18
전략 ^-BC^ 를 그은 후 AC^ 와 BD^ 의 원주각의 크기의 합을 구한 다. 오른쪽그림과같이^-BC^ 를그으면 gakABC+gakDCB=gakAPC=45* 원의반지름의길이를r`cm라하면 AC ^- +BD^ 의길이에대한원주각의크 기의합이45*이므로 45* : 180*=4π : 2πr 1 : 4=2 : r .t3r=8 따라서원의반지름의길이가8cm이므로그넓이는 π\8^2=64π`(cm^2) 64πcm^2 오른쪽그림과같이원의중심O를찾고^-BC^ ,^-OA^ ,^-OC^ ,^-OB^ ,^-OD^ 를그으면 gakAOC+gakDOB =2gakABC+2gakDCB =2(gakABC+gakDCB) =2\45*=90* AC ^- +DB^ 의길이에대한중심각의크기의합이90*이므로 90* : 360*=4π : 2πr 1 : 4=2 : r .t3r=8 따라서원O의반지름의길이가8cm이므로그넓이는 π\8^2=64π`(cm^2) B A C D 45ù P O B A C D 45ù P
19
전략 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다. 오른쪽그림과같이^-BI를그으면 점I가semoABC의내심이므로 gakBAI=gakCAI,gakABI=gakCBI semoIAB에서 gakBID=gakIAB+gakIBA 또한gakDBC=gakDAC이므로 gakDIB=gakDBI 따라서semoDIB는이등변삼각형이므로 ^-BD^ =^-DI^ =9`cm ④ E I A B C D20
전략 gakABC=gakADC=90*, gakABD=gakCBD=gakCAD=45*임을 이용한다. 오른쪽그림과같이^-AD^ ,^-CD^ 를그으면 gakABC=90*이므로 gakABD=gakCBD=45* 즉,AD^- =~CD^ 이므로^-AD^ =^-CD^ 이때gakCAD=gakCBD=45*, gakADC=90*이므로 semoACD는^-AD^ =^-CD^ 인직각이등변삼각형이다. ^-AC^ `:`^-AD^-=rt2`:`1이므로 10`:`^-AD^-=rt2`:`1 .t3^-AD^-=5rt2`(cm) gakBAP=gakPAC=gak&a라하면 gakPAD=45*+gak&a semoABP에서gakAPD=gakABP+gakBAP=45*+gak&a .t3gakPAD=gakAPD 따라서semoAPD는이등변삼각형이므로 ^-PD^ =^-AD^-=5rt2cm 5rt2cm A B C D O 5 cm P gakAPQ=gakMAP+gakAMP =gakANQ+gakNAQ =gakAQP 이때semoPBQ에서 gakAPQ=gakPBQ+gakPQB=15*+35*=50*이므로 gakAQP=gakAPQ=50* 50*21
전략 공연장이 원 모양이므로 원주각의 크기를 이용하여 중 심각의 크기를 구한다. 오른쪽그림에서점O를원의중심이라 하면 gakAOB=2gakACB =2\45*=90* 즉,semoAOB는^-AO^ =^-BO^ 인직각이등변삼 각형이므로 ^-AB^ `:`^-AO^-=rt2`:`1 20`:`^-AO^-=rt2`:`1 .t3^-AO^-=10rt2(m) 따라서반지름의길이가10rt2m이므로무대를제외한공연 장의넓이는 semoAOB+(큰쪽의부채꼴AOB의넓이) =1/2\10rt2&\10rt2&+π\(10rt2&&)^2\270/360 =100+150π`(m^2) (100+150π)m^2 무대 20 m A O B C 45ù1
8/3&π2
7/2`cm3
⑤4
①5
⑤만점 굳히기 문제
Step3
본문 57쪽2
오른쪽그림과같이반원의중심 을O라하고^-AC^ ,^-BO^ ,^-BD^ 를 그으면^-CD^ 는반원O의지름이 므로 gakCAD=gakCBD=90, semoBCD에서 ^-BD^-=rt4^2-1^2~=rt15(cm) ^-AB^ =^-BC^ 이므로 AB ^- =BC^ .t3gakADB=gakACB=gakBDC=gakBAC semoBOD에서^-OB^ =^-OD^ 이므로 gakOBD=gakODB semoABCZsemoBOD(AA닮음)이므로 ^-AB^ :^-BO^ =^-AC^ :^-BD^ 에서1:2=^-AC^ :rt15 2^-AC^-=rt15 .t3^-AC^ = rt152 (cm) semoACD에서 ^-AD^ =54^2&-^( rt152 ^)^^2b=rt49/4~=7/2`(cm) 7/2`cm O A B C D 1 cm 1 cm 2 cm 2 cm
4
^-AB^ 가원O의지름이므로 gakAPB=gakAQB=90* semoABP에서 ^-AB^-=rt4^2+2^2w=rt20=2rt5`(cm) semoAQB에서 gakBAQ=gakABQ=45*이므로 ^-AB^ : ^-QA^ : ^-QB^-=rt2 : 1 : 1 .t3^-QA^ =^-QB^-=2rt5\ 1rt2=rt10`(cm) 이때^-QA^ =^-QB^ 이면QA^- =QB^ 이므로 gakAPQ=gakBPQ=45* nemoAQBP=semoPAB+semoQBA =1/2\4\2+1/2\rt10\rt10 =4+5=9 또한 nemoAQBP=semoPAQ+semoPQB =12\4\^ PQ^ \sin`45*+1/ 2\^ PQ^ \2\sin`45*/ =2\^ PQ^ \ rt22 +^ PQ^ \rt22 = 3rt22 ^ PQ^ 즉, 3rt2 2 ^ PQ^ =9 .t3^ PQ^ =3rt2&`(cm) ① Q A O B 4 cm 2 cm P 215` cm 1410` cm5
오른쪽그림과같이점D에 서^-AB^ 에평행한선분을그 어원O와만나는점을E라 하면gakEDC=30*`(동위각) 이므로 gakEOC=2gakEDC=60* 반지름의길이가9cm이므로원의둘레의길이는 2π\9=18π`(cm) .t3EC^- =18π\ 60360=3π`(cm) 이때^-AB^-/-^-ED^ 이므로gakABE=gakBED`(엇각)이고 AE ^- +BD^- =18π-(4π+6π+3π)=5π이므로 AE ^- =BD^- =5/2&π`(cm).t3AC^- =AE^- +EC^- =5/2&π+3π=11/2&π`(cm) ⑤ A E B C D O 30ù 4p cm 6p cm 30ù
3
nemoABCD가정사각형이므로gakA=gakB=gakC=gakD=90* 이고^-AC^ ,^-BD^ 는원의중심을지난다. ㄱ.gakBPD=90*이므로semoBEP는직각이등변삼각형이다. .t3gakPBE=gakPEB=45* ㄴ.gakPBA=45*-gakPBD=gakDBE ㄷ.호DC와선분BE의교점을 F라하자. gakPBA=gakDBF, gakABP=gakACP이므로 gakACP=gakDBF A B C D F E P1
오른쪽그림과같이점A를지나는 지름의한끝점을D라하면 semoAHC에서gakHAC=50*이므로 gakACH=40* gakADB=gakACH=40*이므로 gakAOB=2gakADB=2\40*=80* 이때gakABD=90*이므로 semoABDZsemoAHC(AA닮음) ^-AB^ `:`^-AH^ =^-AD^ `:`^-AC^ ,8`:`4=^-AD^ `:`6 .t3^-AD^-=12 따라서원O의반지름의길이는12\1/2=6이므로 AB ^- =2π\6\ 80360 =8/3&π 8/3&π A B D C O 50ù 6 8 4 H ^ AC^ =^ BD^ ,gakAPC=gakDFB=90*이므로 semoACP/=-semoDBF(RHA합동).t3^ AP^ +^ PC^ =^ DF^-+^ FB^ =^ FE^-+^ BF^ =^ BE^
5
원주각의 활용
1
③,⑤2
75*3
④4
③5
②6
140*7
30*꼭
나오는대표 빈출
로 핵심 확인 본문 59쪽1
①gakCAD≠gakCBD이므로네점A,B,C,D는한원위에 있지않다. ②gakBDC=100*-60*=40* 즉,gakBAC≠gakBDC이므로네점A,B,C,D는한원 위에있지않다. ③gakBDC=110*-40*=70* 즉,gakBAC=gakBDC이므로네점A,B,C,D는한원 위에있다. ④gakACB=180*-(60*+75*)=45* 즉,gakADB≠gakACB이므로네점A,B,C,D는한원 위에있지않다. ⑤gakACP=65*-35*=30* 즉,gakADB=gakACB이므로네점A,B,C,D는한원 위에있다. 따라서네점A,B,C,D가한원위에있는것은③,⑤이다. ③, ⑤2
네점A,B,C,D가한원위에있으므로 gakCAD=gakCBD=50* .t3gak&x=gakBAC=gakBAD-gakCAD =125*-50*=75* 75*3
