정답과 풀이
개념
중학 1 - 1
정답과 풀이
본교재 | 6 쪽
개념 콕콕
1
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 472
⑴ 1, 37, 소수 ⑵ 1, 53, 소수 ⑶ 1, 3, 23, 69, 합성수1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
본교재 | 7 쪽
대표 유형
1 ②, ④ 1 -1 ④ 1 -2 ② 2 ③, ⑤ 2 -1 ③
1 -1
소수는 2, 19, 31, 79의 4개이다. ④
1 -2
15 이상이고 25보다 작은 합성수는 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24의
7개이다. ②
2 -1
③ 가장 작은 합성수는 4이다.
④ 10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이다.
⑤ 1을 제외한 모든 자연수는 소수 또는 합성수이다. 이때 소수는 약수의 개수가 2개, 합성수는 약수의 개수가 3개 이상이므로 1을 제외한 모든 자연수는 약수의 개수가 2개 이상이다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③
02
거듭제곱개념
본교재 | 8 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 3, 4 ⑵ 5, 2 ⑶ 10, 3 ⑷ ;2!;, 52
⑴ 5Ü` ⑵ 3Þ` ⑶ 2Û`_7Ü` ⑷ {;4!;}4 ⑸ 110Ý` ⑹ {;3!;}3`_{;1Á1;}2`본교재 | 9 쪽
대표 유형
3 5 3 -1 6 3 -2 ④ 4 19 4 -1 347 4 -2 3
3 -1
7_7_7_7_;1ª3;_;1ª3;=7Ý`_{;1ª3;}2`이므로 a=4, b=2
∴ a+b=4+2=6 6
3 -2
① 3Û`=3_3=9
② 4_4_4=4Ü`
③ 2+2+2+5+5=2_3+5_2
⑤ ;3%;_;3%;_;3%;_;3%;={;3%;}4`
따라서 옳은 것은 ④이다. ④
4 -1
81=3_3_3_3=3Ý`이므로 a=4 7Ü`=7_7_7=343이므로 b=343
∴ a+b=4+343=347 347
4 -2
64=2_2_2_2_2_2=2ß`이므로 a=6 125=5_5_5=5Ü`이므로 b=3
∴ a-b=6-3=3 3
본교재 | 10 쪽
01
⑤02
가03
304
④05
③06
⑤07
108
⑤배운대로 해결하기
01
약수의 개수가 2개인 것은 소수이다.
따라서 구하는 수는 ⑤ 73이다. ⑤
02
주어진 그림에서 소수가 적혀 있는 칸을 색 18 15 1 19 50 2 23 30 43 66 8 97 39 5 3 75 31 24 13 42 20 86 51 47 72 칠하면 오른쪽 그림과 같으므로 만들어지는
글자는 ‘가’이다.
가
Ⅰ. 수와 연산
1. 소인수분해
소수와 합성수
01
개념
Ⅰ- 1. 소인수분해
1
[방법 1] [방법 2]
따라서 18을 소인수분해하면 18= 2 _3 2
2
⑴
따라서 24=2Ü`_3이므로 소인수는 2, 3이다.
⑵
따라서 63=3Û`_7이므로 소인수는 3, 7이다.
⑶
따라서 81=3Ý`이므로 소인수는 3이다.
⑷
따라서 120=2Ü`_3_5이므로 소인수는 2, 3, 5이다.
본교재 | 12 쪽
대표 유형
1 ⑤ 1 -1 ③ 1 -2 ③, ⑤ 2 3 2 -1 10 2 -2 ③
1 -1
① ②
③ ④
2 `>³ 18 3 `>³ 19 1 3
2
18 3
9
3
2`>³ 24 2`>³ 12 2`>³ 6 3
3`>³ 63 3`>³ 21 7
3`>³ 81 3`>³ 27 3`>³ 9 3
2`>³ 120 2`>³ 60 2`>³ 30 3`>³ 15 5
2`>³ 8 2`>³ 4 2
∴ 8=2Ü`
2`>³ 18 3`>³ 9 3
∴ 18=2_3Û`
5`>³ 35 7
∴ 35=5_7
2`>³ 40 2`>³ 20 2`>³ 10 5
∴ 40=2Ü`_5
03
20 이하의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19의 8개이므 로 a=8
1은 소수도 합성수도 아니므로 합성수의 개수는 20-8-1=11(개) ∴ b=11
∴ b-a=11-8=3 3
보충 설명
자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있으므로 n 이하의 자연수 중 소 수의 개수가 a개일 때, 합성수의 개수는 (n-a-1)개이다.
04
① 가장 작은 소수는 2이다.
② 2는 소수이지만 짝수이다.
③ 2와 3은 소수이지만 2_3=6은 합성수이다.
④ 3의 배수 중 소수는 3의 1개뿐이다.
⑤ 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있다. 즉, 합성수는 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수이다.
따라서 옳은 것은 ④이다. ④
05
③ 7_7_7+11_11=7Ü`+11Û`
따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③
06
⑤ 5Ý`은 5_5_5_5를 간단히 나타낸 것이다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤
07
5_3_5_7_5_3_7=3Û`_5Ü`_7Û`이므로 a=2, b=3, c=2
∴ a-b+c=2-3+2=1 1
08
32=2_2_2_2_2=2Þ`이므로 a=5 1
7Û`= 1 7_7=;4Á9;이므로 b=49
∴ a+b=5+49=54 ⑤
소인수분해
03
개념
본교재 | 11 쪽
개념 콕콕
1
2, 3, 3, 2, 3, 2, 22
⑴ 2Ü`_3 / 2, 3 ⑵ 3Û`_7 / 3, 7 ⑶ 3Ý` / 3 ⑷ 2Ü`_3_5 / 2, 3, 5⑤
따라서 소인수분해한 것으로 옳은 것은 ③이다. ③ 1 -2
126=2_3Û`_7의 소인수는 2, 3, 7이다.
따라서 126의 소인수가 아닌 것은 ③ 5, ⑤ 11이다. ③, ⑤
2 -1
360=2Ü`_3Û`_5에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하려면 곱하는 자연수는 2_5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
따라서 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 2_5=10 10 보충 설명
제곱인 수 만들기
➊ 주어진 수를 소인수분해한다.
➋ 홀수인 지수가 짝수가 되도록 적당한 수를 곱하거나 적당한 수로 나 눈다.
2 -2
98=2_7Û`이므로 98_x=2_7Û`_x가 어떤 자연수의 제곱이 되도 록 하려면 자연수 x는 2_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
① 2=2_1Û` ② 8=2_2Û` ③ 15=3_5
④ 18=2_3Û` ⑤ 32=2_4Û`
따라서 자연수 x가 될 수 없는 수는 ③ 15이다. ③
소인수분해를 이용하여 약수 구하기
04
개념
본교재 | 13 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조2
⑴ 12개 ⑵ 18개 ⑶ 8개 ⑷ 18개1
⑴
_ 1 51 1 5
3 3 15
3Û` 9 45
⇨ 45의 약수 : 1, 3, 5, 9, 15, 45 2`>³ 96
2`>³ 48 2`>³ 24 2`>³ 12 2`>³ 6 3
∴ 96=2Þ`_3
⑵
_ 1 3 3Û`1 1 3 9
2 2 6 18
2Û` 4 12 36
2Ü` 8 24 72
⇨ 72의 약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
2
⑴
(3+1)_(2+1)=12(개)⑵
(2+1)_(1+1)_(2+1)=18(개)⑶
56=2Ü`_7이므로 (3+1)_(1+1)=8(개)⑷
180=2Û`_3Û`_5이므로(2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개)
본교재 | 14 쪽
대표 유형
3 ⑤ 3 -1 ②, ③ 3 -2 ㄱ, ㄴ, ㅁ 4 ① 4 -1 ② 4 -2 29
3 -1
2Ü`_3_5의 약수는 (2Ü`의 약수)_(3의 약수)_(5의 약수)의 꼴이다.
따라서 2Ü`_3_5의 약수가 아닌 것은 ② 3Û`_5, ③ 2_3_5Û`이다.
②, ③
3 -2
260=2Û`_5_13의 약수는 (2Û`의 약수)_(5의 약수)_(13의 약수) 의 꼴이다.
따라서 260의 약수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다. ㄱ, ㄴ, ㅁ
4 -1
① (3+1)_(1+1)=8(개)
② (2+1)_(1+1)=6(개)
③ 6+1=7(개)
④ 36=2Û`_3Û`이므로 (2+1)_(2+1)=9(개)
⑤ 150=2_3_5Û`이므로
(1+1)_(1+1)_(2+1)=12(개)
따라서 약수의 개수가 가장 적은 것은 ② 2Û`_5이다. ②
4 -2
7Ý`의 약수의 개수는 4+1=5(개)이므로 a=5
2Ü`_3Û`_11의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)_(1+1)=24(개) 이므로 b=24
∴ a+b=5+24=29 29
Ⅰ- 1. 소인수분해 본교재 | 15 쪽
01
1002
④03
⑤04
④05
①, ③06
④07
③08
②배운대로 해결하기
01
84=2Û`_3_7이므로 a=2, b=1, c=7
∴ a+b+c=2+1+7=10 10
02
2Ü`_5Û`의 소인수는 2, 5이다.
