(7)단계 보고서 작성ㅇ 보고서를 작성한다.

(1)

1. 개요

□ 연구동기 및 목적

음악과 수학은 서로 다른 학문이 아니라 서로 연관관계가 많으며 음악에서의 리듬이 수학에서의 함수, 물리에서의 주기성과 비슷한 성향을 가질 것이라 생각하였고 역으로 함수(그래프)를 이용하여 음악(작곡)을 만들 수 있으리라 생각하였다.

○ 동요의 리듬을 수학의 함수로 표현하고 그래프로 표현

○ 여러 장르의 음악의 자주 쓰이는 계이름과 (앞음,뒤음)순서쌍 사이의 관계조사

○ 함수로 표현된 동요들 사이의 공통점과 특성을 파악하고 역으로 함수(그래프)로 리듬을 만들어 동요를 작곡함.

□ 연구범위

○ 연구범위는 동요, 가스펠, 트로트, 대중음악 각 50곡으로 2012년 에 가장 유행하고 대중적이었던 곡을 선정함.

(1)단계 : 음악관련 독서읽고 토론 교수님의 ‘음악과 수학’강의듣기

ㅇ‘과학으로 풀어보는 음악의 비밀’읽고 개인별 토론 ㅇ 성균관대 물리학과 방문하여 강의듣고 앞으로 계획설계 (1,2차 교사면담과 학생강의실시)

⇩

(2)단계 : 실험대상 동요곡 선정 음원과 악보 구입

ㅇ 주변의 유치원과 인터넷을 통하여 동요곡을 선정하고 책을 구입함.

(나중에 가스펠과 최신인기가요집도 구매)

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(3)단계 : 음계의 수치화 ㅇ 악보의 계이름을 수치화시켜 나타낸다.(그래프로 나타내본다.)

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(4)단계 : 동요의 패턴화, 피팅, 함수화 동요의 음의 평균값과 (앞음,뒤음), (n,n+1)으로 순서쌍 만들어 점찍기

ㅇ 그래프로 나타낸 함수를 찾고 함수의 유형과 패턴의 특징을 파악한다.

ㅇ (앞음,뒤음),(n,n+1)사이의 관계를 파악하고 다른 장르의 곡에도 적용시켜 본다.

ㅇ 장르별 자주 사용되는 음을 조사해본다.

⇩

(5)단계 : 동요를 2마디씩 끊어서 5차함수로

피팅하기 ㅇ 2마디씩 끊어서 함수를 대입시켜보고 함수특징을 살펴본다.

⇩

(6)단계 : 동요의 함수를 역이용하여 작곡해보기 (그래프 패턴을 이용하여 작곡)

ㅇ 여러 동요의 비슷한 함수의 그래프와 패턴 그리고 조사했던 함수의 계수값을 알아본다. 역으로 적당한 함수를 통해서 리듬을 만들어 작곡 해본다.

ㅇ 다른 작곡법 생각해보기

(기존의 수치를 함수를 통해 대응하기, 기존 악보 뒤집어보기,대칭)

⇩

(7)단계 보고서 작성 ㅇ 보고서를 작성한다.

(2)

2. 연구 수행 내용

□ 이론적 배경 및 선행 연구

○ 이론적 배경

기본적으로 수학과 음악이 서로 관련이 있다는 사실에서 시작하였다. 피타고라스는 하프의 현 길이가 짧을수록 진동 수가 커진다는 사실을 알았으며 작곡가 바흐의 평균변화율 도 수학의 이론이 응용되었다. 또한 음악가 바르톡은 악곡의 클라이맥스를 곡의 황금분화 지정에 위치하도록 작곡함으 로써 황금비를 음악에 응용하였고 쇤베르크의 12음 음악의 이론이 완전히 수학적 발상을 근거로 하여 만들어졌다는 것은 수학과 음악이 가까운 관계를 말해주는 보기다.

우연히 차 안에서 아이의 동요음악을 듣다가 자주 쓰이는 리듬이 수학에서의 함수와 관계가 있으리라 생각되어 연구 를 시작하게 되었다.