gakBDC=gakBAC=46* nemoABCD가원에내접하므로 gakADC=gakABE=105*에서 gak&x+46*=105* .t3gak&x=59* 또gakBAD+gakBCD=180*이므로 46*+gak&y+110*=180* .t3gak&y=24* .t3gak&x+gak&y=59*+24*=83* ④4
③gakB+gakADC=95*+85*=180*이므로nemoABCD는원 에내접한다. ③5
nemoABCD가원에내접하려면한쌍의대각의크기의합이 180*이어야하므로 gakADC=180*-gak&x semoEBC에서gakECF=gak&x+26* 따라서semoDCF에서(gak&x+26*)+48*=180*-gak&x 2gak&x=106* .t3gak&x=53* ②6
직선BT가원O의접선이므로 gakBAC=gakCBT=70* .t3gakBOC=2gakBAC=2\70*=140* 140*7
오른쪽그림과같이^-EC^ 를그으면 A B C D E T 68ù 30ù 112ù nemoABCE가원에내접하므로 gakABC+gakAEC=180*에서 gakAEC=180*-112*=68* gakCED=gakAED-gakAEC =98*-68*=30* 따라서직선CT가원의접선이므로 gakDCT=gakCED=30* 30* 1 대표문제 54* 유제1 53* 유제2 120* 유제3 114* 2 대표문제 109* 유제4 211* 유제5 52* 유제6 360* 3 대표문제 255* 유제7 93* 유제8 10* 유제9 196* 4 대표문제 64* 유제10 24* 유제11 35* 유제12 7cm 5 대표문제 75* 유제13 55* 유제14 62* 유제15 99* 이 단원에서 뽑은고득점 준비 문제
Step1
본문 60 ~ 64쪽1
대표 문제 nemoABCD가원에내접하므로 gakCDQ=gakABC=gak&x semoPBC에서gakDCQ=gakCBP+gakCPB=gak&x+30* gakBAD=gak&a라하면 gakADC=gak&a+30* 오른쪽그림과같이^-OA^ ,^-OB^ , ^-OC^ ,^-OD^ 를그으면 gakAOC=2gakADC =2gak&a+60* gakBOD=2gakBAD=2gak&a 이때반지름의길이가9cm인원의둘레의길이는 2π\9=18π`(cm)이므로 AC ^- +BD^- =18π-(4π+6π)=8π 18π\ 4gak&a+60*360* =8π이므로 4gak&a+60*=160* .t3gak&a=25* 따라서gakAOC=2\25*+60*=110*이므로 AC ^- =18π\ 110360=11/2&π`(cm) A B C D O 30ù 4p cm a 6p cmsemoDCQ에서 gak&x+(gak&x+30*)+42*=180* 2gak&x=108* .t3gak&x=54* 54* 유제
1
nemoABCD가원에내접하므로 gakQAB=gakBCD=50* semoPBC에서 gakQBP=gakBPC+gakBCP=27*+50*=77* semoAQB에서 50*+gak&x+77*=180* .t3gak&x=53* 53* 유제2
gakBAD=gak&y라하면semoABQ에서 gakPBC=gak&y+25* gakPCB=gakBAD=gak&y이므로semoBPC에서 (gak&y+25*)+35*+gak&y=180* 2gak&y=120* .t3gak&y=60* nemoABCD가원에내접하므로 gak&x+gak&y=180*에서gak&x+60*=180* .t3gak&x=120* 120* 유제3
gakBCD=gak&x라하면~nemoABCD가원에내접하므로 gakPAB=gakBCD=gak&x semoQBC에서 gakPBQ=32*+gak&x semoPBA에서 gak&x+34*+(32*+gak&x)=180* 2gak&x=114* .t3gak&x=57* .t3gakBOD=2gakBCD =2gak&x=2\57*=114* 114*2
대표 문제 오른쪽그림과같이^-AC^ 를그으면 A B C D E O 100ù 58ù nemoACDE가원O에내접하므로 gakACD+gakAED=180* .t3gakACD=180*-100*=80* gakACB=1/2gakAOB =1/2\58*=29* .t3gakBCD=gakACB+gakACD =29*+80*=109* 109* 유제4
오른쪽그림과같이^-BD^ 를그으면 A B C D E O x y 62ù gakBDC=1/2gakBOC =1/2\62*=31* nemoABDE가원O에내접하므로 gakBAE+gakBDE=180* .t3gak&x+gak&y=gakBAE+(gakBDE+gakBDC) =180*+31*=211* 211* 유제5
오른쪽그림과같이^-CE^ 를그으면 A B C D E O x 130ù 76ù nemoABCE가원O에내접하므로 gakABC+gakAEC=180* .t3gakAEC=180*-76*=104* gakCED=130*-104*=26*이므로 gak&x=2gakCED=2\26*=52* 52* 유제6
오른쪽그림과같이^-AD^ 를그으면 A B C D E F nemoABCD가원에내접하므로 gakBAD+gakBCD=180* 또nemoADEF가원에내접하므로 gakDAF+gakDEF=180* .t3gakBAF+gakBCD+gakDEF =(gakBAD+gakDAF)+gakBCD+gakDEF =(gakBAD+gakBCD)+(gakDAF+gakDEF) =180*+180*=360* 360*3
대표 문제 nemoABQP가원O에내접하므로 gak&x=gakBAP=105* nemoPQCD가원O'에내접하므로 gak&x+gakPDC=180* .t3gakPDC=180*-105*=75* 따라서gak&y=2gakPDC=2\75*=150*이므로 gak&x+gak&y=105*+150*=255* 255* 유제7
오른쪽그림과같이^-PQ^ 를그으면 Q A B C D x 87ù P nemoPQDB가원에내접하므로 gakPQC=gakB=87* nemoACQP가원에내접하므로 gakA+gakPQC=180*에서 gak&x+87*=180* .t3gak&x=93* 93* 유제8
오른쪽그림과같이^-PQ^ 를그으면 gak&y=gakAPQ Q A B C D E O O' x y 110ù 160ù P =gakACE=110* gakCAP=1/2gakCOP =1/2\160*=80* 이므로gakPQD=gakCAP=80*nemoPQDB에서gakB+gakPQD=180*이므로 gak&x+80*=180* .t3gak&x=100* .t3gak&y-gak&x=110*-100*=10* 10* 유제
9
오른쪽그림과같이 A B C D TOÁ Oª O£
R S x y 94ù 78ù Q P ^-PQ^ ,^-RS^ 를그으면 nemoABQP가원O_1에내 접하므로 gakPAB=gakPQS,gakABT=gakAPQ nemoPQSR가원O_2에내접하므로 gakPQS=gakDRS,gakAPQ=gakRSQ nemoRSCD가원O_3에내접하므로 gakDRS+gakDCS=180*,gakRSQ=gakRDC 따라서gak&x+78*=180*이므로 gak&x=102*,gak&y=gakRDC=94* .t3gak&x+gak&y=102*+94*=196* 196*
4
대표 문제 오른쪽그림과같이^-AT^ 를그으면 B T O x x 38ù P A ^ AB^ 는원O의지름이므로 gakATB=90* 이때gakBAT=gak&x이므로 gakABT=90*-gak&x 따라서semoBPT에서 gak&x=38*+(90*-gak&x),2gak&x=128* .t3gak&x=64* 64* 유제10
오른쪽 그림과 같이^-BT^ 를그 으면^-AB^ 는원O의지름이므로 gakATB=90* .t3gakBTP =180*-(57*+90*)=33* gakABT=gakATC=57*이므로 semoBTP에서57*=33*+gak&x .t3gak&x=24* 24* 유제11
오른쪽그림과같이^-BD^ 를그으면 A B C D T O 125ù ^ AD^ 는원O의지름이므로 gakABD=90* nemoABCD가원O에내접하므로 gakBAD+gakBCD=180* .t3gakBAD=180*-125*=55* 따라서semoABD에서 gakADB=180*-(90*+55*)=35* .t3gakABT=gakADB=35* 35* A B P C T O x 57ù 유제12
오른쪽그림과같이^-BC^ 를그으면 30ù 14 cm A B C D O ^ AB^ 가원O의지름이므로 gakACB=90* semoABC에서 ^-BC^-=14\sin`30*=7`(cm) gakBCD=gakCAB=30*이므로 semoACD에서 gakADC=180*-(gakCAB+gakACD) =180*-(30*+90*+30*)=30* semoBDC에서gakBCD=gakBDC=30*이므로 ^-BD^ =^-BC^-=7cm 7cm5
