서 론
완전파형역산은 탄성파탐사자료를 이용하여 지하의 물 성정보를 정확히 알 수 있는 기법으로 최근 컴퓨터 기술의 발달로 인해 탄성파탐사 자료처리에 많이 사용되고 있는 기법이다. 완전파형역산과 관련된 연구가 본격적으로 활 발히 진행되기 시작한 2000년 전후에는 2차원 합성자료를 이용한 이론적인 연구(Pratt et al., 1998; Shin et al., 2001;
Sirgue and Pratt, 2004)가 주로 수행되었고 이후 다중변수
역산이나 3차원으로 확장된 연구가 수행되는 등 좀 더 실제 적인 연구에 대한 결과가 발표되었다(Ben-Hadj-Ali, H. et al., 2008; Brossier et al., 2009; Plessix, 2009; Pyun et al., 2011). 또한 컴퓨터의 발달에도 여전히 완전파형역산은 많 은 계산시간과 비용을 필요로 하기에 이를 좀 더 효율적으 로 처리하기 위한 동시송신원법이나 평면파를 이용한 역산 연구도 수행되었다(Krebs et al., 2009; Ben-Hadj-Ali et al., 2011; Vigh and starr, 2008; Kwon et al., 2015). 최근에는 현장자료에 완전파형역산을 적용한 연구사례(Sears et al., 2010; Warner et al., 2013; Vigh et al., 2014)도 볼 수 있어 완전파형역산이 이론적으로만 증명된 연구가 아닌 실제로 도 쓰일 수 있는 자료처리 방법임을 알 수 있다. 하지만 현장 자료에 완전파형역산을 성공적으로 적용하기에는 아직까
평면파 변환을 이용한 3차원 탄성파자료의 효과적인 2차원 완전파형역산
권택현1)· 설순지1)* · 변중무1)
Effective 2D Full Waveform Inversion for 3D Seismic Data using Plane-Wave Transformation
Taekhyun Kwon, Soon Jee Seol* and Joongmoo Byun (Received 24 March 2016; Final version Received 19 April 2016; Accepted 14 April 2016)
Abstract : Full waveform inversion (FWI) provides accurate velocity information of subsurface media. FWI can update velocity as reducing the residual between the observed and estimated data which can be obtained by solving wave equation. Therefore, when we carry out 2D FWI with 3D data acquired in a field, critical problems happen in FWI, because 2D and 3D wave equations have different green functions. To overcome the problem we suggest 2D plane-wave FWI method using plane-wave gathers, which are transformed from 3D data, as observed data.
Since plane-wave data follow 1D green function, the differences of amplitude and phase do not occur, it means that we can implement FWI by using different dimension data. In addition, this method has advantage that computational cost is considerably reduced. To verifythe validity of this method, we applied it to 3 layer model and 3D SEG/EAGE overthrust model and obtained reasonable inversion results.
Key words : Plane-wave, Full waveform inversion, Green function, 3D
요 약 : 완전파형역산은 정확한 파동방정식의 해에 의해 얻어진 예측자료와 관측자료와의 잔차를 줄여가며 속도모델을 업데이트 시키는 자료처리 방법이다. 그러나 실제 현장자료는 3차원적 송신원에 의해 얻어지게 되어
2차원 파동방정식을 이용한 2차원 역산을 수행하면 서로 다른 그린함수로 인해 역산 수행에 근본적인 문제가
발생한다. 이 연구에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 3차원 자료를 평면파자료로 변환하여 2차원 평면파 완전 파형역산을 수행하는 방법을 제안하였다. 평면파자료는 1차원 그린함수를 따르는 해가 되므로 그린함수의 차이 에 의한 문제가 발생되지 않고 이 방법을 적용 시 계산비용이 줄어드는 장점도 갖게 된다. 제안한 방법의 효용성 을 확인하기 위해 3층 층서모델 및 3차원 SEG/EAGE 충상단층(overthrust) 모델에 적용하였고 수치 실험 결과 평면파 완전파형역산이 성공적으로 수행됨을 확인하였다.
