STEAM R&E 연구결과보고서

STEAM R&E 연구결과보고서

(미적분의 학습이해도 향상을 위한 시각화 아이디어 고안 및 탐구)

2016. 11. 30.

대덕고등학교

< 연구 결과요약 >

과 제 명 미적분학의 학습이해도 향상을 위한 시각화 아이디어 고안 및 탐구

연구목표

고등학교 2학년이 되어 배우는 미적분학에 대해 학생들이 느끼고 있는 거리감 을 줄여주고, 미적분학에 대해 더 직관적인 이해를 할 수 있도록 돕기 위해 시 각화라는 방법을 통하여 학습능력을 향상시킨다.

가. 미적분학의 개념을 익히기 시작하는 학생들의 이해도를 높여 미적분 학습을 돕는 미적분 시각화 자료를 제안하고 이를 활용해 본다.

나. 학교 수업시간에 활용 가능한 미적분 교구를 제작한다.

다. 스스로 조작을 통해 학습 할 수 있는 미적분 교구를 고안한다.

연구내용

학교에서 현재 배우는 미적분하게 대해 탐구해 볼 주제가 있는지에 대한 호기심으 로 이 연구를 진행하게 되었다. 학교 선생님께서 많은 시각화 자료를 이용하여 직접 보여주시며 열심히 가르쳐주심에도 불구하고, 학생들은 미적분학이 마냥 어려운 학문이라는 고정관념을 버릴 수 없었다. 그래서 연구자들은 학생들이 미적 분학을 직관적으로 이해하고 더 쉽게 느끼기 위해서는 학교 선생님께서 학교에서 수업하실 때 보여주시는 시각화자료 뿐만 아니라 직접 몸으로 해 봄으로서 체득할 수 있는 방법의 수업이 필요하다는 것을 느꼈다. 그래서 생각해낸 대안이 바로 수학교구였다. 어릴 적 수학교구를 이용하여 구구단을 배우고, 덧셈과 뺄셈을 배울 때에는 많은 아이들이 수학에 흥미를 느꼈다. 그러한 기억을 토대 삼아 미적분학을 설명할 수 있는 수학교구를 만들어보기로 하였다. 연구는 다음의 순서로 진행되었 다.

제일 먼저 진행한 것은 교수님과의 미적분학에 대한 심층적인 수업이었다. 두 번째로는 대덕고등학교 2학년 학생들을 대상으로 한 미적분학의 인식에 대한 설문 조사였다. 그 설문조사로 연구자들은 학생들이 주로 어려워하는 미적분학의 주제 들을 알아보고자 하였다. 설문조사에서 얻은 결과들을 토대로 시각화할 주제들을 선정하였다. 미적분학의 개념을 응용하여 문제를 푸는 주제보다는 미적분학의 개념과 기본정의를 설명할 수 있는 주제를 선정하였다. 세 번째로 진행한 활동은 선정한 주제들의 핵심을 확실히 표현할 수 있는 교구를 설계하는 활동이었다.

원래 이 활동을 할 때에는 정밀한 설계도를 그리지 않았지만, 나중에 기술적 자문을 받고 나서부터는 설계도를 직접 그렸다. 네 번째로 진행한 활동은 설계도를 바탕으 로 교구를 가제작한 활동이다. 교구를 주변에서 쉽게 접할 수 있는 폼보드나 우드락 과 같은 재료를 이용하여 구상한 목적과 맞게 교구가 작동이 되는지도 확인해 보고, 부족한 점은 없는지, 어떤 점이 장점이고 그 점을 어떻게 더 부각시킬 것인지 에 대해 토론해 보았다. 토론한 결과를 바탕으로 최종 설계도를 CAD 프로그램을 이용하여 작성해 보았다. 그리고 그 설계도를 이용하여 아크릴을 전문적으로 취급 하는 업체에 교구 제작을 의뢰하였다. 마지막으로 한 활동은 직접 연구자들이

만든 교구를 많은 사람들 앞에서 시연하는 활동이었다. 카이스트 학술제에서 문과 학생들과 교육학 박사 과정 분에게 교구를 설명하며 학생들이 이 교구를 이해하기 쉬울 수 있는 설명을 고안해낼 수 있었고, 한남대학교 수학페스티벌에서 다양한 직종, 다양한 연령대의 사람들에게 미적분학을 설명하면서 어떤 교구가 이해하기 가장 쉽고, 어떤 교구가 가장 이해하기 어려우며, 어떤 설명을 더 덧붙이고, 나이를 기준으로 하여 어떤 설명을 해 주어야 쉽게 이해할 수 있는지에 대해 알아보았다.

그리고 처음 설문조사의 대상이 되었던 대덕고등학교 2학년 학생들을 대상으로 직접 만든 교구를 시연해 보았다.

연구 성과

학생들이 미적분에서 어렵게 느낀 부분을 조사했고 이것을 쉽게 이해시킬 수 있는 교구를 만들어냈다. 실제로 미적분의 개념의 이해에 있어서 교구의 효과가 있다는 것을 설문조사를 통해 확인했다.

직접 연구자들이 제작한 교구를 어플리케이션으로 제작하여 차후에 태블릿 PC를 이용한 수업에서도 사용이 가능하고, 자석을 이용한 교구가 많기 때문에 화이트보 드나 칠판에 붙여놓고 사용하기 편하다. 또한 실제로 교구를 생산하는 과정과 보완의 과정을 거쳐 학교에 보급하여 수업에 활용함으로서 앞으로 미적분학을 어려워할 많은 학생들의 이해도를 높여줄 수 있다. 무엇보다 CAD설계를 인터넷에 공개해서 3D프린터로 프린팅 할 수 있도록 한다면 3D프린터가 있는 다양한 학교에 서 직접 프린팅 해 활용할 수 있을 것이다. 그리고 이 교구들은 직접 연구자들이 아이디어를 창의적으로 내어 제작한 교구이기 때문에 특허(실용신안)를 출원할 수 있다. 또한 교구를 만드는 방법이 매우 복잡하지 않기 때문에 쉽게 만들어 학습할 수 있다는 장점이 있다.

