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(1)

1

제 2 장 질점의 운동역학 : Newton 의 제 2 법

칙

2.1 개요

힘 ∝ 운동 상태 변화 ( r, v ,a )

F ma





해석

좌표계 설정

force motion object

(2)

2.2 Newton 의 제 2 법칙

object 1

F

2

F

3

F

i)



F



0

ii)

a

의 방향 의 방향





F

(3)

3

2.3 운동 방정식 : 해석 절차

F ma





: 운동방정식 (1) 좌표계 설정 ( x – y, t – n, r – θ ) (2) 자유 물체도 (FBD) ⇒ 물체에 작용하는 모든 힘들을 표시 ① 주어진 물체의 개수 파악 ② 물체들을 지지점으로부터 분리 ③ 작용하는 모든 힘을 표시 i) 무게 = W = mg ii) 지지력 면 : 주직 반력 끈 : 장력 스프링 : 스프링력 iii) 외력 iv) 저항력 마찰력 항력 (운동 반대 방향 )

(4)

④ 힘 : vector 양 크기와 방향 미지수 좌표계 양의 방향 Ⅱ Ⅱ (3) 운동 방정식 ∑ F=ma ① 질량 (m)

W

mg

m

g







② 가속도 (a)

(5)

5 (4) 해석 방법 ⇒ 운동 방정식을 선택한 좌표계의 성분별 계산 ① i) 힘이 상수이면서 known ii) 가속도 unknown ⇒ 가속도 계산

a

V

r

적분 적분 ② i) 가속도 : known ii) 힘 : unknown

a

⇒ 힘 계산 ③ i) 힘 : known ⇒ 상수 (X) ii) 가속도 : known

a

t, s, v 함수 ⇒

a g t



( )

V

r

적분 적분

(6)

2.4 직각 좌표

x a y a a F  x F  y F 

x

y

0 F ma





(

F i

_x

F j

_y

)

m a i a j

(

_x _y

)



_



_





성분별

X 성분 y 성분 x x x

F



ma



mV



mx





_

y y y

F



ma



mV



my





_

(7)

7

예제 2.1)

w W=3500lb x y (1) 좌표계 설정 (x – y) (2) 자유물체도 (FBD) T w a

(8)

(3) 운동 방정식

F



ma



y y

F

ma



_



(

T W

)

W

a

_y

g





T

W

a W

g

 



↑ ① ↓ ②

(10)

W

T

W

g





( 10)

W

T

W

g







☆ 정지상태유지☆ (a=0) T – W = 0 T=W ∴

(9)

9

예제 2.2)

θ 100 9 x y m = 2000kg V₀ = 130km/h F_b(제동력 ) = 12KN (1) 좌표계설정 (x – y) (2) 자유물체도 (FBD) θ W=mg Fb N (note : 제동력은 물체운동의 반대방향 )

(10)

(3) 운동방정식 ① x 축 방향 x x

F



ma



(

mg

sin



F

_b

)

ma

_x

 





1 (

sin )

x b

a

F

mg

m



  

 

② y 축 방향 y y

F



ma



(

N mg

cos )



ma

_y

0 





cos

N

mg



 

(11)

11 (4) 해석 ① 속도 ② 위치 0 0 0 6.88 V t t V dV a dV a dt dt dt  

_



_

 

_

0 1000 130( / ) 36.11 / 1 3600 m h V km h m s km s  _ _ 

V

 

0 0 x t x

dx

V

ds

V dt

dt



_



_

x

 

※ 비행기 정지 했을때 이동거리

∥

0 V



t



(12)

예제 2.3)

40˚

F

W=322lb x y 0

V

322 W



lb

2

35 3 (

)

F





t

_함수

0

1.8 / sec

V



ft

0.2 



3sec

t



(1) 좌표계설정 (x – y) (2) 자유물체도 (FBD)

w

F

N

F

_f note : 마찰력 = 마찰계수 Χ 수직반력

(13)

13 (3) 운동 방정식 x x

F



ma



( cos

F

N

)

W

a

_x

g

 







① ②



F

_y



ma

_y

(

W N F

sin )

W

a

_y

g



   



sin

N W F



 



2

0.27(1

)

a

t

 



(3) 해석 ① 속도 ② 위치 0 0 t V V

dV

a

a dt

dV

V

dt





_



_

 

