제6장. 유전체및정전용량유전체및정전용량

제6장. 유전체 및 정

전용량

6.1 유전체의 성질

자유전하 : 전도율 결정

속박전하(bounded charge) : 원자력, 분자력에 의해 속박

 전계 : 전하 변위

극성 분자 (Polar molecular) : 양과 음전하 중심 사이에 영구적인 변위 존재

⇒쌍극자 존재

무극성 분자 (nonpolar molecular) : 전기장에 의해 변위 형성 ⇒쌍극자

• 분극(polarization) 쌍극자 모멘트

분극 : 단위체적 당 쌍극자 모멘트

d Q

p 

 =

d



∑

= ⁿ

i

i

total p

p

1





∑

→

∆ ∆

= ⁿ

n

pi

P

0 1

lim 1 



υ

υ 단위:Coulomb/m²

( : 음전하에서 양전하까지 변위 벡터) m

Coulomb

: ⋅

단위

• 속박 전하를 포함하는 가우스 법칙

분극에 의한 미소 면적 의 속박 전하

(n : 단위 체적당 분자수)

폐곡면 내 속박 전하의 순 증가량 (유전체 내)

속박 전하와 자유전하에 의한 가우스 법칙

,

S

∆ S d

nQ

Q_b  

∆

⋅

=

∆

S P 

∆

⋅

=

∫

−

= S

b P dS

Q  

∫

∫

∫

⋅ +

⋅

=

−

=

+

=

⋅

=

S b S

T b T

T

S d P S

d E Q

Q Q

Q Q

Q

S d E Q













0 0

) (

ε ε

∫

∫

= S E P dS SD dS )

(ε₀ ^{D =}ε0^{E +P}

(일반적인 경우에 대한 정의)

• 미분형

• 강유전체 : 와 사이에 이력 효과 (hysteresis effect)

• 선형관계

• : 전화율 (Electric susceptibility)

(유전상수)

(유전율 : permittivity)

ρυ

ρ ε

ρ

=

⋅

∇

=

⋅

∇

−

=

⋅

∇ D

E P

T b













0

P

E E P 

χε0

=

χ

E E

D  

0

0

χε

ε

=

E E

K

E  

ε ε

ε

χ

= ( 1) _{0 0}

0

1 ε ε

χ K K _e

=

+

=

dv Q ⁼

∫

⇐ ρ_υ

) :

(K = ε_R 우리교과서

• 이방성 유전체

( : 3×1행렬)

=

• 가우스 법칙 미분형, 적분형

E D 

ε

= ^D,E

z y x

D D D

zx yx xx

ε ε ε

zy yy xy

ε ε ε

zz yz xz

ε ε ε

z y x

E E E

∫

=

⋅

∇

S D dS Q

D 







ρυ

p180, 예제 5.4 (경계조건)

5.4 경계 조건 (free space 와 도체)

• 접선성분

미소 폐곡선 abcda를 4개의 적분으로 나눔

∫

∫

∫

∫

∫

c c b b a

0 0

2 0 1 2

1

=

→

=

∆

→

=

∆

⋅ +

∆

−

∆

→

t t

N N

t

E E

h E

h E

E ω

ω 도체내: E = 0

• 원통 3면의 적분으로 나눔

∫

∫

∫

S N

S N

D

S Q

S D

ρ

ρ

=

→

∆

=

=

∆

⋅

= 0

= _t

t E

D

S N

N E

D = ε₀ = ρ

⇒

법선성분

가우스 법칙 D dS Q

s ⋅ =

∫

P167.예제 5.2

5.5 전기 영상법 (image method)

 전하 가까이에 도체가 있는 경우 전계는 ?

두 전하 중앙에 있는

무한평면 V=0 도체와 점전하 전계와 동일

 영상을 고려

전하 영상

X=0, z=3; ρ

= 30 nC/m

P (2, 5, 0) 표면 전하밀도는 ?

R o

L

a

E R

πε ρ

= 2

선전하에 의한 전계

13 3 2

13 2

10 30

2

9

z x

o R

o

L a a

R a

E = = × ⁻ × −

+

+

πε πε

ρ

13 3 2

13 2

10

30 ⁹ x z

o

a E₋ = − × ⁻ × a +

πε

a

E E

E =

+

= − 249

nC/m

20 .

− 2

=

=

= E

D

ρ

ε

응용예제 5.6

5.6 반도체  에너지 갭 : ~ 1 eV

• 진성반도체 (instrinsic semiconductor) Ge, Si ; 전자, 정공

h h e

eµ ρ µ

ρ

σ = − +

불순물 도핑

도너(donor)첨가 : n-형 반도체

억셉터(acceptor)첨가 : p-형 반도체 025 . 0

12 . 0

=

=

h e

Si µ µ

17 . 0

36 . 0

=

=

h e

Ge µ µ

 금속 (10^-3) 보다 10 – 100 배큼

증가 배

는

도너농도: 1/10⁷ ⇒σ 10⁵ Si

응용예제 5.7 단위 : Siemens/meter (S/m)

