Restricted linear models of fixed-effects

2018, 29

3)

593–600

고정효과의 제한선형모형

ᄎ ᅬ재성¹

1계명대학교 통계학과

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 3ᄋ ᅯ ᆯ 12ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 5ᄋ ᅯ ᆯ 7ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 5ᄋ ᅯ ᆯ 9ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄇ

ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ ᄀ ᅩᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅭᄀ ᅪᄋ ᅴ ᄉ ᅥ ᆫᄒ ᅧ ᆼᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅡᄂ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮᄅ ᅩ ᄌ ᅮᄋ ᅥᄌ ᅵᄂ ᅳ ᆫ ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅴ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄎ ᅮᄅ ᅩ ᆫ ᄋ ᅦ ᄀ ᅪ ᆫ ᄒ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ ᄋ

ᅳ ᆯ ᄃ ᅡᄅ ᅮᄀ ᅩ ᄋ ᅵ ᆻᄃ ᅡ. ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅴ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄇ ᅮᄀ ᅪᄃ ᅬᄂ ᅳ ᆫ ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᆨᄋ ᅵ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅡᄂ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮᄃ ᅳ ᆯ ᄅ ᅩ ᄀ ᅮᄉ ᅥ ᆼᄃ ᅬ ᆯ ᄄ ᅢ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄋ ᅴ ᄎ ᅮᄅ ᅩ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄋ

ᅱᄒ ᅡ ᆫ Lagrange ᄇ ᅢᄉ ᅮᄇ ᅥ ᆸᄀ ᅪ ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᆨᄋ ᅵ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅦ ᄇ ᅧ ᆼᄒ ᅡ ᆸᄃ ᅬᄋ ᅥ ᄇ ᅧ ᆫᄒ ᅪ ᆫᄃ ᅬ ᆫ ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄅ ᅳ ᆯ ᄎ ᅮᄅ ᅩ ᆫ ᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼ ᄇ ᅥ

ᆸᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄌ ᅮᄋ ᅥᄌ ᅵᄂ ᅳ ᆫ ᄃ ᅮ ᄇ ᅮ ᆫᄉ ᅥ ᆨᄋ ᅵ ᄃ ᅩ ᆼᄋ ᅵ ᆯᄒ ᅡ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵ ᆸᄌ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡᄀ ᅩ ᄋ ᅵ ᆻᄃ ᅡ. ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅴ ᄆ ᅩᄉ ᅮ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅦ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄃ ᅮ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄌ ᅮ ᄋ

ᅥᄌ ᅵᄂ ᅳ ᆫ ᄆ ᅩᄉ ᅮ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄎ ᅵᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅡ ᇀᄌ ᅵ ᄋ ᅡ ᆭᄋ ᅳᄂ ᅡ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅡᄂ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮᄋ ᅴ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅡ ᆹᄋ ᅳ ᆫ ᄇ ᅮ ᆯᄇ ᅧ ᆫᄋ ᅵ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅩᄋ ᅧᄌ ᅮᄀ ᅩ ᄋ ᅵ ᆻᄃ ᅡ. ᄄ ᅩᄒ ᅡ ᆫ, ᄉ ᅥ ᆫᄒ ᅧ ᆼᄆ ᅩ ᄒ ᅧ

ᆼᄋ ᅦ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅴ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅮᄅ ᅩ ᄎ ᅮᄀ ᅡᄃ ᅬᄂ ᅳ ᆫ ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅡᄂ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮᄋ ᅵ ᆫ ᄀ ᅡᄋ ᅴ ᄑ ᅡ ᆫᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄉ ᅡᄋ ᅧ ᆼᄒ ᅢ ᆼᄅ ᅧ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆯ ᄉ ᅮ ᄋ ᅵ ᆻᄋ ᅳ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄂ ᅡ ᄐ

ᅡᄂ ᅢᄆ ᅧ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅡᄂ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮᄀ ᅡ ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᆨᄋ ᅦ ᄑ ᅩᄒ ᅡ ᆷᄃ ᅬ ᆯ ᄄ ᅢ ᄌ ᅡ ᆫᄎ ᅡᄋ ᅴ ᄇ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᆼ ᄅ ᅣ ᆼᄀ ᅪ ᄌ ᅡᄋ ᅲᄃ ᅩᄋ ᅴ ᄇ ᅧ ᆫᄒ ᅪᄅ ᅳ ᆯ ᄃ ᅡᄅ ᅮᄋ ᅥ ᆻᄃ ᅡ. ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅦ ᄉ

