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속도와 거리

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Academic year: 2021

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(1)2 01. 정적분의 활용 금문교를 건설한 구조공학자들은 정적분에게. 넓이. 고맙다고 해야 한다. 왜냐하면 이 다리를 세울 때. 02. 콘크리트와 강철보다 정적분에 더 의존했기 때문이다.. 속도와 거리. (출처: ,BTOFS, &., /FXNBO, +. 3., 『.BUIFNBUJDT BOE UIF *NBHJOBUJPO』). 캐스너 ,BTOFS & _ , 뉴먼 /FXNBO + 3 _. 미국의 수학자. 이 글은 함수의 정적분이 넓이의 개념은 물론 물리적 중요성도 갖고 있는데, 과학에서 함수가 무한히 더해지는 상황을 정적분으로 표현할 수 있으며 입체의 관성 모멘트를 계 산하는 데에도 이용된다는 점을 강조하기 위한 것이다.. 134. Ⅲ. 다항함수의 적분법.

(2) 넓이 학습 목표. 정적분의 기하적 의미. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.. 생각 열기 준비 하기. 정적분 ` A YY EY의 값을 구하 시오.. 함수 G Y Y

(3) 의 그래프와 Y축 및. "#$%가 있다.. 두 직선 Y, Y로 둘러싸인 1 2. y 3. 사다리꼴 "#$%의 넓이를 구해 보자.. ÅA AG Y EY의 값을 구하고,. 1. 2. 과 비교해 보자.. -1 O. 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속. y=f{x} D A. B 1. y. C 2. x. y=f{x}. 이고 G Y y일 때, 곡선 ZG Y 와 Y축 및 두 직선 YB, YC로 둘러싸인 도형의 다가 서기. 넓이 4를 구해 보자.. S O. a. b x. 미국 항공 우주국 /"4" 에서는 달 에 물이 있다는 것을 밝혀내었으며,. 함수 G U 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속. 달 표면의 모습을 분석해 적분을 이. 이고 G U y  일 때, 오른쪽 그림과 같이. 용하여 단면의 넓이를 계산하고 물의. y. 양을 구했다.. 곡선 ZG U 와 U 축 및 두 직선 UB ,. 이처럼 적분은 새로운 사실을 밝혀. UY` BƒYƒC 로 둘러싸인 도형의 넓이. 내거나 자연 현상 및 사회 현상의 분. 를 4 Y 라 하자. 또, U의 값이 Y에서. 석에 이르기까지 폭넓게 이용된다.. Y

(4) $Y까지 변할 때 4 Y 의 증분을 $4라 하자.. (출처: 『헤럴드 경제』, 년 월 일). y=f{t}. S{x} O. a. x. b t. Œ $Y일 때, $44 Y

(5) $Y 4 Y 이고, 함수 G U 는 닫힌구간 <Y, Y

(6) $Y>에서 연속이므로 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이때 G U 의 최댓값과 최솟값을 각각. ., N이라 하면 N$Yƒ$4ƒ.$Y 즉,. y. M m O. Nƒ. $4 ƒ. $Y. y=f{t}. S{x} a. S x. x. b t x+ x. …… ①. 임을 알 수 있다. 2. 정적분의 활용. 135.

(7)  $Y일 때, Œ과 같은 방법으로 Nƒ. $4 ƒ.임을 보일 수 있다. $Y. 그런데 $Y

(8) Z 이면 N

(9) Z G Y , .

(10) Z G Y 이므로, 앞의 ①에서. MJN. $Y Z . $4  G Y , 즉 4 Y G Y. $Y. 이다. 따라서 4 Y 는 G Y 의 한 부정적분이므로 적분과 미분의 관계에 의하여. 적분과 미분의 관계 함수 G U 가 닫힌구간. <B, C>에서 연속일 때,. E "AA G U EU G Y. EY. 단, BYC. 4 B

(11) $"BAA G U EU. 이므로 $4 B . 가 성립한다.. "AAG U EU4 Y

(12) $ $는 적분상수. 한편, YB이면 4 B 이고 "BAAG U EU이므로  "AAG U EU4 Y. . 이다.. …… ②. 여기서 구하고자 하는 도형의 넓이 4는 ②에 YC를 대입한 것과 같으므로 다음이 성립한다. .  44 C "CAAG Y EY. 이상을 정리하면 다음과 같다. 정적분의 기하적 의미 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 G Y y일 때, 정적분. "CAAG Y EY는 곡선 ZG Y 와 Y축 및 두 직선 YB, YC로 둘러. 싸인 도형의 넓이와 같다.. y 8. S O. a. b x. 4 AYEY<ÅY> `. x. 문제 1. 136. y=f{x}. 곡선 ZY 과 Y축 및 두 직선 Y, Y로 둘러싸인 도형의 넓이 4는 다음과 같다.. y=x#. O 2. y. Ⅲ. 다항함수의 적분법. 곡선 ZY

(13) 과 Y축 및 두 직선 Y, Y으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오..