대표 문제 ^-PQ^ 가두원의공통인접선이므로 gakATP=gakABT=40* gakPTD=gakTCD=65* .t3gakATB=180*-(gakATP+gakPTD) =180*-(40*+65*) =180*-105*=75* 75* gakBAT=gakBTQ=gakPTD=gakTCD=65* 따라서semoABT에서 gakATB=180*-(40*+65*)=75* 유제13
^-PQ^ 가두원의공통인접선이므로 gakBTQ=gakBAT=75* gakCTQ=gakCDT=50* .t3gakCTD=180*-(gakBTQ+gakCTQ) =180*-(75*+50*) =180*-125*=55* 55* gakTCD=gakPTD=gakBTQ=gakBAT=75* 따라서semoTCD에서 gakCTD=180*-(50*+75*)=55* 유제14
^-PQ^ 가두원의공통인접선이므로 gakTCD=gakBTQ=gakTAB=53* semoTCD에서gakCTD+gakTCD=gakCDB이므로 gakCTD+53*=115* .t3gakCTD=115*-53*=62* 62* gakCDT=180*-115*=65*이므로 gakCTP=gakCDT=65* gakBTQ=gakTAB=53*이므로 gakCTD=180*-(65*+53*)=62*1
①2
②3
64*4
90*5
②6
120*7
④8
110*9
130*10
①11
②12
50*13
53*14
40*15
⑤16
69*17
②18
64*19
75*20
18*21
6rt3cm22
⑤23
③24
37*25
⑤26
풀이참조고득점 실전 문제
Step2
본문 65 ~ 68쪽1
전략 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용하여 크기가 같은 각을 찾는다. 네점A,B,C,D가한원위에있으므로 gak&x=gakACB=75*-53*=22* gakACD=180*-(60*+75*)=45*이므로 gak&y=gakACD=45* .t3gak&y-gak&x=45*-22*=23* ①2
전략 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용하여 크기가 같은 각을 찾는다. gakACB=gak&x라하면 네점A,B,C,D가한원위에있으므로 gakADB=gakACB=gak&x semoDPB에서 gakDBC=gakDPB+gakPDB=30*+gak&x semoQBC에서gakQBC+gakQCB=gakDQC이므로 (30*+gak&x)+gak&x=72* 2gak&x=42* .t3gak&x=21* .t3gakACB=21* ②5
전략 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180*이다. nemoABCD가원에내접하므로 gakABC+gakADC=180* .t3gakADC=180*-110*=70* semoACD는^-AC^ =^-AD^ 인이등변삼각형이므로 gakACD=gakADC=70* .t3gak&CAD=180*-2\70*=40* ②6
전략 반원에 대한 원주각의 크기는 90*이다. ^-AD^ 가원O의지름이므로gakABD=90* semoABD에서 gakBAD=180*-(90*+30*)=60* gakBAD+gak&x=180*이므로 gak&x=180*-60*=120* 120*7
전략 원에 내접하는 사각형의 한 외각과 크기가 같은 각을 찾는다. nemoABCD가원에내접하므로 gakBCD=gakQAD=gak&x semoPCD에서 gakADQ=34*+gak&x semoADQ에서 gak&x+(34*+gak&x)+52*=180* 2gak&x=94* .t3gak&x=47* ④3
전략 크기가 같은 각을 이용하여 한 원 위에 있는 네 점을 찾는다. gakBDC=gakBEC=90*이므로네점D,B,C,E는한원위 에있다.이때점M은두직각삼각형BCD,BCE의빗변의 중점이므로이원의중심이다. 따라서semoABE에서 gakABE=90*-58*=32* .t3gakDME=2gakABE=2\32*=64* 64*4
전략 크기가 같은 각을 이용하여 한 원 위에 있는 네 점을 찾는다. gakOCE=gakODE이므로네점O, A B C D E O 62ù 17ù 17ù C,D,E는한원위에있다. 오른쪽그림과같이^-CD^ 를그으면 semoOCE에서 gakCEO=62*-17*=45*이므로 gakCDO=gakCEO=45* 이때semoCDO는^-OC^ =^-OD^ 인이등변삼각형이므로 gakOCD=gakCDO=45* .t3gakCOD=180*-(45*+45*)=90* 90* 유제15
오른쪽그림과같이^-CD^ 를그으면 Q A B C D E F T 63ù 45ù P ^ PQ^ 가두원의공통인접선이므로 gakATP=gakABT=45* .t3gakDCT=gakATP=45* gakACD=gak&x라하면 gakDTC=gakACD=gak&x이므로 semoATC에서 63*+gak&x+(45*+gak&x)=180* 2gak&x=72* .t3gak&x=36* 또gakBTQ=gakBAT=63*이므로 gakTDE=gakBTQ=63* 따라서semoDTF에서 gakTFE=63*+36*=99* 99*8
전략 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180*이다. ^-AC^ 가원O의지름이므로 gakABC=gakAEC=90* gakCBD=90*-63*=27*이므로 gakCED=gakCBD=27* semoEPD에서 gakEDP=97*-27*=70* 따라서nemoABDE가원O에내접하므로 gakBAE+gakBDE=180* .t3gakBAE=180*-70*=110* 110*13
전략 크기가 같은 각을 이용하여 원에 내접하는 사각형을 찾 는다. 오른쪽그림과같이^-BE^ ,^-CD^ 를그으면 x x y y 127ù A B C D P Q E AD ^- =AE^ 이므로 gakABE=gak&x라하면 gakACD=gakABE=gak&x gakEDC=gak&y라하면 gakEBC=gakEDC=gak&y semoQDC에서 gakCQE=gakQCD+gakQDC=gak&x+gak&y=gakABC 따라서nemoPBCQ에서gakCQE=gakPBC이므로한외각의크 기는그와이웃한내각의대각의크기와같다. 즉,nemoPBCQ는원에내접하는사각형이다. .t3gakBCQ=180*-127*=53* 53*14
전략 접선과 현이 이루는 각과 크기가 같은 각을 찾는다. gakACB=gakTAB=70* semoABC에서^-AB^ =^-AC^ 이므로 gakABC=gakACB=70* .t3gakBAC=180*-2\70*=40* 40*15
전략 접선과 현이 이루는 각과 크기가 같은 각을 찾아 삼각 형의 외각의 성질을 이용한다. gakCAB=gak&x라하면 gakPCB=gakCAB=gak&x ^-AB^ =^-AC^ 이므로 gakABC=gakACB=1/2(180*-gak&x) semoPCB에서gakBPC+gakPCB=gakABC이므로 42*+gak&x=1/2(180*-gak&x) 3 / 2gak&x=48* .t3gak&x=32* .t3gakCAB=32* ⑤10
전략 ^-CF^ 를 그어 원에 내접하는 사각형의 성질을 이용한다. 오른쪽그림과같이^-CF^ 를그으면 A B C D E F 98ù P gakABF=gakACF, gakPEF=gakDCF 이므로semoPBE에서 gakPBE+gakPEF+98*=180* gakPBE+gakPEF=82* .t3gakACD=gakACF+gakDCF =gakPBE+gakPEF=82* ①11
전략 각 조건이 사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 만족시 키는지 확인한다. ①한외각의크기가그와이웃하는내각의대각의크기와같 으므로nemoABCD는원에내접한다. ③한쌍의대각의크기의합이180*이므로nemoABCD는원에 내접한다. ④^-AB^-/-^-CD^ 이고gakABC=gakBAD이면nemoABCD는등변 사다리꼴이다.등변사다리꼴의한쌍의대각의크기의합 은180*이므로nemoABCD는원에내접한다. ⑤semoABCZsemoBAD이면gakACB=gakBDA이므로 nemoABCD는원에내접한다. 따라서nemoABCD가원에내접하는조건이아닌것은②이다. ②12
