Korean Journal of Educational Research
기초수학 이수 후 연계과목 성취도 분석
박현성 (조선대학교) 박현란 (조선대학교)
The Analysis in the Achievement of Correlated Subject after Completing a Basic Mathematics Course
Hyunsung Park (Chosun University) Hyunran Park (Chosun University)
Abstract: We carried out mathematics diagnostic test for all first year natural sciences and engineering students at C university in Gwangju in 2016. With those students who had not passed the grading standard, we made the students complete a course in basic mathematics before taking mathematics Courses in Liberal Education(Pre Calculus, Linear Algebra). This paper compared and analyzed the academic achievement of the students who took Linear Algebra in 2nd semester in 2016 and had passed the mathematics diagnostic test and ones who had not.
key words: school underachievement, mathematics diagnostic test, Linking Subject, Calculus, Linear Algebra
Ⅰ. 서론
수학교육 개선을 위한 노력으로 2015년 개정 수학과 교육과정이 발표(교육부, 2015.9.23.) 되었고, 2017년부터는 2009 개정 교육과정을 이수한 학생들이 대학에 진 학을 한다. 이러한 교육과정의 노력에도 매년 대학 신입생들의 수학수준은 수업 운영 에 어려움을 겪게 하고, 대학 신입생들의 수학 기초실력을 분석한 결과 미분적분학을 바로 수강 할 기초학력이 충분하지 않은 것으로 확인되었다(이규봉 외 2007). 각 대학
들은 정시, 수시, 특별전형, 수리 가형, 수리 나형, 교차지원 등 다양한 경험을 가진 우 수한 인재를 선발하기 위해 노력한다. 하지만 고등학교에서 자연계 수학 과목을 이수 하지 않고 이공계열 학과에 진학하는 형태의 교차지원은 학과별, 계열별 학력의 차이 를 키우는 원인이 되고 있다. 여러 선행 연구 자료(이정남 외 2004; 이규봉 외 2007;
김태수 외 2008; 표용수 외 2010; 정상조 외 2011)에서도 위와 같은 문제점들을 지적 하고 기초학력 부진학생을 위한 학습자료 개발, 기초수학 교과목 개설, 특별강좌 등 지 속적인 개선을 하고 있다.
2015년부터 C 대학도 이공계 입학생들 중 대학이 원하는 기본교과목을 고교과정에 서 이수하지 않은 학생을 대상으로 기초수학을 수강하도록 하였고, 미비한 부분을 보 완하여 2016학년에는 입학 전 이공계 학생들을 대상으로 기초교육대학에서 기초학력 진단테스트를 실시하였다. 이는 교차지원으로 인해 야기되는 선수학습부진을 판별하는 방법의 하나로 테스트 결과 기대수준에 미달인 학생들은 학습부진으로 간주하고 연계 된 과목(미분적분학, 선형대수학) 이수 전 기초수학을 이수하도록 하였다. 본 논문은 그 결과를 토대로 각 과목간의 상관관계를 분석 한 것이다. 이를 바탕으로 하여 본 논 문에서는 다음과 같은 연구문제에 대하여 생각하고자 한다.
(1) 기초학력테스트를 통과한 학생들과 통과하지 못해 기초수학(2학점)을 수강하고 연계된 과목(미분적분학, 선형대수학)을 이수한 학생들 사이에 수학 성취도의 차이가 있는가?
(2) 기초수학을 수강한 학생들의 성취도는 만족 할 만한가?
Ⅱ. 이론적 배경
1. 학습부진
학습부진이란 정상적인 지적능력과 학교수업을 올바로 할 수 있는 잠재력을 지니고 있으면서도 학습 장애나 주의력 결핍, 학교생활 부적응, 가정환경, 건강문제 등의 내적 또는 외적 요인으로 인하여 교육목표에서 설정한 최저 수준의 학업 성취에 미치지 못 하는 경우를 일컫는 말이다(한국교육과정평가원 정의). 학습부진의 정의에서 보듯 학습 부진을 일으키는 원인은 매우 다양하다. 그 중 흔하게 생각하는 몇 가지를 나열하면 교과별 선수 학습능력의 결손으로 인한 후속학습의 부진초래, 주의 집중력과 성취동기 의 미약, 학습에 대한 흥미나 지적 호기심의 결여, 다양한 시청각 교재 및 교구의 부 족, 획일적인 수업으로 개별지도가 이뤄지지 못하는 상황, 부정적인 교사-학생의 인간 관계의 영향 등이다.
