4.4 수학적 기댓값
본 절에서는 수학적 기댓값(mathmetical expectation)을 알아보기로 한다. 확률분포의 특성 을 요약하는 값으로 평균, 표준편차, 왜도, 첨도 등을 사용하는데 이들 특성 값은 수학적 기 댓값을 이용하여 구할 수 있다.
정의 4.3.1 수학적 기댓값(mathemetical expectation)
확률변수
의 pdf (또는 pmf)가 이고, 함수
에 대하여
∞∞ 연속확률변수
이산확률변수
가 존재하면
를
의 수학적 기댓값이라 한다.수학적 기댓값은 다음 성질을 가진다.
(1)
, 상수 에 대하여,
이고
이다.(2)
의 함수
는 확률변수로서 pdf(또는 pmf)가 이면,
∞∞ 연속확률변수
이산확률변수
또한
의 기댓값은
∞∞ 연속확률변수
이산확률변수
로 구할 수도 있다.
(3)
를 차 적률(moment)이라 한다. 특히 1차 적률인
는 평균(mean)이 고,
를 평균에 관한 차 적률(moment about the mean)이라 한다.(4) 분산(variance)은 평균에 관한 2-차 적률
로써 분포의 흩어진 정도를 나타낸다. 특히 분산은
이다. 그리고 상수 에 대하여
이다. 표준편차(stadard deviation)는
이다.(5)분포의 비대칭도(또는 왜도, skewness)는
로써 이면 오른쪽
으로 기울어진(skewed to the right)분포, 이면 좌우대칭 분포, 이면 왼쪽으로 기울어진(skewed to the left)분포이다.
(6) 분포의 뾰족한 정도를 나타내는 첨도(kurtosis)는
로써 표준정규
분포의 첨도는 이고 이면 표준정규분포보다 덜 뾰족하고 이면 표준정규 분포보다 더 뾰족한 분포이다.
예제 4.3.1
이산확률변수
의 확률질량함수가 다음과 같다.
(1) 평균과 분산을 구하라.
(2) 확률변수
의 기댓값
를 구하라.▸▸▸풀이
(1) 평균은
이고
이므로
분산
이다.
(2)
이다.
예제 4.3.2
확률변수
의 확률밀도함수가 다음과 같을 때 물음에 답하라.pdf
≤ ≤
(1) 평균과 분산을 구하라.
(2) 확률변수
의 평균과 분산을 구하라.▸▸▸풀이
(1) 평균
,
이므로분산
이다.
연습문제 4.3.1 다음을 증명하라.
(1)
, 상수 에 대하여,
(2)
의 함수
는 확률변수로서 pdf(또는 pmf)가 이면,
∞∞ 연속확률변수
이산확률변수
(3)
,
적률을 이용하여 분포의 특성을 찾아낼 수 있을 뿐만 아니라 확률에 관한 부등식을 유도 할 수 있다. 다음의 두 부등식은 분포의 평균과 분산을 이용하여 확률의 하한 값과 상한 값을 구한다.
정리 4.3.1 마코프 부등식(Markov's Inequality)
확률변수 에서 ≥ 이고 가 존재할 때, 임의의 상수 에 대 하여 ≥ ≤
가 성립한다.
▸▸▸ 증명 (연속확률변수인 경우에 증명)
연속확률변수 의 확률밀도함수가 이고, ≥ 라 두면,
∞∞
이고,
≥
≥
가 되므로 마코프 부등식이 성립한다.마찬가지 방법으로 이산확률변수에 대하여도 증명할 수 있다.
정리 4.3.2 쳬비셰프의 부등식(Chebyshev's inequality)
확률변수 의 평균 와 분산 이 존재할 때, 임의의 상수 에 대하여
≥ ≤
이 성립한다(또는, ≥
).
▸▸▸ 증명
마코프 부등식에서 , 으로 두면 성립한다.
연습문제 4.3.3
확률변수
의 pdf ≤ ≤ 이다.(1) 평균과 분산을 구하라
(2) 확률 Pr
≤
을 구하고, 쳬비셰프 부등식을 만족하는지 밝혀라.
연습문제 4.3.3
확률변수
의 평균과 분산이 일 때 Pr
≥
의 상한 값은?
4.4 적률생성함수
적률은 분포의 특성을 알아보는 중요한 특성 값으로 확률밀도함수에 적분이나 합을 이용하 여 직접 구할 수 있지만 어떤 경우에는 쉽게 구할 수 없는 경우도 있다. 그래서 간단히 적 률을 구할 수 있는 특별한 함수인 적률생성함수(moment generating function)를 생각해 보 기로 한다.
정의 4.4.1 적률생성함수(moment generating function)
확률변수 에서, ∈ 에 대하여
가 존재하면
∈ 를 확률변수 의 적률생성함수라 한다. 간단히 mgf로 나타낸다.
적률생성함수는 다음과 같은 성질을 가진다.
(1) 차 적률
(2) mgf의 유일성. 즉
이면
는 같은 분포이고 그 역도 성립한다.(3)
, 여기에서 는 상수.(4) mgf가 존재하지 않는 경우에는 특성함수(characteristic function)를 이용한다.
cos
sin
∈
,
테일러 급수전개를 하면
이므로
이다.따라서
이다.또한, 적률생성함수를 매클로린급수(MacLaurin’s series)하면 다음과 같다.
예제 4.4.1
확률변수
의 확률질량함수(pmf)는 이다.적률생성함
∈
예제 4.4.2
확률변수
의 pdf ≤ ∞. mgf와 평균과 분산을 구하라.▸▸▸풀이
∞
∞
∞
.
이므로,
평균과 분산은
이다.
연습문제 4.4.1
다음 분포의 적률생성함수를 구하라.
(1) 확률변수
의 pdf
이다.(2) 확률변수
의 pdf 이다.(3) 확률변수
의 pdf 이다.
예제 4.4.3
확률변수
의 적률생성함수가
라 하면
는 1,2, 3, 4의 값을 갖는 이산확률변수이고 확률질량함수(pmf)는 다음과 같다.
1 2 3 4
연습문제 4.4.2
확률변수
의 적률생성함수가
일 때 다음 물음에
답하라.
(1)
에서 확률변수
의 평균과 분산을 구하라.(2) Pr
(3) 확률변수
의 확률질량함수를 찾아라.연습문제 4.4.3
이산형 확률변수 X의 적률생성함수(moment generating function)가 다음과 같다.
Mx(t) = E〔etX〕 =
( t : 실수)
이때 확률변수 에 대하여 다음 물음에 답하라(3점).
(1) 를 구하라(1점) (2) 확률 P r ≤ 을 구하라
