The Rearch of Stress Route for Concrete Structure using Advanced Progressive Optimization

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개선된 점진적 구조 최적화 기법을 이용한 콘크리트 구조물의 응력경로 탐색

The Rearch of Stress Route for Concrete Structure using Advanced Progressive Optimization

김시환

^*

․윤성수

^**,†

․박진선

^**

․전정배

^**

Kim, Shi Hwan․Yoon, Seong Soo․Park, Jin Seon․Jeon, Jeong Bae

ABSTRACT

This research describe improved algorithm that is able to decide terminal criterion of Evolutionary Structural Optimization (ESO), reducing load of calculation to search load path of concrete beam, and apply to agricultural facilities. The ESO method is that make to discrete structure, structural analyze each element stress through FEM. And repeat generation with next material condition to become for most suitable composing. Individual element introduces concept of zero stiffness, but zero stiffness decisions are gone to direction of exclusion. In this stduy, improve algorithm to be convergence by ‘Rule of Alive or Die’ in arrival because is most suitable. Also, existing terminal criterion lack consistency because that used depend on experience of researcher. This research procedure is fellowed.

First, all modulus of elasticity assume a half of elasticity modulus of material, Second, structural analysis by FEM, Third, apply to the remove ratio and restoration ratio for the ‘rule of alive or die’. Forth, reconstruct the element and material conditions. And repeat the first to forth process. The terminal time of evolutional procedure is the all elastic modulus of element changed to blank value or elasticity modulus value of original. Therefore, in this study, consist the algorithm for programming, and apply to the agricultural facilities with concrete.

Keywords: ESO; Terminal Condition; Reinforced Concrete

I. 서 론^*

철근구조공학의 궁극적인 목적은 최적의 구조를 창출하는 것이 다. 즉, 응력, 변위, 좌굴 하중 등을 포함한 다양한 구조적 응답 에 대해 각종 제한 조건을 만족하면서 최소 중량 및 제작비용이 소요되는 구조물의 형상을 찾는 것이 목적이다 (Bendsoe, 1988).

콘크리트는 구조물을 만드는데 사용되는 대표적인 재료로 압축 에 강하고 인장에 약한 취성재료임에도 불구하고 철근의 배근을 통해 이루어진 철근콘크리트는 다양한 구조부재로 널리 사용되 고 있다. 콘크리트의 단점을 보완하는 철근의 배근은 적절한 위 치에 해야 한다. 이러한 배근위치 결정 및 콘크리트 단면의 형상 을 최소화하기 위해서는 외부하중에 대한 내부 응력의 흐름을 알 필요가 있다 (Yoon, 2002). 구조 최적화에 관한 연구는 1960 년대 초반에 Schmit의 수치적 방법론 (Numerical Methods)이

* 충북대학교 지역건설공학과

** 한국건설기술연구원

† Corresponding author Tel.: +82-43-261-2575 Fax: +82-43-273-3881

E-mail: [email protected] 2011년 8월 3일 투고 2011년 11월 15일 심사완료 2011년 11월 16일 게재확정

제안 되었고 컴퓨터의 발달로 인해 수학적계획법 (Mathematical Programming)이 활용되었다. 1970년대에 이후 수학적계획법은 공학자들에 의해 최적설계법으로 발전하였고, 최적설계법의 일환 인 유한요소법 (Finite Element Method, FEM)이 범용프로그램 과의 결합이 가능하게 되어 구조 최적화에 획기적인 진보를 가 져왔다 (Choi, 2004).

또한, 구조뿐만 아니라 다양한 분야의 최적화 문제를 해결하기 위해 생물의 진화를 모방한 유전적 알고리듬 (Genetic Algorithm, GA)이 연구되고 있다. 유전적 알고리듬은 다소 복잡한 문제에 대 해서도 원리적으로 최적에 가까운 해를 구할 수 있어 계획 문제 에 있어 많은 연구가 진행되어 왔다 (Lee, 2008).

Steven과 Xie는 유한요소법과 유전자 알고리듬을 접목한 점 진적 구조 최적화 기법 (Evolutionary Structural Optimization, ESO)을 제안하여 응력경로의 탐색을 가능하게 하였다. 응력경로 는 외부 하중이 주어졌을 때 구조물 내부에 발생하는 응력의 흐 름을 나타내는 것으로 구조물의 형상결정에 중요한 판단 기준이 된다 (Pyeon, 2003).

