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(가)에 알맞은 것을 쓰시오.

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Academic year: 2021

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(1)

※ 그림과 같은 직각이등변삼각형 ABC의 꼭지점 A를 지나는 직 l위에 점 B, C에서 내린 수선의 발을 D, E라 하자.

BD = 12cm, CE = 9cm라고 할 때,

△ABD △CAE는 합동이다.

△ABD와 △CAE에서

∠BDA = ( ) = 90° …① AB = ( ) …②

∠BAD + ∠ABD = ( )이고

∠BAD + ∠CAE = ( )이므로

∠ABD = ( ) …③

①, ②, ③으로부터

△ABD≡△CAE이다.

1.zb1) (가)에 알맞은 것을 쓰시오.

2.zb2) (나)에 알맞은 것을 쓰시오.

3.zb3) (다)에 알맞은 것을 쓰시오.

4.zb4) (라)에 알맞은 것을 쓰시오.

5.zb5) DE의 길이를 구하시오.

6.zb6) 다음 그림은「 ∠AOB의 이등분선 OC 위의 점 P 로부터 OA, OB에 내린 수선의 발을 각각 Q, R이 라고 할 때, PQ = PR이다.」를 증명하는 과정에서 그 린 그림이다. 즉, △POQ≡△POR이면 PQ = PR이 성 립한다. 이 때, 사용된 삼각형의 합동조건은?

① SSS합동 ② SAS합동 ③ AAA합동

④ RHS합동 ⑤ ASA합동

7.zb7) △ABC에서 변 BC의 중점은 M이다. 점 M에서 AB와 AC에 내린 수선의 발은 각각 E, F이고, ME = MF라 할 때, ∠ABM의 크기를 구하시오.

① 35° ② 45° ③ 55°

④ 65° ⑤ 75°

8.zb8) 다음 그림과 같이 ∠B = ∠E = 90°인 직각삼각형 ABC와 DEF가 있다. 다음 중 두 직각삼각형이 합동이 되지 않는 경우는?

① ∠A = ∠D, ∠C =∠F

② AB = DE, ∠ A = ∠D

③ AC = DF, ∠ C = ∠F

(2)

④ AB = DF, AB = DE

⑤ AB = DE, BC = EF

9.zb9) 다음 그림에서 직각이등변삼각형 ABC에서 빗변 BC위에 AB = BD인 점 D를 지나며 BC에 수직인 직선이 변 AC와의 교점을 E라 할 때, 다음 중 옳지 않 은 것은?

① ∠AED = 135° ② △ABE≡△DBE

③ AC = BD ④ AE = DC

⑤ AE = EC

10.zb10) 다음 그림에서 △ABC는 ∠A = 90°이고

AB = AC이다. 점 B, C에서 꼭지점 A를 지나는 직 선 l위에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 하자.

DB = 6cm, EC = 4cm일 때, DE의 길이는?

① 5 cm ② 7 cm ③ 8 cm

④ 10 cm ⑤ 12 cm

11.zb11) 직각삼각형 ABC에서 AD = AC인 점 D를 AB

위에 잡을 때, AB 위에 수선을 그어 BC와 만난 점을 E라 할 때, ∠AEC =x이다. ∠B를 x에 대한 식으 로 나타내어라.

12.zb12) 다음 중 다음 그림에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

① AB = DA + EB ② ∠CDE = ∠CEB

③ ∠ADC = ∠ECB ④ □ABED = 1

2( a + b )2

⑤ △ACD≡△BEC

13.zb13) 직각삼각형 ABC에서

AD = DE = EF = FG = FC이고 ∠A = 25°일 때,

∠x의 크기는?(단, ∠B = ∠R)

① 50° ② 60° ③ 80°

④ 90° ⑤ 100°

(3)

14.zb14) ∠ABC = ∠ R인 직각이등변삼각형 ABC의 꼭지 점 B를 지나는 직선 l에 점 A와 점 C에서 내린 수선 의 발을 각각 D, E라 한다. AD = 4, CE = 7일 때,

DE의 길이는 얼마인가?

15.zb15) 그림에서 점 I는 직각삼각형 ABC의 내심이다. 내

접원의 반지름 길이 r의 값을 구하시오.

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

16.zb16) 직각삼각형 ABC에서 BH⊥ AC, AB = 6cm,

BC = 8cm, BH = 4.8cm일 때, △ABC의 외접원의 지름의 길이를 구하시오.

① 6 cm ② 8 cm ③ 10 cm

④ 12 cm ⑤ 14 cm

※ 다음은 명제「선분 AB의 수직이등분선 위의 한 점 P는 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있다.」의 증명 과정을 적은 것이다.