① 12=2Û`_3이므로 소인수는 2, 3이다.
② 30=2_3_5이므로 소인수는 2, 3, 5이다.
③ 45=3Û`_5이므로 소인수는 3, 5이다.
④ 100=2Û`_5Û`이므로 소인수는 2, 5이다.
⑤ 140=2Û`_5_7이므로 소인수는 2, 5, 7이다.
따라서 2Ü`_5Û`과 소인수가 같은 것은 ④ 100이다. ④
03
40=2Ü`_5이므로 a=2_5=10
40_a =40_10=400=20Û`=bÛ`이므로 b=20
∴ a+b=10+20=30 ⑤
04
240=2Ý`_3_5이므로 x의 값은 240의 약수이면서 3_5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
① 4=2Û` ② 20=2Û`_5 ③ 24=2Ü`_3
④ 60=2Û`_3_5 ⑤ 120=2Ü`_3_5
따라서 x의 값이 될 수 있는 것은 ④ 60이다. ④
05
144=2Ý`_3Û`의 약수는 (2Ý`의 약수)_(3Û`의 약수)의 꼴이다.
따라서 144의 약수인 것은 ① 3, ③ 2Û`_3이다. ①, ③
06
① 88=2Ü`_11이므로 (3+1)_(1+1)=8(개)
② (1+1)_(3+1)=8(개)
③ 3_14=2_3_7이므로 (1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개)
④ 175=5Û`_7이므로 (2+1)_(1+1)=6(개)
⑤ 7+1=8(개)
따라서 약수의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ④ 175이다. ④
07
2Ç`_7Û`의 약수의 개수가 12개이므로 (n+1)_(2+1)=12
n+1=4 ∴ n=3 ③
08
② 소인수는 2, 3이다.
④ 약수의 개수는 (2+1)_(3+1)=12(개)
⑤ 2Û`_3Ü`에 3을 곱하면
(2Û`_3Ü`)_3=108_3=324=18Û`
따라서 옳지 않은 것은 ②이다. ②
최대공약수
05
개념
본교재 | 16 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ⑵ 1, 2, 4, 8, 16, 32 ⑶ 1, 2, 4, 8 ⑷ 82
⑴ 1, 2, 4 ⑵ 1, 3, 5, 15 ⑶ 1, 2, 4, 7, 14, 282
두 자연수의 공약수는 최대공약수의 약수이므로
⑴
공약수는 4의 약수인 1, 2, 4이다.⑵
공약수는 15의 약수인 1, 3, 5, 15이다.⑶
공약수는 28의 약수인 1, 2, 4, 7, 14, 28이다.본교재 | 17 쪽
대표 유형
1 ④ 1 -1 ② 1 -2 ② 2 ② 2 -1 ④ 2 -2 3개
1 -1
두 자연수 A, B의 공약수는 최대공약수인 35의 약수이므로 1, 5, 7, 35이다.
따라서 두 수 A, B의 공약수가 아닌 것은 ② 3이다. ②
1 -2
두 자연수의 공약수는 최대공약수인 2Ü`_3의 약수이므로 공약수의 개수는
(3+1)_(1+1)=8(개) ②
2 -1
두 수의 최대공약수를 각각 구하면
① 1 ② 1 ③ 1 ④ 7 ⑤ 1
따라서 서로소가 아닌 것은 ④이다. ④
2 -2
주어진 수와 16의 최대공약수는 각각 1, 4, 1, 16, 1, 4이다.
따라서 주어진 수 중 16과 서로소인 것은 5, 27, 49의 3개이다.
3개
최대공약수 구하기
06
개념
본교재 | 18 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 2_3Û` ⑵ 2Û`_5Û`2
⑴ 21 ⑵ 181
⑴
⑵
2
⑴
⑵
본교재 | 19 쪽
대표 유형
3 ③ 3 -1 ③ 3 -2 3 4 ⑤ 4 -1 ④ 4 -2 ②
3 -1
③
2`_3Û`
2Ü`_3Ý`
(최대공약수)=2`_3Û`
2Û` _5Ý`
2Ü`_3_5Û`
2Û` _5Ü`_7 (최대공약수)=2Û` _5Û`
3`>³ 42 63 7`>³ 14 21 2 3
(최대공약수)=3_7=21 2`>³ 18 36 54 3`>³ 9 18 27 3`>³ 3 6 9 1 2 3
(최대공약수)=2_3_3=18
108=2Ü`_3 108=2Û`_3Ü`
(최대공약수)=2Û`_3`
3 -2
최대공약수는 각 수의 공통인 소 2Ü`_3`_5Ý`
2Ü`_3Û`_5Û`_7
(최대공약수)=2Ü`_3`_5º`
인수를 모두 곱하여 구한다. 이때
공통인 소인수의 지수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 작은 것을 택하여 곱한다.
따라서 a=1, b=2이므로 a+b=1+2=3 3
4 -1
주어진 세 수의 최대공약수는 2Û`_3Û`_5 2Û`_3Ü`_5_7
2Ü`_3Û`
(최대공약수)=2Û`_3Û`
2Û`_3Û`이므로 공약수는 2Û`_3Û`의
약수이다.
이때 2Û`_3Û`의 약수는
(2Û`의 약수)_(3Û`의 약수)의 꼴이므로 공약수가 아닌 것은 ④ 2Û`_7
이다. ④
4 -2
공약수의 개수는 최대공약수의 184=2Û`_3_5Û`_7`
150=2Ü`_3_5Û`
(최대공약수)=2Ü`_3`
약수의 개수와 같다.
이때 두 수 84, 150의 최대공약 수는 2_3이므로 공약수의 개수 는
(1+1)_(1+1)=4(개) ②
최대공약수의 활용
07
개념
본교재 | 20 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 최대공약수 ⑵ 최대공약수2
⑴ 12, 3, 4, 6, 12 ⑵ 18, 6, 9, 18 ⑶ 12, 18, 3, 6 ⑷ 12, 18, 6본교재 | 21 ~ 22 쪽
대표 유형
5 6마리 5 -1 12명
6 15 cm 6 -1 18 cm 6 -2 8 cm 7 15 m 7 -1 40 m
8 21 8 -1 18 8 -2 9
5 -1
백합 36송이, 국화 84송이, 장미 36=2Û`_3Û`
84=2Û`_3Û`_7 96=2Þ`_3
(최대공약수)=2Û`_3Û`_5=12 96송이를 가능한 한 많은 학생들
에게 남김없이 똑같이 나누어 주 려고 하므로 학생 수는 36, 84,
Ⅰ- 1. 소인수분해 96의 최대공약수가 되어야 한다.
따라서 최대 12명의 학생에게 나누어 줄 수 있다. 12명
6 -1
정사각형 모양의 종이의 한 변의 180=2Û`_3Û`_5 154=2Ü`_3Ü`
(최대공약수)=2Ü`_3Û`_5=18 길이는 180과 54의 공약수이고
가능한 한 큰 종이를 붙이려고 하므로 종이의 한 변의 길이는 180과 54의 최대공약수가 되어야 한다.
따라서 종이의 한 변의 길이는 18 cm이다. 18 cm
6 -2
정육면체 모양의 블록의 한 모서 40=2Ü`_3_5 16=2Ý`
24=2Ü`_3 (최대공약수)=2Ü`_3_5=8 리의 길이는 40, 16, 24의 공약수
이고 블록의 크기를 최대로 하므 로 블록의 한 모서리의 길이는 40, 16, 24의 최대공약수가 되어야 한 다.
따라서 블록의 한 모서리의 길이는 8`cm이다. 8`cm
7 -1
가능한 한 적은 수의 표지판을 120=2Ü`_3_5 160=2Þ`_3_5`
(최대공약수)=2Ü`_3_5=40 일정한 간격으로 세우려고 하므
로 표지판 사이의 간격은 120과 160의 최대공약수가 되어야 한 다.
따라서 표지판 사이의 간격은 40 m이다. 40 m
8 -1
어떤 자연수로 39를 나누면 3이 남 36=2Û`_3Û`
54=2Þ`_3Ü`
(최대공약수)=2Û`_3Û`=18 고, 56을 나누면 2가 남으므로 어떤
자연수로 39-3=36과 56-2=54 를 나누면 나누어떨어진다.
