1.
1) ⊂⊂ ∈ ∈ 일 때, 순서쌍의 개수는?
[2000년 경찰대 05]
2.
2) ∪ ∩ 일 때, 순서쌍 의 개수는?[2001년 경찰대 01]
3.
3) 각 자리 숫자가 부터 까지인 자리 수로 된 여행용 가방의 비밀번호를 잊어버렸다. 그런데, 비밀번호의 일의 자리 숫자는, 백의 자리 숫자는 이고, 비밀번호가 로 나누어 떨어진다 는 것을 알고 있다. 이 때, 비밀번호로 가능한 것은 몇 가지인 가?
[3점][2003년 사관학교 가나06]
2 5
① 가지 ② 가지 ③ 가지
④ 가지 ⑤ 가지
4.
4 ) 컴퓨터에 중요한 자료를 넣어 두고 다른 사람이 보는 것을 방 지하기 위하여 부터 까지 개의 자연수에서 서로 다른 세 개 의 수를 뽑아 세 자리 정수의 비밀번호를 설정하려고 한다.비밀번호는 소수가 두 개 이상 포함되도록 하여 가장 큰 정수부 터 차례로 나열할 때 번째의 수이다. 이 비밀번호를 구하시오.
[점][2005년 사관학교 나28]
5.
5 ) 집합 는 의 양의 약수의 원소 중에서 서로 다른개의 원소를 택하여 일렬로 나열할 때, 양 끝에 놓인 두 수의 곱과 나머지 두 수의 곱이 서로 같은 경우의 수는?
[4점][2007년 사관학교 나22]
① ② ③ ④ ⑤
6.
자리의 수인 의 각 자리수 는 를 만족한 다. 이와 같이 자리 이상의 자연수 중에서 항상 뒤의 자리수가 바로 앞의 자리수보다 더 큰 수를 오름수라고 하자. 예를 들어는 오름수이지만 나 은 둘 다 오름수가 아니다.
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 6)
< 보 기 >
ㄱ. 자리 오름수의 개수는 이다.
ㄴ. 자리 오름수의 개수와 자리 오름수의 개수는 같다.
ㄷ. 자리 오름수를 크기순으로 작은 수부터 차례로 나열 할 때, 번째 수는 이다.
[2007년 경찰대 11]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
단원 : 수학(하)-순열/조합
7.
무승부가 없고, 두 사람이 승패를 겨루는 게임이 있다. 게임에 서 지는 사람은 그 다음 게임에 참가하지 않기로 하고,A B C 세 사람이 이 게임을 회 실시한 후, 결과를 다음과 같은 게임성적표에 작성하려고 한다.
회
선수 ⋯
승 : ○ 패 : × 불참 : △
A ⋯
B ⋯
C ⋯
아래의 세 조건을 만족하는 서로 다른 게임성적표의 개수는?7 ) [2007년 경찰대 24]
< 조 건 >
(가) 첫 게임은 B와 C가 실시하여 B가 이겼다.
(나) 마지막 게임에서는 A가 졌다.
(다) A는 승, B는 승을 하였다.
① ② ③ ④ ⑤
8.
8) 집합 에서 로의 함수 중에서 다음 조건을 모두 만족하는 함수 의 개수를 구하시오.[4점][2007년 사관학교 가나30]
(가) 의 역함수가 존재한다.
(나) (다)
9.
다음을 만족시키는 집합 와 의 순서쌍의 개수는?9 )< 다 음 >
(i) ∪
(ii)
[2008년 경찰대 16]
① ② ③ ④ ⑤
10.
10) 그림과 같이 개의 가로줄과 개의 세 로줄로 이루어진 전화기의 숫자판이 있다.이 때, 다음 조건을 모두 만족시키면서 숫 자판에 있는 숫자를 누르는 방법의 수를 구하시오.
[4점][2008년 사관학교 나29]
(가) *, # 을 제외한 개의 숫자 중에서 서로 다른 개 의 숫자를 누른다. 이 때, 누르는 순서가 다르면 서로 다른 경우이다.
(나) 개의 가로줄에서는 각각 숫자를 개씩 누른다.
(다) 개의 세로줄에서는 숫자를 개 누르고, 나머지 개 의 세로줄에서는 각각 숫자를 개씩 누른다.
