DOI http://dx.doi.org/10.9725/kstle-2012.28.5.218
스풀밸브 해석에서 Navier-Stokes 방정식과 Reynolds 방정식에 의한 비교 연구
홍성호†·손상익·김경웅‡ KAIST 기계항공시스템학부
A Comparative Study of the Navier-Stokes Equation &
the Reynolds Equation in Spool Valve Analysis
Sung-Ho Hong†, Sang-Ik Son and Kyung-Woong Kim‡ School of Mechanical, Aerospace & Systems Engineering, KAIST (Received May 28, 2012; Revised July 2, 2012; Accepted July 5, 2012)
Abstract − In a spool valve analysis, the Reynolds equation is commonly used to investigate the lubrication char- acteristics. However, the validity of the Reynolds equation is questionable in a spool valve analysis because cav- itation often occurs in the groove and the depth of the groove is much higher than the clearance in most cases.
Therefore, the validity of the Reynolds equation in a spool valve analysis is investigated by comparing the results obtained from the Reynolds equation and the Navier-Stokes equation. Dimensionless parameters are determined from a nondimensional form of the governing equations. The differences between the lateral force, friction force, and volume flow rate (leakage) obtained by the Reynolds equation and those obtained by the Navier-Stokes equa- tion are discussed. It is shown that there is little difference (less than 10%), except in the case of a spool valve with many grooves where no cavitation occurs in the grooves. In most cases, the Reynolds equation is effective for a spool valve analysis under a no cavitation condition.
Keywords − spool valve(스풀 밸브), validity(타당성), Navier-Stokes equation(나비에 스톡스 방정식), Reynolds equation(레이놀즈 방정식), lateral force(측력), volume flow rate(누설량), friction force(마찰력)
1. 서 론
유압장치는 1906년에 군함의 주포를 움직이는데 사 용된 이후로 다양한 산업에서 폭넓게 사용되고 있다.
유압 액츄에이터(actuator)의 정확하고 정밀한 움직임을 유지하기 위해서는 유압밸브의 원활한 기능이 보장되어 야 한다. 스풀밸브는 스풀과 슬리브로 구성되어 있으며 굴삭기, 트렉터의 작동레버나 자동차 인젝터에 많이 적 용되고 있다. 하지만 직선 왕복운동을 하는 스풀밸브에 는 유체고착(hydraulic lock)이 문제가 되고 있다. 이
문제를 해결하기 위해 여러 방법이 제시되고 있으며 가 장 대표적인 방법은 스풀랜드에 여러 개의 그루브를 가 공하는 것이다. 스풀밸브가 많이 사용되고 있지만 스풀 밸브의 그루브 가공에 대한 이론적 연구는 미흡하고 대 부분이 가공업체의 경험에 의존하고 있다. 그리고 스풀 밸브에 대한 해석을 수행할 때 Reynolds 방정식을 주 로 사용한다. 하지만 유체의 관성이 중요한 경우나 유 체가 점탄성적으로 변화하거나 유막내 난류나 캐비테이 션이 발생하거나 틈새에 비해 큰 홈이나 그루브가 가 공된 경우에는 Reynolds 방정식에서 사용된 몇몇 가정 등이 타당하지 않으므로 그런 경우에는 Navier-Stoke방 정식을 사용한 해석이 보다 적절하다고 알려져 있다[1].
스풀밸브는 틈새에 비해서 그루브의 깊이가 깊고 그루
†주저자 : [email protected]
‡책임저자 : [email protected]
브 내에 캐비테이션이 발생하는 경우가 많기 때문에 기존의 Reynolds 방정식을 이용한 해석이 타당한지 살 펴볼 필요가 있다. 스풀밸브에 관한 기존의 연구에서 Reynolds 방정식의 타당성에 관한 내용은 전무하다. 그 러나 유사한 연구들이 있어 그 내용을 살펴보았다.
