열 및 통계물리2. 3주

열 및 통계물리 2. 3주

5장 자유에너지와 화학 열역학

조선대학교 물리학과 정진

공용계의 상변환들



두 성분 고체 혼합물들은 동일한 결정구조를 갖지 못한다



오른 쪽 그림 참조. 왼쪽과 오른쪽에서는 𝛂𝛂, 𝛃𝛃,상이존재 중간 조성에서는 𝛂𝛂와 𝛃𝛃 혼합되지 않은 상태가 안정적



액체상태에서 A, B가 완전 혼합 가능하다고 가정



계의 고체 -액체 전이계 를 보자.



여러 온도에서 자유에너지 (5.33 그림)



순수한 B의 녹는 온도 T

, 순수한 A의 녹는 온도 T

보다 높다



높은 온도에서 액체의 자유에너지 <고체의 자유에너지



온도가 감소함에 따라서 세 자유 에너지 함수는 증가 (𝛛𝛛

𝛛𝛛

^=-S) 액체의 자유에너지는 가장 많은 엔트로피를 가지기 때문에 빨리 증가



T

이하에서 액체의 자유에너지 곡선은 𝛃𝛃 상과 교차하므로 액체와 𝛃𝛃 상이 혼합되지 않은 상이 안정하다



온도가 감소함에 따라서 이 영역은 더 넓어져서 A쪽을 향하여 가고

결국 𝛂𝛂선과 교차, 안정한 상은 𝛂𝛂상과 혼합되지 않은 상태 T가 감소함에

따라서 범위는 그림 B쪽에 도달하여 공융점 에서 액체 + 𝛃𝛃 범위와 교차.



그림처럼 낮은 온도에서 안정한 배위는 𝛂𝛂와 𝛃𝛃 고체들의 혼합되지 않은 결합;액체의 자 유에너지는 이 결합의 자유에너지 보다 더 높다.



공융점은 특별한 조성을 의미



이공융점에서 녹는점은 낮고, 순수한 물질보다 낮다.

공융 조성 근방의 액체는 고체들의 혼합되지 않은

상태에서 갖는 엔트로피보다 더 많은 혼합 엔트로피를 갖기 때문에, 낮은 온도에서 안정하게 남는다.



공용혼합물의 예; 주석-납 녹는 온도는 낮다 (183도), 땜납은 갑자기 언다; 냉각된 금속은 작은 결정들이 균일하게 생겨서 비교적 강도에 강하다.



혼합물들이 이와 유사하게 행동



물+식염(NaCl) 혼합물 -21도까지 액체상태유지, 자동차 엔진에 쓰는



냉각 제; 물+에틸렌 글리콜(HOCH

CH

OH) -31도까지 액체 상태유지.

공융점은 -49도



오른쪽 그림은 3가지 성분 액체



두가지 이상의 상도표는



성분들의 조성들이 다른 결정구조로 더욱 복잡하게 됨



요업, 암석학,등에서는 수백개의 복잡한 도표



자유에너지 그래프에 의해서 정성적으로 이해가능

 용액은 용매를 주성분 용질들을 이차성분으로 하는 혼합물

 용질분자는 용매분자보다 수가 작다. 묽은 용액에서 용질분자들은 이상기체 처럼 행동

 묽은 용액의 성질들을 정량적으로 이해하자

 용매 및 용질의 화학 퍼텐셜

 A분자들이 순수한 용매 이다

 깁스 자유에너지는 화학 퍼텐셜 이다

 G= N_A𝜇𝜇₀(T,P)---(5.62) 𝜇𝜇₀ :용매 한 분자의 화학 퍼텐셜

 온도와 압력을 고정하고 한 개의B분자를 더한다고 하자

 깁스 자유에너지는dG=dU+PdV-TdS ---(5.63) dU, PdV 가 dN의존하지않음

 TdS는 좀 다르다. dS일부는 N_A 무관하나, B분자를 어디다 놓을 것인가 하는 선택 방법 수는 자유도에 기인. 선택 방법 수는 N_A비례. 겹침수 증가