SI 단위 : mho/m

5.8 완전 유전체 경계조건

O 유전체-유전체 경계

• 접선 성분

두 공간 유전율 :

( : 폭 , h 0 : 높이 , : 접선성분)

(접선성분이 연속이 아님)

2 1,ε ε

∫

2 0

1 ⋅∆

ω

ω

t E

E

ω

∆ E_t

2

1 t

t E

E =

→

2 1 2

1 2

2 2 1

1

1

ε

ε ε

ε

=

t t t

t

t D

E D D

E D

• 법선성분

(측면 길이 충분히 작게)

(E 법선성분이 연속이 아님)

S Q

S D

S

D_N1 ⋅∆ − _N2 ⋅∆ = ∆ =

ρ

S N

N D

D ₁ − ₂ = ρ

2

0 _N1 _N

S = → D = D

ρ

2 2 1

1EN ε EN

ε =

경계조건의 벡터적 해석

법선과 각도가 각각 θ₁,θ₂

2 1 2

2

1 1

2 1

2 2

2 1

1 1

sin sin

cos cos

ε ε θ

θ

θ θ

=

=

=

=

= D

D D

D

D D

D D

t t

N N

2 1 2

1 2

2 1 1

1

2 tan

sin tan

sin ε

ε θ

θ θ ε

θ

ε D = D → =

1 2 2

2 1 1

2 1

2

1 2 2

1 2 1

2 1

2

cos )

( sin

sin ) ( cos

ε θ θ ε

ε θ θ ε

+

=

+

= E E

D D

도체- 유전체 경계 도체 내에서

E D

L d E

D E













ε

=

=

⋅

=

=

∫

0

S N

N

t t

E D

E D

ρ ε =

=

=

= 0

P185, 예제 5.5

도체 내 전하분포

⇒ (연속 방정식)

(time constant, 시상수) (증류수)

J t E J

∂

− ∂

=

⋅

∇

=

ρυ

σ







D t E t

∂

− ∂

=

⋅

∇

∂

− ∂

=

⋅

∇

υ υ

ρ ε

σ σ ρ





D t

∂

− ∂

=

⋅

∇

→ ρ^υ

σ ε



τ ε

υ σ υ υ

ρ ρ

ρ

ρ σ ρ ε

/ 0 )

/ ( 0

t

t e

e t

−

− =

=

→

∂

− ∂

=

→

σ ε τ = /

µs 54 .

≈ 3

p188, 예제 5.9

5.9 정전용량

• 유전체 내 2개의 도체 에 전하 –Q와 +Q 주입

• 정전용량(Capacitance)

(V : 단위 양전하를 음전하로부터 양전하 도체로 이동 하는 데 필요한 일)

단위 : farad , 1F=1C/Volt

2 1, M M

V C ≡ Q

∫

∫

+

− ⋅

−

= ⋅

L d E

S d E

C ^S  

 ε

F

• 평행 도체판

아래판 경계조건

위판 경계조건

전위차

전하

z S

z S

a D

a E

ˆ ˆ

ρ ε ρ

=

=





S z

N D

D = = ρ

z

N

D

D = −

dz L

d E

V d

lower s

upper

∫

∫

−

= ⁰

ε ρ



 ^S d

ε

= ρ

d S V

C Q S Q _S

ε ρ

=

=

→

=

p192, 예제 5.6

5.10 정전용량

① 동축 케이블

내측 반지름 : a 외측 반지름 : b 길이 : L

② 동심 도체구곽 (shell) (b>a)

L Q

a V b

L L

ρ πε ρ

=

= ln

2

2

a b C

πε

=

→

b a

V C Q

b a

V Q

r E Q

zb ab

r

/ 1 /

1 4

1 ) ( 1

4

4

= −

=

−

=

=

πε πε

πε

③ 단일 도체구

부분을 인 유전체로 채운 경우

a C

b

πε

= 4

∞

→

0 ≤ r ≤ r1 ε =ε₁

2 1

2

4 4

r E Q

r D Q

r r

πε π

=

=

2

4 0r Q

= πε ( )

) (

1

1

r r

r r a

<

<

<

∫ ∫

∞ = − −

− ^a

r

r

a r

Qdr r

V Qdr V

1

1

2 0 2

1 4

4πε πε ^]

) 1 1 (1

[ 1

4 ₁ a r_{1 0}r² Q

ε ε

π ^{− +}

=

1 0 1

1

) 1 1 (1

1

4

r r

a C

ε ε

π +

−

=

④ 다층 평행판

5.11 평행도선 정전용량

) (

_{1 1 2 2}

2 1

2 2 1

1 0

E E

D D

d E d

E V

N

N = ε = ε

+

=

2 2 1

1 0 1

1 1

2 1 2 1

0

1 ( / )

ε ε

ε ρ

ε ε

d d

E V D

d d E V

S = = = +

= +

S d S

V d S V

C Q ^S

2 2 1

1

1 ε ε

ρ

+

=

=

=

2 1

1 1

1 C C +

=

2 1

1 / 1

1 C = C + C

p197, 예제 5.12