유형`01. 지수
01
12
27;3!;=(3‹ );3!;=33_;3!;=3⁄ =313
2_16;4!;=2_(2› );4!;=2_2=414
16_2-3 =2› _2-3 =24+(-3) =2⁄ =215
8_2—¤ =2‹ _2—¤ =23+(-2) =2⁄ =216
3_27;3!;=3_(3‹ );3!;=3_3=917
2¤ _8;3!;=2¤ _(2‹ );3!;=2¤ _2=818
2—⁄ _16;2!;=2—⁄ _(2› );2!;=2—⁄ _2¤ =219
2‚ _9;2!;=1_(3¤ );2!;=1_3=320
5‚ _25;2!;=1_(5¤ );2!;=521
3;3@;_3;3!;=3;3@;+;3!;=322
8;3@;_9;2!;=(2‹ );3@;_(3¤ );2!;=2¤ _3=1223
3‹ ÷81;2!;=3‹ ÷(3› );2!;=3‹ ÷34_;2!; 3‹ ÷81;2!;=3‹ ÷3¤ =33-2=324
8;3!;+27;3@;=(2‹ );3!;+(3‹ );3@;=2+3¤ =1125
5_16;2!;=5_(2› );2!;=5_2¤ =2026
4_9;2#;=4_(3¤ );2#;=4_3‹ =10827
9;2!;_8;3!;=(3¤ );2!;_(2‹ );3!;=3_2=628
3¤ _9;2!;=3¤ _(3¤ );2!;=3¤ _3=2729
8‚ _4;2!;=1_(2¤ );2!;=1_2=201
④02
④03
②04
④05
②06
②07
④08
③09
1510
③11
④0
1
01
16‹ =(2› )‹ =2⁄ ¤ ∴ a=1202
3‚ =1 [참고] 0이 아닌 실수 a에 대하여 a‚ =103
8;3!; =(2‹ );3!;=23_;3!;=2⁄ =204
3—¤ =(3—⁄ )¤ ={;3!;}2 =;9!;05
2fi _2—¤ =25+(-2) =2‹ =806
3;3@;_3-;2%; =3;3@;+{-;2%; }=3-:¡6¡: ∴ a=-:¡6¡:07
afl ÷a¤ =afl —¤ =a›08
2fi ÷2‹ =2fi —‹ =2¤ =409
5_9;2!;=5_(3¤ );2!; =5_3=1510
3—⁄ _9=3—⁄ _3¤ =3—⁄ ±¤ =311
'8="ç2‹ =2;2#; ∴ k=;2#; 본문009`~`010쪽12
①13
②14
②15
②16
③17
④18
②19
③20
⑤21
③22
①23
③24
④ 본문010`~`012쪽25
③26
10827
②28
③29
①30
①31
④32
②33
③ 본문012`~`013쪽지수
30
4;2%;_2—‹ =(2¤ );2%;_2—‹ =2fi _2—‹ 4;2%;_2—‹=25+(-3)=2¤ =431
4‹ ÷16;2!;=(2¤ )‹ ÷(2› );2!;=2fl ÷2¤ =2fl —¤ =2› =1632
‹ '4_8-;9%;=(2¤ );3!;_(2‹ )-;9%;=2;3@;_2-;3%; =;2!;33
6;3$;_2;3%;_3-;3!;=(2_3);3$;_2;3%;_3-;3!; 6;3$;_2;3%;_3-;3!;=2;3$;_3;3$;_2;3%;_3-;3!; 6;3$;_2;3%;_3-;3!;=2;3$;+;3%;_3;3$;-;3!;=2‹ _3⁄ =2401
log™ 2+log£ 3¤ =1+2=302
log£ 1+log£ 3=0+1=103
log™ 8+log£ 9=log™ 2‹ +log£ 3¤ =3+2=504
log¢ 3+log¢ ;3$;=log¢ {3_;3$;}=log¢ 4=105
log£ 4+2 log£ ;2#;=log£ 4+log£ {;2#;}2 =log£ {4_;4(;} =log£ 9=log£ 3¤ =206
log¢ 128-log¢ 2=log¢1282 =log¢ 64=log¢ 4‹ =307
log• 2+log• 4=log• (2_4)=log• 8=108
log¡∞ 3+log¡∞ 5=log¡∞ (3_5)=log¡∞ 15=109
log£ ;2(;+log£ 6=log£ {;2(;_6}log£ ;2(;+log£ 6=log£ 3‹
log£ ;2(;+log£ 6=3 log£ 3
log£ ;2(;+log£ 6=3
10
log£ 4+log£ ;4#;=log£ {4_;4#;}=log£ 3=111
log™ 3+log™ ;3$;=log™ {3_;3$;}=log™ 4=log™ 2¤ =212
log£ 6-log£ 2=log£ ;2^;=log£ 3=113
log™ 40-log™ 5=log™ :¢5º:=log™ 8=log™ 2‹ =314
log™ 6-log™ ;2#;=log™ =log™ 4=log™ 2¤ =215
log∞ 2+log∞ :™2∞:=log∞ {2_:™2∞:}=log∞ 5¤ =216
log™ 24+log™ ;3@;=log™ {24_;3@;}=log™ 2› =417
log£ 72+log£ ;8(;=log£ {72_;8(;}=log£ 9¤ =log£ 3› =418
log∞ 45+2 log∞ ;3%;=log∞ 45+log∞ {;3%;}2 =log∞ {45_:™9∞:}=log∞ 5‹ =3
19
log™ 6-log™ ;4#;=log™ {6_;3$;}=log™ 8=log™ 2‹ =320
2log™ 6-log™ 9=log™ 6¤ -log™ 92log™ 6-log™ 9=log™ :£9§:=log™ 4=2
21
log™ 12-log™ ;4#;+log™ 4=log™ {12_;3$;_4} =log™ 4‹ =log™ 2fl =6 6 3 201
③02
②03
③04
①05
②06
③0
2
본문015쪽로그
07
①08
①09
310
①11
②12
①13
③14
⑤ 본문016쪽15
②16
④17
④18
③19
③20
②21
6 본문017쪽유형`03. 로그의 성질 응용
03
01
=log™ 8=302
log£ 2= , logª 2= 이므로 =log£ 2_ = _log™ 9 = =log£ 9=203
log£ 8=log£ 2‹ =3 log£ 2=3a04
3log£ 9 +4log™ 3 =3log£ 9 +22 log™ 3 3log£ 9 +4log™ 3 `=3log£ 9 +2log™ 9 3log£ 9 +4log™ 3 `=9+9=1805
logå 3=2에서 log£ a=;2!;,log∫ 3=6에서 log£ b=;6!;이므로
log∫ a= = =3
06
log£ a= =3 log£ 2=log£ 2‹ =log£ 8 ∴ `a=807
a=log™ ('2-1)에서 2a ='2-1 4a =(2¤ )a =(2a )¤ =('2-1)¤ =3-2'208
log;2!;2+log¶ ;7!;=-log™2-log¶7=-1-1=-23 log™ 3 ;2!; ;6!; log£ a log£ b log™ 9 log™ 3 1 log™ 3 1 logª 2 log£ 2 logª 2 1 log™ 9 1 log™ 3 log£ 8 log£ 2
09
log™ 9_log£ '2 =log™ 3¤ _log£ 2;2!;log™ 9_log£ '2=2_;2!;_log™ 3_log£ 2=1
10
a;2!;=8 이므로 a=8¤ =(2‹ )¤ =23_2 =2fl ∴ `log™ a=log™ 2fl =611
a=log™(2+'3)에서 2å =2+'3 4å =(2å )¤ =(2+'3)¤ =7+4'3 ∴ 4å + =7+4'3+ ∴ 4å + =7+4'3+4(2-'3)=1512
log'3x=4에서 2 log£ x=4 ∴ log£ x=2∴ logxy= =;2^;=3
13
log™ 5= 이므로 log∞ 2= ∴ log∞ 12=log∞ (2¤ _3)∴ log∞ 12=log∞ 2¤ +log∞ 3
∴ log∞ 12=2 log∞ 2+log∞ 3
∴ log∞ 12=;a@;+b
14