Tichy와 Chen[2]은 무한장 슬라이드 베어링에 대해 수 정된 Reynolds 수(Re)를 정의하고 유체관성의 효과에 대해 실험적 결과와 Navier-Stokes 방정식을 이용한 해석의 결과를 비교하였다. 수정된 Re가 1보다 작은 경우에는 유체의 관성은 무시할만하고 또한 Navier- Stokes 방정식으로 얻어진 결과와 차이가 크지 않다고 보고하였다. Arghir등[3]은 좁은 간격을 두고 한 면은 사각형, sine함수 형태 그리고 삼각형 형태의 거칠기 (roughness)를 가지고 다른 면은 거칠기가 없이 평행한 경우에 대해 관성력의 크기에 따른 부하지지력을 살펴 보았다. 관성력의 증가는 거칠기의 모양 패턴에 상관 없이 부하지지력을 발생시키며 이러한 틈새 형상에 대 한 부하지지력은 Reynolds 방정식으로 적절하게 구할 수 없다고 주장하였다. Odyck과 Venner[4]는 sine 웨 이브의 거칠기를 가지는 두 표면 사이의 유동에서 Reynolds 방정식의 타당성을 평가하였다. 이때 등온상 태이고, 뉴턴유체이며 비압축성 유체에 대해 Reynolds 방정식과 Stokes방정식을 이용하여 구해진 압력분포와 부하지지력을 비교하였다. Song 등[5]은 sine 웨이브를 가지며 고정된 윗면과 일정한 속도로 움직이는 아랫면 사이의 유동에 관한 해석에서 Reynolds 방정식의 타당 성 한계를 찾기 위해 Navier-Stokes 방정식의 결과와 Reynolds 방정식의 결과를 비교하였다. Sahlin등[6]은 두 개의 평행한 면에서 2차원 미세 패턴에 대해 Navier-Stokes 방정식과 Reynolds 방정식으로 구한 부 하지지력과 압력분포를 비교하여 그 미세패턴의 효과 를 살펴보았다. 그들은 Navier-Stokes 방정식을 이용한 해석을 통해 한 면에 미세패턴이 있는 경우가 미세패 턴이 없는 경우에 비해 더 큰 부하지지력을 발생시킨 다고 보고하였다. Odyck과 Venner[7]는 사각형 슬롯 (slot)을 가지는 두 면 사이의 압축성 유동에 대해 Stokes 방정식과 Reynolds 방정식으로 구한 부하지지 력의 차이를 비교하였다. 그들은 슬롯의 가장자리에 국 부적인 압력의 차이는 있지만 부하지지력은 거의 일치 함을 보였다. Jiang등[8]은 고정된 면에 정사각형의 그 루브가 있고 다른 면은 일정한 속도로 움직일 때 Reynolds 방정식에 의한 결과 값과 CFD해석의 결과 값을 비교하였다. 그들은 그루브의 깊이가 틈새의 1%
보다 작으면 두 방법에 의한 해석 결과차이는 거의 없 으나 그루브의 깊이가 틈새보다 10% 이상으로 큰 경우 에는 해석결과의 차이가 10% 이상인 것을 보였으며 이 는 그루브 양 벽면의 효과(side wall effect)로 인한 것 이라고 고찰하였다. Dobrica등[9]은 일정한 패턴의 그루 브를 가진 무한장 슬라이드 베어링의 윤활에서 Reynolds 방정식의 타당성에 대해서 살펴보았다. 그들 은 단지 하나의 그루브가 있는 경우에 대한 해석만으로 는 유체의 관성효과를 평가할 수 없으며 그루브가 가공 된 무한장 슬라이드 베어링의 윤활해석에서 Reynolds 방정식의 타당성은 Reynolds 수와 그루브의 형상비(그 루브의 폭과 깊이의 비)에 의해 평가된다고 주장하였다.
그리고 그들은 유막이 불연속적인 지점의 전후에서 기 존의 Reynolds 방정식과 운동에너지를 보상하는 식을 함께 사용함으로 Navier-Stokes 방정식으로 구해진 결 과와의 차이를 줄였다. Reynolds 방정식의 타당성에 관 한 기존 연구들을 살펴보면 대부분이 무한장 슬라이드 베어링을 대상으로 하고 있으며 그루브의 깊이가 틈새 에 비해 작거나 같은 경우로 매우 제한적이다. 본 논문 에서는 그루브가 가공된 3차원 형상의 스풀밸브를 대 상으로 그루브의 깊이가 유막두께보다 큰 경우에 대해 캐비테이션이 발생되지 않는 조건에 한하여 Navier- Stokes 방정식(CFD) 과 Reynolds 방정식으로부터 구해 지는 측력, 누설량 및 마찰력을 비교하여 스풀밸브 해 석에서 Reynolds 방정식의 타당성을 살펴보았다.
2. 본 론
2-1. 해석 대상
Fig. 1은 그루브가 가공된 스풀밸브의 해석모델을 나
Fig. 1. Schematic of spool valve (dimensional form).
타낸다. 길이가 l이고 반경이 r1인 스풀이 반경이 r0인 슬리브 안에 놓여져 있다. 이때 스풀은 α만큼 틸팅되 어 있고 e 만큼 편심되어 있다. 그리고 슬리브가 z축 방향으로 u0의 속도로 움직이며 해석 영역 가장자리에 서의 경계압력은 각각 p0, pr이다. 스풀의 양 끝에서 첫번째 그루브까지의 길이는 l1이고 그루브 사이의 간 격은 l3이며 그루브의 폭과 깊이는 l2와 h2이다. Fig. 2 는 Fig. 1의 무차원 모델을 나타낸다.
2-2. 지배방정식
정상상태, 비압축성 유체에 대해 3차원 Navier- Stokes 방정식과 2차원 Reynolds 방정식을 사용하여 해석을 수행하였다. Navier-Stokes 방정식을 이용한 해 석에서는 상용 전산유체해석 프로그램(FLUENT)을 이 용하였다.
스풀과 슬리브 사이의 틈새에서 발생되는 유막압력 은 아래와 같은 2차원 Reynolds 방정식에 의해 계산 할 수 있다.
(1)
여기서 p는 유막내 압력을 나타내고 h는 유막두께를 나타내며 u는 윤활면의 속도이며 η는 윤활유의 점도 를 나타낸다. 유막두께를 나타내는 h는 해석 영역에 따라 다음과 같이 달라진다. 스풀의 좌측으로부터 첫 번째 그루브까지의 범위는 아래와 같다.
(2)
이때, 유막두께식은 아래와 같다.
(3) 여기서 e는 편심량을 나타낸다.
그리고 스풀의 좌측으로부터 첫 번째 그루브 영역에 서의 유막두께식은 아래와 같다.
(4) 또한 그루브 개수에 따라 위와 같은 방식으로 각 영 역에 대한 유막두께식을 사용하여 계산하였다.
해석 영역의 양쪽 경계에서의 압력조건은 아래와 같다.
(5)
(6)
2차원 Reynolds 방정식을 무차원화하여 무차원 파라 미터들을 결정하였다. 식 (1)을 무차원화 하면 다음과 같다.
(7)
여기서 무차원 파리미터들은 아래와 같다.
(8)
그리고 유막두께식 (3), (4)를 무차원화하면 다음과 같다.
(9)
(10) 여기서 무차원 파리미터들은 다음과 같다.
(11)
그리고 각 해석 영역의 범위를 나타내는데 필요한
무차원 파라미터들은 이다.
압력의 경계조건을 나타내는 식 (5)와 (6)을 무차원화 하면 다음과 같다.
