6 Z 4, pp. 558∼565

 6 Z 4, pp. 558∼565

M

€ ¾ ö n ÚP S ë s8 ý R 7 `; c 6 ” X ¢ ú n Þ] K ¡t  8 ý T A 0

+ ä

Q \ 8 ; ·  ™ » ø ¶ B® £ ·  ¡4 w H£ Ó

Ø 

æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ õ , ' õ AÅ Ò, 361-763

(2011¸   4 Z 4 17{ 9  ~ à Î6 £ §, 2011¸   4 Z 4 21{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2011¸   6 Z 4 1{ 9  > F  S X ‰& ñ )

Ó ü

t o _  l œ í > h¥ Æ `  ¦ s K    H X < € 9 à º& h   “ ¦ כ ¹™ è“   q Y V  7 H o  † < ÆÒ q t[ þ t \ >  # QÖ ¼ & ñ • ¸ + þ A$ í ÷ &% 3 

 

H \  ¦ · ú ˜ ˜ Ðl  0 A # Œ ×  æ † < Ɠ § 1, 2, 3† < Ƹ  \ " f † < Ƹ  Z > – Ð 1> h ì ø Ím ”  3> h ì ø Í`  ¦ ‚  & ñ # Œ l œ í Ó ü t o | ¾ Ó _

 q Y V > h¥ Æ \  @ /ô  Ç [ O ë  H`  ¦ ½ ¨$ í % i  . l œ íÓ ü t o | ¾ Ó_  q Y V\  K { © œ   H 0 A כ ¹™ è[ þ t – Ð ½ ¨^ ‰& h  € ª œ\ 

@

/ô  Ç í ß –Õ ü t& h  q Y V 0 p x§ 4 , Æ Ò © œ& h  € ª œ\  @ /ô  Ç í ß –Õ ü t& h  q Y V 0 p x§ 4 , q Y V_  ƒ  # Q& h  K $ 3  0 p x§ 4 , Õ ªA á Ô ³ ð‰ & ³ 0

p x§ 4 , % i q \  _ ô  Ç ³ ð‰ & ³ 0 p x§ 4  1 p x \  @ /ô  Ç 8 ú x 13 ë  H † ½ Ó`  ¦ à º& ñ > hµ 1 Ï # Œ 6 £ x ² ú š   õ \  ¦ ì  r$ 3  % i  . Õ ª    õ

\  ¦ ˜ Ѐ  , ' Í P :– Ð ½ ¨^ ‰& h  € ª œ\  @ /ô  Ç í ß –Õ ü t& h  q Y V › ' a > \  @ /ô  Ç é ß –í  H “ ¦ ç ß –é ß –ô  Ç q Y V > í ß –“ É r @ / Òì  r _

 † < ÆÒ q t[ þ t s  0 p x¸ n q >  s K  “ ¦ e ” % 3 Ü ¼
 | 9 ë  H _  í  H " f  7  
 é ß –0 A\  ¦ ™ D ¥ ½ + Ë& h Ü ¼– Ð  6   x €   

"

é

¶  s _  › ' a > \  ¦ # Q 90 >ô  Ç . Ñ ü t P :– Ð, Æ Ò © œ& h  € ª œ\  @ /ô  Ç í ß –Õ ü t& h  q Y V 0 p x§ 4 “ É r   “  ç ß –_  כ ¹™ è ´ ú §  4

R" f à º† < Æ& h  é ß –>  € 9 כ ¹  
 q Y V ì  r à ºs €   > í ß –_  # Q 9¹ ¡ § s  ×  æ ÷ &% 3  . ! Ó P :– Ð q Y V_  ƒ  # Q

&

h  K $ 3  0 p x§ 4 “ É r ì  r à º\  ¦ à º† < Æ& h “   q Y V– Ð K $ 3  t  3 l w “ ¦ 
_  l   ñ,  s – B H Ü ¼– Ð ˜ Ѝ  H  ⠆ ¾ Ós  ´ ú §

€

Œ

¤ .  Å P :– Ð Õ ªA á Ô ³ ð‰ & ³ s K  0 p x§ 4 `  ¦ ˜ Ѐ  , † < ÆÒ q t[ þ t“ É r q Y V\  ¦ & ñ | ¾ Ó& h Ü ¼– Ð K $ 3    H 0 p x§ 4 s   Ò7 á ¤ 

#

Œ é ß –t  à º† < Æ& h “   ë  H  – Ðë ß – “  d ”    H  ⠆ ¾ Ó`  ¦ ˜ Ð% i “ ¦, % i q \  _ ô  Ç ³ ð‰ & ³ 0 p x§ 4 “ É r  © œ{ © œÃ º_  † < ÆÒ q ts  l 

œ

í& h “   Ó ü t o  > h¥ Æ s   Ò7 á ¤ # Œ # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ˜ Ð% i  .

Ù þ

˜d ” # Q: l œ í Ó ü t o | ¾ Ó, q Y V > h¥ Æ , ×  æ † < ÆÒ q t, ƒ  # Q& h  s K 

Middle School Students’ Understanding of Ratio in Basic Physical Concepts

Misook Cheong · Jongju Kim · Wonkun Oh ^∗

Chungbuk National University, Dept. of Physics Education, Choengju 361-763 (Received 17 April 2011 : revised 21 April 2011 : accepted 1 June 2011)

To determine middle school students’ understanding of ratio, we prepared a questionnaire. The questionnaire included a few questions to check students’ abilities to calculate and explain algebraic ratios involving concrete physical quantities, symbolic quantities, and inverse ratios. The subjects were students from one middle-school class from each of the three grades. The results showed that the students understood concrete quantities, but not abstract ones. They could not explain what a ratio meant; rather, they thought of fractions as merely numerical symbols for the given quantities.

PACS numbers: 01.40.Fk

Keywords: Basic physical quantity, Proportion, Verbal understanding

∗

E-mail: wkoh@cbnu.ac.kr

-558-

I. " e  ] Ø

Ó ü

t o † < Æ_ þ v \ " f q Y V > h¥ Æ _  s K   H ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦ ô  Ç



. Õ ª s Ä »  H 5 Å q • ¸, x 9 • ¸, „  À Ó, $ † ½ Ó, { 9 Ò  ¦ 1 p x _  ´ ú §“ É r l 

œ

í Ó ü t o  > h¥ Æ [ þ t s  ¿ º Ó ü t o | ¾ Ó  s _  q Y V > h¥ Æ Ü ¼– Ð ½ ¨$ í

÷

&# Q e ” l  M :ë  H{ 9  ÷  r  m  , q Y V > h¥ Æ “ É r ‰ & ³F  · ú ˜“ ¦ e ” 



 H € ª œ[ þ t _  › ' a > – РÒ'  · ú ˜“ ¦    H € ª œ\  @ /ô  Ç Æ Ò& ñ `  ¦  0

p

x >  l  M :ë  H s l • ¸  .

