운동량 보존법칙을 활용한 질량에너지 등가원리에 대한 학습자료 제작 및 활용
박재성·이준혁·이인성·신유준·황동규·이재복 (금산고등학교, 공주중학교)
A Development and Application of Mass-Energy Equivalence Learning Material Including Momentum Conservation Law
Jae-Sung Park·Jun-Hyeok Lee·In-Sung Lee·Yu-Jun Shin·Dong-Gyu Hwang·Jae-bok Lee (Geumsan High School, Gongju Middle School)
Abstract: In this study, the interpretation of Max Born's Einstein's Theory of Relativity, which was written in 1965, was reorganized and interpreted to understand the high school physics I. Based on this, by using the law of momentum conservation, Einstein's Machine experimental apparatus and learning materials were produced. By comparing the momentum conservation experiment using Einstein's Machine and the thought experiments of Einstein's Box, we induced at the high school physics I and had students realize the physical meaning. The effects of the educational materials produced by interviewing learners before and after input of experimental devices and learning materials were examined.
Key words: special relativity theory, mass-energy equivalence, momentum conservation,
, thought experiment
Ⅰ. 서론
1. 연구의 필요성
아인슈타인처럼 지구상의 모든 사람들에게 널리 알려진 유명한 과학자는 드물 것이 다. 그리고 이라고 하는 에너지와 질량의 등가원리도 물리학을 전공하지 않은 사람들 도 잘 알고 있는 유명한 식이다. 또한 2009 개정교육과정부터 현 2015 개정교육과정까 지 고등학교 물리학I에서 특수상대성이론에 대한 내용이 포함되면서 우리에게 더 가깝 게 다가왔다 (교육부, 2009, 2015). 그러나 유명한 과학자와 이론만큼 모든 사람들이
특수상대성이론의 기초 개념에 대한 이해도가 높은 것은 아니며 (김영민 외, 2014), 특수상대성이론에 대해 다양한 교육 방법의 필요성도 요구되고 있다 (권재술, 김중복, 2013).
현재 한국의 고등학생들은 물리학I에서 특수상대성이론에 대해 배운다. 하지만 이들 이 배우는 내용은 시간 지연, 길이수축, 질량결손에 의한 에너지 생성 등 주로 특수상 대성이론의 효과에 대한 내용이다 (교육부, 2015). 특히 질량에너지 등가원리의 경우 앞서 배운 운동량 보존과의 연관성 보다 상대론적인 현상에 대해 주로 다루고 있어 Max Born의 특수상대성이론 (Max Born, 1965)에 대한 해석에서 중요하게 다루었던 의 물리적 의미가 학생들에게 전달되지 못하고 있다. 실제로 특수상대성이론과 관련하여 출제되는 학교 시험과 모의고사 시험에서 특수상대성이론의 결과적인 현상을 다룬 문 제들이 주로 출제되기 때문에 학생들도 물리적 의미에는 관심이 없이 특수상대성이론 의 결과적인 현상에 대해 암기 위주로 공부하는 내용과 그 방식에 대한 개선이 필요하 다.
2. 연구의 목적
본 연구자들은 특수상대성이론에서 의 물리적 의미를 고등학생 수준에서 이 해하기 쉽도록 Max Born의 특수상대성 이론 (Max Born, 1965)의 해석에서 소개된 사고 실험(thought experiment)을 재해석하여 원리를 쉽게 구현할 수 있는 실험 장치를 제 작하고자 한다. 그리고 운동량 보존 법칙을 활용하여 을 유도하고, 일반 고등 학생들도 쉽게 이해할 수 있도록 학습자료를 만들어 그 효과를 알아보고자 한다.
그리고 특수상대성이론에서 제시한 질량-에너지 등가원리에 대해 일반 고등학생 수 준에서 이해할 수 있도록 실험 장치와 학습자료를 제작하여 어려운 수식과 깊이 있는 이해가 필요한 의 물리적 의미에 대한 이해에 기여할 수 있기를 기대한다.