∂z∂ --- h3∂p
---∂z
⎝ ⎠
⎛ ⎞ 1 r02
---- ∂
∂θ--- h3∂p
∂θ---
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ 6ηu∂h
∂z---
=
1 2--- z 1
2--- – +l1
<
≤ –
h=c e+ cosθ zα– cosθ
h=c e+ cosθ zα– cosθ h+ 2
z 1 2--- p, – p0
= =
z 1 2--- p, pr
= =
∂
∂z--- H3∂P ---∂z
⎝ ⎠
⎛ ⎞ R2∂
∂θ--- H3∂P ---∂θ
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ 6∂H
---∂z
=
z z -- Hl, h
c---, ,θ P (p p– 0)c2 ηu0l --- R, l
r0
= = = =----
H=1+εcosθ zS– cosθ
H=1+εcosθ zS– cosθ H+ 2
ε ec-- S, lα --- Hc, 2 h2
----c
= = =
L1 l1
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L2 l2
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L3 l3
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ n, ,
, Fig. 2. Schematic of spool valve (non-dimensional
form).
(12)
(13) 여기서 Pr은 아래와 같다.
(14)
따라서 Reynolds 방정식으로 문제를 정의하기 위해 필요한 무차원 파라미터들은 다음과 같다.
(15)
다음으로 CFD 해석에서는 연속 방정식, 운동량 방 정식을 사용하였다. 먼저 유체의 질량 보존을 만족하 는 연속 방정식은 다음과 같다.
(16)
여기서 ρ은 윤활유 밀도를 나타내고 는 방향의 속도를 나타낸다.
다음으로 아래와 같이 방향의 운동량 방정식 을 사용하였다.
r 방향
(17)
θ 방향
(18)
z 방향
(19)
또한 해석 영역 양끝에서 압력의 경계조건은 Reynolds 방정식을 이용한 해석에서와 동일하다.
3차원 Navier-Stokes 방정식을 무차원화하여 무차원 파라미터들을 살펴보았다. 우선 연속 방정식을 나타내 는 식 (16)을 무차원화하면 다음과 같다.
(20)
여기서 무차원 파라미터들은 다음과 같다.
(21)
방향
(22) 운동량 방정식 (17)-(19)를 무차원화하면 다음과 같다.
θ 방향
(23) 방향
(24)
여기서 무차원 파라미터는 다음과 같다.
(25) z=–0.5 P, =0
z=0.5 P, =Pr
Pr (pr–p0)c2 ηu0l ---
=
R l r0
---- S, lα --- Hc, 2 h2
---- Lc, 1 l1
--- Ll, 2 l2
---l
= = = = =
L3 l3
--- n εl, , e
c-- P, r (pr–p0)c2 ηu0l ---
= = =
1 r---∂ ρrv( r)
---∂r 1 ---∂ ρvr ( θ)
--- ∂ ρv∂θ ( z) ---∂z
+ + =0
vr, ,vθvz
r θ z, ,
r θ z, ,
ρ vr∂vr
---∂r 1 r---vθ∂vr
--- v∂θ z∂vr
--- v∂z θ
2
----r –
+ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
∂p∂r --- – η 1
--- ∂r
∂r--- r∂vr ---∂r
⎝ ⎠
⎛ ⎞ 1 r2 ----∂
2vr
∂θ2 --- ∂
2vr
∂z2 --- vr
r2 –---- 2
r2 ----∂vθ
---∂θ –
+ +
+
=
ρ vr∂vθ
---∂r 1 r---vθ∂vθ
--- v∂θ z∂vθ
--- v∂z rvθ
---r
+ + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
1 r---∂p
∂θ---
– η 1
--- ∂r
∂r--- r∂v⎝⎛ ---∂rθ⎠⎞ 1 r2 ----∂
2vθ
∂θ2 --- ∂vθ
∂z2 --- vθ
r2 –---- 2
r2 ----∂vr
---∂θ
+ + +
+
=
ρ vr∂vz
---∂r 1 r---vθ∂vz
--- v∂θ z∂vz
---∂z
+ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
∂p∂z --- – η 1
--- ∂r
∂r--- r∂vz ---∂r
⎝ ⎠
⎛ ⎞ 1 r2 ----∂
2vz
∂θ2 --- ∂
2vz
∂z2 ---
+ +
+
=
1 r ---∂ rv( )r
---∂r 1 r ---∂ v( )θ
---∂θ 1 R---∂ v( )z
---∂z
+ + =0
r r r0
---- v, r vr
u0
---- v, θ vθ
u0
---- v, z vz
u0
= = = =----
r
Re vr∂vr
--- v∂r θ r ----∂vr
--- v∂θ z R----∂vr
--- v∂z ∂
2
r –----
+ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
RB∂P---∂r
– 1
B--- 1 r --- ∂
∂r--- r∂vr ---∂r
⎝ ⎠
⎛ ⎞ 1 r2 ----∂
2vr
∂θ2 --- 1
R2 ---∂
2vr
∂z2 --- vr
r2 –---- 2
r2 ----∂vθ
---∂θ –
+ +
+
=
Re vr∂vθ
--- v∂r θ r ----∂vθ
--- v∂θ z R----∂vθ
--- v∂z rvθ
r ---
+ + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
RB r ---∂P
∂θ---
– 1
B--- 1 r --- ∂
∂r--- r∂vθ ---∂r
⎝ ⎠
⎛ ⎞ 1 r2 ----∂
2vθ
∂θ2 --- 1
R2 ---∂
2vθ
∂z2 --- vθ
r2 –---- 2
r2 ----∂vr
---∂θ
+ + +
+
=
z
Re vr∂vz
---∂r 1 r---vθ∂vz
--- v∂θ z ----∂vR z
---∂z
+ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
B∂P---∂z
– 1
B--- 1 --- ∂r
∂r--- r∂vz ---∂r
⎝ ⎠
⎛ ⎞ 1 r2 ----∂
2vz
---∂θ 1 R2 ---∂
2vz
∂z2 ---
+ +
+
=
Re ρu0c ---η
=
그리고 Fig 2에서 의 범위는 아래와 같다.
