연산 증폭기의 임피던스에 부귀환이 미치는 영향

Ch. 12 Ch. 12

Operational Amplifier (OP AMP)

(OP-AMP)

Yun SeopYu

연산 증폭기의 임피던스에 부귀환이 미치는 영향

I_i 비반전 증폭기의 입력 임피던스

A _lV_d I_-

I_in

I_out

in NI

i

Z

_{( )}

= V

V_d

A_olV_d

I

in NI

in

I

Z

_{( )}

V_in = V_d + V_f I₊

I_out

d in

d ol out

out d

ol out

I V I

I

V Z V

V A I

Z V

A V

− =

=

≈ +

=

− +

in d f

= V_d + BV_out

= V_d + BA_olV_d (1+BA )V

d

in

I

₊

− I

₋

I

^{= (1+BAol)Vd}

= (1+BA_ol)I_inZ_in

(

_ol

)

_in

in in NI

in

BA Z

I

Z

_{( )}

= V = 1 +

( >>Z_in )

페루프 비반전 연산증폭기의 전체 입력 임피던스

Yun SeopYu

연산 증폭기의 임피던스에 부귀환이 미치는 영향

비반전 증폭기의 출력 임피던스

out out I

out

I

Z

_{( )}

= V

V_out ≈ A_olV_d =A_ol(V_in-V_f)

= A_ol(V_in-BV_out) I_out

(1+BA_ol)V_out = A_olV_in

1

ⁱⁿ

ol ol

out

V

BA V A

= +

페루프 비반전 연산증폭기의

) ( NI out out

out

I Z

V =

out NI

out

BA

Z = Z

)

1

(

A

^ol

V

ⁱⁿ

( BA ) Z

1

페루 비반전 연산증폭기의

전체 출력 임피던스

BA

ol

+

)

1

(

( << Z_out )

( )

out

NI out ol

out in ol

V Z

Z I BA

=

=

+

= 1

_{( )}

: no feedback

out out

I = Z

=

: no feedback Å V_out = A_olV_in

I_out

Yun SeopYu

연산 증폭기의 임피던스에 부귀환이 미치는 영향

예제 12-5) OP-Amp.: Z_in = 2 MΩ, Z_out = 75 Ω, A_ol = 200,000 R_in = 10 kΩ, R_f = 220kΩ

Z Z ?

Z_in(NI), Z_out(NI) ?

0435 10k 0

=

=

= R

ⁱ

B 0 . 0435

220k

10k =

= +

= +

f

i

R

B R

( ⁺ ) ^{= + = Ω}

= 1 [1 (0.0435)(2 00,000)](2 M) 17.4M

)

(NI ol in

in

BA Z

Z

_in(NI)

( ^{1 + BA}

_ol

) ^Z

_in

^{[1 + (0.0435)(2 00,000)](2 M) 17.4M Ω}

Z

Ω + =

+ =

= 8 . 6 m

) 000 , 200 )(

0435 .

0 ( 1

75

)

1

(

l out NI

out

BA

Z Z

+

+ 1 ( 0 . 0435 )( 200 , 000 ) 1 BA

_ol

220k 23 1

1 1

+ +

^f

out

R

A V 23

1 10k

)

1

(

= ≈ = + = + =

i f in

out NI

cl

V B R

A

Yun SeopYu

연산 증폭기의 임피던스에 부귀환이 미치는 영향

전압 폴로워 임피던스

R_f = 0 Æ B =1

(

_ol

)

_in

VF

in

A Z

Z

_{( )}

= 1 +

^{( > Z}_in ⁾

out VF

out

A

Z Z

= +

)

1

( ( < Z_out )

A

ol

+

1

Yun SeopYu

연산 증폭기의 임피던스에 부귀환이 미치는 영향

반전 증폭기의 증폭이득

A _lV_d I_-

I_in

V_d

A_olV_d

I

I_out

I₊

I_out

V_out ≈ A_olV_d =A_ol(0 - V_-) = -A_olV_- I_in = (V_in - V_-)/R_i

I_f = (V_- - V_out)/R_f

I_in = I_f

(1/R_i + 1/R_f)V- = V_in/R_i + V_out/R_f

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= +

− in out

i f out

in i f f

i

i V V

R B R V

R V R R

R V R

R

R ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ( )

