※ 그림과 같은 직각이등변삼각형 ABC의 꼭지점 A를 지나는 직 선 l위에 점 B, C에서 내린 수선의 발을 D, E라 하자.
BD = 12cm, CE = 9cm라고 할 때,
△ABD와 △CAE는 합동이다.
△ABD와 △CAE에서
∠BDA = ( 가 ) = 90° …① AB = ( 나 ) …②
∠BAD + ∠ABD = ( 다 )이고
∠BAD + ∠CAE = ( 다 )이므로
∠ABD = ( 라 ) …③
①, ②, ③으로부터
△ABD≡△CAE이다.
1.zb1) (가)에 알맞은 것을 쓰시오.
2.zb2) (나)에 알맞은 것을 쓰시오.
3.zb3) (다)에 알맞은 것을 쓰시오.
4.zb4) (라)에 알맞은 것을 쓰시오.
5.zb5) DE의 길이를 구하시오.
6.zb6) 다음 그림은「 ∠AOB의 이등분선 OC 위의 점 P 로부터 OA, OB에 내린 수선의 발을 각각 Q, R이 라고 할 때, PQ = PR이다.」를 증명하는 과정에서 그 린 그림이다. 즉, △POQ≡△POR이면 PQ = PR이 성 립한다. 이 때, 사용된 삼각형의 합동조건은?
① SSS합동 ② SAS합동 ③ AAA합동
④ RHS합동 ⑤ ASA합동
7.zb7) △ABC에서 변 BC의 중점은 M이다. 점 M에서 AB와 AC에 내린 수선의 발은 각각 E, F이고, ME = MF라 할 때, ∠ABM의 크기를 구하시오.
① 35° ② 45° ③ 55°
④ 65° ⑤ 75°
8.zb8) 다음 그림과 같이 ∠B = ∠E = 90°인 직각삼각형 ABC와 DEF가 있다. 다음 중 두 직각삼각형이 합동이 되지 않는 경우는?
① ∠A = ∠D, ∠C =∠F
② AB = DE, ∠ A = ∠D
③ AC = DF, ∠ C = ∠F
④ AB = DF, AB = DE
⑤ AB = DE, BC = EF
9.zb9) 다음 그림에서 직각이등변삼각형 ABC에서 빗변 BC위에 AB = BD인 점 D를 지나며 BC에 수직인 직선이 변 AC와의 교점을 E라 할 때, 다음 중 옳지 않 은 것은?
① ∠AED = 135° ② △ABE≡△DBE
③ AC = BD ④ AE = DC
⑤ AE = EC
10.zb10) 다음 그림에서 △ABC는 ∠A = 90°이고
AB = AC이다. 점 B, C에서 꼭지점 A를 지나는 직 선 l위에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 하자.
DB = 6cm, EC = 4cm일 때, DE의 길이는?
① 5 cm ② 7 cm ③ 8 cm
④ 10 cm ⑤ 12 cm
11.zb11) 직각삼각형 ABC에서 AD = AC인 점 D를 AB
위에 잡을 때, AB 위에 수선을 그어 BC와 만난 점을 E라 할 때, ∠AEC =x이다. ∠B를 x에 대한 식으 로 나타내어라.
12.zb12) 다음 중 다음 그림에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
① AB = DA + EB ② ∠CDE = ∠CEB
③ ∠ADC = ∠ECB ④ □ABED = 1
2( a + b )2
⑤ △ACD≡△BEC
13.zb13) 직각삼각형 ABC에서
AD = DE = EF = FG = FC이고 ∠A = 25°일 때,
∠x의 크기는?(단, ∠B = ∠R)
① 50° ② 60° ③ 80°
④ 90° ⑤ 100°
14.zb14) ∠ABC = ∠ R인 직각이등변삼각형 ABC의 꼭지 점 B를 지나는 직선 l에 점 A와 점 C에서 내린 수선 의 발을 각각 D, E라 한다. AD = 4, CE = 7일 때,
DE의 길이는 얼마인가?
15.zb15) 그림에서 점 I는 직각삼각형 ABC의 내심이다. 내
접원의 반지름 길이 r의 값을 구하시오.
① 4 ② 5 ③ 6
④ 7 ⑤ 8
16.zb16) 직각삼각형 ABC에서 BH⊥ AC, AB = 6cm,
BC = 8cm, BH = 4.8cm일 때, △ABC의 외접원의 지름의 길이를 구하시오.
① 6 cm ② 8 cm ③ 10 cm
④ 12 cm ⑤ 14 cm
※ 다음은 명제「선분 AB의 수직이등분선 위의 한 점 P는 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있다.」의 증명 과정을 적은 것이다.