(14) 곡선과 Y축 사이의 넓이 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속일 때, 곡선 ZG Y 와 Y축 및 두 직선. YB, YC로 둘러싸인 도형의 넓이 4를 구해 보자. Œ 닫힌구간 <B, C>에서 G Y y인 경우. y y=f{x}. 4는 다음과 같다.. 4"CAAG Y EY. S a. O.  닫힌구간 <B, C>에서 G Y ƒ인 경우. x. b. y y=-f{x}. G Y ƒ에서 G Y y이고, 곡선 ZG Y. 는 곡선 ZG Y 를 Y축에 대하여 대칭이동한 도 형이므로 4는 곡선 ZG Y 와 Y축 및 두 직선. S O. a. YB, YC로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.. x. b. S. y=f{x}. 따라서 4는 다음과 같다.. 4"CA\G Y ^EY"CAA]G Y ]EY. G Y ƒ일 때, ] G Y ] G Y. 이제 닫힌구간 <B, C>에서 G Y 의 값이 양수인 경우와 음수인 경우가 모두 있을 때 의 도형의 넓이를 구해 보자. 함께하기. 오른쪽 그림과 같이 닫힌구간 <B, D>에. y. y=f{x}. 서 G Y y이고, 닫힌구간 <D, C>에서 G Y ƒ인 함수 G Y 가 있다. 이때 곡선 ZG Y 와 Y축 및. S¡ O a. c. b S™. x. 직선 YB 로 둘러싸인 도형의 넓이를 4  , 곡선. ZG Y 와 Y축 및 직선 YC로 둘러싸인 도형의 넓이를 4라 하자. 활동. 1 4과 4 를 각각 정적분을 이용하여 나타내어 보자.. 4„ 활동. 4m. 2 곡선 ZG Y 와 Y축 및 두 직선 YB, YC로 둘러싸인 도형의 넓이 4에. 대하여 다음이 성립함을 설명해 보자.. 44

(15) 4"CAA]G Y ]EY. 2. 정적분의 활용. 137.

(16) 이상을 정리하면 다음과 같다. 곡선과 Y축 사이의 넓이 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속일 때, 곡선 ZG Y 와 Y축 및 두 직선 YB,. YC로 둘러싸인 도형의 넓이 4는. 4"CAA] G Y ]EY. 곡선 ZY 과 Y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.. 예제 1. 곡선 Z G Y 와 Y축의. 풀이. 교점의 Y좌표를 구한다.. 주어진 곡선과 Y축의 교점의 Y좌표는 과 이고,. y. y=x@-1. 닫힌구간 <, >에서 Zƒ이다.. 4@ÅA]Y ]EY@ÅA Y

(17)  EY. 따라서 구하는 넓이 4는 . <. . O -1. x. 1. YšA

(18) Y>@Å . 답. . 다음 곡선과 Y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.. 문제 2. ⑴ ZYY. ⑵ ZY™``Y. 곡선 ZYY 와 Y축 및 두 직선 Y, Y으로 둘러싸인 도형의 넓이를. 예제 2 구하시오.. G Y y인 구간과 G Y ƒ인 구간으로 나누 어 구한다.. 풀이. 주어진 곡선과 Y축의 교점의 Y좌표는 과 이고,. y. y=x@-4x 5. 닫힌구간 <, >에서 Zy, 닫힌구간 <, >에서. Zƒ이다. 따라서 구하는 넓이 4는 @ÅA]Y™``Y]EY의 값과. \@ÅA Y™``Y EY\의 값 이 같을까 ?. 4@ÅA]Y™``Y]EY. @ÅA Y™``Y EY

(19)  AA Y™``

(20) Y EY <. YšA YšA Y>@Å

(21) <

(22) Y>    . 

(23) Ãdc. 138. Ⅲ. 다항함수의 적분법. O -1. 3. x. 4. -3. 답. dc.

(24) 문제 3. 다음 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.. ⑴ ZYY

(25) , Y축, Z축, Y ⑵ ZYYY, Y축, Y, Y. 두 곡선 사이의 넓이 두 함수 G Y , H Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속일 때, 두 곡선 ZG Y ,. ZH Y 및 두 직선 YB, YC로 둘러싸인 도형의 넓이 4를 구해 보자. Œ 닫힌구간 <B, C>에서 G Y y H Y y인 경우 4는 다음과 같다.. 4"CAAG Y EY"CA H Y EY. 4 는 곡선 Z G Y 와. "CAA\ G Y  H Y ^EY. Y축 및 두 직선 YB, YC로 둘러싸인 도형의 넓 이에서 곡선 Z H Y 와 Y 축 및 두 직선 YB, YC 로 둘러싸인 도형의 넓이를 뺀 값이다.. y y=f{x} S y=g{x} O. a. x. b.  닫힌구간 <B, C>에서 G Y y H Y 이고 G Y 또는 H Y 가 음의 값을 갖는 경우 오른쪽 그림과 같이 두 곡선 ZG Y 와. y. y=f{x}+k. Z H Y 를 Z축의 방향으로 L만큼 평행이동. S. 하여. G Y

(26) Ly H Y

(27) Ly 이 되도록 하자.. O. a k. k. y=g{x}+k. b S. y=f{x} x y=g{x}. 이때 평행이동한 도형의 넓이는 변하지 않으므 로 4는 두 곡선 ZG Y

(28) L, ZH Y

(29) L 및 두 직선 YB, YC로 둘러싸인 도형의 넓 이와 같다. 따라서 4는 다음과 같다.. 4"CAA<\ G Y

(30) L^\ H Y

(31) L^>EY "CAA\ G Y  H Y ^EY. 2. 정적분의 활용. 139.

(32) Ž 닫힌구간 <B, D>에서 G Y y H Y 이고 닫힌구간 <D, C>에서 G Y ƒ H Y 인 경우. 닫힌구간 <B, C>에서. G Y 와 H Y 의 대소 관계. 닫힌구간 <B, C>를 <B, D>와 <D, C>로 나누어. 가 바뀔 때는 G Y  H Y. 의 값이 양수인 구간과 음수. y. y=g{x}. 4를 구하면 다음과 같다.. 4"DAA\ G Y  H Y ^EY. 인 구간으로 나누어 넓이를 구한다..