_in

i f ol

out ol

out in

i f ol

out

V

R B R A V

BA V

R V B R A

V ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= +

>

−

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= 1

R BA R

V ⎛ ⎞

i f i

f ol

ol in

out I

cl

R

R R

R BA

BA V

A V ⎟⎟ ⎠ ≈ −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= −

= 1

) (

Yun SeopYu

연산 증폭기의 임피던스에 부귀환이 미치는 영향

반전 증폭기의 입력 임피던스

A _lV_d I_-

I_in

in I

i

Z

_{( )}

= V

V_d

A_olV_d

I

I_out

in I

in

I

Z

_{( )}

I₊

I_out

V_out ≈ A_olV_d =A_ol(0 - V_-) = -A_olV_-

⎞

⎛

d in

d ol out

out d

ol out

I V I

I

V Z V

V A I

Z V

A V

− =

=

≈ +

=

− +

in i

f

out

V

R V R ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

R ⎞

d

⎛

in

I

₊

− I

₋

I

in i ol

f

V

R A

V R ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

>

−

−

₋

f

R

f

R ⎟ ⎞

⎜ ⎛

i in i

in i ol

f

i

in i ol

f in

i in

in

R

V R

R V A

R

R R V A V R

R V

I V ⎟⎟ ≈

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

−

− =

=

⁻

1

페루프 반전 연산증폭기의 ^{i i i i}

i in

in NI

in

R

I Z

_{( )}

= V =

페루프 반전 연산증폭기의

전체 입력 임피던스

Yun SeopYu

연산 증폭기의 임피던스에 부귀환이 미치는 영향

반전 증폭기의 출력 임피던스

V

out out I

out

I

Z

_{( )}

= V

I

^{Z I = V} ( ^{1 + BA} ) ^{V A B} _⎜⎜ ^{⎛ R}

^f

_⎟⎟ ^{⎞ V}

I_out I_in

I_out

( )

_in

i f ol

out

ol

V

B R A V

BA ⎟⎟

⎜⎜ ⎠

− ⎝

= +

1

out out

I

out

I V

Z

_{( )}

=

(

_ol

)

_{out I out ol} ^f

^V

_in

R B R A I

Z

BA ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

+

_{( )}

1

R ⎟

i

⎠

⎜ ⎝

( ) _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

out in ol i

f I

out

ol

I

V A R

B R Z

BA

_{( )}

1

I_out

( )

out in ol out

in ol

out out

out

I

V A I

V A

I

Z V −

− =

=

= 0

No feedback:

⎠

⎝

⎠

⎝ R

ⁱ

I

^out

f

Z

R

⎟ ⎟

⎞

⎜ ⎜

⎛

out out

out

ol out ol

out f

i NI

out

BA

Z BA

R Z Z R

≈ + +

⎟ ⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ +

= 1 1

)

페루프 반전 연산증폭기의 (

전체 출력 임피던스 ^{ol ol}

( << Z_out ) 전체 출력 임피던스

Yun SeopYu

연산 증폭기의 임피던스에 부귀환이 미치는 영향

예제 12-7) OP-Amp.: Z_in = 4 MΩ, Z_out = 50 Ω, A_ol = 50,000 R_i = 1 kΩ, R_f = 100kΩ

Z Z A ?

Z_in(I), Z_out(I),A_cl(I), ?

Ω

=

≈ R 1k Z_in(I) ≈ R_i =1kΩ Z

Z 50

Ω

= + +

+ =

≈ m

k k

BA k Z Z

ol out I

out 980

100 ) 1

)( 1 000 , 50 ( 1

50

) 1

(

1k 100 100k

)

(_I

=

^out

= −

^f

= − = −

cl

R

R V

A V

i

1k

in

R

V

Yun SeopYu

연산 증폭기의 임피던스에 부귀환이 미치는 영향(참고)

반전 증폭기 임피던스 –Miller 정리 이용

밀러의 정리 이용 ^ol

f MIller

in

A

Z R

= +

)

1

(

밀러의 정리 이용

f ol ol MIller

out

R

A Z A

= +

)

1

(

≡

Z_in(Miller)

Zout(Miller)

Z_in(I) Z_in(I)

Z_out(I)

f

f R

R ||

||

ol R Z Z

Z A Z

Z = || = || ≈

i ol

f i

in ol

f i

in Miller

in i

I

in R

R A A Z

R Z

Z R

Z ≈ + ≈

+ +

= +

= ||

|| 1

) (

) (

out out

f ol out

Miller out I

out R Z Z

Z A Z

Z ≈

= +

= ||

|| 1

) (

) (

Yun SeopYu

바이어스 전류 및 오프셋 전압 보상

입력 바이어스 전류 영향 (Å I_B ≠ 0)

