홀트-윈터스 가법모형에 의한 전국 학생수 예측

2009, 20

4), 685–694

홀트-윈터스 가법모형에 의한 전국 학생수 예측

김종태

¹

접수 2009년 5월 15일, 수정 2009년 7월 7일, 게재확정 2009년 7월 13일

요 약

본 연구는 전국 초·중·고등학교 학생수 데이터를 계절성과 추세성을 가지는 시계열 데이터로 전 환하는데 있다. 시계열 데이터로의 전환방법은 학년의 진급에 따라서, 초등1학년에서 고3학년까지 12년 한 주기로 하는 모형 A의 시계열 데이터 전환과, 각 학년을 한 주기로 하는 모형 B의 시계열 데이터 전환방법을 사용하였다. 전환된 시계열 데이터, 모형 A와 모형 B를 가지고, 홀트-윈터스의 가법모형을 이용하여 학생수를 예측하였다. 2019년까지의 전국 초·중·고등학교의 학생수를 예측하고, 교육과학기술부의 교육인적자원 통계서비스의 2007년에 예측한 2019년까지의 학생수 예측과 비교분 석 하였다.

주요용어 : 교육통계서비스, 시계열분석, 홀트-윈터스모형.

1. 서론

조찬혁 (2008)과 BakiBillah 등 (2006)의 연구에 따르면, 홀트-윈터스 (Holt-Winters) 모형은 기법의 간명성과 단순성에도 불구하고 예측능력 만큼은 Box-Jenkins의 ARIMA과 같은 모형들에 결코 뒤지지 않는다고 평가하고 있다. 최태성과 김성호 (2004), Campbell과 Diebold (2005), Snyder 등 (2001), Tu 등 (2008)은 홀트-윈터스방법에 대한 적용사례 연구들을 하였다. Holt (1957)와 Winters (1960)의 계 절성분을 직접 고려할 수 있는 홀트-윈터스모형은 계절성분을 가진 시계열자료의 분석에 적합한 모형으 로 알려져왔다.

본 연구는 전국 초·중·고등학교 학생수 데이터를 계절성과 추세성을 가지는 시계열 데이터로 전환하는 데 있다. 시계열 데이터로의 전환방법은 학년의 진급에 따라서, 초등1학년에서 고3학년까지 12년 한 주 기로 하는 모형 A의 시계열 데이터 전환과, 각 학년을 한 주기로 하는 모형 B의 두 가지 시계열 데이터 전환방법을 사용하였다.

전환된 시계열 데이터 모형 A와 모형 B를 가지고 홀트-윈터스 가법모형을 이용하여 학생수를 예측 하였다. 모형 A와 모형 B 중 어느 모형이 더 적합한 모형인가를 알아보기 위하여 모의실험을 통해 서 실제값과 추정값들에 대한 평균절대편차 (Mean Absolute Deviation; MAD), 평균제곱오차 (Mean Squared Error; MSE), 평균절대백분비오차 (Mean Absolute Percentage Error; MAPE), 오차평균 (Mean of Error; ME)을 비교하였다. 그런 다음 2019년까지의 전국 초·중·고등학교의 학생수를 예측하 고, 교육과학기술부의 교육인적자원 통계서비스의 2007년에 예측한 2019년까지의 학생수 예측과 비교 분석 하였다.

기존의 초·중·고등학교의 학생수에 대한 연구로 Kim (2005a, b)는 평균이동을 이용한 예측방법으로 2005년에서 2022년까지 대구·경북의 초·중·고등학교의 학생수에 대한 예측과 고3학생수 대비 대학 입학

1

(712-714) 경상북도 경산시 진량면 내리동 15, 대구대학교 전산통계학과, 교수. E-mail: [email protected]

2절에서는 1982년에서 2008년까지의 전국 초·중·고등학교 학생수 데이터를 시계열 데이터로 전환하 여 모형 A와 모형 B의 시계열 데이터를 형성하였다. 3절에서는 홀트-윈터스 가법모형을 이용하여, 모 의실험을통해 모형 A와 모형 B의 오차를 분석하고, 각 모형에 따른 2019년까지의 학생수를 예측하였 다 4절에서는 교육부의 2007 교육예측통계 고3학생수 예측결과와 비교 분석하였다

2. 학생수 데이터의 시계열 데이터로의 변환 Xy,d를 y 연도의 d ( d = 1, 2, · · · , 12 )학년 학생수로 정의하자. 이 때,

d = 8

><

>:

1, 2, · · · , 6 각각 초등 1, 2, · · · , 6학년 학생수, 7, 8, 9 각각 중학 1, 2, 3학년 학생수, 10, 11, 12 각각 고등 1, 2, 3학년 학생수,

이다. 예를 들면, Xy,12 는 y연도의 고등3학년 학생수가 된다. 교육통계연보 (1982 - 2008)에서 초·중·고등학교의 연도별에 따른 27년 (y = 1982, 1983, · · · , 2008)간의 학생수 데이터를 1982년부터 2008년까지 구할 수 있다.