점진적 구조 최적화 기법은 해석 영역을 규칙적 격자망으로 이 산화하고 유한요소 해석을 함으로써 각각의 요소가 전체 강성에 미치는 기여도를 평가할 수 있다. 따라서 기여도에 따라 불필요 한 요소를 제거하고 이 과정을 반복하여 응력경로 탐색을 수행

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한다 (Steven, Xie, 1993). 하지만 유한요소법에 의한 형상최적 화가 가지는 어려운 점은 유한요소해석을 수행하기 위한 기하하 적 데이터가 변화한다는 것이다. 따라서 구조물의 기하학적 데이 터를 재구성해야하는 번거로움을 극복하기위해 공요소 개념을 도입한 최적화 기법도 개발되었다. 또한 점진적 구조 최적화 기 법은 기여도에 따른 제거 기준과 반복계산 과정을 종료시킬 종 료기준이 큰 변수로 작용하므로 객관적이고 합리적인 기준이 필 요하다 (Zhao et al. 1998).

점진적 구조 최적화 기법에 사용되는 제거기준은 제거율을 연 구자의 주관에 따라 임의로 제한하는 방법, 변형에너지에 따른 민감도에 의한 방법, 응력의 편차를 최소화하는 성능지수 활용방 법 등이 개발 되었다. Abolbashari에 의한 연구에 따르면 서로 다른 초기제거율, 증가율은 최대 최소응력과 이력에 큰 영향을 미치지는 않으나 최종 형상의 모습은 상당한 차이를 보이며, 요 소의 크기와 개수의 차이는 응력의 이력과 최종형상에 영향을 미 친다고 했다. 따라서 구조 최적화 과정에 있어서 소거비율을 정 하는 기준을 명확히 규정하기 보다는 연구자가 구조물의 형상이 나 최종적으로 얻고자 하는 구조물의 형상 등을 고려하여 유동 적으로 결정할 필요가 있다 (Son, 2007).

또한 종료기준으로 사용되는 방법은 제거할 요소가 없을 때까 지 반복하는 방법과 삭제율을 임의로 제한하는 방법, 그리고 남 아 있는 요소의 체적에 의한 성능지수로 결정하는 방법 등이 있 다. 제거할 요소가 없을 때까지 반복 수행하는 방법은 구조체를 형성하는 필수 요소까지 제거하는 위험성이 있어서 최적화 과정 이후 보정이 필요하다. 삭제율을 임의로 제한하는 방법은 연구자 의 판단에 따라 최종형상이 상이한 결과를 나타낸다. 체적 비율 로 결정하는 방법은 많이 사용되고 있지만 체적 비율도 연구자에 의해 초기에 결정하므로 설계경험에 의존한다 (Yoon, 2002).

따라서 본 연구에서는 기존의 종료기준이 가지는 단점을 보완 하기 위하여 재료의 탄성계수를 E/2으로 가정하여 요소의 제거와 복원을 동시에 구현하는 양방향 수렴방식을 도입하였다. 따라서 초기 탄성계수 값을 갖는 요소의 개수가 0 (zero)이 되는 시점을 종료기준으로 사용함으로써 합리적이고 객관적인 종료기준을 제 안한다.

또한 양방향 수렴방식을 적용시킨 알고리듬을 개발하고 이를 콘크리트 보에 적용하여 그에 따른 효과와 변화를 검증함으로써 개선된 점진적 구조 최적화 기법을 제안하고자 한다.

II. 점진적 구조 최적화 이론

1. 점진적 구조 최적화 알고리듬

점진적 구조 최적화 기법은 구조물을 요소로 분할하여 이산화

시킨 후 유한요소해석을 통하여 각각의 요소의 응력을 구하고 전 체 요소의 최대 응력과 비교하여 구조물의 강성에 기여하지 않는 요소를 제거해 나가는 방법이다 (Yoon, 2002). 연속체의 경우 외부하중에 저항하는 요소는 하중경로에 해당하는 요소뿐이므로 외부 하중에 저항하지 않는 요소는 제거되어도 전체 강성에는 거 의 영향을 미치지 않는다. 따라서 구조물의 강성에 기여하지 않 는 요소를 제거하는 것이 경제적일 것이며 이에 따라 제거 기준 이 필요하다. 재료 제거 과정의 정식화는 다음과 같다.