전략 원에 내접하는 사각형은 마주 보는 각의 크기의 합이 180*이다. 오른쪽그림과같이^-BD^ 를그으면 115ùæ 65ùæ 65ùæ A B C D E nemoABDE가원에내접하므로 gakABD+gakAED=180* .t3gakABD=180*-gakAED =180*-115*=65* semoABC/=-semoADE이므로 semoABD는^-AB^ =^-AD^ 인이등변삼각형이다. gakADB=gakABD=65* .t3gakBAD=180*-2\65*=50* 50*9
전략 ^-AD^ 를 그어 원에 내접하는 사각형 2개를 만든다. 오른쪽그림과같이^-AD^ 를그으면 A B C D E F O x 104ù 126ù nemoABCD가원O에내접하므로 gakBAD+gakBCD=180* gakBAD=180*-104*=76* nemoADEF도원O에내접하므로 gakDAF+gakDEF=180* gakDAF=180*-126*=54* .t3gak&x=gakBAD+gakDAF =76*+54*=130* 130*17
전략 접선과 현이 이루는 각을 이용하여 gak&x, gak&y와 크기가 같은 각을 찾는다. 오른쪽그림과같이^-BD^ 를그으면 A B C D O x y l m 78ù 두직선l,m은접선이므로 gakADB=gak&x,gakABD=gak&y 따라서semoABD에서 78*+gak&y+gak&x=180* .t3gak&x+gak&y=102* ② 오른쪽그림과같이^-AC^ 를그으면 A B C D O x y l m 78ù 두직선l,m은접선이므로 gakACB=gak&x,gakACD=gak&y 따라서nemoABCD가원에내접하는사 각형이므로 gakBAD+gakBCD=180* 78*+gak&x+gak&y=180* .t3gak&x+gak&y=102*18
전략 원에 내접하는 사각형에서 접선과 현이 이루는 각의 성 질을 이용한다. 접선과현이이루는각이므로gak&x=gakBAQ=36* nemoABCD가원에내접하므로 gakCDA+gakCBA=180* .t3gakCDA=180*-gakCBA =180*-120*=60* semoDPA에서gakCDA=gakDPA+gak&y이므로 gak&y=gakCDA-gakDPA =60*-32*=28* .t3gak&x+gak&y=36*+28*=64* 64*19
전략 ^-AB^ 를 그어 접선과 현이 이루는 각과 크기가 같은 각 을 찾는다. 오른쪽그림과같이^-AB^ 를그으면 A D B C O 25ù 65ù 65ù 25ù P T gakBAC=gakCBT=25* ^-AC^ 가원O의지름이므로 gakABC=90* 따라서semoABC에서 gakACB=180*-(25*+90*)=65* AB ^ 에대한원주각이므로gakADB=gakACB=65* ^-AD^-/~^-BT^ 이므로 gakDBT=gakADB=65*`(엇각) .t3gakDBC=gakDBT-gakCBT =65*-25*=40* semoPBC에서 gakBPC=180*-(40*+65*)=75* .t3gakAPD=gakBPC=75*(맞꼭지각) 75*20
전략 반원에 대한 원주각의 크기는 90*이다. ^-AO^ 가작은반원의지름이므로gakAPO=90* .t3gakOPB=180*-(54*+90*)=36* gakPOA=gakAPQ=54* semoPOB에서 gakPOA=gakOPB+gakOBP이므로 54*=36*+gakOBP .t3gakOBP=18* 18*21
전략 ^-BC^ 을 그어 닮은 삼각형을 찾아 비례식을 세운다. 오른쪽그림과같이^-BC^ 를그으면 12 cm 9 cm A B C O P T ^-AB^ 가원O의지름이므로 gakACB=90* semoAPC와semoACB에서 gakAPC=gakACB=90* 접선과현이이루는각이므로 gakACP=gakABC .t3semoAPCZsemoACB(AA닮음)이때^-AC^ =xcm라하면^-AP^ :^-AC^ =^-AC^ :^-AB^ 이므로
9`:`x=x`:`12,x^2=108 .t3x=6rt3(.T3x>0) 따라서^-AC^ 의길이는6rt3cm이다. 6rt3cm
22
전략 접선과 현이 이루는 각과 크기가 같은 각을 찾는다. gakABC=gak&a,gakADE=gak&b라하면 접선과현이이루는각이므로 gakCAD=gakABC=gak&a gakBDE=gakADE=gak&b semoABD에서16
전략 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정비례함을 이용한다. semoPAB는^-PA^ =^-PB^ 인이등변삼각형이므로 gakPAB=gakPBA =1/2\(180*-gakAPB) =1/2\(180*-50*)=65* .t3gakBCA=gakPAB=65* AC ^ `:`~CB^- =3`:`2이므로 gakABC:gakBAC=3`:`2 semoABC에서gakABC+gakBAC+65*=180*이므로 gakABC+gakBAC=180*-65*=115* .t3gakABC=3/5\115*=69* 69*23
전략 점 B에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같음을 이용한다. semoBDE는^-BD^ =^-BE^ 인이등변삼각형이므로 gakBDE=gakBED=1/2\(180*-50*)=65* gakFEC=180*-(65*+45*)=70*이므로 gak&EDF=gakFEC=70* ③24
전략 접선 PQ와 현이 이루는 각의 크기를 이용한다. ^-PQ^ 가두원의공통인접선이므로 gakBAT=gakBTQ=gakPTC=gakCDT=43* .t3gak&y=43* gak&x=gakDTQ=180*-(43*+57*)=80* .t3gak&x-gak&y=80*-43*=37* 37*25
전략 주어진 크기가 같은 각에서 원의 성질을 확인한다. ㄱ.gakCAP=gakBCP이므로접선과현이이루는각의성질 에의하여^ BC^ 는semoAPC의외접원에접한다. ㄴ.semoABC가직각이등변삼각 형이므로gakBCA=45* 오른쪽 그림과 같이^-CD^ 를 그으면^ BC^ 가semoAPC의외 접원의접선이므로 gakADC=gakBCA=45* 즉,semoACD도직각이등변삼각형이고, ^-CD^ =^-BC^ =2이므로 ^-AD^ : ^-CD^ =1 : rt2,^-AD^ : 2=1 : rt2 .t3^-AD^-=rt2 ㄷ.gakCAD=90*이므로^-CD^ 는semoAPC의외접원의지름이 고,그길이는2이다.따라서반지름의길이는1이다. 따라서옳은것은ㄱ,ㄴ,ㄷ이다. ⑤ 2 2 A B C D P 1226
전략 반원에 대한 원주각의 크기는 90°이다. ^-AC^ ,^-CB^ 가각각원의지름이므로gakAEC=gakCFB=90° 즉,nemoDECF에서gakDEC+gakDFC=180°이므로 nemoDECF는원에내접하는사각형이다. 풀이 참조1
③2
6rt5& cm3
27/26& cm^24
61*만점 굳히기 문제
Step3
본문 69쪽1
오른쪽그림과같이^-BD^ 와^ CQ^ 의교점 A B C D 60ù Q R S P 을S라하자. ^-BD^ 가원의지름이므로 gakBCD=90* semoBCD에서 gakBDC=180*-(60*+90*)=30* CD ^ 에대한원주각이므로 gakCAD=gakCBD=60* 이때gakCPD=gakCQD=90*이므로네점P,C,D,Q는한 원위에있다.즉,nemoPCDQ는^ CD^ 를지름으로하는원에내 접하는사각형이다. PC ^ 에대한원주각이므로 gakPQC=gakPDC=30* .t3gakAQR=180*-(30*+90*)=60* 따라서semoARQ는정삼각형이므로 ^-AQ^ =^-QR^ semoABD는직각이등변삼각형이므로 ^-AD^ =8\ rt22 =4rt2 직각삼각형BCD에서^-BC^ =8\cos`60*=8\1/2=4 직각삼각형BCP에서^-BP^ =4\cos`60*=4\1/2=2 ^-PC^ =4\sin`60*=4\ rt32 =2rt3 이때gakPCQ=gakPDQ=45* 즉,semoPCS와semoSDQ는직각이등변삼각형이므로 ^-PS^ =^-PC^ =2rt3 .t3^-SD^-=8-(2+2rt3&)=6-2rt3 ^-QD^ =(6-2rt3&)\ rt22 =3rt2&-rt6 .t3^-QR^ =^-AQ^-=4rt2&-(3rt2&-rt6&)=rt2&+rt6 ③2
오른쪽그림과같이^-OD^ 를그으면 5`cm 15 cm A B C D E O gakAEC=gakODC=90*이므로 semoACEZsemoOCD(AA닮음)따라서^-AE^ `:`^-OD^ =^-AC^ `:`^-OC^ 이므로
^-AE^ `:`15/2=20`:`25/2 .t3^-AE^-=12`(cm) ^-BD^ 를그으면semoEAD와semoDAB에서 gakAED=gakADB=90&* ^-DE^ 가원O의접선이므로gakADE=gakABD .t3semoEADZsemoDAB(AA닮음)