따라서 구하는 가장 큰 수는 36과 54의 최대공약수인 18이다. 18
8 -2
어떤 자연수로 80을 나누면 8이 남고, 72=2Ü`_3Û`
81=2Þ`+3Ý`
(최대공약수)=2Þ`+3Û`=9 76을 나누면 5가 부족하므로 어떤 자
연수로 80-8=72와 76+5=81을 나누면 나누어떨어진다.
따라서 구하는 가장 큰 수는 72와 81의 최대공약수인 9이다. 9 보충 설명
⑴ x로 A를 나누면 r가 남는다.
⇨ x로 A-r를 나누면 나누어떨어진다.
⇨ x는 A-r의 약수이다.
⑵ x로 A를 나누면 r가 부족하다.
⇨ x로 A+r를 나누면 나누어떨어진다.
⇨ x는 A+r의 약수이다.
본교재 | 23 ~ 24 쪽
01
④02
⑤03
5개04
①05
406
②, ⑤07
⑤08
8개09
치약:7개, 비누:9개10
④11
②12
⑤13
③14
④배운대로 해결하기
01
세 자연수의 공약수는 최대공약수인 20의 약수이므로 1, 2, 4, 5, 10, 20이다.
따라서 모든 공약수의 합은
1+2+4+5+10+20=42 ④
02
두 자연수 A, B의 공약수는 최대공약수인 12=2Û`_3의 약수이므 로 공약수의 개수는 (2+1)_(1+1)=6(개) ⑤
03
10보다 작은 자연수 중 8과 서로소인 자연수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개
이다. 5개
04
184=2Û`_3Û`_5_7 162=2`_3Ý`
180=2Û`_3Û`_5 (최대공약수)=2`_3
①
05
최대공약수를 구할 때에는 각 수 2`_3Ü`_5Ý`
2Ü`_3Ü`_5º`_7 (최대공약수)=2Û`_3Ü`_5Û`
의 공통인 소인수의 지수가 같으
면 그대로, 지수가 다르면 작은 것을 택하여 곱한다.
따라서 a=2, b=2이므로
a+b=2+2=4 4
06
① =3일 때, 최대공약수는 3이다.
③ =2_5일 때, 최대공약수는 2_3_5이다.
④ =2_5Ü`일 때, 최대공약수는 2_3_5Û`이다.
따라서 안에 들어갈 수 있는 수는 ② 5Û`, ⑤ 5Û`_7Û`이다.
②, ⑤
07
두 수의 최대공약수는 2_3Û`이므로 216=2Ü`_3Ü`
108=2Ü`_3Û`_5Û`
(최대공약수)=2Ü`_3Û`
공약수는 2_3Û`의 약수이다.
따라서 공약수가 아닌 것은 ⑤ 2_3Ü`
이다.
⑤
08
공약수의 개수는 최대공약수의 2Û`_3`_5Û`
2`_3Û`_5
2Û`_3`_5`_7 (최대공약수)=2`_3`_5
약수의 개수와 같다.
따라서 주어진 세 수의 최대공약 수는 2_3_5이므로 공약수의 개수는
(1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개) 8개
09
치약 84개와 비누 108개를 가능 184=2Û`_3Û`_7 108=2Û`_3Ü`
(최대공약수)=2Û`_3Û`_5=12 한 한 많은 상자에 남김없이 똑
같이 나누어 넣어야 하므로 상 자의 개수는 84와 108의 최대공 약수가 되어야 한다.
따라서 상자의 개수는 12개이고 각 선물 상자에 들어갈 치약과 비누 의 개수는 각각
치약:84Ö12=7(개), 비누:108Ö12=9(개)
치약:7개, 비누:9개
10
정사각형 모양의 타일의 한 변 144=2Ý`_3Û`
120=2Ü`_3Ü`_5 (최대공약수)=2Ü`_3Û`_5=24 의 길이는 144와 120의 공약수
이고 가능한 한 큰 타일을 붙이 려고 하므로 타일의 한 변의 길
이는 144와 120의 최대공약수가 되어야 한다.
따라서 타일의 한 변의 길이는 24`cm이고 가로와 세로에 필요한 타 일의 개수는 각각
가로:144Ö24=6(개), 세로:120Ö24=5(개) 이므로 필요한 타일의 개수는
6_5=30(개) ④
11
정육면체 모양의 나무토막의 36=2Û`_3Û`
60=2Û`_3Û`_5 42=2Û`_3`_5`_7 (최대공약수)=2`_3`_5`_7=6
한 모서리의 길이는 36, 60,
42의 공약수이고 가능한 한 큰 정육면체 모양으로 잘라야 하므로 정육면체 모양의 나무
토막의 한 모서리의 길이는 36, 60, 42의 최대공약수가 되어야 한 다.
따라서 정육면체 모양의 나무토막의 한 모서리의 길이는 6 cm이고 가로, 세로, 높이에 만들어지는 정육면체 모양의 나무토막의 개수는 각각 가로:36Ö6=6(개), 세로:60Ö6=10(개),
높이:42Ö6=7(개)이므로 정육면체 모양의 나무토막은
6_10_7=420(개)를 만들 수 있다. ②
12
가능한 한 적은 수의 나무를 일 180=2Û`_3Û`_5 240=2Ý`_3Ü`_5 (최대공약수)=2Û`_3Û`_5=60 정한 간격으로 심으려고 하므로
나무 사이의 간격은 180과 240 의 최대공약수가 되어야 한다.
따라서 나무 사이의 간격은 60`m이다. ⑤
13
배는 1개가 남고 귤은 2개가 남고 54=2_3Ü`
27=2_3Ü`
45=2_3Û`_5 (최대공약수)=2_3Û`Ü`_=9
감은 3개가 부족하므로 학생들에게
배 55-1=54(개), 귤 29-2=27(개),
감 42+3=45(개)를 남김없이 똑같 이 나누어 줄 수 있다.
따라서 54, 27, 45의 최대공약수는 9이므로 나누어 줄 수 있는 최대
학생 수는 9명이다. ③
14
n의 값은 168과 280의 공약 168=2Ü`_3Û`_5_7 280=2Ü`_3Ü`_5_7 (최대공약수)=2Ü`_3Û`_5_7=56 수이므로 n의 값 중 가장 큰
수는 168과 280의 최대공약 수이다.
따라서 168과 280의 최대공약수는 56이므로 구하는 수는 56이다.
④
최소공배수
08
개념
본교재 | 25 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, … ⑵ 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, … ⑶ 40, 80, 120, … ⑷ 402
⑴ 4, 8, 12 ⑵ 7, 14, 21 ⑶ 16, 32, 48본교재 | 26 쪽
대표 유형
1 ⑴ 36, 72, 108, … ⑵ 36 ⑶ 36, 72, 108, … 1 -1 ⑴ 60, 120, 180, … ⑵ 60 ⑶ 60, 120, 180, … 2 ④ 2 -1 ② 2 -2 ②
Ⅰ- 1. 소인수분해 1 -1
⑴
15의 배수 : 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, … 20의 배수 : 20, 40, 60, 80, 100, 120, … 따라서 15와 20의 공배수는 60, 120, 180, …이다.⑵ ⑴
에서 15와 20의 최소공배수는 60이다.⑶
15와 20의 최소공배수인 60의 배수는 60, 120, 180, …이다.
⑴
60, 120, 180, …⑵
60⑶
60, 120, 180, …2 -1
두 자연수 A, B의 공배수는 최소공배수인 24의 배수이므로 24, 48, 72, …이다.
따라서 두 수 A, B의 공배수가 아닌 것은 ② 60이다. ②
2 -2
두 자연수의 공배수는 최소공배수인 25의 배수이다.
따라서 100 이하의 자연수 중 25의 배수는 25, 50, 75, 100의 4개 이므로 공배수 중 100 이하의 자연수는 모두 4개이다. ②
최소공배수 구하기
09
개념
본교재 | 27 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 2Ü`_3Û` ⑵ 2Û`_3Û`_72
⑴ 168 ⑵ 2701 ⑴
⑵
2`_3Û`2Û`_3`_7
2Û`_3`_7
(최소공배수)=2Û`_3Û`_7
2 ⑴
⑵
본교재 | 28 쪽
대표 유형
3 ⑤ 3 -1 ⑤ 3 -2 6 4 ⑤ 4 -1 ④ 4 -2 4개
2Ü`_3
2Û`_3Û`
(최소공배수)=2Ü`_3Û`
2`>³ 24 42 3`>³ 12 21 4 7
(최소공배수)=2_3_4_7=168 3`>³ 27 30 45
3`>³ 9 10 15 5`>³ 3 10 5 3 2 1
(최소공배수)=3_3_5_3_2_1=270
3 -1
⑤
3 -2
최소공배수는 각 수의 공통인 소인수 2Ü`_5_7`
2Û`_5_7Û`
(최소공배수)=2º`_5_7Û`
와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱하 여 구한다. 이때 공통인 소인수의 지 수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 큰 것을 택하여 곱한다.