[가정] AB의 수직이등분선과 AB의 교점을 M이라 고 하면,

PM⊥ AB, AM = BM [결론] PA = PB

[증명] △PAM과 △PBM에서 AM = ( ) ( ② )은 공통변

∠PMA = ( ) = 90°

( ④ ) ( SAS 합동) ∴ PA = PB

17.zb17) ①에 알맞은 기호를 써 넣어라.

18.zb18) ②에 알맞은 기호를 써 넣어라.

19.zb19) ③에 알맞은 기호를 써 넣어라.

20.zb20) ④에 알맞은 기호를 써 넣어라.

21.zb21) 다음 설명 중 맞는 것을 고르시오.

① 둔각삼각형에서 내심은 삼각형의 외부에 있다.

② 예각삼각형에서 내심과 외심은 일치한다.

③ 직각삼각형에서 내심은 빗변의 중점에 있다.

④ 이등변삼각형에서 내심과 외심은 반드시 꼭지각의 이 등분선 위에 있다.

⑤ 삼각형이 원에 외접할 때, 그 원을 외접원 이라고 한 다.

(4)

22.zb22) ∠AOB의 내부에 있는 한점 P에서 두 변 OA, OB에 내린 수선의 발을 각각 C, D라고 할 때, PC = PD이면 점 P는 ∠AOB의 이등분선 위에 있음 을 증명하시오.

[가정] ∠AOB에서

AO⊥ PC, BO⊥ PD, PC = PD [결론] ∠POC = ∠POD

[증명]

※ 다음 그림과 같은 ∠BAC = 90°, AB = AC인 직각이등변 삼각형 ABC의 꼭지점 A를 지나는 직선 FG에 점 B, C 부터 수선 BD, CE를 그었을 때, BD = 8, CE = 2이다.

23.zb23) 위의 그림에서 다음 빈칸을 알맞은 기호로 나타내시

오.

( ), ( ), ( )

∴ △ABD≡△CAE ( RHA 합동)

24.zb24) DE의 길이를 구하여라.

25.zb25) △ABC의 넓이는?

26.zb26) 다음 그림과 같이 ∠B = ∠E = 90°인 직각삼각형

ABC와 DEF가 있다. 다음 중 두 직각삼각형이 합동이 되지 않는 경우를 찾아라.

① AC = DF, ∠ C = ∠F

② AC = DF, AB = DE

③ AB = DE, BC = EF

④ AB = DE, ∠ A = ∠D

⑤ ∠A = ∠D, ∠C = ∠F

27.zb27) 그림에서 직선 OP는 ∠AOB의 이등분선이다.

OA⊥ PA, OB⊥ PB일 때, 다음 중 옳지 않은 것을 찾 아라.

① OA = OB ② OB = OP

③ ∠AOP = ∠BOP ④ ∠OPA = ∠OPB

⑤ △AOP≡△BOP

(5)

28.zb28) ∠AOB의 내부에 한 점 P에서 두 변 OA, OB 에 내린 수선의 발을 각각 C, D라고 할 때, PC = PD 이면 △COP≡△DOP임을 증명하기 위해서 이용한 합동 조건은?

① SSS합동 ② SAS합동 ③ ASA합동

④ RHA합동 ⑤ RHS합동

29.zb29) 다음 그림과 같이 ∠AOB의 내부에 있는 한 점 P

에 두 변 OA, OB에 내린 수선의 발을 각각 C, D라 고 할 때, PC = PD이면 점 P는 ∠AOB의 이등분선 위에 있음을 삼각형의 합동을 이용하여 증명하고자 한다.

이 때, △POC≡△POD가 되는 합동조건 세 가지를 골라 라.

① ∠POC = ∠ POD ② OP는 공통

③ OC = OD ④ PC = PD

⑤ ∠PCO = ∠PDO = 90°

30.zb30) <보기>의 직각삼각형들 중에서 서로 합동인 것을 모

두 골라라.

① (가), (다) ② (다), (마) ③ (나), (라)

④ (라), (바) ⑤ (나), (바)

31.zb31) 다음 그림에서 ∠C = 50°인 △ABC의 AB의 중

점을 M, AC와 BC에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 할 때, MD = ME이다. 이 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① △ADM≡△BEM

② △ABC는 이등변삼각형이다.

③ ∠x= 50°

④ AD = BE

⑤ ∠CAB = 65°

(6)

32.zb32) 다음 그림에서 AP = BP이고

∠OAP = ∠OBP = 90°, ∠APB = 120°일 때, ∠x의 크 기를 구하면?