11.
3명의 경위와 8명의 순경이 4명, 4명, 3명으로 나누어 서로 다른 세 순찰차에 탑승하려고 한다. 3명의 경위는 각각 다른 순 찰차에 탄다고 할 때, 탑승하는 방법의 수는?12.
12) 다음은 가 자연수일 때 ≧ 인 모든 자연수 에 대하여 등식
C C 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하
는 과정이다.
[증명]
(1) 일 때
(좌변)C (가) , (우변) C (가) 이므로 주어진 등식이 성립한다.
(2) ( ≧ )일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
C C 이다. 일 때 성립함을 보이자.
C C (나) (다)
C
따라서 일 때 주어진 등식이 성립한다.
(1), (2)에 의하여 ≧ 인 모든 자연수 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
[3점][2010년 사관학교 가나05]
(가) (나) (다)
① C
② C
③ C
④ C
⑤ C
13.
어느 경찰관이 월에 관할구역을 이틀 연이어 순찰하지 않으 면서 일 순찰하는 방법의 수는? 13)[2010년 경찰대 19]
① C ② C ③ C ④ C ⑤ C
14.
다음은 를 한 번씩 사용하여 만든 자리의 자 연수를 가장 작은 수부터 가장 큰 수까지 크기 순서로 나열한 수열이다., , , ⋯ ,
이 수열에서 번째 항은? 14)
[2010년 경찰대 23]
① ② ③
④ ⑤
15.
아래 그림과 같이 A B C D E F의 개 구역이 경찰서를 중심으로 하여 길로 연결되어 있다. A와 B의 넓이는 각각km이고 C D E F의 넓이는 각각 km이다. 명의 경찰관 이 이 개 구역을 넓이의 합이 같아지도록 부분으로 나누어 부분씩을 맡고, 각자 맡은 모든 구역을 순서를 정하여 순찰하는 방법의 수는? (단, 개 구역을 나누지는 않는다.)15)
[2011년 경찰대 05]
① ② ③ ④ ⑤
16.
16) 집합 에서 집합 로 의 함수 중에서 다음 세 조건을 만족시키는 함수 의 개수는?[4점][2011년 사관학교 나19]
(가) 집합 의 임의의 두 원소 에 대하여
≠ 이면 ≠ 이다.
(나) 합성함수 ∘ 가 정의된다.
(다) ∘ 이다.
① ② ③ ④ ⑤
17.
17) 집합 의 서로 다른 두 원소를 라 하고, 집합 의 서로 다른 두 원소를 라 하자. 순서 쌍 중에서 네 수의 곱 가 짝수인 것의 개수를 구하시오.[3점][2011년 사관학교 나27]
18.
개의 숫자 중 서로 다른 개를 사용하여 네 자리의 자연수를 만들 때, 의 배수가 되는 경우의 수는?1 8)[2012년 경찰대 04]
① ② ③ ④ ⑤
19.
19) 학생 15명 중에서 적어도 한 명의 남학생과 적어도 한 명의 여학생이 포함되도록 3명의 대표를 선출하는 서로 다른 방법이 286가지일 때, 남학생 수와 여학생 수의 차는?[2013년 경찰대 12]
① ② ③ ④ ⑤
20.
20) 개의 알파벳 P O L I C E M A N을 반드시 한 번 씩 사용하여 사전식으로 배열할 때, POL로 시작하는 문자열 중 에서 POLICEMAN은 몇 번째 문자열인지 구하여라.[4점][2014년 경찰대 22]
21.
21) 이하의 자연수 중에서 서로 다른 개의 수를 뽑을 때, 어 느 두 수도 이상 차이가 나도록 뽑는 방법의 수는?[4점][2015년 경찰대 13]
① ② ③ ④ ⑤
22.
22) 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 이 순서 대로 등차수열을 이루는 세 자리의 자연수의 개수를 구하시오.[4점][2015년 경찰대 23]
23.
23) 어느 공연장에 개의 좌석이 일렬로 배치되어 있다. 이 좌 석 중에서 서로 이웃하지 않도록 개의 좌석을 선택하려고 한 다. 예를 들면, 아래 그림의 색칠한 부분과 같이 좌석을 선택한 다.이와 같이 좌석을 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 좌석을 선택하는 순서는 고려하지 않는다.)