주요어 : 평면파, 완전파형역산, 그린함수, 3차원
1) 한양대학교 자원환경공학과
*Corresponding Author(설순지) E-mail; [email protected]
Address; Dept. of Earth Resources and Environmental Engineering, Hanyang University, Seoul, Korea 연구논문
지 많은 어려움이 있는 것이 현실이다. 이러한 현실적인 문 제 중 하나는 관측자료와 예측자료의 그린함수(green function)의 차이에 따른 문제이다. 실제 현장에서 탐사를 수행하는 경우 2차원탐사든 3차원탐사든 획득한 자료는 3 차원 점송신원에 의해 전파되어 수신기에 도달한 자료이고 이를 3차원 파동방정식을 이용한 완전파형역산을 한다면 같은 그린함수를 갖는 파동방정식이 적용되기 때문에 문제 가 없다. 하지만 비용상의 문제 혹은 효과적으로 초기모델 을 얻기 위해 2차원 파동방정식을 이용한 완전파형역산을 수행하는 경우가 많다. 이러한 경우 관측자료로 쓰이게 되 는 현장자료는 3차원 점송신원에 의해 전파된 자료이지만 2차원 역산에서는 선송신원을 가정한 2차원 모델링에 의 한 자료를 이용함에 따라 서로 다른 그린함수를 적용하게 되어 정확한 역산 수행에 문제가 발생한다. 이러한 문제를 해결하기 위한 방법으로 역산을 수행하기 전 시간에 따라 감쇠하는 진폭과 위상을 보정해주는 등의 추가적인 전처리 (Crase et al., 1990; Pica et al., 1990; Shipp et al., 2002;
Wang et al., 2014)를 많이 사용하지만 이는 근사적으로 진 폭과 위상을 보정해주는 것이고 특히 구조적 변화가 큰 지 역에서는 제대로 보정이 되지 않는다(Pratt, 1999). 다른 방 법으로는 송신원은 3차원적으로 발생시키고 모델링은 2차 원으로 수행하는 2.5차원 완전파형역산 연구(Song et al., 1995; Xionget al., 2013)도 있지만 이는 복잡한 수식전개 와 알고리듬 구현이 필요하고 일반적인 2차원 완전파형역 산에 비해 많은 계산비용이 요구된다(Pratt, 1999).
이 연구에서는 공통송신원모음자료를 평면파모음자료 로 변환하는 비교적 간단한 전처리만으로 복잡한 수식전개 와 알고리듬 구현 없이 3차원 점송신원자료로 2차원 완전 파형역산을 효과적으로 수행할 수 있는 방법을 제안하고자 한다. 또한 평면파 방법을 적용한 경우 일반적으로 송신원 의 수보다 역산에 사용되는 파선변수(ray parameter)의 수 가 작아지게 되어 계산비용 또한 줄일 수 있다(Kwon et al., 2015). 제안한 방법의 적용성을 보이기 위해 단순한 3층모 델과 SEG/EAGE 충상(overthrust)단층 모델(Aminzadeh et al., 1997)에서 획득한 합성자료를 이용하여 2, 3차원 그 린함수에 따른 차이를 분석하고 평면파를 이용한 완전파형 역산을 수행하였다.
이 론
파동방정식의 해
시간영역에서 1, 2, 3차원 음향 파동방정식은 다음의 식 (1-3)과 같이 표현된다(Watanabe, 2014).
1D:
(1)
2D:
(2)
3D:
(3)
여기서, 는 공간벡터와 시간에 대한 음압함수로 파 동방정식의 해가 되고 는 매질의 속도, 우변의 ⋅에서 아래첨자 는 송신원을 의미하고 ⋅는 공간과 시간에 따 른 크기가 1인 충격(impulse) 송신원이 된다. 3차원적으로 봤을 때 1차원 파동방정식에서의 송신원은 평면파가 되고 2차원 파동방정식에서는 선송신원, 3차원 파동방정식에서 는 점송신원이 됨을 알 수 있다. 그리고 위의 각 파동방정식 에 대한 그린함수는 다음 식 (4-6)과 같다(Watanabe, 2014).