ᅥ ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᆨᄋ ᅦ ᄄ ᅡᄅ ᅳ ᆫ ᄇ ᅧ ᆫᄒ ᅪ ᆫᄃ ᅬ ᆫ ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅴ ᄒ ᅧ ᆼᄐ ᅢᄅ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄉ ᅵᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄋ ᅳᄆ ᅧ ᄀ ᅥ ᆷᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅡᄂ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅡᄉ ᅥ ᆯᄀ ᅥ ᆷᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅱᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮ ᆨ ᄉ

ᅩᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅳᄅ ᅩᄇ ᅮᄐ ᅥ ᄇ ᅧ ᆫᄒ ᅪ ᆫᄃ ᅬ ᆫ ᄎ ᅮ ᆨ ᄉ ᅩᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄉ ᅵᄒ ᅡᄀ ᅩ ᄉ ᅡᄋ ᅧ ᆼᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅡ ᆫ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄇ ᅮ ᆫᄉ ᅥ ᆨᄀ ᅧ ᆯᄀ ᅪᄀ ᅡ Lagrange ᄇ ᅢᄉ ᅮᄇ ᅥ ᆸ ᄋ

ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅧ ᆯᄀ ᅪᄋ ᅪ ᄃ ᅩ ᆼᄋ ᅵ ᆯᄒ ᅡ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄃ ᅡᄅ ᅮᄋ ᅥ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄉ ᅡᄋ ᅧ ᆼ, ᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ, ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅡᄂ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆷᄉ ᅮ, ᄎ ᅮ ᆨ ᄉ ᅩᄌ ᅦᄒ ᅡ ᆫᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ, Lagrange ᄇ ᅢᄉ ᅮᄇ ᅥ ᆸ.

1. 서론 ᄌ

ᅦ한모형 (restricted model)이란 자료를 분석하기 위한 선형모형에 포함된 모수벡터의 원소에 제한 (restrictions)이 주어진 모형을의미한다. 이러한 제한은정규방정식의 해를구하기 위한 목적으로 자주 ᄃ

ᅩ입되는 일반적인 제약식 (usual constraint)과는다르다고 Searle (1971)은지적한다. 제한식은모형 ᄋ

ᅴ 필수적 부분으로 생각되어 추정과 가설과정에서 고려되어야 한다는 점에서 차별화된다. 예를 들어 ᄀ

ᅩ정효과의 선형모형에서 처리에 따른효과들의 합이 0인관계를나타내는 식이 모형의 필수적 부분으 ᄅ

ᅩ 간주되어 모형에 포함되면 그 모형을제한모형이라 한다. 제한식은모형과관련되어 있고 모형의 모 ᄉ

ᅮ 간의관계를포함하고 있으나 제약식은 단순히 정규방정식의 해를얻기 위해 부과되는해의관계를 ᄂ

ᅡ타낸다.

Searle은 고정효과모형에서 모수들의 관계에 어떤 제한도 두고 있지 않은 모형을 무제한 모형 (un- restricted models)이라 하고 자료분석에 있어 제한모형과의 차이점을다루고 있다. 자료분석 모형으로 ᄉ

ᅥᆫ형모형이 가정되고 추정가능함수가 제한식으로 모형에 필수적으로 포함되면 분석모형은 제한모형으 ᄅ

ᅩ 주어진다. 추정가능함수에 관한 논의는 Milliken과 Johnson (1984), Montgomerry (1976) 그리고 Choi (2012, 2013) 등에서 보여진다. Graybill (1976)은추정가능함수와 검정가능함수에 관련된 많은 서

ᆼ질들에 대해 자세히 다루고 있다. 고정모형의 모수들의관계에 제약이 부과되는제한모형은모수들의 ᄎ

ᅮ정가능함수로 주어지는경우와 그렇지 않은경우로 구분된다. 추정가능하지 않은함수들로 제약이 주 ᄋ

ᅥ지는제한모형은무제한 모형의 분석과 동일한 잔차제곱합을갖게 되나 추정가능함수들로 제약이 주

1

(704-701) ᄃ ᅢᄀ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄃ ᅡ ᆯᄉ ᅥᄀ ᅮ ᄉ ᅵ ᆫᄃ ᅡ ᆼᄃ ᅩ ᆼ 1000ᄇ ᅥ ᆫᄌ ᅵ, ᄀ ᅨᄆ ᅧ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ. E-mail: [email protected]

ᄋ

ᅥ지는제한모형은모수의 추정과 분산분석에 있어 영향을주고 있기 때문에 분석에 있어 신중이 기해져 ᄋ

ᅣ 한다.