(33) $CAA\ H Y  G Y ^EY. "DAA G Y EY. S. y=f{x} a. O. "DAA] G Y  H Y ]EY

(34) $CAA] G Y  H Y ]EY.

(35) $CAA G Y EY. c. x. b. "CAA] G Y  H Y ]EY. "CAA G Y EY. 이상을 정리하면 다음과 같다. 두 곡선 사이의 넓이 두 함수 G Y , H Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속일 때, 두 곡선 ZG Y , ZH Y 및 두 직선 YB, YC로 둘러싸인 도형의 넓이 4는 . 예제 3. 풀이. 4"CAA] G Y  H Y ]EY. 곡선 ZYY과 직선 ZY로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. 주어진 곡선과 직선의 교점의 Y좌표는. y. Y™`YY, 즉 Y Y 에서. 2. Y 또는 Y 닫힌구간 <, >에서 YyYY이므로. y=x-1 O1. -1. 구하는 넓이 4는. 4 AA] Y  YY ]EY. 3 y=x@-2x-1.  AA Y

(36) Y EY<  Y

(37)  Y>      . 문제 4. 다음을 구하시오.. ⑴ 곡선 ZY

(38) 와 직선 ZY로 둘러싸인 도형의 넓이 ⑵ 두 곡선 ZYY과 ZY

(39) Y으로 둘러싸인 도형의 넓이. 140. Ⅲ. 다항함수의 적분법. x. 답.  .

(40) 예제 4. 풀이. 두 곡선 ZYY

(41)  과` ZY

(42) 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. y y=x#-2x+1. 주어진 두 곡선의 교점의 Y좌표는. YY

(43) Y

(44) 에서 Y

(45) YY,. Y Y

(46)  Y . 1. -2. 1 x. O. Y 또는 Y 또는 Y 따라서 구하는 넓이 4는. 4@!A] YY

(47)   Y

(48)  ]EY. -3 y=-x@+1. @!A\ YY

(49)   Y

(50)  ^EY. 닫힌구간 < >에서. YY

(51) yY

(52) .

(53)  AA\ Y

(54)   YY

(55)  ^EY. 닫힌구간 < >에서. Y

(56) yYY

(57) . @!A Y

(58) YY EY

(59)  AA YY

(60) Y EY < Y›A

(61) YšA Y>@!

(62) < Y›A  YšA

(63) Y>     . 문제 5. 답. . 다음 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.. ⑴ ZYY

(64) , ZY

(65) Y. 생각 넓히기. . ⑵ ZY

(66) Y, ZY Y. 문제 해결 | 추론 | 창의・융합 | 의사소통 | 정보 처리 | 태도 및 실천. 오른쪽 그림과 같이 곡선 ZG Y 와 Y축으로 둘러싸인 두 도형. 의 넓이를 각각 4, 4라 할 때, 44이면 "DAAG Y EY. y=f{x} S¡ a. b. S™. c x. 이다.. 활동 1. 다음 단계에 따라 위의 내용을 확인해 보자. ⑴ 4과 4를 각각 정적분을 이용하여 나타내시오.. 활동 2. ⑵ 44이면 "DA<G Y EY임을 확인하시오.. 곡선 ZY YL Y 와 Y축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같을 때,. 상수 L의 값을 구하고, 친구들과 비교해 보자. 단, L

(67) , L

(68) . 2. 정적분의 활용. 141.

(69) 탐구 융합. 로렌츠 곡선과 지니계수 창의・융합 | 태도 및 실천. 미국의 통계학자 로렌츠 -PSFO[,A..A0.,A. _ 가 창안한 소득 분배 곡선인 로렌츠 곡선은 적 비율을 Z축으로 잡은 좌표평면에 나타낸 곡선이다. 이 그림에서 대각선 ZY는 소득 분배가 완전히 평 등하게 이루어질 때를 나타낸다. 따라서 로렌츠 곡선. 소득 누적 비율 A. 오른쪽 그림처럼 인구 누적 비율을 Y축으로, 소득 누. y 100. A. 로렌츠 곡선. . 은 소득 분배가 평등할수록 대각선 ZY에 가깝고 불 평등할수록 대각선 ZY에서 멀어서 아래로 늘어지. 소득의 완전 평등 분배를 나타내는 대각선. O. B 인구 누적 비율 . 100 x. 는 모양으로 나타난다. 로렌츠 곡선에서 소득 불균형의 정도를 수치로 나타내는 것을 이탈리아의 통계학자 지니 (JOJ . $.,A_ 의 이름을 따서 지니계수라고 한다. 위의 그림에서 지니계수는 대각선 ZY와 로렌츠 곡선 사이의 넓이 "를 대각선 아래 삼각형 전체 의 넓이 "

(70) #로 나눈 값. ƒ. " 로 정한다. 이때 "의 값의 범위가 부터 "

(71) # 까지이므로 "

(72) #. " ƒ "

(73) #. 이 되어서 지니계수는 과  사이의 값으로 나타난다. 그러므로 지니계수가 에 가까울수록 소득 격차가 줄어들고, 에 가까울수록 소득 격차가 커짐을 뜻한다.. 탐 구. 1. (출처: 한국은행, ). 로렌츠 곡선을 나타내는 함수 Z- Y ƒYƒ 가 다항함수일 때, 지니계수를 정적분을 이용하여 나 타내어 보자.. 2. 142. 어느 나라의 로렌츠 곡선이 나타내는 함수가 - Y Y™A

(74) !Y ƒYƒ 일 때, 지니계수를 구해 보자.. Ⅲ. 다항함수의 적분법.