주요어

(Key words) 미적분학, 시각화, 교구, 놀이, 함수, 변화량, 관념의 형상화

< 연구 결과보고서 >

1. 개요

□ 연구목적

○ 고등학교 2학년이 되어 배우는 미적분학은 기존에 학생들이 배우던 수학과 다른 분야를 다루고 있다. 이와 같은 수학의 변화에 적응하는 것에 어려움을 가진 많은 주변 친구들 을 보았고 이 학생들을 우리가 도와줄 수 있는 방법이 없을까라는 의문을 갖게 되었다.

이 과정에서 과거에 교구와 같은 시각화 자료가 학습에 도움이 되었다는 점을 상기했고 시각화 자료를 미적분학에 활용한 사례가 없는지 살펴보았다. 그러나 적절한 시각화 자료가 없고 실제 학교 수업시간에 활용되는 미적분 교구가 없다는 문제점을 찾아내었 다. 이런 문제점을 해결하기 위해 학생들에게 미적분학에 대한 직관적인 이해를 도와 미적분학에 대한 학습능력을 향상시키기 위한 목적으로 시각화된 교구를 고안, 제작해 본다.

○ 가. 미적분학의 개념을 익히기 시작하는 학생들의 이해도를 높여 미적분 학습을 돕는 미적분 시각화 자료를 제안하고 이를 활용해 본다.

나. 학교 수업시간에 활용 가능한 미적분 교구 제작한다.

다. 스스로 조작을 통해 학습 할 수 있는 미적분 교구를 고안한다.

□ 연구범위

○ 이 연구는 수학, 그중에서도 미적분학을 다루는 연구이다. 먼저 미적분에 대해 심층적인 탐구를 해본 뒤 친구들이 설문조사를 통해 알려준 미적분의 어려운 부분에 대해 교구를 가제작 해 보고, 최종적인 보완을 거쳐 실제로 교구를 제작하는 것이다.

이 연구는 수학(미적분), 공학과 기술. 예술, 프로그램 활용의 범위에 걸쳐서 진행하게 된다. 기본적인 수학적 지식을 익힌 후 공학적 지식과 제작 기술, CAD프로그램 활용, 예술적·기술적 설계 등을 활용해서 연구 활동을 한다.

2. 연구 수행 내용

□ 이론적 배경 및 선행 연구

○ 이론적 배경 1. 함수

두 변수에 대하여 두 변수의 관계를 설명한 식이다. 다른 표현으로 두 집합 사이의 특정한 대응 관계라 할 수 있다. 변수 와 사이에 의 값이 정해지면 따라서 값 이 정해진다는 관계가 있을 때, 는 의 함수라고 한다. 여기서 를 독립변수(獨立 變數), 를 종속변수(從屬變數)라고 부른다.

2. 극한

어떤 변수(예: )에 계속해서 대응되는 값()이 어떤 고정된 값으로 무한히 다가가 는데 그 차가 원하는 만큼 작아지면서 그 고정된 값으로 무한히 접근해 갈 때, 그 목표 값을 극한이라고 할 수 있다.

2-1. 극한의 추상성

lim

→  

^ 

 라는 표현은   이 아닌 값들이 정의역이 된 함수인

lim

→  

^  에 서   근처에 있는 함수값이 2와 같다고 생각할 수 있음을 뜻한다. 그렇기 때문에 식에 있는 등호는 실제로 같다는 의미를 뜻하는 것이 아니며, → 이라는 표현도

값에 1을 대입한다는 의미가 아니다.

lim

→  

^ 

 라는 식의 의미는 가 점점 1 로 가면,   라는 곳에 과녁이 있고, 그 과녁을 향해 쏜 화살이 과녁에 닿지는 않 지만 점점 과녁을 향해 날아간다는 의미가 된다. 즉 극한은 정확히 지정된 값으로 정의되는 것이 아닌 하나의 목표물로 다가가는 것을 의미한다. 다만 특수한 경우로, 연속 함수의 경우에는 양 극한값과 함숫값이 같으므로, 극한으로 보낼 때 대신 그 함숫값을 대입해도 된다.

3. 미분 가능성

미분가능성은 무한히 확대했을 때 그래프가 직선 형태로 나오는 경우에서 따질 수 있다. 함수 에 대해   일 때의 미분계수 ′가 존재하지 않으면   일 때

는 미분 불가능하다고 이야기한다. 미분 가능하기 위해서는 그 점에서의 평균 변화율의 좌극한과 우극한이 같아야 한다.

4. 시각화 할 자료들의 이론적 배경

-적분의 정의(정적분과 급수 사이의 관계 = Definite integral - Series)

적분의 시작점과 끝점이 정해진 적분인 정적분의 값을 구하는 방법은 구분구적법을 이용하여 무한급수의 개념과 함께 계산한다. 적분의 시작점과 끝점 사이를 개의 직사각형으로 나누어 각 직사각형들의 합을 구하고, 개의 직사각형으로 나누어 다시 또 개의 모든 직사각형들의 넓이의 합을 구하고, 여기에서 을 점점 무한 대로 보내게 되면 적분의 시작점에서 끝점까지의 정적분의 값으로 수렴한다.

-미적분학의 제1기본정리 (First fundamental theorem of calculus)

′   일 때 는 의 도함수이고, 는 의 역도함수이다. 적분 상한이 변수인 적분  



_^{ }를 함수  의 부정적분이라고 한다. 미적 분학의 제1기본정리는 함수  가 에서 연속이면, 부정적분 는 에서 연 속이고 에서 미분 가능하며, ′   가 된다. 다시 말하면 부정적분이 역 도함수가 되는 것이다. 즉 적분한 함수를 미분하면 원래의 함수가 된다는 뜻이다.

그 증명의 대강은 다음과 같다. 부정적분은 면적함수인데 그것의 증분인 면적

를  의 증분인 길이  로 나누면 평균 높이인  가 나온다. 여기에서  가 한없이 작아지면 평균높이  는  로 가까이 간다. 이것을 수식으로 나타내면 다음과 같다.





≅  →′   

-미적분학의 제2기본정리 (Second fundamental theorem of calculus)

미적분학의 제2기본정리는 함수 가 에서 연속이고, 에서 미분가능하면, 즉 ′   이면  



_^{}가 된다. 즉 역도함수이면 부정적분이 되 는 것이다. 즉 미분한 함수를 적분하면 상수차 를 제외하고 원래의 함수로 돌아 오게 된다는 뜻이다. 그 증명의 대강을 요약하면 다음과 같다. 함수값  

는 각각의 증분 _{들의 합이고 각 }_{는 }_{ }





로 표시되므로



^_^{  }이다. 이때 구간들이 작아지면서 무한히 많아지면



_^{  이 된다.}



_^{ ←}



^_^{ }



^{  }

-미분계수 (Differential coefficient)

평균변화율의 분모를 0으로 보낸 극한값으로, 미분을 정의하는 식으로도 쓰인다. 여 기서 평균변화율은 의 값이 변하는 동안 변한 의 값을 의미하는 식으로, 두 점에 서의 기울기를 구하는 공식으로 구해진다.