[4점][2016년 사관학교 나28]
24.
24) 명의 순경이 세 구역을 순찰하려고 한다. 각 구역에는 적 어도 한 명이 순찰하고, 각 구역의 순찰 인원은 명 이하가 되 도록 인원수를 정하는 경우의 수는? (단, 한 명의 순경은 하나 의 구역만 순찰하고, 순경은 서로 구분하지 않는다.)[4점][2016년 경찰대 14]
① ② ③ ④ ⑤
25.
25) 집합 A B C 에 대하여 두 함수 A → B B → C의 합성함수 ∘ A → C가 역함수를 갖도록 하는 순서쌍 의 개수는?[4점][2017년 경찰대 07]
① ② ③ ④ ⑤
26.
26) 부터 까지의 자연수가 하나씩 적힌 카드 장 중에 서 한 장을 뽑을 때, 적힌 수가 다음 세 조건을 만족하는 경우 의 수는?[4점][2017년 경찰대 08]
(가) 적힌 수는 홀수이다.
(나) 각 자리의 수의 합은 의 배수가 아니다.
(다) 적힌 수는 의 배수가 아니다.
① ② ③ ④ ⑤
27.
27) 다음 조건을 만족시키며 일 동안 친구 A B C를 초대하는 방법의 수를 구하시오.[4점][2017년 경찰대 23]
(가) 매일 A B C 중 명을 초대한다.
(나) 어떤 친구도 번 넘게 초대하지 않는다.
28.
28) 집합 에 대하여 집합 를
∈ ∈ ∈
라 하자. 집합 의 원소 중 번째로 큰 원소는
이다. 의 값은?
[3점][2017년 사관학교 나10]
① ② ③ ④ ⑤
29.
29) 그림과 같이 개의 영역으로 나누어진 도형을 서로 다른 가지 색을 사용하여 모든 영역을 칠하려고 한다. 다음 조건을 만족시키도록 한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 그 결과로 나 타날 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 경계가 일부라도 닿은 두 영역은 서로 이웃한 영역으로 본다.)[4점][2017년 사관학교 나27]
(가) 가지의 색의 전부 또는 일부를 사용한다.
(나) 서로 이웃한 영역은 서로 다른 색으로 칠한다.
30.
30) 1, 2, 3, 4, 5 의 숫자가 각각 적힌 5개의 공을 모두 3개의 상자 , , 에 넣으려고 한다. 각 상자에 넣어진 공에 적힌 수의 합이 11이하가 되도록 공을 상자에 넣는 방법의 수는?(단, 빈 상자의 경우에는 넣어진 공에 적힌 수의 합을 0으로 생 각한다.)
[4점][2018년 경찰대 13]
① 190 ② 195 ③ 200 ④ 205 ⑤ 210
31.
31) 그림과 같이 개의 좌석이 있는 차량에 앞줄에 개, 가운데 줄에 개, 뒷줄에 개의 좌석이 배열되어 있다. 이 차량에 학 년 생도 명, 학년 생도 명, 학년 생도 명이 탑승하려고 한다. 이 개의 좌석 중 개의 좌석에 각각 한 명씩 생도 명 이 앉는다고 할 때, 학년 생도 명 중 한 명은 운전석에 앉고학년 생도 명은 같은 줄에 이웃하여 앉는 경우의 수를 구하 시오.
[4점][2018년 사관학교 가27]
32.
32) 집합 에서 집합 로의 함수 가 ∘ ∘
를 만족시킬 때, 함수 의 개수를 구하시오.
[4점][2018년 경찰대 23]
33.
33) 집합 에 대하여 에서 로의 함수 중에 서 다음 조건을 만족시키는 함수 의 개수는?[5점][2019년 경찰대 20]
∘ ∈∪
① 420 ② 424 ③ 438 ④ 456 ⑤ 480
34.
34) 서로 다른 개의 사탕을 세 명의 어린이 A, B, C에게 남김 없이 나누어 줄 때, 어린이 A가 받은 사탕의 개수가 어린이 B 가 받은 사탕의 개수보다 많도록 나누어 주는 경우의 수는?(단, 사탕을 하나도 받지 못하는 어린이는 없다.)