 엔트로피 증가 dS는 kln N_A 항을 포함. dS= kln N_A +(N_A 무관한 항)---(5.64)

 자유에너지 변화 dG=f(T,P)- kln N_A ( B분자 하나 더함) ---(5.65)

 f(T,P)는 온도와 압력의 함수, N_A 의 함수는 아니다

5.5 묽은 용액들



순수한 용매에 두 개의 B분자를 더한다



자유에너지 변화는 dG=2f(T,P)-2kln N

---(5.66)



위 식에서 엔트로피의 추가된 변화율을 생각하면



dG=2f(T,P)-2kln N

+kTln2 (두 개의 B분자)---(5.67)



위 식을 통하여 여러 개의B분자를 더하는 식을 얻을 수 있다.



G= N

𝜇𝜇

(T,P) + N

f(T,P) – N

kT ln N

+ N

kT ln N

– N

kT ----(5.68) (N

≪ N

)



묽지 않은 용액은 훨씬 복잡



두개 이상의 용질을 포함하면 첫 항을 제외하고 N

를 N

, N

등으로 반복 대치하여 합한다.



용매 및 용질의 화학 퍼텐셜은 (5.68)식으로부터 얻어진다



𝜇𝜇

=( 𝛛𝛛

𝛛𝛛

⁾

^{= 𝜇𝜇}

^{(T, P) - N}

^kT

^----(5.69)



𝜇𝜇

= ( 𝛛𝛛

𝛛𝛛

⁾

^{= 𝜇𝜇}

(T, P) +kTln(N

/N

) ---(5.70)



예상대로 많은 용질을 첨가하는 것은 A 화학 퍼텐셜을 감소시키고,

B 화학 퍼텐셜을 증가시킨다. 둘 다 세기변수이므로 N

/N

만 의존하고

용매나 용질의 분자수에 의존하지 않는다.



(5.70)식을 분자들의 몰 농도로 쓸 수 있다



분자들의 몰농도= m= ^{용질의 몰수}

용매의

^{수 ----(5.71)}



몰 농도는 상수와 비 N

/N

곱, 상수는 함수f(T,P)로 흡수되어 𝜇𝜇

(T,P)새로운 함수.



용질의 화학 퍼텐셜은 다음과 같이 쓸 수 있다.



𝜇𝜇

=( 𝛛𝛛

𝛛𝛛

⁾

^=𝜇𝜇

(T, P)+kTln(N

/N

) - 𝜇𝜇

= 𝜇𝜇

(T,P)+kTlnm

--- (5.72)



m

는( kg당 몰) 용질의 몰농도, 𝜇𝜇

는 표준조건 𝜇𝜇

=1에서 화학 퍼텐셜.



𝜇𝜇

는 깁스 자유 에너지. 표에서 얻어질 수 있다.

삼투압



𝜇𝜇

=( 𝛛𝛛

𝛛𝛛

⁾

^{= 𝜇𝜇}

^{(T, P) - N}

^kT

^----(5.69)



의 응용으로 용매분자통과 , 용질분자들은 통과하지 못한 막을 생각하자 .



식물이나 동물세포를 둘러싸는막



물과 다른 분자들은 통과, 큰 분자나 하전 이온들은 통과하지 못함.

(5.69) 의하면 용매의 화학 퍼텐셜은 주어진 온도와 압력에서 순수한 용매의 것보다 작다.

 입자들은 낮은 화학퍼텐셜로 이동.

 용매분자들은 스스로 순수한 용매로부터 용액속으로 이동. 이러한 현상을 삼투현상이라 고 한다.