여러 교과과목 중에서 수학과 학습부진이 많은 것은 일반적인 학습부진의 원인보다
는 수학의 특성(추상성, 형식성, 일반화, 특수화, 직관성, 논리성)에서 오는 원인이 크다 고 할 수 있다. 구조적이고 논리적인 학문인만큼 선수학습의 결손은 이러한 연계성의 결여를 통해 학습부진을 초래하게 된다(정종식 1987; 강영한 1995; 김진상 1998; 김 순희 외 2011).
본 논문은 교차지원으로 인해 교과목 연계성이 결여되고 선수학습이 결손 된 채로 대학 진학을 함으로 이후 후속과목을 이수하는데 문제가 발생된다고 보았다.
2. 교육과정
C 대학 이공계열에 진학 한 학생들은 표 1에서 보듯이 미분적분학과 선형대수학을 교양수학으로 수강하게 된다.
표 1. C 대학에서 진행하는 교양수학
과목 미분적분학 선형대수학
내용
1.함수와 수열 1.일차연립방정식과 그 응용
2.급수의 수렴 2.행렬
3.도함수 3.행렬식
4.도함수의 응용 4.벡터공간 ℝⁿ과 그 응용
5.적분 5.행렬의 대각화
6.적분의 응용 6.선형변환
또한 미분적분학이나 선형대수학 이후 이어지는 이공계열학과의 전공을 학습하기 위 해서는 고교과정에서 이과학생들에게 표 2와 같은 과목을 기본적으로 요구하고 있다.
하지만 표 2에서 보듯이 이공계열로 교차지원하는 문과학생들의 선행 되어져야 하는 학습이 많이 결여되어 있는 상황임을 쉽게 확인 할 수 있다.
표 2. 2007 개정 교육과정 수학교과목
학년 교과
문과 이과
1 공통교육 수학
2
선택 교육
수Ⅰ 수Ⅰ 수Ⅱ
미적분과 통계기본 수Ⅱ
3
적분과 통계 미적분과 통계기본
기하벡터 수학의 활용
2017년 신입생이 이수한 표 3의 2009 개정 교육과정은 이공계진학생들에게 필수적 인 내용으로 미적분Ⅱ와 기하벡터를 구성하였다. 문과생에게 요구되어지지 않은 부분 은 삭제되거나 축소, 또는 이과과정에만 편성되어졌다. 결과 교차지원을 한다면 많은 부분을 배우지 않고 입학하는 학생들이므로 결손 된 부분에 대한 대책마련이 더 필요 할 것으로 보인다.
표 3. 2009 개정 교육과정 수학교과목
학년 교과
문과 이과
1
선택 교육
수Ⅰ 수Ⅰ
수Ⅱ 수Ⅱ
2
미적분Ⅰ
미적분Ⅰ 미적분Ⅱ
확률과 통계 기하벡터
3 확률과 통계
C 대학에서는 학생들의 다양한 선수 학습 결손에 대한 학습부진으로 학업을 이어나 가는데 어려움을 겪지 않도록 2015년부터 표 4에서 보듯이 기초수학 교과목을 개설 하였다.
표 4. 기초수학 수업내용 수업내용
1. 함수 2. 지수와 로그함수 3. 삼각함수 4. 함수의 극한과 연속성 5. 미분법 6. 적분법
Ⅲ. 연구방법 및 절차 1. 수업진행
2015년 C 대학 교양수학은 그림 1과 같이 운영되었다. 학생별 고등학교 계열별 자
료를 기초로 대학에서 원하는 선수과목을 배운 경우는 입학 학과의 교육과정에 따라 대학 1학년 과정에 미분적분학과 선형대수학을 수강하게 하였고, 그렇지 못한 학생들 은 입학전형에 상관없이 기초수학을 수강하도록 하였다. 그 결과 기초가 부족한 상태 로 미분적분학을 수강하는데 어려움을 겪거나, 이과수학을 모두 배운 상태에서 기초수 학을 수강해야하는 학생들의 경우는 성취동기의 결여나 수업에 대한 무관심으로 학습 부진을 초래하였다.