Piaget _  “  t  µ 1 ϲ ú ˜ s  : r \  _  €   “  t  µ 1 ϲ ú ˜ é ß –> _ 



t } Œ • é ß –> “   + þ Ad ” & h  › ¸ Œ • é ß –>   H 11 [ j s  © œ_   1 l x \ 

"

f r  Œ • # Œ 15[ j  1 l x l \ " f ¢ - a$ í  ) a  “ ¦ % i  . + þ Ad ” 

&

h  › ¸ Œ •l  M : 0 p x ô  Ç  “ ¦  H q Y V  7 H o ,   “   : Ÿ x ] j  7 H o , S X

‰Ò  ¦  7 H o , › ¸½ + Ë  7 H o ,  © œ › ' a  7 H o  1 p x s  . Piagetõ  ’  x 



] j † < Æ [ þ t _  ƒ  ½ ¨\  _  €   q Y V  7 H o   H + þ Ad ” & h  › ¸ Œ • l

_  œ íl \  + þ A$ í ÷ &# Q, + þ Ad ” & h   “ ¦_  l ‘ : r s  ÷ & 9, õ 

†

< Æ& h  Æ Ò : r 0 p x§ 4 _  + þ A$ í \  l œ í  ) a   [1,2].   " f q  Y

V  7 H o  Piaget_  + þ Ad ” & h   “ ¦ µ 1 ϲ ú ˜ é ß –> \ " f  © œ l 

‘

: r& h “    7 H o  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . s [ þ t \   Ø Ô€  , q Y V  7 H o 



 H + þ Ad ” & h  › ¸ Œ • é ß –> \ " f  © œ €  $  S \ ‰1 p q ) a  “ ¦ % i   [3]

Õ

ª  X < Arons  H † < ÆÒ q t[ þ t s  “ ¦† < Ƹ  s  ÷ &# Q" f• ¸ q Y V> h

¥ Æ

`  ¦ Ø  æì  r y  s K  “ ¦ e ” t  3 l w l  M :ë  H \  Ó ü t o > h¥ Æ  s  K

\  ´ ú §“ É r # Q 9¹ ¡ §`  ¦ Ö ¼z >   ) a  “ ¦ t & h  % i  . s  : r& h  Ü

¼– Ѝ  H — ¸Ž  H † < ÆÒ q t[ þ t s  œ í1 p x † < Ɠ § r l  Ò'  q Y V > h¥ Æ `  ¦

†

< Æ_ þ v “ ¦ > í ß – 0 p x§ 4 `  ¦ l Ø Ôl  M :ë  H \  q Y V > h¥ Æ _  s K 

\

   É r † < ÆÒ q t[ þ t _  > h¥ Æ & h     [ þ t s  ” > r F  t  · ú §  H  “ ¦

& ñ ½ + É Ã º e ”  . Õ ª Q
  â + « >& h Ü ¼– Ð p À Ò# Q˜ Ѐ   ´ ú §“ É r † < Æ Ò q

t[ þ t \ >  s    _ þ v1 p q s  ] j@ /– Ð s À Ò# Qt t  · ú §l  M :ë  H \ 

 

² D G ì ø Í@ /÷ &  H   õ \  ¦ 4 R“ : r  “ ¦ Arons  H t & h  % i   [4–6].

s

 Qô  Ç q Y V > h¥ Æ _  s K  Ò7 á ¤“ É r   É r › ' a& h \ " f Õ ª ë  H ]

j& h `  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  . ^ ” F Ä ºü < š ¸" é ¶  H“ É r Õ ª[ þ t _  ƒ  ½ ¨

\

" f † < ÆÒ q t[ þ t s  Å Òכ ¹ô  Ç Ó ü t o  > h¥ Æ `  ¦ # 3 Å Ò& h Ü ¼– Ð Ò q ty Œ • 



 H ë  H ] j\  ¦ t & h ô  Ç   e ”  . s \   Ø Ô€   \ V\  ¦ [ þ t # Q † < ÆÒ q t [

þ

t“ É r x 9 • ¸
 “ : r • ¸ü < ° ú  “ É r Å Òכ ¹ > h¥ Æ [ þ t`  ¦ ƒ  5 Å q& h    “  [ þ t

–

Ð s K    H  כ s   m  , é ß –t  ‘Á º   /Z >  ’, ‘ä ¼  



/ ° ú š ’ 1 p x _  # 3 Å Ò& h  > h¥ Æ [ þ t – Ðë ß – Ò q ty Œ •   H  ⠆ ¾ Ós  ´ ú §



. s  Qô  Ç # 3 Å Ò& h   “ ¦  H   ² D G q Y V > h¥ Æ _  s K \  ¦ ~ ½ Ó K

   H כ ¹“  s  | ¨ c à º e ”   [7].   " f † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  > h

¥ Æ

`  ¦ ¸ ú ˜ s K  l  0 AK " f  H l œ í > h¥ Æ \ " f  À Ò# Qt   H Ó

ü

t o | ¾ Ó_  ƒ  5 Å q$ í õ  s \  @ /ô  Ç q Y V\  ¦ ¸ ú ˜ s K    H  כ s 

€ 9

à º& h s  .

ô

 Ǽ # , Arons  H e ” y  · ú ˜“ ¦ e ”   H q Y V > h¥ Æ • ¸ Õ ª % i _  › ' a

>

\  ¦ [ O " î >  €   † < ÆÒ q t[ þ t s  q Y V › ' a > \  ¦ `  ¦  Ø Ô>  s  K

 t  3 l w † < Ê`  ¦ t & h  % i  . ¢ ¸ô  Ç q Y V › ' a >  & ñ | ¾ Ó& h  ° ú כ s

     l   ñ\  ¦ : Ÿ x ô  Ç  © œf ç  o ³ ð‰ & ³Ü ¼– Ð ] jr ½ + É  â Ä º\   H

 s

`›    8 ´ ú §“ É r s K _  # Q 9¹ ¡ §`  ¦
  · p   H  כ • ¸ t & h ô  Ç



 e ”  . š ¸" é ¶  H õ  ^ ” F Ä º  H Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x \  @ /ô  Ç ƒ  # Q, Õ

ªa Ë >, Õ ªA á Ô_  3t  ³ ð‰ & ³ € ª œd ” ç ß –_    ¨ 8 Š \  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t [

þ

t _  s K \  ¦ ˜ Г ¦ô  Ç   e ”  . s \   Ø Ô€   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r s 



Qô  Ç   ¨ 8 Š`  ¦ B Ä º # Q 90 >   H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”   H X <, s  Qô  Ç ë

 H ] j  © œf ç  o  ) a Æ Ò © œ& h  € ª œ[ þ t _  q Y V › ' a > \  ¦ ½ ¨^ ‰& h  ƒ  

#

Q– Ð  Ë ¨  H X < ë  H ] j | ¨ c à º e ” 6 £ §`  ¦ \ V © œ >  ô  Ç  [8].

s

\    " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H Ó ü t o _  l œ í > h¥ Æ Ü ¼– Ð" f õ

† < Æ& h  ë  H ] j K   § 4 _    H ç ß –`  ¦ s À ҍ  H  “ ¦ כ ¹™ è ×  æ \ " f q

Y V  7 H o \  @ /ô  Ç ×  æ † < ÆÒ q t[ þ t \ >  # QÖ ¼ & ñ • ¸ + þ A$ í ÷ &% 3   H

\  ¦ · ú ˜ ˜ Г ¦  ô  Ç . ‘ : r ƒ  ½ ¨_  ½ ¨^ ‰& h “   ƒ  ½ ¨ ë  H ] j  H



6 £ § õ  ° ú   .

' Í

P :, ½ ¨^ ‰& h “   € ª œ\  @ /ô  Ç q Y V › ' a > _  ×  æ † < ÆÒ q t[ þ t _  s  K

  H # Q* ‹ô  Ç?

Ñ ü

t P :, Æ Ò © œ& h “   € ª œ[ þ t _  q Y V › ' a > \  @ /ô  Ç ×  æ † < ÆÒ q t[ þ t _  s

K   H # Q* ‹ô  Ç?

!

Ó P :, · ú ˜ 9”   Ó ü t o | ¾ Ó_  % i q ü < q Y V_  ƒ  # Q& h  K $ 3 \ 

@

/ô  Ç ×  æ † < ÆÒ q t[ þ t s  s K   H # Q* ‹ô  Ç?