-뉴턴반복법 (Newton‘s Iteration Method)

뉴턴반복법은 방정식    의 해의 근사값을 반복적으로 구하는 방법으로서 하 나의 실수 값인  의 값을 선택한 후 그  값에서의 그래프상의 접선의  절편이 점 점 방정식의 해에 가까워져 가는 점을 이용한 것이다. 미분 가능한 함수가 무한히 확대하면 결국 직선으로 근사해가는 점을 고려하면 근사해의 수렴이 가속화됨을 알 수 있다.

○ 선행연구 조사

"A Study on the Method of Using Educational Aids for Improving Mathematical Understanding." Education of Primary School Mathematics 10.2 (2007)에 따르면 시각화 자료를 활용하는 수업의 효과는 다음과 같다.

첫째, 수학에 대한 학습 불안 및 부정적인 성향이 줄어들 것이며, 수학학습에 흥미 와 호기심을 가질 것이다.

둘째, 수학에 대한 자신감과 학습 지구력 향상 및 자기 주도적으로 학습하는 태도가 길러질 것이다.

셋째, 지필 위주의 학습 방법이 개선될 것이며, 의사 소통력이 길러질 것이다.

넷째, 사물에 대한 관찰력이 길러질 것이며, 생활 주변의 구체물을 교육적, 효율적으 로 활용하는 능력이 길러질 것이다.(p.134)

□ 연구주제의 선정

○ 현재 학교에서 배우고 있는 미적분학에 대해 탐구를 더 해 볼 수 있지 않을까 하는 호기심이 생기게 되었다. 학교에서 배우는 미적분은 학생들에게 너무 어렵게 느껴졌기 때문에 그러한 점에서 학생들이 미적분에 대한 기초적인 이해가 부족하다는 것을 알게 되었다. 그래서 그러한 생각과 함께 학생들에게 쉽게 설명할 수 있는 방법을 만들어보는 탐구를 진행해 보기로 결정하였다.

학교에서 친구들을 살펴보면 속도와 가속도의 관계처럼 미분과 적분이 실생활에서 활용되는 부분이 많음에도 불구하고 문제풀이 식의 방법으로만 접근하는 학교 수학 수업으로 인해 미분과 적분의 개념을 실제로 정확히 이해하지 못하는 경향이 있다.

또한 고등학교에서 수학 시간에 배우는 미적분에 관한 수식이 쉽게 이해되지 않고, 이에 대한 선생님의 설명이나 교과서의 그림, 참고자료로는 개념을 직관적으로 이해하 기에는 부족하다는 느낌을 받는다는 것이 매우 아쉬웠다. 무엇보다 개념을 이해시키기 보다 그냥 공식화하여 받아들이려는 경향 때문에 수식으로만 설명하고 문제를 푸는데 집중하는 수학에 학생들이 많은 부담을 가지고 수학에 도전하기 어려워하는 문제점이 발생하기도 한다. 이런 문제를 해결하기 위해 우리가 해야 할 것은 미적분학을 보다 직관적이고 쉽게 이해할 수 있는 방법을 만드는 것이었다.

이런 방식의 고안에서 우리는 대체적으로 수식으로 표현하는 수학보다 그래프를 이용하는 수학이 한 눈에 들어올 수 있는 점에서 더욱 이해하기 쉽다고 느꼈던 점 을 떠올렸다. 실제로 어릴 적부터 수학을 배울 때 숫자를 먼저 배우는 것 보다는 그 림을 이용해서 원리를 설명하는 경우가 많았다. 그 이유가 무엇일까 하고 생각해보 다가 그림과 수식의 이해도 차이 때문이 아닐까라는 생각을 하게 되었다. 그래서 이

를 통해 수식으로 인한 거부감을 최소화 하면서 현재 교육 과정에 배우고 있는 미 적분을 기본, 근본부터 이해 할 수 있도록 시각화 자료를 활용하는 방법을 생각해 보았다.

하지만 관련 시각화 자료 등 선행연구를 조사하는 과정에서 고등학교 교과과정의 미분과 적분을 쉽게 설명하는 시각화 자료가 부족하다는 것을 알게 되었다. 직접 몸 으로 체득하는 등의 과정이 학생들의 학습 활동에 있어서 이해도를 높이는 것에 있 어 많은 도움이 되는 데에 반해, 실제 교육 현장에서 학생들이 수학에서 어려워하는 부분을 오로지 수식으로만 설명하고 표현하고 있다는 문제점을 깨달았고 이러한 점 을 해결할 필요성을 느꼈다.

□ 연구 방법

○ 문제 해결을 수학과 교수님에게 미적분에 대해 정확하고 자세한 수업을 들으며 시각화 할 개념들에 대해 정확히 공부하고, 전문가께 기술적 자문을 받았다.

1) 미적분학에 대한 심층적인 이해

교구를 제작하기 위해서는 제일 중요한 것이 교구를 제작할 주제에 대해서 자세히 그리고 정확하게 알고 있는 것이라고 생각했기 때문에 수학과 교수님과 함께 미적분에 대한 정확하고 자세한 수업을 진행했다. 팀원들과 함께 토의를 하며 어떻게 하면 더 쉽게 이해를 할 수 있을지에 대해 토론도 진행해 보며 시각화자료를 만들 토대를 마련하는 작업을 진행하였다.

2) 설문조사

대덕고등학교 2학년 학생들을 대상으로 현재 학교에서 배우고 있는 미적분에 대해 얼마나 이해하고 있는지, 어떤 내용을 제일 어려워하는가에 대해서 알아보기 위해 설문조사를 진행하였다. 객관식 질문과 주관식 질문을 함께 활용해 미적분에 대한 학생들의 인식과 연구 목적에 따라 학생들의 이해가 부족한 부분을 조사했다.

