An Activity Theoretical Analysis on the Instrumenatal Orchestration of the Teacher: Focusing on the Calculator-Based Classroom Activities of Gifted Elementary Math Students

Ⅰ. 서 론

교육부는 지난 3월 15일, 새 수학교육 종합계 획을 발표했다 . 이번 종합계획에서 가장 논란이 됐던 부분은 ‘계산기 사용’으로 이에 대한 찬반 논쟁은 여전히 뜨거운 감자이다 . 국내의 많은 선 행연구에서 계산기를 활용한 수업이 학생들의 수학 학업성취도와 학습태도에 긍정적인 효과를 주고 있어 적절한 수학 학습 상황에서 계산기 도입의 당위성이 주장되고 있다 (김의식, 2002;

안병곤 , 2005; 양순환, 2003). 그러나 수학과 교육 과정에서 계산기를 사용해도 좋다는 명시적 내 용이 있음에도 불구하고 실제 학교 수학 수업 상황에서는 계산기를 활용한 수업을 설계하는 교사는 찾아 보기가 힘들다 . 여전히 초등 수학

수업에서 계산기를 활용하는 것에 대한 교사들 의 인식은 부정적인 견해가 더 많아서 (김석화, 2014), 계산기는 일부 부진 학생이나 영재 학생 을 대상으로 연구가 이루어지고 있는 실정이다 (김지연, 2011; 이헌수 2011).

그렇다면 수학 수업 시간에 계산기를 활용하 는 것이 왜 여전히 논쟁거리이며 어려운 과제일 까 ? 가장 큰 이유 중의 하나는 계산기 사용으로 인한 계산 능력 감소와 계산기에 계산 의존도 증가 (McCauliff, 2004; Surgenor, 2007) 등 부정적 인 측면에 의한 견해 때문일 것이다 . 반면 Lagrange & Monaghan(2009)은 계산기, 즉 공학 그 자체가 아닌 복잡성과 안정성의 특징을 갖고 있는 교사의 교수학적 실행 관점에서 이에 대한 답을 찾고 있다 . 공학을 활용한 수업 설계는 수 업 상황을 더 복잡하게 만들며 , 이로 인해 교수

대한수학교육학회지 <학교수학> 제 17 권 제 2 호 Journal of Korea Society Educational Studies in Mathematics School Mathematics Vol. 17, No. 2, 273 ~ 287. June 2015

교사의 도구적 오케스트레이션에 관한 활동이론적 분석 : 계산기 기반 초등 수학 영재 수업을 중심으로

강 영 란

․조 정 수

본 연구는 계산기를 활용하는 초등 수학 영재 수업에서 나타나는 교사의 도구적 오케스 트레이션 유형을 분석하고 활동체계로 도식화해 봄으로써 공학이 통합된 수업에 관한 교사의 교수학적 실행에 대한 이해를 얻고자 하는데 목적이 있다. 이를 위해 Y초등학교 5학년 영재 학급을 대상으로 미시적 문화기술지를 활용한 질적 연구를 수행하였다. 영 재 수업에 참여관찰하면서 영재 학급 내 구성원들과 인터뷰를 실시하고, 다양한 문서 자료를 수집하였다. 그리고 수집된 질적 자료를 분석하기 위해 분석적 귀납법을 적용하 였으며, Drijvers, Boon, Doorman, Reed, & Gravemeijer의 도구적 오케스트레이션 유형과 Engeström의 2세대 활동이론을 개념적 준거틀로 활용하였다. 본 연구 결과에 따르면 ‘기 술-설명하기’, ‘스크린-화면-연결하기’, ‘발견-소집단 탐구하기’, 그리고 ‘기술-화면-설명하 기’의 4개의 유형이 나타났다.

* 효자초등학교, [email protected] (제1 저자)

실행 과정에서 안정성이 깨어지기 쉬운 환경에 노출된다고 하였다 . 결국 이러한 공학 기반의 수 업 환경에서 나타나는 교수학적 실행은 기존의 방식으로 교사가 수업을 전개하는 것이 어렵다는 것을 의미한다 . 따라서 교사는 공학에 대한 이해 와 학생들의 학습 능력을 향상시키기 위해 공학 을 수학 수업에 통합하는 교사의 기술이 더 필요 하다고 할 수 있다 . 이러한 이유로 공학 사용의 중요성이 증가함에도 불구하고 공학을 통합한 수 업의 설계는 쉽게 이루어지지 않으며 , 공학 사용 에 대해 많은 교사가 어려움을 호소한다고 하였 다 (Lagrange, Artigue, Laborde, & Trouche, 2003).

후자의 맥락에서 Trouche(2004)는 학생들이 새로 운 공학을 활용하여 학습할 수 있도록 돕기 위한 교사의 체계적이고 조직적인 교수학적 실행으로 도구적 오케스트레이션 (instrumental orchestration) 이라는 개념을 제안하였다 . 이후 교실 안에서 공 학을 어떻게 작동시키고 , 시공간 상에서 학생들 의 작업을 어떻게 조직하며 , 문제해결에서 개인 과 집단의 단계를 어떻게 결합하고 , 각 학생의 도구를 전체적으로 통합하는 방법에 대하여 교 사가 조율해야 하는 역할을 알아보기 위해 공학 환경에서 교사의 도구적 오케스트레이션 유형 분석을 통한 교사의 교수학적 실행에 관한 연구 가 이루어져 왔다 (Drijvers, Boon, Doorman, Reed,

& Gravemeijer, 2010; Drijvers, 2012; Tabach, 2011). 그러나 지금까지 이루어진 선행 연구가 대부분 중등 수학을 대상으로 하여 연구가 이루 어졌기 때문에 초등학생을 대상으로 한 계산기 기반의 환경에서 교사의 도구적 오케스트레이션 을 분석해보는 것은 앞으로 새 수학교육 종합계 획에 따라 계산기를 사용하는 수업을 실천해야 할 초등 교사의 역할과 교수학적 실행에 대한 새로운 정보를 제공해 줄 수 있을 것이다 .

