量子力學에 있어서의 Operator 의 直交曲線座標에의 變換에 關하여

報 文

(■立셔느大學校 文理科大學 化學科〉

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Operator

直交曲線座標에의變换에關하여

金 舜 敬

序 譌

物理學에있어서 問題이對稱性에따라 適當한 冬覆系를 導入하여야함은 새삼스러히 달할必 芸도없다 런故로 量子力學예있어서 物理量 i■代表하는 Operator 률 다른 座標系에 變換 1•는問哲카 성긴다、이때 重要한것은 直交曲 泉座標예의變換이고，이 以外의變換은 事實上 FN•耍한것이다. 그런비 •이問題애踢하여 至今 부지알려진 第一正統的인方法은 一般座標系에 4變換을 解決한다음 林殊한携遇호서 이롤 界决하는方法이다，(&e» R- Coorant u»l D・

GIbert; Methcden der N^나lenmtisc노n Pbyaik ' Bdl, 8. 194, 1931) 이方法•은 數式의對稱性이 奇度로' 保有되어있기는하다 좀高等한手法을 么要쿽한다. 그리하여 當初부터 直交曲線座標，

애局限하여 이問題를取毛하는 簡便한方法으로 서 Vector에關한 Gauss4 定理等을 使用하는 것 이 扌是出되 었으나(See, Ahrabam-Becker; Theorie der Elektriiitaet Bdl, S. 20 1933) ^{이 것은 數學} 的駁密性이 不足한것이다•

筆者는 이論文에서 當初부터 直交曲線座镖 엑局限하되 數式의對稱性 및 嚴密性을 保有하 며 또 前二者보다 極度로簡明하고 初等的인方 法으로 이問題를 解決하威다•

數學的豫備定理

三次元空間에 서 Cartesian座標 伝“ 砖 耳)와 曲線座標 (也, 끄，比) 間에 一對一의 二次微分可 能한 画數關係가 仔在할때 座標系가 直交曲線座標系일條件은

느쯔T쓰 OF) (D

이 다. 但 坛 는

(1)式의關原를 以後 直交‘의 부르기 로하자.

〔證明)

逆建則이라고

普通잘알려진 直交條件은

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只今

A"=£-器로 놓으糸 (3)式은

j=* 일떠를 許容하여 다음과같이 된다•

: Kronechcr'i ddtaj

그런 비

d"=Z器血

° =2： AM皿

(4)式를利用하던(5)式에서 4网=

, 入으 = 丄 으 du -如 卽 (1)式이 成立된다•

다음에 逆으로 (1)式이成立하면 务 様 一，*丄으竺 丄 쓰

i *■

V 岛 &브 g

(3)

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—2

卽（4）式이成立된다. 따라서（1）式은 3任이由 座標가 直交曲線座標일條件이다. （證了）

이逆韓則올 利用하면 할수있다

응若 를알고은; 를求

학가지例로서 極座毎 S 0^{、） 에있어서} Kt=L A^==l, A*—rsintf

따라서 逆轉則은

흐트___흐竺 ■刖 1 况 rain疼丄一느_ 擘

oxi rsmtf 6.

여기서 票 舞 笄를求하면 쯢，為 驚 를 알수이다.

逆轉即이 이러한性質을 가진故로 變數變換 엑 應用되는것이다.

Operator 의變換

（1）運動콬의成分의變換

이것은 第一基本的인問題이다. 連勤量외 * 成分의 Operator PXi 는 各으「이다. （여기

▲ 는 Planckxs constant） n•런베 으 =$0브L 으

6玖 号dxt 8珂 逆轉則올代入하면 "

*=2：슶-籍으 C6）

따라서

（2 > 運動量의自乘의 Operator의變捶 連動量의 自乘의 Operator *는

S(罰

Z _t

마라서 Laplacian ■£备를 變換하면된다

（6）式을代入하민 '

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二.런 비

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(8)

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-再"上成「（*扌茅7 ）

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（ 3 ） Hamiltonian 의 變換

Hamiltonian H, Potential 을 V라할때, H 는 大體로

日=商+ p« ¥3功应）

임으로 PS의變換으로 大槪는 解決된다.

G4 ） 角運動가의成分의 Operator의變換 角連動量의成分익 Operator 는

迅=스!으-으）

（6）式을代入하면

”。=去习湍-湍），£,

=会去（^{糸-仔）｝-打备CW）}

同樣으로 '

备#｛糸（于）｝专으一. （11）

虹=会去儘（-）阵브厂 （12）

（5） 角連動귤의自乘의 OpemMr의變換 角連動蛍의自乘의 Operator M흘는

MS=M.»+M/+^L»

=（2侦G으-6으『十（匕-응『 우（嗚 r 紡

=（£） -｛*으脇"으+1）｝ 허］

여거 _________

4 : Laplacian （8）式參照 그런베 （6）式을利用합으로서

으"+j으+으=¥顼! ；

따라서

“=（洛） -（｛濫 W 으+£）［〈湯）

以上으로 量子力學에서重要한 Operator를 直交曲線座標에 變換하었다。이手法은 量子力 隼에 利用픨룬만아니라 Cartesian座標에서 直 交曲線座標에외 微分變數외變換에는 佢常利用 할穴있고 또 그手法의 初等的이고도 簡明한왘 애 特히 初學者외參考가흴줄 밈는다。

끝으로 이論文을스는비있어서 모든撃읃 師 範大學에 게 신 親友 黃得炫先生과 討諸하아 s 여기 謝意를 表明하는바이다c

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