반전 증폭기 입력 바이어스 전류에 의한 출력 오차 전압

이상적인 OP-Amp: I₁ = 0 Æ V_out = 0 실질적인 OP-Amp: I₁₁ ≠ 0 Æ V_outout = R_{ff 1}I₁

(오차 전압)

전압 폴로워 입력 바이어스 전류에 의한 출력 오차 전압

이상적인 OP-Amp: I_in = 0 Æ V_out = 0 실질적인 OP-Amp: I_in ≠ 0

실질적인 OP Amp: I_in ≠ 0

Æ V_d = 0V 유지하려고 함 Æ V_out = V_- = -R_sI₁ = V₊

(오차 전압) (오차 전압)

Yun SeopYu

바이어스 전류 및 오프셋 전압 보상

입력 바이어스 전류 영향 (Å I_B ≠ 0)

비반전 증폭기에서 입력 바이어스 전류에 의한 출력오차전압

이상적인 OP-Amp: I_f = 0 Æ V_out = 0 실질적인 OP-Amp: I_ff ≠ 0

Æ V_out = R_fI₁ (오차 전압)

Yun SeopYu

바이어스 전류 및 오프셋 전압 보상

전압 폴로워 바이어스 전류 보상

이상적인 OP A I I 0 Æ V 0 이상적인 OP-Amp: I₁ = I₂ = 0 Æ V_out = 0 실질적인 OP-Amp: I₁ ≠ 0, I₂ ≠ 0

V V R I V₊ = V_- = -R_sI₂,

Æ V_out = R_sI₁ + V_- = R_sI₁ + -R_sI₂ = R_s(I₁ – I₂) = R_sI_OS

( )

(오차 전압) Å I_OS = I₁ – I₂

Yun SeopYu

바이어스 전류 및 오프셋 전압 보상

기타 연산 증폭기 회로의 바이어스 전류 보상

비반전증폭기 비반전증폭기

반전증폭기

Yun SeopYu

바이어스 전류 및 오프셋 전압 보상

바이어스 전류보상이 필요없는 BIFET 연산증폭기 이용 BIFET: BJT + JFET

높은 임력임피던스 (입력단) Æ 입력 바이어스 전류 << BJT

높은 임력임피던스 (입력단) Æ 입력 바이어스 전류 << BJT Æ 바이어스 전류 보상 필요 없음

입력 오프셋 영향영향

이상적인 OP-Amp: V_diff = 0 Æ V_out = 0

실질적인 OP-Amp: V_diff ≠ 0 Æ V_out ≠ 0 (; 수 μV ~ 수 mV) Å 바이어스 전류 영향

Å BJT가 서로 다를 수 있다.

z V_{OUT( )} = V_IO (출력 오차 전압)

z V_OUT(error) = V_IO (출력 오차 전압)

입력 오프셋 전압 보상

V_IOIO = 0 되도록 입력 오프셋 전압 조정

Yun SeopYu

연산 증폭기의 주파수 응답 안정도 및 보상

및 보상

Yun SeopYu

연산 증폭기의 주파수 응답 기본 개념

개방 루프 이득(open-loop gain) A_ol: 연산 증폭기 자체 내부회로에 의해서 결정되는 전압이득

폐 루프 이득(closed-loop gain) A_cl: 부귀환된 연산증폭기 전압이득

Yun SeopYu

연산 증폭기의 주파수 응답 기본 개념

주파수와 이득

중역이득(mid-range gain): 0Hz에서 임계주파수(–3 dB)까지의 이득 임계주파수( iti l f ) 중역이득보다 작아지기 시작하는 주파수 임계주파수(critical frequency): 중역이득보다 작아지기 시작하는 주파수 단위이득 주파수(unit-gain frequency): 이득이 1이 되는 주파수

Yun SeopYu

연산 증폭기의 주파수 응답 기본 개념

3 dB 개방 루프 대역폭(open-loop bandwidth): 중역이득보다 3dB적은 두 주파수 범위

BW f f 상한주파수 하한주파수

BW = f_cu – f_cl = 상한주파수 – 하한주파수 대개 f_cl = 0 Hz Æ BW = f_cu ≈ f_c

단위이득 대역폭(unit-gain bandwidth) = 단위 이득 주파수 단위이득 대역폭(unit gain bandwidth) 단위 이득 주파수 이득과 주파수 분석

연산증폭기 내부: RC 지연회로 포함 (:주파수 ↑ Æ 이득 ↓ )