2.1. 모형 A: 학년진급에 따른 12학년을 한 주기로 하는 시계열 데이터의 형성

학년이 진급함에 따라서 초등1학년에서 고등3학년을 마칠 때까지의 각 학년을 계절적 요인으로 두고, 12학년을 한 주기로 하는 연도의 증가에 따른 시계열 데이터 Yt를 다음과 같이 만든다.

표 2.1 모형 A: 학년 진급에 따른 12학년을 한 주기로 하는 시계열 데이터의 형성

주기 시작점 끝점

1 Y

= X

Y

= X

· · · Y

= X

2 Y

= X

Y

= X

· · · Y

= X

· · · · · · · · · · · · · · ·

16 Y

= X

Y

= X

· · · Y

= X

· · · · · · · · · · · · · · ·

27 Y

= X

Y

= X

· · · Y

= X

표 2.1의 시계열 데이터의 형성과정에 따라 학년진급에 의한 학생수의 데이터는 아래의 그림과 같이 형성된다.

2.2. 모형 B: 학년 진급에 따른 연도들을 한 주기로 하는 시계열 데이터의 형성

학년진급에 따른 연도들을 한 주기인 계절요인으로 두고, 학년을 주기로 하는 시계열 데이터의 변환은 다음과 같다.

그림 2.1 모형 A: 학년 진급에 의한 2학년을 한 주기로 하는 시계열 학생수 데이터

표 2.2 모형 B: 학년 진급에 따른 연도들을 한 주기로 하는 시계열 데이터의 형성

주기 시작점 · · · 끝점

1 Y

= X

Y

= X

· · · Y

= X

2 Y

= X

Y

= X

· · · Y

= X

3 Y

= X

Y

= X

· · · Y

= X

· · · · · · · · · · · · · · ·

12 Y

= X

Y

= X

· · · Y

= X

그림 2.2 모형 B: 학년 진급에 따른 연도들을 한 주기로 하는 시계열 학생수 데이터

3. 홀트-윈터스기법의 추정과 예측

홀트-윈터스 모형은 지수평활 기법의 단점인 계절성 추정 불가 문제를 극복해서 추세 및 계절성을 동시에 추정할 수 있는 장점을 가지고 있다. 홀트-윈터스 모형에서는 평균수준 (level) α, 추세성분 (trend) β, 계절성분 (seasonality) γ, 등에 대한 평활 방정식으로 구성되어 있다. 다음의 용어들을 정의 하자.

- Yi = 시점 t 에서 관찰된 값.

- Lt= 시점 t 에서 시계열 평균수준.

- bt = 시점 t 에서 시계열 추세성분.

- St= 시점 t 에서 시계열 계절성분.

Lt= α St−s

+ (1 − α)(Lt−1+ bt−1), bt= β(Lt− Lt−1) + (1 − β)bt−1, St= γYt

Lt

+ (1 − γ)St−s, Ft+m= (Lt− btm)St−s+m.

홀트-윈터스의 승법모형은 로그변환을 통하여 다음과 같은 가법모형으로 변형 시킬 수 있다. 그러므 로본 연구에서는 가법모형만 다루도록 한다.

3.2. 홀트-윈터스 가법 모형

가법적 (additive) 계절적 추세항은 다음과 같이 표현된다.

Lt= α(Yt− St−s) + (1 − α)(Lt−1+ bt−1), bt= β(Lt− Lt−1) + (1 − β)bt−1,

St= γ(Yt− Lt) + (1 − γ)St−s, Ft+m= Lt+ btm + St−s+m.

