Derivatives

(1)

Derivatives

Wanho Choi

(2)

Jacobian

∂u

∂v

≡

∂u

_x

∂v

_x

∂u

_x

∂v

_y

∂u

_x

∂v

_z

∂u

_y

∂v

_x

∂u

_y

∂v

_y

∂u

_y

∂v

_z

∂u

_z

∂v

_x

∂u

_z

∂v

_y

∂u

_z

∂v

_z

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

Gradient

∂u

∂v

≡

∂u

∂v

_x

∂u

∂v

_y

∂u

∂v

_z

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

Chain Rule

∂u

∂v

= ∂

u

∂w

∂v

The Quotient Rule

∂

∂x

f

g

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

∂ f

∂x

g

− f ∂

g

∂x

g

2

(3)

∂

θ

∂x

_i

= −

1 sin

θ

∂

∂x

_i

(

cos

θ

)

∂ ∂x_i

(

cosθ

)

= −sinθ ∂θ ∂x_i ∴ ∂ θ ∂x_i = − 1 sinθ ∂ ∂x_i

(

cosθ

)

(4)

∂

∂x

b

T

x

( )

= b

∂ ∂x b T x

( )

= ∂ ∂x ⎡⎣⎢ bx by bz ⎤⎦⎥ x y z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = ∂∂x b_xx + b_yy+ b_zz

(

)

= ∂ ∂x

(

bxx + byy+ bzz

)

∂ ∂y

(

bxx+ byy+ bzz

)

∂ ∂z

(

bxx+ byy+ bzz

)

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ == b_x b_y b_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = b

(5)

∂

∂x

x

T

x

( )

= 2x

∂ ∂x x T x

( )

= ∂ ∂x x 2 + y2 + z2

(

)

= ∂ ∂x x 2 + y2 + z2

(

)

∂ ∂y x 2 + y2 + z2

(

)

∂ ∂z x 2 + y2 + z2

(

)

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 2x 2y 2z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = 2x

(6)

∂

∂x

x

T

Ax

(

)

= Ax + A

T

x

xTAx = x y z⎡_⎣ ⎤_⎦ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x y z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = x y z⎡_⎣ ⎤_⎦ a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z a₂₁x + a₂₂y+ a₂₃z a₃₁x + a₃₂y + a₃₃z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = a11xx + a12xy+ a13xz + a21xy+ a22yy+ a23yz + a31zx + a32yz + a33zz = a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x y z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ + a₁₁ a₂₁ a₃₁ a₁₂ a₂₂ a₃₂ a₁₃ a₂₃ a₃₃ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x y z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = Ax + AT x ∴ ∂ ∂x x T Ax

(

)

= ∂ ∂x

(

a11xx + a12xy+ a13xz + a21xy+ a22yy+ a23yz+ a31zx+ a32yz + a33zz

)

= ∂ ∂x

(

a11xx + a12xy+ a13xz + a21xy+ a22yy+ a23yz+ a31zx + a32yz + a33zz

)

∂ ∂y

(

a11xx+ a12xy+ a13xz+ a21xy+ a22yy+ a23yz+ a31zx+ a32yz+ a33zz

)

∂ ∂z

(

a11xx+ a12xy+ a13xz+ a21xy+ a22yy+ a23yz+ a31zx+ a32yz + a33zz

)

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 2a₁₁x + a₁₂y+ a₁₃z + a₂₁y+ a₃₁z a₁₂x + a₂₁x + 2a₂₂y+ a₂₃z + a₃₂ a₁₃x + a₂₃y+ a₃₁x + a₃₂y+ 2a₃₃z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = a₁₁x + a₁₂y+ a₁₃z a₂₁x + a₂₂y + a₂₃z a₃₁x + a₃₂y+ a₃₃z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥+ a₁₁x+ a₂₁y+ a₃₁z a₁₂x+ a₂₂y+ a₃₂ a₁₃x + a₂₃y + a₃₃z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