log'3a=2 log£ a=4 logª a=logª a›이므로logª a› =logª ab에서
a› =ab
a(a‹ -b)=0에서 b=a‹ (∵ a+0) 따라서 logå b=logå a‹ =3
15
ab=log£ 5, b-a=log™ 5 이므로 - = = - = = =log™ 316
ba =(2'2)log™ 10 =10log™ 2'2=10;2#; ∴ a log b=log ba =log 10;2#; =;2#;17
logå c：log∫ c=2：1에서 logå c=2 log∫ c logå c=2_ logå b=2(∵ logå c+0) 또 log∫ a= =;2!;∴ logå b+log∫ a=2+;2!;=;2%;
18
ab=27에서 log£ ab=log£ a+log£ b=3 ∴ log£ a+log£ b=3 yy`㉠ 1 logå b logå c logå b log 3 log 2 log 5 2223333log 2 log 5 333333333log 3 log™ 5 log£ 5 b-a ab 1 b 1 a 1 a 1 log∞ 2 log£ y log£ x 4 2+'3 4 2å01
③02
203
②04
③05
③06
④07
②0
3
본문019쪽로그의 성질 응용
08
①09
①10
611
1512
③13
②14
③15
④16
②17
④18
3219
① 본문020`~`021쪽log£ ;aB;=5에서 log£ ;aB;=log£ b-log£ a=5 ∴ -log£ a+log£ b=5 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면
log£ a=-1, log£ b=4
∴ 4 log£ a+9 log£ b=-4+36=32
19
두 점 (1, log™ 5),` (2, log™ 10)을 지나는 직선의 기울기는 = =log™ 2=120
log¡º 24=log¡º (2‹ _3) =3 log¡º 2+log¡º 3 =3a+b21
log 120=log (4_3_10) =log 4+log 3+log 10 =2 log 2+log 3+log 10 =2a+b+122
2a =5에서 a=log™ 5, 2b =3에서 b=log™ 3 ∴ log§ 45= = ∴ log§ 45= =23
b=a;2!;, c=b;3@;, a=c‹ 이므로logå b+log∫ c+logç a=logå a;2!;
+log∫ b;3@;
+logç c‹ logå b+log∫ c+logç a=;2!;+;3@;+3=:™6∞:
24
5 log a=2 log b에서 ;2%;= =logå b∴ logå b¤ =2 logå b=2_;2%;=5
25
;2!; log'2a+3 log• b-10 log¢ a=0에서;2!; log2;2!;a+3 log23b-10 log22a=0
log™ a+log™ b-5 log™ a=0 log b log a a+2b 1+b log™ 5+2 log™ 3 log™ 2+log™ 3 log™ (3¤ _5) log™ (2_3) log™ 45 log™ 6 log™ :¡5º: 1 log™ 10-log™ 5 2-1 -4 log™ a+log™ b=0 log™ =0, =1 ∴ `b=a›
∴ `logå b=logå a› =4
26
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab이므로a¤ +b¤ =log™ 81-2 log™ 3=log™ 81-log™ 3¤ a¤ +b¤=log™ :•9¡:=log™ 9
∴ ` + = = = =2
27
조건 ㈎에서 log ab=log 10¤ =2∴ log a+log b=2 yy`㉠
조건 ㈏에서 log b=- yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하여 풀면 log a=-1, log b=3 (∵ `a<b) ∴ `(log a)¤ +(log b)¤ =(-1)¤ +3¤ =10
28
logç a：logç b=2：3이므로logç a=2k, logç b=3k (k는 0이 아닌 실수)라 하자. logå b= = =;2#;, log∫ a= = =;3@;
∴ 4 logå b+3 log∫ a=4_;2#;+3_;3@;=6+2=8
29
두 점 A(1, log™ 3), B(3, log™ 12) 사이의 거리는"√(3-1)¤ +(log™ 12-√log™ 3)¤ ="√2¤ +(log™ 4)¤ ='ƒ4+4 ='8=2'2
30
직선 (log£ a)x-(log£ 5)y+5=0에서(log£ 5)y=(log£ a)x+5
∴ `y= x+ 직선의 기울기가 2이므로 =log∞ a=2 ∴ a=5¤ =25
31
근과 계수의 관계에서 a+b=10, ab=5∴ log™ (a+1)+log™ (b+1)=log™ (a+1)(b+1)
=log™ (ab+a+b+1) =log™ (5+10+1) =log™ 16=4
32
근과 계수의 관계에서log a+log b=6, log a_log b=2 ∴ logå b+log∫ a= + ∴ logå b+log∫ a=
∴ logå b+log∫ a=6¤ -2_2=16
2
(log a+log b)¤ -2 log a_log b log a_log b log a log b log b log a log£ a log£ 5 5 log£ 5 log£ a log£ 5 2k 3k logç a logç b 3k 2k logç b logç a 3 log a 2 log™ 3 log™ 3 log™ 9 log™ 3 a¤ +b¤ ab a b b a b a› b a›
20
⑤21
④22
③23
②24
525
④26
②27
⑤28
②29
③30
2531
④32
16 본문022`~`023쪽유형`04. 지수함수와 로그함수의 그래프
05
01
y=3x+1 의 그래프가 두 점 (a, 9), (2, b)를 지나므로 9=3a+1 에서 a+1=2 ∴ a=1 b=32+1 =27 ∴ a+b=2802
함수 y=2x+3 -4의 그래프가 x축과 점 A(a, 0), y축과 점 B(0, b)에서 만나므로 2a+3 -4=0, 2a+3 =4 2a+3 =22 에서 a+3=2 ∴ a=-1 b=2‹ -4=8-4=4 ∴ a+b=303
y=9_{;3!;} x +1=3¤ _3-x+1 =3-x+2 +1=3-(x-2) +1 이므로 이 그래프는 y=3-x 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동시킨 것이다. 따라서 m=2, n=1이므로 mn=204
y=3≈의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만 큼 평행이동시키면 y=3x-m +n 이 함수의 그래프가 두 점 (-1, 0), (0, 6)을 지나므로 0=3-1-m +n yy`㉠ 6=3-m +n yy`㉡ ㉡-㉠을 하면 3-m -3-1-m =6 양변에 3m 을 곱하면 1-;3!;=6_3m 3m =;6!;_;3@;=3-2 ∴ m=-2 m=-2를 ㉡에 대입하면 6=3¤ +n ∴ n=-3 ∴ mn=605
y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으 로 5만큼 평행이동하면 y=log™ (x+2)+5이다. 따라서 m=-2, n=5이므로` m+n=306
함수 y=2≈ +3은 y=2≈ 를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것 이므로 점근선의 방정식은 y=3이다. 함수 y=log™ (x-4)는 y=log™ x를 x축의 방향으로 4만큼 평 행이동한 것이므로 점근선의 방정식은 x=4이다. 따라서 a=3, b=4이므로` a+b=707