0 0 t x x

dx

a

V dt

dx

x

dt





_



_

 

(14)

예제 2.4)

B A y x y x (1) 좌표계설정 (x – y) (2) 자유물체도 (FBD) : A, B 물체 ① A 물체

2 T





T

A

m g

② B 물체 T F_f B

m g

(15)

15 (3) 운동방정식 ① A 물체 x x

F ma





(

m g

_A

2 )

T

m a

_A

( )

_{x A}







② B 물체

( )

x B x B

F m a





(

m g

_B

sin

T

N

)

m a

_B

( )

_{x B}





 





( )

y B y B

F m a





(

N m g

_B

sin )

m a

_B

( )

_{y B}









(16)

2.5 접선 및 법선 좌표

S t n F  n F  t F  n a t a

a

F



ma



ˆˆˆˆ

(

F n

_{t t}

F n

_{n n}

)

m a n

(

_{t t}

a n

_{n n}

)



_



_





② B 물체 t 축 :

:

t t

F



ma



mV



mS







_직직직직

2 2 V S

(17)

17

예제 2.5)



n

t

(1) 좌표계설정 (x – y) (2) 자유물체도 (FBD)

n

W



mg

N  N

(18)

(3) 운동방정식 y y

F



ma



(N mg )  m(0) 0 N mg W    2 n n

V

F

ma

m







2 (



N) mV



 2 n V g a





 

_

_V

2

_

_

_g

V

 

g

 

2

V

mg m









(19)

19

예제 2.6)





n

t

S

0

V

0

V

0 ※ 마찰력은 무시※ < 물리개념 > i) 꼭지점에서 최소속도 ii) 지지력 ( 수직반력 ) 존재 (1) 좌표계설정 (x – y) (2) 자유물체도 (FBD)



W



mg

N

t

n

(20)

(3) 운동방정식

F ma





①



F

t



ma

t ( mgsin )



ma_t    sin ( ) t a g

 

   함수 ② 2 n n

V

F

ma

m







2 (N mgcos )



mV



   2 cos V N mg



m



  

_ⓐ

(21)

21 (4) t 축 성분 ⇒ 속도 계산 t

dV

a

V

dt

ds



t

a ds V dV





, where S dS d

 

  t

a d

 

V dV





sin

g

V dV





 



0 0

sin

V V

V dV

g

d



_

_{ }



_

 

_

2 0 0

1 cos

2 V

g

 _









2 2 0

1 (

)

(cos

1)

2 V

V



g











2 2 0

2 (cos

1)

V



g











_ⓑ

2 2 0 : 180 4 note V V g        _최소속도

(22)

→ ⓐ ⓑ 2 0

1 cos

2 (cos

1)

N

mg



m

V



g













_





_

0

180 N





 



 2 0

(

4 ) 0

m

N

mg

V



g



 







2 0

4

0 g V

g



 







2 0

5 V



g





0

5 V



g

 

V





(23)

23

2.6 원통 좌표



r

 기준선 ( t=0 )

F ma





ˆˆˆˆ

(

F n

_{r r}

F n

_{ }

)

m a n

(

_{r r}

a n

_{ }

)



_



_





성분 r 축 : θ 축 : 2

(

)

r r

F



ma



m r r







_



(

2 )

F

_



ma

_



m r





r









(24)

예제 2.7)



r

 (1) 좌표계설정 (x – y) (2) 자유물체도 (FBD) 

r



W mg N

(25)

25 (3) 운동방정식

F

_



ma

_



(

N mg



cos )





m r

(







2 )

r

_





, 20 7 / ( ) 0 15 15 / / 12 where rad s in s ft s

r

            



직직 중심으로 향하기 때문

N

 

(26)

예제 2.8)

(1) 좌표계설정 (x – y) (2) 자유물체도 (FBD) 

r



A

N

B

N

W



mg

(27)

27 (3) 운동방정식 r r

F



ma



2

cos

sin

(

)

B

N



W



m r r









_

 

F

_



ma

_



cos

sin

(

2 )

B A

N



N

W



m r



r



 











_



cos

1 ;

(tan sec )

r





r

_





 



3 2 2

(sec

tan

sec )

(tan sec )

r









 







 



(

where

;





30,







1,





 

0.5)

②

①

1.15

0.67

1.59 r

r

 

_



_



⇒ ① & ;②

4.49

9.88

B A

N