(7)

∴ ∂ ∂x x T Ay

(

)

= ∂ ∂x ⎡⎣

(

a11xxyx + a12xxyy + a13xxyz

)

+ a

(

21xyyx + a22xyyy + a23xyyz

)

+ a

(

31xzyx + a32xzyy + a33xzyz

)

⎤⎦ = ∂ ∂x_x ⎡⎣

(

)

+ a

(

)

+ a

(

)

⎤⎦ ∂ ∂x_y ⎡⎣

(

)

+ a

(

)

+ a

(

)

⎤⎦ ∂ ∂x_z ⎡⎣

(

)

+ a

(

)

+ a

(

)

⎤⎦ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

∂

∂x

x

T

Ay

(

)

= Ay

xTAy = x⎡ _x x_y x_z ⎣⎢ ⎤⎦⎥ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ y_x y_y y_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = x⎡ _x x_y x_z ⎣⎢ ⎤⎦⎥ a₁₁y_x + a₁₂y_y + a₁₃y_z a₂₁y_x + a₂₂y_y + a₂₃y_z a₃₁y_x + a₃₂y_y + a₃₃y_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = a

(

₁₁x_xy_x + a₁₂x_xy_y + a₁₃x_xy_z

)

+ a

(

₂₁x_yy_x + a₂₂x_yy_y + a₂₃x_yy_z

)

+ a

(

₃₁x_zy_x + a₃₂x_zy_y + a₃₃x_zy_z

)

= a₁₁y_x + a₁₂y_y + a₁₃y_z a₂₁y_x + a₂₂y_y + a₂₃y_z a₃₁y_x + a₃₂y_y + a₃₃y_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ y_x y_y y_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = Ay

(8)

f (x)

=

1

2 x

T

Ax

− b

T

x

+ c ⇒ ∂

∂x

f (x)

= Ax − b

A : symmetic n by n matrix

∂ ∂x f (x) = ∂∂x 1 2 x T Ax− bTx+ c ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ = _∂x∂ 1 2 x T Ax ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ − _∂x∂

( )

bTx = 1 2 Ax+ A T x

(

)

− b = 1 2

(

Ax+ Ax

)

− b = Ax − b

(9)

∂

∂x

1 x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= −

1 x

x

T

x

∂ ∂x 1 x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ∂ ∂x 1 x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ∂ ∂y 1 x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ∂ ∂z 1 x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0− ∂ ∂x x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 0− ∂ ∂y x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 0− ∂ ∂z x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = − 1 x2 + y2 + z2 ∂ ∂x x 2 + y2 + z2 ∂ ∂y x 2 + y2 + z2 ∂ ∂z x 2 + y2 + z2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = − 1 x2 + y2 + z2 2x 2 x2 + y2 + z2 2y 2 x2 + y2 + z2 2z 2 x2 + y2 + z2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = − 1 x2 + y2 + z2 1 x2 + y2 + z2 x y z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = − 1 x x xTx

(10)