3) 교구제안

설문조사에서 친구들이 어렵다고 선정한 주제들과 팀원들이 시각화하고 싶고, 그러한 목적에 부합한다고 생각하는 주제를 더하여 시각화할 주제를 선정하였다. 비슷한 내용 의 주제들은 하나의 주제로 통합하고, 하나의 주제에서도 나누어서 시각화하면 좋겠다 는 의견이 나오면 하나의 주제를 나누어서 시각화할 주제들을 선정하였다. 그리고 선정된 주제들에 대해 정확한 이해를 해야 교구의 목적을 잘 알고 확실하게 설명할 수 있는 교구를 만들 수 있다는 생각에 주제들에 대해 공부하는 시간을 조금 더 가졌다.

4) 교구 설계도 작성

공부한 내용을 토대로 주제들 마다 중요한 개념들을 골라 그 개념을 시각화해보기 위해 설계도 초안을 작성하였다. 초안을 작성하는 중에 우리가 설계한 교구가 실제로 작동할 것인지에 대한 의문점이 제일 많이 생겼다. 나중에 전문가께 이 부분에 대해서 는 설명도 듣고 도움도 받기로 하였다.

5) 교구 가제작

실제로 설계한 설계도를 바탕으로 교구를 제작하기로 했다. 더 기술적으로, 수학적으로 더 보완할 점이 없는지에 대해서 알아보기 위해 가제작을 해보기로 하였다. 예상대로, 교구를 가제작하는 과정에서 교구의 목적에 맞지 않는 설계를 한 교구가 있었다. 이 점에 대해서는 교구의 완성본을 제작할 때 반영하여 더 개선된 교구를 만들기로 하였 다.

6) 교구 완성본 제작

CAD프로그램을 이용하여 최종적으로 아크릴로 만들 교구의 설계도를 만들고, 앞서 교구 가제작 단계에서 부족하다고 생각된 부분까지 보완하여 아크릴로 교구 제작을 맡기었다.

7) 시연

한국 청소년 R&E학술대회에 참가해 시연을 진행했다. 미적분Ⅰ을 배우는 문과 학생들 과 한양대학교 교육학 박사 과정 분을 대상으로 시연을 했다. 이를 통해 학생들의 이해도를 높일 수 있는 교구에 맞는 쉬운 설명을 고안했다. 한남대학교 수학페스티벌 (10.29)에 참가하여 직접 아크릴로 제작한 교구를 초등, 중등, 고등학생뿐만 아니라 대학생과 성인까지 어우르는 많은 사람들에게 교구에 대해 설명하고 시연하는 시간을 가졌다. 직접 제작한 교구를 다양한 직종에 있는 다양한 나이의 사람들에게 시연하며 제작한 교구의 장점과 단점에 대해 알아볼 수 있는 시간이었다. 또한 대덕고등학교에서 2학년 과학중점반 학생 37명을 대상으로 시연을 진행하고 미적분 교구의 효과에 있어 서 설문조사를 진행했다.

□ 연구 활동 및 과정

문제를 해결하기 위해서 처음에 시작한 것은 미적분에 대한 우리들의 기본적인 지식을 다시 검토하는 것이었다. 교구를 만들기 위해서는 우리가 기본적인 개념에 대해 근본적으로 이해하고 있어야 교구가 잘못된 정보를 제공하게 되지 않는다고 생각했기 때문에 전문가, 교수님의 도움을 받아 우리들이 가지고 있던 함수와 실 수집합에 대한 기본적인 개념들을 다시 학습하는 것을 시작으로 미적분학에 대한

지식을 다시 검토하고 다른 사람들에게 설명할 수 있을 정도까지 이해하는 것을 목표로 학습을 하였다. 또한 팀원들과의 상호보완적인 토론을 통해 오개념을 잡는 형식의 수업도 병행하게 되었다. 이러한 수업과정을 통해 교구를 체계적으로 설 계·제작할 수 있는 기반을 만들었다.

이후 교구를 제작하는 목적에 따라 아이들의 미적분 이해정도를 확인할 수 있는 설문지를 제작한 후 설문조사를 진행했다. 현재 고등학생들이 미적분에서 어려워 하는 부분이 무엇인지, 어느 정도 미적분을 이해하고 있는지 등을 알아보기 위해 대덕고등학교 2학년 326명을 대상으로 설문조사를 실시하게 되었다. 고등학생들의 수학적 자신감, 선행학습의 정도, 공부 방법, 기하적 수학에 대한 선호도, 미적분 공부 시 어려운 내용 등을 조사하는 것을 목적으로 진행되었고 각 내용에 대한 질문을 만들고, 다양한 답을 얻기 원하는 부분에는 표를 작성하여 체크할 수 있게 하고, 추가로 적을 부분을 위해 별도의 칸을 마련했다.

세 번째로 진행한 것은 교구 제안이었다. 조사한 설문내용을 바탕으로 아이디어가 기본에 충실한 부분인지, 직관적으로 설명이 가능한지에 대해 생각해 보았다. 그 리고 교구가 기계적으로 작동이 가능한지, 교구의 목적에 부합하는지 등에 대해 검토해 보면서 미적분 개념을 설명할 수 있는 다양한 교구들의 아이디어를 제안 해보았다.

네 번째로 진행한 교구 설계에서는 제안해본 다양한 교구들 중 개념을 명료하게 전할 수 있는 것들을 비슷한 주제들은 추려가며 교구 5종을 결정했다. 이후 교구 를 만들기 위한 도면을 그렸다. 이때, 교구의 재질과 그 특성에 대해서도 고려해 보고, 설계한 도면과 폼보드, 볼트, 실, 핀 등 쉽게 구할 수 있고 가공이 쉬운 재 료를 이용하여 모의로 제작해 보는 것을 계획해 보았다. 또한 의도와 일치하는지, 보완할 부분은 없는지, 기계적으로 작동이 가능한지, 이 교구를 통해 설명을 명쾌 하게 할 수 있는지 검토했다.

다섯 번째로 진행한 교구 가제작은 실제로 만든 것이 예상대로 작동되는지 확인 하고 효과가 있는지를 확인하는 것을 목적으로 진행했다. 교구 설계도에 따라 다 루기 쉬운 폼보드, 우드락, 나무 막대기, 하드보드지 등을 활용해 가제작품을 만들 었다.

