좌표평면 위에 원 C
과 점 A 가 있다. 점 A 에서 원 C 에 그은 두 접선이 원 C 와 만나는 점을 각각 P Q라 하자.삼각형 APQ가 정삼각형이 되도록 하는 두 점 P Q의 좌표를 각각 , 라 할 때, 의 값은? (단, 는 상수)
원점을 O라 하면,
직각삼각형 APO에서 ∠PAO 이므로 AO OP 에서 원의 반지름 OP AO
따라서 원의 방정식은 두 접점 P Q를 이은 선분과 AO 의 교점을 M이라 하면 PQ⊥AM 직각삼각형 APO에서 사영정리에 의해 PO OM× OA이므로 OM
점 M은 위에 있으므로 M 이라 두면
에서 따라서 M
그런데 두 점 P Q 에 대하여 PQ 의 중점이 M이므로 , , 에서 ⋯ ① 한편, 두 직선 OP OQ의 기울기는 각각 이므로 두 직선 AP AQ의 기울기는 , 이다. 점 A를 지나는 직선 중에서 두 원에 접하는 직선을 구해보면 와 원의 중심 까지의 거리가 반지름