이에 본 연구에서는 계산기를 활용하는 교사 의 교수 실행 과정을 장기간 분석하기 위하여

영재 학급을 대상으로 하였으며 수업 관찰에서 나타나는 교사의 도구적 오케스트레이션 유형을 분석하여 이를 활동체계로 도식화해 봄으로써 공학이 통합된 수업에 관한 교사의 교수학적 실 행에 대한 이해를 얻고자 한다 .

Ⅱ. 이론적 배경

1. 도구적 오케스트레이션 (Instrumental Orchestration)

인지 공학자인 Verillon & Rabardel(1995)은 도 구적 접근 (instrumental approach) 관점에서 연장 (tool)과 도구(instrument)를 엄격히 구분하였다.

그들은 인간 활동에서 과제 수행을 돕기 위한 목적으로 만들어진 물리적인 대상과 심리적인 대상을 포함하는 모든 연장 (tool)을 인공물 (artifact)이라 하였다. 따라서 인공물은 ‘연장 그 자체 ’라 할 수 있으며 도구는 그 자체로 존재하 지 않으며 자신의 활동 안에 인공물을 통합시켰 을 때 비로소 도구가 된다 . 이와 같이 인공물이 도구로 되어가는 과정을 도구 발생 (instrumental genesis)이라 한다(Artigue, 2001). Artigue는 도구 발생이 [그림 II-1]과 같이 인공물과 사용자 사이 의 양방향에서 진행된다고 하였다 . 다시 말하면 인공물에서 주체로 향하는 도구 조정화 (instrumentation)와 주체에서 인공물을 향하는 도 구 전용화 (instumentalization)가 그것이다.

[그림 II-1] 도구 발생의 두 가지 측면

도구 조정화는 사용자의 행위가 인공물의 제 약 또는 제한된 범위 안에서 가능하며 , 인공물의 한계라는 경계 안에서 인공물이 사용자에게 영 향을 미치게 된다 . 반면 도구 전용화는 학생의 지식이 인공물 사용 방법을 안내하고 그 인공물 을 새로이 형성해내는 단계이다 .

Trouche(2004)는 학생들의 도구 발생을 돕기 위한 교사의 체계적이고 조직적인 교수학적 실 행으로 도구적 오케스트레이션 (instrumental orchestration)이라는 개념을 제안했다. 도구적 오 케스트레이션이란 학생의 도구 발생을 외부에서 통제하는 과정을 의미하며 , 이를 통해 학생들의 수학 학습 능력을 향상시키고자 한다 . 도구적 오 케스트레이션은 교사의 수학적 교수학적 목표에 따라서 교사의 공학도구 선택시 고려해야 할 요 소로 교수학적 조직 (didactical configuration), 활용 방식 (exploitation mode), 교수학적 실행(didactical performance)의 세 가지로 구분된다.

교수학적 조직 (didactical configuration)은 환경 에서 도구의 교수학적 배치에 관한 것이다 . 다시 말하면 각 학생들의 도구를 시공간 상에서 학생 들의 작업에 어떻게 조직하고 전체적으로 어떻 게 배치할 것인지에 관한 것이다 .

활용 방식 (exploitation mode)은 교수학적 조직 의 활용 방식으로 , 교사가 교수학적 조직을 교수 학적 의도에 맞게 실행되어야 할 방식을 결정하 는 것이다 . 여기에는 수행되어야 할 과제, 도구 의 역할 , 학생들이 향상시켜야 할 기술이나 능력 등이 포함된다 .

교수학적 실행 (didactical performance)은 교사가 가르치는 동안 선택된 교수학적 조직과 활용 방 식이 실제로 어떻게 수행되어 이루어지는지에 관한 것으로 예상치 못한 교사의 교수학적 결정 도 포함된다 . 예컨대, 어떤 문제가 제기되고 있 는가 ? 특정 학생의 입력은 어떻게 정당화되는 가 ? 수학 과제 또는 도구의 예기치 못한 측면을

어떻게 다룰 것인가 ? 등이다.

Drijvers, Boon, Doorman, Reed, & Gravemeijer (2010)는 공학이 통합된 수학 교실에서 교사의 도구적 오케스트레이션 유형을 조사하여 다음

<표 II-1>과 같이 분류하였다.

유 형 교수학적 조직 활용 방식

기술-설명하기 (technical demo)

전체 활동 하나의 화면 중앙에 배치

교사는 공학의 사용 메뉴얼에 대하여 자 세히 설명한다.

화면-설명하기 (explain the screen)

전체 활동 하나의 화면 중앙에 배치

교사는 공학의 화면 에 나타난 화면을 이용하여 배워야 할 수학적 개념과 내용 을 설명한다.

스크린-화면- 연결하기 (link creen board)

전체 활동 하나의 화면 중앙에 배치

교사는 공학의 화면 에 나타난 표상과 수학 교과서에 제시 된 표상을 연결하여 보여준다.

화면-의논하기 (discuss the screen)

전체 활동 하나의 화면 중앙에 배치

학생들은 공학의 화 면에 나타난 표상에 대하여 함께 의사소 통한다.

발견-보여주기 (spot and show)

전체 활동 하나의 화면 중앙에 배치

학생들이 발견한 흥 미로운 화면에 대하 여 학생들이 함께 더 높은 추론과 의 사소통을 한다.

쉐르파-활동하기 (sherpa at work)

전체 활동 하나의 화면 중앙에 배치

쉐르파(학생 도우 미)가 공학을 이용 하여 수식을 입력하 면 나머지 학생들은 나타난 화면을 보면 서 의사소통한다.

<표 II-1> 도구적 오케스트레이션 유형

교사의 교수학적 조직과 활용 방식의 선택에

따른 교수학적 실행의 변화는 학생들간에 그리

고 교사와 학생들간에 의사소통 , 상호작용 방식,

활동 형태 , 집단 구성 등에 영향을 끼칠 것으로

예상된다 .

2. 활동이론(Activity Theory)과 매개

활동이론 (Activity Theory)은 인간 활동의 다양 한 형태들을 이해하고 묘사하기 위한 이론적 틀 로써 매개의 개념에 초점을 둔 Vygotsky와 그의 동료인 Leont'ev, Engeström에 의해 개발된 것이 다 . Engeström(2001)은 개인이 속한 사회와 문화 적 맥락 내에서 도구로 사용되는 매개물이 개인 의 발달에 어떤 작용을 하며 , 이 과정의 사회적 상호작용을 설명하기 위하여 [그림 II-2]와 같이 활동체계를 나타내었다 .