따라서^-AE^ `:`^-AD^ =^-AD^ `:`^-AB^ 이므로
^-AD^ ~~^2=^-AE^ \^-AB^-=12\15=180
.t3^-AD^-=6rt5`(cm)(.T3^-AD^->0) 6rt5cm (40*+gak&a)+gak&a+2gak&b=180*
.t3gak&a+gak&b=70*
3
semoABD와semoBCD에서 gakADB=gakBDC=90*, 접선과현이이루는각이므로 gakBAD=gakCBD .t3semoABDZsemoBCD(AA닮음) 이때semoABD와semoBCD의닮음비는 ^-AB^ `:`^-BC^ =2`:`3이므로넓이의비는 semoABD`:`semoBCD=2^2`:`3^2=4`:`9 접선과접점을지나는반지름은수직이므로gakABC=90* .t3semoBCD=9/13semoABC=9/13\1/2\2\3=27/13`(cm^2)또^-EB^ =^-ED^ 이므로gakDBE=gakBDE
semoBCD에서gakDBC+gakDCB=90*이므로
gakCDE=90*-gakBDE=90*-gakDBE
=gakDCE
따라서^-EC^ =^-ED^ =^-EB^ 이므로
semoBED=1/2semoBCD =1/2\27/13=27/26`(cm^2) 27/26cm^2
4
오른쪽그림과같이^-PQ^ ,^-PB^ 를그으면 32ùæ x+32ùæ x x A B C H P Q ^-QB^ 는작은반원의지름이므로 gakQPB=90* gakAPQ=gak&x라하면 ^-AC^ 는작은반원의접선이므로 gakPBQ=gakAPQ=gak&x semoPAQ에서gakPQB=gak&x+32*이므로 semoPQB에서(gak&x+32*)+gak&x+90*=180* 2gak&x=58* .t3gak&x=29* semoPAB에서gakCPB=32*+29*=61* ^-BC^ 를그으면^-AB^ 는큰반원의지름이므로 gakACB=90* nemoPHBC에서gakPHB+gakPCB=180*이므로 nemoPHBC는원에내접한다. .t3gakCHB=gakCPB=61* 61*1
④2
②3
12cm4
40*5
③6
③7
225π`cm^28
③,⑤9
510
36`cm11
^(9π- 27rt34 ^)`cm^212
③13
24*14
④15
49π`cm^216
③17
70*18
819
17220
(4+2rt2&)`cm^221
③ 본문 70~72쪽대단원 평가
문제
1
오른쪽그림과같이^-AO^ ,^-DO^ 를 O6 cm 16 cm 5 cm M N D A B C 그으면 ^-DN^ =^-CN^-=1/2^-DC^ =1/2\16=8`(cm) semoDON에서 ^-DO^-=rt6^2+8^2w=10`(cm) .t3^-AO^ =^-DO^-=10cm semoAMO에서 ^-AM^-=rt10^2-5^2w=5rt3&`(cm) .t3^-AB^ =2^-AM^-=2\5rt3=10rt3(cm) ④2
원밖의한점에서원에그은접선의길 이는같으므로^-AB^ =^-AC^ 이다. 또,^-BO^ =^-CO^ `(반지름)이므로 ^-AO^ 는^-BC^ 의수직이등분선이다. semoCBE에서 gakCBE=90*-gakABC=gakBAO, ^-AB^-j ^-BO^ 이므로 semoBECZsemoABO(AA닮음)따라서^-AB^ : ^-BE^ =^-BO^ : ^-CE^ 이므로
^-BE^ ·^-BO^ =^-AB^ ·^-CE^ ②
3
^-BF^ =^-BD^ ,^-CF^ =^-CE^ ,^-AD^ =^-AE^ 이므로^-AD^-+^-AE^ =(^-AB^-+^-BD^-)+(^-AC^-+^-CE^ ) =(^-AB^-+^-BF^-)+(^-AC^-+^-CF^ ) =^-AB^-+(^-BF^-+^-CF^-)+^-AC^ =^-AB^-+^-BC^-+^-AC^ =7+8+9=24`(cm) 따라서^-AD^-+^-AE^ =2^-AD^ =24`(cm)이므로 ^-AD^-=12(cm) 12cm
4
오른쪽그림과같이^-OA^ ,^-OB^ 를그으면 gakAOB=2gakACB =2\70*=140* gakPAO=gakPBO=90*이므로 nemoAPBO에서 gakAPB+gakAOB=180* .t3gakAPB=180*-gakAOB =180*-140*=40* 40*5
①반원에대한원주각이므로gakACB=90* ②^AC- =CD^ 이므로gakABC=gakCAD ④^-OA^ =^-OD^ 이므로gakADO=gakDAOO D A B C E O P A B C 70ù
⑤호BD에대한중심각과원주각의성질에서
gakBOD=2gakBAD
따라서옳지않은것은③이다. ③
6
^-OP^ =^-OR^ 이므로^ AB^ =^ AC^즉,semoABC는^ AB^ =^ AC^ 인이등변삼각형이므로
gakACB=1/2\(180*-56*)=62* 따라서nemoROQC의내각의크기의합은360*이므로 gakROQ=360*-(90*+90*+62*)=118* ③
7
오른쪽그림과같이^-CD^ 의연장선 D A B C O 6 cm 12 cm (r-6) cm r cm 은원의중심을지나므로원의중 심을O,반지름의길이를rcm라 하면semoOBD에서 r^2=12^2+(r-6)^2,12r=180 .t3r=15 따라서처음원모양의항아리뚜껑의넓이는 π\15^2=225π(cm^2) 225πcm^28
①gakPAO=gakPBO=90*이므로nemoAPBO에서 gakAOB=180*-gakAPB=180*-60*=120* ③,④semoOAP에서gakAPO=30*,gakAOP=60*이므로^-OA^ : ^-AP^ : ^-PO^ =1 : rt3 : 2
2 : ^ AP^ =1 : rt3 .t3^ AP^ =2rt3`(cm) 2 : ^ PO^ =1 : 2 .t3^ PO^ =4`(cm) ②원밖의한점P에서원O에그은두접선의길이는같으 므로^ PB^ =^ PA^ =2rt3cm gakAPB=60*이므로semoAPB는정삼각형이다. .t3^-AB^ =^-AP^ =2rt3cm ⑤semoAPB=1/2\2rt3\2rt3\sin`60*=6\ rt3 2=3rt3&`(cm^2) 따라서옳지않은것은③,⑤이다. ③, ⑤
9
nemoABDC에서 ^-AB^-+^-CD^ =^-AC^-+^-BD^-=9+6=15 .c3.c3㉠ nemoCDFE에서 ^-CD^-+^-EF^ =^-CE^-+^-DF^-=10+10=20 .c3.c3㉡ ㉡-㉠을하면 ^-EF^ -^-AB^-=20-15=5 510
오른쪽그림과같이접점을P,Q,R, O D A S B Q C R P E 12 cm 8 cm S라하고,점A에서^-CD^ 에내린수선 의발을E라하면 nemoPBQO는정사각형이므로 ^-BP^ =^-BQ^ =^-CQ^ =^-CR^ =4cm ^-DS^ =^-DR^ =^-CD^ -^-CR^ =12-4=8(cm)^-AP^ =xcm라하면^-AS^ =^-AP^ =xcm이므로
^-DE^ =^-CD^ -^-CE^ =^-CD^ -^-AB^
=12-(x+4)=8-x(cm) semoAED에서 (x+8)^2=8^2+(8-x)^2 32x=64 .t3x=2`(.T3x>0) 따라서nemoABCD의둘레의길이는 ^-AB^-+^-BC^-+^-CD^-+^-DA^ =2(^-AB^-+^-CD^ ) =2\(6+12) =36`(cm) 36cm
11
오른쪽그림과같이^-OC^ 를그으면 O D A B C 60ù gakBOC=2gakBAC=120*이므로 (부채꼴BOC의넓이) =π\(3rt3&)^2\ 120360=9π(cm^2) ^-OC^ =^-OB^-=3rt3cm이므로 semoOBC=1/2\3rt3\3rt3\sin(180*-120*) =1/2\3rt3\3rt3\ rt32 = 27rt34 (cm^2) .t3(색칠한부분의넓이) =(부채꼴BOC의넓이)-semoOBC =9π- 27rt34 (cm^2) ^(9π- 27rt3 4 ^)cm^212
^-AB^ 가원O의지름이므로gakACB=90* ^-OM^ =^-ON^ 이므로^-AC^ =^-BC^따라서semoABC에서gakCAB=gakCBA=45*이므로 ^-AC^ : ^-AB^-=1 : rt2에서 ^-AC^ : 10=1 : rt2 .t3^-AC^-=10\ 1rt2~=5rt2&(cm) ③
13
^ AD^ 를그으면 A B D C x E x 28ù gakBAD=gakBCD=gak&x이므로 semoADE에서 gakADC=gak&x+28* ^-AC^ 를그으면 AB ^- =AC^- =CD^ 이므로 gakACB=gakADC=gakCAD=gak&x+28* 따라서semoACD에서 3(gak&x+28*)+gak&x=180* 4gak&x=96* .t3gak&x=24* 24*14