따라서 a=2, b=3이므로 a_b=2_3=6 6
4 -1
세 수 12, 40, 54의 최소공배수는 12=2Û`_3 40=2Ü`_3Û`_5 54=2Þ`_3Ü`
(최소공배수)=2Ü`_3Ü`_5 2Ü`_3Ü`_5이므로 공배수는
2Ü`_3Ü`_5의 배수이다.
따라서 공배수인 것은 ④ 2Ü`_3Ü`_5Û`
이다.
④
4 -2
공배수는 최소공배수의 배수이 24=2Ü`_3 30=2Û`_3_5 (최소공배수)=2Ü`_3_5=120 다.
이때 두 수 24, 30의 최소공배 수는 120이므로 공배수 중 500
이하의 자연수는 120, 240, 360, 480의 4개이다. 4개
최소공배수의 활용
10
개념
본교재 | 29 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 최소공배수 ⑵ 최소공배수2
⑴ 6, 12, 18, 24 ⑵ 8, 16, 24, 32 ⑶ 6, 8, 24, 48 ⑷ 6, 8, 24본교재 | 30 ~ 31 쪽
대표 유형
5 오전 9시 48분 5 -1 60초
6 180 cm 6 -1 300 cm 6 -2 ④ 7 38 7 -1 121 7 -2 123 8 80 8 -1 36 8 -2;;Á1¢7¼;;
72=2Ü`_3Û`
72=2Û`_3Û`_5Ü`
(최소공배수)=2Ü`_3Û`_5Ü`
5 -1
세 전구에 동시에 불을 켠 후 처 15=2Ü`_3_5 20=2Û`_3_5 10=2Û`_3_5 (최소공배수)=2Û`_3_5`=60 음으로 다시 동시에 불이 켜지는
시각은 (15, 20, 10의 최소공배 수)초 후이다.
따라서 세 전구에 동시에 불을
켠 후 처음으로 다시 동시에 불이 켜질 때까지 걸리는 시간은 60초
이다. 60초
6 -1
정사각형의 한 변의 길이는 60 60=2Û`_3_5 75=2Û`_3_5Û`
(최소공배수)=2Û`_3_5Û`=300 과 75의 공배수이고 가장 작은
정사각형을 만들어야 하므로 정사각형의 한 변의 길이는 60 과 75의 최소공배수가 되어야 한다.
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 300 cm이다. 300 cm
6 -2
정육면체의 한 모서리의 길이는 24, 24=2Ü`_3 18=2`_3Û`
12=2Û`_3 (최소공배수)=2Ü`_3Û`=72 18, 12의 공배수이고 가능한 한 작은
정육면체 모양을 만들어야 하므로 정 육면체의 한 모서리의 길이는 24, 18, 12의 최소공배수가 되어야 한다.
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 72`cm이다. ④
7 -1
구하는 수를 A라고 하면 A-1 16=2Û`_3 18=2Ü`
10=2Þ`_3_5 (최소공배수)=2Ü`_3_5=120 은 6, 8, 10의 최소공배수이다.
따라서 6, 8, 10의 최소공배수는 120이므로
A=120+1=121 121
7 -2
4로 나누어도, 5로 나누어도, 6으로 나누어도 모두 3이 남는 자연수 는 (4, 5, 6의 공배수)+3이다. 4, 5, 6의 최소공배수는 60이므로 4, 5, 6의 공배수는 60, 120, …이다.
따라서 구하는 세 자리의 자연수 중 가장 작은 수는
120+3=123 123
8 -1
주어진 두 분수 중 어느 것에 곱하 12=2Û`_3 18=2`_3Û`
(최소공배수)=2Û`_3Û`=36 여도 그 결과가 자연수가 되게 하는
가장 작은 자연수는 12와 18의 최
소공배수이므로 36이다. 36
8 -2
두 분수 중 어느 것에 곱하여도 그 결과가 자연수가 되게 하는 가장 작은 분수는 (35와 20의 최소공배수)
(17과 51의 최대공약수)이다.
이때 17, 51=3_17의 최대공약수는 17이고 35=5_7, 20=2Û`_5의 최소공배수는 2Û`_5_7=140이므로 구하는 기약분
수는 ;;Á1¢7¼;; ;;Á1¢7¼;;
최대공약수와 최소공배수의 관계
11
개념
본교재 | 32 쪽
개념 콕콕
1
28, 84, 21, 4, 4, 3, 3, 212
⑴ 8, 96 ⑵ 3, 240, 720본교재 | 33 쪽
대표 유형
9 24 9 -1 60 9 -2 A=12, B=20 10 6 10 -1 72 10 -2 1350
9 -1
(두 자연수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 A_96=12_480 ∴ A=60
다른 풀이
A=12_a (a와 8은 서로소)라고 하면 A, 96의 12`>³ A 96 a 8 최소공배수가 480이므로
12_a_8=480 ∴ a=5
∴ A=12_5=60 60
9 -2
두 자연수 A, B의 최대공약수가 4이므로 4`>³ 4_a 4_b a b A=4_a, B=4_b (a, b는 서로소, a<b)
라고 하자.
이때 A, B의 최소공배수가 60이므로 4_a_b=60 ∴ a_b=15 Ú a=1, b=15일 때, A=4, B=60 Û a=3, b=5일 때, A=12, B=20 이때 A, B는 두 자리의 자연수이므로
A=12, B=20 A=12, B=20
10 -1
(두 자연수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로
576=8_(최소공배수) ∴ (최소공배수)=72 72
Ⅰ- 1. 소인수분해 10 -2
(두 자연수의 곱) =(최대공약수)_(최소공배수)
=15_90=1350 1350
본교재 | 34 ~ 35 쪽
01
①02
③03
②04
①05
④06
④07
③08
③09
900개10
185개11
;;¢4°;;12
2513
②배운대로 해결하기
01
두 자연수 A, B의 공배수는 최소공배수인 12의 배수이다.
이때 12_8=96, 12_9=108이므로 공배수 중 100에 가장 가까
운 수는 96이다. ①
02
①
②
③
④
⑤
③
03
2`_3Û`_5Ý`
2Û`_3Û`_5º`
(최대공약수)=2Û`_3Û`_5Û`
(최소공배수)=2Ü`_3Û`_5Ý`
따라서 a=3, b=2이므로
a+b=3+2=5 ②
3Ü`_5Û`
3Û`_5Û`_7
(최소공배수)=3Û`_5Û`_7 150= 3Ü`_5 150=2_3Ü`_5Û`
(최소공배수)=2_3Ü`_5Û`
3Ü`_5
3Û`_5_7
(최소공배수)=3Ü`_5_7 3Þ`_5Û`_7 2Ü` 5Ü`_7 3Ü`_5Ý`_7_11 (최소공배수)=3Þ`_5Ý`_7_11 28=2Û`_3Û`_7 36=2Û`_3Û`
54=2Þ`_3Ü`
(최소공배수)=2Û`_3Ü`_7
04
㈎에서 세 자연수의 비가 2:3:5이 x`>³ 2_x 3_x 5_x 2 3 5 므로 세 자연수를 2_x, 3_x, 5_x
라고 하자.
㈏에서 세 자연수의 최소공배수는 180이므로 x_2_3_5=180
30_x=180 ∴ x=6
따라서 세 자연수의 최대공약수는 6이다. ①
05
두 수 2_3Ü`_7Û`, 252의 공배수는 최 252=2`_3Ü`_7Û`
252=2Û`_3Û`_7 (최소공배수)=2Û`_3Ü`_7Û`
소공배수인 2Û`_3Ü`_7Û`의 배수이다.
따라서 주어진 두 수의 공배수가 아
닌 것은 ④ 2Ü`_3Û`_7Û`이다. ④
06
전철, 시내 버스, 좌석 버스가 동시에 25=2_5
15=3_5
25=2_5Û`
(최소공배수)=3_5Û`=75 출발했을 때, 처음으로 다시 동시에
출발하는 시각은 (5, 15, 25의 최소 공배수)분 후이다.
따라서 전철, 시내 버스, 좌석 버스
가 오전 8시에 동시에 출발한 후 처음으로 다시 동시에 출발하는 시 각은 75분 후, 즉 1시간 15분 후인 오전 9시 15분이다. ④
07
두 톱니바퀴 A, B가 같은 톱니 28=2Û`_5_7 35=2Û`_5_7 (최소공배수)=2Û`_5_7=140 에서 처음으로 다시 맞물릴 때
까지 돌아간 톱니의 개수는 (28 과 35의 최소공배수)개이다.