∂

∂x

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

1 x

I

−

xx

T

x

T

x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∂ ∂x x x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ∂ ∂x x x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ _∂y∂ x x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ _∂z∂ x x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ∂ ∂x y x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ _∂y∂ y x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ _∂z∂ y x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ∂ ∂x z x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ _∂y∂ z x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ _∂z∂ z x2 + y2 + z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ∂x ∂x x 2 + y2 + z2 − x ∂ ∂x x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ∂x ∂y x 2 + y2 + z2 − x ∂ ∂y x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ∂x ∂z x 2 + y2 + z2 − x ∂ ∂z x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ∂y ∂x x 2 + y2 + z2 − y ∂ ∂x x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ∂y ∂y x 2 + y2 + z2 − y ∂ ∂y x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ∂y ∂z x 2 + y2 + z2 − y ∂ ∂z x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ∂z ∂x x 2 + y2 + z2 − z ∂ ∂x x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ∂z ∂y x 2 + y2 + z2 − z ∂ ∂y x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ∂z ∂z x 2 + y2 + z2 − z ∂ ∂z x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = x2 + y2 + z2 − x 2 x2 + y2 + z2 2x x2 + y2 + z2 0− x 2 x2 + y2 + z2 2y x2 + y2 + z2 0− x 2 x2 + y2 + z2 2z x2 + y2 + z2 0− y 2 x2 + y2 + z2 2x x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 − y 2 x2 + y2 + z2 2y x2 + y2 + z2 0− y 2 x2 + y2 + z2 2z x2 + y2 + z2 0− z 2 x2 + y2 + z2 2x x2 + y2 + z2 0− z 2 x2 + y2 + z2 2y x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 − z 2 x2 + y2 + z2 2z x2 + y2 + z2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = x2 + y2 + z2 0 0 0 x2 + y2 + z2 0 0 0 x2 + y2 + z2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − xx x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 xy x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 xz x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 xy x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 yy x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 yz x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 zx x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 yz x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 zz x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 1 x2 + y2 + z2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ − 1 x2 + y2 + z2 xx xy xz xy yy yz zx yz zz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = 1 x I− xxT xTx ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

(11)

∂

∂x

[

f (x)x

]

= f (x)I + x ∂

⎡

_⎣⎢

∂x

f (x)

⎤

_⎦⎥

T ∂ ∂x

[

f (x)x

]

= ∂ ∂x

[

f (x)x

]

∂ ∂y

[

f (x)x

]

∂ ∂z

[

f (x)x

]

∂ ∂x

[

f (x)y

]

∂ ∂y

[

f (x)y

]

∂ ∂z

[

f (x)y

]

∂ ∂x

[

f (x)z

]

∂ ∂y

[

f (x)z

]

∂ ∂z

[

f (x)z

]

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = x ∂ ∂x

[

f (x)

]

+ f (x) x ∂ ∂y

[

f (x)

]

x ∂ ∂z

[

f (x)

]

y ∂ ∂x

[

f (x)

]

y ∂ ∂y

[

f (x)

]

+ f (x) y ∂ ∂z

[

f (x)

]

z ∂ ∂x

[

f (x)

]

z ∂ ∂y

[

f (x)

]

z ∂ ∂z

[

f (x)

]

+ f (x) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = f (x) 0 0 0 f (x) 0 0 0 f (x) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ + x ∂ ∂x

[

f (x)

]

x ∂ ∂y

[

f (x)

]

x ∂ ∂z

[

f (x)

]

y ∂ ∂x

[

f (x)

]

y ∂ ∂y

[

f (x)

]

y ∂ ∂z

[

f (x)

]

z ∂ ∂x

[

f (x)

]

z ∂ ∂y

[

f (x)

]

z ∂ ∂z

[

f (x)

]

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = f (x) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ + x y z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ∂ ∂x

[

f (x)

]

∂ ∂y

[

f (x)

]

∂ ∂z

[

f (x)

]

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = f (x)I + x ∂ ∂x f (x) ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ T

(12)

∂

∂x

_i

x

ij

= −

x

_ij

x

_ij

(

x

ij

= x

j

− x

i

)

∂ ∂x_i xij = ∂ ∂x_i (xj − xi) 2 + (y j − yi) 2 + (z j − zi) 2 ∂ ∂y_i (xj − xi) 2 + (y j − yi) 2 + (z j − zi) 2 ∂ ∂z_i (xj − xi) 2 + (y j − yi) 2 + (z j − zi) 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 1 2 (x_j − x_i)2 + (y_j − y_i)2 + (z_j − z_i)2 ∂ ∂x_i (xj − xi) 2 ⎡⎣ ⎤⎦ ∂ ∂y_i (yj − yi) 2 ⎡⎣ ⎤⎦ ∂ ∂z_i (zj − zi) 2 ⎡⎣ ⎤⎦ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ == 1 2 (x_j − x_i)2 + (y_j − y_i)2 + (z_j − z_i)2 −2x_i −2y_i −2zi ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = −1 (x_j − x_i)2 + (y_j − y_i)2 + (z_j − z_i)2 x_i y_i z_i ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = − xij x_ij