여섯 번째로 진행한 교구 완성본에서 CAD를 활용해서 아크릴 소재를 활용한 교 구 완성본을 디자인하고 외부에 의뢰해서 최종 실물을 제작했다. 이 과정에서 직

접 폼보드로 가제작한 교구와 아크릴로 제작한 교구를 비교하면서 아크릴의 재료 의 특성상 교구 가제작할 당시에 표현하지 못했던 내용을 표현할 수 있다는 것에 대해서는 장점이라고 판단하였지만, 섬세한 변화를 표현하는데 서투르다는 것이 아쉬웠다.

마지막으로 교구 시연을 진행했다. 처음 진행한 교구 시연인 한국청소년R&E학술 대회에서 문과 학생들과 한양대학교 교육학 석사 분을 대상으로 시연을 했다. 이 를 통해 학생들의 이해도를 높일 수 있는 교구에 맞는 설명을 고안할 수 있는 기 회가 되었고, 또한 우리의 연구 과제를 다른 시각으로 바라봐주는 사람들을 통해 연구 결과 발표 시에 추가하거나 첨가할 내용에 대해 생각하는 시간을 가질 수 있었다. 그다음으로 진행한 한남대학교 수학 페스티벌에서는 현직 고등학교 교사 분들과 수학과 교수님들, 그리고 많은 학생들을 대상으로 시연을 진행하고 많은 격려와 칭찬을 받았다. 학생들이 이해하는데 어떤 개념이 가장 쉬운지에 대한 정 보도 파악할 수 있었고 설명을 하는 입장이 되어봄으로써 점점 더 나은 설명을 해나가는 자신를 발견할 수 있었다. 마지막으로 대덕고등학교 학생들에게 시연을 진행하면서 실제로 이해에 도움이 되는지, 기본개념 학습에 어떠한 효과가 있는지 평가 받았다. 이후 대덕고등학교에서 학생들(2학년 과학중점) 37명을 대상으로 시 연을 진행했다. 시연이후 진행한 설문조사 결과 ‘시각화 자료가 개념의 이해에 있 어 도움이 되는가?’라는 질문에는 33명이 그렇다고 답했다. ‘우리가 개발한 미적분 시각화 자료가 미적분 개념 이해헤 도움이 되는가?’라는 질문에는 20명이 그렇다 고 답했다.

3. 연구 결과 및 시사점

□ 연구 결과 1. 설문 결과

1. 설문자가 어떤 집단에 속하는지 확인하기 위한 문항입니다.

대덕고등학교 2학년 과학중점학급 남자 172명, 여자 118명, 인문,사회 중점학급 남 자 41명, 여자 45명 총 376명을 대상으로 설문조사를 진행하였다.

2. 자신의 수학능력이 어느 정도라고 생각하십니까?

①최상 ② 상 ③ 중상 ④ 중 ⑤ 중하 ⑥ 하 ⑦ 최하

설문자의 수학적 자신감이 어느 정도 되는지 확인하기 위한 문항이다. 대부분의 학생들은 수학적 자신감이 평균정도, 즉 중간인 것으로 나타났다. 그리고 자신이 상위권이라고 생각한다고 표시한 아이들보다 하위권이라고 생각한 아이들의 수가 많았다.

3. 현재까지 공부한 수학 진도를 전부 체크해 주세요.

① 고등학교 이전 ② 수학1 ③ 수학2 ④ 미적분1 ⑤ 미적분2

⑥ 확률과 통계 ⑦ 기하와 벡터

학생들의 선행학습 정도를 알아보기 위한 문항이다. ①②③번 문항은 혹시 수학 을 포기한 학생들이 있는지 알아보기 위한 문항이다. 설문 결과 학생들은 대부분 학교에서 나가는 진도대로 수학공부를 하고 있는 것으로 나타났다

4. 수학 공부를 어떻게 하고 계십니까?(과거, 현재 모두 포함)

□ 학원 □ 과외 □ 인터넷 강의 □ 스터디 그룹, 동아리 □ 독학 □ 기타

학생들이 수학을 공부하는 방법을 알아보기 위한 문항이다. 학생들은 대부분 학 원이나 과외, 인터넷 강의 등을 활용해서 학교 정규수업 이외의 수업을 듣거나 독 학으로 공부하고 있다는 것을 알 수 있었다. 그룹으로 아이들이 모여서 공부하는 스터디 그룹은 실질적으로 거의 없는 것으로 나타났다.

5. 대수적 수학과 기하적 수학 중 어느 분야를 선호하십니까?

① 대수적 수학 ② 기하적 수학

문제를 풀 때 수식을 계산하여 푸는 것이 익숙한지, 도형 등을 활용하거나 분석하 여 푸는 것이 익숙한지를 알아보기 위한 문항이다. 물론 문제 유형 별로 문제 풀 이 방식이 다르지만, 전체적으로 보았을 때 어떤 방식의 문제를 푸는 것이 더 편 한가를 묻는 질문이었다. 이 질문은 미적분의 시각화가 필요한 이유를 밝혀내기 위해 만들게 된 문항이다. 기하적 수학을 선호하는 학생들이 대수적 수학을 선호 하는 학생들 보다 미적분의 시각화 자료를 효율적으로 활용할 수 있을 것으로 예 상하였다.

그러나 인문 사회중점 학급의 여학생들을 제외한 나머지 학생들은 대수적 수학을

선호하는 경향을 보였다. 기하적 수학을 선호하는 학생들이 많을 수록 시각화 자 료가 높은 효율을 보일 수 있지만, 조사는 우리가 원하는 결과와는 달랐다.

이러한 현상의 원인은 질문의 의미를 정확히 전달하지 못한 것으로 추측된다. 개 념을 이해하는 데 무엇이 더 도움이 되는가라는 질문이 아닌 문제를 푸는 행위에 있어 선호하는 수학을 질문하였고 교육과정상 대부분을 차지하는 대수적 수학이 아이들에게 있어서 더 익숙했기 때문인 것으로 추측된다.

이 추측을 확인하기 위해 이후 보완을 위한 설문조사를 진행했다. 실제로 이 설문 조사 결과를 살펴보면 89%가 시각화 자료가 개념의 이해에 도움이 된다고 답했 다.

6. 지금 현재 고등학교 미적분을 어느 정도 이해하고 있다고 생각하십니까?