28과 35의 최소공배수는 140이므로 두 톱니바퀴 A, B가 같은 톱 니에서 처음으로 다시 맞물릴 때까지 돌아간 톱니의 개수는 140개 이다.
따라서 톱니바퀴 A가 140Ö28=5(바퀴) 회전한 후이다. ③
08
정사각형의 한 변의 길이는 18 18=2Û`_3Û`
20=2Û`_5Û`_5 (최소공배수)=2Û`_3Û`_5=180 과 20의 공배수이고 가장 작은
정사각형을 만들어야 하므로 정 사각형의 한 변의 길이는 18과 20의 최소공배수가 되어야 한다.
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 180 cm이고 가로, 세로에 필요 한 타일의 개수는 각각
가로:180Ö18=10(개), 세로:180Ö20=9(개) 이므로 필요한 타일의 개수는
10_9=90(개) ③
09
정육면체의 한 모서리의 길이는 20=2Û`_3_5 12=2Û`_3 58=2Ü`
(최소공배수)=2Ü`_3_5=120 20, 12, 8의 공배수이고 가능한
한 작은 정육면체 모양을 만들 어야 하므로 정육면체의 한 모 서리의 길이는 20, 12, 8의 최 소공배수가 되어야 한다.
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 120`cm이고 가로, 세로, 높 이에 필요한 벽돌의 개수는 각각
가로:120Ö20=6(개), 세로:120Ö12=10(개), 높이:120Ö8=15(개) 이므로 필요한 벽돌의 개수는
6_10_15=900(개) 900개
10
과자의 개수는 6, 9, 10으로 나누 56=2_3Û`
19=2_3Û`
10=2_3Û`_5 (최소공배수)=2_3Û`_5=90 어도 모두 5가 남는 자연수이므
로 (6, 9, 10의 공배수)+5이다.
6, 9, 10의 최소공배수는 90이므 로 6, 9, 10의 공배수는 90, 180, 270, …이다.
이때 과자의 개수는 100개보다 많고 200개보다 적으므로 과자의 개 수는
180+5=185(개) 185개
11
두 분수 중 어느 것에 곱하여도 그 결과가 자연수가 되게 하는 가장 작은 분수는 (15와 9의 최소공배수)
(16과 28의 최대공약수) 이다.
이때 16=2Ý`, 28=2Û`_7의 최대공약수는 2Û`=4이고 15=3_5, 9=3Û`의 최소공배수는 3Û`_5=45이므로 구하는 기약분수는 ;;¢4°;;이다.
;;¢4°;;
12
두 자연수 A, B의 최대공약수가 5이므로 5`>³ 5_a 5_b a b A=5_a, B=5_b (a, b는 서로소, a<b)
라고 하자.
이때 A, B의 곱이 150이므로 5_a_5_b=150 ∴ a_b=6 Ú a=1, b=6일 때,
A=5, B=30 Û a=2, b=3일 때,
A=10, B=15
이때 A, B는 두 자리의 자연수이므로
A=10, B=15 ∴ A+B=10+15=25 25
13
(두 자연수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 648=9_(최소공배수)
∴ (최소공배수)=72 ②
본교재 | 36 ~ 38 쪽
개념 넓히기로 마무리
01
⑤02
②, ④03
⑤04
④05
206
④07
②08
⑤09
28개10
③11
②, ③12
⑤13
④14
②15
③16
1, 3, 917
218
2019
720초20
621
10922
12, 4201
16=2_2_2_2=2Ý`이므로 a=4 3Þ`=3_3_3_3_3=243이므로 b=243
∴ a+b=4+243=247 ⑤
02
① 가장 작은 소수는 2이다.
③ 20을 소인수분해하면 2Û`_5이다.
④ 42=2_3_7이므로 소인수는 2, 3, 7이다.
⑤ 7보다 작은 소수는 2, 3, 5이다.
따라서 옳은 것은 ②, ④이다. ②, ④
03
180=2Û`_3Û`_5에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하려면 곱하는 자연수는 5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다.
따라서 곱할 수 있는 자연수는 5_1Û`, 5_2Û`, 5_3Û`, y이므로 세 번째로 작은 수는
5_3Û`=45 ⑤
04
① 20=2Û`_5이므로 (2+1)_(1+1)=6(개)
② 32=2Þ`이므로 5+1=6(개)
③ 63=3Û`_7이므로 (2+1)_(1+1)=6(개)
④ 105=3_5_7이므로
(1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개)
⑤ 242=2_11Û`이므로 (1+1)_(2+1)=6(개)
따라서 약수의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ④ 105이다. ④
Ⅰ- 1. 소인수분해
05
Ú =3`의 꼴일 때,
=3Ü`=27
Û =5º`의 꼴일 때,
=5Û`=25
Ü 가 3, 5가 아닌 소수일 때,
=2, 7, 11, …
Ú ~ Ü에서 안에 들어갈 수 있는 가장 작은 자연수는 2이다.
2
06
21과 a의 공약수가 1개이므로 a는 21과 서로소인 수이다.
21과 주어진 수의 최대공약수를 각각 구하면
① 3 ② 7 ③ 7 ④ 1 ⑤ 7
따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ④ 32이다. ④
07
① 최대공약수는 2Û`_7=28
② 최대공약수는 5_11=55
③ 15=3_5, 36=2Û`_3Û`이므로 최대공약수는 3
④ 최대공약수는 2Û`_5=20
⑤ 18=2_3Û`, 24=2Ü`_3, 60=2Û`_3_5이므로 최대공약수는 2_3=6
따라서 최대공약수가 가장 큰 것은 ②이다. ②
08
남학생 152명, 여학생 136명으 152=2Ü`_19_19 136=2Ü`_17 (최대공약수)=2Ü`_17_19=8 로 되도록 많은 반을 만들려면
반의 수는 152와 136의 최대공 약수가 되어야 한다.
따라서 총 8개 반이 만들어지므로 c=8 한 반에 배정되는 남학생과 여학생의 수는 각각 남학생 : 152Ö8=19(명) ∴ a=19 여학생 : 136Ö8=17(명) ∴ b=17
∴ a+b+c=19+17+8=44 ⑤
09
정사각형 모양의 타일의 한 변의 길 164=2ß`
112=2Ý`_7 (최대공약수)=2Ý`_7=16 이는 64와 112의 공약수이고 가능한
한 큰 타일을 붙이려고 하므로 타일 의 한 변의 길이는 64와 112의 최대 공약수가 되어야 한다.
따라서 타일의 한 변의 길이는 16 cm이고 가로와 세로에 필요한 타 일의 개수는 각각
가로:64Ö16=4(개), 세로:112Ö16=7(개) 이므로 필요한 타일의 개수는
4_7=28(개) 28개
10
두 자연수 A, B의 공배수는 최소공배수인 30의 배수이므로 30, 60, 90, …이다.
따라서 두 수 A, B의 공배수가 아닌 것은 ③ 200이다. ③
11
2Û`_3Û`
2Û`_3Ü`_5
2Ü`_3`_5Û`
(최대공약수)=2Û`_3 (최소공배수)=2Ü`_3Ü`_5Û`
② 세 수의 최소공배수는 2Ü`_3Ü`_5Û`이다.
③ 세 수의 최대공약수가 2Û`_3이므로 세 수의 공약수는 (2Û`의 약수)_(3의 약수)의 꼴이다.
따라서 2Û`_5는 세 수의 공약수가 아니다.
따라서 옳지 않은 것은 ②, ③이다. ②, ③
12
36과 60의 최대공약수는 12이므로 36`◎`60=12
12와 42의 최소공배수는 84이므로 12`◉`42=84
∴ (36`◎`60)`◉`42=12`◉`42=84 ⑤
13
세 수 2_3_5, A, 2_3Û`의 최대공약수가 6=2_3이고, 최소공배 수가 180=2Û`_3Û`_5이므로 A의 값이 될 수 있는 수는
2Û`_3=12, 2Û`_3Û`=36, 2Û`_3_5=60, 2Û`_3Û`_5=180 따라서 A의 값이 될 수 없는 것은 ④ 120이다. ④
보충 설명
④ 2_3_5, 120=2Ü`_3_5, 2_3Û`의 최대공약수는 2_3=6, 최소 공배수는 2Ü`_3Û`_5=360이다.
14
세 자연수 2_x, 3_x, 7_x의 최소 x`>³ 2_x 3_x 7_x 2 3 7 공배수가 294이므로
x_2_3_7=294 42_x=294 ∴ x=7
따라서 세 자연수는 2_7=14, 3_7=21, 7_7=49이므로 세 자 연수의 합은
14+21+49=84 ②
36=2Û`_3Û`
60=2Û`_3Û`_5 (최대공약수)=2Û`_3Û`_`=12
12=2Û`_3 42=2`_3_7 (최소공배수)=2Û`_3_7=84
15
정육면체의 한 모서리의 길이는 24=2Ü`_3 20=2Û`_3_5 15=2Ü`_3_5 (최소공배수)=2Ü`_3_5=120
24, 20, 15의 공배수이고 가장
작은 정육면체 모양을 만들어야 하므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 24, 20, 15의 최소공배 수가 되어야 한다.