(75) 속도와 거리 학습 목표. 속도와 거리. 속도와 거리에 대한 문제를 해결할 수 있다.. 생각 열기 준비 하기. 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서. 를 T U N라 할 때, T U U™`` 이라고 한다. 1. 의 위치 Y가 YUš``U

(76) 일 때, U 에서의 속도와 가속도를 구하시오.. 직선 도로를 달리는 어떤 자동차가 출발한 후 U초 동안 움직인 거리. 2 3. 이 자동차가 출발한 지 U초 후의 속도 W U NT를 구해 보자..  AW U EU의 값을 구해 보자. T  을 구하여. 2 의 결과와 비교해 보자.. 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 속도가 W U 이고 시각 UB 에서의 위치가 Y일 때, 시각 U에서 점 1의 위치 YG U 를 구해 보자.. EY G  U W U 에서 G U 는 W U 의 한 부정적분이므로 EU "UAW U EUG U G B. 이다. 여기서 G B Y이므로 시각 U에서 점 1의 위치 Y는. 다가 서기. 운동하는 물체의 위치를 미분하면 속도를 구할 수 있고, 물체가 움직이 는 속도를 적분하면 물체의 위치를 예측할 수 있다. 달리는 기차의 속력을 측정할 수 있 으면 적분을 이용하여 기차의 현재 위치나 움직인 거리 등을 알 수 있다.. YG U G B

(77) "UAW U EUY

(78) "UAW U EU. 이다. 또, 시각 UB에서 UC까지 점 1의 위치의 변화량 G C G B. 는 다음과 같다.. G C G B "CAW U EU. 이상을 정리하면 다음과 같다. 수직선 위를 움직이는 점의 위치 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 속도가 W U 이고 시각 UB에서 점 1의 위치가 Y일 때, 1 시각 U에서 점 1의 위치 Y는. YY

(79) "UAW U EU. 2 시각 UB에서 UC까지 점 1의 위치의 변화량은. "CAW U EU 2. 정적분의 활용. 143.

(80) 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 속도가 W U U일 때,. 위치 미분. ① 시각 U에서 점 1의 위치 Y는. Y

(81)  UAA U EU<UÅU>U `ÅU

(82) U. 적분. 속도. ② 시각 U에서 U까지 점 1의 위치의 변화량은.  AA U EU<UÅU> `. 문제 1. 좌표가 인 점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 속도가. W U UU 일 때, 다음을 구하시오.. ⑴ 시각 U에서 점 1의 위치 ⑵ 시각 U에서 U까지 점 1의 위치의 변화량. 이제 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 속도를 W U , 위치를 YG U 라 할 때, 시각 UB 에서 UC 까지 점 1가 움직인 거리 T를 구해 보자. W U 이면 점 1는 양. Œ 닫힌구간 <B, C>에서 W U y인 경우. 의 방향으로 움직이고,. W U 이면 점 1는 음의 방향으로 움직인다.. G U 가 증가하므로 T는 다음과 같다.. TG C G B "CAAW U EU"CAA]W U ]EU. P f{a}. s. f{b}. s. f{b}. x.  힌구간 <B, C>에서 W U ƒ인 경우  닫. G U 가 감소하므로 T는 다음과 같다.. TG B G C #BAAW U EU. "CAA\W U ^EU"CAA]W U ]EU. P f{a}. x.  힌구간 <B, D>에서 W U y이고 닫힌구간 <D, C>에서 W U ƒ인 경우 Ž 닫. T는 다음과 같다.. T"DAW U EU

(83) $CAA\W U ^EU. "DAA]W U ]EU

(84) $CAA]W U ]EU "CAA]W U ]EU. 144. Ⅲ. 다항함수의 적분법. P f{a}. f{b}. f{c} x.

(85) 이상을 정리하면 다음과 같다. 수직선 위를 움직이는 점의 움직인 거리 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 속도가 W U 일 때, 시각 UB에서 UC까지 점. 1가 움직인 거리 T는. T"CA ]W U ]EU. 좌표가 인 점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 속도가. 예제 1. W U U U

(86) 일 때, 시각 U에서 U까지 점 1가 움직인 거리를 구하시오. . v{t}. v{t}=t@-3t+2. W U UU

(87)  U U 이므로 닫힌구간 <, >에서 W U ƒ이고,. 풀이. 닫힌구간 <, >에서 W U y이다.. 2. 따라서 시각 U에서 U까지 점 1가 움직인 거리 T는. O. 1. 2. TÅAA]UU

(88) ]EU. . 3 t. ÅAA U

(89) U EU

(90) !AA U™U

(91)  EU. <ÅU

(92) UU>Å

(93) `<ÅUU

(94) U>!. Å

(95) . 답. 문제 2. . 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 속도가 W U  U. 일 때, 시각 U에서 U까지 점 1가 움직인 거리를 구하시오.. 탐구. 문제 3. 오른쪽 그림은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직. v{t}. 이는 점 1의 시각 U에서의 속도 W U 의 그래프이다. 다음에. 2. 답하시오. 단, ƒUƒ. ⑴ 시각 U에서 점 1의 위치를 구하시오.. 3 O. 1 2. 4 5 6 7. t. -2. ⑵ 시각 U에서 U까지 점 1가 움직인 거리를 구하시오.. ⑶ 점 1의 움직임에 대하여 설명하시오. 2. 정적분의 활용. 145.