[K]{u}＝{R} (1)

where, [K] : stiffness matrix of structure {u} : displacement vector by loads {R} : nodal load vector

만약 e번째 요소가 설계영역에서 제거된다면, 그 강성과 변위 는 변할 것이므로 위 식은 다음과 같이 변화된다.

([K]＋[ΔK])({u}＋{Δu})＝{R} (2)

where, [ΔK] : incremental value of stiffness matrix {Δu} : incremental value of nodal displacement vector 강성행렬의 증분식은 식 (3)과 같다.

[ΔK]＝[Kr]-[K]＝－[ke] (3)

where, [Kr] : stiffness matrix of design result [ke] : stiffness matrix of e-th element

식 (2)를 전개하면,

([K]＋[ΔK])({u}＋{Δu})＝{R}

[K]{u}＋[K]{Δu}＋[ΔK]{u}＋[ΔK]{Δu}＝{R}

[K]{Δu}＋[ΔK]{u}＝{R}-[K]{u}-[ΔK]{Δu} (4)

가 되고, [ΔK]{Δu}는 고차 미분항이므로 무시하면 식 (5)와 같이 구해진다.

[K]{Δu}＋[ΔK]{u}＝0 [K]{Δu}＝－[ΔK]{u}

{Δu}＝－[K]^-1[ΔK]{u} (5)

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구조물의 변형에너지는 다음 식 (6)과 같이 나타낼 수 있다.

C＝_



{R}^T{u} (6)

e번째 요소의 제거로 인해서 발생되는 구조물의 변형에너지의 변화는 식 (7)과 같이 표현된다.

ΔC＝__^{R}^T{Δu}

＝－_



{R}^T[K]^-1[ΔK]{u}

＝－_



{u}^T[ΔK]{u}

＝_



{ue}^T[ΔKe]{ue} (7)

where, {ue} : displacement vector of e-th element

이 과정은 e번째 요소의 제거에 따른 구조물의 변형에너지의 변화는 e번째 요소의 변형에너지의 계산에 의해 근사적으로 계 산될 수 있음을 보이고 있다. 그러므로 요소 변형에너지는 전체 구조물의 강성을 구성하는 요소의 변형에너지의 합으로 계산 될 수 있고, 각 요소의 변형에너지는 식 (8)과 같다.

Ce＝_



{ue}^T[ΔKe]{ue} (8)

연속체로 이산화 시킨 구조물을 구조체로 변환하기 위하여 가 장 낮은 변형에너지 요소는 설계 영역에서 점차로 제거한다. 만 약 연속체 설계영역이 여러 크기의 요소로 나누어진다면, 가장 낮은 요소의 변형에너지는 재료 제거 규준에서 중량으로 나누어 진 값이 사용된다. 가장 낮은 변형에너지 밀도를 받는 요소는 초 기의 설계영역에서 요소의 수에 따른 요소 제거율에 따라 지정 한 만큼 반복 제거 된다. 본 연구에서는 이 정식화 과정을 프로 그램으로 구성하였다.

2. 점진적 구조 최적화 과정

점진적 구조 최적화 기법은 요소의 응력이 전체 강성에 거의 기여하지 않는 부분은 구조물에 불필요한 부분이라는 생각을 기 초로 하여 출발한다. 요소를 제거하는 기준은 응력이 아닌 다른 방법으로도 할 수 있지만 본 연구에서는 응력을 소거기준으로 설 정하였다. 소거되는 요소는 탄성계수를 매우 작은 값으로 설정하여 공요소로 치환한다. 그 이유는 기하학적 형상데이터를 새로 구성

해야하는 번거로움을 없애기 위해서이다. 위와 같은 과정을 반복 수행하여 최적해를 구해나가는 것이 점진적 구조 최적화의 기본 원리이다 (Steven, Xie, 1993).