[가정] AB의 수직이등분선과 AB의 교점을 M이라 고 하면,
PM⊥ AB, AM = BM [결론] PA = PB
[증명] △PAM과 △PBM에서 AM = ( ① ) ( ② )은 공통변
∠PMA = ( ③ ) = 90°
( ④ ) ( SAS 합동) ∴ PA = PB
17.zb17) ①에 알맞은 기호를 써 넣어라.
18.zb18) ②에 알맞은 기호를 써 넣어라.
19.zb19) ③에 알맞은 기호를 써 넣어라.
20.zb20) ④에 알맞은 기호를 써 넣어라.
21.zb21) 다음 설명 중 맞는 것을 고르시오.
① 둔각삼각형에서 내심은 삼각형의 외부에 있다.
② 예각삼각형에서 내심과 외심은 일치한다.
③ 직각삼각형에서 내심은 빗변의 중점에 있다.
④ 이등변삼각형에서 내심과 외심은 반드시 꼭지각의 이 등분선 위에 있다.
⑤ 삼각형이 원에 외접할 때, 그 원을 외접원 이라고 한 다.
22.zb22) ∠AOB의 내부에 있는 한점 P에서 두 변 OA, OB에 내린 수선의 발을 각각 C, D라고 할 때, PC = PD이면 점 P는 ∠AOB의 이등분선 위에 있음 을 증명하시오.
[가정] ∠AOB에서
AO⊥ PC, BO⊥ PD, PC = PD [결론] ∠POC = ∠POD
[증명]
※ 다음 그림과 같은 ∠BAC = 90°, AB = AC인 직각이등변 삼각형 ABC의 꼭지점 A를 지나는 직선 FG에 점 B, C로 부터 수선 BD, CE를 그었을 때, BD = 8, CE = 2이다.
23.zb23) 위의 그림에서 다음 빈칸을 알맞은 기호로 나타내시
오.
( ), ( ), ( )
∴ △ABD≡△CAE ( RHA 합동)
24.zb24) DE의 길이를 구하여라.
25.zb25) △ABC의 넓이는?
26.zb26) 다음 그림과 같이 ∠B = ∠E = 90°인 직각삼각형
ABC와 DEF가 있다. 다음 중 두 직각삼각형이 합동이 되지 않는 경우를 찾아라.
① AC = DF, ∠ C = ∠F
② AC = DF, AB = DE
③ AB = DE, BC = EF
④ AB = DE, ∠ A = ∠D
⑤ ∠A = ∠D, ∠C = ∠F
27.zb27) 그림에서 직선 OP는 ∠AOB의 이등분선이다.
OA⊥ PA, OB⊥ PB일 때, 다음 중 옳지 않은 것을 찾 아라.
① OA = OB ② OB = OP
③ ∠AOP = ∠BOP ④ ∠OPA = ∠OPB
⑤ △AOP≡△BOP
28.zb28) ∠AOB의 내부에 한 점 P에서 두 변 OA, OB 에 내린 수선의 발을 각각 C, D라고 할 때, PC = PD 이면 △COP≡△DOP임을 증명하기 위해서 이용한 합동 조건은?
① SSS합동 ② SAS합동 ③ ASA합동
④ RHA합동 ⑤ RHS합동
29.zb29) 다음 그림과 같이 ∠AOB의 내부에 있는 한 점 P
에 두 변 OA, OB에 내린 수선의 발을 각각 C, D라 고 할 때, PC = PD이면 점 P는 ∠AOB의 이등분선 위에 있음을 삼각형의 합동을 이용하여 증명하고자 한다.
이 때, △POC≡△POD가 되는 합동조건 세 가지를 골라 라.
① ∠POC = ∠ POD ② OP는 공통
③ OC = OD ④ PC = PD
⑤ ∠PCO = ∠PDO = 90°
30.zb30) <보기>의 직각삼각형들 중에서 서로 합동인 것을 모
두 골라라.
① (가), (다) ② (다), (마) ③ (나), (라)
④ (라), (바) ⑤ (나), (바)
31.zb31) 다음 그림에서 ∠C = 50°인 △ABC의 AB의 중
점을 M, AC와 BC에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 할 때, MD = ME이다. 이 때, 다음 중 옳지 않은 것은?
① △ADM≡△BEM
② △ABC는 이등변삼각형이다.
③ ∠x= 50°
④ AD = BE
⑤ ∠CAB = 65°
32.zb32) 다음 그림에서 AP = BP이고
∠OAP = ∠OBP = 90°, ∠APB = 120°일 때, ∠x의 크 기를 구하면?