1D: (4) 2D:
(5)
3D:
(6)여기서, ⋅는 헤비사이드 계단(Heaviside step)함수,
은 각각 2, 3차원에서 송 신원까지의 거리를 나타낸다. 위의 그린함수에서 알 수 있 듯이 같은 속도모델에서 같은 거리를 간 파동이라도 각 차 원에 따라 파의 진폭과 위상이 달라지므로 3차원 점송신원 에 의해 전파하여 획득한 자료를 2차원 선송신원을 갖는 파 동방정식으로 역산을 한다면 정확한 해를 구할 수 없게 된 다. 이것은 현장에서 획득한 자료를 2차원 완전파형역산에 적용하는 것에 한계가 있음을 의미하고 이 연구에서는 이 러한 문제를 해결하기 위해 다수의 송신원에 의한 자료 역 산에서 계산비용을 효과적으로 줄여 줄 수 있는 동시송신 원법의 하나인 평면파 역산기법을 도입하였다. 송신원이 평면파가 된다면 차원에 관계없이 파동방정식의 그린함수 는 1차원 거동을 하게 된다. 따라서 점송신원에 의한 3차원 관측자료를 평면파에 의한 자료로 변환할 수 있다면 이론
적으로 전파거리에 따른 감쇠가 없는 1차원 그린함수의 특 성에 의한 자료로 변환되고 역산에 사용된 모델링에도 평 면파를 송신원으로 하는 모델링을 한다면 그린함수의 차이 가 없어져 2차원 평면파 완전파형역산으로 지하매질의 속 도정보를 추출할 수 있게 된다. 물론 평면파가 되는 조건을 만족해야 되고 2차원적 구조적 변화에는 문제가 없지만 3 차원적으로 지하구조의 변화가 심한 경우에는 위의 가정에 부합하지 않게 되므로 역산이 제대로 수행되지 않을 수도 있다는 한계점도 있다. 이에 대한 논의는 다음 장과 수치예 제를 통해 자세히 살펴보도록 하겠다.
평면파모음(Plane-wave gather)자료 변환
평면파를 이용한 역산을 하기 위해서는 관측된 공통송신 원모음자료를 평면파모음자료로 변환하는 과정이 필요하 다. 평면파모음자료는 파선변수(ray parameter)와 벌림과 의 관계를 이용한 지연시간을 구하여 각각의 공통수신점모 음자료에서 송신원에 따라 시간지연을 한 경사겹쌓기 (slant stack)를 하여 변환할 수 있고 시간지연은 다음과 같 은 식 (7)로 구할 수 있다(Vigh and Starr, 2008; Kwon et al., 2015).
p (7)
여기서 는 각각 방향으로의 송신원 번호, p 는 파선변수벡터, , 는 송신원 위치 좌표를 나타내고 ,
는 평면파 기준점이 된다(부록). 평면파모음자료로 변환 시 알리아스 효과와 혼선잡음(crosstalk noise)를 줄이기 위 해 송신원간의 거리가 충분히 작아야 되고 다음 식 (8)을 만 족해야 한다.
≤ m axm ax (8)
여기서, 는 송신원간격, m ax는 최대주파수이고 최대 파 선변수 m ax는 대상지역의 지질구조에 의해 따라 결정된다 (Vigh and Starr, 2008; Kwon et al., 2015). 만약 실제 현장 자료에서 위의 조건식을 만족하지 않는 송신원 간격인 경 우에는 최근 많이 개발된 탄성파트레이트 내삽기법(Choi et al, 2014)을 활용하여 송신원 간격을 줄여서 평면파자료 로 변환할 수 있다.
평면파 완전파형역산(Plane-wave full waveform inversion)방법
시간영역에서의 파동방정식은 주파수영역에서 다음 식 (9)와 같이 변환하여 쓸 수 있다(Marfurt, 1984).
Sx ux xxs (9)
여기서 Sx 는 임피던스 행렬, 는 송신원, 는 각주파 수이다. 평면파 완전파형역산을 하기 위해서는 관측자료 로 쓰이는 평면파자료와의 잔차를 구해야 하므로 평면파를 송신원으로 한 계산자료가 필요하다. 따라서 식 (9)를 평면 파 송신원을 갖는 식으로 만들어야 하고 시간시간영역에서 의 시간지연을 주파수영역에서는 위상이동으로 표현할 수 있으므로 다음과 같이 식 (10)으로 표현할 수 있다(Tao and Sen, 2013).
