단국대학교 2017학년도전형 모의논술고사
자연계열
문제 및 가이드답안
2017학년도전형 모의논술고사 자연계열
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(가) 평면에서 한 점 O 를 고정하면 임의의 벡터 에 대하여 O P 인 점 P 의 위치가 하나로 정 해진다. 역으로 임의의 점 P 에 대하여 O P 인 벡터 가 하나로 정해진다. 이와 같이 좌표 평면에서 점 O 를 시점으로 하는 벡터 O P 를 점 P 에 대한 위치벡터라고 한다.
(나) 좌표평면 위의 두 점 A , B 에 대하여 선분 AB 를 으로 내분하는 점을 Q 라 하면, O Q
O B O A 이다.
[문제1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (40점)
<제시문>
자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 A, B, C이 다음 조건을 만족시킨다.
① 삼각형 ABC의 넓이는 이다.
② O A
O B O C
O B
O C O A
O C
O A O B
[논제 1] AA BB AB AC을 만족시키는 실수 , 의 값을 구하시오. (10점)
[논제 2] 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오. (10점)
[논제 3] 다음 조건을 만족시키는 점 P 에 대하여 삼각형 P AB의 넓이를 구하시오. (20점)
→ ∞ 일 때, 선분의 길이 AP , BP , CP 가 모두 으로 수렴한다.
A
C
A
B
C
A
B
B
C
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(가) 구간 에서 연속인 함수 의 부정적분을
라 하면,
( ≤ ≤ ) 가 성립한다. 따라서 ≤ ≤ 인 함수 에 대하여
이다. 그러므로 미분가능한 함수 → 에 대하여 함수
는 구간 에서 미분가능하고,
′이다.
(나) 미분가능한 함수 가 에서 극값을 가지면 ′ 이다.
이 때 가 증가하면서 를 지날 때 ′의 부호가
⦁ 양에서 음으로 변하면 는 에서 극댓값을 가진다.
⦁ 음에서 양으로 변하면 는 에서 극솟값을 가진다.
또한 이계도함수를 가지는 함수 에 대하여 ′ 일 때 ⦁ ″ 이면 는 에서 극댓값을 가진다.
⦁ ″ 이면 는 에서 극솟값을 가진다.
(다) 함수 의 정의역과 치역, 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, 절편과 절편, 연속성 등을 알면 그 그래프의 개형을 그릴 수 있다. 이계도함수를 가지는 함수 에 대하여
⦁ 구간 에서 항상 ″ 이면 곡선 는 에서 아래로 볼록하다.
⦁ 구간 에서 항상 ″ 이면 곡선 는 에서 위로 볼록하다.
아래로 볼록
위로 볼록 [문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (60점)
<제시문>
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[논제 1] 아래 그림은 정의역이 구간 이고 치역이 구간 인 연속함수 와 정의역이 구간
이고 치역이 구간 인 미분가능한 함수 의 그래프이다.
함수
가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 와 의 값을 구하시오. (단, ≤ ≤ ) (20점)①
의 극솟값은 이다.②
는 에서 극댓값을 갖는다.[논제 2] 모든 실수 에 대하여
라 할 때 함수
의 최솟값을 구하고,
의 그래프를 그리시오. (20점)
[논제 3] 구간 에서 연속인 함수 에 대하여
( ≤ ≤ )
라 하자. 함수