○ 선행 연구

아쉽게도 음악의 리듬을 수학의 함수와 관계되리라는 연구 논문은 국내•외에 아무자료도 없었으며 그래서 힘들었고 그 래서 흥미로웠다.

□ 연구주제의 선정

○ 연구주제를 ‘리듬과 함수’로 우선 잡고 학생들과 5차례의 회의와 토론을 하였으며 성균관대학교 김범준 교수님의 강의와 본교 음악선생님이자 지휘자이신 신민용 선생님의 조언을 바탕으로 연구를 시작하게 되었다.

(3)

□ 연구 방법

○ 먼저 실험에 사용되는 최신동요집, 대중가요집, 가스펠 등의 음원과 악보를 파악하고 지속적인 감상을 통해 리듬을 파악 한다.

○ 악보를 이용하여 각음계의 수치를 부여한다.

○ 시간에 따른 음계의 수치를 시간에 따른 그래프로 만들고 수학적 함수를 적용하여 피팅(대략적 그래프)시키고 함수의 계수를 정리한다.

음계

시간

○ 이 외에 각 음악에 자주 쓰이는 계이름과 (앞음,뒤음)의 관계와 빈도수를 파악한다.

뒤음

앞음

예를 들어 계이름 ‘도라솔시파’를 수로 변화시키면 (1,10,8,12,6)이 되고, 이를 다시 앞음, 뒤음의 순서쌍으로 바꾸 면 (1,10),(10,8),(8,12),(12,6)이 된다. 이 점들을 위와 같은 형태의 그래프로 나타내었으며 음이 자주 나올수록 동심원이 커지도록 프로그램화하였다.

○ 역으로 함수(그래프)를 이용하여 작곡해 본다.

(대칭과 임의의함수를 이용해 작곡한다.)

(4)

순서 ① x축: 시간 y축: 음의 높이 ② (앞음,뒤음),(n,n+1) ③ 계이름의 빈도

1 숲속

의

2 개미 심부 름

3 수박 파티

4 곰세 마리

5 꼭꼭 약속 해

6 새들

의 결혼 7 아빠 힘내 세요

8 악어

떼

9 뱅글 뱅글 돌아 서

□ 연구 활동 및 과정

Ⅰ. 음악의 분석

1. 동요 분석 (50곡 중 일부)

(5)

순서 ① x축: 시간 y축: 음의 높이 ② (앞음,뒤음),(n,n+1) ③ 계이름의 빈도 10

꿀벌 의여 행

1 거룩 거룩 거룩 2 거룩 하신 성령 이여 3 괴로 울대 주의 얼굴 4 나의 입술 의모 든말 5 내안

에 사는 이

6 만나 서반 가워 요

7 먼저 그나 라와 의

8 목마

른 사슴

2. 가스펠 분석 (50곡 중 일부)

(6)

9 복음 들고 산을

10 실로

암

순서 ① x축: 시간 y축: 음의 높이 ② (앞음,뒤음),(n,n+1) ③ 계이름의 빈도 1

거울 도안 보는 여자

2 남행 열차

3 동반

자

4 사랑 의배 터리

5 소양

강 처녀

6 애모

7 어머

나

3. 트로트 분석 (50곡 중 일부)

(7)

8 차표 한장

9 찬찬

찬

10 해뜰

날

1 가슴 아파 도

2 너랑

나

3 늪

4 뜨거

운 안녕

5

Bounce

6 왜이 제왔 니

4. 대중가요 분석 (50곡 중 일부)

(8)