[4점][2019년 사관학교 가16]
① ② ③ ④ ⑤
35.
35) 같은 종류의 흰 바둑돌 개와 같은 종류의 검은 바둑돌 개 가 있다. 이 개의 바둑돌을 일렬로 나열할 때, 검은 바둑돌 개 중 개는 서로 이웃하고, 나머지 개는 어느 검은 바둑돌과 도 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수는?[3점][2020년 사관학교 가05]
① ② ③ ④ ⑤
36.
36) 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 개의 공을 같은 종류의 세 상자에 개씩 나누어 넣으려고 한다. 세 상자 중 어 떤 한 상자에 들어 있는 개의 공에 적힌 수의 합이 나머지 두 상자에 들어 있는 개의 공에 적힌 수의 합보다 크도록 개의 공을 나누어 넣는 경우의 수를 구하시오. (단, 공을 넣는 순서는 고려하지 않는다.)[3점][2020년 사관학교 가25]
37.
37) 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 장의 카드를 모 두 일렬로 나열할 때, 서로 이웃하는 두 카드에 적힌 수를 곱하 여 만들어지는 개의 수가 모두 짝수인 경우의 수는?[4점][2020년 사관학교 나16]
① ② ③ ④ ⑤
1) 9 2) 16 3) ① 4) 675 5) ⑤ 6) ⑤ 7) ③ 8) 72 9) ① 10) 288 11) ④ 12) ① 13) ② 14) ④ 15) ② 16) ⑤ 17) 228 18) ② 19) ④ 20) 393 21) ③ 22) 45 23) 495 24) ② 25) ④ 26) ② 27) 510 28) ⑤ 29) 72 30) ⑤ 31) 288 32) 81 33) ③ 34) ④ 35) ① 36) 20 37) ⑤
1) 9
⊂ ⊂ ∈ ∈의 조건에서 원소 는 각각 중 하나에 포함되므로 순서쌍 의 개수는 × 가지
2) 16
집합 와 집합 의 교집합의 원소가 이므로 집합 는 을 반드시 원소로 가져야 한다. 그리고 ∪이므로 를 결정하면
는 2, 3, 4, 5에서 를 제외한 나머지 부분이다.
를 정하는 경우의 수는
3) ①
비밀번호가 9로 나누어 떨어지므로 9의 배수이다.
그러므로 각 자리수의 합이 9의 배수이면 된다.
천의 자리수의 숫자를 십의 자리의 숫자를 라 두자.
단 ⋯는 자연수
ⅰ) 일 때, ∴ 1가지
ⅱ) 일 때,
∴ 8가지
∴ 가지 4) 675
부터 까지의 자연수 중 소수는 이고 비밀번호는 소수가 두 개 이상 포함되어야 하므로 가장 큰 수부터 생각하면
ⅰ) □ □ ⇒ P (개)
ⅱ) □ □ ⇒ P (개)
ⅲ) □ □
소수 개 포함 ⇒C×C× (개) 소수 개 포함 ⇒ P (개)
ⅰ), ⅱ), ⅲ) 까지 개이므로
번째의 수는 백의 자리의 숫자가 이고 소수를 두 개 포함하는 가장 큰 수이므로
∴
5) ⑤
집합 이므로 두 수의 곱의 크기에 따라 나누어 고려하면
두 수의 곱이 인 경우
처음과 끝이 오는 두 수가 또는 이고 나머지 두 수가 가운데 오는 경우의 수는 × × (가지)
두 수의 곱이 인 경우
두 가지 즉, 와 , 세 가지이다. 따라서 가능한 경우의 수는
×× × (가지)
두 수의 곱이 인 경우
두 가지 즉, 와 일 때 가능하다, 따라서, 가능한 경우의 수는 의 경우와 같다. 따라서, 가능한 경우의
수는 (가지) 6) ⑤
ㄱ. 십의 자리와 일의 자리수를 각각 라 하면, 부터 까지의 자연수
C가지이다. (참)
ㄷ. 세 자리수 중에서 오름수를 백의 자리수에 따라 각각 구하면 1) 백의 자리수가 인 경우 :
부터 까지의 수 중에서 개를 꺼내는 방법의 수와 같다. 즉,
C ×
×
(가지) 2) 백의 자리수가 인 경우 :
부터 까지의 수 중에서 개를 택하는 경우와 같다. 즉,
C ×
×
(가지)
따라서, 번째로 작은 오름수는 이다. (참) 7) ③
첫 번째 경기에서 B C가 경기해서 B가 이겼으므로 두 번째 경기는 반드시 A B가 경기해야 한다.