33.zb33) 다음 직각삼각형들 중에서 (다)와 □가 합동이고,

(바)와 □가 합동이다. □안에 각각 알맞은 것을 차례대로 나열한 것은?

① (가), (라) ② (마), (라) ③ (가), (나)

④ (마), (나) ⑤ (가), (마)

34.zb34) 다음은 ∠ XOY의 이등분선 위의 한 점을 P라 하

고 P에서 OX, OY에 내린 수선의 발을 각각 A, B라고 할 때, PA = PB임을 증명하는 과정이다.

㉠ ~ ㉤에 들어갈 것으로 옳지 않은 것은?

△POA와 △POB에서 ∠POA = ( ) …① ( ㉡ )은 공통 …②

( ) = ∠OBP = 90° …③

①, ②, ③에 의해서 △POA≡△POB ( ㉣ 합동)

∴ ( ) = PB

① ㉠ : ∠POB ② ㉡ : OP

③ ㉢ : ∠OAP ④ ㉣ :ASA

⑤ ㉤ : PA

zb35) 다음 그림에서 ∠C = 90°인 △CAB에서 x의 값은?

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

36.zb36) 다음 그림과 같이 직각이등변삼각형 ABC에서 직각

인 꼭지점 A를 지나는 직선 l에 점 B, C에서 내린 수 선의 발을 각각 D, E라 하자. 이 때, DE의 길이는?

① 15 cm ② 17 cm ③ 19 cm

④ 20 cm ⑤ 21 cm

(7)

37.zb37) 다음 그림의 두 직각삼각형이 서로 합동이 되는 조건 이 아닌 것은?

① AB = DE, BC = EF

② ∠A = ∠D, ∠ C = ∠F

③ AB = DE, AC = DF

④ AC = DF, ∠ C = ∠F

⑤ AB = DE, ∠ A = ∠D

38.zb38) 다음 그림에서 AB = BC = CD, AD = 2이다. 이

때 ∠A의 크기 x와 y의 길이를 구하여라.

39.zb39) 다음 그림과 같이 한 점 P에서 OX, OY에 내린

수선의 발을 각각 A, B라 할 때, PA = PB이면 OP는 ∠XOY의 이등분선임을 증명하려고 한다. 이 때 사용되는 삼각형의 합동조건은?

① RHS 합동조건 ② RHA 합동조건

③ SSS 합동조건 ④ SAS 합동조건

⑤ ASA 합동조건

40.zb40) 다음은 직각이등변삼각형 ABC의 직각인 꼭지점

A를 지나는 직선 l에 점 B, C에서 각각 수선 BD, CE를 내릴 때, AB = AC이고 BD = 7,

CE = 3일 때, DE를 구하면?

① 8 ② 9 ③ 10

④ 11 ⑤ 12

41.zb41) 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분

선과 AB의 수직이등분선이 BC 위의 점 N에서 만날 때, ∠ANB의 크기를 구하면?

① 110° ② 120° ③ 130°

④ 140° ⑤ 150°

(8)

42.zb42) 각의 이등분선위의 한 점에서 각의 양변에 내린 수선 의 길이는 같다는 명제를 △POH≡△POK임을 이용하여 증명하려고 한다. 두 삼각형이 합동인 이유 세 가지를 고 르면?

① PO는 공통변 ② ∠POH = ∠POK

③ OH = OK ④ ∠HPO = ∠ KPO

⑤ PH = PK

43.zb43) 다음의 증명 과정 중 밑줄 친 부분이 틀린 것을 고르

시오.

가정 : AO⊥ PC, BO⊥ PD, PC = PD 결론 : ∠POC = ∠POD

증명 : △CPO와 △DPO에서 (가) ∠PCO = ∠PDO =90° …① OP는 공통 … ②

(나) OC = OD … ③

①②③에 의해 (다) △CPO≡△DPO (라) (RHS직각삼각형합동조건에 의해 (마) ∠POC = ∠POD

∴점 P는 ∠AOB의 이등분선 위에 있다.

① (가) ② (나) ③ (다)

④ (라) ⑤ (마)

(9)

1) [정답] ∠AEC 2) [정답] CA 3) [정답] 90〫

4) [정답] ∠CAE 5) [정답] DE= 21cm

[해설] △ABD≡△CAE이므로 DA= CE, AE= BD이다.

따라서, DE= DA+ AE= CE+ BD= 21이다.

6) [정답] ⑤ 7) [정답] ③

[해설] △BME와 △CMF는 RHS조건에 의해 합동이 되므로

∠B와 ∠C는 같게 된다. 따라서 ∠B는 55°가 된다.