Ⅱ. 연구 방법
1. 이론적 배경1) 중력질량의 측정 ( )
물체에 작용하는 중력과, 표준인 물체에 작용하는 중력의 크기를 비교할 때, 그 물 체랑 표준인 물체에는 똑같은 크기의 중력가속도가 작용하므로, 동일한 크기의 중력이 작용한다면 물체의 질량과 표준인 물체의 질량은 같다. 이렇게 해서 측정한 질량을 ' 중력질량'이라고 한다 (Halliday & Resnick, 1996).
2) 관성질량의 측정 ( )
물체에 일정한 힘을 가했을 때, 그 일정한 힘과 그 물체에 가해지는 모든 종류의 힘 -예를 들면 공기속이라면 공기와의 마찰에 의해 생기는 저항력, 어떤 표면에서라면 표 면에 의해 생기는 마찰력을 고려한 합력인 알짜 힘에 의해 그 물체는 가속운동을 하게 된다. 만약 이 물체가 어떤 관성계 내부에 존재한다고 하면, 그 관성계 전체가 가속도 가 인 가속운동을 하게 되면, 그 물체가 관성계 내부에서 처음의 운동 상태를 유지하 려는 '관성'에 의해 관성력을 받는다.
여기서 관성계의 질량을 , 물체의 질량을 , 관성계가 가속 운동하는 가속도를 라고 하면, 관성계 내부에 있는 물체가 관성계의 가속운동 때문에 그 물체가 받는 관 성력은 관성계가 움직이는 방향과 정반대 방향이며, 그 크기는 물체의 질량에 관성계 의 가속도를 곱한 것과 같다. 이 때 관성계에 작용하는 가속도를 측정하게 되면 관성 계 내부에 있는 물체에 작용하는 관성력의 크기를 알 수 있다. 이렇게 해서 측정한 물 체의 질량을 가리켜서 '관성질량'이라고 한다 (Halliday & Resnick, 1996).
3) 운동량 보존
질량 , 속도 인 입자의 운동량은 질량과 속도의 곱으로 정의한다. 운동량을 라 하 면, 이다. 두 개의 입자가 상호 운동을 할 경우에 두 입자의 총 운동량은
이 된다. 이처럼 총 운동량은 각 입자의 운동량의 합으로 구할 수 있다. 중력 장 밖에서 두 개의 물체 사이에 힘이 작용하면, 뉴턴의 제 3법칙에 의해 두 힘은 언제나 크기는 같고 방향은 반대가 되고, 각 입자에 작용하는 힘은 운동량의 변화와 같으므로, 두 물체의 운동량의 변화는 같고 방향은 반대가 된다. 결국 운동량의 변화는 0이기 때문 에 총 운동량은 보존된다고 할 수 있다. 총 운동량의 시간적 변화율을 구해보면,
--- (1)
이고, 두 물체 사이에 작용하는 힘을 , 로 하면, 뉴턴의 제 2법칙에 의해,
--- (2)
이다. 뉴턴의 제 3법칙에 의해 이므로,
--- (3)
을 얻을 수 있다. 따라서 총 운동량의 시간에 따른 변화율은 0이다.
이를 통해, 계의 외력의 벡터 합이 0인 경우에는 언제나 계의 총 운동량은 일정하다는 것을 알 수 있다.이것이 운동량 보존법칙이다. 이 원리를 유도하기 위해 뉴턴의 제 2법칙 을 사용했으므로 관성계에서만 통용될 수 있다 (Halliday & Resnick, 1996).
4) 질량-에너지 등가원리
질량–에너지 등가원리는 모든 질량은 그에 상당하는 에너지를 가지고 그 역 또한 성 립한다는 개념으로, 1905년 Einstein이 발표하였다. 특수상대성이론에서 다음과 같이 질량-에너지 등가식으로 나타낸다. [:에너지, :질량, : 진공 속의 빛의 속도]
이 공식에서 질량은 특수상대성이론에서의 두 가지 정의를 모두 적용할 수 있다. 질량 을 정지질량이라고 하면 에너지는 정지상태의 에너지라 불리고, 질량이 상대론적 질량 이라면 에너지는 전체의 에너지이다.