II. Ž ì ŏ Œ U ê s0 n É

ƒ

 ½ ¨@ / © œ“ É r ' õ AÅ Òr  ™ èF  ×  æ † < Ɠ § 1, 2, 3† < Ƹ  \ " f † < Ƹ   Z >

– Ð 1> h ì ø Ím ”  3> h ì ø Í`  ¦ ‚  & ñ % i Ü ¼ 9, s [ þ t \ >  l œ í Ó ü t o

| ¾ Ó_  q Y V > h¥ Æ `  ¦ › ¸  l  0 Aô  Ç [ O ë  H Ž  \  6 £ x ² ú š 

>

 % i  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\  ¦ 0 Aô  Ç  Ž   • ¸½ ¨  H õ † < Ɠ §¹ ¢ ¤ „  ë  H ü < ‰ & ³f ”  õ

† < Ɠ §  2“  Ü ¼– Ð ½ ¨$ í  ) a 8 ú x 3" î _   7 H _ \  ¦ : Ÿ x # Œ l œ í Ó

ü

t o | ¾ Ó_  q Y V > h¥ Æ \  › ' a ô  Ç „ à н ¨ ë  H ] j\  ¦ ½ ¨î ß – # Œ ] j Œ • ô

 Ç  כ s  . „ à н ¨ ë  H ] j  H l œ í Ó ü t o | ¾ Ó_  q Y V\  @ /ô  Ç  כ Ü

¼– Ð" f s \  K { © œ   H 0 A כ ¹™ è[ þ t – Ð ½ ¨^ ‰& h  € ª œ\  @ /ô  Ç í

ß –Õ ü t& h  q Y V 0 p x§ 4 , Æ Ò © œ& h  € ª œ\  @ /ô  Ç í ß –Õ ü t& h  q Y V 0 p x§ 4 , q

Y V_  ƒ  # Q& h  K $ 3  0 p x§ 4 , % i q \  @ /ô  Ç ƒ  # Q& h  K $ 3  0 p x

§ 4

 1 p x _  ë  H † ½ Ó 1 p x s  e ”  . y Œ • ë  H † ½ ӓ É r " fÕ ü t+ þ AÜ ¼– Ð ½ ¨$ í ÷ &

#

Q † < ÆÒ q t[ þ t s  f ” ] X  > í ß –K    9, > í ß – õ & ñ õ  6 £ x ² ú š s  Ä

» 1 p x`  ¦ " fÕ ü t • ¸2 Ÿ ¤ ÷ &# Q e ”  .

>

hµ 1 Ï  ) a [ O ë  H _   Ž   # 3 Å Òü < [ O ë  H ? /6   x“ É r Table 1 õ  ° ú  



.

Table 1. Questions in the research questionnaire.

Number Category Contents

Q 1 ratios for concrete quantities Simple ratio calculation for work by a lever Q 2 Verbal interpretation of ratios Explanation of power by a pulley

Q 3 Graph interpretation of ratios Interpretation of a graph; speed vs. mass Q 4 ratios for symbolic quantities Comparing ratios for symbolic quantities Q 5-1 ratios for concrete quantities Calculating frequency by ratio in a oscillator Q 5-2 inverse for known ratios Interpretation of the inverse of frequency Q 6-1 ratios for concrete quantities Calculating average speed

Q 6-2 inverse for known ratios Interpretation of the inverse of average speed Q 6-3 Graph interpretation of ratios Comparison of slope in time-distance graph Q 7 ratios for symbolic quantities Ratio about symbolic quantities

Q 8-1 ratios for symbolic quantities Finding ratio from a given equation Q 8-2 ratios for symbolic quantities Simple comparison of kinetic energy Q 8-3 ratios for symbolic quantities Complex comparison of kinetic energy

Table 2. Answers for the question 1.

Answers 7th 8th 9th

40 J, 200 ÷ 5 = 40 J 21 30 35

1000 J; 1000 J for 1 seconds, since it is 200 J for 5 seconds. 3 100 J: 100 J for 1 second, since 200 J for 2 seconds 1

others 1 3

no answer 3 3

Total 21 37 38

Table 3. Answers for the question 5-1.

Answers 7th 8th 9th

5/3 times 5 11 10

3/5 times 1 9

2/3 times 1 11 1

1 time 1 5 2

12 seconds for 20 times oscillation means 0.6 seconds for 1 time. 2 1

others 2 1

no answer 13 8 16

Total 25 37 38

III. Ž ì ŏ Œ + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

1.  Œ= kX ì Ä W ë s; c 6 ” X ¢  ˜ m ø n ÚX ì Ä R 7 ` T A 0(כ r Ç Ã U Ø 1, כ r Ç Ã

U Ø 5-1, כ r Ç Ã U Ø 6-1)

[ O

ë  H 1“ É r ‘ Á º>  100 N“     À »[  t`  ¦ 5 œ í 1 l x î ß – [ þ t # Q `  ¦ w n

= M :_  { 9 s  200 Js  €   1œ í 1 l x î ß – [ þ t # Q `  ¦w n = M :_  { 9 

“ É

r \ O  “  ?’s  . s  [ O ë  H“ É r q Y V_  @ / © œ   “  “   Ó ü t o 

|

¾ Ó[ þ t`  ¦ & ñ | ¾ Ó& h “   ° ú כÜ ¼– Ð ] jr  “ ¦, y Œ •   “  _  ° ú כs  1 l x{ 9  ô

 Ç í  H " f– Ð | 9 ë  H \  ] jr ÷ &# Q e ”   H é ß –í  H ô  Ç ë  H † ½ Ós  .

Table 2 \ 
 è ß –   õ \  ¦ ˜ Ѐ  , @ /^ ‰– Ð s  | 9 ë  H \  @ / 

#

Œ † < ÆÒ q t[ þ t“ É r „   † < Ƹ   — ¸¿ º Z  }“ É r & ñ ² ú šÒ  ¦`  ¦ ˜ Ðs “ ¦ e ”  .

6

£

x ² ú š_  Ä »+ þ A`  ¦ ˜ Ѐ  , @ /^ ‰– Ð é ß –í  H >  200`  ¦ 5 – Ð
¾ º# Q 40 J s    H   õ \  ¦ % 3 “ É r  כ Ü ¼– Ð ˜ Ð  é ß –í  H ô  Ç í ß –Õ ü t& h  q  Y

V  H q “ §& h  ¸ ú ˜ · ú ˜“ ¦ e ”   H  כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –½ + É Ã º e ”  . ×  æ † < Æ

“

§ 1, 2† < Ƹ  s  { 9 Ò  ¦ > h¥ Æ `  ¦ C Ä ºt  · ú §€ Œ ¤6 £ § \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦

@

/ Òì  r _  † < ÆÒ q t[ þ t s  s  ë  H ] j K   `  ¦ Ø  æì  r y  ô  Ç  כ Ü ¼– Ð ^  ¦ M

:, & h ] X y  q Y V > h¥ Æ `  ¦ : Ÿ x K  t • ¸ €   1, 2† < Ƹ   † < ÆÒ q t[ þ t

•

¸ { 9 Ò  ¦ > h¥ Æ `  ¦ † < Æ_ þ v   H  כ s  # Q 9î  r  כ “ É r  _ ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”

 .

Table 4. Answers for the question 6-1.