8) [정답] ① 9) [정답] ⑤

[해설] 1) △CAB AC= AB인 직각이등변삼각형이므 로, ∠C= ∠B= 45〫 이다.

2) △CDE ∠C= 45〫 , ∠CDE= 90〫 인 직각삼각형 이므로, ∠CED= 45〫 이다. 따라서, CD= ED인 직각 이등변삼각형임을 알 수 있다.

3) △ABE △DBE

AB= BD, ∠EDB= ∠EAB= 90〫 , BE는 공통 이므 로,

서로 합동인 삼각형이다. ( RHS합동) 따라서, ∠EBA= ∠EBD= 1

2 ×45〫 = 22.5〫

∠BED= ∠BEA= 180〫 - 90〫 - 22.5〫 = 67.5〫 다.

4) ⅰ) ∠AED= 2×∠BEA= 2×67.5〫 = 135〫

ⅱ) △ABC는 이등변삼각형이므로, AC= AB △ABE≡△DBE이므로, AB= BD 따라서, AC= BD이다.

ⅲ) △ABE≡△DBE이므로, AE= DE이고, △CDB

직각이등변삼각형이므로, DE= DC이다.

따라서, AE= DC이다.

10) [정답] ④

[해설] △BAD와 △ACE는 RHA조건에 의해 합동이므로 DA= CE이고 BD= AE가 된다. 따라서 DE 10cm이 된다.

11) [정답] ∠B= 2x- 90°

12) [정답] ②

[해설] △ACD △BEC에서

DC= CE, ∠DAC= ∠CBE= 90〫 이고

∠DCA+ ∠CDA= ∠DCA+ ∠ECB= 90〫 에서

∠CDA= ∠ECB 이므로, △ACD △BEC는 합동인 삼 각형이다.

따라서, AC= BE, CB= DA이므로, AB= BC+ AC= DA+ EB=a+b

□ABED= 1

2 ×AB× (a+b) = 1

2(a+b)2 13) [정답] ③

14) [정답] 11

[해설] △ADB≡△BEC(RHA합동 )

AD= BE, BD= CE이므로 DE= 4 + 7= 11 이 된 다.

15) [정답] ③

[ ]

△ABC= 240 = 1

2 × ( 34 + 30 + 16 )×r → r= 6 16) [정답] ③

[해설] 직각삼각형의 외접원의 지름은 빗변의 길이와 같다.

1

2 ×6×8 = 1

2 ×4.8×AC AC= 10 17) [정답] BM

18) [정답] PM 19) [정답] ∠PMB

20) [정답] △PAM ≡ △PBM 21) [정답] ④

22) [정답] △POC △POD에서 OP(공통), ∠PCO= ∠PDO= 90。

PC= PD(가정)이므로 △POC ≡ △POD (RHS합 동)

따라서 ∠AOP= ∠BOP이 된다.

23) [정답] AB= AC, ∠BDA= ∠AEC, ∠BAD= ∠ACE 24) [정답] 10

25) [정답] 50 26) [정답] ⑤ 27) [정답] ② 28) [정답] ⑤

[해설] 직각과 한 변 그리고 빗변을 이용한 삼각형의 합동을 보이는 것이므로 RHS합동을 이용한 것이다.

29) [정답] ②, ④, ⑤ 30) [정답] ②, ⑤ 31) [정답] ③ 32) [정답] 30。

[해설] △OAP≡△OBP (RHS합동)이므로 ∠APO=∠BPO= 60。이다.

따라서 ∠x= 180 - 60 -90 = 30。

33) [정답] ④ 34) [정답] ④ 35) [정답] ③ 36) [정답] ⑤ 37) [정답] ②

38) [정답] 45。, 2 39) [정답] ①

40) [정답] ③

[해설]

∠DAB를 a, ∠EAC를 b라고 하면 ∠ABD 역시 b가 된 다.(a+b=90° 이기 때문에) 마찬가지로 ∠ACE는 a가 된다.

따라서 △BAD와 △ACE는 합동이 되므로 CE= DA= 3 이고 DB= EA= 7이 된다.

41) [정답] ②

(10)

[해설]

△AMN과 △ACN은 합동이 되고 또한 △ANM과 △BNM도 합동이 된다. ∠A= 2a라 하면 ∠ABC=a이므로

2a+a= 90 → a= 30〫 이다.

따라서 ∠B와 ∠BAN은 30°이므로 ∠ANB는 120°가 된다.

42) [정답] ①, ②, ④ 43) [정답] ②

참조

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