[그림 II-2] Engeström의 활동체계

위 그림에서 주체 , 목적, 공동체는 인간 활동 의 중요한 기준으로 활동체계에서는 핵심요소이 며 , 이 요소들은 서로 직접적으로 연결되지 않고 매개를 통해서만 연결된다 . 이 때 매개 역할을 하는 요소에는 도구 , 규칙, 분업이 있으며 활동 체계에서 이를 매개요소라 한다 . Engeström은 Ogden & Richards의 매개 과정으로부터 영향을 받아 두 핵심요소 사이의 직접적인 관계는 실선 으로 , 두 핵심요소 사이를 매개하는 간접적인 관 계는 점선으로 나타내었다 . 따라서 활동체계 내 에서 매개 관계는 두 개의 핵심요소와 그 사이 를 매개하는 매개요소 하나가 포함된다 . 예를 들 어 활동체계의 구성요소가 주체 , 도구, 공동체라

면 핵심요소인 주체와 공동체 사이에 도구라는 매개요소가 두 요소 사이를 매개하게 된다 . 이와 같은 방식으로 요소들 사이의 매개 관계를 살펴 보면 활동체계 내에서는 핵심요소 (주체, 목적, 공동체 )와 매개요소(도구, 분업, 규칙)를 각각 결 합하여 <표 II-2>의 아홉 가지 매개 유형이 나타 난다 (Virkkunen & Kuutti, 2000).

핵심요소 - 매개요소 - 핵심요소

주체 - 도구 - 목적

주체 - 규칙 - 목적

주체 - 분업 - 목적

공동체 - 도구 - 목적

공동체 - 규칙 - 목적

공동체 - 분업 - 목적

주체 - 도구 - 공동체

주체 - 규칙 - 공동체

주체 - 분업 - 공동체

<표 II-2> 활동이론의 매개 유형

Ⅲ. 연구 방법 및 절차

1. 연구 참여자

계산기가 통합된 수학 교실에서 교사의 도구

적 오케스트레이션 유형과 이 때 활동체계를 분

석하기 위하여 포항에 소재하는 ○○초등학교 5

학년 수학 영재 학급 학생 (남 13명, 여 7명)과

30대 후반의 영재 지도 강사(K교사, J교사, P교

사 )를 대상으로 하였다. 먼저, 이 영재 학급의 학

생들은 국가에서 실시하는 영재 선발 단계를 거

쳐 선발된 학생들로 본 연구에 앞서 계산기 매

뉴얼 조작에 관하여 2차시에 걸친 수업을 통해

간단한 키 입력 및 명령어에 익숙한 상태였다 .

영재 지도 강사는 교육 경력 10년 이상인 30대 후반의 여교사로 60시간 이상의 초등 수학 영재 연수를 이수하였으며 , 영재 교육 경력은 K교사 는 0~1년 미만이며, P와 J교사는 1~2년이었다.

계산기를 활용한 프로그램으로 영재 수업을 진 행하는 것은 3명 모두에게 생소한 것이었으며 따라서 본격적인 수업 진행을 위한 교사 훈련 과정이 2014년 2월 한달동안 이루어졌다. 이 기 간동안 교사들은 주로 계산기를 활용한 영재 프 로그램의 개발 의도를 파악하고 계산기 키 조작 법을 익히는데 시간을 보냈다 .

2. 자료 수집과 분석 방법

TI-73 계산기를 활용한 수학 영재교육을 위하 여 이와 관련된 국내 외 문헌을 통하여 수학교 육 전문가와 협의하에 연구 주제와 관련된 내용 을 선정하여 연구 주제에 맞게 연구자가 과제를 개발하였다 . 이것은 Texas Instruments 회사에서 개발한 활동지 (Discovering Mathematics with the TI-73: Activities for Grades 5 and 6)를 바탕으로 구성되었으며 각 차시의 주제와 내용 개요는

<표 III-1>과 같다.

주 제 내 용

소수와 소인수분해

주어진 수들을 계산기로 조작하며 분류하는 활동을 통해 소수, 합성수, 소인수분해의 의미를 알아보고, 소인 수분해 과정에서 나타나는 기호의 의미 파악하기

숫자 마술

숫자 마술을 실제로 해보고 그 원리 를 계산기를 이용하여 찾기, 주어진 수를 7, 11, 13으로 각각 나누어보며 주어진 수가 7, 11, 13으로 나누어지 는 이유를 분배법칙으로 설명하기

<표 III-1> 계산기 활동 프로그램 주제 및 내용

정수의 덧셈, 뺄셈

정수에 대한 개념을 알고 계산기에 내장된 수직선 APPS를 이용하여 정 수의 덧․뺄셈을 수직선으로 나타내 어 화살표 방향, 양 등을 관찰하며 계산 원리 알기

내가 보는 것을 너도 보니?

좌표가 만들어진 유래를 바탕으로 좌표의 의미, 필요성을 알아보고 실 제로 계산기 좌표에 그림을 그려보 기, x값과 y값에 변화를 주었을 때 그래프 모양에 미치는 영향 관찰하 기

삼각형 탐구하기

계산기에서 무작위 수를 발생하여 나타난 세 수를 이용하여 삼각형의 결정조건을 알아보고, 피타고라스의 정리로 직각삼각형이 되는 조건 찾 기

공정한 게임인가?