Answers 7th 8th 9th

80 km/h, 120 ÷ 1.5 10 19 17

4/3 km/h, 120 ÷90 5 10 7

180 km/h 1

90 km/h 1

0.8 km/h 1

no answer 10 5 14

Total 25 37 38

Table 3“ É r [ O ë  H 5-1 ‘50 g Æ Ò_  ”    î  r1 l x \ " f 20   M  g 4

Ÿ

¤ î  r1 l x ½ + É M : 12œ í   § 4  “ ¦  . Õ ªX O  €   1œ í 1 l x î ß – Æ Ò

 M  g4 Ÿ ¤ ô  Ç S   à º  H \ O  “  ?’\  @ /ô  Ç 6 £ x ² ú š  õ s  . s  ë

 H † ½ ӓ É r [ O ë  H 1 õ  Ä » ô  Ç Ã ºï  r s t ë ß –, q Y V| ¾ Ó`  ¦ ½ ¨ l  0

Aô  Ç   “  _  ] jr í  H " fë ß –  Ë ¨# Q | 9 ë  H ô  Ç  כ s  . é ß –t  s 



Qô  Ç í  H " f À D K ë ß –Ü ¼– Е ¸ 5/3 “ ¦  Ø Ô>  6 £ x ² ú šô  Ç q Ö  ¦“ É r

„

  † < Ƹ  \ " f 30 % s  – Ð ×  ¦ # QŽ  H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . † < ÆÒ q t [

þ

t _  š ¸² ú š Ä »+ þ A“ É r  € ª œô  ÇX <,   “  _  › ' a > \  ¦ ¸ ú ˜ Ò q ty Œ • t  3

l

w “ ¦  Ë ¨– Ð > í ß – # Œ 3/5– Ð 6 £ x ² ú šô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t s  3† < Ƹ  

\

" f  à º
 è ß – . 2† < Ƹ  \ " f  H 2/3 s    H  ™ è  o 

 €   > í ß –   õ  ´ ú §“ É r X <, s   H ì  r  \ " f 20  `  ¦ 10  _  2 C – Ð, ì  r — ¸  H 12 œ í\  ¦ 4 œ í_  3C – Ð ó ø Íé ß –ô  Ç Ê ê 6 £ x ² ú šô  Ç M : ë

 H“    כ Ü ¼– Ð Ò q ty Œ •  ) a  . ™ èà ºs t ë ß – 1  \  0.6œ í’ “ ¦ 6 £ x

² ú

šô  Ç  â Ä º• ¸ e ” “ ¦, ‘1  ’s  “ ¦ 6 £ x ² ú šô  Ç  â Ä º• ¸ ´ ú § . s 



 H ‘  ’s ê ø Í é ß –# Q  ^ ‰ & ñ à º_  _ p \  ¦ t Ù ¼– Ð s  † < Æ Ò q

t[ þ t s  ì  r à ºq _  K $ 3 `  ¦  8¹ ¡ ¤ # Q 90 >   H  כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –

½

+ É Ã º e ”  . 1   ë  H † ½ Ó_    õ ü < q “ § €  , † < ÆÒ q t[ þ t“ É r q Y V

&

h   “ ¦\  ¦ à º' Ÿ ½ + É M :   “  s  ] jr ÷ &  H í  H " f\     s K  _

 # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H & ñ • ¸ ² ú ˜ f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

Table 4  H [ O ë  H 6-1 ‘' õ AÅ Ò\ " f " fÖ  ¦  t  120 km\  ¦ 



 H X < 1r ç ß – 30ì  r _  r ç ß –s  ™ èכ ¹÷ &% 3 `  ¦ M :, s   1 l x _ 

¨ î

ç  H 5 Å q§ 4 “ É r \ O  “  ?’\  @ /ô  Ç 6 £ x ² ú š  õ s  . [ O ë  H 1 s  200:5 = 1:x – Ð é ß –í  H ô  Ç & ñ à ºq \  ¦ s 6   x ô  Ç [ O ë  H s % 3 “ ¦, [ O  ë

 H 5-1“ É r 12:20 = 1:x – Ð ì  r à ºq _    õ 
 
  H  â Ä º

“

  ì ø ̀  , [ O ë  H 6-1“ É r r ç ß –   “  \  ‘r ’ü < ‘ì  r’ _  ¿ º t  é

ß –0 A ° ú  s   6   x ) a  כ s  .   " f r ç ß –`  ¦ ì  r à º– Ð ¨ 8 Š í ß –

  H 1 p x € 9 כ ¹ô  Ç 5 Å q§ 4 õ  r ç ß –_  " é ¶`  ¦ 1 l x r \  “ ¦ 9K  

  H  8¹ ¡ ¤ 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç [ O ë  H s % 3  . s \  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  & ñ ² ú š Ò

 ¦“ É r @ /^ ‰– Ð 50 % s  s  .  © œ ´ ú §“ É r š ¸² ú š Ä »+ þ A“ É r r  ç

ß –`  ¦ ì  r Ü ¼– Ð ¨ 8 Š í ß – # Œ > í ß –ô  Ç  â Ä º– Ð, 8 ú x 22" î s  s  Qô  Ç 6

£

x ² ú š`  ¦ % i  . s % ƒ! 3  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r ¿ º 7 á x À Ó_  é ß –0 A [ O s 

€

  q Y V\  ¦ > í ß –½ + É M : # Q‹ "  é ß –0 A\  ¦ l ï  r Ü ¼– Ð ½ + É  כ “  t \  ¦

™

D ¥1 l x † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

½

¨^ ‰& h  € ª œ\  @ /ô  Ç í ß –Õ ü t& h  q Y V > í ß –\  @ /ô  Ç [ O ë  H`  ¦ 7 á x

½

+ ËK  ^  ¦ M :, @ /^ ‰– Ð ×  æ † < ÆÒ q t[ þ t“ É r é ß –í  H “ ¦ ç ß –é ß –ô  Ç > í ß –“ É r

Table 5. Answers for the question 4.

Answers 7th 8th 9th

2:3, 1/1.5 : 1 = 2:3 2 7 9

3:2, same work but different time 5 9 11 2:1, Jaesok did more work than Myongsu 3 1

others 2 1 1

No answer 17 17 15

Total 25 37 38

q

“ §& h  ´ ú §“ É r † < ÆÒ q t[ þ t s  0 p x¸ n q >  ½ + É Ã º e ” t ë ß –, > í ß –    õ

 ì  r à ºs  
 4 Ÿ ¤ ½ + Ë& h “   " é ¶ כ ¹™ è\  ¦ ”   [ O ë  H ë  H † ½ Ó

\

 @ /K " f  H > í ß – © œ_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ # Œ„  y  ˜ Ðs “ ¦ e ” “ ¦, | 9  ë

 H   H   “  _  í  H " f  7  
 é ß –0 A ™ D ¥ ½ + Ë÷ &€   q Y V

\

 ¦ ¸ ú ˜3 l w > í ß –   H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”  .   " f Arons t 

&

h ô  Ç  ü < ° ú  s , † < ÆÒ q t[ þ t“ É r q Y V > h¥ Æ `  ¦ Ø  æì  r y  s K  t  3

l

w ô  Ç  כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –  ) a  .

2. ˜ ¼V ê sX ì Ä W ë s; c 6 ” X ¢  ˜ m ø n ÚX ì Ä R 7 `  Ö «I í Ä(כ r Ç Ã U Ø 4, כ r Ç Ã U

Ø 7, כ r Ç Ã U Ø 8-1, כ r Ç Ã U Ø 8-2, כ r Ç Ã U Ø 8-3)

[ O

ë  H 4  H ‘{ 9 Ò  ¦“ É r { 9 & ñ ô  Ç r ç ß – 1 l x î ß – ô  Ç { 9 _  € ª œÜ ¼– Ð   



2 ; r ç ß –\  ì ø Íq Y V “ ¦ { 9 _  € ª œ\  q Y Vô  Ç . Å Ò# Q”   { 9 & ñ ô

 Ç € ª œ_  { 9 `  ¦ = å Q  u   H X <\  F $ 3 s  " î à º˜ Ð  1.5C _  r  ç ß

–s    § 4  €   F $ 3 õ  " î à º_  { 9 Ò  ¦ _  q   H # Qb  G>  ÷ & ’ x



 H ?’s  . s  ë  H † ½ ӓ É r · ú ¡Â Òì  r \ " f { 9 Ò  ¦`  ¦ " fÕ ü t& h “   ƒ  

#

Q + þ AI – Ð > h¥ Æ  & ñ _ \  ¦ “ ¦, s \  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð { 9 `  ¦   H X

<    2 ; r ç ß –õ  { 9 Ò  ¦ õ _  › ' a > \  ¦ s = å J # Q? /  H q Y V  7 H o 

\

 ¦  À ҍ  H  כ s  . s  [ O ë  H \ " f  H  À ҍ  H   “  “   r ç ß –õ  { 9

s  — ¸¿ º ½ ¨^ ‰& h  € ª œs       © œ  ñ q Y V › ' a > ë ß –Ü ¼– Ð ] jr 

 )

a Æ Ò © œ& h “   € ª œ[ þ t s  .