그림 1. 2015학년도 수업진행 운영도
2016년 교양수학의 진행은 그림 2와 같이 운영되고 있다. 학생들의 입학 전 또는 수강신청 기간을 통하여 기초학력테스트를 실시하였다. 학교에서 정한 기준 점수에 도 달한 학생들은 각 학과의 교육과정에 따라 1학기와 2학기로 나누어 미분적분학(3학점) 과 선형대수학(3학점)을 수강하게 된다. 이 경우 매학기 실시하는 중간·기말시험에 응 시하고 학점이수 후 다음 강좌를 수강할 수 있다. 반면 기초테스트결과 기준 점수에 도달하지 못한 학생은 1학기(15주 동안)에 기초수학(2학점)을 수강하고, 중간·기말시험 을 거친 학점이수자(F학점 제외)에 한하여 하계 계절 학기를 이용해 각 학과 교과과정 에 맞춰 미분적분학(3학점) 또는 선형대수학(3학점)의 학점 이수 기회가 주어진다. 단, 기초수학에 F학점을 받아 계절 학기를 통해 학점 이수를 못했더라도 2학기에는 미분적 분학과 선형대수학의 수강에 제한을 두지 않았다.
2. 연구대상
2016년 1학기에는 기초수학 6개 분반과 미분적분학 33개 분반, 선형대수학 6개 분 반이 개설 되었다. 본 연구는 그림 2에서 보듯이 (1)과 (3)과 (5)의 흐름으로 수업을
받고 있는 학생들을 대상으로 연구자들이 담당한 2016년 2학기 선형대수학 분반의 비 슷한 분포를 보이는 C 학과 78명 중 2016학년도 1학기 교육과정에 따라 기초학력진 단테스트를 실시한 59명을 연구대상으로 삼았다.
3. 자료수집과 분석
본 연구자들은 2016년 1학기 기초수학과 미분적분학, 하계 계절 학기 미분적분학을 수강한 학생들의 실제 받은 성적평가 결과자료를 이용하였다. 2016년 2학기 선형대수 학을 수강한 연구대상자들의 현재 학습 준비 상황을 살피고, 기초수학을 수강한 학생 들의 성취수준을 알아보기 위한 자료는 기초테스트를 실시하여 얻었고, 이렇게 수집 된 자료들은 엑셀을 이용하여 표의 통계분석과 그래프로 작성하였다.
그림 2. 2016학년도 수업진행 운영도
Ⅳ. 결과분석
편의상 기초학력진단테스트를 통과하지 못하여 기초수학을 이수 후 미분적분학을 이 수한 그룹을 A, 기초학력진단테스트를 통과하여 미분적분학을 이수한 그룹을 B라 한 다.
1. 학업성취도
표 5는 연구대상 학생들의 1학기 또는 하계 계절 학기에 이수한 과목의 취득학점 분 포와 평균평점을 나타낸 것이다. 기초학력진단테스트를 통과하지 못한 학생들이 전체 학생 수에 비해 적고 이들이 각자가 원하는 시간을 선택한 결과로 취득학점의 분포가 고르지 못하며, A그룹은 처음부터 학업실패로 인한 자존감의 하락을 고려하여 상대평 가 된 것 같다. A그룹의 21명 중 3명이 하계미분적분학을 이수하지 않은 이유는 F를 제외한 학생들에 대해 하계 계절 학기를 통하여 미분적분학(3학점)을 미리 이수할 기 회를 준 것으로 개인적 판단에 의해 다음 학기로 미룬 것으로 보인다. 취득학점의 평 균평점은 A+는 4.5, A는 4, B+는 3.5, B는 3, C+는 2.5, C는 2, D+는 1.5, D는 1, F는 0점으로 하여 계산했다.
표 5. 취득학점 분포 및 평균평점
그룹 과목 인원
취득학점 분포
평균평점
A+ A B+ B C+ C D+ D F
A
기초수학 21 4 2 6 3 2 4 0 0 0 3.29
하계미분적분학 18 2 0 3 6 4 1 2 0 0 2.91
B 미분적분학 38 4 3 5 8 9 2 1 4 2 2.75
2. 선형대수학 기초테스트 및 결과
기초테스트는 수업 1주차에 온라인으로 실시하였고, 온라인 접속 후 사용에 익숙해 지는 시간을 고려하여 30분의 시간을 주고 총 10문항을 테스트 하도록 했다. 표 6에 서 보듯이 1번~3번은 연립방정식에 관한 풀이를 묻고, 4번~6번은 행렬에 관한 문제이 다. 7번은 연립방정식과 행렬의 관계를 묻고 나머지 8번~10번은 간단한 벡터의 연산 을 하도록 했다. 비교를 위하여 기초테스트의 성취도는 맞힌 개수를 기준하여 10개는 A+로 4.5, 9개는 A로 4, 8개는 B+로 3.5, 7개는 B로 3, 6개는 C+로 2.5, 5개는 C 로 2, 3-4개는 D+로 1.5, 1-2개는 D로 1, 0개는 F로 0점을 부여하여 계산했다.