가. 설계 영역의 설정

설계하고자 하는 구조물을 충분히 포함하는 설계영역을 설정 하고 유한개의 규칙적 격자망으로 세분화 하고 재료조건 및 하 중조건 등을 설정한다. 평면응력요소는 강성행렬이 다소 복잡하 여 프로그램을 사용해야하고 평면응력요소로 하중을 자연스럽게 전달하므로 실제 하중전달 경로의 표현이 가능하다.

나. 제거기준의 선정

제거기준은 점진적 최적화 기법의 중요한 기준이며 일반적으로 von-Mises stress를 주로 사용하고 있으며, 그 밖에 변위/응력 민감도(Displacement/Stress sensitivity number), 가상변형에 너지 등을 사용하고 있다. 본 연구에서는 여러 연구자들이 사용 하는 von-Mises stress를 제거 기준으로 사용하여 탄성해석을 한다.

다. 유한요소해석

평면응력 및 변형률 해석을 위한 유한요소 해석을 실시하여 구 해진 _, _, _를 이용하여 각 요소들의 von-Mises stress를 계산한다.

_^ 



^ _^ _ _^ _ _^ (9)

(4) 요소 소거

각 요소의 von-Mises stress가 전체 요소들 중 가장 큰 von- Mises stress에 제거비율 (RR : Rejection Ratio)을 곱한 값보 다 작으면 그 요소는 구조물의 강성에 기여하지 않는 요소로 판 단하고 순차적으로 제거해 나간다. 제거된 요소는 탄성계수를 매 우 작은 값으로 치환하여 다음 계산과정에 영향을 미치지 않게 한다.

_{}^ _× _{}^max (10)

where, _{}^ : Displacement vector of eth element

_{}^max : Maximum stress at structure element

_ : Rejection ratio of i-th process

점진적 구조 최적화 기법은 제거율 변화 없이 제거되는 요소가 없을 때까지 반복 수행하게 된다. 따라서 식 (10) 기준으로 제거

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(a) Exist Study (b) This Study

Fig. 2 Compare previous and advanced theory 되는 요소가 없을 때에는 제거율을 기존 값보다 큰 값으로 대체

해야만 요소들을 계속 소거해 나갈 수 있다.

_{ }_    (11)

(5) 최적해의 수렴

위와 같은 반복과정을 모든 요소의 응력수준이 어떤 범위 안에 속할 때까지 반복하여 실행한다. 이상의 일련의 과정을 도식적 으로 나타내면 Fig. 1과 같다.

3. 개선된 점진적 구조 최적화 기법 적용

점진적 구조 최적화 기법은 여러 연구자에 의해 제거 ․ 종료기 준 및 수렴속도를 개선하기 위해 활발히 연구되어져 왔다. 제거 기준은 요소의 개수와 형상에 따라 최종형상에 대한 상이한 결 과를 보이므로 연구자가 유동적으로 결정할 필요가 있다. 그러

Fig. 1 Flow chart of ESO program

나 종료기준은 모든 조건에 관계없이 연구자의 주관적인 판단에 의해 결정되어 동일한 제거 기준임에도 불구하고 최종형상에 상 이한 결과를 보이게 된다. 따라서 제거율을 임의로 제한하거나 제거할 요소가 없을 때까지 하는 방법 등 설계경험에 종속되어 져 있는 기준보다 기계적 연산에 의한 결정되는 합리적인 종료 기준이 필요하다.

본 연구에서는 합리적이고 객관적인 종료기준을 정립하기 위 해 양방향 수렴방식을 도입하였다. 양방향 수렴방식은 초기 물성 치인 탄성계수를 E/2값으로 가정하여 기존의 공요소를 활용한 2 진법 방식을 3진법으로 변경함으로써 요소의 제거와 복원을 병 렬로 실행할 수 있다. 따라서 초기 가정한 탄성계수 E/2 값을 적 용하여 요소가 생존하는 경우 E로 치환하고, 요소가 제거 될 경 우 1로 치환하였다. 즉, 이와 같은 방법을 반복 실행하면 초기 물성치인 탄성계수 E/2값을 갖는 요소의 개수가 0 (zero)이 되 는 시점이 종료기준이 된다.