ᄎ

ᅮ정가능하지 않은함수들로 부과된제한모형에서 추정이 가능한 함수는제한이 주어지지 않은무제 ᄒ

ᅡᆫ 모형에서 추정이 가능하지 않을수 있다. 무제한 모형에서 추정가능한 함수들은제한모형에서도 추 저

ᆼ가능하나 제약에 의해 함수가 변형될 수 있다. 제약들이 추정가능함수를 포함하고 있지 않기 때문 ᄋ

ᅦ 추정가능함수의 변형형태가 제한모형에서는추정가능해도 무제한 모형에서는추정가능하지 않은함 ᄉ

ᅮ가 될수 있다. 따라서 무제한 모형에서 추정가능하지 않은 함수들이 제한 모형에서 추정가능함수가 되

ᆯ수 있다. 가설검정에서도 마찬가지로 무제한 모형에서 검정가능한 (testable)가설은제한모형에서도 거

ᆷ정가능하다. 그러나 제약식이 적용되면 제한모형에서 검정가능해도 무제한 모형에서는검정가능하지 ᄋ

ᅡ

ᆭ은가설로 변화될수 있다.

보

ᆫ 논문은자료의 분석모형으로 고정효과의 제한모형을가정하고 제한식이 추정가능함수로 주어지는 겨

ᆼ우와 그렇지 않은경우로 구분하여 모수의 추정과 가설검정에 미치는영향을비교해 보고자 한다. 제 ᄒ

ᅡᆫ식이 추정가능함수인 가에 대한 판단은제한모형을자료분석에 이용할 때 모수의 추론에 있어 중요한 무

ᆫ제이다. 자료분석의 선형모형에 부과되는제한식이 추정가능함수들인 가를판단하기 위해 제한이 주 ᄋ

ᅥ지지 않은무제한 모형의 모형행렬과관련된고유근과 고유벡터를이용하여 추정가능한 함수들의 공 ᄀ

ᅡᆫ을규명하는방법을다루고자 한다.

2. 제한모형 ᄌ

ᅦ한모형에 대한 논의를단순화하기 위하여 a개의 수준을갖는요인 A가 개체의 반응 y에 영향을미 ᄎ

ᅵ는 일원분류의 ANOVA모형을고려한다. 요인 A의 a개 수준이 고정되고 수준 i가 ni개 개체들에 임 ᄋ

ᅴ로 배정되어관측이 행해질 때 수준 i에서 j번째관측값을 yij라 두면 n = n1+ n2+ · · · + na개의 불 ᄀ

ᅲᆫ형 자료에 대한 분석모형은다음과 같다.

yij= µ + αi+ ϵij, (2.1) ᄃ

ᅡᆫ, µ는 개체의 평균반응이고 αi는 요인 요인 A의 i번째 수준효과이고 ϵij는 오차항을 나타낸다. 식 (2.1)은모형식에 아무런 제한이 없는모형이다. 식 (2.1)의 모수 간에 어떤관계를나타내는 식이 부여 ᄃ

ᅬ면 그 식을제한식이라 부르고 제한식을갖는모형은제한모형으로 정의된다. 식 (2.1)에 제한식으로 Pa

i=1αi= 0을추가하면 다음의 제한모형을갖게된다.

yij= µ + αi+ ϵij, (2.2)

a

X

i=1

αi= 0.

시

ᆨ (2.2)에서 모수 간의관계를나타내는제한식은 식 (2.1)에서 모수들의 한 선형함수인Pa i=1αi를 ᄋ

ᅵ용한 식이다. 추정가능함수에 관한 판단은 모수들의 한 선형함수가관측벡터 y의 기댓값의 어떤 선 혀

ᆼ함수와 동일하다면 추정가능한 함수의 정의를이용한다. 즉, 어떤 벡터 t^′에 대해 t^′E(y) = r^′β이 ᄆ

ᅧᆫ r^′β는추정가능함수임을의미한다. 식 (2.2)의 제한식에 이용된µ와 αi들의 선형함수 Pa

i=1αi에서 r^′은 1개의 0과 a개의 1을성분으로 갖는 행벡터 (0, 1, 1, · · · , 1)이고 β는 (µ, α1, α2, · · · , αa)^′인 열벡터 ᄋ

ᅵ다. 식 (2.2)의 일반적인 형태를 행렬로 표현하면

y = Xβ + ϵ, (2.3)

R^′β = δ