또한, 전체 경기에서 B는 한 번만 이겼기 때문에 반드시 A가 이겨야 한다. 세 번째 경기는 A C가 경기한다는 것을 알 수 있다. 또한, A가 진 마지막 경기에서 B가 이길 수 없으므로 반드시 C가 이겨야 한다.
이로부터 번째 경기는 B가 진 경기임을 알 수 있다. ∼ 번째 경기의 결과가 다르게 되는 경우의 수를 구하면 답이 된다.
확정된 경기( )의 결과를 종합하면 A는 번, B는 번 승리하였으므로 나머지 번의 경기에서 A는 번 B는 번 승리하여야 한다. 이것은 A가 이기지 않는 두 경기가 홀수 번째 경기에서 시작하여 연속할 때만 가능하다. 짝수 번째 경기는 A와 B가 경기하기 때문에 A가 진다는 것은 B이기는 경우를 의미하는데 조건에 위배되기 때문이다. 따라서 가능한 경우의 수는 가지이다.
8) 72
㈎ 일대일 대응이다.
㈏ 정의역의 1은 공역의 1과 대응되지 않는다.
㈐ 정의역의 1은 공역의 2와 대응되지 않는다.
㈏, ㈐에서 1은 3, 4, 5로만 갈 수 있고, 나머지는 순열로 계산하면
× 이다.
9) ①
주어진 조건을 만족하기 위해서
A∩Bc B∩Ac , A∩B 이다. 따라서 가능한 순서쌍 A B의 개수는 C×C×C (개)
10) 288
분할-분배의 아이디어를 활용하여, 이 문제에서도 먼저 숫자들을 뽑은 후에 나열하는 방법을 채택하기로 하자.
우선, 주어진 조건에 맞게 수를 뽑는 경우의 수를 구해보면, 각 가로줄마다 숫자를 적어도 한 개씩은 택해야 하니 4행의 0은 반드시 택해야만 한다.
이 경우, 2개의 숫자를 뽑는 열은 0이 포함되어있는 2열과 0이 없는 1열, 3열의 경우로 나누어서 생각할 수 있다.
i) 2열에서 2개의 수를 쓰는 경우
2열의 수 2, 5, 8 중 1개를 택하는 경우의 수는
이 때, 1열에서 택할 수 있는 수는 2열에서 택한 수를 제외한 행의 것이어야 하므로
그러므로 이 경우에는 숫자를 뽑는 경우의 수가 × 이 된다.
ii) 1열(3열)에서 2개의 수를 뽑는 경우
i), ii)에서 숫자를 뽑는 총 경우의 수는 12가지가 된다.
문제 조건 (가)에서 누르는 순서가 다르면 다른 것으로 취급하자고 하였기 때문에 주어진 4개의 숫자를 나열해 주어야 한다. 4개의 서로다른 수를 나열하는 경우의 수는
∴숫자판의 수를 누르는 방법 ×
11) ④
명의 경위가 서로 다른 세 순찰차에 탑승하는 방법의 수는 (가지)
명의 순경이 명, 명, 명의 세 조로 나뉘어 서로 다른 세 순찰차에 탑승하는 방법의 수는
C×C×C×
× (가지)따라서 탑승하는 방법의 수는
× (가지) 12) ①
(가) (나)
C
∴ (나)
(다)
이므로
∴ (다)
∴ (가) , (나) , (다)
13) ②
월의 마지막 날은 일이므로 일을 순찰하면 일은 순찰하지 않는다.
이를 연이어 순찰하지 않으면서 일 순찰하는 방법의 수는 순찰하지 않는 날 사이사이와 양 끝에 순찰하는 날을 끼워 넣는 방법의 수와 같다.