y=log™ (x-4)+3에서 (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 즉, x=20일 때, 최댓값을 가지므로 a=log™ 16+3=7 x=8일 때, 최솟값을 가지므로 b=log™ 4+3=5 ∴ a+b=1208
곡선 y=log™ (x+16)이 x축과 만나는 점은 0=log™ (x+16)에서 x+16=1 ∴ x=-15 ∴ A(-15, 0) 곡선 y=log™ (x+16)이 y축과 만나는 점은 y=log™ 16=4 ∴ B(0, 4) 따라서 삼각형 AOB의 넓이는 _15_4=3009
y=5x-1 의 그래프가 두 점 (a, 5), (3, b)를 지나므로 5=5a-1 에서 a-1=1 ∴ a=2 b=53-1 =25 ∴ a+b=2710
두 곡선 y=3x+m , y=3-x 이 y축과 만나는 점은 각각 A(0, 3m ), B(0, 1) AB”=8이므로 3m -1=8 3m =9 ∴ m=211
함수 y=log™ (x+5)의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 것이므로 점근선은 직선 x=-5이다. 따라서 k=-5이므로 k¤ =2512
곡선 y=2≈ +5는 곡선 y=2≈ 을 y축의 방향으로 5만큼 평행이동 한 것이다. O B(0, 1) A(0, 3m) y y=3x+m y=3-x x 1 201
⑤02
303
204
④05
306
②07
1208
③0
4
본문025쪽지수함수와 로그함수의 그래프
09
2710
①11
2512
③13
1814
①15
5316
③17
④18
②19
3220
①21
⑤22
③23
⑤ 본문026`~`028쪽곡선 y=2≈ 의 점근선은 y=0이므로 곡선 y=2≈ +5의 점근선은 y=5이다. 그러므로 직선 y=5와 곡선 y=log£ x+3의 교점의 x좌표는 log£ x+3=5 log£ x=2 x=3¤ =9
13
y=2x 의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만 큼 평행이동시키면 y=2x-m +n 이 함수의 그래프가 두 점 (-1, 1), (0, 5)를 지나므로 1=2-1-m +n yy`㉠ 5=2-m +n yy`㉡ ㉡-㉠을 하면 2-m -2-1-m =4, 2-1-m =2¤ 즉, -1-m=2이므로 m=-3 m=-3을 ㉡에 대입하면 n=5-2‹ =-3 ∴ m¤ +n¤ =(-3)¤ +(-3)¤ =1814
y=a≈의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동시키면 y=a—≈ y=a—≈의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만 큼 평행이동시키면 y=a-(x-3) +2 ∴ y=a3-x +2 이 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 4=a3-1 +2, a¤ =2 ∴ a='2 (∵ a>0)15
y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동시키면 y=log™ (x-a) 이 그래프가 점 (9, 2)를 지나므로2=log™ (9-a)에서 4=9-a
∴ a=5 y=log∫ x의 그래프도 점 (9, 2)를 지나므로 2=log∫ 9에서 b¤ =9 ∴ b=3 (∵ b>0, b+1) ∴ 10a+b=50+3=53
16
y=2≈ +2의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼 평행이동하면 y=2x-m +2 yy`㉠ y=log™ 8x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 y=log™ 8(x-2) yy`㉡ ㉡을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면x=log™ 8(y-2)=log™ 8+log™ (y-2) =3+log™ (y-2) ∴ y=2x-3 +2 yy`㉢ ㉠과 ㉢의 식이 일치해야 하므로 m=3
17
f(x)=-24-3x +k f(x)=-{;8!;}x-;3$;+k 이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 함수 y={;8!;}≈ 의 그래프를 x축 에 대하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 ;3$;만큼, y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 것이다. 한편, 함수 y=f(x)의 그래프가 제2사분면을 지나지 않아야 하므로 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다. f(0)…0이어야 하므로 f(0)=-2› +k…0 ∴ k…16 따라서 자연수 k의 최댓값은 16이다.18
함수 f(x)=1+{;3!;} x-1 의 그래프는 함수 y={;3!;} x 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동시킨 것 이고, y={;3!;} x 에서 0<(밑)<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 따라서 1…x…3에서 함수 y=f(x)의 최댓값은 f(1)=1+{;3!;} 0 =219
f(x)=2≈에서 (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 한다. 즉, x=3일 때 최댓값을 가지므로 a=2‹ =8 g(x)={ } 2x ={ } x 에서 0<(밑)<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 즉, x=-1일 때 최댓값을 가지므로 b={ }-1=4 ∴ ab=3220
f(x)=4x 에서 (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 한다. 즉, x=3일 때 최댓값을 가지므로 M=4‹ =64 g(x)={;2!;}x에서 0<(밑)<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 즉, x=3일 때 최솟값을 가지므로 m={;2!;} 3 =;8!; ∴ Mm=821
f(x)=a≈에서 0<a<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 따라서 -2…x…1에서 최솟값은 x=1에서 가지고 최솟값이 ;6%;이므로 a⁄ =;6%;, a=;6%; 1 4 1 4 1 2 y O x y=f(x) -16+k k
유형`04. 지수함수와 로그함수의 그래프
07
f(x)={;6%;}≈ 이고 함수 f(x)는 -2…x…1에서 최댓값은 x=-2에서 가지므로 M=f(-2)={;6%;}—¤ ={;5^;}¤ ∴ a_M=;6%;_{;5^;}¤ =;5^;22
y=3+log£ (x¤ -4x+31)에서 (밑)>1이므로 x의 값이 증가 하면 y의 값도 증가한다. 즉, x¤ -4x+31의 값이 최소일 때, log£ (x¤ -4x+31)의 값도 최소이다. x¤ -4x+31=(x-2)¤ +27에서 x=2일 때 최솟값 27을 가지므 로 함수 y=3+log£ (x¤ -4x+31)의 최솟값은 3+log£ 27=3+3=623