①80% 이상 ②60%~80% ③40%~60% ④20%~40% ⑤20% 이하

수학적 자신감과 함께 고등학교 미적분의 이해도를 알아보기 위한 항목이다. 대 체로 학생들이 미적분을 50%정도 이해하고 있다는 것이 결과로 도출되었기 때문 에 미적분학의 학습능력 향상을 위한 시각화 아이디어 고안 및 탐구라는 이 연구 를 더욱 더 체계적으로 연구해야겠다는 다짐을 하게 만들었다.

7. 미적분Ⅰ을 배우면서 어려운 부분은 어디 입니까?

이해가 어려운 부분을 의도하였으나, 학생들은 문제풀이가 어려운 부분을 고르기 도 하였다. 설문 결과 미적분Ⅰ에서는 함수의 연속, 속도와 가속도, 곡선과 좌표축 사이의 넓이, 두 곡선 사이의 넓이, 급수, 방정식에의 활용, 속도와 거리 등이 어려 운 주제인 것으로 나타났다.

이러한 주제들은 주로 뒤 쪽에서 응용문제, 심화문제로 많이 사용되는 주제들이 었다는 것을 알 수 있었다.

8. 미적분Ⅱ를 배우면서 어려운 부분은 어디 입니까?

설문조사를 할 시점에서는 미적분Ⅱ 진도가 나가지 않은 상태로, 선행학습을 한 학생들에 한해 선택하게 하였다. 역시 이해가 어려운 부분을 의도하였으나, 문제 풀이가 어려운 부분을 고르기도 하였다. 미적분Ⅱ에서는 삼각함수와 삼각함수의 그래프, 삼각함수의 미분, 역함수의 미분, 부분적분법, 삼각함수의 부정적분, 지수 함수의 부정적분 등이 어려운 주제인 것으로 나타났다. 주로 새롭게 배우는 단원 들, 즉 새로운 개념이 등장하는 단원에서 아이들은 어려움을 느끼는 것으로 나타 났다. 미적분Ⅱ의 내용은 미적분Ⅰ에서 주제로 삼는 기본적인 미적분의 개념에 관한 시각화를 마친 후 추가적인 연구를 진행할 때 참고할 예정이다.

2. 시각화 주제 선정 과정

설문조사를 토대로 학생들이 대체로 어려워하는 부분을 시각화 하는 주제로 선정하 기 위해 노력하였다. 학생들이 꼽은 미적분을 공부할 때 어려운 부분들을 정리해 보 고, 그 중에서 문제 풀이를 위한 응용적인 분야 보다는 미적분학의 가장 기본이 되 는 개념과 정의를 주로 다룰 수 있는 내용을 선별하였다.

선별된 주제들을 가지고 토론해 보면서 시각화할 때 어떤 방식으로 시각화할 수 있 을지, 쉽게 아이디어가 떠오르는 것들을 우선적으로 선정해 보았으며, 시각화하고 싶었던 개념이나, 개인적으로 공부할 때 어려웠던 주제들까지 여러 가지 주제를 선 정하였다. 기본 개념이 비슷하고, 하나의 개념을 응용해서 푸는 유형들은 기본이 되 는 하나로 통합해 보았다. 추려낸 개념들에 대해 심도 있는 공부를 해 보고, 교구제 작에 알맞은 주제인지 토론해 보고, 시각화 아이디어에 대해 토의하는 시간을 가졌 다. 그 결과 다음과 같은 주제들이 도출되었다.

<적분의 정의>,<함수의 극한>,<거리와 속도, 가속도>,<미분계수와 도함수>,<부 정적분과 정적분, 곡선과 좌표축 사이의 넓이>

3. 시각화 주제의 교구 설계 계획 1. 적분의 정의

얇은 막대를 틀에 맞춰서 위아래로 움직일 수 있도록 위치시킨다. 이후 여러개의 그래프 틀을 다양한 급수의 수치에 맞춰서 제작한다. 축의 길이를 잘게 나눈 정 도의 차이를 기준으로 만든 그래프 틀을 바꿔가면서 끼우면 얇은 막대들이 상하 로 움직이면서 그래프의 면적을 나타낸다. 그래프 틀을 점점 간격이 좁은 것을 사 용할수록 점점 사각형들의 가로의 길이가 줄어들게 되고, 정적분의 값과 그래프 아래의 넓이가 비슷해지는 것을 볼 수 있다.

2. 미적분학의 제1기본정리 – 적분 후 미분하면 원래 함수가 된다.

색이 있는 두개의 폼보드를 이용하여 적분과 미분을 표현한다. 뒤판이 들어가면 서 부정적분이 되는 과정을 보여줄 수 있고, 앞판이 들어가면서 x의 증분에 따른 미분값, 즉 평균높이가 점점 함수값이 되어가는 과정을 보여줄 수 있는 교구이다.

이를 통해 미분과 적분의 기하학적 의미를 파악할 수 있다.

3. 미적분학의 제2기본정리 – 미분 후 적분하면 상수를 제외한 원래의 함수가 된 다.

1. 2개의 축(세로축과 가로축)이 있는 교구

표시된 부분만 2개의 원목을 접착하여 격자모양으로 배치한다. 가로줄은 고정되 어 있고 세로줄만 상하로 움직여 거리-시간 그래프를 만들 수 있다. 세로줄을 가이드를 이용하여 이동하기 쉽게 만들어주고, 신축성 있는 고무실을 이용하여 그래프의 모양이 자유자재로 바뀌는 것을 돕는다. 도르래와 용수철을 이용하여 고무실이 팽팽하게 유지되는 것을 돕는다. 제일 아래쪽에 있는 가로선은 출발 점, 제일 위에 있는 가로선은 도착점이라고 할 수 있다. 이동거리는 대체로 증가 하거나 일정한 경향을 보이기 때문에 증가함수 모양으로 그래프를 그릴 수 있 도록 만들었다. 여기서 막대를 움직이면 가로로 설치되어있는 막대도 함께 상하 로 움직이기 때문에 각 지점에서의 값의 합, 속도가 총 변위라는 것을 쉽게 눈 으로 볼 수 있다.

2. 1개의 축(세로축)만 존재하는 교구

위의 모형이 증가함수 모형밖에 나올 수 없기 때문에 그러한 문제를 보안하기 위해 다른 모형을 고안해 보게 되었다. 가로선을 없앤 모형으로 세로선을 움직 이는 것만으로 그래프 모양을 조절하고, 압정의 위치를 바꾸어 가면서 그래프의 개형을 바꿀 수 있다. 이를 통해 단순한 증가함수만이 아닌 감소하는 구간까지 가질 수 있는 다양한 함수를 만들 수 있어 함수 제작의 자유도가 늘어난다. 가 로축이 없으면 원래 교구에서 표현하려고 했던 구간에 대한 표현이 사라지게 되어 교구의 목적과는 거리가 멀어지는 것을 확인할 수 있었다.