즉, 순찰하지 않는 일 사이사이와 양 끝 군데 중 군데를 선택하는 경우의 수가 C이므로 구하는 방법의 수는 C이다.
14) ④
인 경우 자연수의 개수는
인 경우 자연수의 개수는
인 경우 자연수의 개수는
여기까지 자연수의 개수가 × 이므로 번째 항은 첫 번째 자리의 수가 이다.
인 경우 자연수의 개수는
인 경우 자연수의 개수는
인 경우 자연수의 개수는
ⅱ) A, B의 구역을 두 경찰관이 하나씩 맡는 경우 두 경찰관은 구역 C, D, E, F 중 두 구역씩 맡게 되므로 이때 순찰하는 방법의 수는
×C× ×
ⅰ), ⅱ)에서 구하는 방법의 수는
16) ⑤
함성 함수 ∘ 가 정의되기 위해서는 의 함숫값으로 은 선택될 수 없다. 그러므로
이면 이므로 나머지 의 의 원소가 일대일 대응하면 되므로 가지
이면 로 서로 크로스로 연결되고 나머지 수가 일대일 대응하면 되므로 가지이다.
, , 일 때도 와 마찬가지이므로
에 의하여 × 가지 17) 228
네 개 모두 홀수가 되는 경우의 수를 전체의 경우의 수에서 뺀다.
× ×× : 전체 경우의 수
× ×× : 네 개 모두 홀수가 되는 경우의 수
× ×× × ××
× × × × × ×
18) ②
의 배수는 십의자리 이하가 또는 또는 이다.
ⅰ) □□꼴인 경우의 수는
천의 자리에 이 오면 안되므로 × (가지)
ⅱ) □□꼴인 경우의 수는 × (가지)
ⅲ) □□꼴인 경우의 수는
천의 자리에 이 오면 안되므로 × (가지)
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 구하는 경우의 수는 (가지) 19) ④
ⅰ) 남학생 또는 여학생 수가 명인 경우에 대표를 선출하는 방법의 수는
C×C
이 경우 주어진 조건을 만족시키지 못한다.
ⅱ) 남학생 또는 여학생 수가 명인 경우에 대표를 선출하는 방법의 수는
C×CC×C
이 경우 주어진 조건을 만족시키지 못한다.
ⅲ) 남학생과 여학생 수가 모두 명 이상인 경우에 대표를 선출하는 방법의 수는
남학생의 수를 이라 할 때,
C× CC× C
× ×
에서
POL IA□□□□인 문자열은 개 POL IC A□□□인 문자열은 개 POL IC E A□□인 문자열은 개
POL IC E MA N은 POL IC E A□□인 문자열 다음으로 등장하므로 구하는 수는
× 이다.
21) ③
뽑히는 네 수를 작은 수부터 차례로 , , , 라 하면 조건을 만족시키는 , , , 는
≥ , ≥ , ≥ 이고
≥ , ≤ 이다.
따라서 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 이 성립한다.
이때, 이하의 자연수 중에서 위 부등식을 만족시키는 네 자연수
, , , 를 정하는 방법의 수는 H이다.
따라서 구하는 방법의 수는 HC 이다.
22) 45
백의 자리의 수를 (≠ ), 십의 자리의 수를 , 일의 자리의 수를 라 하면
, , 가 이 순서대로 등차수열을 이루므로, 가 성립한다.
인 경우는 존재하지 않으므로 는 이하의 자연수이고 이때, 는 짝수이다.
와 의 값이 정해지면
로 도 정해지므로
구하는 자연수의 개수는 가 짝수가 되도록 와 를 정하는 방법의 수와 같다.
ⅰ) 가 홀수인 경우 도 홀수이어야 한다.
보다 작은 홀수는 , , , , 이므로
와 를 정하는 방법의 수는 ×
ⅱ) 가 짝수인 경우 는 또는 짝수이어야 한다.
보다 작은 짝수는 , , , 이므로
와 를 정하는 방법의 수는 ×
ⅰ), ⅱ)에서 구하는 자연수의 개수는
23) 495
선택된 개의 좌석을 ○로 표현하자.
A ○B ○C ○D ○E
조건을 만족시키려면 A, E 자리엔 각각 개 이상의 좌석이 놓이면 되고, B, C, D 자리엔 각각 개 이상의 좌석이 놓이면 된다.
