Sampled-Data Fault Detection Observer Design of Takagi-Sugeno Fuzzy Systems

접수일자: 2012년 10월 19일 심사(수정)일자: 2012년 12월 4일 게재확정일자 : 2013년 2월 19일

†Corresponding author

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타카기―수게노 퍼지 시스템을 위한 샘플치 고장검출 관측기 설계

Sampled―Data Fault Detection Observer Design of Takagi―Sugeno Fuzzy Systems

지성철^*․이호재^*†․김도완^**

Sung Chul Jee^*, Ho Jae Lee^*†, and Do Wan Kim^**

* 인하대학교 전자공학과

** 한밭대학교 전기공학과

†School of Electronic Engineering, Inha University

요 약

본 논문은 센서 고장을 갖는 타카기―수게노 (Takagi

―Sugeno:

키워드 : 샘플치 제어시스템, 타카기―수게노 (T―S) 퍼지 시스템, 관측기 기반 고장검출, 성능 Abstract

In this paper, we address fault detection observer design problem of T―S fuzzy systems with sensor fault. To detect fault, T―S fuzzy model-based observer is used. By introducing performance index, an observer is designed as sensitive to fault as possible. The fault is then detected by a fault decision logic. The design conditions are derived in terms of linear matrix inequalities. An illustrative example is provided to verify the effectiveness of the proposed fault detection technique.

Key Words : Sampled-data control system, Takagi―Sugeno (T―S) fuzzy system, observer-based fault detection, performance.

1. 서 론

고장검출 기술은 제어시스템의 신뢰도와 안정성 향상 측 면에서 중요한 주제로 다루어지고 있다. 대표적인 연구 성 과로는 모델 기반의 해석적 중복(analytic redundancy) 기 법이 있다 [1-10]. 해석적 중복 기법은 관측기로부터 추정 된 시스템의 상태 오차에 적절한 가중치를 두어 여분 (residual)을 계산하고 여분 평가 함수와 주어진 문턱 값을 비교하여 고장 여부를 판단하는 방법이다 [1, 2]. 해석적 중 복 기법은 기존의 제어시스템을 위한 다양한 관측기 설계 기법을 고장검출 문제에 적용할 수 있다는 장점이 있어 널

리 쓰인다.

해석적 중복 기법에서 컴퓨터 기반의 관측기를 사용할 경우 관측기는 시스템 출력의 샘플치를 입력으로 사용한다.

관측기 설계의 편의를 위해 이산화 오차를 생략하여 샘플치 의 근사 값을 사용하는 경우도 있지만 우수한 검출 성능과 안정성을 보장하기 위해 정확한 샘플치 값을 사용하는 것이 바람직하다.

최근 성능을 고려한 고장검출 관측기 설계에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다. 잘 알려진 성능 지표가 입력에 대한 출력의 강인성을 나타내는 반면 성능은 입력 에 대한 출력의 민감도를 나타낸다 [11, 12]. 특히 고장검출 분야에서 성능은 고장에 대한 여분의 민감도 지수를 나 타내는데 사용이 되며 성능을 높일수록 고장 여부의 판 단이 용이하다 [1-5].

타카기―수게노(Takagi―Sugeno: T―S) 퍼지 모델 기

반 설계 기법은 비선형 시스템을 다루는 효과적인 방법이

다. T―S 퍼지 모델은 국부적 선형 시스템의 비선형 결합

의 성능은 지수로써 나타낸다. 출력 샘플치의 정확한 값을 사용하기 위해 립쉬츠(Lipschitz) 조건을 가정한다 [13]. 관측기 설계 조건은 선형행렬부등식으로 나타내며 수 치 예제를 통해 제안한 기법의 고장검출 성능을 검증한다.

본 논문은 표준 표기법을 따른다. 는 음한정 행 렬을 의미한다. 는 유클리디안 놈을 의미하며 는 놈 을 의미한다 는 대칭행렬의 대각 전치요소를 의미한다. 수

식의 간략한 표현을 위해 생략법 이 사용된

다.

2. T―S 퍼지 시스템

다음 형태의 T―S 퍼지 시스템을 고려하자.

(1)

여기서 는 상태, 는 출력, 는 고장이다.

행렬 표기 , 이며

는 번째 퍼지 규칙의 번째 전반부 변수 에 대한 소속 함수이다. 시스템 (1)은 점근적으로 안정하며

는 관측 가능하고 , 는

상수 에 대하여 립쉬츠 조건을 만족함을 가정한다.

고장검출은 샘플치 관측기에 의해 이루어진다. 관측기의 번째 이산시간 동역학은 다음과 같다.