33.zb33) 다음 직각삼각형들 중에서 (다)와 □가 합동이고,
(바)와 □가 합동이다. □안에 각각 알맞은 것을 차례대로 나열한 것은?
① (가), (라) ② (마), (라) ③ (가), (나)
④ (마), (나) ⑤ (가), (마)
34.zb34) 다음은 ∠ XOY의 이등분선 위의 한 점을 P라 하
고 P에서 OX, OY에 내린 수선의 발을 각각 A, B라고 할 때, PA = PB임을 증명하는 과정이다.
㉠ ~ ㉤에 들어갈 것으로 옳지 않은 것은?
△POA와 △POB에서 ∠POA = ( ㉠ ) …① ( ㉡ )은 공통 …②
( ㉢ ) = ∠OBP = 90° …③
①, ②, ③에 의해서 △POA≡△POB ( ㉣ 합동)
∴ ( ㉤ ) = PB
① ㉠ : ∠POB ② ㉡ : OP
③ ㉢ : ∠OAP ④ ㉣ :ASA
⑤ ㉤ : PA
zb35) 다음 그림에서 ∠C = 90°인 △CAB에서 x의 값은?
① 4 ② 5 ③ 6
④ 7 ⑤ 8
36.zb36) 다음 그림과 같이 직각이등변삼각형 ABC에서 직각
인 꼭지점 A를 지나는 직선 l에 점 B, C에서 내린 수 선의 발을 각각 D, E라 하자. 이 때, DE의 길이는?
① 15 cm ② 17 cm ③ 19 cm
④ 20 cm ⑤ 21 cm
37.zb37) 다음 그림의 두 직각삼각형이 서로 합동이 되는 조건 이 아닌 것은?
① AB = DE, BC = EF
② ∠A = ∠D, ∠ C = ∠F
③ AB = DE, AC = DF
④ AC = DF, ∠ C = ∠F
⑤ AB = DE, ∠ A = ∠D
38.zb38) 다음 그림에서 AB = BC = CD, AD = 2이다. 이
때 ∠A의 크기 x와 y의 길이를 구하여라.
39.zb39) 다음 그림과 같이 한 점 P에서 OX, OY에 내린
수선의 발을 각각 A, B라 할 때, PA = PB이면 OP는 ∠XOY의 이등분선임을 증명하려고 한다. 이 때 사용되는 삼각형의 합동조건은?
① RHS 합동조건 ② RHA 합동조건
③ SSS 합동조건 ④ SAS 합동조건
⑤ ASA 합동조건
40.zb40) 다음은 직각이등변삼각형 ABC의 직각인 꼭지점
A를 지나는 직선 l에 점 B, C에서 각각 수선 BD, CE를 내릴 때, AB = AC이고 BD = 7,
CE = 3일 때, DE를 구하면?
① 8 ② 9 ③ 10
④ 11 ⑤ 12
41.zb41) 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분
선과 AB의 수직이등분선이 BC 위의 점 N에서 만날 때, ∠ANB의 크기를 구하면?
① 110° ② 120° ③ 130°
④ 140° ⑤ 150°
42.zb42) 각의 이등분선위의 한 점에서 각의 양변에 내린 수선 의 길이는 같다는 명제를 △POH≡△POK임을 이용하여 증명하려고 한다. 두 삼각형이 합동인 이유 세 가지를 고 르면?
① PO는 공통변 ② ∠POH = ∠POK
③ OH = OK ④ ∠HPO = ∠ KPO
⑤ PH = PK
43.zb43) 다음의 증명 과정 중 밑줄 친 부분이 틀린 것을 고르
시오.
가정 : AO⊥ PC, BO⊥ PD, PC = PD 결론 : ∠POC = ∠POD
증명 : △CPO와 △DPO에서 (가) ∠PCO = ∠PDO =90° …① OP는 공통 … ②
(나) OC = OD … ③
①②③에 의해 (다) △CPO≡△DPO (라) (RHS직각삼각형합동조건에 의해 (마) ∠POC = ∠POD
∴점 P는 ∠AOB의 이등분선 위에 있다.
① (가) ② (나) ③ (다)
④ (라) ⑤ (마)
1) [정답] ∠AEC 2) [정답] CA 3) [정답] 90〫
4) [정답] ∠CAE 5) [정답] DE= 21cm
[해설] △ABD≡△CAE이므로 DA= CE, AE= BD이다.
따라서, DE= DA+ AE= CE+ BD= 21이다.
6) [정답] ⑤ 7) [정답] ③
[해설] △BME와 △CMF는 RHS조건에 의해 합동이 되므로
∠B와 ∠C는 같게 된다. 따라서 ∠B는 55°가 된다.