무작위 수를 발생시켜 나타난 두 수 를 이용하여 곱과 합이 되는 경우의 수를 따져보며 전체에 대한 부분의 비로 공정성 파악하기

새는 물의 양

구멍난 컵에 물을 담아 실제로 새는 물을 모으는 실험을 통해 얻은 값을 계산기에 입력하여 그래프로 나타낸 후 정비례 그래프의 특징과 관계식 탐구하기

Pick의 정리

격자점의 개수로 도형의 넓이를 구 하는 Pick의 정리를 알아보기 위해 계산기의 지오보드에 직접 그림을 그려 경계선 위의 점의 수, 내부 점 의 수, 넓이를 이용하여 관계식 탐구 하기

몸으로 그래프 그리기

데이터 수집 장치인 CBR을 계산기 에 연결하여 움직임, 속도, 방향을 달리하여 계산기에 그래프로 나타내 고 주어진 그래프를 해석하기

M & M's 초콜렛

M & M's 초콜렛을 이용하여 전체에 대한 각 색깔이 차지하는 양을 분수, 소수, 비율로 나타내어 보고, 계산기 에 나타난 백분율 값과 원그래프의 결과를 관찰하며 분수, 소수, 비율, 백분율 사이의 관계 파악하기

피보나치 수열의

비밀

신체 부위를 측정하여 둘 사이의 나 눈 값을 계산기로 구하여 황금비와 측정한 값을 비교해보고, 피보나치 수열에서 황금비를 찾기 위해 계산 기의 표, 그래프를 이용하여 관찰하 고 규칙 찾기

황금비 신체의 일부를 측정하여 둘 사이의 나눈 값을 계산기로 구하여 황금비 와 측정한 값을 비교해보기

거듭제곱의 위력

거듭제곱의 개념, 필요성, 기호를 알 고 실제로 주어진 수를 거듭제곱해 보면서 증가되는 값을 보고, 거듭제 곱하였을 때와 그렇지 않은 경우의 두 그래프를 비교하며 관찰하기

이 프로그램은 단순히 계산기가 결과만을 보 여주는 것이 아니라 실험 활동을 통하여 계산기 화면에 나타난 그래프 , 수, 표 등을 관찰하면서 개념을 습득해나갈 수 있도록 구성되었다 . 이렇 게 개발된 과제는 ○○초등학교의 영재 교사에 의해 2014년 3월 4주부터 7월 2주까지 매주 수 요일 40분씩 두 차시에 걸쳐 수업이 진행되었다.

본 연구를 위해서 한 학생마다 TI-73 그래픽 계 산기를 각각 1대씩 제공하였으며, 4인 1조의 5개 의 소집단을 구성하여 수업이 진행되었다 .

3. 자료 수집 및 분석 방법

본 연구는 2014년 3월 4주부터 7월 2주까지 매 주 수요일 1시 20분부터 2시 40분까지 80분간 총 13차시에 걸쳐 참여관찰이 이루어졌다. 이 때 비 디오 2대와 녹음기 2대를 이용하여 녹화와 녹음 을 하였으며 , 수업 관찰 중 작성한 간단한 메모와 녹취록을 참고하여 현장조사록을 만들었다 . 또 학 생용 활동지와 학생들의 계산기 화면은 카메라로 찍은 후 저장하여 분석의 자료로 활용하였다 .

먼저 계산기가 통합된 수학 교실에서 교사의 도구적 오케스트레이션을 분석하기 위하여 선행 연구에서 제시한 Drijvers, Boon, Doorman, Reed,

& Gravemeijer(2010)의 유형을 개념적 준거틀로 이용하였다 . 한 차시 수업을 분석하여 코딩을 마 친 후 이 코드 목록을 바탕으로 다음 수업의 코 딩 작업을 하는 분석적 귀납법을 적용하였으며 이 코드표를 기초로 하여 계산기가 통합된 수학 교실에서 나타나는 교사의 도구적 오케스트레이션 유형에 관한 공통된 패턴과 주제를 생성하였다 .

이렇게 도출된 도구적 오케스트레이션 유형에 대하여 교수학적 실행을 통한 계산기 환경의 초 등 수학 영재 교실의 활동체계를 도식화하기 위 하여 Engeström의 활동이론을 이용하였으며, 각 유형별 에피소드에 따라 활동체계를 분석하였다 .

Ⅳ. 연구 결과

연구 결과 , 계산기가 통합된 수학 교실에서 교 사의 도구적 오케스트레이션은 ‘기술-설명하기’,

‘스크린-화면-연결하기’, ‘발견-소집단 탐구하기’,

‘기술-화면-설명하기’ 유형이 있었다. 각각의 결 과를 에피소드별로 구체적으로 살펴보면 다음과 같다 .

1. 에피소드: ‘기술-설명하기’ 유형

‘기술-설명하기’ 유형은 계산기 키와 명령어라 는 상징적 도구가 교사와 목적 사이를 매개하여 주체인 영재 학생이 계산기에 대한 사용 스킴을 가질 수 있도록 하기 위해 나타난 교사의 도구 적 오케스트레이션 유형이었다 . 이 유형의 활동 체계는 [그림 IV-1]과 같다.

[그림 IV-1] ‘기술-설명하기’의 활동체계

‘기술-설명하기’ 유형에 해당하는 에피소드를 활동체계로 분석하면 다음과 같다 .

교사의 지시에 따라서 교재를 펼치고 계산기를 손에 든 상태에서 학생들은 교재를 보면서 앱

에서 수직선을 골라 윈도우를 설정하고 있다.

1 교 사: 요걸 그럼 계산기로 해 볼까요? 61쪽 에 보면 계산기를 어떻게 세팅하고 어 떻게 해야 하는지 나와 있어요. 2 상 원: 다 했어요.

3 현 비: 선생님 잘 안 되는데요.

4 교 사: 여기에 윈도우를 눌러서 수를 치면 되 요. 이렇게 해 보세요. 교과서대로 수 직선이 나오게 하면 됩니다.

5 교 사: [학생들 주변을 돌아본 후] 다 된 것 같습니다. 교과서에 2번까지 했고, 3번 보도록 하겠습니다. 3번의... 이거 보기 이전에 이걸 잠시 봅시다.

6 교 사: 계산기로 –5, -13, 24, -6을 눌러 봅니 다. -5를 빨간 버튼이 아니라 하얀색 버튼을 이용해야 합니다. 괄호가 있 는... 그걸 이용합니다. 하얀 버튼의 마 이너스가 있는 것.

7 학 생: 이게 빨간색 마이너스다.

8 교 사: 빨간 색 말고 하얀 색!

9 재 훈: 이거 왜 이러지?

10 보 성: 뭐가?

11 재 훈: 이게 안 나와.

