 중력 ) A B ZA B Z Z - ZB A w=mg

(31)

① 무게가 한 일 :

AB  w(zBzA) ② 위치 에너지 ( 무게 ) i) 무게에 대항하는 힘이 한 일 ) ( B A B A  w zz

ii) 기준선 설정 ( A→B ) Z = 0A iii)

ABwzB  (wz)B

wz

v

g

( or mgh ) ③ 일 – 위치 에너지 관계 B A A B B A  w(zz )  wzwz

v v ) ( ) (   

(v ) (v )g g A B

(32)

(2) 스프링 위치 에너지

(33)

① 스프링 한일 : A B 2 (xB2 x2A) k   

② 위치에너지 ( 스프링 ) i) 스프링에 대항하는 힘이 한 일 ) ( 2 2 2 A B B A x x k  

ii) 기준 설정 → 스프링 원래 길이 ( 자유 길이 ) → x = 0A

(34)

iii) A B

k

x

B

k

x

)

B

2

(

)

(

2

2 2

2 2 x k ve   ③ 일 – 위치 에너지 관계

)

(

2

2 2 A B B A

x

x

k

2 2

2

1

2

x

A

kx

B

k

B e A e v v ) ( ) (   B e A e B A (v ) (v ) 

A B

(35)

3.7

역학적 에너지 보존 법칙 :

FBD→

모든 힘 (

보존력 )

(1) 일 – 운동에너지 : (2) 일 – 위치에너지 : A B B ATT

B A B AVV

보존력에 한해서만 사용 B A A B

T

V

V

T

B B A A

V

T

V

T

보존력 저항력이 존재할 경우 사용 X

(36)

예제 3.7) m d h A B

(37)

(1) F.B.D

FB

w=mg

(38)

(2)

T

A

V

A

T

B

V

B

0

2

1

2

A A

mv

T

0 2 1 2 B B mv T ) ( ) ( g e B V V V   ( 정지 상태 ) ( 정지 상태 ) e g A V V V   A B 0 0 2 2 ) (h d k d mg    2

2

)

(

0

mg

h

d

k

d

(39)

예제 3.8) t n A B VA VB r 마찰력 무시

(40)

(1) F.B.D

w=mg

N ( 일 X )

( 보존력 ) 에너지 보존 법칙

(41)

B B A A

V

T

V

T

2

)

(

2

1

A A

V

g

w

T

V

A

V

W

V

N

0

2

)

(

2

1

B B

V

g

w

T

V

B

V

W

V

N

wr

V

g

w

V

g

w

B A

(

)

2

2

1

)

(

2

1

2 2

위치에너지 운동에너지 0 0 0 =w(2r)=2wr ( 미지수 )V ,A VB

a

(2)

(42)

b

(3) 추가 방정식 ( 1 개 ) : ∑F=ma : V B 에 관계식 ① 좌표계 설정 ( t – n ) ② F.B.D w=mg N = 0

  r V m ma F B n n 2

r

V

g

w

w

N

B 2

)

(

)

(

r V g w w B 2 ) (  V =√rgB

b

a

V =√ 5rgA

(43)

(b)

x y B C d (1) F.B.D w=mg F (µN) f

(44)

(2) 일 – 운동에너지 B C C BTT

B CWNFf

 2 ) ( 2 1 0 VB g w Nd   

) 0 ( ) ( g w w N   2 ) ( 2 1 B B V g w T= - ( µN )( d ) 0 ) ( 2 1 2 C C V g w T (3) 추가 방정식 ∑ F=ma ① 좌표계 ( x – y )

F

x

ma

x N = w ( 미지수 d , N ) d = ? 0 0

(45)

예제 3.9) 기준면 w B A t n θ R Rcosθ

(46)

(1) F.B.D wsinθ wcosθ θ t n N w=mg ( 보존력 )

(47)

(2) 에너지 보존 법칙

T

A

V

A

T

B

V

B

0

)

(

2

1

2

A A

V

g

w

T

2

)

(

2

1

B B

V

g

w

T

운동에너지

0

W N A

V

V

V

)

cos

(

R

R

w

V

B

위치에너지 0 ( 정지상태 )

)

cos

1

(

)