7 여행 을떠 나요 8 여전 히아 름다 운지

9 I Believe

10 아파 도아 파도

앞 생략(1~10) 동요

11 7.807692528 트로트

1 5.290858746 가스펠

11 7.487500191 대중가요

11 12.75342464 동요

12 4.954545498 트로트

12 11.75167751 가스펠

12 10.27083302 대중가요

12 7.806451797 동요

13 6.369863033 트로트

13 11.18644047 가스펠

13 8.531914711 대중가요

13 18.14204597 동요

14 8.021276474 트로트

14 12.48657703 가스펠

14 10.33707905 대중가요

14 12.45734596 동요

15 8 트로트

15 14.9454546 가스펠

15 7.338235378 대중가요

15 14.25183392 동요

16 8.433961868 트로트

16 7.281105995 가스펠

16 8.612500191 대중가요

16 9.914979935 동요

17 7.120967865 트로트

17 12.46875 가스펠

17 10.75609779 대중가요

17 16.68047333 동요

18 4.719298363 트로트

18 10.10000038 가스펠

18 6.510638237 대중가요

18 15.44085979 동요

19 7.862745285 트로트

19 10.09205055 가스펠

19 9.462686539 대중가요

19 13.59823418 동요

20 7.129032135 트로트

20 14.37541485 가스펠

20 9.575342178 대중가요

20 13.28316879 뒤 생략(20~50)

합계 338.0142441 211.199482 166.3697579 134.3288183

평균 6.726128 10.55997 8.31848789 13.43288183

5-1. 음악에 자주 쓰이는 음

음의 높이는 평균적으로 대중음악이 가장 높았으며 표준편차도 매우 컸다. 반면에 동요는 평균과 표준편차가 성인들의 음악에 비해서 비교적 작았다.

(9)

순위 동요 가스펠 트로트 대중음악

1 솔 솔 라 높은미

2 파 높은도 시 높은레

3 라 미 높은미 높은도

4 미 라 미 솔

5-2. 장르별 자주 사용되는 계이름 연구

(1) 동요에 자주 사용되는 계이름 빈도 (1~50번곡)

(2) 가스펠에서 자주 사용되는 계이름 빈도 (1~50곡)

(3) 트로트에서 자주 사용되는 계이름 빈도 (1~50곡)

(4) 대중음악에서 자주 사용되는 계이름 빈도 (1~50곡)

(10)

순위 순서쌍 개수 순위 순서쌍 개수

1 10(라) ⇒ 8(솔) 63 9 1(도) ⇒ 3(레) 29

2 6(파) ⇒ 5(미) 43 10 3(레) ⇒ 1(도) 29

3 3(레) ⇒ 5(미) 38 11 5(미) ⇒ 8(솔) 28

4 8(솔) ⇒ 6(파) 38 12 8(솔) ⇒ 5(미) 26

5 5(미) ⇒ 3(레) 37 13 13(높은도) ⇒ 12(시) 26

6 5(미) ⇒ 6(파) 36 14 6(파) ⇒ 8(솔) 24

7 8(솔) ⇒ 10(라) 34 15 8(솔) ⇒ 7(파＃) 24 8 12(시) ⇒ 10(라) 34

1 12(시) ⇒ 10(라) 149 9 3(레) ⇒ 5(미) 83

2 10(라) ⇒ 8(솔) 137 10 6(파) ⇒ 5(미) 82

3 10(라) ⇒ 12(시) 114 11 5(미) ⇒ 6(파) 76 4 13(높은도) ⇒ 12(시) 109 12 15(높은레) ⇒ 13(높은도) 76

5 8(솔) ⇒ 10(라) 96 13 8(솔) ⇒ 6(파) 69

6 12(시) ⇒13(높은도) 89 14 8(솔) ⇒ 5(미) 57

7 15(높은레) ⇒ 17(높은미) 88 15 6(파) ⇒ 8(솔) 51

8 5(미) ⇒ 3(레) 84

일반적으로 동요와 가스펠이 트로트와 대중음악보다 낮은음이 많이 쓰임을 알 수 있었다. 전 실험의 평균 음과도 비슷한 경향을 보였다.