gakBAD=72*,^-AB^ =^-AD^ 이므로 D A B E 72ù gakABD=gakADB =1/2\(180*-72*)=54* nemoABDE가원에내접하므로 gakABD+gakAED=180* 54*+gakADE=180* .t3gakAED=126* ④15
nemoABCD는원O에내접하므로 120*+gakABC=180* .t3gakABC=60* 오른쪽그림과같이^-AO^ 를그으면 semoABO에서^-OA^ =^-OB^ 이므로 semoABO는정삼각형이다. .t3^-AO^ =^-BO^ =^-AB^-=7`cm.t3(원O의넓이)=π\7^2=49π`(cm^2)
49πcm^2
16
gakACB : gakBAC : gakABC=AB^ : BC^ : CA^=6 : 4 : 5 .t3gakCBT=gakBAC=6+4+5\180*=48*4 ③
17
gakPAB=gak&a,gakAPQ=gak&b라하면 semoAPC에서 (40*+gak&a)+2gak&b+gak&a=180*이므로 2gak&a+2gak&b=140* .t3gak&a+gak&b=70* semoAPQ에서 (40*+gak&a)+gak&b+gakAQP=180*이므로 110*+gakAQP=180* .t3gakAQP=70* 70*18
두원의중심을O,큰원의반지름의길 D A B M O C 이를x,작은원의반지름의길이를y 라하고,원의중심O에서^-AD^ 에내린 수선의발을M이라하면~^-OA^ =x,^-OB^ =y이고
^-AM^ =^-DM^-=1/2^-AD^-=1/2\3\2rt3&=3rt3 semoAOM에서^-OA^ ~^2=^-AM^ ~^2+^-OM^ ~^2이므로 x^2=(3rt3&)^2&+^-OM^ ~^2 .t3^-OM^ ~^2=x^2&-27 .c3.c3㉠ ^-BM^ =^-CM^-=1/2^-BC^-=1/2\2rt3=rt3 semoBOM에서^-OB^ ~^2=^-BM^ ~^2+^-OM^ ~^2이므로 O 120ù D A B C y^2=(rt3&)^2&+^-OM^ ~^2 .t3^-OM^ ~^2=y^2&-3 .c3.c3㉡ ㉠=㉡이므로 x^2&-27=y^2&-3,x^2&-y^2=24 (x+y)(x-y)=24 .c3.c3㉢ 이때두원의반지름의길이의차가3이므로 x-y=3을㉢에대입하면 (x+y)\3=24 .t3x+y=8 따라서두원의반지름의길이의합은8이다. 8
19
^-AC^ 가원의지름이므로gakABC=90* semoABC에서 ^-BC^-=rt10^2-8^2w=6 semoABC와semoBEC에서 gakABC=gakBEC=90*,gakACB는공통이므로 semoABCZsemoBEC`(AA닮음) 따라서^-BC^ : ^-EC^ =^-AC^ : ^-BC^ 에서 6 : ^-CE^-=10 : 6 .t3^-CE^-=18/5semoABC=1/2\^-AB^ \^-BC^-=1/2\^-AC^ \^-BE^ 에서 1
/
2\8\6=1/2\10\^-BE^ .t3^ BE^-=24/5
또,semoBEC=1/2\^-BE^ \^-CE^-=1/2\^-BC^ \^-EF^ 에서
1 /
2\24/5\18/5=1/2\6\^-EF^ .t3^-EF^-=72/25
semoABD에서^-AB^-/-^-GF^ 이고,^-AC^ 는현BD를수직이등분하
므로
^-AB^ : ^-GE^ =^-BD^ : ^-ED^ =2 : 1 8 : ^-GE^ =2 : 1 .t3^-GE^ =4 따라서^-FG^ =^-GE^-+^-EF^-=4+72/25=172/25이므로 l=172/25 .t325l=172 172 ^-AC^ 가원의지름이므로gakABC=90*이고,^-AC^ 는현BD를 수직이등분하므로
semoABD에서^-AB^-/-^-GF^ ,^-BE^ =^-ED^ .t3^-GE^-=1/2^-AB^ =4
semoABC에서 ^-BC^-=rt10^2-8^2w=6 gakBAC=gak&x라하면
semoABE에서sin`x= ^-BE^ ^-AB^ =3/5 .t3^-BE^-=3/5\8=24/5
또,semoBFE에서gakEBF=gakBAC=gak&x이므로
sin`x= ^-EF^ ^-BE^ =3/5 .t3^-EF^-=3/5\24/5=72/25
따라서^-FG^ =^-GE^-+^-EF^-=4+72/25=172/25이므로 l=172/25 .t325l=172
20
AD^- =DB^ =1 : 3이므로 O D A B C 4 cm gakAOD= 11+3 \180*=45* ^-CB^-/-^-DO^ 이므로 gakABC=gakAOD=45*`(동위각) 오른쪽그림과같이^-CO^ 를그으면^-BO^ =^-CO^ 이므로gakOCB=gakOBC=45*
따라서semoCOB에서 gakCOB=180*-(45*+45*)=90*이므로 ^-BO^ : ^-BC^-=1 : rt2,^-BO^ : 4=1 : rt2 .t3^-BO^-=2rt2&(cm) 이때gakDOC=45*이므로 nemoDOBC=semoDOC+semoCOB =1/2\2rt2\2rt2\sin`45*+1/2\2rt2\2rt2 =2rt2&+4`(cm^2) (4+2rt2&)`cm^2
21
다음그림과같이직선AB가원O_1과접하는점을Q라하자. O R Q OÁ Oª P A B C ㄱ.semoOAQ에서 ^-AQ^ =rt3^2-1^2w=2rt2이므로 ^-AB^ =2~^-AQ^-=2\2rt2=4rt2 ㄴ.점A에서현BC에내린수선의발을R라하면semoABC 는^-AB^ =^-AC^ 인이등변삼각형이므로^-BR^ =^-CR^ semoAQO와semoARB에서 gakOAQ는공통,gakOQA=gakBRA=90*이므로 semoAQOZsemoARB(AA닮음)따라서^-AO^ : ^-AB^ =^-OQ^ : ^-BR^ 이므로
3 : ^-AB^ =1 : ^ BR^ .t3^-AB^-=3^-BR^ 이때^-AB^ =^-AC^ ,^-BR^ =^-CR^ 이므로 본문 73~74쪽
1
⑴12cm ⑵2cm ⑶8rt3cm^22
⑴3cm ⑵^(9-9/4&π^)cm^23
⑴^-AB^ =6cm,^-DE^-=10cm ⑵13πcm^24
⑴2πcm ⑵90*5
32πcm^26
(8π-6rt3&~)`cm^27
15/28
rt2서술형
으로 끝내기
1
⑴^-OM^ =^-ON^ 이므로^-AB^ =^-AC^ 즉,semoABC는^ AB^ =^ AC^ 인이등변삼O M A N H B D E C 30ù 각형이므로오른쪽그림과같이점A 에서^ BC^ 에내린수선의발을H라하 면semoABH에서 ^ BH^ =^ AB^ `cos`30* =4rt3\ rt32 =6`(cm) .t3^-BC^ =2~^-BH^-=12`(cm) .c3.c3❶ ⑵semoABH에서
^-AH^ =^-AB^ `sin`30
=4rt3\1/2=2rt3`(cm) ^ OM^ j ^ AB^ 이므로 ^-MB^-=1/2&^-AB^-=1/2\4rt3=2rt3&`(cm) .c3.c3❷ semoABH와semoDBM에서 ^-AC^ : ^-CB^-=3 : 2 따라서semoACP와semoCBP에서 gakBPC는공통,gakCAP=gakBCP이므로 semoACPZsemoCBP(AA닮음) .t3^-AP^ : ^-CP^ =^-AC^ : ^-CB^-=3 : 2 ㄷ.^-BP^ =x라하면 ^-AP^ =^-AB^-+^-BP^-=4rt2&+x`(.T3ㄱ) 이때semoACPZsemoCBP이므로 ^-CP^ : ^-BP^ =^-AC^ : ^-CB^ =3 : 2(.T3ㄴ) ^-CP^ : x=3 : 2에서^-CP^ =3/2&x ㄴ에서^-AP^ : ^-CP^ =3 : 2이므로 (4rt2&+x) : 3/2&x=3 : 2
2(4rt2&+x)=9/2&x,5/2&x=8rt2
.t3^-BP^ =x= 16rt25
4
⑴오른쪽그림과같이^-AD^ 를 O D A B C E P 6 cm 30ù 그으면^-DE^ 가원O의접선이므로 gakDAB=gakBDE=30* ^-OD^ 를그으면^-OA^ =^-OD^ 이므로gakAOD=180*-(30*+30*)=120* .c3.c3❶ .t3AD^- =2π\3\ 120 360 =2π`(cm) .c3.c3❷ ⑵gakACD=gakABD=1/2gakAOD =1/2\120*=60* .c3.c3❸ ^-AC^-/-^-DE^ 이므로gakCDE=gakACD=60*(엇각) .t3gakPDB=60*-30*=30* .t3gak&APC=gakDPB =180*-(60*+30*)=90* .c3.c3❹ ⑴ 2πcm ⑵ 90* gakAHB=gakDMB,gakABH는공통이므로 semoABHZsemoDBM`(AA닮음) 따라서^-BH^ : ^-BM^ =^-AH^ : ^-DM^ 이므로 6 : 2rt3=2rt3 : ^ DM^ .t3^ DM^ =2`(cm) .c3.c3❸ ⑶(오각형AMDEN의넓이) =semoABC-2semoDMB =1/2\12\2rt3&-2\1/2\2rt3\2 =12rt3&-4rt3=8rt3`(cm^2) .c3.c3❹ ⑴ 12cm ⑵ 2cm ⑶ 8rt3cm^2 채점 기준 배점 ❶ ^-BC^ 의 길이 구하기 20% ❷ ^-AH^ , ^-MB^ 의 길이 구하기 20% ❸ ^-DM^ 의 길이 구하기 30% ❹ 오각형 AMDEN의 넓이 구하기 30%