Table 5 \  _  €   6 £ x ² ú š  ×  æ ‘   2 ; r ç ß –s  ß ¼€   { 9 Ò  ¦

“ É

r  Œ • ”   ’“ ¦    : r`  ¦  · p  â Ä º  H @ /^ ‰– Ð 20 %s  s  9,

$

† < Ƹ  Ü ¼– Ð ° ú ˜Ã º2 Ÿ ¤ š ¸² ú šÒ  ¦“ É r & f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . { 9 Ò  ¦“ É r { 9

_  ´ òÖ  ¦`  ¦ > í ß –   H  כ e ” \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ ‘š ¸ ½ ™ r ç ß –\ 

 

5 g" f { 9 `  ¦ % i Ü ¼Ù ¼– Ð  8 ´ ú §“ É r { 9 `  ¦ ô  Ç ’“ ¦ Ò q ty Œ •ô  Ç † < Æ Ò q

t[ þ t s  29" î s 
  ) a  .

Table 6“ É r [ O ë  H 7 “ ‘ # QÖ ¼ ×  æ † < Ɠ §_  † < ÆÒ q t à º  H “ § à º _

 8C s  ’\  ¦ S ü < T\  ¦ s 6   x # Œ › ' a > d ” Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ # Œ



(é ß –, S: † < ÆÒ q t_  à º, T: “ § _  à º)”\  @ /ô  Ç 6 £ x ² ú š  õ s 



. [ O ë  H 4 ˜ Ð  > h¥ Æ `  ¦  8 Æ Ò © œ o # Œ, l   ñ– Ð ³ ð‰ & ³ ) a ¿ º

° ú

כ_  q Y V › ' a > \  ¦ s K    H t  · ú ˜ ˜ Ѝ  H  כ s  . s  [ O ë  H

 

õ \  ¦ ˜ Ѐ   † < Ƹ  s  Z  }`  ¦ à º2 Ÿ ¤ Æ Ò © œ& h  € ª œ\  @ /ô  Ç q Y V › ' a

>

\  ¦  8 ¸ ú ˜ s K    H  כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –½ + É Ã º e ”  . 6 £ x ² ú š   õ 

×

 æ \   H Arons  t & h ô  Ç  ü < ° ú  s  “ §  à º     † < ÆÒ q t

Table 6. Answers for the question 7.

Answers 7th 8th 9th

S = 8T, Number of students is

8 times of teachers 8 25 27

T = 8S 3 5 4

S × T = 8 1

T<8S 1

no answer 14 6 6

Total 25 37 38

Table 7. Answers for the question 8-1.

Answers 7th 8th 9th

2:1, m

1

is got by multiplying 2 to m

2

12 13 1:2, contracting m

1

= 2m

2

1 5 2

1:1 1

not comparable 1

no answer 24 18 23

Total 25 37 38

Ã

º\  8`  ¦ Y  L K  T = 8S– Ð   õ \  ¦  Ë ¨– Ð
  · p  â Ä º

´ ú

§ . Arons  H s \  @ / # Œ, p ² D G _  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 8S\  ¦ Y  L! l r s

  m   S 8> h e ”   H  כ `  ¦
 ? /  H l   ñ– Ð Ò q ty Œ •   H

 â

† ¾ Ós  e ” 6 £ §`  ¦ t & h ô  Ç   e ”  . % ò # Q Ý ¶ ÷  r  m   Ä ºo 

 \ " f• ¸   : r s  t & h ô  Ç š ¸À Ó † < ÆÒ q t[ þ t \ > " f
 


“

¦ e ” 6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

Table 7“ É r [ O ë  H 8-1 ‘ ¿ º Ó ü t ^ ‰_  | 9 | ¾ Ó_  q  m

¹

= 2m

₂

s €   | 9 | ¾ Ó_  ß ¼l _  q   H?’ \  @ /ô  Ç 6 £ x ² ú š  õ s  . [ O  ë

 H 7“ É r Æ Ò © œ& h “   › ' a > \  ¦ ƒ  # Q& h Ü ¼– Ð Û  ¦ s ô  Ç [ O ë  H“  X < q 

# Œ, [ O ë  H 8-1“ É r 1 p xd ” _  + þ AI – Ð
 ? /• ¸2 Ÿ ¤ ô  Ç  כ Ü ¼– Ð

&

ñ ì ø Í@ /_   â Ä ºs  .

#

Œl \ 
 è ß –  ü < ° ú  s  1† < Ƹ  “ É r & ñ ² ú š  \ O % 3 “ ¦, 2 † < Ƹ  “ É r €  • 32 %, 3† < Ƹ  “ É r €  • 34 %_  † < ÆÒ q të ß – ¿ º | 9 | ¾ Ó_  q

\  ¦  Ø Ô>  ”  Õ ü t % i  . s  ë  H † ½ ӓ É r é ß –í  H y  ¿ º | 9 | ¾ Ó_  ß ¼ l

ë ß –`  ¦ q “ §ô  Ç  כ “  X <• ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ [ O ë  H 4 \  q  # Œ 6 £ x ² ú š Ò

 ¦ s  $ › ¸ô  Ç  כ Ü ¼– Ð ˜ Ð  1 p xd ” _  + þ AI – Ð ] jr   ) a q Y V › ' a

>

\  @ /K " f  H † < ÆÒ q t[ þ t s   8 # Q 90 >† < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s 



 H † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 1 p xd ” Ü ¼– Ð ] jr   ) a q Y V › ' a > \  ¦ { 9 é ß – ƒ  # Q– Ð



r    ¨ 8 Š K   l  M :ë  H s  . s  õ & ñ \ " f † < ÆÒ q t[ þ t“ É r è  H

\

 ˜ Ðs   H í  H " f@ /– Ð @ /² ú š # Œ 1:2 “ ¦  Ë ¨– Ð 6 £ x ² ú š   H

 â

† ¾ Ós 
 è ß – .

Table 8“ É r [ O ë  H 8-2 ‘ ¿ º Ó ü t ^ ‰_  | 9 | ¾ Ós  2m

¹

= m

2

s “ ¦ 5

Å q§ 4 s  { 9 & ñ €   î  r1 l x \  -t _  q   H?’ \  @ /ô  Ç 6 £ x ² ú š  õ  s

 . [ O ë  H 8-1“ É r ¿ º 1 p xd ” Ü ¼– РÒ'  | 9 | ¾ Óq \  ¦ ½ ¨   H [ O  ë

 H s  9, [ O ë  H 8-2  H | 9 | ¾ Óõ  î  r1 l x \  -t ü <_  › ' a > \  ¦ · ú ˜



˜ Ѝ  H  כ Ü ¼– Ð" f | 9 | ¾ Óq \  ¦ s 6   x # Œ î  r1 l x \  -t _  q \  ¦

Table 8. Answers for the question 8-2.

Answers 7th 8th 9th

1:2, the ratio of the two masses 4 10 2:1, kinetic energy is proportional to mass 1 5 6 1:1, mass and speed are the same 1

no answer 24 27 22

Total 25 37 38

· ú

˜ ˜ Ѝ  H [ O ë  H Ü ¼– Ð Ã º† < Æ& h “    “ ¦_  › ¸ Œ • é ß –>   8 € 9  כ

¹ % i  .