12 수 연: 마이너스 다음에 마이너스는 모두 더 하는거네. (P교사 수업녹취록 #8, 4/16)

위 발췌문에서 교사는 계산기로 음수를 입력 하는 방법과 앱을 이용하여 수직선이 나타나도 록 환경을 설정하는 절차를 전체 학생들에게 순 서대로 설명하였다 ([그림 IV-1-③, ④]). 이 때 활 동의 주체인 학생이 계산기 사용에 대한 스킴 ([그림 IV-1-⑤])을 획득할 수 있도록 교사는 ‘키 와 명령어 ’라는 상징적 도구를 이용하여 설명을 하였다 (4, 6행). 이 과정에서 교사는 구성요소인 분업을 활성화시키면서 교사와 학생은 역할이 분담되었다 . 교사는 계산기 사용 절차를 가르쳐 주기 위해 ‘지시하기’라는 수직적 역할분담을 하 였고 (4, 6, 8행), 학생은 교사의 지시에 따라 수 행하는 역할을 (3, 7, 9, 10, 11행)하였다. 이것은

[그림 IV-1-②]로 도식화된다. 계산기에 나타난 기호의 의미 , 키와 명령어의 사용, 계산기 절차 는 탐구 활동에서 중요한 역할을 하며 목적 달 성에 영향을 미치기 때문에 교사는 계산기 사용 절차를 설명하는 동안 학생들의 입력 정도나 이 해 정도를 확인하는 절차를 거쳤다 (5행). 그래서 주체와 도구 사이에는 강한 관련성이 나타났다 ([그림 IV-1-⑤]). ‘계산기 키와 명령어’라는 상징 적 도구의 매개 과정을 통해 학생들은 물리적 도구인 계산기를 이용하여 정수의 연산의 개념 획득이라는 활동의 목적 (12행)을 달성할 수 있게 되었다 ([그림 IV-1-⑥]).

이 유형은 세 교사의 수업 관찰에서 모두 수 업 초반에 주로 나타났으며 계산기 사용 절차에 대해 설명을 하거나 시범을 보여야 하는 경우에 는 대표 학생을 앞으로 나오게 한 후 직접 시범 을 보이면서 주체인 영재 학생이 계산기 활용에 있어서 어려움이 없도록 하였다 .

2. 에피소드: ‘스크린-화면-연결하기’ 유형

‘스크린-화면-연결하기’ 유형은 도구인 계산기 의 화면에 나타난 표상을 통해 수학 교과서에 제시된 표상을 이해시키고자 할 때 나타난 교사 의 도구적 오케스트레이션 유형이었다 . 이 유형 의 활동체계는 [그림 IV-2]와 같이 구현되었다.

[그림 IV-2] ‘스크린-화면-연결하기’의 활동체계

‘스크린-화면-연결하기’ 유형에 해당하는 에피 소드를 활동체계로 분석하면 다음과 같다 .

교사는 학생들에게 자신이 그리고 싶은 그림을 좌표평면에 그려 계산기 화면에 나타내어보도 록 하였다.

1 교 사: 지금까지 알게 된 것을 바탕으로 좌 표평면에 여러분이 그리고 싶은 것을 그려서 계산기 화면에 나타내어 보도 록 합니다.

2 승 아: 뭐하지? [잠시 후] 난 로켓 그릴래.

3 재 빈: 안 어렵겠어?

4 승 아: 해 보자. 여기다 [활동지의 좌표평면 에] 그려보자.

… (중략) …

5 승 아: 야, 이번에는 A, B, C 이런 거 쓰고 위치를 쓸게. 내가 부를테니까 네가 써.

6 재 빈: 응. A는 8하고 14, B는 6 하고 15...

7 승 아: graph 눌러 봐. 나와? 잠시만 8 승 아: 나온다. 나온다.

9 교 사: 뭘 그렸니? 어떻게 했는지 설명해볼래?

10 학생들: [승아와 재빈이가 함께 이야기한다.]

여기 좌표평면에다가 로켓을 그렸어 요. 아까 했는 것처럼 점의 위치를 정했어요.

11 승 아: 아니. A, B, C, D... 이런 것부터 먼저 적었지. 안 그러면 왔다 갔다 하면 안 그려지거든요.

… (중략) …

12 교 사: 그렇지. 좌표평면의 그림을 아까처럼 홀쭉하게나 뚱뚱하게 또는 작거나 크 게 만들어 볼 수 있겠어? 어떤 것을 바꾸어야 하겠니?

13 학생들: x축이나 y축에 곱하거나 나누면 되요.

14 교 사: 그럼 로켓 그림을 크기를 조절해봐.

(K교사 수업녹취록 #10, 4/23)

[그림 IV-3] 각 도구의 표상

위 발췌문에서 교사는 좌표평면에 나타낸 그 림을 계산기의 화면에 나타낸 후 크기를 조절하 면서 표상 사이의 관계를 바탕으로 좌표의 변환 에 대해 이해하도록 하였다 . 교사는 수업의 시작 부터 마무리될 때까지 ‘좌표 읽기와 좌푯값의 변환 ’이라는 활동의 목적을 염두에 두고 있었으 며 [그림 IV-2-①], 교사에 의해 학생들의 활동이 시작되었다 (1행). 교사는 [그림 IV-3]과 같이 학 생들이 스스로 활동지에 나타낸 로켓 그림으로 부터 계산기의 화면에 그래프로 나타내는 활동 과 이 표상에서 좌푯값의 변화와 그래프의 변화 를 관찰하는 동안 좌표 읽기와 좌표의 변환이라 는 개념을 얻을 수 있도록 해당 학생들을 대상 으로 질문을 지속적으로 하였다 . 이 때 교사는 구성요소인 분업을 활성화시키면서 교사는 교수 자의 역할을 (9, 12, 14행) 하였고 학생은 응답자 역할을 (10, 11, 13행)하였으며 그 흐름은 [그림 IV-2-②, ③, ④]처럼 나타난다. 이러한 과정에서 계산기 화면에 나타난 표상은 영재 학생과 목적 사이를 매개하면서 ([그림 IV-2-⑤]), 주체인 영재 학생이 새로운 개념인 좌푯값의 변환의 의미를 획득 (13행)하게 하였다([그림 IV-2-⑥]).