(

2

1

0

0

2

V

wR

g

w

B

a

(48)

(3) 추가 방정식 ( 1 개 ) ∑F=ma ( V B 에 대한 ) ① 좌표계 ( t – n )

2 B n n

V

m

ma

F

R

V

g

w

N

w

B 2

)

(

)

cos

(

b

b

a

로 부터 B V = Θ = 0

(49)

AB

T

B

T

A

)

cos

(

R

R

w

N W

0

)

(

2

1

2

A A

V

g

w

T

2

)

(

2

1

B B

V

g

w

T

2

)

(

2

1

)

cos

(

V

B

g

w

R

R

w

0 ( 정지 )

(50)

3.8

일률과 효율

(1) 일률 ( power ) 동력 ① 정의 : 단위 시간당 한 일

dt

dr

F

dt

dv

P

)

:

(

dt

dr

v

where

P

F

V

② 단위 : ( ) sec sec w SI J m N    ) sec : (영미 lbft sec 550 1 ) ( 746 1 ft lb hp SI w hp    (2) 효율 1    입력값 출력값 전체일 유효한일

(51)

예제 3.10) 전기모터 v=3m/s (일정 속도 ) x y θ ) ( , A B TB TA 속도위치값계산시 ma F    

( 시작점 A 끝점 B ) ( A 와 B X )

(52)

(1) 좌표계 설정 ( x – y ) (2) F.B.D x y N w=mg T F (µN) f

(53)

(3)

F

 ma

x x

ma

F

)

0

(

)

cos

(

N

mg

m

y y

ma

F

)

0

(

)

sin

(

T

mg

N

m

N = T = (4)

P

F

V

T

V

TV

(54)

예제 3.11) A B d = 1mile = 5280 ft V =5 ft/secA B 점에서 엔진 power ★ 일 – 에너지

(55)

(1) F.B.D w=mg N F F L R ( 에너지 보존법칙 X ) → 저항력

(56)

56 (2)

ABTBTA

A BWNFLFR

 2

2

1

B B

mv

T

2

2

1

A A

mv

T

→( ) = ( V )B B 미지수 V = (3)

P

F

V

B L B L

V

F

V

F

P

5 + 0

(57)

3.9

요약

( 일 – 에너지 방 법 ) (1) 일 정의 i) 힘 → 변위 ii) 힘과 변위는 동일 선상 존재

A B B A F dr  

 

Note : i) 가속도 a 가 관심사가 아닌 경우 v , r ii) 시작점 (A 점 ) 과 끝점 (B 점 ) 위치

(58)

(2) 기본적 힘 ① 무게 : ② 스프링 : A B

2

(

x

B2

x

2A

)

k

)

(

B A B A

w

z

z

( Note : 수직 반력 (N) , 끈 ( 장력 ) ) 0 ③ 일정한 힘 (F) :

AB

F

(

r

B

r

A

)

(지지 ) 번형된 길이 ★ 저항력 : (-)

(59)

(3) 일 – 운동에너지 관계

AB

 

B A F dr ∑F=ma

   B A :스칼라 방정식 B A T T

2

2

1

mv

T

(60)

(4) 일 – 운동에너지 해석 절차 ① F.B.D

AB

W ... 2

2

1

B B

mv

T

2

2

1

A A

mv

T

ABTBTA 1 개 스칼라 방정식 ( 미지수 1 개 ) ⑤ 2 개 미지수 존재 → 1개 추가 방정식 ∑F=ma ( 벡터 방정 식 ) ① 좌표계 설정

(61)

(5) 위치 에너지 ① 보존력 ( 무게 , 스프링 , 일정한 힘 ) ( 비보존력 : 저항 력 ) ② 어떤 힘에 대항하는 힘이 한 일 ③ 기준 설정 ex) 스프링 : 원래 길이 무게 : A 점에 설정

AB

V

A

V

B

(62)

B B A A

V

T

V

T

(6) 에너지 보존 법칙 스칼라 방정식 →FBD 상에 나타난 모든 힘 보존력 (7) 일률과 효율

V

F

dt

dr

F

dt

dv

P

일률 : 효율 : 입력값 출력값  

수치

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참조

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