 삼투현상을 방지 하기 위해서는 용액에

 추가압력을 가하여 할 수 있다(그림 5.38)

 삼투 흐름이 정지될 때 (압력이 동일해서)

 용매의 화학 퍼텐셜은 막의 양쪽에서 동일.

 이 조건은 아래와 같이 된다.

 𝜇𝜇₀ (T, P₁)= 𝜇𝜇₀(T, P₂) - N^BkT

N_A ^---(5.73)

 P₁ 은 순수 용매쪽에서 압력 P₂ 은 용액쪽에서 압력.

이 두 압력이 서로 다르지 않다고 가정한다면 𝜇𝜇₀ (T, P₂)≈ 𝜇𝜇₀ (T, P₁) +(P₂-P₁) ^𝜕𝜕𝜇𝜇₀

𝜕𝜕P ^-(5.74)

 (5.73)은 (P₂-P₁) ^𝜕𝜕𝜇𝜇₀

𝜕𝜕P ^=NN^BkT_A ---(5.75) ^𝜕𝜕𝜇𝜇₀

𝜕𝜕P 를 구하기 위하여 순수한 물질의 화학 퍼텐셜은 입자당 깁스자유에너지G/N이므로

 고정된(T, N)에서 ^𝜕𝜕G

𝜕𝜕P ^=V이므로

 구하는 도함수는 ^𝜕𝜕𝜇𝜇₀

𝜕𝜕P ^=VN ---(5.76) ;순수용매의 분자당 체적

 용액이 묽기 때문에 용매 분자당 체적은 용액의 분자당 체적으로 생각할 수 있으므로

 ^𝜕𝜕𝜇𝜇₀

𝜕𝜕P ^=VN 에서 V를 용액의 체적으로, N을 용액에서 용매 분자들의 수 즉 N_A로 취하면

 (P₂-P₁) ^𝜕𝜕𝜇𝜇₀

𝜕𝜕P ^=NN^BkT_A ^{5.75 식은 (P2-P1) V}N_A^=NN^BkT_A ---(5.77) 이고 간단히

 (P₂-P₁) =N^BkT

V ^{= nB}V^RT ----(5.78) 으로 된다. (n_B/V는 단위체적당 용질의 몰수)

위의 압력 차이를 삼투 압력 이라한다.(삼투현상을 막기 위하여 용액 쪽에서 추가되는 압력) 벤트호프 공식이라고 도 명명한다. 이는 삼투압력이 용질과 똑같은 농도인 이상기체의 압력과 같 다는 사실

 생물속의 세포이온, 설탕, 아미노산등의 분자들의 용액에서 전형적인 세포는 각 분자마다 200개 물 분자들이 존재. 물1몰의 질량이 18g 이고 체적은 18cm³이므로 단위체적당 용질의 몰수는 nV^{B =( 1}200⁾

1

18cm

(100 cm

1

)

=278mol/m

----(5.79)



세포 하나를 순수한 물속에 집어 넣으면 안쪽의 압력이 바깥의 압력을 삼투 압력 만큼 초과 할때 까지 삼투현상에 의해 물을 흡수할 때 실온에서 삼투압은



(278mol/m

)(8.3J/mol K)(300K)=6.9 ×10

N/m

---(5.80)



약 7기압으로 식물세포는 이런 정도의 압력을 견딜 수 잇는 단단한 세포벽을 가지

고 있다.

 불순물에서 끓는점과 어는점을 이동할 수 있다는 사실을 5.4절에서 배웠다.

 묽은 용액에서 정량적으로 끓는점과 어는점을 계산

 그림 5.40처럼 묽은 용액이 끓는점에서 용질이 증발되지 않는다고 가정하자(물속 소금)

 기체는 용질이 없으므로 용매에 대한 평형조건을 생각하면 𝜇𝜇_{A, liq} (T,P)= 𝜇𝜇_{A, gas}(T,P) ---(5.81)

 𝜇𝜇_A = 𝜇𝜇₀(T, P) - N^BkT

N_A ^{식을 이용하여}

 좌변을 고치면 𝜇𝜇₀ (T, P) - N^BkT

N_A ^=𝜇𝜇gas(T,P) ---(5.82) 각 함수 𝜇𝜇 는 온도와 압력에 의 존 하기 때문에 온도나 압력을 고정하여 문제를 접근하자.