이 유형은 Drijvers, Boon, Doorman, Reed, &

Gravemeijer(2010)이 분류하였던 ‘스크린-화면-연

결하기 ’ 유형이지만 교수학적 조직면에서는 차 이가 있었다 . 선행 연구자들은 ‘전체 활동/하나 의 화면 /공학의 중앙에 배치’로 교수학적 조직을 명명하였지만 실제 계산기를 이용하였을 경우에 는 ‘소그룹 활동 또는 전체 활동/개별 계산기의 화면 /계산기의 개별 사용’과 같은 교수학적 조직 이 나타났다 . 이러한 경우 다양한 표상의 제공이 라는 공학의 장점을 충분히 활용하여 수학 교과 서의 표상으로 연결할 수 있었다 . 예를 들어 위 에피소드의 경우 제시한 그림 외에 [그림 IV-4]

와 같이 계산기 화면에 다양한 표상이 나타났으 며 , 교사는 이 계산기 표상들을 전체 학생들과 공유하면서 표상의 다양성을 이용하여 이를 일 반화된 개념으로 연결하여 이끌어 나갔다 .

[그림 IV-4] 계산기에 나타난 다양한 표상

‘발견-소그룹 탐구하기’ 유형은 교사가 공동체 를 조직하여 배워야 할 개념에 대해 소그룹 중 심으로 탐구 활동이 이루어지도록 교사는 중재 자의 역할을 하는 동안 나타나는 도구적 오케스 트레이션 유형이었다 . 이 유형의 활동체계는 [그 림 IV-5]와 같이 구현되었다.

[그림 IV-5] ‘발견-소그룹 탐구하기’의 활동체계

‘발견-소그룹 탐구하기’ 유형에 해당하는 에피 소드를 활동체계로 분석하면 다음과 같다 .

계산기의 지오보드 앱을 이용하여 내부 점의 수와 경계선 위의 점의 개수에 따라 도형을 그 린 후 공식을 찾는다.

1 지 연: [계산기의] 지오보드를 이용해서 2쪽 에 나온 것처럼 그려보고, 공식을 모 둠끼리 한번 만들어 봐. 교재처럼 그 려봐야 돼. 그래야 규칙이 나와.

… (중략) … 2 지 연: 선생님, 어떻게 지워요?

3 교 사: 델(del)키 있지? 그것을 눌러 봐.

… (중략) …

4 보 성: [교재 내용을 읽더니] 뭔 말이야?

5 재 훈: 됐어. 됐어.

6 보 성: 0.5 7 교 사: 어렵지?

8 보 성: 네.

9 교 사: 여기[넓이]는 0.5 늘어났지? 여기 경 계선 점의 수는 1 늘어났지?

10 보 성: 네.

11 교 사: 어떤 관계가 있을까?

12 재 훈: 나, 규칙 찾았어. 저 규칙 다 구했어 요. 요고는 경계선 위의 점 수이구요.

나누기 2가 넓이구요. 이거는 내부의 점 수

13 교 사: 그러니까 이거의 식을 만들어 보라는 거지.

14 재 훈: 전 이거 다 구했는데요.

15 교 사: 예를 들어 경계선 위의 수와 내부의 수를 알면 이 넓이가 나오잖아. 그런 게 공식이야.

16 재 훈: 그러면 ‘(경계선 위의 점 수)×0.5 = 넓이’ 됐어. 예스

17 보 성: 그런데 0.5×4 했는데 갑자기 2가 나 와?

… (중략) …

18 교 사: 잠깐만 2쪽 끝까지만 하는데 더 이상 하면 안되고 선생님 봐야 되요. 다했 어요? 끝까지 다했어요? (J교사 수업 녹취록 #16, 5/14)

교사는 내부 점의 수와 경계선 위 점의 수를 이용하여 Pick의 공식을 찾으려는 목적을 의도적 으로 가지고 있었다 . 사용해야 하는 도구, 활동 방법 및 절차에 대한 설명으로 과제를 제시하였 고 (1행), 이를 수행하고자 적당한 크기의 공동체 를 조직하였다 (1행). 탐구 활동에 대한 권위가 교사에서 공동체로 넘겨지면서 수평적 역할분담 이 일어났다 ([그림 IV-5-③]). 그 후 활동체계는 공동체 중심의 소그룹 형태로 바뀌었고 각 활동 체계에서 탐구 활동이 이루어졌다 ([그림 IV-5-④ -1, 2, 3]). 각 소그룹들이 계산기 내의 지오보드 를 이용하여 조건에 따라 도형을 그려보면서 Pick의 원리를 탐구하는 동안 교사는 중재자 역 할을 하였다 ([그림 IV-5-④]). 이 유형에서 나타나 는 교사의 중재자 역할은 계산기에 나타나는 오 류를 수정해주거나 키 조작에 대해 설명해주는

‘기술-설명하기’ 유형(2행)과 계산기의 화면에 나 타나는 화면을 이용하여 배워야 할 수학적 개념 을 설명하거나 질문을 통해 개념을 찾아가도록 하는 ‘화면-설명하기’ 유형(9, 11, 13, 15행)으로 나타났다 . 그러나 이 두 유형은 Drijvers, Boon, Doorman, Reed, & Gravemeijer(2010)이 분류하였 던 유형처럼 전체 활동의 교수학적 조직이 아니 라 ‘소그룹 활동/개별 계산기의 화면/계산기의

개별 사용 ’과 같이 교사가 학생들 사이를 돌아 다니며 도움을 요청하는 학생이나 소그룹에게 도움을 주는 형태였다 . 공동체는 소그룹 구성원 사이의 상호작용과 교사의 도움으로 Pick의 원리 에 관한 공식 (15행)을 찾았다([그림 IV-5-⑤]).

이 ‘발견-소그룹 탐구하기’ 유형은 교수학적 조직에 관한 교사의 의도에 따라 나타났다 . 예컨 대 계산기가 계산의 편의성을 위해 사용되는 과 제인 소수와 소인수분해 , 피보나치 수열의 비밀 과 같은 프로그램에서는 소그룹이 형성되지 않 은 채 , 개별 활동이 주로 이루어졌으며 실험이나 계산기의 화면에 나타난 그래프나 표의 결과를 바탕으로 의사소통을 하도록 형성된 프로그램의 경우에 이 유형이 나타났다 .