1

2 2

2 =

= +

= ^C

i out

v R X R

X V

A V

R 2

707 1 . 1 0

2 = =

log 1 20 log

20

1

) (

2

=

=

+ +

out db

C in C

A V

X R X

V R

R R X

X R

C

1 1 1 2

2

2

=

=

>

−

−

= +

dB 3

1 log 20 log

20

2 ) 2

(

−

=

+

C in

db v

X V R

A

C R f

X_C2 =1−−>X^C = =2π_c

f 1

dB 3

f

_c

RC

π

2

= 1

Yun SeopYu

연산 증폭기의 주파수 응답 기본 개념

이득과 주파수 분석

( ¹ )

1

_C

c

X

f = = =

^{Aol(mid): 중역이득}

2 ) (mid ol

ol

f

A = A

( )

1

2 2

V

out

R R

fC RCf

f

=

π π

: RC 지연회로의 감쇠량

1

2

f

c

+ f

2 2

1

c in

f V f

+

: RC 지연회로의 감쇠량 (주파수 의존성)

Yun SeopYu

연산 증폭기의 주파수 응답 기본 개념

위상 지연 (phase shift)

RC 회로: 입력과 출력사이에 지연 위상각

위상각:

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

^{− −}

f f X

R

₁

1

tan

φ tan _⎟

⎜ ⎠

⎟ ⎝

⎜ ⎠

⎝ X

^C

f

^c

φ

if f >> f_c : φ = -90°

Yun SeopYu

연산 증폭기의 주파수 응답 기본 개념

예제: f_c(ol) = 100 Hz, A_ol(mid) =100,000 Æ A_ol?

f = 0 Hz Æ ₁₀₀₀₀₀

1 0

100000 1

2 )

( = =

= ^{ol mid}

ol f

A A

f = 10 Hz Æ

99503 1 10

100000 1

1 100 1

2 2

) (

2 2

= +

= +

=

+ +

mid ol ol

c

f A A

f f

f = 100 Hz Æ

70710 1 100

100000 1

1 100 1

2 2

) (

2 2

= +

= +

=

+ +

mid ol ol

c

f A A

f

예제: f_c = 100 Hz Æ 위상각 φ ?

1 100 1+ ₂ + ₂

fc

f = 1 Hz Æ

⎞

⎞ ⎛

⎛

⎞

⎛

°

−

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= ^{− − −}

10

573 . 100 0

tan 1 tan

tan ^{1 1 1}

c C

f R

f f X

φ R

f = 10 Hz Æ

f ^{⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞ ⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞ ⎜⎛ ⎟⎞ °}

°

−

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

−

−

−

−

−

−

100 45 tan

tan tan

71 . 100 5

tan 10 tan

tan

1 1

1

1 1

1

c C

f R

f f X

R

φ φ

f = 100 Hz Æ ^{= −tan ⎜⎜}_⎝ ^⎟⎟_⎠ ^{= −tan ⎜⎜}_⎝ ^⎟⎟_⎠^{= −tan ⎜}_⎝100^⎟_⎠^{= −45°}

c

C f

f φ X

Yun SeopYu

연산증폭기의 개방루프 응답

주파수 응답

실제는 각 단의 주파수 응답의 합성

Yun SeopYu

연산증폭기의 개방루프 응답

위상 응답

다단 증폭기: 각단 최대 RC 지연에 의한 위상 = -90°

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

^{− − −}

cn c

c

tot

f

f f

f f

f

₁

2 1

1

1

tan tan

tan L

φ

ex) 3단: 최대 위상 = - 90° - 90° - 90° = -270°

예제 12-10: 내부 3단 증폭기 예제 12 10: 내부 3단 증폭기

1단: A_v1 =40 dB, f_c1 = 2kHz 2단: A_v2 =32 dB, f_c2 = 40kHz 3단: A =20 dB f = 150kHz 3단: A_v3 =20 dB, f_c3 = 150kHz f = f_c1 Æ φ_tot ?

dB 92 20

32

3

40

2

1

+ + = + + =

=

_{v v v}

ol

A A A

A

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= ^{− − −}

2 2

2

tan tan

tan

3 1 2

1 1

1

k k

k

f f f

f f

f

c c

c

φtot

°

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= ^{− − −}

6 . 48

150 tan 2

40 tan 2

2

tan ¹ 2 ^{1 1}

k k k

k k

k

Yun SeopYu

연산증폭기의 폐루프 응답

부귀환 회로가 대역폭에 미치는 영향(비반전증폭기)

1 1

1 jX

V

1 1 1

1 1

1

c C

C C

C in

out

f j f X

j R jX

jX R R

jX V

V

+

= +

=

−

− =

= −

) (

1

mid ol ol

f j f A A

+

=

) (ol

fc

) ( )

(

1 1 ^{ol mid}

mid ol

A BA

A A

f j f A

A + +

( )