 압력을 변화시키면 P₀를 온도 T에서 순수한 용매의 증기압력 이라고 하자.

 𝜇𝜇₀ (T,P₀)= 𝜇𝜇_gas(T,P₀) ---(5.83). P₀에서의 화학 퍼텐셜로 나타내면 (5.82)는

 𝜇𝜇₀ (T,P₀)+(P-P₀) ^𝜕𝜕𝜇𝜇₀

𝜕𝜕P ^{- N}N^BkT_A ^{=𝜇𝜇gas(T,P0)+(P-P0) 𝜕𝜕}𝜕𝜕^𝜇𝜇P^{gas ---(5.84)}

 ^𝜕𝜕𝜇𝜇₀

𝜕𝜕P^{= V/N이므로 (P-P0)( V}N ^{)liq- N}N^BkT_A ^{= (P-P0)( V}N ^)gas ---(5.85)

 기체에서 입자당 체적은kT/P₀ 인 반면 액체에서는 무시 위 식은

 P-P₀= ⁻N_B

N_A ^{P0 또는 P}_P0^{=1- N}N^B_A ---(5.86) 라울의 법칙 ( 증기압력은 용질과 용매분자의 비와 같은 비율로 감소)

끓는점과 어는점

5.6 화학평형

 물이 수소와 수산화 이온으로 분해되는 화학 변화에서

 H₂O ↔ H⁺ + OH^- (화학 변화에서 보통의 조건에서 왼쪽 방향으로 진행)

 보통의 물 한잔은 각 H⁺ , OH^- 이온들이 각 쌍에 대하여 5억개 존재

 물 분자가 더 안정적 이라고 생각할 수 있다 하지만 물속에는 이온들이 수 천 조 개.

존재. 평형 상태에서 불안정한 이온들이 존재하는 이유를 분자들의 충돌로 이해.

실온에서는 물 분자들이 높은 속력으로 서로 충돌.이로 인하여 분자가 이온으로 분리

 물은 분자가 이온으로 분리= 재결합 해서 물 이 되는 사이에 평형 상태가 일어남

 평형 상태에 대하여 논하기 위하여 깁스 자유에너지를 도입.

 실온과 대기압에서 평형 상태에서 G=U-TS+PV 값은 최소화.

 깁스자유에너지 최소값은 이온들이 없고 물 분자만가 있을때 예상.

 깁스 자유 에너지 의 반응도 이온들로 분리되는 물 분자들의 비율 x함수 로 그래프로 나타내보자. 모든 물 분자가 분리되지 않으면 x=0. 모든 분자가 이온화되면 x=1.

 해리 (dissociation) 된 이온들을 해리 되지 않은 물로부터 분리시켜 놓는다면 G-x의 그래프는 큰 양수의 기울기를 갖는 직선. 이온들을 분자들과 혼합하도록 하면 혼합 엔트로피는 G가 위로 오목.

해리: 화합물이 분자, 원자, 이온으로 나뉘어지는 현상 ex)헤모글로빈의 산소 운반작용등

 오른쪽 그림은 깁스 자유에너지의 도 함수.

두 끝점 x=0. 1에서 무한대. 반응물질과 생성물질의 에너지차가 크더라도 평형점은 양끝점의 값보다 낮다.

 평형점에서 G 의기울기 0.