(26)
(27)
(28) 이렇게 해석 영역을 정의하기 위해서는 아래와 같은 무차원 파라미터들이 필요하다
(29)
따라서 스풀과 슬리브의 틈새 유동에 대해 Navier- Stokes 방정식으로 풀기 위해 필요한 무차원 파라미터 들은 다음과 같이 총 11개 이다.
(30)
2-3. 해석 결과
두 지배방정식을 통해 스풀밸브에서 측력(lateral force), 누설량(volume flow rate), 마찰력(friction force) 을 비교하였다. 측력은 Fig. 3에서 보는 바와 같이 스 풀 표면에 작용하는 유막압력의 수직성분을 적분함으 로써 얻어지는 값으로 식 (31)과 같다. 이 측력은 스 풀을 슬리브 내벽 쪽으로 치우치게 하거나 스풀을 슬 리브의 중심으로 향하게 하는데 전자가 유체고착을 발 생시키고 후자는 유체고착을 방지한다. 누설량은 식 (32)와 같이 스풀의 출구(outlet)에서 속도 성분을 적분 함으로써 구해진다. 식 (33)에서 F는 스풀 표면에서 유체의 점성으로 발생되는 마찰력으로 스풀 표면의 전 단응력을 적분함으로써 구해진다.
(31)
(32)
(33)
그리고 무차원 측력, 무차원 누설량 그리고 무차원 마찰력은 다음과 같다.
(34)
(35)
(36)
무차원 측력의 비, 무차원 누설량의 비, 무차원 마찰 력의 비는 다음과 같다.
(37)
(38)
(39)
Reynolds 방정식의 타당성을 평가하기 위해 위와 같 이 무차원 측력의 비, 무차원 마찰력의 비 및 무차원 누설량의 비를 사용하였는데, 이때 Navier-Stokes 방정 식으로 구한 값을 기준으로 두 지배방정식으로부터 얻 r θ z, ,
1 1 B--- ε
B--- θ zS
---B θ H2 ---B + cos – cos
⎝ + ⎠
⎛ ⎞ r 1≤ ≤
–
0≤ ≤θ 2π
0.5 z 0.5≤ ≤ –
B r0
---- Rc, l r0
---- L, 1 l1
--- Ll, 2 l2
--- Ll, 3 l3
--- l,
= = = = =
H2 h2
---- n ε Sc, , , lα ---c
= =
R 1 r0
---- S, lα --- Hc, 2 h3
---- Lc, 1 l1
--- Ll, 2 l2
--- Ll, 3 l3
--- l,
= = = = = =
n ε P, , r (pr–p0)c2 ηu0l
--- B, r0
---- Rec, ρu0c ---η
= = =
Fl=∫– l⁄2 l⁄2 ∫02πpcosθr1d zθd
Q ∫v Ad h3 12η ---∂p
---∂z – u0h
---2
⎝ + ⎠
⎛ ⎞r1dθ
0
∫2π
= =
F ∫τwdA h 2---∂p
---∂z – ηu0
---h
⎝ + ⎠
⎛ ⎞r1d zθd
0
∫2π 2 l⁄
–
∫2 l⁄
= =
Fl∗ Flc2 ηu0r1l2
--- –0.5∫02πPcosθd zθd
∫0.5
= =
Q∗ Q u0cr1
--- H3 12---∂P
---∂z
– H
----2
⎝ + ⎠
⎛ ⎞ θd
0
∫2π
= =
F∗ Fc ηu0r1l
--- H ----∂P2
---∂z
– 1
H----
⎝ + ⎠
⎛ ⎞ θd zd
0
∫2π 0.5 –
∫0.5
= =
Fl *RE
Fl *N S–
( – )
Fl *N S–
--- % Fl *RE
Fl *N S–
( – )
Fl *N S–
--- 100×
=
Q *RE
Q *N S–
( – )
Q *N S–
--- % Q *RE
Q *N S–
( – )
Q *N S–
--- 100×
=
F *N S–
F *RE
( – )
F *N S–
--- % F *N S–
F *RE
( – )
F *N S–
--- 100×
=
Fig. 3. Cross section of spool valve.
어진 결과값의 차이를 비교하였다. 이는 여러 가지 가 정으로 간단화된 Reynolds 방정식에 의한 값보다 Navier-Stokes 방정식으로 구한 값이 더 정확하기 때문 이다. 이때, 하첨자 N−S는 Navier-Stokes 방정식을 나 타내고 RE는 Reynolds 방정식을 나타낸다.
본 연구에서는 2.2에서 언급한 무차원 파라미터들 중 에서 틈새와 그루브의 깊이의 비를 나타내는 H2와 스 풀 전체의 길이에 대한 그루브의 폭의 비를 나타내는 L2와 그루브의 개수를 나타내는 n, 그리고 관성력과 점 성력의 비를 나타내는 Re의 영향에 대해서 살펴보았다.
