1-2중간고사
수학의정상M A T H P E A K
1. 1)다음 학생 중 옳지 않은 설명을 한 학생을 모두 고르면? [점] 상윤 : 공집합은 원소가 하나도 없으니까 ∅ 이야. 해영 : 은 집합의 원소가 이니까 이야. 태호 : 지은 : 과 은 원소의 순서가 다르기 때문에 서로 다른 집합이야. 수지 : 전체집합이 실수 전체의 집합일 때, 는 유리수 의 여집합은 는 무리수 인 것을 알 수 있어. ➀ 상윤 ➁ 해영 ➂ 태호 ➃ 지은 ➄ 수지 2. 2)두 함수 에 대하여 ∘ 일 때, 상수 의 값은? [점] ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ 3. 3)실수 전체에서 정의된 두 함수 ≥ 에 대하여
∘ ∘
∘
의 값은? [점] ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ 4. 4)다음은 절대부등식을 증명하는 과정이다. 좌표평면에서 원점 O 와 직선 에 대해서 원점 O 에서 직선 에 내린 수선의 발을 H 라고 하고 직선 위의 임의의 점을 P
라고 하자. 그러면 O H
이고 O P ≥ O H 이므로
≥ 가 이다. 부등식의 양변에 있는 식이 모두 보다 크거나 같으 므로 양변을 제곱하여 정리하면 나 이다. 이때 등호가 성립하는 경우는 점 P 가 점 H 와 같을 때, 즉 O P 가 에 수직일 때 이다. 따라서 다 일 때 등호가 성립한다. [ 증 명 ] 위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [점] (가) (나) (다) ➀
≥
➁
≥
➂
≥
➃
≥
➄
≥
5. 5)두 집합 A 는 의 양의 약수 B 는 이하의 소수 에 대하여 A∩B⊂ X ⊂ B 를 만족시키는 집합 X 의 개수를 구하시오. [점] 6. 6) 가 실수일 때, 명제 ‘ 이면 또는 이다.’의 역과 대우를 말하고, 그것의 참, 거짓을 각각 증명 없이 판별하시오. [점] 7. 7)이 자연수일 때, 다음 명제가 참임을 증명하시오. [점] 이 의 배수이면 도 의 배수이다. 8. 8) 와 에 대하여 함수 의 정의역이 ≤ ≤ 일 때, 함수 ∘ 의 최솟값을 구하시오. [점] 9. 9)실수 전체의 집합 R 의 두 부분집합 A
B
≤
가 다음의 (가), (나)를 모두 만족시킬 때, 의 값을 각각 구하시오. (단, 는 상수이다.) [점] (가) A∪B R (나) A∩B ≤ 10. 10)두 집합 A B 가 A
B 일 때, A B∪B A 이다. 집합 A 의 모든 원소의 합을 라고 할 때, 의 값을 각각 구하시오. (단, 는 상수이다.) [점]11. 11) 가 실수일 때, 부등식 ≥ 가 성립함을 증명하시오. [점] 12. 12)전체집합 U 의 두 부분집합 A B 에 대하여 두 조건 가 다음과 같다. 는 집합 A 의 원소 중 가장 작은 원소이다. 는 집합 B 의 원소 중 가장 큰 원소이다. 가 이기 위한 충분조건이고 A 일 때, 집합 B 의 원소의 합의 최댓값을 구하시오. (단, A B 는 공집합이 아니다.) [점] 13. 13)자연수 에 대하여 함수 을 다음과 같이 정의하자. 은 을 로 계속 나누었을 때, 더 이상 나누어떨어지지 않는 최초의 자연수 예를 들어 이다. 다음 물음에 답하시오. [총 점] (1) 의 값을 구하시오. [점] (2) 함수 의 정의역이 는 이하의 자연수 일 때, 치역을 구하시오. (원소나열법, 조건제시법 중 한 가지 방 법으로 작성하시오.) (3) 자연수 에 대하여 함수 의 정의역이 는 이하의 자연수 일 때, 치역의 원소의 개수가 개가 되는 모든 의 값의 합을 구하시오. [점] 14. 14)양의 정수 에 대하여 함수 ≥ 의 역함수가 존재하도록 하는 상수 의 값을 모두 구하시오. [점] 15. 15)다음 명제가 참임을 귀류법을 이용하여 증명하시오. [점]
은 유리수가 아니다. 16. 16)자연수 의 양의 약수의 집합을 A 로 나타낼 때, 다음 물음에 답하시오. [총 점] (1) A∪A의 원소의 개수를 구하시오. [점] (2) A∩
A∪A
의 원소의 개수를 구하시오. [점]17. 17)원 위의 점 A 에서 그은 접선을 이라고 하자. 접선 위의 임의의 점 B 에 대해 의 최댓값을 구하시오. (단, 점 A 는 제 사분면 위의 점이다.) [점] 18. 18)전체집합 U 는 이하의 자연수 의 두 부분집 합 A B 에 대하여 정의역이 A 이고 공역이 B 인 두 함수 가 각각 다음과 같다. 를 만족시키는 집합 A 의 개수를 구하시오. (단, A 는 공집합이 아니다.) [점] 19. 19)집합 X ≤ ≤ 에 대하여 X 에서 X 로의 함수 의 그래프가 다음 그림과 같고
∘
(은 자연수)로 정의할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 점] (1) 의 값을 구하시오. [점] (2) 의 값을 구하시오. [점] 20. 20)함수 의 역함수를 라고 할 때,
의 역함수는
이다. 상수 를 각각 구하시오. (단, 는 상수이다.) [점]정답 (상문고) 1) ➁, ➃ 2) ➀ 3) ➂ 4) ➃ 5) 개 6) 역 : 또는 이면 이다. (거짓) 대우 : ≤ 이고 ≤ 이면 ≤ 이다. (참) 7) 이 의 배수가 아니면 또는 (는 자연수)로 나타낼 수 있다. (ⅰ) 일 때