두 곡선 y=3x+1-2 , y=log™ (x+1)-1이 y축과 만나는 점은 각각 A(0, 1), B(0, -1) 점 C의 y`좌표는 1이므로 log™ (x+1)-1=1 x+1=4 ∴ x=3 ∴ C(3, 1) 점 D의 y`좌표는 -1이므로 3x+1-2=-1 3x+1=1 ∴ x=-1 ∴ D(-1, -1)따라서 AC”=3, DB”=1, AB”=2이므로 사다리꼴 ADBC의 넓이는 _(3+1)_2=4
24
y=2≈의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만 큼 평행이동시키면 y=2x-2 -3 이 함수의 그래프가 점 (7, a)를 지나므로 a=27-2 -3=32-3=2925
함수 y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향 으로 k만큼 평행이동하면 y-k=log™ (x-1) y=log™ (x-1)+k 이므로 이 함수의 역함수를 구하면 1 2 x=log™ (y-1)+k y-1=2x-k, y=2x-k +1 ∴ k=226
두 곡선 y=2x+1 -3, y=log™ x+k가 직선 x=2와 만나므로 점 A(2, 5), 점 B(2, 1+k)이다. AB”=10에서 |5-(1+k)|=10 4-k=10또는 4-k=-10 k=-6또는 k=14 ∴ k=-6 (∵ k<0)27
y=logå x+k의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 직선 y=x와 y=logå x+k의 그래프의 교점과 같으므로 x=logå x+k 두 교점의 x`좌표가 1, 2이므로 1=logå 1+k에서 k=1 2=logå 2+1에서 1=logå 2 ∴ a=2 ∴ a+k=328
y=log£ (2x-1)에서 (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값 도 증가한다. 즉, x=a에서 최솟값 2, x=b에서 최댓값 3을 가지므로 log£ (2a-1)=2 2a-1=9 ∴ a=5 log£ (2b-1)=3 2b-1=27 ∴ b=14 ∴ a+b=1929
y=2x+1 -3에서 (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증 가한다. 즉, x=1일 때 최댓값은 21+1 -3=1 x=-1일 때 최솟값은 2-1+1 -3=-2 따라서 최댓값과 최솟값의 곱은 -2이다.30
두 함수 y=2≈ , y=4≈ 의 그래프가 직선 y=16과 만나는 점의 x좌표는 2≈ =16=2›에서 x=4 ∴ A(4, 16) 4≈ =16=4¤에서 x=2 ∴ B(2, 16) 따라서 AB”=2이므로 삼각형 OAB 의 넓이는 _2_16=1631
직선 y=x에 대하여 대칭인 그래프는 역함수의 그래프이므로 y=log™ (x-1)에서 2¥ =x-1 2≈ =y-1, 즉 y=2≈ +1 ∴ g(x)=2≈ +1 ∴ b=g(2)=2¤ +1=5 1 2 O 1 4 2 16 B A y y=4≈ y=2≈ y=16 x24
②25
②26
③27
②28
③29
①30
⑤31
3832
16 본문028`~`029쪽또 log™ (a-1)=5에서 a-1=2fi ∴ a=33 ∴ a+b=38
32
그림에서 AB”=2이므로 log™ k-log¢ k=2 log™ k-;2!;log™ k=2 ;2!; log™ k=2 log™ k=4 ∴ k=2› =16 x=k 1 y=log¢ x log¢ k log™ k y=log™ x y x O A B01
27≈ =9에서 3‹ ≈ =3¤ 3x=2 ∴ x=02
2≈ —¤ =32에서 2≈ —¤ =2fi x-2=5 ∴ x=703
3≈ —› = 에서 3≈ —› =27—⁄ =3—‹ x-4=-3 ∴ x=104
{ } x ='3에서 3—¤ ≈ =3;2!; -2x= ∴x=-05
=4≈에서 2-3x+2 =22x -3x+2=2x, 5x=2 ∴ x=;5@; 4 8≈ 1 4 1 2 1 9 1 27 2 306
{ } x æ3'3에서 3—≈ æ3;2#; (밑)>1이므로 -xæ ∴ x…-∴a=-07
4≈ -6_2≈ +8<0에서 (2≈ )¤ -6_2≈ +8<0 2≈ =t (t>0)라 하면 t¤ -6t+8<0 (t-2)(t-4)<0 ∴ 2<t<4 즉, 2<2≈ <4이므로 1<x<208
3x+1 =27=3‹이므로 x+1=3 ∴ x=209
3-x+2 = =3-2 이므로 -x+2=-2 ∴ x=410
=2x+3 에서 24x _2—⁄ =2x+3 , 24x-1 =2x+3 4x-1=x+3 ∴ x=11
(2≈ -8)(3¤ ≈ -9)=0에서 2≈ =8또는 3¤ ≈ =9 ∴ x=3 또는 x=1 ∴ a¤ +b¤ =3¤ +1¤ =1012
9≈ -3x+2 +8=0에서 (3≈ )¤ -9_3≈ +8=0 3≈ =t(`t>0)라 하면 t¤ -9t+8=0 yy㉠㉠ 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근은 3a , 3b 이다. 즉, 이차방정식 ㉠에서 근과 계수의 관계에서 3a +3b =9, 3a _3b =8 4 3 16≈ 2 1 9 3 2 3 2 3 2 1 301
③02
①03
104
②05
⑤06
①`07
④0
5
본문031쪽지수방정식과 지수부등식
08
②09
410
④11
1012
6513
2514
⑤15
②16
317
12818
619
⑤20
④21
①22
③23
18 본문032`~`034쪽유형`05. 지수방정식과 지수부등식
09
∴ 3¤a +3¤b =(3a +3b )¤ -2_3a _3b =9¤ -2_8 =6513
4≈ -7_2≈ +12=0에서 (2≈ )¤ -7_2≈ +12=0 2≈ =t(`t>0)라 하면 t¤ -7t+12=0 yy㉠㉠ 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근은 2a , 2b 이다. 즉, 이차방정식 ㉠에서 근과 계수의 관계에서 2a +2b =7, 2a _2b =12 ∴ 2¤a +2¤b =(2a +2b )¤ -2_2a _2b =7¤ -2_12 =2514
2≈ +22-x =5에서 2≈ =t (t>0)라 하면 t+ =5 t¤ -5t+4=0 (t-1)(t-4)=0 ∴ t=1 또는 t=4 즉, 2≈ =1 또는 2≈ =4이므로 x=0또는 x=2 따라서 모든 실근의 합은 2이다.15
2≈ +25-x =33에서 2≈ =t (`t>0)라 하면 t+ =33 t¤ -33t+32=0 (t-1)(t-32)=0 ∴ t=1 또는 t=32 즉, 2≈ =1 또는 2≈ =32이므로 x=0또는 x=5 따라서 모든 실근의 합은 5이다.16
6-2≈ =23-x 에서 2≈ =t (`t>0)라 하면 6-t= t¤ -6t+8=0 (t-2)(t-4)=0 ∴ t=2 또는 t=4 즉, 2≈ =2 또는 2≈ =4이므로 x=1또는 x=2 따라서 모든 실근의 합은 3이다.17
a¤ ≈ -a≈ =2에서 a≈ =t (`t>0)라 하면t¤ -t-2=0 (t+1)(t-2)=0 ∴ t=2 (∵ t>0) 즉, a≈ =2의 해가 이므로 a =2 ∴ a=2‡ =128 1 7 1 7 8 t 32 t 4 t
18
{ } x-5 æ4에서 2-(x-5) æ2¤, -x+5æ2 ∴ x…3 따라서 모든 자연수 x의 값은 1, 2, 3이므로 그 합은 1+2+3=619
{ } 1-2x …5x+4 에서 52x-1 …5x+4 (밑)>1이므로 2x-1…x+4 ∴ x…5 따라서 자연수 x는 1, 2, 3, 4, 5이므로 그 합은 15이다.20
= =33-2x 이므로 주어진 부등식은 33-2x æ3x-9 밑 3이 1보다 크므로 3-2xæx-9 12æ3x ∴ x…4 따라서 구하는 모든 자연수 x의 개수는 4이다.21