Sx ux p x xs p xxs (10)
여기서, x xs p 는 평면파 변환 함수로 아래 식 (11) 과 같고 파선변수의 부호에 따라 다른 평면파 기준점 ,
m ax을 갖게 된다.
expexp m ax ≥ ＜ (11)여기서 는 파선변수 번호이고 식 (9)와 식 (10)을 비교해 보 면 송신원 수만큼의 자료가 파선변수 수만큼의 자료로 바 뀌는 것을 알 수 있다. 일반적으로 완전파형역산에 쓰이는 송신원의 수는 파선변수의 수보다 훨씬 많아 역산에 사용 되는 자료의 양과 모델링 횟수를 이 변환을 사용하면 경제 적으로 줄 일 수 있게 된다. 이 연구에서는 식 (10)을 이용하 여 평면파 완전파형역산의 모델링엔진으로 사용하고 MKL라이브러리의 PARDISO를 이용해 직접해법으로 행 렬계산을 하였다. 역산 역시 모델링과 마찬가지로 주파수 영역에서 수행하였으며 감쇠 최소 제곱법(Damped least- square method)를 이용한 가우스뉴턴법을 적용하였다(Joo et al., 2009; Kwon et al., 2015).
수치실험
앞서 설명한 이론을 적용하기 위해 우선 3층 속도모델을 구성하여 합성자료를 생성하였다. 모델의 크기는 5 km×
2.5 km×1.35 km이고 송신원은 50 m 간격으로 x방향 88개, y방향 38개로 총 3344개, 수신기는 100 m 간격으로 x방향 44개, y방향 19개로 총 836개로 설정하여 3차원 모델(Fig.
1(a))에 대한 모델링을 통해 합성탄성파탐사자료(점송신 원자료)를 구하였다. 그리고 이와 비교하기 위해 3차원 속 도모델에서 y방향의 중간지점의 단면을 3층 속도모델의 2 차원 모델(Fig. 1(c))로 정한 다음, 점송신원 때와 같은 탐사
변수를 사용하여 2차원 모델링을 통한 합성탄성파탐사자 료(선송신원자료)를 구하였다. Fig. 1(b), (d)는 각각 점송 신원에 의한 3차원 모델링자료와 선송신원에 의한 2차원 모델링자료에서 같은 송신원 위치에서의 공통송신원모음 이고 Fig. 2는 15, 28, 42번 수신기에서 기록된 트레이스(검 은색 실선:점송신원에 의한 3차원 모델링자료, 빨간색 점 선:선송신원에 의한 2차원 모델링자료)로 해당 공통송신원 모음자료의 최대값으로 정규화하여 비교하였고 각각의 벌 림거리는 25 m, 1,275 m, 2,675 m이다. 두 자료는 서로 다 른 그린함수를 갖기 때문에 송신원에서 가까운 15번 트레 이스는 서로 비슷한 파형을 보이지만 송신원에서 멀어질수 록 서로 다른 진폭과 위상을 보인다(Fig. 2). 따라서 파형의 작은 차이에도 민감하게 반응하는 완전파형역산에서 3차 원으로 획득한 자료를 2차원 역산에 적용할 경우 역산이 거 의 불가능하게 된다. 하지만 두 자료를 평면파로 변환하게 되면 3차원, 2차원 그린함수가 모두 1차원 그린함수가 되
(a) (b)
(c) (d)
Fig. 1. (a) Survey diagram in 3D model, (b) shot gather by point-source using 3D modeling, (c) survey diagram in 2D model, and (d) shot gather by line-source using 2D modeling for the same source location with (b).
(a)
(b)
(c)
Fig. 2. Comparison between point-source data (black) from 3D modeling and line-source data (dashed red) from 2D modeling. Traces at (a) receiver#15 (offset: 25 m), (b) receiver#28 (offset: 1,275 m) and (c) receiver#42 (offset:
2,675 m).
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 3. Comparison between plane-wave data (black) trans- formed from point source data (py=0) and plane-wave data (dashed red) from 2D modeling. Traces at (a) receiver#1 and (b) receiver#22 when px=0, (c) receiver#1 and (d) receiver
#22 when px=‒0.18.
고 이는 두 자료가 서로 같은 진폭과 위상을 갖고 전파를 하 게 됨을 의미한다. 2차원 모델링에서 선송신원은 3차원적 으로 봤을 때 y방향으로 무한으로 연장된 선송신원을 나타 내므로 이는 3차원에서 원통형으로 전파하는 것과 같은 의 미가 된다. 따라서 3차원 자료를 평면파자료로 변환 시 y방 향으로는시간지연이 없는 파선변수가 0인 경우(py=0)로만 변환하여 2차원 자료의 평면파모음과 비교할 수 있도록 하 였다. Fig. 3은 2, 3차원자료를 평면파모음으로 변환하여 트레이스별로 비교한 그림이다. 검은색 실선은 3차원자료 의 평면파모음자료를 나타내고 빨간색 점선은 2차원자료 의 평면파모음자료를 나타낸다. Fig. 3(a), (b)는 각각 px=0 인 경우 1, 22번 수신기의 트레이스고, Fig. 3(c), (d)는 각각 px=‒0.18인 경우 1, 22번 수신기의 트레이스이다. 그림에 서 알 수 있듯이 3차원자료와 2차원자료를 모두 평면파로 변환한 경우 이론에서 설명한 것과 같이 파선변수와 수신 기의 위치와 관계없이 두 자료의 값이 거의 일치한다.