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 120 cm이고 가로, 세로, 높 이에 필요한 벽돌의 개수는 각각
가로:120Ö24=5(개), 세로:120Ö20=6(개), 높이:120Ö15=8(개) 이므로 필요한 벽돌의 개수는 5_6_8=240(개)
그러므로 필요한 벽돌의 총 가격은
240_200=48000(원) ③
16
(두 자연수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 486=(최대공약수)_54
∴ (최대공약수)=9
따라서 공약수는 최대공약수의 약수이므로 1, 3, 9이다. 1, 3, 9
17
3`_5_7Ü`의 약수의 개수는
(a+1)_(1+1)_(3+1)=8_(a+1)(개) …… 40%
540=2Û`_3Ü`_5의 약수의 개수는
(2+1)_(3+1)_(1+1)=24(개) …… 40%
이때 3`_5_7Ü`의 약수의 개수와 540의 약수의 개수가 같으므로 8_(a+1)=24
a+1=3 ∴ a=2 …… 20%
2
18
최대공약수가 3Û`_5Û`이므로
b=2 …… 20%
최소공배수가 3Ü`_5Ý`_7Û`_13이므로
a=3, c=2, d=13 …… 60%
∴ a+b+c+d=3+2+2+13=20 …… 20%
20
19
세 신호등 A, B, C가 켜진 후 다시 켜질 때까지 걸리는 시간은 각 각
40+8=48(초), 50+10=60(초), 30+6=36(초) …… 40%
세 신호등 A, B, C가 동시에 48=2Ý`_3 60=2Û`_3Û`_5 36=2Û`_3Û`
(최소공배수)=2Ý`_3Û`_5=720 켜진 후 처음으로 다시 동시에
켜질 때까지 걸리는 시간은 (48, 60, 36의 최소공배수)초 후이다. …… 20%
이때 48, 60, 36의 최소공배수는 720이므로 세 신호등 A, B, C가 동시에 켜진 후 처음으로 다시 동시에 켜질 때까지 걸리는 시간은
720초이다. …… 40%
720초
20
300=2Û`_3_5Û`이므로
N(300)=(2+1)_(1+1)_(2+1)=18 N(300)_N(k)=72에서
18_N(k)=72 ∴ N(k)=4
이때 k의 약수의 개수가 4개이므로 k의 값은 aÜ` (a는 소수) 또는 a_b (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴이다.
Ú k=aÜ`(a는 소수)의 꼴일 때, 가장 작은 자연수 k의 값은 2Ü`=8
Û k=a_b (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴일 때, 가장 작은 자연수 k의 값은 2_3=6
Ú, Û에서 가장 작은 자연수 k의 값은 6이다. 6
21
세 분수 중 어느 것에 곱하여도 그 결과가 자연수가 되게 하는 가장 작은 분수는 (3, 7, 5의 최소공배수)
(8, 20, 12의 최대공약수) 이다.
3, 7, 5의 최소공배수는 3_7_5=105이므로 x=105
8=2Ü`, 20=2Û`_5, 12=2Û`_3의 최대공약수는 2Û`=4이므로 y=4
∴ x+y=105+4=109 109
22
두 자연수의 최대공약수가 6이므로 두 자연수 6`>³ 6_a 6_b a b 를 6_a, 6_b(a, b는 서로소, a<b)라고 하
자.
이때 두 자연수의 최소공배수가 84이므로 6_a_b=84 ∴ a_b=14
Ú a=1, b=14일 때,
두 자연수는 6, 84이므로 두 자연수의 합은 6+84=90
Û a=2, b=7일 때,
두 자연수는 12, 42이므로 두 자연수의 합은 12+42=54
이때 두 자연수의 합은 54이므로 구하는 두 자연수는 12, 42이다.
12, 42
Ⅰ- 2. 정수와 유리수
Ⅰ. 수와 연산
2. 정수와 유리수 01
정수개념
본교재 | 40 쪽
개념 콕콕
1
⑴ -700 ⑵ +10000 ⑶ -7 ⑷ +32
⑴ +6, 4 ⑵ -2, -5 ⑶ -2, +6, 0, 4, -5 ⑷ -2, 0, -5본교재 | 41 쪽
대표 유형
1 ④ 1 -1 ②
2 ③ 2 -1 ④ 2 -2 2
1 -1
② 작년보다 키가 3`cm 커졌다. ⇨ +3`cm ②
2 -1
정수는 +1, 9, 0, -;2^;=-3의 4개이다. ④
2 -2
양의 정수는 +;;ª6¢;;=+4의 1개이므로 a=1
음의 정수는 -1, -;;Á7¢;;=-2, -7의 3개이므로 b=3
∴ b-a=3-1=2 2
02
유리수개념
본교재 | 42 쪽
개념 콕콕
1
⑴ +1.6, +;3%;, +7 ⑵ -4, -;2#;⑶ -4, +1.6, -;2#;, 0, +;3%;, +7 ⑷ +1.6, -;2#;, +;3%;
2
풀이 참조2
수 -3 +;2!; -0.1 0 +;;Á5¼;;
양수 ◯ ◯
음수 ◯ ◯
정수 ◯ ◯ ◯
유리수 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯
본교재 | 43 쪽
대표 유형
3 ①, ④ 3 -1 4개 3 -2 ③ 4 ①, ⑤ 4 -1 ⑤
3 -1
-;Á2¤;=-8, -2는 정수이므로 정수가 아닌 유리수는 3.14, -;4&;,
+;Á5ª;;, +9.3의 4개이다. 4개
3 -2
① 양수는 +;5^;, :Á6ª:, +8의 3개이다.
② 정수는 -3, :Á6ª:=2, 0, +8의 4개이다.
③ 유리수는 +;5^;, -3, -2.9, :Á6ª:, 0, +8의 6개이다.
④ 양의 정수는 :Á6ª:=2, +8의 2개이다.
⑤ 정수가 아닌 유리수는 +;5^;, -2.9의 2개이다.
따라서 옳은 것은 ③이다. ③
4 -1
① 양의 정수, 0, 음의 정수를 통틀어 정수라고 한다.
② 가장 작은 양의 정수는 1이다.
③ -;3!;은 음의 유리수이지만 음의 정수는 아니다.
④ ;4#;과 같이 정수가 아닌 유리수도 있다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤
03
수직선개념
본교재 | 44 쪽
개념 콕콕
1
⑴ -3 ⑵ -;3@; ⑶ +;4!; ⑷ +;2#;2
풀이 참조3
풀이 참조2
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
(2) (3) (1) (4)
3
점 A는 0보다 ;2#;만큼 작은 수를 나타내므로 점 A를 나타내는 수는 -;2#;이고, 점 B는 0보다 4만큼 큰 수를 나타내므로 점 B를 나타내 는 수는 +4이다.
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
A B
본교재 | 45 쪽
대표 유형
5 ①, ④ 5 -1 ① 5 -2 ④
6 -1 6 -1 2 6 -2 -5, 1
5 -1
① A:-4.5 ①
5 -2
주어진 수를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
따라서 오른쪽에서 두 번째에 있는 수는 ④ 3.5이다. ④
6 -1
-3과 7을 수직선 위에 점으로 나타내면 다음 그림과 같다.
따라서 -3과 7을 나타내는 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점이
나타내는 수는 2이다. 2
6 -2
-2를 수직선 위에 점으로 나타내면 다음 그림과 같다.
따라서 -2를 나타내는 점으로부터 거리가 3인 점을 나타내는 수는
-5, 1이다. -5, 1
본교재 | 46 쪽
01
⑤02
③, ⑤03
④04
505
④06
④07
-1배운대로 해결하기
01
① -1000원 ② -15분 ③ -20 kg ④ -3`¾ ⑤ +8명 따라서 부호가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다. ⑤
02
자연수가 아닌 정수는 0과 음의 정수이다.
따라서 자연수가 아닌 정수는 ③ 0, ⑤ -3이다. ③, ⑤
03
① 자연수는 ;;ª3¦;;=9의 1개이다.
3 3.5 5 - 1
-3 2-3 -2 -1 0 1 472 3 4
-4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
거리 5 거리 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 거리 3 거리 3
② 정수는 -10, ;;ª3¦;;=9의 2개이다.
③ 양수는 +;8!;, ;4#;, ;;ª3¦;;, +5.4의 4개이다.
④ 음의 유리수는 -2.7, -10의 2개이다.
⑤ 정수가 아닌 유리수는 +;8!;, -2.7, ;4#;, +5.4의 4개이다.