어떤 힘으로 물체를 이동시켰을 때 일을 했다고 하면 에너지가 된다. 따라서 에너지 는 힘을 이동거리에 대하여 적분하면 구할 수 있다. 여기에서 힘은 운동량을 시간으로 미분한 값이므로,
--- (4)
상대론적 운동량으로 에 대해 정리하면,
--- (5)
식(5)의 를 식(4)에 대입하여 정리하면, 식(6)의 상대론적 에너지를 유도할 수 있다 (Kittel, Knight, Ruderman, Helmholz, Moyer, 1995).
--- (6)
2. 연구방법 및 절차
1) 특수상대성이론에 대한 MaxBorn의 해석 분석
그림 1과 같이 길이가 이고, 질량이 인 상자에서 의 에너지를 갖는 빛이 상자 의 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝으로 진행하는 상황을 가정해보면, 빛이 오른쪽 끝에 도달할 때 상자는 반대 방향으로 만큼 이동하게 된다. 왜냐하면 빛이 갖는 운동량에 의해 상자는 반대 방향으로 움직이기 때문이다. 이때 상자가 갖게 되는 속도를 라고 하면,
→
--- (7)
로 구할 수 있다. 빛의 진행시간은
--- (8)
이고, 상자가 움직인 거리는
--- (9)
이다. 운동량 보존에 의해 질량중심은 움직이지 않았기 때문에
--- (10)
이다. 식(10)에 식(9)에서 구한 를 대입하면
→ --- (11)
이다 (Max Born, 1965).
그림 1. Einstein’s Box
2) 실험장치 설계 및 제작
Einstein’s Box 사고실험을 직접적인 실험을 통해 확인해 볼 수 있도록 그림 2와 같이 바퀴가 달린 상자에 진자를 장착하여 Einstein’s Machine을 설계하였다.
그림 2. Einstein’s Machine 설계
설계를 바탕으로 그림 3과 같이 여러 가지 형태의 Einstein’s Machine을 제작하였 다. 단순한 형태의 Einstein’s Machine I에서 추의 길이를 길게 만든 Einstein’s Machine II, 추를 순간적으로 멈출 수 있게 만든 Einstein’s Machine III, 바퀴 대신 곡면을 이용한 Einstein’s Machine IV로 개량하였다.
Einstein’s Machine I Einstein’s Machine II
Einstein’s Machine III Einstein’s Machine IV 그림 3. 제작한 4가지 Einstein’s Machine
3) 질량-에너지 등가원리 학습자료 제작
제작한 Einstein’s Machine을 이용하여 Einstein’s Box 사고실험을 하고, 운동량 보존법칙을 이용하여 질량-에너지 등가원리를 이해할 수 있도록 그림 4와 같이 학습자 료를 제작하였다.
그림 4. 질량-에너지 등가원리 학습자료
Ⅲ. 연구 결과 및 고찰
1) Einstein’s Machine을 이용한 실험결과 및 물리적 의미
중심점 중심점
↔
그림 5. Einstein’s Machine 실험결과
그림 5와 같이 수레 안에 있는 추를 왼쪽으로 당겼다가 놓게 되면 추가 오른쪽으로 진행하면서 수레는 추의 이동 방향과 반대 방향인 왼쪽으로 진행하게 된다. 이것은
의 에너지를 갖는 추는 추의 출발점에서 끝점으로 에너지를 전달한 것이고,
의 질량을 갖는 수레는 수레의 출발점에서 끝점으로(추의 움직임과 반대)
의 질량을 전달한 것이다. 추를 빛(광자)라고 생각하면, Einstein’s Box 사고실험과 동일하게 직접 실험 을 할 수 있게 된다. 따라서 수레의 길이가 이고, 질량이 , 추(광자)의 에너지를 라 고 가정해보면, 추(광자)가 오른쪽 끝에 도달할 때 수레는 반대 방향으로 만큼 이동하 게 된다. 왜냐하면 추(광자)가 갖는 운동량에 의해 수레는 반대 방향으로 움직이기 때 문이다. 이때 수레가 갖게 되는 속도를 라고 하면, <III-1>에서 유도한 것처럼
→
--- (7)
로 구할 수 있다. 빛의 진행시간은
--- (8)
이고, 박스가 움직인 거리는
--- (9)
이다. 운동량 보존에 의해 질량중심은 움직이지 않았기 때문에
--- (10)
이다. 식(10)에 식(9)에서 구한 를 대입하면
→ --- (11)
이다.