2
⑴원O의반지름의길이를xcm 라하면^-CE^ =^-CF^ =xcm, ^-AF^ =^-AD^ =6cm, ^-BD^ =^-BE^ =9cm이므로 ^-AB^-=6+9=15`(cm), ^-BC^-=(9+x)cm, ^-CA^-=(6+x)cm .c3.c3❶ semoABC에서 15^2=(9+x)^2+(6+x)^2 x^2+15x-54=0,(x+18)(x-3)=0 .t3x=3`(.T3x>0) 따라서원O의반지름의길이는3cm이다. .c3.c3❷ ⑵gakEOF=90*이므로 (부채꼴EOF의넓이)=(원O의넓이)\1/4 =π\3^2\1/4 =9/4&π`(cm^2) .c3.c3❸ 따라서색칠한부분의넓이는 nemoOECF-(부채꼴EOF의넓이) =9-9/4&π`(cm^2) .c3.c3❹ ⑴ 3cm ⑵ ^(9-9/4&π^)cm^2 채점 기준 배점 ❶ ^-BC^ , ^-CA^ 의 길이를 반지름의 길이로 나타내기 20% ❷ 반지름의 길이 구하기 30% ❸ 부채꼴 EOF의 넓이 구하기 20% ❹ 색칠한 부분의 넓이 구하기 30% D O A B C F E 6 cm x cm x cm 9 cm3
⑴원O의반지름의길이를Rcm라하면 nemoABED에서^-AD^-+^-BE^ =^-AB^-+^-DE^ 이므로 12+4=2R+^-DE^ .t3^-DE^-=16-2R`(cm) semoECD에서 (16-2R)^2=(2R)^2+8^2 64R=192 .t3R=3 .c3.c3❶ .t3^-AB^-=2\3=6`(cm), ^-DE^-=16-2\3=10`(cm) .c3.c3❷ ⑵오른쪽그림과같이semoECD 와원O'의세접점을F,G, H라하고,원O'의반지름의 길이를rcm라하면 ^-CG^ =^-CH^ =rcm, ^-DF^ =^-DH^ =6-r`(cm), ^-EF^ =^-EG^ =8-r`(cm) 이때^-DE^ =^-DF^-+^-EF^ 이므로 10=(6-r)+(8-r) .t3r=2 .c3.c3❸ 따라서두원O,O'의넓이의합은 π\3^2+π\2^2=13π`(cm^2) .c3.c3❹ ⑴ ^-AB^ =6cm,^-DE^-=10cm ⑵ 13πcm^2 채점 기준 배점 ❶ 원 O의 반지름의 길이 구하기 30% ❷ ^-AB^ , ^-DE^ 의 길이 구하기 20% ❸ 원 O'의 반지름의 길이 구하기 30% ❹ 두 원 O, O'의 넓이의 합 구하기 20% O O' 12 cm 8 cm D A B E C G H F5
오른쪽그림과같이원의중심O O 216` cm r` cm A C H B r`cm 1 2 에서^-AB^ 에수선을그어^-AB^ 와 만나는점을H,원O의반지름 의길이를rcm라하면 ^-AH^ =^-BH^-=1/2&^-AB^ =1/2\4rt6=2rt6&`(cm) ^-OH^ =^-CH^-=1/2&rcm이므로 .c3.c3❶ semoOBH에서 r^2=^(r/2^)^^2+(2rt6&)^2,3/4&r^2=24 r^2=32 .t3r=4rt2&`(.T3r>0) .c3.c3❷ 따라서원O의반지름의길이는4rt2cm이므로넓이는 π\(4rt2&)^2=32π`(cm^2) .c3.c3❸ 32πcm^2 채점 기준 배점 ❶ ^-BH^ , ^-OH^ 의 길이 구하기 40% ❷ 반지름의 길이 구하기 30% ❸ 원의 넓이 구하기 30% 채점 기준 배점 ❶ AD^ 에 대한 중심각의 크기 구하기 30% ❷ AD^ 의 길이 구하기 20% ❸ gakACD의 크기 구하기 20% ❹ gakAPC의 크기 구하기 30%7
두현AC와BD의교점을P라하면네점A,B,C,D가한 원위에있으므로 semoAPB와semoDPC에서 gakBAP=gakCDP,gakABP=gakDCP이므로 semoAPBZsemoDPC`(AA닮음) .t3^-PA^ : ^-PD^ =^-AB^ : ^-DC^-=12 : 9=4 : 3 .c3.c3㉠ .c3.c3❶ 또,semoAPD와semoBPC에서 gakPAD=gakPBC,gakADP=gakBCP이므로 semoAPDZsemoBPC`(AA닮음).t3^-AD^ : ^ BC^ =^-PA^ : ^-PB^ =^-PA^ : ^-PD^ =4 : 3`(.T3㉠).c3.c3❷
따라서10 : ^-BC^ =4 : 3이므로 ^-BC^-=15/2 .c3.c3❸ 15/2 채점 기준 배점 ❶ semoAPBZsemoDPC임을 설명하고 ^-PA^ : ^-PD^ 구하기 40% ❷ semoAPDZsemoBPC임을 설명하고 ^-AD^ : ^-BC^ 구하기 40% ❸ ^-BC^ 의 길이 구하기 20%
8
오른쪽그림과같이^ BT^ 를그으면 O T C 3 cm 9 cm x A B semoABT와semoATC에서 ^-AB^ 가원O의지름이므로 gakATB=gakACT=90*, gakABT=gakATC .t3semoABTZsemoATC`(AA닮음) .c3.c3❶따라서^-AB^ : ^ AT^ =^-AT^ : ^-AC^ 에서
9 : ^-AT^ =^-AT^ : 3,^-AT^ ~^2=27
.t3^ AT^-=3rt3(cm)(.T3^-AT^->0) .c3.c3❷ 따라서semoACT에서 ^-CT^ =3(3rt3&)^2-c3^2e=3rt2&`(cm) .c3.c3❸ .t3tan`x= ^-CT^ ^-AC^ = 3rt23 =rt2 .c3.c3❹ rt2 채점 기준 배점 ❶ semoABTZsemoATC임을 설명하기 30% ❷ ^-AT^ 의 길이 구하기 20% ❸ ^-CT^ 의 길이 구하기 20% ❹ tan`x의 값 구하기 30%
6
^-AC^ 가원의지름이므로gakABC=90* 오른쪽그림과같이원의중심을O라하면 gakAOB=2gakACB =2\60*=120*.c3.c3❶ semoABC에서^ AC^ = ^-AB^ sin`60* =6rt2\rt3 =4rt6`(cm)2 이므로
^-OA^ =^-OB^-=1/2^-AC^-=2rt6(cm) .c3.c3❷
따라서구하는넓이는 (부채꼴AOB의넓이)-semoOAB =π\(2rt6&)^2\120/360-1/2\2rt6\2rt6\sin`(180*-120*) =π\(2rt6&)^2\1/3-1/2\2rt6\2rt6\ rt32 =8π-6rt3(cm^2) .c3.c3❸ (8π-6rt3&~)`cm^2 612` cm 60ù A B O C 채점 기준 배점 ❶ 호 AB의 중심각의 크기 구하기 30% ❷ 원의 반지름의 길이 구하기 30% ❸ 현 AB와 호 AB로 둘러싸인 활꼴의 넓이 구하기 40%
Ⅲ. 대푯값과 산포도
6
대푯값과 산포도
1
평균:18권,중앙값:18권,최빈값:17권2
④3
254
①5
분산:10,표준편차:rt106
②7
③꼭
나오는대표 빈출
로 핵심 확인 본문 77 쪽1
(평균) = 3+8+10+15+17+17+19+21+24+25+26+3112 =216/12=18(권) 자료의변량은12개이므로중앙값은크기순으로나열할때 6번째와7번째에오는두값의평균이다. .t3(중앙값)= 17+192 =18(권) 변량중17권이두번으로가장많이나타나므로최빈값은17권 이다. 평균: 18권, 중앙값: 18권, 최빈값: 17권2
④자료에극단적인값100이있으므로평균을대푯값으로사 용하기에적절하지않다. ④3
x의값에관계없이20분이가장많이나타나므로최빈값은 20분이고평균도20분이다. .t3(평균)= 15+20+x+30+10+20+207 = 115+x7 =20(분) 115+x=140 .t3x=25 254
학생B의수학성적의편차를x점이라하면편차의총합은0 이므로 4+x+(-3)+5+(-2)=0 .t3x=-4 따라서학생B의점수는 -4+74=70(점) ①5
편차의총합은0이므로 -3+5+(-1)+(-4)+x+3=0 .t3x=0 .t3(분산)= (-3)^2+5^2+(-1)^2+(-4)^2+0^2+3^26 =60/6=10 .t3(표준편차)=rt10 분산: 10, 표준편차: rt106
5개의변량5,10,x,y,8에대하여 평균이6이므로 5+10+x+y+8 5 =6 x+y+23=30 .t3x+y=7 분산이4이므로 (-1)^2+4^2+(x-6)^2+(y-6)^2+2^2 5 =4 x^2+y^2-12(x+y)+93=20 x^2+y^2-12\7+93=20 .t3x^2+y^2=11 ②7