이 이론은 3차원 자료를 2차원 역산에 적용시키기 위해 많이 사용하였던 3차원-2차원 보정법(Crase et al., 1990;
Pica et al., 1990; Shipp et al., 2002; Wang et al., 2014)과 는 달리 x방향의 2차원적인 속도변화에는 이론적으로 영향 을 받지 않는다. 이를 검증해 보기 위해 x방향으로 변화가 큰 SEG/EAGE 충상단층모델에서 일부분을 추출한 2차원 속도모델(Fig. 4)을 만들었다. 3차원 모델링을 하기 위한 컴 퓨터용량의 한계와 시간절감을 위해 추출한 모델은 원 모
델에서 단층과 경사가 잘 나타나는 단면을 선정한 후 x방향 으로 2격자마다 하나씩 추출하여 원 모델보다 해상도가 낮 아졌다. 그리고 추출한 2차원 단면을 y방향으로 단순히 확 장한3차원 모델(Fig. 5)을 만들어 y방향으로는 경사가 없는 모델을 구성하였다. 편의상 추출한 2차원 단면을 “2차원 추 출모델”이라 칭하고 3차원으로 확장된 모델을 “확장된 2 차원 모델”이라 지칭하도록 한다. 확장된 2차원 모델의 크 기는 6.85 km×1.85 km×2.05 km이고 274×74×137개의 요 소를 갖고 각 요소는 25 m×25 m×15 m이다. 탐사변수로 송 신원은 x방향으로 50 m, y방향으로 25 m 간격으로 138×75 개, 수신기는 x, y방향 100 m 간격으로 69×19개로 설정하 였다. 앞의 1차원 3층 속도모델 실험에서와 마찬가지로 확 장된 2차원 모델을 이용하여 3차원 모델링을 통해 생성한 점송신원자료와 2차원 모델링에 의한 선송신원자료를 각 각 정규화하여 비교(Fig. 6)하였고 y방향의 파선변수가 0일 때(py=0)의 평면파자료(3차원 평면파자료)로 변환을 하여 2차원 추출모델에서 생성된 평면파자료(2차원 평면파자 료)와 비교(Fig. 7)하였다. 앞의 1차원 3층 모델에서와 마찬 가지로 점송신원 자료의 경우 진폭과 위상에서 큰 차이를 보임을 확인할 수 있다. 그러나 x방향으로 여러 경사층과 단층이 혼합된 복잡한 구조로 되어 있지만 2, 3차원 평면파 자료에서는 앞선 3층 층서모델과 같이 두 자료가 거의 일치 하는 것을 확인할 수있고 완전파형역산에 효과적으로 적용
Fig. 4. The 2D model extracted from 3D SEG/EAGE overthrust model.
Fig. 5. The extended 2D model for the y-direction by dup- licating the 2D slices (Fig. 4) in y-axis.
(a)
(b)
(c)
Fig. 6. Comparison between point-source data (black) from 3D modeling and line-source data (dashed red) from 2D modeling. Traces at (a) receiver#1 (offset: 25 m), (b) receiver
#30 (offset: 2,925 m) and (c) receiver#60 (5,925 m) from shot#1 for the extended 2D model shown in Fig. 5.
할 수 있음을 알 수 있다(Fig. 7).
3차원 자료를 이용한 2차원 완전파형역산이 어느 정도 정확히 수행되는지 확인하기 위해 2차원 평면파자료를 이 용한 2차원 평면파 완전파형역산을 먼저 수행하여 대조자 료로 활용하였다. 평면파 자료를 획득 하기 위해 탐사변수 는 3차원에서 사용한 변수와 동일하게 x방향으로 송신기와 수신기를 각각 50 m 간격 138개, 100 m 간격 69개로 설정 하여 자료를 생성하였다. 역산에 사용된 초기모델은 실제 모델을 평활화한 모델(Fig. 8)을 사용하였고 3.2-9.6 Hz 사 이의 주파수 5개를 선정하여 동시에 역산하였다. Fig. 9는 2 차원 자료를 이용한 2차원 완전파형역산 결과이다. 앞서 언 급한 것처럼 컴퓨터용량의 한계와 계산시간의 절감을 위해 실제모델에 비해 해상도가 떨어지는 모델을 사용하였고 모 델링 시 발생하는 분산을 방지하기 위해 저주파수 영역의 모델링과 역산을 하였기 때문에 역산 결과의 해상도가 다소 떨어지지만 전체적인 속도구조를 잘 나타내고 있다(Fig. 9).