2x¤<4_2≈ 에서 2x¤<2x+2 (밑)>1이므로 x¤ <x+2 x¤ -x-2<0 (x-2)(x+1)<0 ∴ -1<x<2 따라서 a=-1, b=2이므로 a+b=122
(3≈ -5)(3≈ -100)<0에서 3≈ =t (`t>0)라 하면 (t-5)(t-100)<0 ∴ 5<t<100 즉, 5<3≈ <100에서 3⁄ <5<3¤ …3≈ …3› <100<3fi 따라서 자연수 x는 2, 3, 4이므로 그 합은 9이다.23
9≈ -3x+2 +18<0에서 3≈ =t (`t>0)라 하면 t¤ -9t+18<0 yy㉠㉠ 주어진 부등식의 해가 a<x<b이므로 ㉠의 해는 3a<t<3b 이다. 따라서 이차방정식 t¤ -9t+18=0의 두 근은 3a , 3b 이므로 근 과 계수의 관계에서 3a_3b=18 [다른 풀이] 3≈ =t라 하면 t¤ -9t+18<0에서 (t-3)(t-6)<0 ∴ 3<t<6 즉, 3<3≈ <6에서 1<x<log£ 6 ∴ a=1, b=log£ 6 ∴ 3a_3b=3⁄ _3log£ 6=18 3‹ 3¤ ≈ 27 9≈ 1 5 1 231
3¤ ≈ -4_3≈ +3<0에서 (3≈ )¤ -4_3≈ +3<0 3≈ =t (t>0)라 하면 t¤ -4t+3<0 (t-1)(t-3)<0 ∴ 1<t<3 즉, 1<3≈ <3이므로 0<x<132
9x+1 -10_3≈ +1…0에서 3≈ =t (`t>0)라 하면 9t¤ -10t+1…0 (9t-1)(t-1)…0 ∴ …t…1 즉, …3≈ …1이므로 -2…x…0 따라서 정수 x의 개수는 -2, -1, 0의 3이다. 1 9 1 924
82x+3 =4 ‹ '2에서 26x+9=2;3&; 6x+9= ∴x=-25
32x-1=3x¤ -9 에서 2x-1=x¤ -9 x¤ -2x-8=0 (x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=426
4≈ -3_2x+1+8=0 에서 2≈ =t (`t>0)라 하면 t¤ -6t+8=0, (t-2)(t-4)=0 ∴ t=2 또는 t=4 즉, 2≈ =2 또는 2≈ =4이므로 x=1또는 x=2 ∴ a¤ +b¤ =1¤ +2¤ =527
9≈ +3≈ -6=0에서 3≈ =t (`t>0)라 하면 t¤ +t-6=0 (t+3)(t-2)=0 ∴ t=2 (∵ t>0) 즉, 3≈ =2이므로 x=log£ 2 ∴ a=228
2≈ + =3에서 2≈ =t (`t>0)라 하면 t+ =3 t¤ -3t+2=0, (t-1)(t-2)=0 ∴ t=1 또는 t=2 즉, 2≈ =1 또는 2≈ =2이므로 x=0또는 x=1 따라서 모든 근의 합은 1이다.29
3—≈ ±fl æ9에서 3—≈ ±fl æ3¤ -x+6æ2 ∴ x…4 따라서 x…4를 만족시키는 모든 자연수 x의 값의 합은 1+2+3+4=1030
{ } 3x-1 æ{ } 2x+2 에서 0<(밑)<1이므로 3x-1…2x+2 ∴ x…3 따라서 자연수 x는 1, 2, 3이므로 그 합은 6이다. 1 2 1 2 2 t 2 2≈ 10 9 7 301
진수의 조건에서 x+2>0 ∴ x>-2 log£ (x+2)=log£ 5에서 x+2=5 ∴ x=302
진수의 조건에서 2x-8>0, x+2>0 ∴ x>4 log™ (2x-8)=log™ (x+2)에서 2x-8=x+2 ∴ x=1003
진수의 조건에서 x+1>0, x-3>0 ∴ x>3log£ (x+1)+log£ (x-3)=log£ 5에서 log£ (x+1)(x-3)=log£ 5 (x+1)(x-3)=5, x¤ -2x-8=0 (x+2)(x-4)=0 ∴ x=4 (∵ x>3)
24
①25
⑤26
②27
②28
①29
⑤30
631
③32
③ 본문034`~`035쪽01
③02
1003
④04
③05
⑤06
⑤07
④08
④0
6
본문037쪽로그방정식과 로그부등식
유형`06. 로그방정식과 로그부등식
11
04
(log£ x)¤ -5 log£ x+6=0에서 log£ x=t라 하면t¤ -5t+6=0, (t-2)(t-3)=0 ∴ t=2 또는 t=3 즉, log£ x=2 또는 log£ x=3이므로 x=9또는 x=27 ∴ a+b=9+27=36
05
진수의 조건에서 2x+1>0 ∴ x>- yy㉠ log£ (2x+1)ælog£ 5에서 (밑)>1이므로 2x+1æ5 ∴ xæ2 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 xæ206
진수의 조건에서 2x+4>0, x+8>0 ∴ x>-2 yy㉠ log (2x+4)>log (x+8)에서 0<(밑)<1이므로 2x+4<x+8 ∴ x<4 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 -2<x<4 따라서 정수 x의 개수는 -1, 0, 1, 2, 3의 5이다.07
진수의 조건에서 2x-3>0, x-1>0 ∴ x> yy㉠ log£ (2x-3)æ2 log£ (x-1)에서 log£ (2x-3)ælog£ (x-1)¤ (밑)>1이므로 2x-3æ(x-1)¤ x¤ -4x+4…0, (x-2)¤ …0 ∴ x=2 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 x=208
진수의 조건에서 x>0 yy㉠(log™ x)¤ -log™ xfl +5<0에서 log™ x=t라 하면
t¤ -6t+5<0, (t-1)(t-5)<0 ∴ 1<t<5 즉, 1<log™ x<5이므로 2<x<32 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 2<x<32 따라서 자연수 x의 개수는 3, 4, 5, …, 31의 29이다. 3 2 1 2 1 2 1 2
09
진수의 조건에서 x+6>0 ∴ x>-6 log™ (x+6)=5에서 x+6=2fi =32 ∴ x=2610
진수의 조건에서 x-11>0 ∴ x>11 log£ (x-11)=3 log£ 2에서 log£ (x-11)=log£ 8 x-11=8 ∴ x=1911
진수의 조건에서 x>-;5!; 2 log¢ (5x+1)=log™ (5x+1)=1 5x+1=2에서 x=;5!; 따라서 a=;5!;이므로 log∞ =log∞ 5=112
진수의 조건에서 x-4>0, 5x+4>0 ∴ x>4 log£ (x-4)=logª (5x+4)에서 log£ (x-4)= log£ (5x+4) 2 log£ (x-4)=log£ (5x+4) log£ (x-4)¤ =log£ (5x+4) (x-4)¤ =5x+4 x¤ -13x+12=0, (x-1)(x-12)=0 ∴ x=12 (∵ x>4) ∴ a=1213
진수의 조건에서 4+x>0, 4-x>0 ∴ -4<x<4 log™ (4+x)+log™ (4-x)=3에서 log™ (4+x)(4-x)=log™ 8 (4+x)(4-x)=8, x¤ =8 ∴ x=-2'2 또는 x=2'2 따라서 모든 실수 x의 값의 곱은 (-2'2)_(2'2)=-814
log¢ (log™ x)=1에서 log™ x=4 ∴ x=2› =1615
(log™ x)¤ -4 log™ x=0에서 log™ x=t라 하면t¤ -4t=0, t(t-4)=0 ∴ t=0 또는 t=4 즉, log™ x=0 또는 log™ x=4이므로 x=1또는 x=16 ∴ a+b=1+16=17
16
(log£ x)¤ -6 log£ 'x+2=0에서 (log£ x)¤ -3 log£ x+2=0 1 2 1 a09
2610
1911
112
1213
②14
1615
1716
2717
④18
①19
1120
③21
1422
③23
②24
⑤ 본문038`~`040쪽㉠, ㉡의 공통 범위는 ;4&;<x…4 따라서 정수 x의 개수는 2, 3, 4의 3이다.