6. (앞음,뒤음),(n,n+1)을 찾기 (1) 동요 순서쌍

(2) 트로트 순서쌍

(11)

1 5(미) ⇒ 3(레) 58 9 8(솔) ⇒ 6(파) 36

2 10(라) ⇒ 8(솔) 57 10 12(시) ⇒ 13(높은도) 36

3 6(파) ⇒ 5(미) 49 11 8(솔) ⇒ 10(라) 32

4 5(미) ⇒ 6(파) 46 12 6(파) ⇒ 8(솔) 31

5 13(높은도) ⇒ 12(시) 42 13 8(솔) ⇒ 5(미) 26

6 3(레) ⇒ 1(도) 41 14 10(라) ⇒ 12(시) 24

7 3(레) ⇒ 5(미) 39 15 10(라) ⇒ 13(높은도) 24 8 12(시) ⇒ 10(라) 39

1 15(높은레)-13(높은도) 152 9 14(높은도샾)-17(높은미) 64

2 13(높은도)-15(높은레) 148 10 8(솔)-10(라) 57

3 15(높은레)-17(높은미) 133 11 5(미)-3(레) 41

4 12(시)-10(라) 93 12 11(라샾)-13(높은도) 41

5 12(시)-13(높은도) 86 13 13(높은도)-10(라) 40

6 10(라)-8(솔) 84 14 10(라)-13(높은도) 37

7 13(높은도)-12(시) 74 15 8(솔)-7(파샾) 35

8 10(라)-12(시) 65

(3) 가스펠 순서쌍

(4) 대중가요 순서쌍

(12)

Ⅱ.동요의 그래프화 (2마디씩 끊어서 5차함수로 피팅시킴)

7 아빠

힘 내세요

10 꿀벌의

여행

12 멋쟁이

토마토

(13)

17 아이들

은

21 허수 아비 아저씨

23 아기

염소

(14)

24 씨앗

33 농부

동요를 1번부터 50번까지 분석하였는데, 맨 처음에는 곡전 체가 하나의 함수로 표현되리라 기대하였으나 많은 시행착오 를 거쳐 2마디에 하나의 5차함수를 선택하여 함수를 피팅시 키고 계수를 구하였다. (16마디곡은 2마디씩 쪼개서 8개의 5 차함수를 얻음.) 5차함수를 선택한 이유는 대부분의 곡의 꺽 어짐이 4번 이하이므로 충분이 5차함수로 그릴 수 있으리라 생각하였고 그 예상은 대부분 적중하였다.

다음의 도표는 각 동요를 5차함수로 피팅시킨 함수의 계수 값을 나열한 것이다.

(15)

A(상수항) B(1차계수) C(2차계수) D(3차계수) E(4차계수) F(5차계수)