따라서 기존의 제거율뿐만 아니라 복원율 (AR : Alive Ratio)을 도입하여 각 요소의 von-Mises stress을 비교 분석해야한다.

_{ }_    (11)

이상의 내용을 간략하게 도식적으로 나타내면 Fig. 2와 같다.

III. 개선된 점진적 구조 최적화 모델 개발 1. 개선된 점진적 구조 최적화 단계

점진적 구조 최적화 기법을 개발하기 위하여 정의할 요소의 기 하학적 형상 및 재료조건, 정식화, 초기 제거율 및 복원율, 제거 및 복원기준, 종료기준을 결정하고 유한요소해석 프로그램을 기 본 프로세스로 점진적 구조 최적화 프로그램 모델을 개발하였다.

점진적 구조 최적화 기법의 최적해는 한 번의 연산과정에서 구

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해지는 것이 아니라 반복 수행할 때마다 요소가 제거 및 복원되 는 진화 과정을 통하여 구해진다. 최종 해를 구하는데 있어 제거 율과 복원율의 영향은 매우 중요하다. 해의 정확도는 제거율과 복원율의 간격을 줄일수록 높아지지만 그에 따라서 처리해야할 계산량이 늘어난다. 따라서 본 연구에서는 앞서 말한 주의점과 양방향 수렴방식을 프로그램에 이용하기 위해 다음과 같이 6단 계로 알고리듬을 구성하였다.

1 단계 : 기본 입력 데이터 작성

2 단계 : 구조물을 유한개의 규칙적 격자망 요소로 이산화 3 단계 : 각각의 요소에 대한 응력을 계산하고 von-Mises

stress으로 변환

4 단계 : 제거율과 복원율에 의한 요소들의 초기물성치 변화여 부 판단

5 단계 : 초기 물성치가 변한 요소의 개수의 유 ․ 무 확인 6 단계 : 초기 물성치를 갖는 요소의 개수 확인하여 반복연산

여부 판단

2. 프로그램 흐름도

본 연구에서는 개선된 점진적 구조 최적화 기법을 이용하여 하 중경로를 알아내기 위한 프로그램 ESO를 개발하였다. ESO는 유 한요소해석 프로그램을 엔진으로 이용하였으며 최적화 처리과정 은 입력된 대상영역을 해석하기 위해 8절점 iso-parametric- rectangular element를 작성하였으며, 전처리 프로그램을 이용 하여 자동으로 요소를 분할하였다. Table 1은 개선된 점진적 구 조 최적화 프로그램을 위한 파일명 및 기능의 목록을 작성한 것 이다.

Fig. 3은 ESO를 처리하기 위한 흐름도이며, 여기에 이용되는 주요 변수는 다음과 같다. 재료조건 중 탄성계수 값은 프로그램 상에서 자동으로 E/2값으로 저장되어 3진법으로 분석할 수 있게 처리된다.

IRR (Initial Rejection Ratio)은 초기 소거 비율이며 초기값이

Table 1 List of name and function for evolutionary structural optimization program

Name Function Input output

FEM input

FEM input mesh generation

assign load

eso.in

ESO ESO main processor eso.in

eso.out esodeform esoprinciple

history

Fig. 3 Flow chart of ARESO program

0이고 IAR (Initial Alive Ratio)은 초기 복원 비율이며 초기값이 100이다. ER (Evolutionary Ratio)은 제거 ․ 복원비율 증가율이 며, RR (Rejection Ratio)은 제거율, AR (Alive Ratio)은 복원 율이다. RR과 AR은 IRR과IAR에 ER을 증감하여 갖게 되는데 구 조물의 요소를 제거 ․ 복원하는데 기준이 된다. 구조물 요소 제거 는 von-Mises stress를 요소단위로 계산하여 전체 요소의 최대 von-Mises stress와의 비 (%)가 RR보다 작은 경우가 해당된다.

또한 구조물 요소 복원은 분석할 요소의 von-Mises stress와의 비 (%)가 AR보다 큰 경우가 해당된다. 따라서 첫 번째 반복과정 은 초기 물성치 E/2값이 변한 요소가 없을때까지 반복 수행하며, 두 번째 반복과정은 초기 물성치 E/2값을 갖는 요소가 없을 때 까지 반복 수행하다가 종료하게 된다.

