2. 통계학 개론

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2. 통계학 개론

5. 2 이상값 식별하기

이상 값은 해당 변수에 대해 분포의 밖 에 떨어지는 자료로

설명할 있다. 이 값은 심층적인 조사를 할 가치가 있는 특별한 경우를 가리킨다.

이상값(outlier) 이란?

<학생들의 성적 데이터>

이상 값은 해당 변수에 대해 분포의 밖 에 떨어지는 자료로

설명할 있다. 이 값은 심층적인 조사를 할 가치가 있는 특별한 경우를 가리킨다.

측정값 16은 도수 히스토그램 패턴 밖에 떨 어져 있으며, 따라서 히스토그램의 전체 모양 으로부터 벗어나 있다. 이것은 16이라는 관측 치가 전체 점수에 대해서 이상값임을 나타낸 다.

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2. 통계학 개론

5. 2 이상값 식별하기

Ø 이상값에 대한 평가

• 이상 값은 정상적이지 않은 중요한 값일 수 있다.

• 다른 한편으로는 그 값은 잘못 측정된 값 일 수 있 다.

상황을 이해하고 자료를 검토 하여 이상값과 관련된 의문점 을 해결할 수 있으나, 종종 이 상 값을 어떻게 처리해야 할지 에 대해 난감할 때가 있다.

• 이상 값은 정상적이지 않은 중요한 값일 수 있다.

• 다른 한편으로는 그 값은 잘못 측정된 값 일 수 있 다.

상황을 이해하고 자료를 검토 하여 이상값과 관련된 의문점 을 해결할 수 있으나, 종종 이 상 값을 어떻게 처리해야 할지 에 대해 난감할 때가 있다.

예를 들어 신문의 부동산 지면에서 도회지의 중위 주택가격을 평균 가 격보다 종종 이용한다. 또한 최고 가격과 최저가격을 보고함으로서 잠재 구매자 또는 판매자가 해당

• 이상값은 일단의 자료의 평균을 왜곡할 수 있다.

• 소득이나 가격을 포함하고 있는 자료는 종종 중 위수를 이용하여 요약한다.

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

Ø 자료의 산포(dispersion)은 변동성(variability)을 나타냄.

1)범위(range)

2) 표준편차(standard deviation)

3) 10분위수, 백분위수, 사분위수(percentile) 4) 상자 그림(box plot)활용하기

1)범위(range)

2) 표준편차(standard deviation)

3) 10분위수, 백분위수, 사분위수(percentile) 4) 상자 그림(box plot)활용하기

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

Ø 만일 하나의 변수를 살펴본다면 하나의 변수로부터 자료의 분포를 적절하게 요약하기 위해 중심척도와 산포척도를 필요로 한다.

Ø 만일 평균과 중위수 둘 다를 중심척도로 이용했다면, 이 값들은 분 포의 모양을 설명하기 위해 이용될 수 있다.

Ø 만일 중위수와 평균이 가상적으로 동일하다면, 이는 분포가 근사 적으로 중심에 대해 대칭임을 나타낸다.

Ø 만일 그렇지 않다면, 평균과 중위수의 차이는 비대칭 형태를 나타 내는 지표가 된다.

Ø 만일 하나의 변수를 살펴본다면 하나의 변수로부터 자료의 분포를 적절하게 요약하기 위해 중심척도와 산포척도를 필요로 한다.

Ø 만일 평균과 중위수 둘 다를 중심척도로 이용했다면, 이 값들은 분 포의 모양을 설명하기 위해 이용될 수 있다.

Ø 만일 중위수와 평균이 가상적으로 동일하다면, 이는 분포가 근사 적으로 중심에 대해 대칭임을 나타낸다.

Ø 만일 그렇지 않다면, 평균과 중위수의 차이는 비대칭 형태를 나타 내는 지표가 된다.

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

1) 범위(range)

 최대값과 최소값의 차이를 나타냄.

 이 값은 산포를 측정하는 가장 간단한 값이지만,

 서로 다른 규모의 자료들 간에 변동성을 비교하기에는 유용하지 않다.