B반의평균이가장높으므로성적이가장우수한반은B반이 고,C반의표준편차가가장작으므로성적이가장고른반은 C반이다. ③ 1 대표문제 a=7,b=7,c=13 유제1 15 유제2 4 유제3 39 2 대표문제 84 유제4 -4 유제5 28 유제6 210 3 대표문제 평균:3m+3,표준편차:3s 유제7 평균:11,표준편차:9 유제8 5rt2 유제9 19 4 대표문제 rt26점 유제10 2rt3초 유제11 rt6점 유제12 rt3.5a 5 대표문제 연아 유제13 A 유제14 도마 유제15 a<c<b 6 대표문제 D반,B반 유제16 B반유제17 ㄷ 유제18 A건전지 이 단원에서 뽑은고득점 준비 문제
Step1
본문 78 ~ 83 쪽1
대표 문제 평균이7이므로 5+a+3+b+c 5 = 8+a+b+c5 =7 .t3a+b+c=27 최빈값이7이므로a,b,c의값중2개는7이고나머지한개 는27-(7+7)=13이다. 그런데a≤b≤c이므로a=7,b=7,c=13 a=7, b=7, c=13 유제1
3,4,a,b,7의중앙값이6이므로작은값부터크기순으로나 열할때3번째수가6이어야한다. 그런데a<b이므로a=6 7,a,b,11에서a=6이고,중앙값이8이므로작은값부터크 기순으로나열하면6,7,b,11이어야한다. 즉, 7+b 2 =8이므로b=9 .t3a+b=6+9=15 15유제
2
(평균)= 4+(-6)+x+10+12+(-8)+y 7 =2 .t3x+y=2 .c3.c3㉠ 이때x<y이고최빈값이4이면서㉠을만족시켜야하므로 y=4 .t3x=-2 따라서7개의변량을작은값부터크기순으로나열하면 -8,-6,-2,4,4,10,12 이므로중앙값은4이다. 4 유제3
5개의변량의평균은 11+9+17+15+x 5 = 52+x5 x를제외한4개의변량을작은값부터크기순으로나열하면 9,11,15,17이므로중앙값은 x≤11일때11,11<x<15일때x,x≥15일때15이다. r1 parx≤11일때, 52+x 5 =11이므로52+x=55 .t3x=3 r2 par11<x<15일때, 52+x 5 =x이므로52+x=5x .t3x=13 r3 parx≥15일때, 52+x 5 =15이므로52+x=75 .t3x=23 r1 par~r3par에의하여x의값은3,13,23이므로그합은 3+13+23=39 392
대표 문제 변량8,6,x,y,9에대하여 평균이7이므로 8+6+x+y+9 5 =7 .t3x+y=12 표준편차가2,즉분산이2^2=4이므로 (8-7)^2+(6-7)^2+(x-7)^2+(y-7)^2+(9-7)^2 5 =4 x^2+y^2-14(x+y)+104=20 x^2+y^2-14\12+104=20 .t3x^2+y^2=84 84 유제4
편차의총합은0이므로 1+(-4)+2+x+y=0 .t3x+y=1 분산이6이므로 1^2+(-4)^2+2^2+x^2+y^2 5 =6 21+x^2+y^2=30 .t3x^2+y^2=9 (x+y)^2=x^2+y^2+2xy에서 1^2=9+2xy,2xy=-8 .t3xy=-4 -4 유제5
3개의변량a,b,c에대하여 평균이5이므로 a+b+c 3 =5 .t3a+b+c=15 분산이3이므로 (a-5)^2+(b-5)^2+(c-5)^2 3 =3 a^2+b^2+c^2-10(a+b+c)+75=9 a^2+b^2+c^2-10\15+75=9 .t3a^2+b^2+c^2=84 따라서a^2,b^2,c^2의평균은 a^2+b^2+c^2 3 =84/3=28 28 유제6
4개의변량a,b,c,d에대하여 평균이10이므로 a+b+c+d 4 =10 .t3a+b+c+d=40 분산이5이므로 (a-10)^2+(b-10)^2+(c-10)^2+(d-10)^2 4 =5 a^2+b^2+c^2+d^2-20(a+b+c+d)+400=20 a^2+b^2+c^2+d^2-20\40+400=20 .t3a^2+b^2+c^2+d^2=420 따라서2a^2,2b^2,2c^2,2d^2의평균은 2a^2+2b^2+2c^2+2d^2 4 = 2(a^2+b^2+c^2+d^2)4 = 2\4204 =210 2103
대표 문제 변량a,b,c,d의평균은a+b+c+d 4 =m이므로 a+b+c+d=4m 따라서변량3a+3,3b+3,3c+3,3d+3의평균은 (3a+3)+(3b+3)+(3c+3)+(3d+3) 4 = 3(a+b+c+d)+3\44 =3\ a+b+c+d4 +3 =3m+3 또한,변량a,b,c,d의분산은 (a-m)^2&+(b-m)^2&+(c-m)^2&+(d-m)^2 4 =s^2이므로 (a-m)^2+(b-m)^2+(c-m)^2+(d-m)^2=4s^2 따라서변량3a+3,3b+3,3c+3,3d+3의분산은 (3a-3m)^2&+(3b-3m)^2&+(3c-3m)^2&+(3d-3m)^2 4 = 9{(a-m)^2&+(b-m)^2&+(c-m)^2&+(d-m)^2}4 = 9\4s^24 =9s^2 이므로표준편차는rt9s^2w=3s 평균: 3m+3, 표준편차: 3s유제
7
변량a,b,c에대하여평균이4이므로 a+b+c 3 =4 .t3a+b+c=12 분산은3^2=9이므로 (a-4)^2&+(b-4)^2&+(c-4)^2 3 =9 따라서변량3a-1,3b-1,3c-1에대하여 (평균)= (3a-1)+(3b-1)+(3c-1) 3 = 3(a+b+c)-33 = 3\12-33 =11 (분산)= (3a-12)^2&+(3b-12)^2&+(3c-12)^2 3 = 9{(a-4)^2&+(b-4)^2&+(c-4)^2}3 =9\9=81 이므로표준편차는rt81=9 평균: 11, 표준편차: 9 유제8
변량a,b,c에대하여 평균이10이므로 a+b+c 3 =10 .t3a+b+c=30 분산은(rt2&~)^2=2이므로 (a-10)^2+(b-10)^2+(c-10)^2 3 =2 따라서변량4a,4b,4c에대하여 (평균)= 4a+4b+4c3 = 4(a+b+c)3 =40 (분산)= (4a-40)^2+(4b-40)^2+(4c-40)^2 3 = 16{(a-10)^2+(b-10)^2+(c-10)^2}3 =16\2=32 이므로표준편차는rt32=4rt2 따라서m=40,n=4rt2이므로 m n =4rt2=5rt240 5rt2 유제9
변량a,b,c,d에대하여 평균이6이므로 a+b+c+d 4 =6 .t3a+b+c+d=24 분산은2^2=4이므로 (a-6)^2+(b-6)^2+(c-6)^2+(d-6)^2 4 =4 따라서변량2a+3,2b+3,2c+3,2d+3에대하여 (평균)= (2a+3)+(2b+3)+(2c+3)+(2d+3) 4 = 2(a+b+c+d)+124 = 2\24+124 =60/4=15 (분산) = (2a-12)^2+(2b-12)^2+(2c-12)^2+(2d-12)^24 = 4{(a-6)^2+(b-6)^2+(c-6)^2+(d-6)^2}4 =4\4=16 이므로표준편차는rt16=4 따라서구하는평균과표준편차의합은 15+4=19 194
대표 문제 남학생20명의점수의(편차)^2의합은 20\6^2=720 여학생10명의점수의(편차)^2의합은 10\(rt6&)^2=60 남학생과여학생의수학시험점수의평균이같으므로전체 학생의점수의분산은 720+60 20+10 =780/30=26 .t3(전체의표준편차)=rt26~~(점) rt26점 유제10
A반학생25명의기록의(편차)^2의합은 25\4^2=400 B반학생20명의기록의(편차)^2의합은 20\(rt7&~)^2=140 A,B두반의기록의평균이같으므로전체학생의달리기 기록의분산은 400+140 25+20 =540/45=12 .t3(전체의표준편차)=rt12=2rt3~~(초) 2rt3초 유제11
남학생4명의점수의(편차)^2의합은4\3=12 여학생6명의점수의(편차)^2의합은6\8=48 남학생과여학생의과학시험점수의평균이같으므로전체 학생의점수의분산은 12+48 4+6 =60/10=6 .t3(전체의표준편차)=rt6&~(점) rt6점 유제12
변량a,b에대하여 평균이5이므로 a+b 2 =5 .t3a+b=10 분산이2^2=4이므로 (a-5)^2+(b-5)^2 2 =4.t3a^2+b^2-10(a+b)+50=8 a^2+b^2-10\10+50=8 .t3a^2+b^2=58 변량c,d에대하여 평균이3이므로 c+d2 =3 .t3c+d=6 분산이1^2=1이므로 (c-3)^2+(d-3)^2 2 =1 .t3c^2+d^2-6(c+d)+18=2 c^2+d^2-6\6+18=2 .t3c^2+d^2=20 따라서4개의변량a,b,c,d에대하여 (평균)= a+b+c+d 4 = 10+64 =4 (분산)= (a-4)^2+(b-4)^2+(c-4)^2+(d-4)^2 4 = a^2+b^2+c^2+d^2-8(a+b+c+d)+644 = 58+20-8\(10+6)+644 =14/4=3.5 .t3(표준편차)=rt3.5a rt3.5a