 

õ \  ¦ ˜ Ѐ   2† < Ƹ  “ É r €  • 11 %, 3† < Ƹ  “ É r €  • 26 %_  † < Æ Ò q

të ß –  Ø Ô>  ² ú š`  ¦ ”  Õ ü t % i  . 1 p xd ” `  ¦ s 6   x # Œ | 9 | ¾ Óq 

\

 ¦ ] jr ô  Ç Ê ê\  î  r1 l x \  -t _  q \  ¦ s 6   x # Œ | 9 | ¾ Ó_  q 

\

 ¦ Æ Ò : r   H ë  H † ½ Ó 8-2\  ¦ [ O ë  H 8-1 ˜ Ð   8 # Q 90 >† < Ê`  ¦ · ú ˜ Ã

º e ”  . š ¸² ú š  ×  æ 2:1 _  6 £ x ² ú šs  & ñ ² ú š˜ Ð • ¸ ´ ú §€ Œ ¤~    כ

“

É r | 9 | ¾ Ó_  q \  ¦ K $ 3    H X < e ” # Q" f | 9 | ¾ Ó · ú ¡\  Å Ò# Q”   Õ ü w



\  ¦ | 9 | ¾ Ó_  ß ¼l – Ð ¸ ú ˜3 l w s K  # Œ K $ 3 ô  Ç  ⠆ ¾ Ós  ´ ú §l  M

:ë  H s  . ¢ ¸ô  Ç, m

1

õ  m

²

\  ¦ 
_   s – B H Ü ¼– Ð “  d ”  

#

Πm

¹

s  1> h, m

²

 2> h– Ð K $ 3 ô  Ç  כ Ü ¼– Е ¸ Ò q ty Œ •½ + É Ã º e ” 



.  H à º · ú ¡\  e ” `  ¦ M : † < ÆÒ q t[ þ t“ É r s  í  H " f@ /– Ð q Y V › ' a

>

\  ¦ “  d ” ½ + É 0 p x$ í s   8 Z  }  t   H  כ s  . 1,2 † < Ƹ  \  q

 # Œ ×  æ † < Ɠ § 3† < Ƹ  _  & ñ ² ú šÒ  ¦ s  Z  } € Œ ¤~    כ “ É r { 9 õ  \  - t

_  é ß –" é ¶ \ " f î  r1 l x \  -t \  ¦ C  ° ?l  M :ë  H Ü ¼– Ð Ò q ty Œ •  ) a



.

Table 9  H [ O ë  H 8-3 ‘ ¿ º Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x \  -t  ° ú  `  ¦ M : 5

Å q§ 4 _  q  2:1s €   | 9 | ¾ Ó_  q   H?’ _  6 £ x ² ú š  õ s  . s  ë

 H † ½ ӓ É r ¿ º Ó ü t ^ ‰_  î  r1 l x \  -t  ° ú  `  ¦ M : 5 Å q§ 4 _  q \  ¦ : Ÿ x ô

 Ç | 9 | ¾ Ó_  q \  ¦ Æ Ò : r K  ˜ Ѝ  H ë  H † ½ ÓÜ ¼– Ð, î  r1 l x \  -t  | 9 

|

¾ Ó\  q Y V “ ¦ 5 Å q§ 4 _  ] jY  L \  q Y Vô  Ç   H " fÕ ü t& h “   ë  H



© œ`  ¦ s K K  ë ß – Û  ¦ s  0 p x ô  Ç ë  H † ½ Ós % 3  . ¢ ¸ô  Ç, s   â Ä

º\  | 9 | ¾ Óõ  5 Å q • ¸ ] jY  L“ É r ì ø Íq Y V† < Ê`  ¦ s K K   ë ß – ô  Ç .

1 † < Ƹ  “ É r  Ø Ô>  6 £ x ² ú šô  Ç † < ÆÒ q ts  \ O % 3 “ ¦, 2† < Ƹ  “ É r €  • 5

%, 3 † < Ƹ  “ É r €  • 13 %_  † < ÆÒ q të ß –s   Ø Ô>  6 £ x ² ú š % i  . 5 Å q

•

¸  H ] jY  L _  q s “ ¦ | 9 | ¾ ӓ É r 1 & h  q Y V“  X <, † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Õ

ª s \  ¦ “  d ”  t  3 l w “ ¦ e ”  . Õ ªo  # Œ, 1:2, 2:1s  1:4, 4:1 ˜ Ð   s `›   ´ ú §€ Œ ¤ . 3t    “  `  ¦ 1 l x r \   ê  r [ O  ë

 H`  ¦ ´ ú §“ É r † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 3 > h_    “   q Y V › ' a >  ×  æ 1 > h_    

“

 Ü ¼– Ð Ò q ty Œ • l • ¸ % i  . [ O ë  H 8-3 \ " f  à º_  † < ÆÒ q t[ þ t s

 # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ É r  כ “ É r ‘î  r1 l x \  -t  ° ú   ’   H  z  ´

–

РÒ'  Å Ò# Q”   5 Å q§ 4 _  q \  @ /ô  Ç | 9 | ¾ Óq \  ¦ ½ ¨   H # Œ Q é

ß –> _  à º† < Æ& h  0 p x§ 4 s   Ò7 á ¤    H  כ s  .  “ ¦_  é ß –> 

 ´ ú § | 9 à º2 Ÿ ¤ † < ÆÒ q t[ þ t“ É r q Y V › ' a >  s K \  ¦ B Ä º # Q 90 >

“ ¦ e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .

Æ

Ò © œ& h  € ª œ\  @ /ô  Ç í ß –Õ ü t& h  q Y V_  [ O ë  H  õ \  ¦ כ ¹€  • 

€

 , † < ÆÒ q t[ þ t“ É r ½ ¨^ ‰& h  € ª œ\  @ /ô  Ç í ß –Õ ü t& h  q Y V ˜ Ð  ô  Ç8 £ x

Table 9. Answers for the question 8-3.

Answers 7th 8th 9th

1:4, square ratio of speed is 4:1 for the same kinetic energy 2 5 4:1, Kinetic energy is proportional to the square of speed and inverse of mass 4

1:2, Speed is proportional to the inverse of mass 1 13 4

2:1 4 2

no answer 24 18 23

Total 25 37 38

Table 10. Answers for the question 8-2.

Answers 7th 8th 9th

The post is driven 1cm for every force of 2kg 1 2

The post is driven 5cm for force of 10kg 3 17 4

5cm is part while 10kg is whole 2 3

5cm in 10cm 5 1 1

The length that the post is driven 1 1 1

driven length/weight of the hammer 3

weight of the hammer/driven length 1 1

others 4 2 10

no answer 8 12 17

Total 25 37 38

Table 11. Answers for the question 5-2.