 이때 H₂O 분자 하나가 해리되면 깁스 자유에너지 G가 변화가 없음을 의미. 0= dG= ∑ 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢 ---- (5.95)

위 식에서 온도와 압력은 고정

 위 식에서 합은 H₂O , H⁺ , OH^- 3가지 종으로 이뤄지므로 H⁺ 증가는, OH^- 증가, H₂O 감소,

 따라서 dN_H2O=-1, dN _H⁺ =1, dN_OH^- =1 --- (5.96)로 쓸 수 있고 이 값들을 (5.95)

 에 넣어주면 𝜇𝜇_H2O = 𝜇𝜇 H+ + 𝜇𝜇OH- --- (5.97) 이 된다. 이를 확장시켜 질소와

 수소가 결합하여 암모니아를 생성하는 경우에도 적용하면 N₂ + 3H₂ ↔ 2NH₃ --- (5.98)

 수소와 수산화 이온과 물과 같이 적용하면 ∑ 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢 =0 일 때 평형상태이다.

dN 이 가능한 경우, dN_N2=-1, dN _H2 =-3, dN_NH3 =+2 이므로 평형조건에서 화학 퍼텐셜은 𝜇𝜇_N2 +3 𝜇𝜇_H2 =2 𝜇𝜇_NH3 --- (5.100)이다.

 식(5.97) (5.100)등을 일반화를 시킬 수 있다.

 X_i ; 반응에 개입된 i 종 화학적 명칭, 𝛄𝛄 i; 반응이 일어날 때마다

참여하는 i분자들의 수. 위 식은 𝛄𝛄1X₁+𝛄𝛄2X₂+--- ↔ 𝛄𝛄3X₃+𝛄𝛄4X₄+--- (5.101)

 종의 이름을 화학 퍼텐셜로 바꾸면 화학 퍼텐셜에 관한 식

𝛄𝛄1 𝜇𝜇 1 + 𝛄𝛄2 𝜇𝜇 2 + --- = 𝛄𝛄3 𝜇𝜇 3 + 𝛄𝛄4 𝜇𝜇 4 + --- (5.102) 쓸 수 있다. (𝜇𝜇i = 𝛄𝛄 i)

 각 반응에 대한 평형 조건을 쓰시오 (과제)

 1) 2CO+ O₂ ↔ 2CO₂ , 2) H₂SO₄ ↔ 2H⁺+ SO₄^2-

질소 고정

 N₂ + 3H₂ ↔ 2NH₃ --- (5.98) 와 평형 조건

 𝜇𝜇_N2 +3 𝜇𝜇 _H2 =2 𝜇𝜇_NH3 --- (5.100) 에서 질소나 수소 암모니아가 이상기체라고 하면 화학 퍼텐셜 μ(T,P) = μ₀ (T)+ kTln(P/P⁰)---(5.40)를 이용하여 다시 쓰면

𝜇𝜇^o_N2 + kTln(P _N2 /P⁰)+3 𝜇𝜇^o _H2+3kTln(P _H2 /P⁰)=2 𝜇𝜇^o_NH3+2kTln(P _NH3 /P⁰)--(5.103) kTln(P _N2 /P⁰)+3kTln(P_H2 /P⁰)-2kTln(P _NH3 /P⁰)=2 𝜇𝜇^o_NH3- 𝜇𝜇^o_N2-3 𝜇𝜇^o _H2 ---(5.103)

 아보가드로 수를 양변에 곱하면 우변항은 표준 깁스자유 에너지 𝛥𝛥G^o 이다

 RT ln( P^N2P³_H2

P²NH3P⁰²) = 𝛥𝛥G^o ---(5.105)

 P²NH3P⁰²

P_N2P³_H2 = e^-𝛥𝛥Go /RT --- (5.106) 분모는 반응물질, 분자는 생성물질

 우변은

평형 상수 K ≡ e



P

P

P

P

= K

(5.108) 질량작용의 법칙

 위 식은 평형상태에서 N,H를 첨가하면 암모니아가 형성. 암모니아를 첨가되 면 질소와 산소로 전환. 질소와 수소의 분압을 두배로 하면 암모니아는 4배의 분압. 총압력을 증가하면 암모니아 생성에 유리.