표 6. 선형대수학 기초테스트 문제지
그림 3은 C 학과 온라인 시험 응시자 중 1주차 이후 수강정정이나 수강포기를 제외 한 A그룹에 해당하는 19명과 B그룹 27명에 대한 문항별 정답률을 나타낸 것이다. A 그룹은 평균
개를 맞고, B그룹은 평균
개를 맞았다. F-검정을 이용한 결과 p-value가
로 유의수준
보다 크므로 두 그룹의 분산이 동일하고, 등 분산하에 t-검정을 시행한 결과 p-value가
로 유의수준
에서 A, B 두 그룹의 선형대수학 기초테스트 결과에 대한 차이가 있다고 할 수 있다. 그림 3에서 보 듯 A그룹과 B그룹 사이의 차이를 보여주는 8, 9, 10번은 벡터에 대한 물음으로 A그룹 에서 선행학습이 이루어지지 않았을 확률이 높다.그림 3. 선형대수학 기초테스트 결과
또한 두 그룹 모두 소수나 분수계수를 포함한 연립방정식의 해를 구하는 문제에 낮 은 정답률을 보였다. 그림 4에서 보듯이 해가 없다는 것과 해가 무수히 많다는 것을 정확히 구별하지 못한 상태에서 풀이에 대한 학습만 이뤄진 것으로 판단된다.
그림 4. 낮은 정답률을 보인 2번 문제
3. 기초수학과 연계과목들 사이의 관계
그림 5는 A그룹의 기초수학과 미분적분학의 관계를 나타내는 것으로 학업성취도 결 과 기초수학에 비해 연계되는 미분적분학 성취도 결과가 낮거나 동일하게 나왔으나 급 격한 변화를 보이는 데이터는 존재하지 않았고, 결과 A그룹에 대한 기초수학과 미분적 분학 학업성취도 사이에는 강한 양의 상관관계가 있음을 보여준다. 이는 기초수학의 학습결과가 미분적분학에 긍정적인 영향을 주고 있음을 알 수 있다.
그림 5. A그룹의 기초수학과 미분적분학의 상관관계
그림 6은 A그룹의 기초수학과 선형대수학 사이의 학업성취도 관계를 나타내는 것으 로 기초수학 후 이어지는 미분적분학만큼은 아니지만 서로 양의 상관관계를 보여준다.
이 또한 기초수학의 학습결과가 선형대수학에 긍정적인 영향을 주고 있다고 생각되며 그림 2의 (4)의 경우처럼 기초수학 학습 후 선형대수학으로 이어지는 학생들과의 비교 가 있었다면 그 영향력을 구체적으로 확인 했을 것이란 아쉬움이 남는다.
그림 6. A그룹의 기초수학과 선형대수학의 상관관계
그림 7은 A그룹의 미분적분학과 선형대수학 사이의 학업성취도 관계를 나타내는 것 으로 양의 상관관계를 갖으나 그림 5나 그림 6의 기초수학과의 관계만큼 강한 관계를 보이지 않는다.