확장된 2차원 모델에 대한 역산에서도 대조자료 역산에 쓰인 실제 모델을 평활화한 모델(Fig. 8)을 초기모델로 사 용하였고 역산에 사용된 주파수도 대조자료 역산에서와 마 찬가지로 3 Hz이하의 저주파수는 제외한 3.2-9.6 Hz 사이 의 주파수 5개를 선정하여 동시에 역산하였다. Fig. 10은 확 장된 2차원 모델에서 획득한 자료를 이용한 2차원 평면파
완전파형역산 결과이다. 대조자료 역산 결과(Fig. 9)와 비 교하였을 때 전체적으로 거의 비슷한 결과를 보여주고 있 어 x방향으로는 복잡한 구조와 속도변화가 있어도 역산에 큰 영향을 받지 않음을 알 수 있다. Fig. 11은 2차원 추출모 (a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 7. Comparison between plane-wave data (black) trans- formed from point-source data (py=0) and plane-wave data (dashed red) from 2D modeling. Traces at (a) receiver#1 and (b) receiver#35 when px=0, (c) receiver#1 and (d) receiver
#35 when px=‒0.18 for extended 2D model shown in Fig. 5.
Fig. 8. The model to smooth true model shown in Fig. 4.
Fig. 9. The reconstructed velocity model by 2D plane-wave FWI with plane-wave data obtained from 2D modeling for 2D model shown in Fig. 4.
Fig. 10. The reconstructed velocity model by 2D plane-wave FWI with plane-wave data obtained from 3D modeling for the extended 2D model shown in Fig. 5.
Fig. 11. RMS curves of FWI for 2D model (black line) and extended 2D model (red line).
델과 확장된 2차원 모델에대한 역산의 오차곡선으로 확장 된 2차원 모델의 경우 y방향으로 완벽한 선송신원 되지 않 기 때문에 2차원 추출모델보다 오차의 수준이 조금 높게 나 타나지만 두 경우 모두 역산이 잘 수렴한 것을 알 수 있다.
실제로 지하구조는 y방향으로도 변화가 있는 3차원적인 속도구조를 갖는다. 따라서 이 방법을 3차원 구조에서의 적 용성을 확인해 보기 위해 y방향으로 구조적 변화가 있는 3 차원 모델(Fig. 12)에 대하여 실험하였다. 이 모델은 3차원 SEG/EAGE 충상단층 모델에서 일부분을 추출한 모델이 다. 모델의 크기는 확장된 2차원 모델과 같고 탐사변수로 송신원은 x, y방향으로 모두 50 m 간격으로 138×37개, 수 신기는 x, y방향 100 m 간격으로 69×19개로 설정하였다.
앞의 실험에서와 마찬가지로 우선 3차원 모델링에 의한 점 송신원자료와 2차원 모델링에 의한 선송신원의 자료를 정 규화하여 비교하였다(Fig. 13).송신원에서 가까운 위치의 트레이스(Fig. 13(a))는 진폭의 감쇠가 작고 위상의 변화가 크지 않아 두 자료의 차이가 크게 나타나지 않지만 송신원 에서 먼 거리에 위치한 트레이스(Fig. 13(b), (c))는 그 차이 가 커 역산에 그대로 사용할 수 없음을 알 수 있다. 3차원 모 델링의 점송신원자료를 평면파자료로 변환하여 비교한 Fig. 14에서는 y방향으로의 구조적 변화로 인해 sideswipe 와 같은 3차원 효과로 인해 확장된 2차원 모델의 평면파자 료보다 그 오차가 크게 나타났을 확인할 수 있다. 그러나 주 요 반사는 2차원 평면상에서 이루어져 전체적인 진폭과 위 상이 거의 동일하게 나타나는 것을 확인할 수 있고 역산을 하기에 충분한 자료의 유사성를 보이고 있다. 실제 현장자 료를 역산할 때는 초기 모델 선정이 매우 중요하다. 하지만 이 수치실험에서는 단순한 초기모델에서 2차원 역산만으 로 어느 정도의 속도정보를 알 수 있는지를 실험하기 위해 Fig. 15와 같은 깊이 방향으로 속도가 선형 증가하는 모델 을 초기 모델로 사용하였고 확장된 2차원 모델에서와 같은 주파수 대역을 역산에 사용하였다. 그리고 역산의 안정성
Fig. 12. The 3D SEG/EAGE overthrust model with structural change along y-axis.