21
진수의 조건에서 x>0, 12x+28>0 ∴ x>0 yy㉠ log™ x…log¢ (12x+28)에서 log™ x… log™ (12x+28) 2 log™ x…log™ (12x+28) log™ x¤ …log™ (12x+28) (밑)>1이므로 x¤ …12x+28 x¤ -12x-28…0, (x+2)(x-14)…0 ∴ -2…x…14 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 0<x…14 따라서 자연수 x의 개수는 14이다.22
진수의 조건에서 |x|>0 ∴ x+0 yy㉠log'2|x|<5에서 log'2|x|<log'2('2)fi
(밑)>1이므로 |x|<('2)fi ∴ -4'2<x<4'2 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 -4'2<x<0 또는 0<x<4'2 따라서 정수 x의 개수는 -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 의 10이다.
23
⁄ `log™|x-1|의 진수 조건에서 x+1 ¤ `2`log™|x-1|…1-log™ ;2!;에서 2`log™|x-1|…1-(-1) 2`log™|x-1|…2 log™|x-1|…1 log™|x-1|…log™ 2 |x-1|…2에서 -1…x…3 즉, 정수 x의 값은 -1, 0, 1, 2, 3 ⁄``, ¤``에서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x의 값은 -1, 0, 2, 3이고 그 개수는 4이다.24
진수의 조건에서 x+0, |x|>0 ∴ x+0 yy㉠log™ x¤ -log™ |x|=log™ |x|¤ -log™ |x|
=2log™ |x|-log™ |x| =log™ |x| 즉, log™ |x|…log™ 8에서 (밑)>1이므로 |x|…8 ∴ -8…x…8 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 -8…x<0또는 0<x…8 따라서 정수 x의 개수는 —1, —2, —3, …, —8의 16이다. 1 2 log£ x=t라 하면 t¤ -3t+2=0 yy ㉠㉠ 이차방정식 ㉠의 두 근이 log£ a, log£ b이므로 근과 계수의 관계에서
log£ a+log£ b=log£ ab=3 ∴ ab=3‹ =27
17
진수의 조건에서 x¤ +x-2=(x+2)(x-1)>0, -2x+2>0 즉, x<-2 또는 x>1이고, x<1이므로 x<-2 yy㉠ log™ (x¤ +x-2)<log™ (-2x+2)에서 (밑)>1이므로 x¤ +x-2<-2x+2 x¤ +3x-4<0 (x+4)(x-1)<0 ∴ -4<x<1 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 -4<x<-2 따라서 a=-4, b=-2이므로 ab=818
진수의 조건에서 x-1>0, x+k>0 ∴ x>1 yy㉠ log∞ (x-1)…log∞ { x+k}에서 (밑)>1이므로 x-1… x+k, x…k+1 ∴ x…2(k+1) yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 1<x…2(k+1) 모든 정수 x의 개수가 3이므로 2(k+1)-1=2k+1=3 ∴ k=119
진수의 조건에서 7-x>0, 7+x>0 ∴ -7<x<7 yy㉠ log™ (7-x)+log™ (7+x)>4에서 log™ (7-x)(7+x)>log™ 16 (밑)>1이므로 (7-x)(7+x)>16 x¤ -33<0 (x+'ß33)(x-'ß33)<0 ∴ -'ß33<x<'ß33 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 -'ß33<x<'ß33 따라서 정수 x의 개수는 -5, -4, -3, …, 5의 11이다.20
로그의 진수 조건에서 x-1>0, 4x-7>0 ∴ x>;4&; yy㉠ log£ (x-1)+log£ (4x-7)…3에서 log£ (x-1) (4x-7)…log£ 27 (밑)>1이므로 (x-1)(4x-7)…27 4x¤ -11x-20…0 (4x+5)(x-4)…0 ∴ -;4%;…x…4 yy㉡ 1 2 1 2 1 2 1 2유형`06. 로그방정식과 로그부등식
13
25
진수의 조건에서 x-3>0, x-1>0 ∴ x>3 log∞ (x-3)=log™∞ (x-1)에서 log∞ (x-3)= log∞ (x-1) 2 log∞ (x-3)=log∞ (x-1) log∞ (x-3)¤ =log∞ (x-1) (x-3)¤ =x-1 x¤ -7x+10=0 (x-2)(x-5)=0 ∴ x=5 (∵ x>3)26
진수의 조건에서 x>0, x-4>0 ∴ x>4 log™ x+log™ (x-4)=5에서 log™ x(x-4)=5 x(x-4)=32 x¤ -4x-32=0 (x+4)(x-8)=0 ∴ x=8 (∵ x>4)27
(log£ x)¤ -log£ x‹ +2=0에서 log£ x=t라 하면t¤ -3t+2=0 (t-1)(t-2)=0 ∴ t=1 또는 t=2 즉, log£ x=1 또는 log£ x=2이므로 x=3또는 x=9 ∴ a+b=3+9=12
28
(log™ x)¤ -12=log™ x›에서 log™ x=t라 하면t¤ -12=4t t¤ -4t-12=0 (t+2)(t-6)=0 ∴ t=-2 또는 t=6 즉, log™ x=-2 또는 log™ x=6이므로 x= 또는 x=64 ∴ ab= _64=16
29
진수의 조건에서 2x-1>0 ∴ x> yy㉠ log™ (2x-1)<1에서 log™ (2x-1)<log™ 2 1 2 1 4 1 4 1 225
526
827
②28
④29
②30
②31
③32
⑤33
③ 본문040`~`041쪽 (밑)>1이므로 2x-1<2 ∴ x< yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 <x<30
진수의 조건에서 x-2>0, 6-x>0 ∴ 2<x<6 yy㉠ log£ (x-2)+log£ (6-x)>1에서 log£ (x-2)(6-x)>log£ 3 (밑)>1이므로 (x-2)(6-x)>3 x¤ -8x+15<0 (x-3)(x-5)<0 ∴ 3<x<5 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 3<x<5 따라서 정수 x의 개수는 4의 1이다.31
진수의 조건에서 x+1>0, x+3>0 ∴ x>-1 yy㉠ log™ (x+1)+log™ (x+3)…3에서 log™ (x+1)(x+3)…log™ 8 (밑)>1이므로 (x+1)(x+3)…8 x¤ +4x-5…0 (x+5)(x-1)…0 ∴ -5…x…1 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 -1<x…1 따라서 a=-1, b=1이므로 a+b=032
진수의 조건에서 x>0, 2x+3>0 ∴ x>0 yy㉠ 2 log x<log (2x+3)에서 log x¤ <log (2x+3) 0<(밑)<1이므로 x¤ >2x+3 x¤ -2x-3>0 (x-3)(x+1)>0 ∴ x<-1 또는 x>3 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 x>3 ∴ a=333
진수의 조건에서 x>0 yy㉠(log£ x-1)(log£ x-2)<0에서 log£ x=t라 하면
(t-1)(t-2)<0 ∴ 1<t<2 즉, 1<log£ x<2이므로 3<x<9 yy㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 3<x<9 1 3 1 3 1 3 1 3 3 2 1 2 3 2
01
⑴ sin =;2!; ⑵ cos = ⑶ tan ='302
sin tan = _'3=;2#;03
<h<p, 즉 각 h는 제2사분면의 각이므로ㄱ. sin h>0, cos h<0 ∴ sin h cos h<0 (거짓) ㄴ. sin h>0, tan h<0 ∴ sin h tan h<0 (거짓) ㄷ. cos h<0, tan h<0 ∴ `cos h tan h>0 (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다.