그림 7. A그룹의 미분적분학과 선형대수학의 상관관계
마지막 그림 8은 본 연구에서 비교분석 해 보고자 했던 A, B 두 그룹 사이의 미분 적분학의 학업성취도에 관한 관계이다. F-검정을 이용한 결과 p-value가
로 유의수준
보다 크므로 두 그룹의 분산이 동일하고, 등분산하에 t-검정을 시행 한 결과 p-value가
로 유의수준
에서 A, B 두 그룹의 미분적분학 성취 도에 대한 차이가 없다고 할 수 있다.그림 8. 미분적분학에 대한 A, B 두 그룹 사이의 관계
Ⅴ. 결론 및 제언
기초학력테스트를 통과하여 미분적분학을 수강한 학생들은 그렇지 못한 학생들에 비 해 더 나은 성적을 기대해 볼 수 있다. 하지만 우리의 연구는 기초학력테스트를 통과 하지 못하여 기초수학을 수강한 후 미분적분학을 수강한 학생들도 비슷한 수준의 학습 이 되었는지를 알아보고자 함이다. 그 결과 두 그룹 간의 미분적분학 학업 성취도에서 는 차이가 없음을 알 수 있었고, 후속학습 부진의 결과를 기초학습 결손 누적 및 교과 선수 학습의 결손으로 보고 C 대학에서 실시하는 기초수학이 연계되는 과목에 긍정적 인 영향을 주었다는 결론을 얻었다. 기초학습이 부진한 학생들도 수학에 대한 관심을 갖게 되고, 문제풀이를 통해 스스로 점검할 수 있는 계기가 되어 한 단계 성취감을 얻 을 수 있었으며 전공과목에 좀 더 다가갈 수 있는 기회를 제공한 것 같다.
본 논문은 이공계열 학생 전체를 대상으로 하지 못하고 특정 학과의 일부 학생만을 대상으로 한 결과이므로 통계로 나타난 결과에 대한 개인적인 해석은 가급적 피하였고 일반화하기에는 부족함이 있다. 마지막으로 선형대수학 학습을 마친 후 미분적분학과
같이 A, B 두 그룹 간의 학업 성취도 조사와 본 연구에서 미비한 부분들은 보강, 보완 하여 좀 더 신뢰도 있는 결과를 산출할 것을 후속연구로 남긴다.
참고문헌
강영한.(1995). 수학 부진아 학습용 CAI프로그램 제작을 위한 멀티미디어 활용기법 연 구. 경상대학교 교육대학원 석사학위논문.
김순희·한승국.(2011). 중학교 수학과 학습부진아의 효과적인 지도에 관한 연구<소집단 협동학습을 통한 자체학습 효과에 대해>. 교과교육연구, 24(1), 22-52.
김진상.(1998). 수학 학습부진아의 원인 분석 및 효과적인 지도방안에 관한 연구. 경상 대학교 교육대학원 석사학위논문.
김태수·김병수.(2008). 대학수학의 수준별 수업에 따른 학업성취도 분석. 한국수학교육 학회지 시리즈 E <수학교육논문집>, 22(3), 369-382.
이규봉·오원태·위인숙·장주섭.(2007). 대학 신입생의 수학 기초실력 분석. 한국수학교육 학회지 시리즈 E <수학교육논문집>, 21(4), 613-620.
이정남·양영균·김영식.(2004). 예비대학에서의 기초수학 수준별 특별교육이 미분적분학 학습에 미치는 영향. 한국수학교육학회지 시리즈 E <수학교육논문집>, 18(2), 55-64.
정상조·박중수·김태순.(2011). 공학인증 기초수학에서 학습부진 학생 학업성취도 향상 을 위한 방안 탐색. 한국수학교육학회지 시리즈 E <수학교육논문집>, 25(3), 593-606.
정종식.(1987). 학습부진아의 진단과 치료. 제동문화사.
표용수·박준식.(2010). 대학수학 기초학력 부진학생을 위한 기초수학 지도 방안. 한국 수학교육학회지 시리즈 E <수학교육논문집>, 24(3), 525-541.
부 록
국문초록
2016학년 광주광역시 소재 C대학교 이공계 전체 신입생을 대상으로 기초학력진단테스트 를 실시하여 기준점수를 통과하지 못한 학생들을 대상으로 대학 교양수학(미분적분학, 선형대수학)을 수강하기 전 기초수학과목을 이수하도록 하였다. 이 논문은 2016학년 2학 기 선형대수를 수강한 몇 개 분반을 대상으로 추적 조사하여 기초테스트를 통과하고 연 계되는 과목들을 수강한 학생들과 그렇지 못한 학생들 사이의 학업성취도를 비교 분석 해 보았다.
교신저자: 박현성
조선대학교 자연과학대학 수학과
61452 광주광역시 동구 필문대로 309(서석동 300) Email: [email protected]
논문투고일: 2016년 10월 31일 심사완료일: 2016년 11월 13일 게재확정일: 2016년 11월 28일