(a)
(b)
(c)
Fig. 13. Comparison between point-source data (black) from 3D modeling and line-source data (dashed red) from 2D modeling. Traces at (a) receiver#1 (offset: 25 m), (b) receiver#30 (offset: 2,925 m) and (c) receiver#60 (5,925 m) from shot#1 for the 3D SEG/EAGE overthrust model shown in Fig. 12.
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 14. Comparison between plane-wave data (black) trans- formed from point source data (py=0) and plane-wave data (dashed red) from 2D modeling. Traces at (a) receiver #1 and (b) receiver#35 when px=0, (c) receiver#1 and (d) receiver #35 when px=‒0.18 for the 3D SEG/EAGE overthrust model shown in Fig. 12.
을 위해 감쇠 최소 제곱법에 사용되는 라그랑지 곱수(Joo et al., 2009)를 단계별로 줄여 가면서 역산을 수행하였다. Fig.
16는 3차원 평면파자료를 이용한 2차원 평면파 완전파형 역산 결과이다. 앞의 확장된 2차원 모델 자료의 역산 결과 보다는 부분적으로 다소 부정확한 결과를 보이지만 충분히 지하매질의 구조를 파악할 수 있고 단순한 초기모델로부터 얻은 결과로서 3차원적으로 급격한 구조 변화가 아니라면 y방향으로 구조적 변화가 있는 모델에서도 이 연구에서 제 안한 방법이 적용가능함을 보여주고 오차곡선(Fig. 17)을 통해 라그랑지 곱수에 따른 각 단계별로 역산이 잘 수렴하 는 것을 알 수 있다. 또한 이 역산에서는 평면파를 이용한 동
시송신원법을 사용함으로써 일반적인 역산의 경우 138개 의 공통송신원 모음자료가 모두가 관측자료로 쓰이지만 41 개의 파선변수만을 사용하여 역산에 사용된 자료의 양이 3 배이상 줄어들었다. 따라서 역산에 필요한 메모리는 약 3분 의 1로 줄고, 반복횟수당 계산시간도 약 2분의 1로 줄어 더 효율적으로 역산을 수행할 수 있었다.
결과 및 고찰
이 연구에서는 3차원 자료를 이용한 2차원 완전파형역산 을 하기 위해 평면파 변환을 이용한 방법을 제안하고 수치 실험을 통해 그 효용성을 확인하였다. 이론적으로 평면파 는 모델의 차원에 관계없이 1차원 그린함수를 갖게 되므로 3차원 자료를 평면파자료로 변환하고 2차원 평면파 완전 파형역산을 수행함으로써 효과적으로 3차원 자료를 이용 한 2차원 역산을 할 수 있다. 이 때 3차원적인 구조의 변화 가 큰 경우 sideswipe와 같은 3차원 효과가 발생하여 역산 에 영향을 미칠 수 있다. 따라서 y방향으로는 경사가 없어 3 차원 효과가 발생하지 않는 모델(확장된 2차원 모델)과 3차 원적으로 구조의 변화가 있는 모델에 대하여 역산 실험을 하고 2차원 자료 역산과 비교하였다. 실험결과 확장된 2차 원 모델의 경우 2차원 자료 역산과 거의 비슷한 결과를 보 여 x방향으로의 구조변화에는 큰 영향이 없음을 확인하였 다. 또한 3차원적인 구조 변화가 있는 모델 자료의 역산에 서도 앞의 두 경우 보다는 부정확하지만 층들의 경계와 전 체적인 속도구조를 파악하기에 충분하고 만약 이를 3차원 완전파형역산의 초기모델로 사용한다면 3차원 역산에서 의 불확실성을 줄일 수 있을 것이라 생각된다. 일반적으로 많이 쓰이는 3차원-2차원 진폭/위상 보정법은 단순히 시간 에 대한 근사적인 보정을 함으로써 y방향의 속도변화는 물 론이고 x방향으로의 속도변화에 의해서도 보정의 정확도 에 영향을 받는 단점이 있는 반면, 이 논문에서 제시한 방법 은 y방향의 구조적 변화에는 영향을 받지만 x방향으로의 구조적 변화에는 거의 영향을 받지 않기 때문에, 평면파 역 산을 사용할 수 있는 조건이 충족된다면 이 연구에서 제안 한 방법이 진폭/위상 보정법보다 더 나은 결과를 제공해줄 수 있을 뿐만 아니라 보다 효율적으로 역산을 수행할 수 있 게 된다. 이 연구에서는 합성자료만을 이용한 실험을 하였 기 때문에 앞으로 현장자료에 대해 적용을 하는 등의 추가 적인 연구가 필요할 것으로 생각된다.