2-3-1. H2와 Re의 영향
대부분의 유체윤활문제에서는 틈새가 아주 작기 때 문에 유막두께 방향으로는 유막압력의 변화가 없다고 가정한 Reynolds 방정식을 이용하여 계산의 효율성을 향상시켰다. 그러나 스풀밸브처럼 그루브의 깊이가 틈 새보다 큰 경우에는 유막두께방향으로 유막압력이 일 정하다는 가정이 타당하지 않다. 따라서 본장에서는 틈 새와 그루브의 깊이의 비를 나타내는 H2의 변화에 의 한 두 지배방정식의 윤활특성을 비교하였다. 또한 관 성력과 점성력의 비를 나타내는 Re의 영향도 살펴보 았다. Table 1은 H2의 영향에 대한 해석에서 사용된 계산 조건이다. Fig. 4는 Re가 2.14일 때, H2의 변화 에 대한 무차원 측력을 나타낸다. 빨간색 실선은 Reynolds 방정식에 의해 구해진 결과이고 검정색 실선 은 Navier-Stokes 방정식으로 구해진 결과이다. H2가 증가할수록 무차원 측력은 감소한다. 또한H2가 작은 값 의 범위에서는 H2의 증가에 따라 무차원 측력이 급격
하게 작아지나 H2가 큰 값의 범위에서는 H2의 증가에 따라 무차원 측력이 완만하게 작아진다. Fig. 5는 Re가 2.14일 때, H2의 변화에 대한 무차원 누설량을 나타낸다.
H2의 증가에 따라 Reynolds 방정식으로 구한 무차원 누 설량은 증가하나 Navier-Stokes 방정식으로 구한 값은 거의 변화가 없다. Fig. 6은 Re가 2.14일 때, H2의 변화 에 대한 무차원 마찰력을 나타낸다. H2의 변화에 의한 무차원 마찰력은 크게 변하지 않는다. Re가 2.14일 때와 마찬가지로 Re가 0.214, 6.42, 21.4, 214일 때 무차원 측력의 비, 무차원 누설량의 비 및 무차원 마찰력의 비 도 살펴보았다. Figs. 7~9은 무차원 측력의 비, 무차원 누설량 비와 무차원 마찰력의 비를 H2와 Re의 변화에 따라 나타낸 것이다. Re와 H2의 변화에 의한 무차원 측 Table 1. Nondimensional parameters for numerical calculation (variation of H2 and Re)
5 -1 0.075 0.015 0.025 1
5 -1 0.075 0.015 0.025 10
5 -1 0.075 0.015 0.025 30
5 -1 0.075 0.015 0.025 50
n ε
-0.124 4 0 400 0.214, 2.14, 6.42, 21.4, 214
-0.124 4 0 400 0.214, 2.14, 6.42, 21.4, 214
-0.124 4 0 400 0.214, 2.14, 6.42, 21.4, 214
-0.124 4 0 400 0.214, 2.14, 6.42, 21.4, 214
R 1 r0
=----
⎝ ⎠
⎛ ⎞ S lα
---c
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L1 l1
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L2 l2
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L3 l3
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ H2 h2
----c
⎝= ⎠
⎛ ⎞
Pr (pr–p0)c2 ηu0l ---
⎝= ⎠
⎛ ⎞ B r0
----c
⎝= ⎠
⎛ ⎞ Re ρu0c
---η
⎝= ⎠
⎛ ⎞
Fig. 4. Dimensionless lateral force with variation of H2
(Re=2.14).
력의 비는 6% 미만, 무차원 누설량의 비는 3% 미만, 무차원 마찰력의 비는 7% 미만으로 작다.
무차원 측력, 누설량, 마찰력은 압력이나 속도 성분 을 적분하여 얻어지는 값이므로 국부적으로는 압력이 어떻게 변화하는지 살펴볼 필요가 있다. 따라서 몇 가 지 경우에 대해 국부적인 압력분포를 살펴보았다. 우 선 스풀의 길이 방향인 축 방향으로의 무차원 압력 분포를 살펴보았다. Fig. 10과 같이 θ를 정의할 때, θ 가 일정한 각도일 때 형성되는 유막틈새에서 발생하는 무차원 유막압력에 대해서 살펴보았다. Figs. 11, 12는 각각 H2가 1과 50이고 θ가 0도, 90도, 180도일 때 스풀의 축 방향에 대한 무차원 압력분포를 나타낸다.
실선은 Navier-Stokes 방정식에 의해서 구해진 결과이고 z
Fig. 5. Dimensionless volume flow rate with variation of H2 (Re=2.14).
Fig. 6. Dimensionless friction force with variation of H2
(Re=2.14).
Fig. 7. Dimensionless lateral force ratio with variation of H2 and Re.
Fig. 8. Dimensionless volume flow rate ratio with variation of H2 and Re.
Fig. 9. Dimensionless friction force ratio with variation of H2 and Re.
점선은 Reynolds 방정식에 의해서 구해진 결과이다. 여 기서 Navier-Stokes 방정식으로 구한 압력분포는 유막두 께 방향으로의 압력 값들을 평균화하여 표시하였다. 검 정색은 θ가 0도 일 때의 무차원 압력분포를 나타내고 빨간색과 파란색은 각각 θ가 90도, 180도 일 때의 압 력분포를 나타낸다. Fig. 11은 H2가 1일 때, 즉 그루브 의 깊이와 틈새가 같은 경우에 대한 결과를 나타내는데 빨간색 선들은 θ가 90도 일 때의 압력분포를 나타낸다.
결과를 보면 θ가 90도 일 때는 두 지배방정식에 의한 무차원 압력분포가 거의 일치한다. 그러나 θ가 0도와 180도 일 때는 Reynolds 방정식으로 구한 무차원 압력 이 Navier-Stokes방정식으로 구한 무차원 압력보다 크다.
Fig. 12는 H2가 50일 때, 축 방향으로의 무차원 압력분 포를 나타낸다. H2가 1일 때와는 달리 θ가 90도 일 때 도 지배방정식에 따라 압력분포의 차이를 보인다. 그리 고 H2가 50일 때가 H2가 1일 때 보다 θ가 0도, 180
도 에서 더 큰 압력분포의 차이를 보인다.