홀트-윈터스의 가법모형은 데이터가 선형으로 일정하게 증가하는 추세를 나타내거나, 추세성 없이 선 형으로 균등하게 나타내는 경우 그 적합성이 뛰어나다. 2.1절의 모형 A의 경우에는 데이터의 분포가 비 선형적인 모습을보이는 반면에, 모형 B의 경우에는 홀트-윈터스의 가법모형의 선형조건에 매우 적합한 것으로 나타난다. 홀트-윈터스의 가법모형의 조건에 맞추기 위하여, 1995년의 이전의 비선형 데이터를 제외하고, 1995년에서 2008년까지의 데이터를 이용하였다.

3.3. 모의실험에서의 모수추정과 추정오차

모형 A와 B에 대한 추정오차를 구하기 위하여 다음과 같이 모의실험을 하였다. 모수인 평균수준 (level) α, 추세성분 (trend) β, 계절성분 (seasonality) γ 를 추정하기 위하여 예측값과 과거의 자료 의 실제값들 사이의 오차를 평가하는 기준으로 평균절대편차 (Mean Absolute Deviation; MAD), 평 균제곱오차 (Mean Squared Error; MSE), 평균절대백분비오차 (Mean Absolute Percentage Error;

MAPE), 오차평균 (Mean of Error; ME)를 사용한다.

M AD = Pn

l=1

˛

˛

˛Yt− ˆYt

˛

˛

˛

n , M SE = Pn

l=1

“ Yt− ˆYt

”2

n ,

M AP E = Pn

l=1

0

@

˛

˛

˛Yt− ˆYt

˛

˛

˛ Yi

1 A× 100

n , M E = 1 T

T

X

t=0

(zt− ˆzt) .

위 네 가지 기준을 가지고 MAD, MSE, MAPE를 가장 작게 하는 평균수준 (level) α, 추세성분 (trend) β, 계절성분 (seasonality) γ, 추정한다. 모수들을 추정한 다음에, 2.1절의 두 가지 데이터에 서결측값들을 추정하고, 결측값들 사이에 있는 실제값들을 삽입한 후에 다음의 결측값들을 다시 추정해 나간다. 모형 A와 모형 B에 대한 모의실험의 결과는 다음과 같다.

표 3.1 모형 A에 대한 실제값과 예측값의 모의실험 결과

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 초3 실제값 626697

예측값 623982 초4 실제값 628676 626943

예측값 626931 624828 초5 실제값 612763 629113 626084

예측값 612928 628136 626143 초6 실제값 608404 613174 628088 623841

예측값 610139 613123 629182 627298 중1 실제값 616017 611196 613705 627975 624020

예측값 616865 610951 614697 631605 629831 중2 실제값 640058 613921 608280 610239 625005 621340

예측값 642966 613180 607224 611731 629489 627825 중3 실제값 640881 635422 609167 602816 605616 621033 617962

예측값 646982 637786 607051 601771 607038 625647 624092 고1 실제값 716710 632822 624661 598958 594410 596642 610871 607411

예측값 699932 611123 603180 572507 567950 573978 593437 591992 고2 실제값 761308 695156 609831 602908 581136 579149 582181 595438 589452

예측값 758373 672933 583462 576445 546029 542288 549078 569387 568051 고3 실제값 773122 743490 676681 593643 590983 570769 569844 573008 583325 577167

예측값 769693 741282 653058 562926 557051 526810 523781 531332 552490 551265

모의실험에서의 모형 A와 모형 B에 대한 MAD, MSE, MAPE, ME의 비교 결과, 모든 면에서 모형 B를 가지고 예측한 결과가 더 좋다는 것을 알 수 있다. 이는 홀트-윈터스의 가법모형에 대한 가정에 모 형 B가 더 적합한 이유로 보인다.

3.4. 홀트-윈터스의 가법모형에 의한 예측결과

2008년의 초등학교 1학년 학생이 2019년에 고등학교 3학년이 될 때까지의 학생 수를 모형 A와 모 형 B를 이용하여 홀트-윈터스의 가법을 이용하여 학생수를 예측하였다. 예측을 위하여 MINITAB을 이 용하였다. 예측결과 모형 A의 경우, 2019년의 고등3학년 학생수는 466,866명이고, 모형 B의 경우는 491,615명이다. 모형 A와 모형 B를 비교해 볼 때, 모형 A 보다 모형 B가 과대 추정됨을 알 수 있다.