(13)

∂( u )

∂w

= ∂

u

∂w

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

T

u

∂( u ) ∂w = ∂ ∂wx ( u_x2 + u_y2 + u_z2 ) ∂ ∂wy ( u_x2 + u_y2 + u_z2 ) ∂ ∂w_z ( ux 2 + u y 2 + u z 2 ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 1 2 u_x2 + u_y2 + u_z2 ∂ ∂wx (u_x2 + u_y2 + u_z2) ∂ ∂wy (u_x2 + u_y2 + u_z2) ∂ ∂w_z (ux 2 + u y 2 + u z 2 ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 1 2 u_x2 + u_y2 + u_z2 2u_x ∂ux ∂w_x + 2uy ∂uy ∂w_x + 2uz ∂u_z ∂w_x 2u_x ∂ux ∂wy + 2u_y ∂uy ∂wy + 2u_z ∂uz ∂wy 2u_x ∂ux ∂wz + 2u_y ∂uy ∂wz + 2u_z ∂uz ∂wz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 1 u_x2 + u_y2 + u_z2 u_x ∂ux ∂w_x + uy ∂uy ∂w_x + uz ∂u_z ∂w_x u_x ∂ux ∂wy + u_y ∂uy ∂wy + u_z ∂uz ∂wy u_x ∂ux ∂wz + u_y ∂uy ∂wz + u_z ∂uz ∂wz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

u

= (u

_x

,u

_y

,u

_z

)

T

,w

= (w

_x

,w

_y

,w

_z

)

T = 1 u_x2 + u_y2 + u_z2 ∂u_x ∂wx ∂u_y ∂wx ∂uz ∂wx ∂u_x ∂w_y ∂u_y ∂w_y ∂u_z ∂w_y ∂u_x ∂w_z ∂u_y ∂w_z ∂uz ∂w_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ u_x u_y u_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ == 1 u_x2 + u_y2 + u_z2 ∂u_x ∂w_x ∂u_x ∂w_y ∂u_x ∂w_z ∂u_y ∂w_x ∂u_y ∂w_y ∂u_y ∂w_z ∂u_z ∂w_x ∂u_z ∂w_y ∂u_z ∂w_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ T u_x u_y u_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ∂u ∂w ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ T u u

(14)

∂(u⋅v)

∂w

= ∂

u

∂w

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

T

v

+ ∂

v

∂w

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

T

u

∂(u⋅v) ∂w = ∂ ∂w_x

(

uxvx + uyvy + uzvz

)

∂ ∂w_y

(

)

∂ ∂w_z

(

)

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ∂u_x ∂w_x vx + ux ∂v_x ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂u_y ∂w_x vy + uy ∂v_y ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂u_z ∂w_x vz + uz ∂v_z ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_x ∂w_y vx + ux ∂v_x ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂u_y ∂w_y vy + uy ∂v_y ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂u_z ∂w_y vz + uz ∂v_z ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_x ∂wz v_x + u_x ∂vx ∂wz ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂u_y ∂wz v_y + u_y ∂vy ∂wz ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂u_z ∂wz v_z + u_z ∂vz ∂wz ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ∂u_x ∂w_x vx + ∂u_y ∂w_x vy ∂u_z ∂w_x vz ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂ v_x ∂w_x ux + ∂v_y ∂w_x uy + ∂v_z ∂w_x uz ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_x ∂w_y vx + ∂u_y ∂w_y vy + ∂u_z ∂w_y vz ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂ v_x ∂w_y ux + ∂v_y ∂w_y uy + ∂v_z ∂w_y uz ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_x ∂wz v_x + ∂uy ∂wz v_y + ∂uz ∂wz v_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ∂ v_x ∂wz u_x + ∂vy ∂wz u_y + ∂vz ∂wz u_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

u

= (u

_x

,u

_y

,u

_z

)