따라서 옳은 것은 ④이다. ④
04
양의 유리수는 +3, :Á2Á:의 2개이므로 a=2 정수는 +3, -:£5¼:=-6, 0의 3개이므로 b=3
∴ a+b=2+3=5 5
05
④ -1은 가장 큰 음의 정수이다. ④
06
A:-5, B:-;2#;, C:;2!;, D:2, E:;3*;
① 가장 작은 수를 나타내는 점은 A이다.
② 점 C가 나타내는 수는 ;2!;이다.
③ 양수는 점 C, D, E가 나타내는 수로 3개이다.
④ 음의 정수는 점 A가 나타내는 수로 1개이다.
⑤ 유리수는 점 A, B, C, D, E가 나타내는 수로 5개이다.
따라서 옳은 것은 ④이다. ④
07
-;;ª5ª;;와 ;3%;를 수직선 위에 점으로 나타내면 다음 그림과 같다.
따라서 a=-4, b=2이므로 -4와 2를 나타내는 두 점으로부터 같 은 거리에 있는 점이 나타내는 수는 -1이다. -1
04
절댓값개념
본교재 | 47 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 3 ⑵ 4 ⑶ 0 ⑷ ;7*; ⑸ 1.5 ⑹ ;5$;2
⑴ +6, -6 ⑵ +;1£1;, -;1£1; ⑶ 0 ⑷ +4 ⑸ -0.7 ⑹ +;2!;-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
- 225
거리 3
35 거리 3
Ⅰ- 2. 정수와 유리수 본교재 | 48 쪽
대표 유형
1 ② 1 -1 24 1 -2 ⑤
2 -10, 10 2 -1 -8, 8 2 -2 a=;5#;, b=-;5#;
1 -1
+;;Á7ª;;의 절댓값은 ;;Á7ª;;이므로 a=;;Á7ª;;
-14의 절댓값은 14이므로 b=14
∴ a_b=;;Á7ª;;_14=24 24
1 -2
각 수의 절댓값을 구하면
① 0.4 ② ;2#;=1;2!; ③ 5 ④ 0 ⑤ ;;Á3»;;=6 ;3!;
따라서 절댓값이 가장 큰 수는 ⑤ -;;Á3»;;이다. ⑤
2 -1
부호가 다른 두 수의 절댓값이 같으므로 두 수를 나타내는 두 점은 원점으로부터 같은 거리에 있다. 두 점 사이의 거리가 16이므로 두 점은 원점으로부터 각각 16_;2!;=8만큼 떨어져 있다.
따라서 구하는 두 수는 -8, 8이다. -8, 8
2 -2
두 수 a, b의 절댓값이 같으므로 두 수를 나타내는 두 점은 원점으 로부터 같은 거리에 있다. 두 점 사이의 거리가 ;5^;이므로 두 점은 원 점으로부터 각각 ;5^;_;2!;=;5#;만큼 떨어져 있다.
따라서 두 수는 ;5#;, -;5#;이고 a가 b보다 크므로 a=;5#;, b=-;5#;
a=;5#;, b=-;5#;
수의 대소 관계
05
개념
본교재 | 49 쪽
개념 콕콕
1
⑴ > ⑵ > ⑶ < ⑷ > ⑸ < ⑹ <2
⑴ > ⑵ É, É ⑶ É, <1
⑷
+;2#;=+;6(;이고 +;6(;>+;6&;∴ +;2#;>+;6&;
⑹
-;5@;=-;1¤5;이고 -;1¤5;<-;1Á5;∴ -;5@;<-;1Á5;
본교재 | 50 쪽
대표 유형
3 ④ 3 -1 ③ 3 -2;;Á7¼;;
4 ③ 4 -1 ⑤
3 -1
① 음수는 절댓값이 작은 수가 더 크므로 -12<-9
② 0.1=;1Á0;, ;5!;=;1ª0;이고 ;1Á0;<;1ª0; ∴ 0.1<;5!;
③ -;4!;=-;2°0;, -;5!;=-;2¢0;이고 -;2°0;<-;2¢0;
∴ -;4!;<-;5!;
④ ;2#;=;4^;, |-;4%;|=;4%;이고 ;4^;>;4%; ∴ ;2#;>|-;4%;|
⑤ |-;4#;|=;4#;=;2@8!;, |+;7^;|=;7^;=;2@8$;이고 ;2@8!;<;2@8$;
∴ |-;4#;|<|+;7^;|
따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③
3 -2
-3<-;5@;<0<;;Á7¼;;<|-5|이므로 작은 수부터 차례대로 나열할 때, 네 번째에 오는 수는 ;;Á7¼;;이다. ;;Á7¼;;
4 -1
⑤ -;3!;ÉaÉ;5@; ⑤
본교재 | 51 쪽
01
0.6, -3.302
④03
④04
-;5*;05
⑤06
④07
5개배운대로 해결하기
01
각 수의 절댓값을 차례대로 구하면 ;2#;, 1, :Á6Á:, 3.3, 0.6이고 절댓값 을 작은 수부터 차례대로 나열하면 0.6, 1, ;2#;=1;2!;, ;;Á6Á;;=1;6%;, 3.3이다.
따라서 절댓값이 가장 작은 수는 0.6이고 절댓값이 가장 큰 수는
-3.3이다. 0.6, -3.3
02
-6의 절댓값은 6이므로 a=6
절댓값이 ;3@;인 수는 +;3@;, -;3@;이고 이 중 양수는 +;3@;이므로 b=;3@;
∴ a_b=6_;3@;=4 ④
03
정수의 절댓값이 4 이하인 경우는 절댓값이 0, 1, 2, 3, 4인 경우이 므로 절댓값이 4 이하인 정수는 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
의 9개이다. ④
04
두 수 A, B의 절댓값이 같으므로 두 수를 나타내는 두 점은 원점으 로부터 같은 거리에 있다. A가 B보다 ;;Á5¤;;만큼 작으므로 A, B를 나타내는 두 점은 원점으로부터 각각 ;;Á5¤;;_;2!;=;5*;만큼 떨어져 있다.
∴ A=-;5*; -;5*;
05
① 양수는 절댓값이 큰 수가 더 크므로 8<10
② 음수는 절댓값이 큰 수가 더 작으므로 -2.3<-1.2
③ -;5@;=-;1¤5;, -;3!;=-;1°5;이고 -;1¤5;<-;1°5;
∴ -;5@;<-;3!;
④ ;5!;=;1ª0;, |-;2#;|=;2#;=;1!0%;이고 ;1ª0;<;1!0%; ∴ ;5!;<|-;2#;|
⑤ |-;7%;|=;7%;=;3@5%;, |-;5#;|=;5#;=;3@5!;이고 ;3@5%;>;3@5!;
∴ |-;7%;|>|-;5#;|
따라서 안에 들어갈 부등호의 방향이 나머지 넷과 다른 하나는
⑤이다. ⑤
06
① 0보다 작은 수는 -2.8, -;;Á9¼;;, -6의 3개이다.
②, ③, ⑤ -6<-2.8<-;;Á9¼;;<;5@;<4<;;Á2¢;;이므로 가장 작은 수는 -6, 가장 큰 수는 ;;Á2¢;;, 음수 중 가장 큰 수는 -;;Á9¼;;이다.
④ 각 수의 절댓값을 차례대로 구하면 ;5@;, 2.8, 4, ;;Á9¼;;, ;;Á2¢;;, 6이고 절댓값을 작은 수부터 차례대로 나열하면 ;5@;, ;;Á9¼;;=1;9!;, 2.8, 4, 6, ;;Á2¢;;=7이다. 즉, 절댓값이 가장 작은 수는 ;5@;이다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④
07
x는 -4보다 크고 ;3%;보다 크지 않다. ⇨ -4<xÉ;3%;
따라서 -4<xÉ;3%;를 만족시키는 정수 x는 -3, -2, -1, 0, 1
의 5개이다. 5개
유리수의 덧셈
06
개념
본교재 | 52 쪽
개념 콕콕
1
⑴ +, 3, +, 7 ⑵ -, 3, -, 7 ⑶ +, 3, +, 1 ⑷ -, 3, -, 12
⑴ +10 ⑵ +6 ⑶ -3 ⑷ +2.1 ⑸ -;1!2!; ⑹ -12
⑴
(+2)+(+8)=+(2+8)=+10⑵
(+7)+(-1)=+(7-1)=+6⑶
(-0.9)+(-2.1)=-(0.9+2.1)=-3⑷
(+3.5)+(-1.4)=+(3.5-1.4)=+2.1⑸
{-;3!;}+{-;1¦2;}={-;1¢2;}+{-;1¦2;}=-{;1¢2;+;1¦2;}=-;1!2!;
⑹
(+1.5)+{-;2%;}={+;2#;}+{-;2%;}⑹ (+1.5)+{-;2%;}=-{;2%;-;2#;}=-;2@;=-1
본교재 | 53 쪽
대표 유형
1 ④ 1 -1 ① 1 -2 (+3)+(-6)=-3
2 ④ 2 -1 ④ 2 -2 +;5@;
1 -1
원점에서 왼쪽으로 3만큼 간 점에서 다시 왼쪽으로 2만큼 간 점을 나타내는 수는 -5이다.