Answers 7th 8th 9th

the time for one periodic motion of the pendulum 8 5

the number of periodic motions for 1 second 7 1

the number of periodic motions for given time 3

3/5 2 2

5/3 1

the reciprocal 3

others 2 1

no answer 17 19 29

Total 25 37 38



8 # Q 90 >   H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s [ þ t“ É r   “  ç ß –_  כ ¹™ è

 ´ ú § | 9 à º2 Ÿ ¤  8¹ ¡ ¤ # Q 90 > % i “ ¦, # Œ Q é ß –> _  à º† < Æ& h  é

ß –>  € 9 כ ¹  
 q Y V ì  r à º– Ð  ) a  כ \   8 # Q 9¹ ¡ §`  ¦ Ö

¼Š   . Õ ª Q
 † < Ƹ  s  Z  }  | 9 à º2 Ÿ ¤ s K • ¸  H Z  }  t  9,



 “  s  ë  H  – Ð " î S X ‰ >  ] jr ÷ &€   7 á §  8
“ É r s K \  ¦ ˜ Ð

%

i  . ô  Ǽ #  “ §õ " f\ " f † < Æ_ þ v ô  Ç > h¥ Æ \  @ /ô  Ç q Y V K $ 3 “ É r q

“ §& h  ¸ ú ˜ “ ¦ e ” Ü ¼
, Õ ªX O t  · ú §“ É r  Òì  r \  @ /K " f  H # Q



90 >† < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

3. R 7 `8 ý Ž ¹ Å# aX ì Ä A 0V Ä  Ö «I í Ä(כ r Ç Ã U Ø 2, כ r Ç Ã U Ø 5-2, כ r Ç Ã

U Ø 6-2)

[ O

ë  H 2  H ‘| 9 | ¾ Ós  10 kg“   Ó ü t ^ ‰\  ¦ 2 m Z  } s \ " f b  # Q ä

¼ 9 ´ ú ˜Á n q`  ¦ 5 cm ~ à ̀ Œ ¤ . 5/10  _ p    H    H?’ s  .

“

§õ " f\ " f ~ 1 >  ] X K ˜ Ðt  · ú §“ É r + þ AI _  q Y V › ' a > \  ¦ ƒ  

#

Q& h “   + þ AI “   " fÕ ü t + þ Ad ” Ü ¼– Ð Æ Òo K ˜ Ѝ  H ë  H † ½ Ós  .

Table 10`  ¦ ˜ Ѐ   s \  @ / # Œ — ¸Ž  H † < ÆÒ q t[ þ t s  # Q 90 >† < Ê

`

 ¦ · ú ˜ à º e ”  . [ O ë  H \  ‚ à Ð# Œô  Ç 1, 2, 3† < Ƹ   † < ÆÒ q t[ þ t ×  æ 1 † < Ƹ  

\

" f é ß – 1" î _  † < ÆÒ q të ß – & ñ S X ‰ >  l Õ ü t ô  Ç  כ Ü ¼– Ð ˜ Ð  @ /Â Ò ì

 r _  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r s K \  ¦ t  3 l w # Œ ë  H ] j_  _ p › ¸   

€

Œ

• t  3 l w “ ¦ e ”   H  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 5/10\  ¦ Ã

º† < Æ& h  q Y V– Ð K $ 3  t  3 l w “ ¦, 
_  l   ñ,  s – B H Ü ¼

–

Ð K $ 3    H  ⠆ ¾ Ós   © œ@ /& h Ü ¼– Ð ´ ú §s 
 z Œ ¤ . s  ë  H † ½ Ó

“ É

r " é ¶ s   Ò# Œ÷ &t  · ú §“ É r q Y V| ¾ Ó\  @ /ô  Ç ë  H ] j– РÒ'  † < Æ

Table 12. Answers for the question 6-2.

Answers 7th 8th 9th

the time for going 1 km 1 2

the speed for unit time 1

1/speed 4

1/80 2 11

3/4 3 1

time 1

instant speed 2

5/3 1

no answer 21 20 30

Total 25 37 38

“

§\ " f C î  r & h s  \ O   H " é ¶ _  € ª œ`  ¦ Ä »Æ ÒK  ? /  H  כ s  .

Õ

ª Q
, † < ÆÒ q t[ þ t“ É r q Y V& h  K $ 3 `  ¦ t  3 l w l  M :ë  H \  „   )

€ | 9 ë  H \  ] j@ /– Ð  ) a 6 £ x ² ú š`  ¦ t  3 l w “ ¦ e ”  .

†

< ÆÒ q t[ þ t s  q Y V\  @ /ô  Ç ƒ  # Q& h  K $ 3  0 p x§ 4 s   Ò7 á ¤  



 H  כ “ É r · ú ˜ 9”   Ó ü t o | ¾ Ó\  @ /ô  Ç % i à º\  ¦ K $ 3  >    H [ O  ë

 H \ " f ¸ ú ˜ S X ‰ “   ) a  . Table 11“ É r [ O ë  H 5-2 ‘[ O ë  H 5-1 _  % i  Ã

º  H Á º% Á `  ¦ _ p    H ?’_    õ s  .

1 † < Ƹ  “ É r & ñ ² ú š`  ¦ & h “ É r † < ÆÒ q ts  „  ) € \ O % 3 “ ¦, 2† < Ƹ  _  22

%, 3 † < Ƹ  _  13 %_  † < ÆÒ q t[ þ t ë ß –s  ‘1 r M  g4 Ÿ ¤   H X < Y >  œ í

 

§ 4   H \  ¦ · ú ˜ ˜ Ѝ  H Å Òl ’ “ ¦ ] j@ /– Ð ² ú š`  ¦ % i  . s 

\

 q  # Œ @ / Òì  r _ 
 Qt  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r ë  H ] j\  „  ) € ² ú š`  ¦

t  3 l w  
 › ' aº  s  \ O   H 6 £ x ² ú š`  ¦ ô  Ç  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ .

{ 9

Â Ò † < ÆÒ q t[ þ t s  5/3`  ¦ 3/5  “ ¦ 6 £ x ² ú š % i   H X <, s [ þ t“ É r % i  q

\  ¦ s K ô  Ç  כ s   m   é ß –t  > í ß –õ & ñ \ " f ì  r — ¸ü < ì  r



\  ¦ ™ D ¥1 l x # Œ l Õ ü t ô  Ç  כ \  Ô  ¦ õ   . 2, 3† < Ƹ   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r õ

† < Æ > h¥ Æ `  ¦ † < Æ_ þ v ô  Ç  כ `  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð # QÖ ¼ & ñ • ¸ q Y VK $ 3 

`

 ¦ r • ¸ t ë ß –, ] j@ /– Ð C Ä ºt  · ú §“ É r 1 † < Ƹ   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r „   )

€ q Y V& h  K $ 3 `  ¦ t  3 l w † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

Table 12  H [ O ë  H 6-2 ‘[ O ë  H 6-1 _  ° ú כ_  % i à º  H Á º% Á `  ¦ _

p    H ?’s  . s  ë  H † ½ ӓ É r 5 Å q§ 4 _  % i à º\  @ /ô  Ç _ p 

\

 ¦ ¶ n s  H ë  H † ½ ÓÜ ¼– Ð 5 Å q§ 4 “ É r 1 r ç ß –{ © œ ç ß –  o \  ¦ _ p  “ ¦ 5

Å q§ 4 _  % i à º  H 1 km\  ¦ ¹ ¡ §f ” s   H 1 l x î ß –    2 ; r ç ß –`  ¦ _ p  ô

 Ç . Table 14\  _  €   1, 2† < Ƹ  “ É r  Ø Ô>  6 £ x ² ú šô  Ç † < ÆÒ q t s

 \ O % 3 “ ¦, 3† < Ƹ  “ É r €  • 5 %_  † < ÆÒ q të ß – & ñ S X ‰ >  6 £ x ² ú š % i 



.
 Qt  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r „  ) € › ' a > \ O   H 6 £ x ² ú š`  ¦  
 „  ) €

² ú

š t  3 l w “ ¦ e ”  . [ O ë  H 5-2 % ƒ! 3  é ß –t  ì  r — ¸ü < ì  r  _ 

° ú

כ`  ¦ + '| 9 # Q" f 6 £ x ² ú šô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t s  ´ ú §€ Œ ¤ .  © œ ´ ú §“ É r Ä »+ þ A

“

  ‘1/80’s  “ ¦ 6 £ x ² ú šô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t“ É r % i à º_  _ p \  ¦ s K Ù þ ¡



l ˜ Ð   H Õ ü w  _  % i à º\  ¦ Õ ªz ª œ ³ ðr ô  Ç  כ s  . 5 Å q§ 4 _ 

%

i à º > h¥ Æ “ É r î  r1 l x  â l ü < ° ú  “ É r z  ´Ò q t Ö ¸ \ " f V , o   6   x ÷ &