T

,v

= (v

_x

,v

_y

,v

_z

)

T

,w

= (w

_x

,w

_y

,w

_z

)

T = ∂ux ∂w_x vx + ∂u_y ∂w_x vy + ∂u_z ∂w_x vz ∂u_x ∂w_y vx + ∂uy ∂w_y vy + ∂u_z ∂w_y vz ∂ux ∂w_z vx + ∂uy ∂w_z vy + ∂u_z ∂w_z vz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ + ∂vx ∂w_x ux + ∂v_y ∂w_x uy + ∂v_z ∂w_x uz ∂v_x ∂w_y ux + ∂vy ∂w_y uy + ∂v_z ∂w_y uz ∂vx ∂w_z ux + ∂vy ∂w_z uy + ∂v_z ∂w_z uz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ∂ux ∂w_x ∂u_y ∂w_x ∂u_z ∂w_x ∂u_x ∂w_y ∂uy ∂w_y ∂u_z ∂w_y ∂ux ∂w_z ∂uy ∂w_z ∂u_z ∂w_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ v_x v_y v_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ + ∂vx ∂w_x ∂v_y ∂w_x ∂v_z ∂w_x ∂v_x ∂w_y ∂vy ∂w_y ∂v_z ∂w_y ∂vx ∂w_z ∂vy ∂w_z ∂v_z ∂w_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ u_x u_y u_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ∂u ∂w ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ T v + ∂v ∂w ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ T u = ∂u_x ∂w_x ∂u_x ∂w_y ∂u_x ∂w_z ∂u_y ∂wx ∂u_y ∂wy ∂u_y ∂wz ∂u_z ∂w_x ∂u_z ∂w_y ∂u_z ∂w_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ T v_x v_y v_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ + ∂v_x ∂w_x ∂v_x ∂w_y ∂v_x ∂w_z ∂v_y ∂wx ∂v_y ∂wy ∂v_y ∂wz ∂v_z ∂w_x ∂v_z ∂w_y ∂v_z ∂w_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ T u_x u_y u_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

(15)

∂(u × v)

∂w

= u

*

∂v

∂w

− v

*

∂u

∂w

u

= (u

x

,u

y

,u

z

)

T

,v

= (v

_x

,v

_y

,v

_z

)

T

,w

= (w

_x

,w

_y

,w

_z

)

