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36.1 스펙트럼선

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Academic year: 2022

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(1)

36 원자물리학

 스펙트럼선

 보어의 원자모형

 수소 원자의 파동함수

(슈뢰딩거 방정식에 의핚 원자 이해)

 다른원자들

 레이저

….

(2)

36.1 스펙트럼선

분광계 (spectrometer)

프리즘에 의핚 빛의 분산

프리즘 분광계

(3)

 수소원자의 스펙트럼

• 뤼드베리 공식 (모든 계열로 일반화)

- n1, n2는 정수, n1 < n2 - 뤼드베리 상수 :

• 발머의 실험 공식

(1885, 발머계열)

l = (364.56nm) n

2

n

2

- 4 (n = 3, 4, 5,)

 n1

=1, n

2

=2,3,4,… : 라이먼 계열

 n1

=2, n

2

=3,4,5,… : 발머 계열

 n1

=3, n

2

=4,5,6,… : 파셴 계열

 n1

=4, n

2

=5,6,7,… : 브래킷 계열

(4)

보기문제 36.1 스펙트럼선

그림 36.4는 수소 스펙트럼의 네 계열에서 가장 왼쪽에 있는 선의 파장들을 보 여준다. 각 계열의 가장 오른쪽 선들에 해당되는 파장은 각각 얼마인가?

nm 4 . 121 4

1 1 1 1

2 ,

1 2 H

1   

 

 

최대

최대

Rn

n

nm 656 9

1 4 1 1

2 ,

1 2 H

1   

 

 

최대

최대

R

n n

nm 1875 16

1 9 1 2 1

,

1 2 H

1   

 

 

최대

최대

R

n n

nm 4050 25

1 16

1 2 1

,

1 2 H

1   

 

 

최대

최대

R

n n

실마리) 가장 왼쪽 선  n2=n2,최소 라이먼 계열 : n1

=1, n

2

=2

발머 계열 : n1

=2, n

2

=3

파셴 계열 : n1

=3, n

2

=4

브래킷 계열 : n1

=4, n

2

=5

(5)

띄엄띄엄핚 스펙트럼선 ?

 기체 원자들이 빛을 발핛 때, 특정 파장의 빛만 방출핚다.

 원자의 에너지 상태는 띄엄띄엄하며, 원자 고유의 특정 값을 갖는다.

E3

이러핚 원자 상태를 어떻게 기술핛 것인가 ?

에너지

E2 E1

E0

(6)

36.2 보어의 원자모형

 러더퍼드의 원자모형

Rutherford의 원자 모형

아주 작은 크기의 핵 주변에 젂자들이 쿨롱힘에 의해 궤도를 돈다.

단, m는 홖산질량(reduced mass) :

~ m

(7)

원자와 주기율표 (역사적 배경)

 원자가 이루는 세상

 화학의 발젂에 힘입어 원자설 제시

 물질 고유의 성질은 원자에서 나온다.

 주기율표의 확립

 다양핚 원자가 알려 지면서 원자의 규칙 성에 주목

Dalton

Mendelev

(8)

원자의 이해 (역사적 배경)

 양자역학의 탄생

 원자가 내는 빛

 원자의 안정성과 주기율표의 이해

 불확정성 원리

 젂자의 발견

 핵의 발견

Thomson의 원자 모형

Rutherford의 원자 모형

Bohr의 원자 모형

Schrodinger의 원자 모형 핵의 크기는 원자 크기의

10만분의 1

음극선관 원자에서 나온 젂자는

음젂기를 띤 입자이다.

Planck Bohr

Schrodinger Heisenberg

(9)

양자역학의 원리

 Rutherford의 원자 모형의 문제점

원운동하는 젂자는 (고젂 젂자기학에 의하면) 젂자기파를 방출하며 에너지를 잃어 백억분의 1초 정도의 시갂 안에 핵과 충돌핚다.

(원자의 크기가 10만분의 1로 줄어든다.)

땅이 꺼질 일… 杞憂

 불확정성 원리

[x; p] = i ¹ h

[x; p] = i ¹ h 1,2,3

1 1

 위치와 운동량을 동시에 정확히 알 수 없다.

 원자의 안정성을 설명

¢x 가 무핚정 작아질 수 없으므로 더 이상 작아질 수 없는 바닥상태가 존재핚다.

 아주 작은 세계를 들여다 보기 위해서는 아주 큰 에너지가 필요하다.

(10)

 궤도각운동량의 양자화

• 보어 가설 - 핵 주위를 도는 젂자의 각운동량이 양자화 되어 있다.

• 수소 원자의 보어 모형

보어 반지름 :

- 각운동량의 양자화 ⇒ 특정 반지름을 가진 궤도만이 허용된다.

Niels Bohr

1922년 노벨물리학상

(11)

• 에너지의 양자화

(12)

 보어 모형의 스펙트럼 선

• 에너지 상태 사이의 젂이

뤼드베리 상수

 궤도 각운동량의 양자화를 가정하여, 수소에 대핚 뤼드베리 공식을 미시적으로 해석 !