4. 에피소드: ‘기술-화면-설명하기’ 유형

‘기술-화면-설명하기’ 유형은 계산기를 활용한 수업에서 교사가 처음부터 끝까지 수업에 대한 주도권을 가지고 가르칠 때 나타났다 . 이 유형에 서 교사는 계산기를 이용하여 탐구 활동을 해야 하는 경우에도 계산기에 나타난 화면을 이용하 여 배워야 할 수학적 개념을 설명하거나 계산기 기능을 설명하기에 치중하는 교수학적 실행을 하고 있었다 . ‘기술-화면-설명하기’ 유형의 활동 체계는 [그림 IV-6]과 같다.

[그림 IV-6] ‘기술-화면-설명하기’의 활동체계

‘기술-화면-설명하기’ 유형에 해당하는 에피소 드를 활동체계로 분석하면 다음과 같다 .

계산기를 이용하여 거듭제곱으로 나타낸 식을 표에 입력하여 그래프로 살펴보면서 거듭제곱 기호의 의미를 찾는다.

1 교 사: 1부터 31까지 L1에 다 쓰세요. L1에 1부터 31일까지... L1에 오케이. 1부 터 31일까지 L1입니다. L1...

2 학 생: L1에다가... 1부터 31일까지 쳐요?

3 학 생: 선생님, 근데 31일이예요? 30일이예요?

4 교 사: 31일까지.

5 학 생: 선생님 1부터 31일까지 다 쳐요? 다 쳤으면 어떻게 해요?

6 교 사: 일단 L1에 1부터 31일까지라니까. L1 에! [소리를 높이며] 뭐 적었니? 다 쳤나?

7 학 생: 네.

8 교 사: 오케이. 이걸 보세요 자, 그 다음에 L2는 뭐라고 적어야 하느냐? L1은 날짜이고, 그러면 L2는?

9 학 생: 누적수~

10 교 사: 누적수. 누적숩니다.

11 학 생: [계산기에] 어떻게 적어요?

12 교 사: 그게 또 문제가 되죠. 어떻게 적나.

공식을? 아까 공식은 뭐라고 나왔지?

2 네모 더하기 1 빼기 2 잖아? 그런 데 이 네모는 뭐죠?

13 학 생: 날짜.

14 교 사: 날짜예요. 근데 우리 여기 날짜를 뭐 로 넣었지?

15 학 생: L1

16 교 사: L1에 했다. L1! L1에~ 날짜를 여기 넣었지? 그럼 2 괄호 2 괄호 L1 더하기 1 괄호... 아니다. 아니다. 플러스다 플러스.! 그리고 뭐지? 그 뒤 뭐지?

거듭제곱 형태 나타내고 빼기 2다

… (중략) …

17 학 생: 이건 어떻게 해요? 선생님 하는 방법 도 안 가르쳐주고. 어떻게 하냐고요.

안해.

18 학 생: 아직 안 가르쳐줬다. 그냥 해라. (P교 사 수업 녹취록 #28, 7/2)

교사는 하루에 두 배씩 엽전의 개수가 늘어나 는 경우 31일째 전체 엽전의 개수를 구하기 위 해 계산기를 이용하여 표에 수를 입력하고 좌표 에 나타난 그래프를 관찰하며 거듭제곱에 대해 이해시키고자 하였다 . 그러나 교사는 처음부터 탐구 활동이 이루질 때까지 각 공동체 내에서 논의할 수 있는 기회를 제공하기보다는 교사 주 도의 설명으로 활동이 이루어졌다 (1, 4, 6, 8, 10, 12, 16행). 이 과정에서 교사는 계산기 키 입력하 는 방법 (1, 6행)과 거듭제곱에 대한 개념을 가르 쳐주기 위해 과정을 설명하는 (4, 8, 10, 12, 16행) 교수자의 역할을 하였고 , 학생은 교사의 설명을 듣거나 교사의 질문에 답을 하는 응답자 역할을 (7, 9, 13, 15행)하였다([그림 IV-6-③, ⑤, ⑥]). 다 시 말해 수업 전반에 걸쳐 교사의 도구적 오케 스트레이션 유형이 계산기 사용 절차와 탐구 활 동 결과에 대해 설명하는 ‘기술-설명하기’ 유형 과 학생의 계산기에 나타난 거듭제곱이 무엇을 의미하는지 학생들에게 이해시키려는 ‘화면-설명 하기 ’ 유형이 혼재되어 있었다.

이 유형은 교사가 계산기 기능에 익숙하지 않 은 프로그램으로 수업을 진행할 때 나타났다 .

내가 수업을 하면서 가장 힘들었던 것이 계산 기 조작의 문제였다. 계산기를 조작하기 위해 활동을 한다는 느낌이 들 정도였다. 과제 해결 을 위해 계산기를 해결한다는 느낌이 들어야 하는데, 계산기 기능이 익숙치 않다보니 계산기 기능 익히는데 신경이 쓰여서 수업 목표에 대 해서는 제대로 신경쓰지 못했던 것 같다는 생 각이 든다. (P교사 인터뷰 녹취록 #9, 7/9)

에피소드와 같이 ‘기술-화면-설명하기’ 유형에

서 교사는 수업 목적보다는 계산기의 기능에 집

중하게 되어 계산기를 활용한 영재 수업에서 수

학적 개념 (거듭제곱의 이해) 획득이라는 활동에 대한 방향성을 상실하고 있음을 알 수 있었다 .

Ⅴ. 결 론

본 연구에서는 계산기를 활용하는 초등 수학 영재 수업에서 나타나는 교사의 도구적 오케스 트레이션 유형을 분석하고 활동체계로 도식화해 봄으로써 공학이 통합된 수업에 관한 교사의 교 수학적 실행을 살펴보았다 . 연구 결과로부터 얻 은 결론과 시사점은 다음과 같다 .