Reynolds 방정식에서는 유막두께 방향으로의 압력은 일정하다고 가정한다. 레이놀즈 방정식에서 사용한 가 정이 타당한지 살펴보기 위해 Navier-Stokes 방정식으 로 구해진 결과로부터 Fig. 13와 같이 스풀의 좌측 끝 단에서 첫 번째 그루브의 양 벽면과 중앙 단면에 대해 유막두께 방향으로 압력분포가 어떻게 변화하는지 살 펴보았다. 그루브의 좌측 벽면에서의 결과는 검정색으 로 우측벽면의 결과는 파란색으로 그리고 중앙단면의 결과는 빨간색으로 나타내었다. Fig. 14는 H2가 1이고 Re가 0.214, 2.14, 214일 때의 유막두께 방향으로의 무차원 압력분포를 나타내고 Fig. 15는 H2가 50이고 Re가 0.214, 21.4, 214일 때의 유막두께 방향으로의 무차원 압력분포를 나타낸다. H2가 1인 경우에는 Re에 상관없이 그루브의 양 벽면과 중앙단면에서 유막두께 방향으로 압력이 거의 일정하다. 그러나 H2가 50일 때, Re가 0.214로 작은 경우에는 그루브 중앙 단면에서는 유막두께 방향으로 압력이 거의 일정하나 그루브의 양 벽면에서의 압력변화는 상대적으로 크다. Re가 21.4와 214일 때는 좌측 벽면과 중앙 단면보다 우측 벽면에서 Fig. 10. Direction of θ.
Fig. 11. Dimensionless pressure distribution with variation of governing equations (H2=1, Re=2.14).
Fig. 12. Dimensionless pressure distribution with variation of governing equations (H2=50, Re=2.14).
Fig. 13. Both walls and center line of groove.
의 압력변화가 크다. 그리고 Re가 증가하면 유막두께 방향으로의 압력변화가 더 크다.
그루브 내의 압력분포를 좀더 살펴보기 위해 Fig.
16와 같이 스풀의 길이 방향에 수직으로 자른 단면의 슬리브 내벽과 스풀의 외벽에서 원주 방향으로의 압력 분포를 살펴보았다. Fig. 17은 Fig. 16과 같이 단면을 잘랐을 때 스풀의 외벽과 슬리브 내벽이 이루는 틈새 를 나타낸다. Figs. 18, 19는 H2가 1, 50 이고 Re가 2.14일 때, 4개의 그루브의 중앙 단면을 잘랐을 때 스 풀의 원주방향으로의 무차원 압력분포를 나타낸다. 검 정색은 스풀의 좌측 끝단으로부터 첫 번째 그루브의 중앙 단면의 결과이고 빨간색, 파란색, 초록색은 각각 두 번째, 세 번째, 네 번째 그루브의 중앙 단면의 결 과를 나타낸다. 그리고 Fig. 18에서 검정색 선들 중에 실선은 슬리브의 내벽에서 원주방향으로의 압력분포이 고 점선은 스풀의 외벽에서의 원주 방향으로의 압력분 포를 나타낸다. 나머지 다른 색의 실선들은 슬리브의 내 Fig. 14. Dimensionless pressure variation across film
thickness (H2=1, Re=0.214, 21.4, 214).
Fig. 15. Dimensionless pressure variation across film thickness (H2=50, Re=0.214, 21.4, 214).
Fig. 16. Vertical surface for axial direction of spool.
Fig. 17. Clearance between spool and sleeve.
Fig. 18. Dimensionless pressure variation in the circumferential direction (H2=1, Re=2.14).
벽에서 원주방향으로의 압력분포를 나타낸다. 첫 번째 그루브에서 스풀의 외벽에서 원주방향으로의 압력변화 는 슬리브의 외벽에서의 압력변화에 비해 거의 변화가 없다. 그리고 첫 번째 그루브와 두 번째 그루브의 압력 분포에서 θ가 0도 부근에서 압력이 급격하게 변화하지 만 세 번째 그루브와 네 번째 그루브의 결과에서는 첫 번째 그루브와 두 번째 그루브의 결과들에 비해 상대적 으로 완만하게 압력이 변화한다. Fig. 19는 H2가 50일 때의 결과를 나타내는데 H2가 1인 경우에 비해 상대적 으로 원주방향으로의 압력이 거의 변하지 않는다. 이것 은 그루브의 깊이가 깊을수록 스풀의 원주 방향으로 압 력을 균일화하는 효과가 크기 때문이다. Fig. 20은 H2
가 1이고 Re가 21.4, 214일 때 첫 번째 그루브에서
원주방향으로의 무차원 압력분포를 지배방정식에 따라 표현한 것이다. 실선은 Navier-Stokes 방정식의 결과이 고 일점 쇄선은 Reynolds 방정식의 결과이며, 검정색 선들은 Re가 21.4일 때의 결과이고 빨간색 선들은 Re 가 214일 때의 결과이다. Re가 21.4일 때는 두 지배방 정식에 의한 원주방향의 압력분포 차이는 거의 없으나 Re가 214일 때는 두 지배방정식에 의한 압력분포 차이 가 크다. 이는 Re가 작은 경우보다 큰 경우에 관성력이 유막의 압력형성에 상대적 큰 영향을 미치기 때문이다.
2-3-2. L2와 Re의 영향
L2는 스풀 전체의 길이에 대한 그루브의 폭의 비를 나타내는 무차원 파라미터이다. Table 2는 L2의 변화에 Fig. 19. Dimensionless pressure variation in the
circumferential direction (H2=50, Re=2.14).
Fig. 20. Dimensionless pressure variation in the circumferential direction (H2=1, Re=21.4, 214).