이 실험을 통해 작용-반작용의 법칙, 운동량 보존 법칙이 성립하며, 질량중심은 움직이 지 않는다는 시각화하여 설명할 수 있고, 물리학 법칙은 보편적으로 적용이 가능 하다는 것을 확인할 수 있었다. 그리고 <II-3>에서 유도한 것처럼 복잡한 수학적인 과정을 거치지 않아도 고등학교 물리학I에서 학습한 내용을 이용하여 충분히 이라는 것을 증명할 수 있다는 것을 확인할 수 있었다. 즉, 운동량 보존 법칙을 이용하여 질량-에너지 등가 원리를 증명할 수 있었다.
2) 질량-에너지 등가원리 학습자료 활용도 검증
표 1과 같이 질량-에너지 등가원리에 대한 학습자료의 활용도를 검증해보고자 물리 학I에서 운동량 보존 및 특수상대성이론에 대해 학습한 OO고등학교 2학년 학생 42명 을 대상으로 사전·사후 설문조사를 진행했다. 설문조사의 내용은 상대성 이론에 대한 학습자의 이해도를 파악할 수 있는 설문을 참고하였다(Kaur, Blair, Moschilla, Stannard, Zadnik ,2017). 운동량 보존과 상대성 이론의 효과, 질량-에너지 등가 원리 등 총 5문항으로 구성하였다. 표 2와 같이 교과시간에 운동량 보존과 특수상대성이론 에 대한 수업이 끝나고, 사전설문을 진행했을 때에는 전체적으로 이해도가 낮게 조사 되었다. 그러나 제작한 실험기구와 학습자료를 이용하여 학생들이 질량-에너지 등가원 리에 대해 학습하게 한 후 사후설문을 진행했을 때에는 중·하위 그룹의 학생수가 감소 하고, 상위그룹의 학생수가 증가되어 전체적으로 이해도가 향상되었음을 알 수 있었다.
표 1. 특수상대성 이론에 대한 사전·사후 설문조사 결과(N=42)
문항 설문내용 설문
시기
이해도
90%이상 80~89% 70~79% 60~69% 60%미만
1 운동량 보존 사전 9 9 11 8 5
사후 13 7 12 6 4
2 상대성이론 효과 사전 13 8 10 6 5
사후 14 9 9 6 4
3 질량 에너지의 등가성 사전 3 3 5 17 14
사후 9 9 9 9 6
4 상대성이론과 운동량보존의 관계 사전 6 9 7 12 8
사후 12 13 8 5 4
5 상대성이론의 물리적인 의미 사전 5 7 6 15 9
사후 14 8 10 5 5
표 2. 특수상대성 이론에 대한 이해도 변화 비교
문항 설문내용
이해도
상 (80% 이상) 중 (60 ~ 80%) 하 (59% 이하) 사전 사후 변화 사전 사후 변화 사전 사후 변화
1 운동량 보존 18 20 +2 19 18 -1 5 4 -1
2 상대성이론 효과 21 23 +2 16 15 -1 5 4 -1
3 질량 에너지의 등가성 6 18 +12 22 18 -4 14 6 -8
4 상대성이론과 운동량보존의 관계 15 25 +10 19 13 -6 8 4 -4
5 상대성이론의 물리적인 의미 12 22 +10 21 15 -6 9 5 -4
Ⅳ. 결론
본 연구에서는 1962년에 집필하고, 1965년에 개정된 MaxBorn의 Einstein’s Theory of Relativity에서 해석한 내용을 고등학교 물리학I 수준으로 이해할 수 있도 록 새롭게 정리 및 해석하였다. 그리고 이것을 바탕으로 운동량 보존법칙을 활용하여 질량-에너지 등가원리 Einstein’s Machine 실험장치와 학습자료를 제작하였다.