(2)

여기서 아래첨자 는 시점을 의미하며 는 샘플링

주기이다. 행렬 표기 이다. 는 추정된

상태, 는 관측기의 출력, 는 여분이다. 는 관측기이 득행렬, 는 여분이득행렬, 는 여유변수행렬이다.

여기서 는 상태 추정오차이며 다음의 오차방정식

을 유도할 수 있다.

(3)

가정 1:

논의의 편의를 위해 충분히 작은 시간 구간 에

서 , 이며 를 가정한다.

고장평가함수

와 문턱함수

정의 2:

관측기 (2) 또는 오차동역학 (3) 에서 에서 까지 성능은 다음과 같이 정의된다.

정의 3 ( 고장검출):

주어진 에 대하여 다음

조건을 만족한다면 식 (2) ((3))는 점근적으로 안정하며 에 대하여 고장검출 성능을 만족한다.

(C1) 식 (2) ((3))는 에 대하여 점근적으로 안정하 다.

(C2)

보조정리 1

([13]): 주어진 임의의 정방행렬 와 양한정 행렬 에 대하여 다음 부등식이 항상 성립한다.

(4)

주어진 임의의 행렬 , , , 에 대하여 다 음 부등식이 항상 성립한다.

(5)

■

3. 주요결과

주어진 에 대하여 다음 선형행렬부등식을 만

족하는 행렬들 , , , 가 존재한다면 관측기 (2) 또는 오차동역학 (3) 는 점근적으로 안정하며 - 고장검출 성 능을 만족한다.

(6)

(7)

증명:

먼저 정의 3의 (C1)을 만족하는 식 (1)의 증명을 보자. 먼저 양한정 함수

를 정의하자. 이며 리아푸노프

(Lyapunov) 안정도 이론에 의해 를 만족하면 (2)

(혹은 (3))는 점근적으로 안정하다. 는 다음과 같이

전개할 수 있다.

만약 이라면 위 식은 다음과 동치이다.

여기서 슈어 여수법, 합동 변환, 그리고 보조정리 (1)이 사 용되었다.

이제 정의 3의 (C2)를 만족하는 식 (1)의 증명을 위해 다 음 해밀턴―자코비―벨만(Hemilton―Jacobi―Bellman) 부 등식을 보자.

(8) 위 식을 에서 까지 더하면 다음이 성립하고

따라서 (8) (C2)이며 다음 관계가 성립한다.

여기서 삼각형태의 퍼지 소속 함수를 가정한다. , , 를 선정하여 정리 1을 만족하는 (2) 형태의 관측기의 행렬 파라미터를 구하면 다음과 같다.

초기 값 , 에 대하여 시간구간

에서 모의실험을 수행한다. 고장 는 다음의 패 턴으로 나타남을 가정한다.

일 때 문턱 값과 여분평가함수는 Fig. 1.과 같이 나타

난다. 고장 발생 구간에서 를 만족하여 고장이 발생

하였음을 알 수 있다.

용되었다. 모의실험을 통해 관측기의 고장검출 성능을 확인하였다.

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저 자 소 개

지성철(Sung Chul Jee)

2009년: 인하대학교 전자공학부 공학사 2011년: 인하대학교대학원 전자공학과 공 학석사 2011년～현재: 동 대학원 전자공학과 박 사과정 재학중

관심분야 : 고장 진단 시스템, 퍼지 시스템, 디지털 제어 시 스템

Phone : +82-32-860-7425 E-mail : [email protected]

이호재(Ho Jae Lee)

1998년 : 연세대학교 전기공학과 공학사 2000년: 연세대학교 대학원 전기컴퓨터공 학과 공학석사

2004년: 동 대학원 전기전자 공학과 공학 박사

2005년: University of Houston, Houston, TX, USA 방문조교수

현재: 인하대학교 전자전기 공학부 부교수

관심분야: 비선형 샘플치 제어, 편대비행 제어, 디지털 재설계 Phone : +82-32-860-7425

E-mail : [email protected]

김도완(Do Wan Kim)

2002년: 연세대학교 전기공학과 공학사 2004년: 연세대학교 전기전자공학과 공학 석사

2007년: 동 대학원 전기전자공학과 공학 박사

2008년: 연세대학교 산업기술연구소 연구 원 및 University of California at Berkeley, CA, USA 박사 후 과정

2009년 : 연세대학교 전기전자공학과 BK 연구교수 현재 : 국립한밭대학교 전기공학과 조교수

관심분야 : 비선형 샘플치 제어, 지능제어, 디지털 재설계 Phone : +82-42-821-1097

E-mail : [email protected]