3. 적용 예

본 연구에서서 제안한 개선된 점진적 구조 최적화 기법을 이용 하여 콘크리트 보를 해석하고 기존의 점진적 구조 최적화 기법에 의한 형상 최적화와 비교 분석하여 양방향 수렴방식의 타당성을 입증하였다. 이를 위하여 개선된 알고리듬을 Visual C++^TM로 구현하였으며, 초기에 가정한 탄성계수 E/2값을 검증하여 예제 적용 시 사용하였다. 또한 요소의 수는 처리속도의 상승을 위하여 해당 구조물의 10 cm 단위로 설정하였고, 해석에 이용할 콘크 리트 보는 짧은 외팔보와 Michell 형태와 농업수로 구조물을 해 석하여 기존의 연구자들에 의한 결과와 비교 분석 하였다.

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(a) Iteration of 10 times (b) Iteration of 30 times (c) Iteration of 50 times

(d) Iteration of 70 times (e) Iteration of 90 times (f) Iteration of 100 times (■ : enigmatic element ■ : Exist element □ : Blank element)

Fig. 4 Evolutions of element (E＝0.05)

가. 모델의 초기 가정값 검증

개선된 점진적 구조 최적화 기법은 양방향 수렴방식을 도입하 기 위하여 초기 탄성계수 값을 E/2값으로 가정하였다. 따라서 초 기 탄성계수의 값에 따라서 다음 단계의 응력계산에 영향을 주어 단계별 형상 이력에 영향을 미치게 되므로 초기 탄성계수 값을 검증할 필요가 있다. 본 연구에서는 탄성계수 값을 0.05E, 0.5E, 0.95E로 변화시켜 단계별 형상이력의 변화를 비교 분석하여 적

절한 초기 탄성계수 값을 제시하였다.

Fig. 4는 초기 탄성계수를 0.05E로 가정하고 짧은 외팔보를 해 석하여 제거율 5 % 단위로 증가시켜 표현한 결과물이다. 제거율 이 증가함에 따라서 요소의 변환이 이루어 졌으나 제거율 15～

20 % 사이에서 급격한 요소의 제거가 이루어져서 구조물을 형 성하기 위한 요소까지 제거되어 최종형상에 영향을 주는 것으로 나타났다. Fig. 5는 초기 탄성계수를 0.95E로 가정하고 동일한

(7)

조건에서 해석하였다. 초기탄성계수의 값이 큰 값으로 가정되어 제거율 0～20 % 단계까지는 제거되는 요소가 거의 없는 것으로 나왔으며 제거율 25～30 %에서 요소의 제거와 복원이 급격히 이루어져 기대하는 최종형상에 도달하지 못했다. Fig. 5는 초기 탄성계수를 0.5E로 가정하여 해석한 결과이다. 제거율 15～30

%까지 넓은 범위에서 제거와 복원이 골고루 이루어지는 것을 알 수 있으며, 최종형상이 트러스 형태의 구조물로써 기대하는 형상 에 가깝게 나왔다. 따라서 본 연구에서 제안한 양방향 수렴방식 에서 가정해야 하는 초기 탄성계수는 제거와 복원이 적절히 작 용하여 기대하는 최종형상이 도출되는 탄성계수 E/2값을 사용하 였다.

4. 예제 적용 및 검토

가. 짧은 외팔보 구조물

짧은 외팔보는 여러 연구자들에 의해 사용되는 예제로써 최적 형상이 해석적으로 구해지는 예제이다 (Choi, 2002). Fig. 7에 나타나 있는 그림과 같이 설계영역은 가로 1.6 m, 세로 1.0 m이 며 Plane strain문제로 설정하였으며, 좌측은 고정단, 우측은 자 유단으로 된 설계영역이다. 재료조건으로는 탄성계수 E＝2.35

×10¹⁰ N/m²를 사용하되 앞 절에서 검증한 E/2값으로 적용하였 으며, Poisson비 ν＝0.175, 전단탄성계수 G＝1.0×10¹⁰ N/m² 로하고 하중은 1 kN을 사용하였다.