 산포를 측정하는 다른 척도로 사분위 범위(inter-quartile range)와 표 준편차(standard deviation)들은 보다 신뢰할 만한 정보를 제공한다.

 최대값과 최소값의 차이를 나타냄.

 이 값은 산포를 측정하는 가장 간단한 값이지만,

 서로 다른 규모의 자료들 간에 변동성을 비교하기에는 유용하지 않다.

 산포를 측정하는 다른 척도로 사분위 범위(inter-quartile range)와 표 준편차(standard deviation)들은 보다 신뢰할 만한 정보를 제공한다.

ü 범위의 계산 = 최대값-최소값

= Max( ) – Min( )

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

1) 범위(range)

특정 과목의 점수가 65점이고, 평균은 60점이라고 가정하자. 만일 점 수들이 16점부터 92점까지 (범위가 76인 경우)보다 56점부터 65점까 지(범위가 9인 경우) 변동한다면 이 값들은 매우 다르게 해석될 수 있다.

☞ 범위를 이용하여 산포의 정도를 평가할 수 있지만, 자료의 규모 가 다를 경우 해석에 문제가 있을 수 있음.

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

2) 표준편차(standard deviation : SD)

§ 평균은 가장 통상적으로 사용되는 중심 척도이다. 평균을 사용할 때, 표준편차라고 하는 척도는 일반적으로 자료의 퍼짐 정도를 측정하는데 이용한다.

§ 이 값은 평균과의 편차의 제곱의 산술평균을 계산하고, 이 값의 제 곱근을 구함으로써 관찰 자료들과 이들의 평균 간의 전체적인

편차를 측정한다. 표준편차는 다음과 같이 표현할 수 있다.

§ 평균은 가장 통상적으로 사용되는 중심 척도이다. 평균을 사용할 때, 표준편차라고 하는 척도는 일반적으로 자료의 퍼짐 정도를 측정하는데 이용한다.

§ 이 값은 평균과의 편차의 제곱의 산술평균을 계산하고, 이 값의 제 곱근을 구함으로써 관찰 자료들과 이들의 평균 간의 전체적인

편차를 측정한다. 표준편차는 다음과 같이 표현할 수 있다.

( )²

2 2

1

N

i N

i

i i

X

X μ

N N

=

- m

s = = -

å å

ü모 표준편차 :

( )²

1

n i i

X X

s n

=

-

= -

ü표본 표준편차 :

å

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

3) 10분위수, 백분위수, 사분위수

Ø 2003년에 미국의 인구센서스 국에서 각 50개주에 대해 신규 개인 주택 입주자 수를 조사하였 다. 분포에 대한 히스토그램이 다 음과 같고, 여기서 수평축은 시작 가구 수이며, 수직축은 주의

개수를 나타낸다.

Ø 2003년에 미국의 인구센서스 국에서 각 50개주에 대해 신규 개인 주택 입주자 수를 조사하였 다. 분포에 대한 히스토그램이 다 음과 같고, 여기서 수평축은 시작 가구 수이며, 수직축은 주의

개수를 나타낸다.

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

ü x 축의 “이상” 항목은 3개의 이상 값인 143.1, 202.6, 271.4을 포함한 것 이며, 이들은 텍사스, 플로리다, 캘리포니아 주 이다. 이 주들은 (내국인) 이민 율이 높으며, 주택 붐이 있었던 유명한 주이다.

ü 입주 시작한 가구의 중위수는 18.3(18,300가구) 이었으며, 평균은 34.6(34,600 가구)이었다.

ü 자료중 하위 10%는 2.6 - 이 값을 10분위 수 - 에서 절사한다. 이를 다 른 방법으로 말하자면, “분포의 면적 10%가 0부터 2.6 사이에 있다” 이다.

§ 하위 20%는 5.0에서 절사한다 ― 20분위 수.

§ 하위 30%는 8.8에서 절사한다 ― 30분위 수

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

• 히스토그램의 모양을 요약하기 위해 연속적인 곡선을 이용하면 분포의 모양은 다음과 같이 표현된다.