따라서 주어진 그림이 나타내는 식은 ① (-3)+(-2)=-5이다.
①
1 -2
원점에서 오른쪽으로 3만큼 간 점에서 다시 왼쪽으로 6만큼 간 점을 나타내는 수는 -3이다.
따라서 수직선으로 설명할 수 있는 덧셈식은 (+3)+(-6)=-3 이다. (+3)+(-6)=-3
Ⅰ- 2. 정수와 유리수 2 -1
① (-6)+(-4)=-(6+4)=-10
② (-8)+(+3)=-(8-3)=-5
③ (+0.3)+(+1.2)=+(0.3+1.2)=+1.5
④ {-;9$;}+{+;9%;}=+{;9%;-;9$;}=+;9!;
⑤ {+;3@;}+{-;5#;}={+;1!5);}+{-;1»5;}
⑤ {+;3@;}+{+;5#;}=+{;1!5);-;1»5;}=+;1Á5;
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④
2 -2
a={+;5@;}+{-;2#;}={+;1¢0;}+{-;1!0%;}
a=-{;1!0%;-;1¢0;}=-;1!0!;
b=(-2.2)+(+3.7)=+(3.7-2.2)=+1.5
∴ a+b={-;1!0!;}+(+1.5)={-;1!0!;}+{+;1!0%;}
∴ a+b=+{;1!0%;-;1!0!;}=+;1¢0;=+;5@; +;5@;
덧셈의 계산 법칙
07
개념
본교재 | 54 쪽
개념 콕콕
1
㉠ 교환법칙, ㉡ 결합법칙2
⑴ 0 ⑵ +12 ⑶ +0.4 ⑷ -;7$;2
⑴
(주어진 식) =(-9)+(+7)+(+2)⑴ (주어진 식) =(-9)+{(+7)+(+2)}
⑴ (주어진 식) =(-9)+(+9)=0
⑵
(주어진 식) =(+24)+(-8)+(-4)=(+24)+{(-8)+(-4)}
=(+24)+(-12)=+12
⑶
(주어진 식) =(-9.6)+(+4.1)+(+5.9)=(-9.6)+{(+4.1)+(+5.9)}
=(-9.6)+(+10)=+0.4
⑷
(주어진 식) ={+;7#;}+{-;3!;}+{-;3@;}⑷ (주어진 식) ={+;7#;}+[{-;3!;}+{-;3@;}]
⑹ (주어진 식) ={+;7#;}+(-1)=-;7$;
본교재 | 55 쪽
대표 유형
3 ② 3 -1
㈏
3 -2 교환, 결합, -;7%;, +;7@;4 ② 4 -1 ③
3 -1
(-0.7)+(+3)+(-0.6)
=(+3)+(-0.7)+(-0.6)
=(+3)+{(-0.7)+(-0.6)}
=(+3)+(-1.3)
=+1.7 ㈏
3 -2
{-;7@;}+(+1)+{-;7#;}
=(+1)+{-;7@;}+{-;7#;}
=(+1)+[{-;7@;}+{-;7#;}]
=(+1)+{ -;7%; }
= +;7@; 교환, 결합, -;7%;, +;7@;
4 -1
(주어진 식)={-;3!;}+{-;3$;}+{-;2%;}+{+;2&;}
(주어진 식)=[{-;3!;}+{-;3$;}]+[{-;2%;}+{+;2&;}]
(주어진 식)={-;3%;}+(+1)=-;3@; ③
유리수의 뺄셈
08
개념
본교재 | 56 쪽
개념 콕콕
1
⑴ -, 4, +, 4, +, 2 ⑵ +, 3, +, 3, +, 9 ⑶ -, 5, -, 5, -, 6 ⑷ +, 2, -, 2, -, 52
⑴ +11 ⑵ -17 ⑶ -5.9 ⑷ +4.3 ⑸ -;2!; ⑹ +;;Á6£;;2
⑴
(+7)-(-4)=(+7)+(+4)=+11⑵
(-11)-(+6)=(-11)+(-6)=-17⑶
(-4.3)-(+1.6)=(-4.3)+(-1.6)=-5.9⑷
(-1.2)-(-5.5)=(-1.2)+(+5.5)=+4.3 (가) 덧셈의 교환법칙«ª
(나) 덧셈의 결합법칙
ǻ
«(다) ª
«(라) ª
덧셈의 교환 법칙
« f ª
덧셈의 결합 법칙
« f
ª
⑸
{+;4!;}-{+;4#;}={+;4!;}+{-;4#;}=-;4@;=-;2!;⑹
{+;3@;}-{-;2#;}={+;3@;}+{+;2#;}={+;6$;}+{+;6(;}=+;;Á6£;;본교재 | 57 쪽
대표 유형
5 ④ 5 -1 ③ 5 -2 ④ 6 ⑤ 6 -1 ⑤
5 -1
① (+4)-(+2)=(+4)+(-2)=+2
② (-7)-(-13)=(-7)+(+13)=+6
③ (-3.5)-(+4.5)=(-3.5)+(-4.5)=-8
④ {+;8#;}-{-;8%;}={+;8#;}+{+;8%;}=+1
⑤ {-;3!;}-{-;7@;}={-;3!;}+{+;7@;}
⑤ {-;3!;}-{-;7@;}={-;2¦1;}+{+;2¤1;}
⑤ {-;3!;}-{-;7@;}=-;2Á1;
따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③
5 -2
① (-4)-(-5)=(-4)+(+5)=+1
② (+3)-(+2)=(+3)+(-2)=+1
③ (-1)-(+2)=(-1)+(-2)=-3
④ {-;2%;}-{-;2#;}={-;2%;}+{+;2#;}=-;2@;=-1
⑤ {+;5#;}-{+;6!;}={+;5#;}+{-;6!;}
⑤ {+;2#;}-{+;4#;}={+;3!0*;}+{-;3°0;}
⑤ {+;2#;}-{+;4#;}=+;3!0#;
따라서 계산 결과가 -1인 것은 ④이다. ④
6 -1
① (+3)+(-1)=+2
② (-2)-(-4)=(-2)+(+4)=+2
③ (-3)+(+5)=+2
④ {+;2!;}-{-;2#;}={+;2!;}+{+;2#;}=+;2$;=+2
⑤ (-1)-{+;4#;}=(-1)+{-;4#;}={-;4$;}+{-;4#;}=-;4&;
따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다. ⑤
덧셈과 뺄셈의 혼합 계산
09
개념
본교재 | 58 쪽
개념 콕콕
1
⑴ +, 6, +, 6, +, 6, -, 14 ⑵ -, 7, -, 7, -, 7, -, 11, -, 62
⑴ -18 ⑵ +3.9 ⑶ -;4(; ⑷ +4 ⑸ -0.4 ⑹ -;2!;2
⑴
(주어진 식) =(-8)+(+2)+(-12)=(+2)+{(-8)+(-12)}
=(+2)+(-20)=-18
⑵
(주어진 식) =(-0.4)+(+1.8)+(+2.5)=(-0.4)+{(+1.8)+(+2.5)}
=(-0.4)+(+4.3)=+3.9
⑶
(주어진 식)={+;4!;}+{+;2#;}+(-4)⑶ (주어진 식)=[{+;4!;}+{+;4^;}]+(-4)
⑶ (주어진 식)={+;4&;}+(-4)
⑶ (주어진 식)={+;4&;}+{-;;Á4¤;;}=-;4(;
⑷
(주어진 식) =(-9)+(+15)-(+2)=(-9)+(+15)+(-2)
=(+15)+{(-9)+(-2)}
=(+15)+(-11)=+4
⑸
(주어진 식) =(+5.8)-(+3.7)-(+2.5)=(+5.8)+(-3.7)+(-2.5)
=(+5.8)+{(-3.7)+(-2.5)}
=(+5.8)+(-6.2)=-0.4
⑹
(주어진 식)={-;5#;}+{+;2!;}-{+;5@;}⑹ (주어진 식)={-;5#;}+{+;2!;}+{-;5@;}
⑹ (주어진 식)={+;2!;}+[{-;5#;}+{-;5@;}]
⑹ (주어진 식)={+;2!;}+(-1)=-;2!;
본교재 | 59 쪽
대표 유형
7 ④ 7 -1 ① 7 -2 11 8 ③ 8 -1 ④ 8 -2 -;;ª6£;;