해석할 설계영역은 전처리 과정을 통하여 16×10개의 규칙적 사 각망으로 생성 하였으며, 초기 제거율과 복원율은 각각 0과 100

Fig. 7 Design domain for the Short cantilever

으로 설정하고 단계가 진행 될 때마다 1 %씩 증가하도록 하였다.

제거율은 구조물에 필요한 요소까지 제거되는 것을 방지하기 위 해 최대 30 %로 제안하여 해석하였다. Fig. 8 (a)는 본 연구에 서 개발한 개선된 점진적 구조 최적화 기법으로 해석한 결과와 기존에 연구된 결과를 비교한 그림이다. Choi (1999)에 의해 연 구된 외팔보의 해석 결과치와 비교해 본 결과, 요소의 크기와 개 수에 따라서 다소 형상에 차이는 있으나, 이는 해석하는 최적화 기법에 차이에서 발생하는 것으로 판단되며 전체적인 트러스 형 태는 3개의 결과가 일치하는 것으로 판단된다.

나. Michell 형태의 구조물

Michell 형태의 구조물은 양단이 고정이며 중앙 하단에 아래 방향으로 힘이 작용하는 구조물로써 최적화 프로그램을 검증하

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(a) result of this model (b) result of ESO model (Choi, 2002) (c) result of R-BESO model (Lee, 2001) Fig. 10 Developed techniques and comparison with previous studies

(a) result of this model (b) result of ESO model (J.H.Rong) (c) result of IER model (Choi, 1999) Fig. 8 Developed techniques and comparison with previous studies

는데 자주 사용되고 있다. Fig. 9에 나타나 있는 그림과 같이 셜 계영역은 가로 2.0 m, 세로 1.0 m이며 Plane stress문제로 설 정하였으며 양단이 고정단으로 된 설계영역이다. 재료조건으로는 탄성계수 E＝2.35×10¹⁰N/m², 전단탄성계수 G＝1.0×10¹⁰ N/m² 를 사용하였으며 Poisson비는 ν＝0.175, 하중은 30 kN을 사용 하고 앞 절에서 검증한 E/2값을 적용하여 해석하였다.

해석할 설계영역은 전처리 과정을 통하여 20×10개의 규칙적 사각망으로 생성 하였으며, 초기 제거율과 복원율 등은 앞의 예 제와 동일하게 적용하였다. 또한 기존 ESO프로그램에 동일한 조 건의 예제를 적용하여 해석한 결과와 비교 분석하여 개선된 알 고리듬의 효율성과 타당성을 검증하였다. Fig. 10은 본 연구에서 개발한 개선된 점진적 구조 최적화 기법으로 해석한 결과와 기존 에 연구된 결과를 비교한 그림이다. 기존의 연구된 최적화 기법 으로 도출된 결과는 아래에서 위쪽으로 볼록한 아치형상의 트러

Fig. 9 Design domain for the Michell type structure

스 형태를 나타내고 있으며 (Choi, 2002), 본 연구에서 제안한 최적화 기법의 결과와는 미묘한 차이는 보이고 있으나 하중을 받 는 부분과 양단 지점을 기준으로 형성된 트러스 형태를 동일하 게 나타내고 있다.

또한 기존의 점진적 구조 최적화 기법과 개선된 점진적 구조 최적화 기법으로 동일 구조물을 해석한 결과이다. 기존의 방법은 종료기준을 제거율의 상한선으로 가정하여 해석하는 방법으로써 기대하는 최적형상이 도출되었음에도 계속적으로 요소를 제거 하는 것을 확인 할 수 있었다. 따라서 포괄적으로 넓게 제거율 을 정하여 연구자의 주관에 따라 형상을 선택해야 한다.

이에 반면에 개선된 방법은 동일한 최종형상을 도출하면서도 기계적으로 계산된 종료기준으로 프로그램이 실행되었다.