르샤트리에 원리: 평형에 있는 계에서 정성적인 변화들에 의하여 어떻게 반응.

 K = e^{-𝛥𝛥Go /RT} 에서 암모니아에 대하여 위 식을 이용하여 계산해보자 T=298K, NH3=2몰 에서 𝛥𝛥G =-32.9kJ 이다.

 평형 상수 K= exp( 329008.31^×298)=5.9 ×10⁵ --- (5.109)이다. 이식에서 K 양의 값은

오른쪽으로 진행 암모니아 생성 의미. 더 높은 온도에서는 K는 작아진다.

500도에서 온도 평형상수는 6.9 ×10

압력을 키우면 암모니아 생성효 율성은 높아짐. 질소공정: 철몰리브덴 촉매, 500

C, 400대기압

물의 해리

 화학 평형의 두 번째 예로 H₂O ↔ H⁺ + OH^- ---(5.110)

 평형에서 화학 퍼텐셜은

𝜇𝜇

= 𝜇𝜇

+ 𝜇𝜇

퍼텐셜들은 𝜇𝜇

=( 𝛛𝛛

𝛛𝛛

⁾

^{= 𝜇𝜇}

^{(T, P) - N}

^kT

---(5.69)과 𝜇𝜇

=( 𝛛𝛛

𝛛𝛛

⁾

^=𝜇𝜇

(T, P)+kTln(N

/N

)- 𝜇𝜇

= 𝜇𝜇

(T,P)+kTlnm

-- (5.72)

순수한물에서 평형조건은

𝜇𝜇

= 𝜇𝜇

+ kTlnm

+ 𝜇𝜇

+ kTlnm

 𝜇𝜇^o 는 표준상태(H2O는 순수한 액체, 이온들에서 대해서는 용매kg당 1몰농도)에서 화학 퍼텐셜 , m은 용매kg당 1몰의 용질 단위로 측정되는 몰농도.

 이식을 정리하면

RTln(m

+m

)=-NA(𝜇𝜇

+ 𝜇𝜇

- 𝜇𝜇

)=- 𝛥𝛥G

 𝛥𝛥G^o 는 반응에 대한G의 표준변화 표에서 주어짐.

m

m

= e

.

 P²NH3P⁰²

P_N2P³_H2 = e^-𝛥𝛥G /RT --- (5.106) 와 비교하면 P²NH3P⁰²

P_N2P³_H2 = K --- (5.108)이므로

K= e^{-𝛥𝛥Go /RT} ----(5.115)처럼 깁스 자유에너지에서 표준 변화와 같은 지수함수에 의해 주어진다.

 (5.114)좌변에 물의 양이나 농도가 표시되지 않은 이유는 용매인 물이 충분히 존재.

 이상기체 반응과 용액에서 반응의 차이는 총압력에 의존 하지만 실제로 큰 압력에서만 의미.

 실온에서 물 1몰의 해리에 대한 𝛥𝛥G^o값은 79.9kJ, 이 반응에 대한 평형 상수 K 값은 K= exp(- 79,9008.31^×298)=1.0 ×10^-14 --- (5.116) H⁺, OH^-이온들이 모두 물 분자 해리로 부터 생성된다면 이들의 수는 같다. mH+ = m_OH-= 1.0 ×10^-7--- (5.117)

 여기서 7은 순수한 물의 pH 이다. pH=-log₁₀ m_H+ --- (5.118)

;H⁺이온들의 몰 농도의상용 로그의 음의 부호를 붙인값

 pH 가 7보다 작으면 산성, 크면 염기성.

물에 용해하는 산소

 산소기체(O₂)가 물에 용해할 때 (오른쪽 그림)

 O₂(g)= O₂(aq) 에서 𝛥𝛥G^o =16.4kJ ---(5.119)

 𝛥𝛥G^o=16.4kJ 값은 온도 298K, P=1bar에서 1kg의 물에 용해하는 산소 1몰에 대한 값.