(96) 수평인 지면에서 `NT의 속도로 수직으로 위로 쏘아 올린 물 로켓의. 예제 2. U초 후의 속도가 W U U` NT 일 때, 다음을 구하시오. 단, ƒUƒ. ⑴ 물 로켓을 쏘아 올린 순간부터 초 후 물 로켓의 지면으로부터의 높이 ⑵ 물 로켓이 지면으로 떨어질 때까지 움직인 거리 ⑴ U일 때의 높이가 Y이므로, U초 후 물 로켓의 지면으로부터의 높이. 풀이. Y N는. Y

(97)  UA U EUUU` N. 따라서 U일 때 물 로켓의 지면으로부터의 높이는. Y@@`` N. ⑵ 물 로켓이 지면에 떨어지면 Y이므로 UU™``에서. U 또는 U 즉, 물 로켓이 지면에 떨어지는 데 걸리는 시간은 초이다. 이때 W U U U ` NT 이므로 닫힌구간 <, >에서 W U y 이고, 닫힌구간 <, >에서 W U ƒ이다. 따라서 물 로켓이 움직인 거리 T는. T A]U]EU A U EU

(98) A 

(99) U EU <UU™`>

(100) <U

(101) U™`>. . 문제 4. 

(102) ` N. 답. ⑴ AN. ⑵ AN. 직선 철로를 `NT의 속도로 달리는 열차가 제동을 건 지 U초 후의 속도가. W U U` NT 일 때, 이 열차가 제동을 건 후 정지할 때까지 움직인 거리를 구하시오. 단, ƒUƒ. 생각 넓히기. 문제 해결 | 추론 | 창의・융합 | 의사소통 | 정보 처리 | 태도 및 실천. 오른쪽 그래프는 같은 지점에서 동시에 출발한 두 자전 거 "와 #의 분 동안의 속도 W U 를 나타낸 것이다. 활동 1. 그래프에서 색칠한 두 부분의 넓이가 무엇. v{t} {m/min} 500 A 300. B. 을 의미하는지 말해 보자. 활동 2. 색칠한 두 부분의 넓이가 같을 때, "와 #가 출발한 후 분 동안의 상황에 대하여 설명해 보자.. 146. Ⅲ. 다항함수의 적분법. O. 1. 2 t{분}.

(103) 탐구 융합. 갈릴레이의 실험을 적분으로 확인하기 추론 | 창의・융합 | 태도 및 실천. 갈릴레이 (BMJMFJ, (., _ 이전 시대의 사람들은 똑같은 높이에서 물체를 자유 낙하시 키면 무거운 것이 가벼운 것보다 낙하 속도가 크기 때문에 지면에 더 빨리 도달한다고 믿었다. 하지만 갈릴레이는 경사면에서 공을 굴려 내리는 실험을 수없이 반복한 결과 공의 최종 속도는 경 사각의 크기가 아니라 경사면의 높이에 따라 변하고, 경사면을 따라 내려간 거리는 언제나 그 시간의 제곱과 매우 밀접한 관련이 있음을 발견하였다. 당시에는 공의 이동 시간을 정확하게 측정할 수 있는 시계가 없었으므로 큰 물통에 가득 찬 물이 바닥에 뚫린 작은 구멍을 통해 흘러나온 양으로 시간을 측정했다고 한다.. 갈릴레이는 이 실험을 통해 가속도가 일정한 물체가 자유 낙하할 때 이동 거리는 낙하 시간의 제곱 에 정비례함을 밝혀냈다. 즉, 시각 U에서의 물체의 이동 거리를 Y라 하면. YLU™A L는 상수. 이 성립한다.. 탐 구. 1. UU ① (출처: $VTIJOH, +. 5., 『물리학의 역사와 철학』). 갈릴레이는 정지 상태에서 출발하여 가속도가 일정한 물체가 직선 운동을 할 때, 시간의 증분에 대한 속도 의 증분의 비가 일정하다고 주장했다. 지구의 중력 가속도가 .ANT™AA으로 일정하다고 할 때, 정적분을 이용하여 속도 W U ANT를 구하여 갈릴레이의 주장이 옳음을 확인해 보자.. 2 1의 결과와 정적분을 이용하여 위의 ①에서 상수 L의 값을 구해 보자. 2. 정적분의 활용. 147.

(104) III. -2. 정적분의 활용. 기 본. 중단원 마무리하기. 01. 오른쪽 그림과 같이 곡선. 넓이. ZY

(105) Y

(106) 과 Y축. ⑴ 정적분의 기하적 의미. 으로 둘러싸인 도형의 넓. 함수 G Y 가 닫힌구간 <B C>에서 연속이고 G Y y. 이를 구하시오.. 일 때, 정적분 "CAAG Y EY는 곡선 ZG Y 와 Y축 및. y. -1 O. y=-x@+2x+3. 3. x. 두 직선 YB, YC로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다. ⑵ 곡선과 Y축 사이의 넓이 함수 G Y 가 닫힌구간 <B C>에서 연속일 때, 곡선. ZG Y 와 Y축 및 두 직선 YB, YC로 둘러싸인 도형의 넓이 4는. 4"CAA] G Y ]EY. 02. 하시오.. ⑶ 두 곡선 사이의 넓이. 두 함수 G Y , H Y 가 닫힌구간 <B C>에서 연속일 때,. ⑴ ZY. 두 곡선 ZG Y , ZH Y 및 두 직선 YB, YC. ⑵ Z Y Y. 로 둘러싸인 도형의 넓이 4는. 4"CAA] G Y H Y ]EY. 속도와 거리. 03. 이고 시각 UB에서의 점 1의 위치가 Y일 때, 시각 U에서 점 1의 위치 Y는. 2. 시각 UB에서 UC까지 점 1의 위치의 변화량은. 3. 시각 UB에서 UC까지 점 1가 움직인 거리 T는. 다음 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구 하시오.. 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 속도가 W U. 1. 다음 곡선과 Y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구. ⑴ ZY

