모든 문제의 계산과정을 답안지에 자세히 명시할 것!!!
1. 다음 문제를 가능하면 그림으로 표현하면서 답을 구하시오 (20) 1) 벡터 a 12i j 와 벡터 b i j k
2 사이의 각을 구하시오.2) 1)번에서 주어진 벡터에 대하여 ba =?
3) 원 x2 y225 의 (3,4) 에서 접선의 방정식을 그림과 함께 구하세요
4)
3 7
3
1
3
2
x x x
y
에서 변곡점, 극대점, 극소점의 좌표를 찾고 함수의 개형을 그리세요?5)
( x 3 2 )
2dx
는? 6)
0testdt =? 단, s 는 상수로 가정한다.2. 깁스에너지 G 는 온도와 압력의 함수라고 한다. 즉, G=G(T, P) 이다. 온도와 압력의 변화에 대한 깁스에너지의 변화량 (
G
) 를 구하 려고 한다. 다음에 답하시오 (25).1) 깁스에너지 변화량 (dG) 은 온도와 압력변화에 대한 각각의 기여도로서 구할 수 있으며, 이는 깁스에너지의 전미분 (dG) 을 통하여 수학 적으로 표현할 수 있다. 깁스에너지의 전미분은?
2)
dG VdP SdT
라고 할 때, 일정온도 (온도변화가 없음) 에서, 깁스에너지의 변화량 ( G
) 은 어떻게 표현되는가?3) 일정온도 (T=300K) 이상기체 (이상기체 상태방정식: PV=nRT, R=8.314J/mol/K) 에 대하여 압력변화 (1 atm 2 atm) 에 따른 단위몰당
깁스에너지 변화량 (
n
G
, J/mol) 을 구하시오.
4) 위 3) 번에서 구한 깁스에너지 변화량을 x 축을 P (압력) 로, y 축을 V (부피) 로 하는 그래프상에서 면적으로 표현해 보시오.
5) 위 3) 번과 같은 압력변화에서 단위몰당 평균부피 (
V
mean, m3/mol) 는 얼마인가? 단, 1J=9.8710-6 m3atm 이다.3. 성분 A 에 대한 어떤 1차 기초반응이 다음과 같이 표현된다고 한다 (15).
A
kC
Adt
dC
여기에서 t [s] 는 시간, CA [mol/l] 는 A 성분에 대한 농도, 그리고 k [=
2 s
1] 는 반응속도 상수라고 한다. 초기농도 (CA0) 는 10 mol/l 이 다. 즉, 상기의 반응식은 시간을 독립변수로 하는 농도,C
A(t )
, 에 대한 관계식이다.1) 주어진 1차 반응속도식을 라플라스변환 하시오. 단, L[f(t)]
0 f(t)estdt 이다.2) 라플라스변환하여 정리된 식을 역라플라스변환하여 CA 를 시간 (t) 의 함수로 구하시오. 단,
e
ata
L
s
1
1
.
3) 시간 t=2s 에서 A 성분의 농도 (CA) 는 얼마이며, 성분 A 가 더 많이 반응되도록 하는 (또는 이 시간에서 CA 의 값이 더 작도록 하 는) 방안을 제시하시오.
4. 본 과목에 있어서 수업내용 ( 난이도 , 교재의 적절성 ), 수업방법 ( 질문 , 과제 , 퀴즈 , 시험등 ), 수업태도 ( 휴강 , 보강 , 강의시간 등 ) 등에 담당 교수가 보완할 점이 있다면 무엇입니까 (5) ?
1. 다음 문제를 가능하면 그림으로 표현하면서 답을 구하시오 (20) 1) 벡터 a 12i j 와 벡터 b i j k
2 사이의 각을 구하시오.
답안:
두벡터가 이루는 각을 라고 하면, 두 벡터의 내적을 통하여 사이각을 구하면 다음과 같다.
b a
b a
b a
b a
b a b a
cos1
cos
cos
여기에서,
a b ( 12 i j ) ( 2 i j k ) 24 1 23
이고, a 1221 145, b 411 6 이므로,rad o
b a
b
a 0.6765( ) 38.8
6 145 cos 23
cos 1 1
2) 1)번에서 주어진 벡터에 대하여 ba =?
답안:
105 1 4 100 2
10 ) 2(
) 12
(
a i j i j k i j k
b
3) 원 x2 y225 의 (3,4) 에서 접선의 방정식을 그림과 함께 구하세요 .
주어진 식의 양변을 x 에 대하여 미분하면,
y x dx dy
dx y dy x
dx dy dx dx
dx y d dx x
d
0 2
2
0
) 25 (
2 2
2 2
따라서 점 A(3, 4) 에서의 기울기는
4 3
) 4 , 3 (
dx
dy 이고, 따라서, 접선은
y x b 4
3
라고 표현할 수 있다. 이 접선은 점 A 를 지나가므로,4 25 4 4 9
b
이다. 즉, 접선의 방정식은4 25 4 3
x
y
이다.3 x
4 A
4)
3 7 3
1
3
2
x x x
y
에서 변곡점, 극대점, 극소점의 좌표를 찾고 함수의 개형을 그리세요?답안
주어진 함수의 x 에 대한 1차 도함수를 구하고, 기울기가 0 인 점을 찾으면 다음과 같다.
0 ) 1 )(
3 (
0 3
2
2
x x
x dx x
dy
(식1)
따라서 x=-3 or x=1 에서 극대, 극소 혹은 변곡점을 갖을 수 있다. 주어진 함수의 2차도함수가 0 을 갖는 점은 다음과 같다.