3. 모든 격자점에 구멍을 뚫은 교구

위의 두 가지의 모형이 함수 제작에 있어서 자유롭지 못하고, 교구의 목적에 부 합하지 못한다는 것을 발견할 수 있었다. 그래서 교구의 목적에도 부합하고, 증 감을 표현할 수 있는 교구를 만들기 위해 모든 격자점에 구멍을 뚫게 되었다.

그래프를 만들기 위해 그래프를 그리는데 쓰이는 줄을 더 길게 만들면 그래프

를 자유자재로 그릴 수 있다는 것을 알아내었다. 이를 통해 표현하려고 했던 교 구의 의도를 모두 표현하는 교구를 제작하게 될 수 있었다.

4. 미분계수와 접선의 기울기

미분계수는 평균 변화율의 극한값이며, 기하학적으로 그 점에서의 접선의 기울기 를 뜻하므로 평균 변화율이 순간 변화율이 되는 과정을 보여주고, 이것이 접선과 같 음을 보여주는 것을 목표로 하였다. 자석에 붙는 화이트보드나 칠판에 그래프를 고 정하고, 자석 핀을 이용해 점을 표현한다. 이 자석 핀에 구멍을 내고 단단한 선을 그 사이에 끼워 두 점 사이를 잇는 직선을 표현한다. 한 점을 그래프의 한 부분에 고정시키고, 다른 한 점을 이동시키면 직선이 이에 따라 움직이면서 기울기가 변한 다. 이 점을 고정시켜둔 점에 근접시키면 점점 직선이 접선에 가까워지고, 만약 이 두 자석 핀을 극한으로 일치에 가깝게 이동시키면, 접선과 거의 같아진다는 것을 추 측할 수 있다. 이를 통해 평균변화율이 그 점에서의 도함수, 순간변화율이 되어가는 것을 직관적으로 볼 수 있다.

5. 뉴턴반복법

하나의 에서 그래프에 접선을 그으면 그 접선의 절편 값이 그래프의 근에 가까 워진다는 것을 나타낸다.

1. 실을 이용한 교구

코르크판에 그려진 그래프 위에 원목 핀과 실을 이용하여 직접 뉴턴반복법을 체험해 보는 교구이다. 직접 원목 핀을 이용해 점을 잡고 실을 통해 접선을 그

려나가는 과정을 체험해볼 수 있기 때문에 접선을 긋는 것의 반복을 통해 근을 찾아가는 뉴턴법의 개념을 쉽게 이해할 수 있다.

하지만 실로 교구를 만들게 되면 단지 실과 핀을 단순히 판에 꽂기만 하는 방식 으로 너무 단순해질 가능성이 있다. 교구는 호기심을 유발해야 하는 면도 있어 야 된다고 생각하는데 그 면에 부합하지 않게 된다. 또한, 실을 이용한 교구에서 는 접점을 정확히 찾고 수직으로 그어내는 것이 어렵다. 교구가 설명하고 있는 개념의 특성상 접점을 정확히 찾고 접선을 정확히 그려내는 것이 중요하지만 그렇지 못하면 교구의 목적에 부합하지 못하는 단점이 있다. 그리고 결정적으로 실을 보관하기 어렵다. 실로 교구를 만들게 되면 실이 가장 중요한 교구의 구성 요소가 된다. 그런데 그러한 실의 관리가 복잡해지면 교구의 느낌이 없어지게 된다. 더군다나 실로 단지 선만 만드는 식의 교구를 사용할 때 교구를 이용하는 사람은 다소 흥미를 느끼지 못할 것이다. 그래서 이러한 교구 대신 레이저를 사 용하는 교구를 제작하게 되었다.

2. 레이저를 이용한 교구

(1)에서의 교구가 교구라는 개념에 부합하지 않다는 문제점을 해결하기 위해 다른 새로운 대안을 찾다가 빛의 반사되는 성질을 이용한 교구를 만들어보자는 의견을 참고해서 고안된 교구이다. 레이저를 이용하여 시작할 좌표를 정하면, 그 곳에서 레이저를 쏘고, 그래프 위에 설치된 거울의 각도를 바꿔가면서 교구 사용자가 직접 접선을 만드는 노력을 하게 된다. 그리고 그 접선이 만들어진 후

절편에 해당하는 값에서 다시 다른 레이저를 쏘면 다시 한 번 더 접선을 그을 수 있게 되고, 이러한 과정을 반복하게 되면 점점 좌표가 그래프의 해의 값으

로 가는 것을 볼 수 있다. 레이저가 가는 궤적을 보여줘야 하기 때문에 빛을 퍼 트릴 수 있는 원통형 렌즈를 레이저 빔 앞에 부착한다.

4. 연구할 때 어려웠던 점

- 함수의 극한에 관련된 시각화 자료를 만들기 위해 아이디어를 도출해 내는 과정 에서 무한의 개념을 유한한 공간에 표시하는 것이 극한이라는 개념은 추상적이기 때문에 다른 주제들에 비해 어려웠다. 그래서 계획했던 미적분의 시각화를 시킬 다 른 대안이었던 프로그래밍을 사용해 보기로 하였다. 실제로 어떤 한 수학과 학생이 미적분에 대한 교구를 제작하는 시도를 했었지만 너무 추상적이기 때문에 아이디어 가 참신해야 되므로 힘들어서 포기했다는 이야기를 들었다.

- 처음엔 머리에서 아이디어가 생각나면 그 아이디어를 적어놓고 당연히 그 아이디 어가 우리가 생각한 대로 제대로 작동할 것이라고 생각했다. 그래서 각 주제에 대한 아이디어만 도출해 놓고 설계도도 그리지 않고 머릿속 에서만 생각하고 있었다. 그 러나 관련 분야의 전문가의 이야기를 듣고 우리가 생각한 대로 작동되는 것이 제한 조건이 많다는 것을 알게 되었다.