8) [정답] ① 9) [정답] ⑤
[해설] 1) △CAB는 AC= AB인 직각이등변삼각형이므 로, ∠C= ∠B= 45〫 이다.
2) △CDE는 ∠C= 45〫 , ∠CDE= 90〫 인 직각삼각형 이므로, ∠CED= 45〫 이다. 따라서, CD= ED인 직각 이등변삼각형임을 알 수 있다.
3) △ABE와 △DBE는
AB= BD, ∠EDB= ∠EAB= 90〫 , BE는 공통 이므 로,
서로 합동인 삼각형이다. ( RHS합동) 따라서, ∠EBA= ∠EBD= 1
2 ×45〫 = 22.5〫
∠BED= ∠BEA= 180〫 - 90〫 - 22.5〫 = 67.5〫 이 다.
4) ⅰ) ∠AED= 2×∠BEA= 2×67.5〫 = 135〫
ⅱ) △ABC는 이등변삼각형이므로, AC= AB △ABE≡△DBE이므로, AB= BD 따라서, AC= BD이다.
ⅲ) △ABE≡△DBE이므로, AE= DE이고, △CDB는
직각이등변삼각형이므로, DE= DC이다.
따라서, AE= DC이다.
10) [정답] ④
[해설] △BAD와 △ACE는 RHA조건에 의해 합동이므로 DA= CE이고 BD= AE가 된다. 따라서 DE는 10cm이 된다.
11) [정답] ∠B= 2x- 90°
12) [정답] ②
[해설] △ACD와 △BEC에서
DC= CE, ∠DAC= ∠CBE= 90〫 이고
∠DCA+ ∠CDA= ∠DCA+ ∠ECB= 90〫 에서
∠CDA= ∠ECB 이므로, △ACD와 △BEC는 합동인 삼 각형이다.
따라서, AC= BE, CB= DA이므로, AB= BC+ AC= DA+ EB=a+b
□ABED= 1
2 ×AB× (a+b) = 1
2(a+b)2 13) [정답] ③
14) [정답] 11
[해설] △ADB≡△BEC(RHA합동 )
AD= BE, BD= CE이므로 DE= 4 + 7= 11 이 된 다.
15) [정답] ③
[ 해 설 ]
△ABC= 240 = 1
2 × ( 34 + 30 + 16 )×r → r= 6 16) [정답] ③
[해설] 직각삼각형의 외접원의 지름은 빗변의 길이와 같다.
1
2 ×6×8 = 1
2 ×4.8×AC→ AC= 10 17) [정답] BM
18) [정답] PM 19) [정답] ∠PMB
20) [정답] △PAM ≡ △PBM 21) [정답] ④
22) [정답] △POC와 △POD에서 OP(공통), ∠PCO= ∠PDO= 90。
PC= PD(가정)이므로 △POC ≡ △POD (RHS합 동)
따라서 ∠AOP= ∠BOP이 된다.
23) [정답] AB= AC, ∠BDA= ∠AEC, ∠BAD= ∠ACE 24) [정답] 10
25) [정답] 50 26) [정답] ⑤ 27) [정답] ② 28) [정답] ⑤
[해설] 직각과 한 변 그리고 빗변을 이용한 삼각형의 합동을 보이는 것이므로 RHS합동을 이용한 것이다.
29) [정답] ②, ④, ⑤ 30) [정답] ②, ⑤ 31) [정답] ③ 32) [정답] 30。
[해설] △OAP≡△OBP (RHS합동)이므로 ∠APO=∠BPO= 60。이다.
따라서 ∠x= 180 - 60 -90 = 30。
33) [정답] ④ 34) [정답] ④ 35) [정답] ③ 36) [정답] ⑤ 37) [정답] ②
38) [정답] 45。, 2 39) [정답] ①
40) [정답] ③
[해설]
∠DAB를 a, ∠EAC를 b라고 하면 ∠ABD 역시 b가 된 다.(a+b=90° 이기 때문에) 마찬가지로 ∠ACE는 a가 된다.
따라서 △BAD와 △ACE는 합동이 되므로 CE= DA= 3 이고 DB= EA= 7이 된다.
41) [정답] ②
[해설]
△AMN과 △ACN은 합동이 되고 또한 △ANM과 △BNM도 합동이 된다. ∠A= 2a라 하면 ∠ABC=a이므로
2a+a= 90 → a= 30〫 이다.
따라서 ∠B와 ∠BAN은 30°이므로 ∠ANB는 120°가 된다.
42) [정답] ①, ②, ④ 43) [정답] ②