04
그림과 같이 점 P(-5, 12)는 제2사분면의 점이므로 OP”="√(-5√)¤ +ç12¤ ='∂169=13 ∴ sin h=;1!3@;, cos h=-;1∞3; ∴ sin h+cos h=;1¶3;05
AC”=AB”_sin h=10_ =4 ∴ BC”=øπAB”¤ π-A∑C” ¤ ="√10¤ -4¤ =2'2å1 ∴ tan h= = =06
h가 제2사분면의 각이고 sin h= 이므로 그림에서 cos h=- , tan h=-∴ = =15 16 -;4#; -;5$; tan h cos h O -4 (-4, 3) y x h 3 5 3 4 4 5 3 5 2'2å1 21 4 2'2å1 AC” BC” 2 5 O P(-5, 12) 13 -5 y x h 12 p 2 '3 2 p 3 p 3 p 3 '2 2 p 4 p 607
{2+2 sin }{2-tan }={2+2_ }(2-'3`) {2+2 sin }{2-tan }=4-3=108
AC”=øπ3¤ -π('5)¤ =2 ∴ sin B= =09
그림과 같이 점 P(-12, 5)는 제2사분면의 점이므로 OP”="√(-1√2)¤ √+5¤ ='1∂69=13 ∴ sin h= , cos ∴ sin h+cosh=-10
tan h=5이므로 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이다. ⁄ h가 제1사분면의 각일 때 ⁄cos h= ¤ h가 제3사분면의 각일 때 ⁄⁄과 같은 방법으로 구하면 ⁄cos h=-⁄, ¤에서 =2611
cos h=- 이므로 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이다. ⁄ h가 제2사분면의 각일 때 ⁄sin h= , tan h=-'8 ⁄∴ sin h tan h=-;3*; ¤ h가 제3사분면의 각일 때 ⁄sin h=- , tan h='8 ⁄∴ sin h tan h=-⁄, ¤에 의하여 sin h tan h=-8 3 8 3 '8 3 y O -1 3 x ' 8 -(-1, -' 8) h '8 3 y O -1 3 x ' 8 (-1,' 8) h 1 3 1 cos¤ h 1 'ß26 1 'ß26 y O 5 (1, 5) 1 x 26 h 7 13 12 13 5 13 O -12 P(-12, 5) y x h 5 13 2 3 AC” AB” '3 2 p 3 p 301
⑴ ;2!; ⑵ ⑶ '302
⑤03
③04
②05
④`06
④ '2 20
7
본문043쪽호도법과 삼각함수
07
①08
①09
①10
2611
②12
①13
10 본문044쪽유형`08. 부채꼴과 삼각함수의 성질
15
12
x¤ -2'3x+2=0에서 근과 계수의 관계를 이용하면 a+b=2'3, a-b=2 ∴ tan h= = = - <h< 에서 h=13
⁄a>b일 때, ⁄a=tan 60˘='3 ⁄b=tan 30˘= ⁄또는 ⁄a=-tan 30˘=-⁄b=-tan 60˘=-'3 ¤a<b일 때, ⁄⁄과 같은 방법으로 a, b를 구하면 ⁄a= , b='3 또는 ⁄a=-'3, b=-⁄, ¤에서 3(a¤ +b¤ )=1014
tan B= 이므로 BC”=4k, CA”=3k (k>0) 라 놓으면 피타고라스 정리에 의하여 10¤ =(4k)¤ +(3k)¤, k¤ =4 ∴ k=2 (∵ k>0) ∴ BC”=4k=8, CA”=3k=6 따라서 직각삼각형 ABC의 넓이는 _BC”_CA”= _8_6=2415
동경 OP가 나타내는 각은 +h이므로 점 P의 좌표는 {cos{ +h}, sin{ +h}}cos{ +h}=-sin h, sin{ +h}=cos h 이므로 구하는 점 P의 좌표는
(-sin h, cos h)
16
sin h cos h>0, sin h+cos h<0에서 sin h<0, cos h<0 이므로 h는 제3사분면의 각이다. p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 1 2 1 2 3 4 1 '3 1 '3 x y O y=ax y=bx y=x 30˘ 1 '3 1 '3 y O x y=x y=bx y=ax 15˘ 15˘ p 6 p 2 p 2 1 '3 2 2'3 a-b a+b14
2415
③16
③17
②18
2219
② 본문045쪽17
그림의 삼각형을 이용하면 sin h=-;5#;일 때, cos h=-;5$;, tan h=;4#; (∵ h가 제3사분면의 각) ∴ 5 cos h+4 tan h=5_{-;5$;}+4_;4#; ∴ 5 cos h+4 tan h=-4+3=-118
h가 제3사분면의 각이고 tan h= 이므로 그림에서 sin h=- , cos h=-∴ = =2219
이차방정식 x¤ -'2x+2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b='2, ab=2∴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=2-4=-2 즉, cos h= =- =-이므로 tan h=-1=-1 1 1 '2 '2 2 a+b a¤ +b¤ O y x '2 h -1 1 (-1, 1) 3_{-;5$;}-2 111111 2_{-;5#;}+1 3 cos h-2 2 sin h+1 4 5 3 5 O y x h 5 -3 -4 (-4, -3) 3 4 3 4 5 h
01
⑴ - ⑵ ;2!; ⑶ -102
①03
④04
④05
①06
③07
;3$; p '3 20
8
본문047쪽부채꼴과 삼각함수의 성질
01
⑴ sin {p+ }=-sin ⑴ sin {p+ } =-⑵ cos {;2#;p+ }=sin ⑵ cos {;2#;p+ }=;2!; ⑶ tan {p- }=-tan ⑶ tan {p- }=-102
sin {;2#;p}=sin {p+ } sin {;2#;p}=-sin sin {;2#;p}=-103
cos {;3%;p}=cos {p+;3@;p} cos {;3%;p}=-cos {p- } cos {;3%;p}=cos cos {;2#;p}=;2!;04
tan {;6&;p}=tan {p+ } tan {;3%;p}=tan tan {;2#;p}=05
sin{p- }+cos{ + } =sin +{-sin } = +{- } =006
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 h, 호의 길이를 l 이라 하면 l=rh l=12_ =2p07
r=4, h=30˘= 이고, 부채꼴의 넓이를 S라 하면 S=;2!;r¤ h S=;2!;_4¤ _ S=;3$;p p 6 p 6 p 6 '3 2 '3 2 p 3 p 3 p 3 p 2 p 3 1 '3 p 6 p 6 p 3 p 3 p 2 p 2 p 4 p 4 p 6 p 6 '3 2 p 3 p 308
cos =cos{2p- } =cos{- } =cos =009
sin =sin {2p+ } sin =sin sin =10
tan p=tan {p- }=-tan =-111
sin +tan = +tan{2p+ }= +tan = +1 =
12
cos {h+ }=-sinh=-13