2.879 -4.154 2.653 -0.5735 0.05638 -0.00208

-15.2 36.51 -19.25 4.217 -0.4077 0.01436

-33.13 23.44 -5.74 0.6659 -0.03351 0.000513

-11.75 30.27 -15.56 3.278 -0.3011 0.009936

405.9 -377.2 134.5 -22.71 1.828 -0.05641

10.25 5.173 -4.533 1.224 -0.1467 0.006731

2.007E -9978 1973 -193.8 9.458 -0.1833

-14.13 56.52 -41.24 12.3 -1.516 0.05939

-67.12 77.7 -31.1 6.032 -0.5682 0.02083

12.02 -6.521 2.625 -0.05861 -0.08034 0.008134

-612.6 345.5 -74.71 7.821 -0.3993 0.008013

-1123 686.7 -161.2 18.37 -1.02 0.02212

173 -351.7 356.5 -85 13.04 -0.75

-4689 3861 -1248 198 -15.46 0.475

15.31 -2.617 0.6166 -0.1478 0.01358 -0.00039

134.9 -116.3 39.6 -6.389 0.4872 -0.0141

265.6 -245.1 88.38 -15.37 1.288 -0.04167

134.9 -116.3 39.6 -6.389 0.4872 -0.0141

-9.748 15.99 -5.558 0.8017 -0.05055 0.00115

82.17 -95.7 40.19 -7.525 0.6477 -0.02083

650 -657.4 260.9 -49.92 4.625 -0.1667

176 -115 26.42 -2.5 0.08333 9.49E-15

155 -175.7 76.96 -15.79 1.542 -0.05833

16.64 -20.98 17.91 -6.413 0.8719 -0.03035

-517 722.5 -373.1 90.54 -10.42 0.4583

-223 278.5 -124.3 26.38 -2.708 0.1083

110 -114 46.82 -8.887 0.7864 -0.02628

11.57 -9.055 4.25 -0.8504 0.09091 -0.00417

89.5 -84.29 34.25 -6.414 0.558 -0.01827

28.55 -47.32 41.03 -17.56 3.569 -0.2712

153 -167.2 72.59 -14.74 1.41 -0.05128

44.25 -71.28 46.28 -13.1 1.676 -0.07917

85.17 -97.47 42.81 -8.507 0.7786 -0.0266

-21.71 55.82 -34.37 9.335 -1.163 0.05417

110.7 -87.51 25.94 -3.563 0.2315 -0.00577

539.7 -479.9 166.4 -27.81 2.25 -0.07083

-6.714 20.89 -15.54 5.055 -0.7235 0.0375

-24.84 56.87 -34.73 10.05 -1.438 0.08196

110.7 -87.51 25.94 -3.563 0.2315 -0.00577

539.7 -479.9 166.4 -27.81 2.25 -0.07083

87.81 -95.67 40.12 -7.807 0.7159 -0.025

8.716 5.433 -2.492 0.4098 -0.07723 0.0107

7 11.2 -6.824 1.764 -0.2016 0.008333

1055 -1054 410 -77.17 7.042 -0.25

-422 417.1 -159.2 29.83 -2.75 0.1

-13.31 25.29 -5.125 -1.321 0.5028 -0.03907

65.29 -68.78 33.68 -7.689 0.822 -0.03333

13.33 -10.96 3.037 0.9322 -0.3753 0.03058

-862 907.7 -363.9 70.54 -6.625 0.2417

14.03 -4.98 0.8773 0.1028 -0.03154 0.003271

-9 27.32 -16.04 4.167 -0.4583 0.01667

-103 109.1 -40.71 7.247 -0.6209 0.02051

-79.17 94.75 -37.21 6.975 -0.6256 0.02147

-103 109.1 -40.71 7.247 -0.6209 0.02051

1513 -1386 498.5 -87.58 7.5 -0.25

0.3333 -0.1346 1.035 -0.1859 0.00845 -2.51E-13

709 -542.1 159.8 -22.59 1.537 -0.04038

0.3333 -0.1346 1.035 -0.1859 0.00845 -2.51E-13

1444 -1059 302.7 -42.07 2.845 -0.075

-69 143.7 -102.5 33.5 -5.042 0.2833

y=Fx⁵+Ex⁴+Dx³+Cx²+Bx+A

~ 이하 생략 ~

(16)

음의 수치화

(음 ☞ 수)

⇨

^{그래프그리기}

⇨

_(5차함수)^함수찾기

함수그리기

⇨

^{그래프에서}_{수 찾기}

⇨

^{수치의 음화}_{(수 ☞ 음)}

Ⅲ.동요의 작곡

1. 그래프를 역으로 이용한 동요의 작곡 (2마디씩 작곡) 앞에서는

이제부터는

방식으로 작곡을 하였다. 힘든 과정이 예상되었지만 학생들이 의외로 함수를 그리고 함수에서 수치를 찾아내고 수치를 음계에 표현하고 길이를 조절하는 작업을 매우 순조롭게 진 행하였다. (41곡을 위와 같은 방법으로 직접 작곡함.)

① 기존 곡에서 사용했던 5차함수를 참고로 5차함수 그래프 를 스케치하기

② 스케치된 5차함수에 X축의 1간격으로 Y축의값에 점찍기

③ 피아노를 이용하여 음의 길이를 조절하기

④ 악보에 음을 표시하기

(17)

(18)

⇨

대칭

2. 대칭을 이용한 동요의 작곡

오선지의 가운데줄(‘시’음줄)을 기준으로 X축 대칭으로 곡 을 만들어 보았다. 곡을 피아노로 쳐보면 의외로 새로운 곡이 된다는 사실에 팀원들이 매우 흥미로워 했다.