첫째 , 계산기 기반의 초등 수학 영재 수업에서 나타난 교사의 도구적 오케스트레이션 유형에는 Drijvers, Boon, Doorman, Reed, & Gravemeijer (2010)의 분류 유형에 속하지 않은 ‘발견-소그룹 탐구하기 ’ 가 있었다. 이들의 연구에서 나타난 여섯 가지 분류 유형의 특징은 공학을 활용함에 있어 하나의 화면을 중앙에 배치하여 전체 활동 을 하도록 교수학적 조직을 구현하고 있다는 것 이다 . 그러나 본 연구에서 사용된 공학은 학생들 이 각자의 도구를 소지하여 학습에 참여할 수 있는 ‘handheld’의 특징으로 전체 활동의 교수학 적 조직으로부터 자유로울 수 있었다 . 따라서 교 사는 수학적 개념을 탐구하기 위해 소그룹의 교

수학적 조직을 형성하여 의사소통을 통한 상호 작용이 가능하게 하였다 . 본 연구자는 이를 계산 기 기반에서 나타나는 교사의 도구적 오케스트 레이션 유형 중의 하나로 보았으며 ‘발견-소그룹 탐구하기 ’ 유형이라 하였다. 이 유형의 교수학적 조직과 활용 방식은 <표 V-1>과 같이 정리할 수 있다 .

유 형 교수학적 조직 활용 방식

발견- 소그룹

탐구 하기

소그룹 활동 개별 계산기 화면 계산기 개별 사용

학생들이 소그룹별 로 계산기를 이용하 여 탐구를 하는 동 안 교사가 학생들 사이를 돌아다니며 도움을 요청하는 학 생이나 소그룹에게 도움을 준다.

<표 V-1> ‘발견-소그룹 탐구하기’ 유형

Drijvers, Tacoma, Besamusca, Doorman, &

Boon(2013)의 연구 결과에 따르면 사용하는 공학 의 변화에 따라 새로운 유형의 도구적 오케스트 레이션이 출현할 수 있으며 교사마다 나타나는 도구적 오케스트레이션 유형이 달라질 수 있다 고 하였다 . 이 연구 결과는 본 연구의 결과를 지 지한다고 볼 수 있다 .

둘째 , 계산기 기반에서 교사의 도구적 오케스 트레이션 유형을 활동체계로 도식화한 결과 유

[그림 V-1] ‘기술-설명하기’와 ‘기술-화면-설명하기’ 유형의 비교

형마다 활성화되는 구성요소가 다름을 알 수 있 다 . 이 중에서 ‘기술-설명하기’ 유형과 ‘기술-화 면 -설명하기’ 유형은 유사한 활동체계로 나타나 고 있지만 활동체계의 구성요소가 다르게 활성 화되었다 .

[그림 V-1]에서 ‘기술-설명하기’는 수업 초기에 수학적 개념을 획득할 수 있도록 학생들의 계산 기 사용 스킴 획득에 초점을 맞추고 있기 때문 에 주체와 도구 사이에 강한 관련성을 가지면서 교사의 지시하기라는 분업 형태로 교수학적 실 행이 나타났다 . 하지만 ‘기술-화면-설명하기’는 계산기를 매개로 하고 있지만 , 교사는 수업의 전 반에 걸쳐 ‘기술-설명하기’와 ‘화면-설명하기’과 정에서 교수자의 역할을 , 학생은 응답자의 역할 을 하는 분업 형태로 교수학적 실행이 나타났다 . 이 유형은 계산기에 익숙하지 않은 교사에게 나 타난 도구적 오케스트레이션으로 공학에 대한 초보 교사일수록 공학 환경의 교수학적 실행을 통제하기 어려우며 이로 인해 나타날 수 있는

‘위험한’ 오케스트레이션이라 할 수 있다(Drijvers, 2012). 도구적 오케스트레이션에서 교사의 중요 한 역할은 ‘일인 악사가 아니라 지휘자’라고 하 지만 (Trouche, 2004), ‘기술-화면-설명하기’ 유형은 교사가 지휘자로서의 역할이 아니라 교사가 계 산기의 키와 명령어를 설명하고 게다가 계산기 에 나타난 화면의 기호에 대한 절차와 의미 , 수 학적 개념까지 설명하는 일인 악사로서 역할까 지도 하고 있다 . 따라서 공학을 활용한 수업을 설계할 때 교사는 지휘자의 역할뿐만 아니라 일 인 악사로서의 역할도 할 수 있어야 한다는 사 실을 알 수 있다 .

본 연구에서는 세 명의 영재 교사를 대상으로 계산기를 활용하는 초등 수학 영재 수업에서 나 타나는 교사의 도구적 오케스트레이션 유형과 그 때 나타나는 활동체계를 도식화하였다 . 그러 나 이들 연구 참여자 영재 교사로부터 얻은 연

구 결과에서 나타난 네 가지 유형을 일반화하기 에는 제한점이 있다 . 따라서 연구 참여자가 달라 질 경우 새로운 도구적 오케스트레이션 유형이 나타날 것이므로 이에 대한 후속 연구가 필요할 것으로 본다 . 더불어 도구적 오케스트레이션 유 형은 공학 기반의 수학 수업을 전개하는 교사의 교수적 실행을 분석하여 공학을 통합하는 방법 에 대해 시사점을 제공해줄 수 있는 유용한 분 석 도구의 역할을 할 수 있을 것이라 본다 .

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The purpose of this study was to obtain a deeper understanding of didactic processing in the class that unified with engineering by analyzing on the types of the teacher's instumental orchestration and schematizing it as an activity system. In order to do so, a qualitative study of a 5th grade class for math-gifted students in Y elementary school with ethnography was conducted. Interviews with the students were held and various document data were collected during the participational observation

of the class. The collected qualitative data were gone through the analytical induction while the instrumental orchestration of Drijvers, Boon, Doorman, Reed, & Gravemeijer as well as the second- generation activity theory of Engeström were using as the frame of conceptional reference. According to the result of this study, there exist 4 types, such as 'technical demo' 'link screen board', 'detection-exploring small group' and 'explain the screen and technical demo'.

* Key Words : instrumental orchestration(도구적 오케스트레이션), activity theory(활동이론), calculator (계산기)

논문접수 : 2015. 5. 9

논문수정 : 2015. 5. 28

심사완료 : 2015. 5. 29