_{( )}

) (

) ( ) (

) (

) ( )

(

) ( )

( ) ( )

(

1 1 1

1 1

1 1 1

cl c mid cl

ol c mid ol

mid ol

ol c mid

ol

mid ol mid

ol ol c ol

ol NI

cl

f j f A

f BA

j f

BA

f j f BA

A

j f BA f BA

A A

+

= + +

= + +

+

= +

+ + =

=

) (

1

ol

fc

+ j

(

ol mid

)

col cl

(

ol mid

)

ol

cl c mid

ol mid

cl A f BA f BW BA BW

A _{( )} = ^{( )} , _{( )} = 1+ _{( ) ( )}, = 1+ _{( )}

단 c cl

(

ol mid

)

col cl

(

ol mid

)

ol mid

ol mid

cl f f

BA _{( )} ^{( ) ( ) ( ) ( )}

)

( , ,

1+ 단,

Yun SeopYu

연산증폭기의 폐루프 응답

부귀환 회로가 대역폭에 미치는 영향(반전 증폭기)

f ol f

out BA R R

A V − ⎜⎛ ⎟⎞

) (mid ol

l

f

A = A

_{( )} ^{( )}

) (

1

i f mid

i ol f

l mid ol

i f

ol R

BR R A

BR

f j f A

R BR

A ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

i f i

f ol

ol in

out I

cl V BA R R

A = = + ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ ≈ −

) 1

(

) (

1

ol c ol

f j f A

+

) ( )

( )

( ) ( )

(

1 1

1 1

ol c mid

ol

i mid

ol ol c ol

i I

cl

f j f BA

R

f j f BA f BA

A R

+ +

⎠

= ⎝ +

+ +⎝ ⎠=

=

) (

) (

f mid

ol

ol c

R R BR A

j f

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

( ) ( )

) ( )

(

1 1

1

1 _{i cl mid}

f mid

ol

i

j f A j f

R R

j f

BA

R

+

= +

−

≈ +

+

⎟⎠

⎜⎝

=

(

( )

)

( )

(

( )

)

( ) ( )

1 1 1 1

1

cl c ol

c mid ol ol

c mid

ol j f

f j BA

f

j BA +

+ + + +

( ) ( )

i f f mid

ol

BW BA

BW f

BA R f

R BR A

A

) (

1

1+ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ 단, ⎛

(

_{ol mid}

)

_{col cl}

(

_{ol mid}

)

_ol

cl c i

f mid

ol i mid

cl f BA f BW BA BW

R

A BA _{( ) ( ) ( ) ( )}

) ( )

( , 1 , 1

1 ≈− = + = +

+ ⎝ ⎠

=

Yun SeopYu

연산증폭기의 폐루프 응답

예제 12-11: A_ol(mid) = 150,000, BW_ol =200Hz, B=0.002 Æ BW_cl?

[ ¹ +

( )

] = ^{[ 1} + ^{( 0 . 002 )( 150000 ) ] ( 200 )} = ^{60 . 2 kHz}

=

_{ol mid ol}

cl

BA BW

BW

Yun SeopYu

연산증폭기의 폐루프 응답

부귀환 회로가 대역폭에 미치는 영향

A

_cl(mid)

감소

f (BW ) 증가

f

_c(cl)

(BW

_cl

) 증가

Yun SeopYu

연산증폭기의 폐루프 응답

이득 대역폭 적 (gain-bandwidth product) A_cl ↑ Æ BW_cl (f_c(cl)) ↓

f_c(cl) ↑ Æ A_cl ↓

A

_cl

f

_c(cl)

= 일정 = A

_ol

f

_c(ol) : 단위 이득 대역폭

Yun SeopYu

연산증폭기의 폐루프 응답

예제 12-12: A_ol = 100dB, 단위이득대역폭 = 3MHz Æ BW_cl? (a) 비반전 증폭기, R_i = 3.3 kΩ, R_f = 220kΩ

, 7 . 3.3k 67

1 220k 1 1

1

_{( )}

) ( )

(

≈ = + = + =

= +

i f mid

ol mid ol mid

cl

R

R B

BA A A

44.3kHz 67.7

단위이득대역폭 3M

) (

) (

=

=

=

=

cl cl

cl c

i mid

ol

BW A f

(b) 반전 증폭기, R_i = 1 kΩ, R_f = 47kΩ

, 1k 47

47k

)

(

= − = − = −

i f mid

cl

R

A R

kHz 8

. 47 63

단위이득대역폭 3M

)

(

= = = =

cl cl

cl

c

BW A

f