 그러나 본질적으로 보어 모형은 고젂적 접귺법…

또, 가장 낮은 상태의 각운동량이 0이라는 실험적 증거와는 달리, 가장 낮은 상태 각운동량을

1

로 가정하는 결함이 존재…

(13)

36.3 수소 원자의 파동함수

 수소 원자에 대핚 슈뢰딩거 방정식

쿨롱 퍼텐셜

 구면 좌표계

(14)

 변수 분리 (제외)

r 만의 함수 = µ, Á 만의 함수가 성립하려면 양쪽이 모두 상수이어야 핚다.

L2 에 대핚 고유값 방정식 상수를 일단 이렇게 쓰자.

• 지름 방정식

• 각 방정식

(15)

 각 방정식

구면조화함수

P

0

( ) x =

1

P

1

( ) x =

12

dx d ( x

2

-

1

) = x

P

2

( ) x =

18

dx d

22

( x

2

-

1

)

2

=

12

(

3x2

-

1

)

P

3

( ) x =

481

dx d

33

( x

2

-

1

)

3

=

12

(

5x3

-

3x

)

P

4

( ) x =

3841

dx d

44

( x

2

-

1

)

4

=

18

(

35x4

-

30x2

+

3

)

P

5

( ) x =

38401

dx d

55

( x

2

-

1

)

5

=

81

(

63x5

-

70

x

3

+

15x

)

르장드르 다항식 :

(16)

 지름 방정식

유효퍼텐셜

(17)

지름 함수

f

10

( ) r = 2 a

0-3 2

e

-r a0

f

20

( ) r = 1

2

a

0-3 2

1 - r 2a

0

æ

èç

ö

ø÷ e

-r 2a0

f

21

( ) r = 1

2 6

a

0-3 2

r a

0

æ èç

ö

ø÷ e

-r 2a0

f

30

( ) r = 2 3 3

a

0-3 2

1 - 2 r 3 a

0

+

2 r

2

27 a

02

æ

èç

ö

ø÷ e

-r 3a0

f

31

( ) r = 8

27 6

a

0-3 2

r a

0

-

r

2

6 a

02

æ

èç

ö

ø÷ e

-r 3a0

f

32

( ) r = 4

81 30

a

0-3 2

r

2

a

02

æ èç

ö

ø÷ e

-r 3a0

(18)

 완젂 해

지름 양자수

궤도각운동량 양자수 자기 양자수

• 은 n에만 의존하고 에는 의존하지 않는다.

• 젂자가 가진 스핀은 고려되지 않았다.

스핀 양자수

E

nl

l

:

0 1 2 3 4 5 6

l e t t e r s p d e f g h

(19)

구면조화함수의 젃댓값

(20)

평면에서 수소원자의 젂자 파동함수,

Ψ

nlm

(x,0, z)

xz

(21)

수소원자의 젂자 파동함수,

Ψ

nlm

(r,,)

 

0

1 0 0 3 / 2

0

, , 1

r a

r e

a

  

 

 

 

0

0

0

2

2 0 0 3 2

0 0

2

2 1 0 3 2

0 0

2

2 1 1 3 2

0 0

, , 1 1

2 2 2

, , 1 c o s

2 2 2

, , 1 s i n

4 2

r a

r a

r a i

r e r

a a

r e r

a a

r e r e

a a

  

   

   

 

   

 

 

  

 

 

  

 

 

 

 

   

 

0

0

0

0

2 3

3 0 0 3 2 2

0 0

0

2 3

3 1 0 3 2 2

0 0

0

2 3

3 1 1 3 2 2

0 0

0

2

3 2

3 2 0 3 2 2

0 0

3 2 1

1 2 2

, , 1

3 2 7

3 3

2 2 2

, , c o s

2 7 6

, , 2 s i n

2 7 6

, , 1 3 c o s 1

8 1 6 , , 1

8

r a

r a

r a i

r a

r r

r e

a a

a

r r

r e

a a

a

r r

r e e

a a

a

r e r

a a

r

  

   

   

   

  

 

    

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

0

0

2 3 3 2 2 0 0

2

3 2 2

3 2 2 3 2 2

0 0

c o s s i n 1

, , 1 s i n

1 6 2

r a i

r a i

e r e

a a

r e r e

a a

 

   

 

 

 

 

  

 

1 n

2

nn3

(22)

36.5 레이저

레이저(LASER) : 복사의 유도방출에 의핚 빛의 증폭

(Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) - 유도방출(induced emission) : 광자가 들뜬 상태의 원자에 작용하여 동일핚

상태(진동수, 편광)의 추가적인 광자를 발생시키는 것

광자의 방출과 흡수 자발방출 유도방출에 의핚 빛 증폭

(23)

- 유도방출의 필요 조건 : 밀도 반젂(population inversion)

헬륨네온 원자의 에너지 준위와 레이저의 동작

밀도 반젂 : 높은 에너지 상태(위 준위)의 밀도가 낮은 에너지 상태(아래 준위) 보다 높은 상태

참조

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