예측값 615964 612513 617321 631787 625033 중2 실제값 640058 613921 608280 610239 625005 621340

예측값 638647 614144 610789 615606 630075 623325 중3 실제값 640881 635422 609167 602816 605616 621033 617962

예측값 637358 633566 608981 605503 610194 624539 617665 고1 실제값 716710 632822 624661 598958 594410 596642 610871 607411

예측값 707804 619170 616146 592335 589632 595100 610222 604126 고2 실제값 761308 695156 609831 602908 581136 579149 582181 595438 589452

예측값 753027 676357 585970 581088 555388 550786 554360 567592 559611 고3 실제값 773122 743490 676681 593643 590983 570769 569844 573008 583325 577167

예측값 765963 730772 653680 563128 558190 532471 527862 531431 544657 536670

표 3.3 모형 A와 모형 B에 대한 오차 비교 모형 A 모형 B MAD 13,597 12,576 MSE 377,048 320,843 MAPE 2.3722 2.07975 ME 11,641 11,279

표 3.4 모형 A에 대한 예측 결과

2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 초2 538489

초3 608575 536822 초4 604371 606938 534539 초5 623630 602232 605211 531807 초6 650800 621071 599627 603018 528551 중1 662794 650713 620716 599226 603030 527464 중2 679243 658926 646825 616559 595023 599240 522532 중3 676627 674419 653756 641635 611100 589518 594147 516332 고1 672699 664093 661903 640894 628752 597949 576321 581362 502419 고2 664692 653901 645006 642833 621479 609316 578245 556571 562024 481975 고3 631011 652162 640421 631236 629081 607381 595197 563858 542138 548004 466866

4. 교육통계시스템의 예측결과와의 비교 및 평가

한국교육개발원의 교육통계서비스 (http://std.kedi.re.kr/index.jsp)의 교육통계 예측결과 홈페이지 에는 2005, 2006, 2007년에 미래의 학생수를 비롯한 여러 가지 예측들을 하였다. 한국교육개발원의 자 료들은우리나라 교육통계에 지표가 되는 중요한 데이터이고, 현존하는 통계데이터들 중에는 가장 오류 가 적게 수집된 데이터이다.

그림 3.1 모형 A에 대한 2019년까지의 예측

표 3.5 모형 B에 대한 예측 결과

2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 초2 533215

초3 606467 535361 초4 600248 606474 535362 초5 619168 599543 605839 534797 초6 648131 618818 599421 605947 535134 중1 655601 644771 614735 594618 600423 528890 중2 675849 651796 640832 610665 590417 596092 524428 중3 672869 670868 646660 635556 605246 584855 590387 518580 고1 667916 657817 654923 629823 617826 586623 565340 569979 497279 고2 661387 644241 633258 629479 603494 590612 558525 536357 540111 466527 고3 645865 661111 646774 638610 637650 614484 604422 575155 555806 562380 491615

그림 3.2 모형 B에 대한 2019년까지의 예측

나지만, 한국교육개발원의 2007년 예측분포는 매우 다른 분포모양을 나타낸다. 특히 교육부의 2007년 예측에 있어서 2016년과 2017년 사이에 고3학생수가 거의 11만 명이 감소한다는 것은 19년 전의 출생 아수와 비교해 볼 때, 납득하기 어렵다.

표 4.1 출생아 수와 고3학생수에 대한 예측 결과 비교 예측연도 교육부2007 모형 A 모형 B 출생아비교 2009 647,431 631,011 645,865 711,891 2010 664,750 652,162 661,111 733,525 2011 642,992 640,421 646,774 718,983 2012 641,216 631,236 638,610 724,035 2013 612,427 629,081 637,650 716,993 2014 585,383 607,381 614,484 692,495 2015 567,208 595,197 604,422 675,227 2016 574,822 563,858 575,155 640,126 2017 466,013 542,138 555,806 616,322 2018 451,563 548,004 562,380 636,780 2019 427,950 466,866 491,615 557,228

그림 4.1 출생아 수와 고3학생수에 대한 예측 결과 비교

참고문헌

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Department Computing & Statistics, Daegu University

Received 15 May 2009, revised 7 July 2009, accepted 13 July 2009

Abstract

The idea of this paper is to get the time series data from the number of student on the elementary, meddle and high-school for the forecasting of the numbers of student.

Tow models, model A and model B, of time series data are obtained. The Holt-Winters additive methods are used for the forecasting of the numbers of student with the model A and model B until 2019 year. As the result, the abilities of forecasting on model A and B are better than those of the Korean education statistical system 2007.

Keywords: Educational statistical services, Holt-Winters model, time series analysis.

1

Professor, Department Computing & Statistics, Daegu University, Gyeongsan 712-714, Korea.

E-mail: [email protected]