1
0 2
2
2
2
x
dx x y d
(식2)
식(1) 과 식(2) 로부터, 다음과 같은 표를 완성할 수 있다.
x -3 -1 1
y 16 10.6666
7
5.33333 3
y' 0 -4 0
y'' -4 0 4
판정 극대 (A) 변곡(B) 극소(C)
5)
( x 3 2 )
2dx
는?답안:
(x+2)=t 라고 치환하면, 주어진 식은 다음과 같다.
x C t C
dt t
x dx
( 3 2 )
23
23 3 2
여기에서 C 는 임의의 상수이다.
6)
0testdt =? 단, s 는 상수로 가정한다.답안:
부분적분에 대한 일반화된 식은 다음과 같다.
x y
A(-3,16)
B(-1,10.7)
C(1,5.3)
0(uv)dt uv 0(uv)dt 식(1) 이다. 주어진 식에서,u t
, 그리고v e
st 라고 하면, 1
dt
u du
, 그리고s dt e e v
st st
이다.따라서 식(1) 은 다음과 같이 바뀐다.
2 0 0 0 0
0
1 1
0 1
1 )
(
e s s s
dt s e
s t e
dt e t dt v u
st st st
st
2. 깁스에너지 G 는 온도와 압력의 함수라고 한다. 즉, G=G(T, P) 이다. 온도와 압력의 변화에 대한 깁스에너지의 변화량 (
G
) 를 구하 려고 한다. 다음에 답하시오 (25).1) 깁스에너지 변화량 (dG) 은 온도와 압력변화에 대한 각각의 기여도로서 구할 수 있으며, 이는 깁스에너지의 전미분 (dG) 을 통하여 수학 적으로 표현할 수 있다. 깁스에너지의 전미분은?
P dP dT G
T dG G
T P
2)
dG VdP SdT
라고 할 때, 일정온도 (온도변화가 없음) 에서, 깁스에너지의 변화량 ( G
) 은 어떻게 표현되는가?
2 1
2 1 2
1
P P
P P G
G
VdP G
VdP dG
VdP dG
3) 일정온도 (T=300K) 이상기체 (이상기체 상태방정식: PV=nRT, R=8.314J/mol/K) 에 대하여 압력변화 (1 atm 2 atm) 에 따른 단위몰당
깁스에너지 변화량 (
n
G
, J/mol) 을 구하시오.
mol atm J
atm K
K mol
J n
G
P nRT P P dP
nRT VdP
G
PP P
P
/ 1 1729
ln 2 1 300 314 . 8
1 ln
1
2 2
1 2
1
4) 위에서 구한 깁스에너지 변화량 (
G
) 을 x 축을 P (압력) 로, y 축을 V (부피) 로 하는 그래프상에서 면적으로 표현해 보시오.5) 위 3) 번과 같은 압력변화에서 단위몰당 평균부피 (
V
mean, m3/mol) 는 얼마인가? 단, 1J=9.8710-6 m3atm 이다.mol J m
atm m mol
atm J
mol atm
J atm
atm atm
atm K
K mol
J n
V
P P
P nRT P
P P
P dP nRT P
P V VdP
mean
P P P
P mean
/ 0171 . 10 0
87 . 9 1729
1 1729 2
1 1
ln 2 1 300 314 . 8
1 ln
3 3
6
1 2
1 2
1 2 1
2
2 1 2
1
3. 성분 A 에 대한 어떤 1차 기초반응이 다음과 같이 표현된다고 한다 (15).
A
kC
Adt
dC
여기에서 t [s] 는 시간, CA [mol/l] 는 A 성분에 대한 농도, 그리고 k [=
2 s
1] 는 반응속도 상수라고 한다. 초기농도 (CA0) 는 10 mol/l 이 다. 즉, 상기의 반응식은 시간을 독립변수로 하는 농도,C
A(t )
, 에 대한 관계식이다.1) 주어진 1차 반응속도식을 라플라스변환 하시오. 단, L[f (t)]
0 f(t)estdt 이다.라플라스 변환에 대한 정의에 의하여 주어진 식은 다음과 같이 라플라스변환된다.
0
0
e dt k C e dt
dt dC
kC dt L
L dC
st A A st
A A
(식1)
(식1) 에서, 좌변은 부분적분을 통하여 정리하면,
0 A
e
stdt s C
A( s ) C
A0dt
dC
(식2)이다. 단, CA(s)
0CA(t)estdt 이고,C
A0 C
A( t 0 )
이다. 우변은 )0 C e dt kC (s
k A st A
(식3)으로 간단히 쓸 수 있다. 식 (2) 와 (3) 을 식(1) 에 대입하면,
P, atm V, m
31 2
V=nRT/P
G=nRTln(P
2
/P
1)
s C k
s C
C k s s C
s kC C
s C s
A A
A A
A A
A
0 0
) (
) (
) ( )
0 ( ) (
(식4)
이다.
2) 라플라스변환하여 정리된 식을 역라플라스변환하여 CA 를 시간 (t) 의 함수로 구하시오. 단,
e
ata
L
s
1
1
.
식(4) 를 역라플라스변환하면,
kt A A
A A
e C t C
k s L C s C L
0 1 0 1
) (
)
(
(식5)3) 시간 t=2s 에서 A 성분의 농도 (CA) 는 얼마이며, 성분 A 가 더 많이 반응되도록 하는 (또는 이 시간에서 CA 의 값이 더 작도록 하는) 방안 을 제시하시오.
l mol l e
C
A10 mol 0 . 183 / )
2
(
22
반응이 시작된후 2초후에 초기농도 10 mol/l 가 0.183 mol/l 로 감소하였다. 식(5) 에서 보듯이 CA 을 더 작게 하기 위하여 반응상수 k 값을 더 크게 하면 된다. 이를 위한 구체적인 방안으로는 ………..
…………..