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

Ø 하위 10분위수는 분포의 10% 이하의 점들이 놓인다. 면적은 중위수의 위와 아래가 동일하며, 면적의 10% 은 2.6 이하 이다.

Ø 10분위수 들은 일반적인 척도인 100분위수의 특별한 경우이다.

Ø 자료 분포는 통상적으로 100개의 조각으로 ‘분해’된다. 30백분위 수는 자료의 30%가 그 값 아래에 있게 된다.

Ø가장 통상적으로 사용되는 100분위수는 사분위수 이다.

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

Ø 만일 중위수가 중심척도로서 이용되었다면, 특정한 100분위수를 변동 성 척도로서 그리고 분포의 일반적인 모양을 보여주기 위해 이용될 수 있다.

Ø 1사분위수(25 백분위수)는 자료의 25%가 이 값 아래에 놓인다.

Ø 2사분위수는 50 백분위수이며, 자료의 50%가 이 값 아래에 놓인다 (즉, 이 값은 중위수이다).

Ø 중위수는 50 백분위수이다. 25백분위수는 1사분위수라 하며, 이는 전체자료에 대한 중위수 이하에 있는 모든 값의 중위수이며, 75백분

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

[5점요약(Five number summary)]

Ø 1사분위수, 중위수, 3사분위수와 최소값과 최대값이 보고되었다면,이 를 5점 요약이라고 한다.

즉, 최소값, 1사분위수, 중위수, 3사분위수, 최대값을 나타냄.

[5점요약(Five number summary)]

Ø 1사분위수, 중위수, 3사분위수와 최소값과 최대값이 보고되었다면,이 를 5점 요약이라고 한다.

즉, 최소값, 1사분위수, 중위수, 3사분위수, 최대값을 나타냄.

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

4) 상자그림(Box plot)

Ø 한 분포의 5점 요약은 상자그림으로서 그래프 상에 표현할 수 있다

<신규 주택 시작에 대한 상자그림>

Q1

Median

Min Q3 Max

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐정도

4) 상자그림(Box plot) [상자그림의 예]

두 종류의 TV 네트워크의 주요 시간대 시청률을 비교하는데 사용될 수 있다.

시청률은 인구 표본이 선호하는 TV 시청 양을 측 정한다. 보다 많은 사람들이 TV 프로그램을 볼수 록, 그 프로그램은 더욱 더 인기가 있으며, 보다 높은 시청률을 기록하게 된다.

대게는 광고주가 시청률이 저조한 프로그램 보다 는 시청률이 높은 프로그램에 그들 상품을 광고 하기 위해 더 많은 광고비를 지불한다.

Q1 Median Q3

[상자그림의 예]

두 종류의 TV 네트워크의 주요 시간대 시청률을 비교하는데 사용될 수 있다.

시청률은 인구 표본이 선호하는 TV 시청 양을 측 정한다. 보다 많은 사람들이 TV 프로그램을 볼수 록, 그 프로그램은 더욱 더 인기가 있으며, 보다 높은 시청률을 기록하게 된다.

대게는 광고주가 시청률이 저조한 프로그램 보다 는 시청률이 높은 프로그램에 그들 상품을 광고

하기 위해 더 많은 광고비를 지불한다. ^{TV 시청률}

채널 9 채널 6

Q1 Median Q3

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2. 통계학 개론

5. 3 분포의 퍼짐 정도

4) 상자그림(Box plot)

[질문]

a) 어떤 방송국이 가장 인기 있는 프로그램들을 방송했는가?

b) 어떤 방송국이 가장 인기 있는 프로그램을 방송했는가?

c) 만일 당신이 광고주이고, 주요 방송 시간대에 가장 많은 사람들이 시 청하길 원한다면, 어떤 방송국을 선택하겠는가?

[질문]

a) 어떤 방송국이 가장 인기 있는 프로그램들을 방송했는가?

b) 어떤 방송국이 가장 인기 있는 프로그램을 방송했는가?

c) 만일 당신이 광고주이고, 주요 방송 시간대에 가장 많은 사람들이 시 청하길 원한다면, 어떤 방송국을 선택하겠는가?