T

u

*

=

0 −u

_z

u

_y

u

_z

0 −u

_x

−u

_y

u

_x

0 ⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

, v

*

=

0 −v

_z

v

_y

v

_z

0 −v

_x

−v

_y

v

_x

0 ⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

∂(u × v) ∂w = ∂∂w u_yv_z − u_zv_y u_zv_x − u_xv_z u_xv_y − u_yv_x ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ∂ ∂w_x (uyvz − uzvy) ∂ ∂w_y (uyvz − uzvy) ∂ ∂w_z (uyvz − uzvy) ∂ ∂w_x (uzvx − uxvz) ∂ ∂w_y (uzvx − uxvz) ∂ ∂w_z (uzvx − uxvz) ∂ ∂w_x (uxvy − uyvx) ∂ ∂w_y (uxvy − uyvx) ∂ ∂w_z (uxvy − uyvx) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ∂u_y ∂w_x vz + uy ∂v_z ∂w_x − ∂u_z ∂w_x vy − uz ∂v_y ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_y ∂w_y vz + uy ∂v_z ∂w_y − ∂u_z ∂w_y vy − uz ∂v_y ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_y ∂w_z vz + uy ∂v_z ∂w_z − ∂u_z ∂w_z vy − uz ∂v_y ∂w_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_z ∂w_x vx + uz ∂vx ∂w_x − ∂ u_x ∂w_x vz − ux ∂v_z ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_z ∂w_y vx + uz ∂vx ∂w_y − ∂ u_x ∂w_y vz − ux ∂v_z ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_z ∂w_z vx + uz ∂vx ∂w_z − ∂ u_x ∂w_z vz − ux ∂v_z ∂w_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_x ∂w_x vy + ux ∂v_y ∂w_x − ∂u_y ∂w_x vx − uy ∂v_x ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_x ∂w_y vy + ux ∂v_y ∂w_y − ∂u_y ∂w_y vx − uy ∂v_x ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂u_x ∂w_z vy + ux ∂v_y ∂w_z − ∂u_y ∂w_z vx − uy ∂v_x ∂w_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = −uz ∂v_y ∂w_x + uy ∂v_z ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − −vz ∂u_y ∂w_x + vy ∂u_z ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −uz ∂v_y ∂w_y + uy ∂v_z ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − vz ∂u_y ∂w_y + vy ∂u_z ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −uz ∂v_y ∂w_z + uy ∂v_z ∂w_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − vz ∂u_y ∂w_z + vy ∂u_z ∂w_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ u_z ∂vx ∂w_x − ux ∂v_z ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − vz ∂u_x ∂w_x − vx ∂u_z ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ uz ∂v_x ∂w_y − ux ∂v_z ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − vz ∂u_x ∂w_y − vx ∂u_z ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ uz ∂v_x ∂w_z − ux ∂v_z ∂w_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − vz ∂u_x ∂w_z − vx ∂u_z ∂w_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −u_y ∂vx ∂w_x + ux ∂v_y ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − vy ∂u_x ∂w_x + vx ∂u_y ∂w_x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −uy ∂v_x ∂w_y + ux ∂v_y ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − vy ∂u_x ∂w_y + vx ∂u_y ∂w_y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −uy ∂v_x ∂w_z + ux ∂v_y ∂w_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − vy ∂u_x ∂w_z + vx ∂u_y ∂w_z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = −u_z ∂vy ∂w_x + uy ∂v_z ∂w_x −uz ∂vy ∂w_y + uy ∂v_z ∂w_y −uz ∂vy ∂w_z + uy ∂v_z ∂w_z u_z ∂vx ∂wx − u_x ∂vz ∂wx u_z ∂vx ∂wy − u_x ∂vz ∂wy u_z ∂vx ∂wz − u_x ∂vz ∂wz −u_y ∂vx ∂wx + u_x ∂vy ∂wx −u_y ∂vx ∂wy + u_x ∂vy ∂wy −u_y ∂vx ∂wz + u_x ∂vy ∂wz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − −v_z ∂uy ∂w_x + vy ∂u_z ∂w_x vz ∂uy ∂w_y + vy ∂u_z ∂w_y vz ∂uy ∂w_z + vy ∂u_z ∂w_z v_z ∂ux ∂wx − v_x ∂uz ∂wx v_z ∂ux ∂wy − v_x ∂uz ∂wy v_z ∂ux ∂wz − v_x ∂uz ∂wz v_y ∂ux ∂wx + v_x ∂uy ∂wx v_y ∂ux ∂wy + v_x ∂uy ∂wy v_y ∂ux ∂wz + v_x ∂uy ∂wz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 −u_z u_y u_z 0 −u_x −uy ux 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂v_x ∂w_x ∂v_x ∂w_y ∂v_x ∂w_z ∂v_y ∂wx ∂v_y ∂wy ∂v_y ∂wz ∂v_z ∂w_x ∂v_z ∂w_y ∂v_z ∂w_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − 0 −v_z v_y v_z 0 −v_x −vy vx 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂u_x ∂w_x ∂u_x ∂w_y ∂u_x ∂w_z ∂u_y ∂wx ∂u_y ∂wy ∂u_y ∂wz ∂u_z ∂w_x ∂u_z ∂w_y ∂u_z ∂w_z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = u* ∂v ∂w − v * ∂u ∂w