(107) Y

(108) , ZY. YY

(109) "UAAW U EU. ⑵ ZYY

(110) , Z. "CAAW U EU. T"CAA]W U ]EU. 04. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시 각 U에서의 속도가 W U U일 때, 시각 U 에서 점 1의 위치를 구하시오.. 148. Ⅲ. 다항함수의 적분법.

(111) 표 준. 05. 곡선 ZBYY과 Y축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 일 때, 양수 B의 값을 구하 시오.. 06. 곡선 ZY]Y]와 Y축 및 직선 Y, YB 로 둘러싸인 도형의 넓이가 일 때, 양수 B의 값을 구하시오.. |서 술 형|. 07. . 곡선 ZY Y와 직선 ZBY 로 둘러싸인 도형의 넓이가 일 때, 양수 B의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.. 08. 곡선 ZY

(112) Y 위의 점 ,  에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.. 09. 곡선 ZY Y YB 와 Y축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같을 때, 상 수 B의 값을 구하시오. 단, B. 10. 오른쪽 그림은 삼차함수 ZG Y 의 그래프이다. 곡선. ZG Y 와 Y축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 G Y 를 구하시오..  일 때, . y 3 x. O. y=f{x}. 2. 정적분의 활용. 149.

(113) 11. y. 오른쪽 그림과 같이 두 곡선 ZG Y 와. ZH Y 로 둘러싸인 세 도형 ", #, $의. y=f{x} C. B. A. 넓이가 각각 , , 일 때, 정적분. @A\ G Y H Y ^EY의 값을 구하시오.. 12. 5 7 y=g{x}. O. -5. x. 좌표가 인 점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 속도가. W U U일 때, 점 1가 움직이는 방향이 바뀌는 시각에서의 점 1의 위치를 구 하시오.. 13. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시. v{t}. 각 U에서의 속도 W U 의 그래프가 오른쪽 그림과. 2. 같을 때, 다음을 구하시오. 단, ƒUƒ. ⑴ 시각 U에서 점 1의 위치. 2. 4 5 6. O. t. -2. ⑵ 시각 U에서 U까지 점 1가 움직인 거리. 14. 수평인 지면으로부터  N의 높이에서  NT의 속도로 수직으로 위로 던져 올린 물체의 U초 후의 속도가 W U U` NT 일 때, 다음을 구하시오.. 단, ƒUƒ. ⑴ 물체를 던져 올린 순간부터 초 후 물체의 지면으로부터의 높이 ⑵ 이 물체가 최고 높이에 도달했을 때 지면으로부터의 높이 ⑶ 물체를 던져 올린 후 초 동안 물체가 움직인 거리. 150. Ⅲ. 다항함수의 적분법.

(114) 발 전. 15. G Y YY

(115)  AAG U EU 를 만족시키는 함수 G Y 에 대하여 곡선 ZG Y 와. 직선 Z로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.. 16. 오른쪽 그림과 같이 곡선 ZYY

(116) B와 Y축 및 Z축으로. y. y=x@-6x+a. 둘러싸인 도형의 넓이를 ", 이 곡선과 Y축으로 둘러싸인 도 형의 넓이를 #라 하자. "A`#`:` 일 때, 상수 B의 값을 A. 구하시오.. O. x. B. |서 술 형|. 17. 원점에서 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 1, 2의 시각 U에서의 속도는 각각 W1 U U™``U

(117) , W2 U U 이다. 두 점 1, 2가 다시 만나게 되는 시 각을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.. 18. 두 자동차 ", #가 같은 직선 도로를 따라 같 은 방향으로 달리고 있다. 1 지점을 지나면 서부터 "의 속도는  NT로 일정하다. " 가 1 지점을 지난 지 초 후에 #도 1 지점을 지났으며 1 지점을 지난 지 U초 후의 #의 속 도는 U

(118)  NT이었다. 두 자동차가 만나게 되는 것은 #가 1 지점을 지난 지 몇 초 후인지 구하시오.. 단, 두 자동차가 만난 후, # 는 "와 만날 때의 속도로 일정하게 달린다.. 2. 정적분의 활용. 151.

(119) III. 대단원 평가하기 하. 01. 05. 다항함수 G Y 에 대하여. 함수 G Y 의 도함수 G  Y 는 이차함. AAG Y EYÅYÅY

(120) $ $는 적분상수. 가 성립할 때, G  의 값을 구하시오.. 중. 상. y. y=f'{x}. 수이고, ZG  Y 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. G Y 의 극댓값이  , 극솟값이 일 때, G  의 값은?. ①. ②. ④ . ⑤ . ③. O. 4 x. 02 함수 G Y 에 대하여. G Y AYEY

(121) AYEY 이고 G  일 때, G  의 값을 구하시오.. 06. 정적분  A Y

(122)  š`` EY A Y š`` EY의 값을 구하시오.. 03 모든 실수 Y 에 대하여. A Y

(123) Y

(124) B EYCY

(125) DYY

(126) $. $는 적분상수 . 가 성립할 때, 상수 B, C, D에 대하여 B

(127) C

(128) D의 값은?. ① . ② . ④. ⑤. ③. 부등식  A  Y™``OY

(129)  EY 를 만족시키는 자연. 수 O의 개수를 구하시오.. 08. 04 점   를 지나는 곡선 ZG Y 위의 임의의 점 Y Z. . 에서의 접선의 기울기가 Y Y

(130) 일 때, G  의 값을 구 하시오.. 152. 07. Ⅲ. 다항함수의 적분법. 함수 G Y BY

(131) 에 대하여  AAG Y EY일 때, 정 적분  A\ G Y ^EY의 값을 구하시오. 단, B는 상수.