A, B, C, D, E 자리에 놓이는 좌석의 수를 각각 , , , , 라 하면
′ , ′ , ′ 이라 하면
′ ′ ′
구하는 경우의 수는 위의 등식을 만족시키는 음이 아닌 정수 , ′, ′, ′,
의 순서쌍 ′ ′ ′ 의 개수와 같다.
따라서 구하는 경우의 수는
CC
24) ②
각 구역을 순찰하는 순경의 인원수를 라 하면,
≤ ≤ 인 정수해의 가짓수를 구하면 된다.
이는 ′ ′ ′ ≤ ′ ′ ′ ≤ 이므로
⋅ 이다.
따라서 개다.
26) ②
1에서 1000까지의 자연수 중에서 a)홀수=500개
b)홀수&3의배수=167개 c)홀수&5의배수=100개 d)홀수&15의배수=33개 a)b)c)d)에서
500-167-100+33=266 27) 510
친구들에게 날짜를 분배하는 방법을 생각하자.
(1) 각 일 씩 분배한 경우
(2) 1일 2일 3일 씩 분배한 경우
(3) 0일 3일 3일 씩 분배한 경우
이므로
이다.
28) ⑤
이면, , 각각 5가지 = 25가지
, 이면 : 5가지
, 이면 : 5가지
, 이면 : 5가지 여기까지 40번째 수이므로 41번째로 큰 수는
, , 일 때 이다.
∴
29) 72
ㄱ) 3가지 색으로 칠하는 경우:
색결정 × 칠하는 방법
ㄴ) 4가지 색으로 칠하는 경우
중복색 결정 4가지×중복위치결정 2가지×나머지색 칠하는 방법 3!
∴
30) ⑤
5개의 합은 15 이므로 5개를 한상자에 넣으면 안된다.
4개의 수 중 , 이므로 합이 11이하인 경우는 위 두 가지이므로
4개, 1개, 0개롤 넣는 경우의 수는 ×
3개의 합에서 , 이것만 아니면 합이 11이하이므로 5개중 3개를 뽑는 방법 C 가지 중 9가지가 가능하고, 3개, 2개, 0개 또는 3개, 1개, 1개를 넣으면 된다.
따라서 경우의 수는 ×
2개, 2개, 1개씩 넣는 방법의 수는 ×
∴
31) 288
또, 남은 4자리에 남은 3명을 앉히는 방법은
따라서 구하려는 경우의 수는 × × 이다.
32) 81
, 그림과 같이
i) 이거나
ii) , , 이면 ∘ ∘ 를 만족한다.
ㄱ) 6개 모두 i)인 경우 -- 1가지 ㄴ) 3개가 i)이고 3개가 ii)인 경우는 우선 3개를 뽑는 경우의 수는 C 이고, 대응순서가 , 인 두 가지 경우가 있으므로
× 가지
ㄷ) 3개씩 두쌍이 ii) 인 경우는
3개씩 분할하는 방법의 수가 C×C×
이고
그 각각에 대하여 대응순서를 정하는 방법이 두 가지씩 이므로
× ×
∴
33) ③
⊂ ⊂ 이다.
(i) 인 경우 : 가지 모두 가능하다.
(ii) 인 경우 ① 일 때, 인 것은 분명하고,
{1,2,3,4}→ {1,2,3} 인 경우는 ×
가지
②
)의 값은 1,2,3,4 --- 4가지 모두 가능하고 {1,2,3,4}→ {1,2,3,4} 에서 4! 이므로 × 가지
(iii) 인 경우도 (ii)와 마찬가지이다.
(iv) 인 경우 이므로
, )의 값은 1,2,3 --- 각각 3가지 모두 가능하고 {1,2,3}→ {1,2,3} 에서 이므로
× × 가지 따라서 구하려는 함수 의 개수는
34) ④
세 어린이 A, B, C가 받은 사탕의 개수를 , , 라고 하면
, , , 따라서 구하려는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열의 수에서
37) ⑤
홀수는 이웃하지 않도록 나열한다.
∨(짝)∨(짝)∨(짝)∨ --- ∴ P×P ×