“

¦ e ” t ë ß – † < Ɠ § õ † < Æ\ " f  H  À Òt  · ú §“ ¦ e ” l  M :ë  H \  † < Æ Ò q

t[ þ t s  s \  ¦ ¸ ú ˜ Ò q ty Œ • t  3 l w ô  Ç “ ¦ ó ø Íé ß –½ + É Ã º e ”  .

q

Y V\  @ /ô  Ç ƒ  # Q& h  K $ 3  0 p x§ 4 \  @ /ô  Ç   õ \  ¦ כ ¹€  • 

€

 , † < ÆÒ q t[ þ t“ É r q Y V\  @ /ô  Ç s K \  ¦ ] j@ /– Ð t  3 l w l  M : ë

 H \  Å Ò# Q”   Ó ü t o | ¾ Ó\  @ /ô  Ç ƒ  # Q& h  K $ 3 `  ¦ ] j@ /– Ð t  3

l

w † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s   H : £ ¤ y  † < Ɠ §\ " f † < Æ_ þ v ô  Ç Ó ü t o | ¾ Ó\ 

@

/ô  Ç % i à º_  q Y V › ' a > \  ¦ K $ 3  >  ½ + É M :  8  H # Q 9¹ ¡ § Ü

¼– Ð
 è ß – .   " f † < ÆÒ q t[ þ t _  s  Qô  Ç q Y V s K 0 p x§ 4  Â

Ò7 á ¤“ É r D h– Ðî  r Ó ü t o  > h¥ Æ s  q Y V › ' a > – Ð ] jr  | ¨ c M : † < Æ_ þ v _

 # Q 9¹ ¡ §`  ¦ œ íA  >  ÷ &  H " é ¶ “  s   ) a  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

IV. + s Ç Â ] Ø õ m Í S  X ì È

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H l œ í& h “   Ó ü t o | ¾ Ó_  q Y V > í ß – x 9  K $ 3 

\

 @ /ô  Ç [ O ë  H › ¸ \  ¦ : Ÿ x # Œ ×  æ † < ÆÒ q t[ þ t _  q Y V > h¥ Æ  s K 

\

 ¦ › ¸  % i  . s \  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨   õ   H  6 £ § õ  ° ú   .

' Í

P :, ½ ¨^ ‰& h “   ° ú כÜ ¼– Ð Å Ò# Q”   € ª œ\  @ /ô  Ç í ß –Õ ü t& h  q Y V

› '

a > \  @ / # Œ é ß –í  H ô  Ç q Y V > í ß –`  ¦   H  â Ä º\   H @ /Â Ò ì

 r _  † < ÆÒ q t[ þ t s  0 p x¸ n q >  s K  “ ¦ e ” % 3 Ü ¼
, | 9 ë  H \ " f q

Y V\  ¦ > í ß – l  0 Aô  Ç   “  _  í  H " f  7  
 : £ ¤& ñ 

"

é

¶ ? /_  # Œ Q é ß –0 A\  ¦ ™ D ¥ ½ + Ë& h Ü ¼– Ð  6   x €   s \  ¦ # Q 90 >

“ ¦ ] j@ /– Ð q Y V > í ß –`  ¦ ¸ ú ˜ t  3 l w † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

Ñ ü

t P :, > í ß –K   ½ + É Ó ü t o | ¾ Ós  ½ ¨^ ‰& h “   ° ú כÜ ¼– Ð Å Ò# Qt  t

 · ú §“ ¦ l   ñ
 ë  H  © œ`  ¦ : Ÿ x ô  Ç Æ Ò © œ& h  € ª œÜ ¼– Ð ] jr ÷ &  H  â Ä

º\   H † < ÆÒ q t[ þ t s  ] j@ /– Ð q Y V > í ß –`  ¦ t  3 l w % i  . : £ ¤ y

 q Y V › ' a > \  ¦ 1 p xd ” Ü ¼– Ð ] jr  # Œ s \  ¦ K $ 3    H X < à º

†

< Æ& h  é ß –> [ þ t s  € 9 כ ¹  
, ] jr   ) a   “  _  à º ´ ú § t 

“

¦ › ' a >   ×  æ  o ÷ &€   q Y V > í ß –_  # Q 9¹ ¡ §“ É r  8 ß ¼> 
 

z Œ ¤ .

!

Ó P :, † < ÆÒ q t[ þ t“ É r ì  r à º– Ð ³ ð‰ & ³ ) a ° ú כ`  ¦ q Y V › ' a > – Ð K $ 3 

t  3 l w “ ¦ Õ ª Õ ü w    ^ ‰\  ¦ 
_  l   ñ ¢ ¸  H  s – B H Ü ¼

–

Ð Ò q ty Œ •   H  ⠆ ¾ Ós  ´ ú §€ Œ ¤ . s  M :ë  H \  q Y V › ' a > \  ¦ ƒ  

#

Q– Ð K $ 3    H X <  H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ˜ Ð% i Ü ¼ 9, : £ ¤ y  s p  · ú ˜“ ¦

e ”

  H Ó ü t o | ¾ Ó\  @ /ô  Ç % i q 
 D h– Ðî  r q Y V > h¥ Æ _  K $ 3 `  ¦ ]

j@ /– Ð t  3 l w † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\  ¦ : Ÿ x # Œ Arons ü @² D G _  † < ÆÒ q t[ þ t \  @ /K  t 

&

h

Ù þ ¡~    ü < Ä »  >  Ä ºo 
 _  ×  æ † < ÆÒ q t[ þ t • ¸ l œ í Ó ü t o

 > h¥ Æ \  @ /ô  Ç q Y V& h  K $ 3 `  ¦ ] j@ /– Ð t  3 l w ô  Ç   H & h  s


 z Œ ¤Ü ¼ 9,   " f s \  ¦ F G4 Ÿ ¤ l  0 Aô  Ç ^ ‰> & h “   † < Æ _

þ

v t • ¸ s À Ò# Qt t  · ú §Ü ¼€  , † < ÆÒ q t[ þ t“ É r † ¾ ÓÊ ê  © œ/ å L † < Ƹ  

\

" f  8 # Q 9î  r Ó ü t o  > h¥ Æ `  ¦ C Ä º>  | ¨ c M : s \  ¦ ] j@ /– Ð

†

< Æ_ þ v t  3 l w ½ + É Ã º e ”  . s  Qô  Ç ë  H ] j& h `  ¦ K    l  0 Aô  Ç

“

§Ã º† < Æ_ þ v t • ¸ ~ ½ ÓZ O _  Ê ê5 Å q ƒ  ½ ¨ כ ¹½ ¨  ) a  .

P

c p 8 ý ò k >

s

 ƒ  ½ ¨  H 2010¸  • ¸ Ø  æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § † < ÆÕ ü tƒ  ½ ¨t " é ¶  \ O _ 

ƒ

 ½ ¨q  t " é ¶ \  _  # Œ s À Ò# Q& ’ _ þ v m  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] W.-M. Roth and M. M. Milkent, J. Res. in Sci. Teach- ing 28, 465 (1991).

[2] A. E. Lawson, R. Karplus and H. Adi, J. Res. in Sci.

Teaching 15, 465 (1978).

[3] A. E. Lawson, J. Res. in Sci. Teaching 24, 611 (1987).

[4] A. B. Arons, Am. J. of Phys. 44, 834 (1976).

[5] A. B. Arons, The Phys. Teacher 21, 576 (1983).

[6] A. B. Arons, The Phys. Teacher 22, 21 (1984).

[7] J. Kim and W. Oh, SAEMULLI 45, 123 (2002).

[8] J. Kim and W. Oh, SAEMULLI 56, 350 (2008).