- 교구는 누구나 다루기 쉽고 개념을 정확하게 전달해야한다. 또한 완성된 느낌을 주어야한다. 뉴턴반복법에 대한 시각화 자료를 설계하는 도중에 실을 사용하면 완 성된 느낌, 다루기 쉬운 교구의 특성이 잘 살지 않는 다는 것을 알게 되었다. 아무 도 교구라는 생각을 하지 않을 거라는 한계점이 나왔다. 그래서 조금 더 세련된 방 식으로 만들어 보기 위해 레이저를 사용하기로 하였다.

- 속도와 거리에 대한 시각화 자료를 처음 설계할 때 이동거리는 계속 증가하거나 일정한 양상을 보이기 때문에 증가함수로만 교구를 만들기로 하였다. 그러나 다른 모양의 조금 더 일반적인 모양의 함수를 이용한 교구를 만들어서 개념의 확실한 이 해를 성공시킬 수는 없을까 하는 생각에 조금 더 일반적인 함수, 즉 증가와 감소를 모두 표현할 수 있는 함수를 이용할 수 있는 방법을 고안해 내게 되었다.

5. 시연 결과

처음 진행한 교구 시연인 한국청소년R&E학술대회에서 문과 학생들과 한양대학교 교육학 박사 과정 분을 대상으로 시연을 했다. 문과 학생들의 경우 수학적 정의를 이해하는데 많은 어려움을 갖고 있다는 것을 알게되었다. 이를 통해 학생들의 이 해도를 높일 수 있는 더 쉬운 설명을 고안할 수 있는 기회가 되었고, 또한 우리의

연구 과제를 다른 시각으로 바라봐주는 사람들을 통해 연구 결과 발표 시에 추가 하거나 첨가할 내용에 대해 생각하는 시간을 가질 수 있었다.

그다음으로 진행한 한남대학교 수학 페스티벌에서는 현직 고등학교 교사 분들과 수학과 교수님들, 그리고 많은 학생들을 대상으로 시연을 진행하고 많은 격려와 칭찬을 받았다. 학생들이 이해하는데 어떤 개념이 가장 쉬운지에 대한 정보도 파 악할 수 있었고 반복된 시연을 통해 더욱 자연스럽게 시연을 진행할 수 있었다.

마지막으로 고등학생 대상 시연을 진행한 대덕고등학교 2학년 과학중점반 학생들 37명을 대상으로 설문조사한 결과 ‘시각화 자료가 개념의 이해에 있어 도움이 되는 가?’라는 질문에는 33명(89%)이 그렇다고 답했다. ‘우리가 개발한 미적분 시각화 자 료가 미적분 개념 이해헤 도움이 되는가?’라는 질문에는 20명(54%)이 그렇다고 답 했다.

시연을 진행한 결과를 살펴보면 실제로 미적분 개념 이해에 시각화 자료가 도움이 되었고 학교 수업시간에 활용 가능한 미적분 시각화 자료, 교구를 개발했다는 것을 확인했다.

6. 연구 결과

가. 한남대 수학 페스티벌에서 개념의 정확성 확인, 교구 시연에서 교구의 효과 입 증

나. 학교 수업에 활용 가능한 형태로 만들기 위해 자석을 사용, 실제 수업시간 활용 후 아이들의 이해도가 증가

다. 스스로 조작해 보면서 개념을 이해할 수 있는 미적분 시각화 자료 제작

□ 시사점

연구주제를 설정하면서 고등학교에서 진행되는 미적분 교육을 다시 살펴보게 되었다.

이 과정에서 대수적 수학, 즉 풀이 위주의 교육이 진행되고 있었고 이것이 아이들의 미적분 이해도와 수학적 관심을 낮추고 있다는 것을 알게 되었다. 학교 선생님께서 수업시간에 많은 시각화 자료를 이용하여 직접 보여주시며 열심히 가르쳐주심에도 불구 하고, 학생들은 미적분학이 마냥 어려운 학문이고, 계산을 위주로 하는 학문이라는 고정 관념을 버릴 수 없었다.

앞과 같은 문제점을 해결하기 위해 이번 연구를 진행하면서 미적분을 설명할 수 있는 위치가 되기 위해 미적분에 대한 심화 학습을 진행했다. 이 과정에서 스스로 부족한 개념을 깨닫고 고등학교 과정에서 설명하지 않고 넘어가는 개념들을 배울 수 있었다.

그리고 고등학교 수업에서는 들을 수 없는 대학과정의 수학을 조금이나마 배우면서

조금 더 자세히 배울수록 더 어려운 개념을 지엽적으로 이해하기 쉽다는 것을 알았다.

이 과정에서 학생들의 이해도를 향상시키기 위해서 고등학교 수업에서 나오는 개념 외에도 학생들이 이해하기 쉬울 만한 개념을 포함하는 교구를 제작하기로 하였다. 교구 를 제작하는 과정에서는 재료의 한계, 기술적 능력의 한계 등 많은 한계점을 느꼈고, 이를 해결하기 위해 많은 방법을 모색해보는 과정에서 관련 지식을 많이 쌓을 수 있었다.

또한 다른 학생들의 이해를 도와주고 노력하는 과정에서 남을 생각하는 자세를 많이 배울 수 있었고 설명을 하는 입장에 있으면서 남의 입장이 되어볼 수 있는 기회가 되었다.

4. 홍보 및 사후 활용

○ 어플리케이션으로 제작하여 태블릿 PC를 이용한 수업에 활용 가능

○ 교구 보완을 거쳐 실제 생산해 학교에 보급, 수업에 활용

○ 추가로 필요한 교구 제작 추진

○ 특허(실용신안) 출원

○ 사용법 종이를 제작 및 첨부하여 스스로 학습이 가능하도록 유도

○ 학습 효과를 연구하여 시각화 자료와 이해도 향상에 대한 논문 작성

○ 3D프린터를 이용해 학교에 보급 가능

5. 참고문헌

1. 김상배 외 2인(2016), Fun to Learn 대학수학, 청문각 2. 메이플 소프트웨어

3. http://www.maplesoft.com/contact/webforms/CalculusKit.aspx

4. 이대현, 박배훈(2002), 수학교육에서 시각화와 직관, 수학교육학 연구 12권 1호 pp.71~79

5. Nam, Seung-In, and Min-Sung Kwon. "A Study on the Method of Using Educational Aids for Improving Mathematical Understanding." Education of Primary School Mathematics 10.2 (2007): 125-139.