용해된 산소가 인접하는 기체 산소와 평형을 있을 때 화학퍼텐셜은 𝜇𝜇_gas = 𝜇𝜇_solute ----(5.120)

 𝜇𝜇_gas 에 대하여 (5.40) 𝜇𝜇_solute 에 대하여(5.72)을 사용하여 정리하면



𝜇𝜇

+ kTln(P/P

) = 𝜇𝜇

+ kT ln m ----(5.121) ; P는 기체에서 O

분압 ,



P

는 1bar표준압력, m은 1kg에 용해된 산소의 몰수, 𝜇𝜇

를 오른쪽으로 하고 정리하면



RTln(P/P

)=N

(𝜇𝜇

- 𝜇𝜇

) = 𝛥𝛥G

----(5.122)



이 결과는 P/P

𝒎𝒎

= e

----(5.123) Henry’s law;

임의 주어진 온도 , 총 압력에서 용해된 산소양 과 인접한 기체내의 산소양의 비는 상수.

수소의 이온화



화학평형의 마지막 예로 수소가 양성자와 전자로 이온화에 대하여 살펴보자



H ↔ p+e ----(5.125) 이식으로 부터 평형상수를 계산해보자



분압에 대한 평형 조건을 다시쓰면 kT ln( PP P

P

) = 𝜇𝜇

+ 𝜇𝜇

- 𝜇𝜇

----(5.126)



𝜇𝜇

는 1bar압력에서 각각의 화학 퍼텐셜 세가지 종들을 구조없는 단원자 기체들로 취급가능 3.5절에 유도한 식을 사용하여



𝜇𝜇= -kTln[VN( 2

h

)

]=-k Tln[kT P ( 2

h

)

] ----(5.127) ; m은 입자 질량



모든 입자가 정지되어 있을 때 운동에너지 0, 𝜇𝜇

차이를 계산할 때 H를 p+e로 전환하

기 위한 이온화 에너지 I=13.6eV를 포함 해야 한다.

 𝜇𝜇Ho =-kTln[kTP^o (2𝜋𝜋 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚

h² )^3/2]-I ----(5.128) (m은 수소질량) 𝜇𝜇po=-kTln[kTP^o (2𝜋𝜋 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚

h² )^3/2,m은 양성자질량. 𝜇𝜇eo=-kTln[kTP^o (2𝜋𝜋 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚

h² )^3/2]m은 전자질량 (5.126)에 대입하면 m_p≈m이므로 –I를 제외하고 상쇄 양변을 kT로 나누고 정리하면

-ln( PPPpP^o_e) = ln[kTP^o (2^{𝜋𝜋 𝑚𝑚}h^{2𝑒𝑒𝑘𝑘𝑘𝑘})^3/2]- IkT ----(5.129) 이식을 약간의 대수 정리를 하면

 P_P

PH= P^Kt𝒆𝒆 (2^{𝜋𝜋 𝑚𝑚}h^{2𝑒𝑒𝑘𝑘𝑘𝑘})^3/2 e^-I/Kt ----(5.130)이를 사하방정식; 온도와 전자들의 농도 함수로서

 이온화되지 않는 수소양에 대한 이온화된 수소(양성자)의 양의 비

 kT P^𝒆𝒆= V

N^𝒆𝒆 (PV=nkT) 태양의 온도 5800K, e^-I/Kt = 1.5×10^-12 이다.

 전자농도는 2×10¹⁹m^-3 사하 방정식을 이용하여 태양에서 양성자대 수소의 양의 비를

 계산하면 P_P

P_H= 1.07_×10²⁷

2×10¹⁹ ×1.5×10^-12 = 8×10^-5

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 태양표면에서 수소원자 10,000개당 1개가이온화