Table 2. Nondimensional parameters for numerical calculation (variation of L2 and Re)
5 -1 0.075 0.0025 0.025 30
5 -1 0.075 0.005 0.025 30
5 -1 0.075 0.015 0.025 30
5 -1 0.075 0.025 0.025 30
n ε
-0.124 4 0 400 2.14, 21.4, 107, 214
-0.124 4 0 400 2.14, 21.4, 107, 214
-0.124 4 0 400 2.14, 21.4, 107, 214
-0.124 4 0 400 2.14, 21.4, 107, 214
R 1 r0
=----
⎝ ⎠
⎛ ⎞ S lα
---c
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L1 l1
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L2 l2
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L3 l3
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ H2 h2
----c
⎝= ⎠
⎛ ⎞
Pr (pr–p0)c2 ηu0l ---
⎝= ⎠
⎛ ⎞ B r0
----c
⎝= ⎠
⎛ ⎞ Re ρu0c
---η
⎝= ⎠
⎛ ⎞
대한 두 지배방정식의 결과 비교에서 사용된 계산 조 건이다. Figs. 21~23은 L2와 Re의 변화에 대한 무차 원 측력의 비, 무차원 누설량의 비, 무차원 마찰력의 비를 나타낸다. 무차원 측력의 비를 살펴보면, L2가 0.0025인 경우에는 Navier-Stokes 방정식으로 구한 측 력의 값이 크지만 L2가 이보다 커지면 Reynolds 방정 식으로 구한 측력의 값이 더 크다. Re가 2.14이고 L2
가 0.0025인 경우, 즉 상대적으로 Re와 L2가 작은 경 우에는 누설량의 비가 10% 이상이나 그 외에는 10%
미만으로 두 지배방정식에 의한 누설량의 차이는 크지 않다. 마찰력의 비를 살펴보면 L2와 Re가 클수록 마찰 력의 비가 크다. Re와 L2의 변화에 의한 무차원 측력 의 비는 5%, 무차원 마찰력의 비는 7% 미만으로 작 Fig. 21. Dimensionless lateral force ratio with variation
of L2 and Re.
Fig. 22. Dimensionless volume flow rate ratio with variation of L2 and Re.
Fig. 23. Dimensionless friction force ratio with variation of L2 and Re.
Fig. 24. Dimensionless pressure variation across film thickness (L2=0.0025, Re=2.14, 107, 214).
Fig. 25. Dimensionless pressure variation across film thickness (L2=0.025, Re=2.14, 107, 214).
다. 그리고 무차원 누설량의 비는 L2가 작고 Re가 작 은 경우에 무차원 누설량의 비가 10% 이상의 경우도 나타나지만 대체적으로 6% 미만으로 작다.
Figs. 24, 25는 각각 L2가 0.0025, 0.025 이고 Re 가 2.14, 107, 214일 때 유막두께 방향으로의 무차원 압력분포를 나타낸다. Fig. 24는 L2가 0.0025일 때의 결과로 Re에 상관없이 전체 유막두께에서 압력이 일 정하게 유지되는 부분의 비율이 크다. 그리고 스풀의 외벽 (outer wall) 부근 보다는 슬리브의 내벽 (inner wall) 부근에서 유막두께 방향으로 급격한 압력 변화를 보인다. 또한 Re가 작을 때 보다 큰 경우에 슬리브 내벽 부근에서 더 큰 압력변화가 나타난다. Fig. 25는 L2가 0.025일 때, 유막두께 방향으로의 유막압력분포를 나타내는데 L2가 0.002일 때 보다 유막두께 방향으로 의 압력변화가 크다. Re가 2.14로 작은 경우에는 압력 변화가 일정하게 유지되는 부분이 나타나지만 Re가 증 가할수록 유막두께 방향으로의 압력이 일정하게 유지 되는 부분이 없으며 압력변화도 더 크다.
2-3-3. n와 Re의 영향
n은 그루브의 개수를 나타내는 무차원 파라미터로 이전의 파라미터들의 영향을 조사할 때는 그루브의 개 수가 4개였으나 이번에는 2개부터 16개까지 변화시키 면서 그 영향을 살펴보았다. 그루브는 스풀의 양 끝단 으로부터 대칭적으로 위치하게 된다. 즉 그루브 개수 가 8개인 경우에는 그루브가 양쪽에 4개씩 대칭적으로 위치하게 된다. n의 영향을 살펴보기 위해 사용된 계 산조건은 Table 3에 나타난다. Figs. 26~28은 Re의
변화에 대한 무차원 측력의 비, 무차원 누설량 비와 무차원 마찰력의 비를 n에 따라 나타낸 것이다. Fig.
26을 보면 n이 16개로 많은 경우에 Re가 증가하면 측 력의 비가 15% 이상으로 증가한다. 그리고 n이 2, 4, 8개인 경우에는 대부분이 Reynolds 방정식으로 구한 측력의 값이 Navier-Stokes 방정식으로 구한 측력의 값보다 크지만 n이 16개로 많은 경우에는 반대로 Navier-Stokes 방정식으로 구한 측력의 값이 더 크다.
무차원 누설량의 비는 Re와 n이 변하여도 3% 미만으 로 작게 나타남을 Fig. 27에서 확인할 수 있다. n이 16개로 많은 경우에는 n이 2, 4, 8개인 경우와 달리 Navier-Stokes 방정식으로 구한 누설량이 더 크다. 무 차원 마찰력의 비를 살펴보면 n이 16개로 많은 경우 에는 15% 이상으로 크게 나타남을 Fig. 28을 통해 확인할 수 있다. 다른 무차원 파라미터들에 비해 그루 브 개수에 의한 무차원 측력의 비와 무차원 마찰력의 비는 크다. 따라서 캐비테이션이 발생되지 않는 조건 에서 그루브 개수가 많은 스풀밸브를 대상으로 측력과 마찰력의 크기를 알아보기 위해서는Navier-Stokes 방정 식을 이용한 해석이 보다 타당하다.