(19)

⇨

대칭

⇨

대칭

⇨

대칭

11. 괜찮아요

시간 x f(x)/17의 나머지

1 3 8

2 8 12

3 12 7

4 10 14

5 8 12

6 5 7

7 5 7

8 8 12

9 3 8

10 6 1

11 6 1

12 8 12

13 10 14

14 8 12

15 8 12

16 10 14

17 12 7

18 3 8

이하생략

12.멋쟁이토마토

1 3 8

2 3 8

3 -2 3

4 -2 3

5 3 8

6 5 7

7 7 14

8 3 8

9 5 7

10 5 7

11 5 7

12 -2 3

13 5 7

14 -2 3

15 8 12

16 7 14

17 3 8

18 3 8

이하생략

18. 앵두

1 1 1

2 3 8

3 1 1

4 10 14

5 6 1

6 1 1

7 3 8

8 1 1

9 1 1

10 3 8

11 1 1

12 10 14

13 6 1

14 1 1

15 3 8

16 1 1

17 1 1

18 3 8

이하중략

3. 함수를 이용한 동요의 작곡

f(x)=x²+16 값을 ÷17 한 나머지값 대입

(20)

⇨

함수

⇨

함수

⇨

함수

⇨

함수

대칭을 이용한 작곡법과 함수를 이용하여 나머지를 음으로 대입 시키는 작곡방법은 수학적으로 간단한 방법이다. 위 작곡한 노래 를 들으면 기존의 노래와 전혀 다른 노래가 나옴을 알 수 있었으며 쉽고도 새로운 작곡법으로 또한 수학과 음악을 병행한 STEAM형 수업방법으로 사용할 수 있으리라 생각된다.

(21)

3. 연구 결과 및 시사점

□ 연구 결과

○ 동요의 리듬을 수학적 함수로 표현하는 새로운 방법을 알게 되었다.

○ 역으로 자주 나오는 5차함수를 이용하여 그래프를 그리고 음을 넣어서 작곡을 하였다.

○ 기존의 동요곡을 오지선의 가운데 선을 이용하여 대칭하여 작곡해보았으며 기존의 수치화된 음을 무작위로 설정한 이 차함수를 이용하여 새로운 곡으로 재편성하였다.

○ 그래프, 함수를 이용한 새로운 음악-수학 STEAM형 수업 모델로 응용할 수 있다.

○ 장르마다 자주 사용되는 음이 달랐다.

○ 또한 장르마다 자주 사용되는 (앞음,뒤음)의 순서쌍도 달라 자주 사용되는 음과 (앞음,뒤음)순서쌍을 이용해 역으로 곡의 장르를 결정지을 수 있다.

□ 시사점

○ 음악이 함수로 표현될 수 있음을 알게 되었다.

○ 함수를 통한 새로운 작곡의 형태를 개발하였다.

○ 자주 나오는 음이나 (앞음,뒤음)순서쌍을 연구함으로서 사람 들이 듣기 좋아하는 음에 대해서 고찰하게 되었다.

4. 홍보 및 사후 활용

○ 수학,과학동아리의 STEAM형 수업모형과 교재 개발

○ 지진파나 일정한 길이의 끈으로 굴곡을 만들어 작곡법으로 사용

○ 작곡가의 성향에 따라 좋아하는 음이나 순서쌍이 있으며 이는 곧 자주 사용하는 함수가 있다고 볼 수 있다. 동일한 작곡가의 곡을 추척하여 작곡가의 성향을 함수화 시킬 수 있을 것이다.

5. 참고문헌

○ 김준영(2005) 수학과 과학교과의 연결, 고려대학교 석사학위

○ 장호연(2012) 과학으로 풀어보는 음악의 비밀