(132) 09. 12 . 함수 G Y Y

(133) BY

(134) C가. @ÅAG Y EY, @ÅAYG Y EY. 를 만족시킬 때, 상수 B, C에 대하여 BC의 값은?. ① !. ② Å. ④ Å. ⑤ Å. ③ Å. 함수 G Y 가 모든 실수 Y에 대하여.  AAG U EUY™``Y. 를 만족시킬 때, 정적분  AAG Y™`` EY의 값을 구하시오.. 13. 10 모든 실수 Y에서 연속인 함수 G Y 에 대하여 항상 옳은. 미분가능한 함수 G Y 가. ÅA ` YU G U EUBY

(135) Y

(136) C. 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?. 를 만족시킬 때, 상수 B, C에 대하여 BC의 값을 구하시오.. ㄱ.  AAG Y EY!AAG Y EY 보기. ㄴ. @AG Y EY@AG Y EY

(137)  AAG Y EY. ㄷ. G Y G Y 이면 @ÅAG Y EY이다.. ①ㄱ. ②ㄷ. ④ ㄴ, ㄷ. ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ. ③ ㄱ, ㄴ. 14 다음 그림은 함수 ZG Y 의 그래프이다. G  이 고, 곡선 ZG Y 와 Y축 및 두 직선 Y, YU로 둘 러싸인 도형의 넓이를 4 U 라 할 때,. MJN I Z. 11 모든 실수 Y에서 연속인 함수 G Y 가. G Y

(138)  G Y , @ÅAG Y EY. 를 만족시킬 때, 정적분 @ÅAAG Y EY의 값을 구하시오.. 4 

(139) I 4 . 의 값을 구하시오. I y. y=f{x}. 3 S{t} O. 2. t. x. 대단원 평가하기. 153.

(140) III. 대단원 평가하기. 15. 18. 곡선 ZY 과 Y축 및 두 직선 Y와 YB로 둘러싸. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에. 인 도형의 넓이가 일 때, 양수 B의 값은?. 서의 속도가 W U U 일 때, 점 1가 다시 원점을 통. `. ①.  . 과하는 시각을 구하시오.. ③ . ② ⑤ . ④. 19 16. 서현이는 직선 도로를 따라 학교와 공원을 지나 복지관에. 곡선 ZY와 이 곡선 위의 점   에서의 접선. 도착했다. 서현이가 학교를 지날 때부터 복지관에 도착할. 및 Z축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?. 때까지 U분 후의 속도는. ① Å. ② Å. ④. ⑤ . W U 

(141) UU NNJO . ③ !. . 이고, U일 때 공원을 지나고 U일 때 복지관에 도착 했다고 한다. 이때 공원과 복지관 사이의 거리를 구하시오. 학교. 공원. 복지관. 17 다음 그림과 같이 곡선 ZY

(142) Y 와 직선 ZY로 둘 러싸인 도형의 넓이를 4„, 곡선 ZY

(143) Y와 Y축 및 직선 ZY로 둘러싸인 도형의 넓이를 4 라 할 때, 값을 구하시오. y. y=x. S¡ S™ O. 154. Ⅲ. 다항함수의 적분법. 3 y=-x@+3x. x. 4 의 4. 20 어느 승강기가 층에서 출발하여 멈추지 않고 꼭대기 층 까지 올라갈 때, U초 후의 속도는. a U ƒUƒ. ' W U X  Uƒ. ' LU

(144)  Uƒ. 이다. 이 승강기가 층에서 꼭대기 층까지 움직인 거리를 구하시오. 단, 속도의 단위는 NT이다..

(145) 23. 21번부터 24번까지 서술형입니다.. 오른쪽 그림과 같이 곡선. 21. y. y=ax@ y=x@. ZY™`` Yy 과 Z축 및 직선. 오른쪽 그림은 삼차함수. y. G Y 의 도함수 ZG  Y. 3. Z로 둘러싸인 도형의 넓이. y=f'{x}. 를 곡선 ZBY™`` Yy 이 이. 의 그래프이다. G  . 등분할 때, 양수 B의 값을 구하. 일 때, 방정식 G Y L가 서로 다른 세 실근을 갖기. 1. -2. O. 2. x. O. 시오.. x. 위한 실수 L의 값의 범위를 구하시오.. 24 22. 정적분  AA BY

(146) BY EY 의 값이 최소가 되도록. 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 1,. 2의 시각 U에서의 속도를 각각 W„ U , Wm U 라 하면 W„ U U

(147) , Wm U U™`` 이다. 선분 12의 중점을 3라 할 때, 점 3가 다시 원점을. 때, N

(148) O의 값을 구하시오.. 지날 때까지 움직인 거리를 구하시오.. 기평. 가. 자. 하는 실수 B의 값을 N, 그때의 정적분의 값을 O이라 할. 정답을 맞힌 문항에 ○표하여 학습 성취도를 표시하고, 부족한 부분은 교과서의 해당 쪽을 확인하여 복습하자.. 문항 번호. 성취 기준. 성취도. 복습. 01 02 03 04 05 21. 부정적분의 뜻을 알고, 다항함수의 부정적분을 구할 수 있다.. 115~120쪽. 06 07 08 09 10 11 12 13 22. 다항함수의 정적분을 구할 수 있다.. 122~128쪽. 14 15 16 17 23. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.. 135~141쪽. 18 19 20 24. 속도와 거리에 대한 문제를 해결할 수 있다.. 143~146쪽. 성취도. 만족,. 보통,. 미흡. 대단원 평가하기. 155.