Fig. 29는 Re가 2.14이고 θ가 180도 일 때, 그루 브 개수의 변화에 따라 Reynolds 방정식과 Navier- Stokes 방정식에 의해 구해지는 무차원 압력분포를 나 타낸다. 실선은 Navier-Stokes 방정식에 의해서 구해진 압력분포를 나타내고 일점 쇄선은 Reynolds 방정식에 의해 구해진 압력분포를 나타낸다. 그리고 색의 차이 로 그루브 개수에 따른 결과를 구분하였다. 그루브 개 수가 2개, 4개, 8개, 16개 일 때의 결과를 각각 검정 Table 3. Nondimensional parameters for numerical calculation (variation of n and Re)
5 -1 0.075 0.015 0.025 30
5 -1 0.075 0.015 0.025 30
5 -1 0.075 0.015 0.025 30
5 -1 0.075 0.015 0.025 30
n ε
-0.124 2 0 400 2.14, 21.4, 107, 214
-0.124 4 0 400 2.14, 21.4, 107, 214
-0.124 8 0 400 2.14, 21.4, 107, 214
-0.124 16 0 400 2.14, 21.4, 107, 214
R 1 r0
=----
⎝ ⎠
⎛ ⎞ S lα
---c
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L1 l1
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L2 l2
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ L3 l3
---l
⎝= ⎠
⎛ ⎞ H2 h2
----c
⎝= ⎠
⎛ ⎞
Pr (pr–p0)c2 ηu0l ---
⎝= ⎠
⎛ ⎞ B r0
----c
⎝= ⎠
⎛ ⎞ Re ρu0c
---η
⎝= ⎠
⎛ ⎞
색, 빨간색, 파란색, 초록색으로 나타내었다. 이때 Navier-Stokes 방정식에 구해진 압력분포의 결과에서 각 점의 압력은 유막두께 방향으로의 압력값들을 평균 화한 것이다. 무차원 압력의 최대값을 살펴보면 Reynolds 방정식으로 구한 값이 Navier-Stokes 방정식 으로 구한 값보다 더 크다. 그리고 그루브 개수가 많 을수록 지배 방정식에 따른 압력의 최대값의 차이가 크다. 또한 그루브 개수가 많을수록 더 큰 압력강하가 나타난다. 이렇게 국부적으로 압력의 변화가 큼을 확 인할 수 있다.
3. 결 론
본 연구에서는 스풀밸브의 해석에서 사용되는 Reynolds 방정식의 타당성을 평가하기 위해 2차원 Reynolds 방정식과 3차원 Navier-Stoke방정식을 무차 원화하여 해석결과를 비교하였다. 각각의 선정된 무차 원 파라미터들에 대해 두 지배방정식으로부터 얻어지 는 측력, 마찰력 및 누설량을 비교하였다. 이를 통해서 다음과 같은 결론을 얻었다.
(1) 그루브 개수가 많고 Re가 큰 경우에 무차원 측 력의 비와 무차원 마찰력의 비는 16%와 17% 미만으 로 크지만 무차원 누설량의 비는 3% 미만으로 작다.
따라서 이런 경우에 대한 스풀밸브의 측력 및 마찰력 의 해석에서는 Navier-Stoke방정식을 이용하는 것이 적 절하다.
(2) 그루브의 개수가 많고 Re 가 큰 경우를 제외한 Fig. 26. Dimensionless lateral force ratio with variation
of n and Re.
Fig. 27. Dimensionless volume flow rate ratio with variation of n and Re.
Fig. 28. Dimensionless friction force ratio with variation of n and Re.
Fig. 29. Dimensionless pressure distribution with variation of number of groove and governing equations (Re=2.14).
나머지 경우들에 대한 지배방정식의 결과차이는 대체 적으로10% 미만으로 아주 작다. 따라서 캐비테이션이 발생하지 않는 조건에서 그루브의 개수가 많고 Re 가 큰 경우를 제외한 스풀밸브의 윤활해석에서는 보다 간 단한Reynolds 방정식을 이용한 해석만으로도 충분하다.
(3) Navier-Stoke방정식을 이용한 해석으로 얻어진 결과에서 그루브의 중앙부분보다는 양쪽 벽면에서 유 막두께 방향으로 큰 압력변화가 있으며 또한 스풀의 외벽보다는 슬리브의 내벽부근에서 압력변화가 크다.
그리고 H2, L2 및 Re가 클수록 유막두께 방향으로의 압력 변화가 크다.
기호설명
B =무차원 파라미터(r0/c) F =마찰력
F* =무차원 마찰력 Fl =측력
Fl* =무차원 측력
H2 =무차원 그루브의 깊이
L1 =스풀의 선단에서부터 첫번째 그루브 까지의 무차원 길이
L2 =무차원 그루브의 폭
L3 =그루브들 사이의 무차원 길이 N-S = Navier-Stokes 방정식 P =무차원 압력
Pr =우측 경계에서의 무차원 압력 Q =누설량
Q* =무차원 누설량 R =무차원 파라미터(l/r0) RE = Reynolds 방정식 Re =레이놀즈 수( ) S =무차원 파라미터( ) c =동심 상태일 때의 틈새(r0−r1) e =편심량
h =유막두께 h2 =그루브의 깊이 l =스풀의 길이
l1 =스풀의 선단에서부터 첫번째 그루브 까지의 길이 l2 =그루브의 폭
l3 =그루브들 사이의 길이 n =그루브의 개수 p =유막압력
po =좌측 경계에서의 압력 pr =우측 경계에서의 압력 u =윤활면의 속도 u0 =슬리브의 속도 r0 =슬리브의 반경 r1 =스풀의 반경
= 방향의 속도
= 방향의 무차원 속도
Greek
α =스풀의 틸팅 각도 ε =편심률
η =윤활유의 점도 ρ =윤활유의 밀도
Subscript
N-S = Navier-Stokes 방정식 RE = Reynolds 방정식
후 기
이 논문은 2012년도 두뇌한국(BK)21사업에 의하여 지원되었음.
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