다. 농업수로 구조물

농업수로 구조물은 개거형의 수로를 선택 하여 양단과 중앙부 분이 힌지이며 힘이 작용하는 방향은 개거수로 내부의 수압에 의한 작용점의 위치를 사용하였다. Fig. 13에 나타나 있는 그림 과 같이 설계영역은 가로 2.1 m, 세로 1.5 m이며 재료조건은 상 기 예제와 같은 탄성계수 E＝2.35×10¹⁰ N/m², 전단탄성계수 G＝1.0×10¹⁰ N/m²를 사용하였으며, Poisson비는 ν＝0.175로 설정하였다. 앞 절에서 검증한 E/2값을 적용하여 해석하였다. 해 석할 설계영역은 전처리 과정을 통하여 21×15개의 규칙적 사각 망으로 생성하였으며, 개거 부분은 응력을 받지 않는다고 설정하 여 초기 제거율과 복원율 등은 앞의 예제와 동일하게 적용하였다.

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Fig. 11 Evolutions of element by previous ESO

Fig. 12 Evolutions of element by advanced ESO

Fig. 14는 본 연구에서 개발한 개선된 점진적 구조 최적화 기법 으로 해석한 결과와 기존에 연구된 결과를 비교한 그림이다. 최 적형상에 도달하는데 걸리는 시간은 약 1.5시간이 소요되었다.

프로그램이 종료되는데 걸리는 시간은 개선된 방법이 18 % 정도 감소하였고, 반복 횟수도 11 % 감소되었다. 개선된 점진적 구조 최적화 기법으로 해석된 결과를 단계별로 살펴보면 중반단

계까지는 주로 요소제거가 이루어지며 후반부에 요소의 복원이 이루어졌다. 이러한 현상은 복원된 요소의 응력이 상대적으로 커 지면서 최대 응력값이 증가하게 되어 중반단계까지 요소의 제거 가 주로 이루어지는 것으로 판단된다. Fig. 15와 같이 제거율의 상한선으로 인해 구조물의 형성에 필요한 요소의 제거를 미리 방 지하여 최적 형상의 안정성을 확보하였다.

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Fig. 13 Design domain for open channel

Fig. 14 Analysis result of open channel

Fig. 15 Correlation of element and iteration

V. 결 론

본 연구는 점진적 구조 최적화 기법으로 응력경로 탐색을 하 는 과정에서 객관적인 종료기준이 미흡하다는 것에서 출발하였 다. 이를 위해 초기 물성치를 E/2값으로 가정하여 기존의 2진법

을 3진법으로 개선함으로써 제거와 복원을 동시에 구현할 수 있 는 양방향 수렴방식을 도입하였다. 따라서 초기 물성치 E/2값을 가지는 요소의 개수가 0 (zero)가 되는 시점이 종료기준이 된다.

이와 같은 방법을 점진적 구조 최적화 기법에 접목하여 개선된 점진적 구조 최적화 기법을 제안하였으며, 해석 프로그램을 작성 하였다. 또한 프로그램의 타당성을 보여주기 위하여 모든 구조 물의 기본이 되는 콘크리트 보를 분석 및 고찰 하였다. 연구 결 과를 요약하면 다음과 같다.

1. 3진법 코드를 사용한 양방향 수렴방식을 도입하여 개선된 알고리듬을 구성함으로써 합리적인 종료기준을 제안하였다.

2. 양방향 수렴방식의 도입에 따라 가정한 초기 탄성계수 E/2 값의 타당성을 3개의 탄성계수 값을 이용하여 검증하였다.

3. 기존의 여러 기법으로 해석된 구조물의 최종형상과 비교하 여 개선된 점진적 구조 최적화 기법의 타당성을 검증하였다.

4. 동일한 예제를 기존의 기법과 개선된 기법으로 해석한 결과 수렴속도는 18 %, 반복횟수는 11 % 감소되는 효과를 나타냈다.

5. 개선된 점진적 구조 최적화 기법은 초반에 제거를 중점적으 로 하고 후반에 들어 복원을 실시하게 되어 구조물의 형성에 필 요한 요소의 제거를 방지할 수 있어 최종형상의 안정성을 확보 했다.

본 연구는 점진적 구조 최적화 기법의 적절한 개선을 가져왔음 을 확인 하였다. 추후 효율적인 제거 기준을 도입하여 수렴속도 의 개선이 필요 할 것으로 사료되며 본 논문에서 제시한 구조물 이외의 구조물의 최적화에도 적용하면 좀 더 효율적인 최적화 방법이 될 것이라 기대된다.

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