(149) 수학 이야기. 정적분이 심장을 뛰게 만든다 우리나라의 경우 성인의 사망 원인으로 암이 압도적으로 많고, 그다음이 동맥 경화, 화, 심근 경색, 뇌졸중 같은 심혈관 질환이다. 심혈관 질환은 혈액이 혈관을 따라 잘 흐르 지 못해서 생기는 병으로 혈액을 흐르게 하는 심장의 역할이 중요하다.. 심장의 건강 상태를 알아보는 한 가지 방법이 심장이 한 번 수축할 때마다 뿜어내는 혈액의 양인 심장박출량. DBSEJBD PVUQVU 을 측정하는 것인데, 이때 색소 희석법 EZF EJMVUJPO NFUIPE 이라는 방법을 많 이 사용한다. 색소 희석법에서 색소가 우심방으로 주입되면 심장을 거쳐 대동맥으로 흘러들어간다. 이때 주입 되는 색소의 양을 ", 색소가 없어지는 데 걸리는 시간을 5, 대동 맥에서 색소가 감지되는 시각 U에서 색소의 농도를 D U 라 하면, 심장박출량 '는. '. ".  –AD U EU. 와 같이 정적분을 이용하여 계산한다. 예를 들어 어떤 사람에게  NH의 색소를 심장에 주입한 지 U초 후에 대동맥에서 색소의 농도 D U ` 를 측정한 표가 다음과 같다고 하자. 시간 U 초. . . . . . . . . . . . 농도 D U  NH-. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 이때 ", 5이고, 정적분  AAD U EU의 값은 표에 주어진 D U 의 값의 합인 .로 정할 수. 있다고 한다. 이 경우에 심장박출량 '를 계산하면 다음과 같다.. '. ".  AAAD U EU. .  .U -초. . 따라서 심장은 초당 약  N-의 혈액을 온몸에 공급하고 있음을 알 수 있다. 일반적으로 성인의 심장박출량은, 안정된 상태로 누운 자세에서는 초당  N-_ N-이지만 심한 운동을 할 때는 초당  N-_ N-에 달한다고 한다.. 156. Ⅲ. 다항함수의 적분법. (출처: 4UFXBSU + 『미분적분학』).

(150) 뿌리가 되는. 컴퓨터 단층 촬영에 활용되는 적분. 수학. 컴퓨터 단층 촬영 $5 촬영 은 신체에 9선을 여러 각도로 쬐어 투영된 인체 내부 영상을 컴퓨터를 이용하 여 수학적으로 변환해서 화상으로 처리한 뒤, 신체 단면의 모습을 영상으로 재생함으로써 종양을 포함한 여러 질 환을 진단할 수 있게 한다. 컴퓨터 단층 촬영은 9선 촬영과 달리 인체의 단면을 영상으로 나타낼 수 있기 때문에 사람의 장기의 구조적 위치와 병변의 위치를 정확하게 알 수 있어 의학적으로 매우 중요한 진단법이다.. 컴퓨터 단층 촬영이 병원에 처음 등장한 것은 그리 오래된 일이 아니다. 컴퓨터 단층 촬영은 년 영국의 한 병원에서 처음으로 임상에 쓰이기 시작했다. 컴퓨터 단층 촬영 기계를 만든 하운스필드. )PVOTGJFME, ( ., _ 와 코맥 $PSNBDL, " . . ., _ 은 그 공로를 인정받 아 년 노벨 생리o의학상을 수상했다. 컴퓨터 단층 촬영의 원리에 대하여 알아보자. 컴퓨터 단층 촬영 기계가 인체 주위를 회전하면서 여러 위치에서 일정한 방향으로 9선을 쬐어 인체 에 흡수된 9선의 양을 측정하여 그래프로 나타낼 수 있는데, 이 그래프를 시각화한 영상을 사이노그 램 TJOPHSBN 이라고 한다. 이때 사이노그램은 9선이 통과하는 영역의 길이를 구하면 얻을 수 있는 데, 이것은 수학적으로 9선의 흡수량의 적분값을 구하는 문제로 이해할 수 있다. 또, 사이노그램을 이 용하여 컴퓨터 단층 촬영 영상을 얻는 과정에서는 라돈 변환의 역과정이 이용된다.. ±A그래프. ±A그래프. 각 방향에서의 밀도함수. $5 영상. 사이노그램 적분. 적분. 오스트리아의 수학자 라돈 3BEPO + ., ." .,. _ 은 ‘모든 방향에서 평면으로 자른 단 면의 넓이로 입체의 모양을 복원할 수 있다’는 수학 문제를 증명하였는데, 이 원리를 이용하여 오늘날 컴퓨터 단층 촬영으로 인체 내부의 단면의 영상을 볼 수 있는 것이다. (출처: 『수학동아』 동아 사이언스). 뿌리가 되는 수학. 157.

(151)

참조

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