Einstein’s Machine 실험장치를 이용한 운동량 보존 실험과 Einstein’s Box의 사고실 험을 비교하여 고등학교 물리학I 수준에서 을 유도하고, 물리적 의미를 깨달을 수 있게 하였다. 2009개정교육과정에서 고등학교 과정에 처음으로 등장한 특수상대성 이론이 2015개정 교육과정에서도 다시 강조되면서 학생들이 물리학을 공부하는데 있 어 필수적인 내용으로 자리를 잡고 있다. 선배 연구자들의 노력으로 특수상대성이론에 대한 다양한 교육방법들이 제안되어 상대론적 효과에 대한 교육방법과 자료가 풍부하 지만 질량-에너지 등가성에 대해서 고등학생들도 쉽게 이해할 수 있도록 도움이 될 수 있는 교육자료는 부족하였다. 따라서 본 연구자료가 의 물리적 의미를 전달하 고 보충학습 자료로 활용하는 데 도움이 되길 바란다. 끝으로 자료의 검증에 있어 시 간과 공간의 제한점 때문에 OO고등학교 2학년 학생들에게만 적용하였으나 물리학I을 배운 다른 학생들에게도 적용하여 본 자료의 효과를 추가적으로 검증해보는 것도 필요 하겠다.
참고문헌
교육과학기술부(2009). 교육과학기술부 고시 제2009-41호, 과학과 교육과정.
교육부(2015). 교육부 고시 제2015-74호, 과학과 교육과정.
김성원(2011). 시공간 그림을 활용한 특수 상대성 이론의 지도. 현장과학교육, 5(2), 65-72.
김성원(2012). 새 물리교육과정에서 상대성 이론의 교육 방향. 물리학과 첨단기술, March, 5-7.
김재권, 김영민(2011). 중등학생의 특수상대론 학습에서 VR과 사건도표를 이용한 수업 방법의 제안. 과학교육연구지, 35(2), 283-294.
김재권, 정진규, 김영민(2014). 심층 면담을 통한 고등학생들의 특수 상대론 기초 개 념에 대한 이해 수준 분석. 과학교육연구지, 38(3), 569-584.
권재술, 김중복(2013). 특수상대론 교육의 특수성. 현장과학교육, 7(3), 203-211.
하상우(2018). 2009 및 2015 개정 교육과정 고등학교 물리교과서의 특수상대성 이론에 대한 서술 분석. 새물리, 68(10), 1069-1080.
Kittel, C., Knight, W. D., Ruderman, M. A., Helmholz, C. A., & Moyer, B.
J.(1995). Mechanics (2nd edition). New York: McGraw-Hill Book Company.
Halliday, D., & Resnick, R.(1981). Fundamentals of Physics (2nd edition). New
Hersey: John Wiley & Sons Inc.
Kaur, T., Blair, D., Moschilla, J., Stannard, W., & Zadnik, M.(2017). Teaching Einsteinian physics at schools: Part 1, models and analogies for relativity.
Physics Education, 52(6), 1-13.
Born, M.(1965). Einstein’s Theory of Relativity (Revised and Enlarged). New York: Dover Publications.
국문초록
본 연구에서는 1965년에 집필한 Max Born의 Einstein’s Theory of Relativity에서 해석한 내 용을 고등학교 물리학I 수준으로 이해할 수 있도록 새롭게 정리 및 해석하였다. 그리고 이것을 바탕으로 운동량 보존법칙을 활용하여 질량-에너지 등가원리 Einstein’s Machine 실험장치와 학습자료를 제작하였다. Einstein’s Machine 실험장치를 이용한 운동량 보존 실험과 Einstein’s Box의 사고실험을 비교하여 고등학교 물리학I 수준에서 을 유도하고, 물 리적 의미를 깨달을 수 있게 하였다. 실험장치와 학습자료의 투입 전과 후에 학습자 면담을 실 시하여 제작한 교육자료의 효과를 알아보았다.
핵심어: 특수상대성이론, 질량-에너지 등가원리, 운동량 보존, , 사고실험
교신저자: 이재복 공주중학교
32536 충청남도 공주시 왕릉로 111 Email: [email protected]
논문투고일: 2020년 1월 20일 심사완료일: 2020년 7월 14일 게재확정일: 2020년 7월 17일