사 사
본 연구는 2013년도 산업통상자원부의 재원으로 한국에 너지기술평가원(KETEP)의 지원을 받아 수행한 연구 과제 Fig. 15. Initial velocity model used in FWI for 3D SEG/
EAGE overthrust model.
Fig. 16. The reconstructed velocity model by 2D plane-wave FWI with plane-wave data obtained from 3D modeling for 3D SEG/EAGE overthrust model.
Fig. 17. RMS curve of FWI for 3D SEG/EAGE overthrust model. Note that Lagrange multiplier was changed twice during iteration.
입니다(No. 20134010200520).
부 록
파선변수에 따른 평면파 자료
송신원모음 자료를 평면파모음 자료로 변환하였을 경우 어떻게 변환되는지를 자세히 알아보도록 하겠다. 우선 하 나의 탐사라인(inline)에서 획득된 송신원모음은 Fig.
A1(a)와 같고 이를 평면파모음 자료로 변환하면 Fig. A1(b) 와 같이 된다. 이 때 y방향(xline)으로는 송신원이 없으므로 본문의 식 (7)에서 파선변수 py가 0이 되는 자료만이 생성되 므로 px에 의해서만 평면파모음 자료를 구성할 수 있다. 각 수신점모음 자료의 트레이스에 px와 송신원까지의 거리에 따라 시간지연을 한 후 중첩을 하면 평면파모음 자료에서 한 개의 트레이스가 되고 이를 모든 수신점모음 자료에 적 용하면 하나의 평면파모음 자료가 된다. 따라서 평면파모 음 자료는 변환에 사용된 파선변수 px의 수만큼 변환된다.
일반적으로 송신원의 수보다 더 적은 파선변수의 수가 사 용되므로 자료의 양이 줄어들게 된다.
마찬가지로 y방향으로도 탐사가 이루어진 자료가 있다 면 (px, py)를 사용하여 평면파자료로 변환할 수 있다. Fig.
A2는 (px, py)에 따라 변환된 평면파모음 자료이다. 이 연구 에 사용된 변환된 3차원 평면파자료는 2차원 평면파 완전 파형역산에 사용하기 위해 py가 0인(Fig. A2(a), (b)) 평면 파자료 중 실제 역산이 적용될 2차원 단면에 해당되는 자료 만을 추출하여 역산의 관측자료로 사용하였다.
(a)
(b)
Fig. A1. The time domain (a) shot gathers of recorded data and (b) plane-wave gathers transformed from shot gathers (px=‒0.06 to 0.02 s/km).
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. A2. The time domain plane-wave gathers when (a) px=0; py=0, (b) px=0.08; py=0, (c) px=0; py=0.08 and (d) px=0.08; py=0.08 (taken from Kwon et al., 2015)
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권 택 현
2007년 한양대학교 공과대학 자원환경공 학과 공학사
현재 한양대학교 자원환경공학학과 석박사통합과정 (E-mail; [email protected])
변 중 무
1991년 서울대학교 공과대학 자원공학과 공학사
1993년 서울대학교 대학원 자원공학과 공 학석사
2000년 University of California at Berkeley Applied Geophysics 공학박사
현재 한양대학교 자원환경공학과 교수 (E-mail; [email protected])
설 순 지
1993년 서울대학교 공과대학 자원공학과 공학사
1995년 서울대학교 대학원 자원공학과 공 학석사
1999년 서울대학교 대학원 자원공학과 공 학박사
현재 한양대학교 자원환경공학과 연구교수 (E-mail; [email protected])