ㄱ. sin{ +h}=cos h cos(p+h)=-cos h ㄴ. cos{ +h}=-sin h sin(p+h)=-sin h ㄷ. tan{ +h}=-= 따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. 1 tan h 1 tan (p+h) 1 tan h p 2 p 2 p 2 1 3 p 2 3 2 1 2 p 4 1 2 p 4 1 2 9p 4 p 6 p 4 p 4 3 4 '3 2 p 3 p 3 7p 3 p 2 p 2 p 2 3p 208
③09
⑤10
②11
⑤12
⑤13
② 본문048쪽14
②15
①16
②17
118
①19
220
③21
④ 본문049쪽유형`08. 부채꼴과 삼각함수의 성질
17
14
sin p=sin{p+ }=-sinsin
p=-cos p=cos{p+ }=-cos
cos p=-∴ sin p+cos p=- +{- } ∴ sin p+cos p=-'2
15
sin p=sin{p+ } sin p=-sin sin p=-1 cos p=cos{2p+ } sin p=cos sin p=0 ∴ sin p+cos p=(-1)+0 ∴ sin p+cos p=-116
sin p+cos +tan p=sin{2p+ }+cos +tan{2p+ }
=sin +cos +tan
= + +'3
= (1+'2 )+'3
17
sin +cos p+tan p=sin +cos{2p+ p}+tan{p+ }
= +cos{p- p}+tan
= -cos +1
= - +1
=1
18
sin (p+h)+cos {;2#;p-h}=-sin h+(-sin h)sin (p+h)+cos {;2#;p-h}=-2 sin h
sin (p+h)+cos {;2#;p-h}=-2_;4!; sin (p+h)+cos {;2#;p-h}=-;2!; 1 2 1 2 p 3 1 2 p 4 1 3 1 2 p 4 2 3 p 6 5 4 8 3 p 6 1 2 '2 2 1 2 p 3 p 4 p 6 p 3 p 4 p 6 7 3 p 4 13 6 5 2 3 2 p 2 p 2 5 2 p 2 p 2 3 2 '2 2 '2 2 5 4 5 4 '2 2 p 4 p 4 5 4 '2 2 p 4 p 4 5 4
19
sin(p+h)=-sin h, sin(2p-h)=-sin h, tan{ p+h}=- , tan(p+h)=tan h 이므로 -tan{ p+h} tan(p+h) = -{- } tan h =1+1 =220
지름이 2이므로 반지름의 길이 r는 r=OA”=1 부채꼴 AOP에서 ∠AOP=h라 하면 l=rh에서 ;3@;p=1_h ∴ h=;3@;p 따라서 원주각 ABP의 크기는 중심각 AOP의 크기의 ;2!;이므로 ∠ABP=;3@;p_;2!; ∠ABP=21
큰 부채꼴의 넓이를 S¡, 작은 부채꼴의 넓이를 S™라 하면 구하는 넓이는 그림에서 어두운 부분, 즉 S¡-S™이다. S¡=;2!;_4¤ _ =;3*;p S™=;2!;_2¤ _ =;3@;p ∴ S¡-S™=;3*;p-;3@;p ∴ S¡-S™=2p p 3 p 3 2 4 3 p p 3 A B P O 1 3 2p h 1 tan h -sin h -sin h 3 2 sin(p+h) sin(2p-h) 1 tan h 3 201
sin¤ h+cos¤ h=1에서 sin¤ h=1-cos¤ h이므로 sin¤ h=1-{ }¤ =1-;3!;=;3@;02
(sin h+cos h)¤ =sin¤ h+2 sin h`cos h+cos¤ h=1+2_ =2
그런데 h는 제1사분면의 각이므로 sin h>0, cos h>0에서 sin h+cos h>0 ∴ sin h+cos h='2
03
sin h+cos h= 의 양변을 제곱하면 sin¤ h+2 sin h cos h+cos¤ h=1+2 sin h cos h=
∴ sin h`cos h=
∴ + =
∴ + = =
04
tan h= 에서cos h tan h=cos h_ =sin h=;5!; 또 sin¤ h+cos¤ h=1에서 cos¤ h=1-sin¤ h이므로 cos¤ h=1-{;5!;}¤ =;2@5$;
05
tan h+ =-2에서 + =-2 = =-2 ∴ sin h`cos h=-12 1 sin h`cos h sin¤ h+cos¤ h sin h`cos h cos h sin h sin h cos h 1 tan h sin h cos h sin h cos h 24 7 ;3$; 113 ;1¶8; sin h+cos h sin h`cos h 1 cos h 1 sin h 7 18 16 9 16 9 4 3 1 2 1 '306
⑴ 0…x<2p에서 함수 y=sin x의 그래프와 직선 y= 은 ⑴그림과 같다. ⑴두 그래프의 교점의 x좌표가 , p이므로 ⑴x= 또는 x= p ⑵ 0…x<2p에서 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y= 은 ⑵그림과 같다. ⑶두 그래프의 교점의 x좌표가 , ;3%;p이므로 ⑶x= 또는 x=;3%;p ⑶ 0…x<2p에서 함수 y=tan x의 그래프와 직선 y=-⑶은 그림과 같다. ⑶두 그래프의 교점의 x좌표가 ;6%;p, :¡6¡:p이므로 ⑶x=;6%;p 또는 x=:¡6¡:p07
2 cos x=-'3 에서 cos x=- 이고 0…x<p에서 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y=- 은 그림과 같다. 두 그래프의 교점의 x좌표가 p이므로 x= p08
2 sin x='2 에서 sin x='2이고 2 5 6 5 6 O y=cos x y 1 -1 x y=- ' 3 2 p p 6 5 '3 2 '3 2 2p p 6 5 p 6 11 y=tan x y O p x y=- 1 ' 3 1 '3 p 3 p 3 p 2p 1 -1 y O x y=;2;1 p 3 3p 5 y=cos x 1 2 5 6 p 6 5 6 p 6 1 -1 y y=sin x O p x 6 p p 2p 6 5 y=;2;1 1 201
④02
②03
⑤04
⑤05
②06
⑴ x= 또는 x=;6%;p ⑵ x= 또는 x=;3%;p ⑶ x=;6%;p 또는 x=:¡6¡:p07
⑤08
②09
⑤ p 3 p 60
9
본문051`~`052쪽삼각방정식
유형`09. 삼각방정식
19
0…x…2p에서 함수 y=sin x의 그래프와 직선 y= 는 그림과 같다. 두 그래프의 교점의 x좌표가 , p이므로 a= , b= p(∵ a<b) ∴ cos(a+b) ∴=cos { + p} ∴=cos p=-109
2 cos¤ x+3 sin x=2(1-sin¤ x)+3 sin x=0∴ 2 sin¤ x-3 sin x-2=0 sin x=t라 하면 -1…t…1이고, 주어진 방정식은 2t¤ -3t-2=0, (2t+1)(t-2)=0 ∴ t=sin x=-;2!; (∵ -1…t…1) 0…x…2p에서 함수 y=sin x의 그래프와 직선 y=-;2!;은 그림과 같다. 두 그래프의 교점의 x좌표가 ;6&;p, :¡6¡:p이므로 모든 근의 합은 ;6&;p+:¡6¡:p=3p
10
sin x+cos x='2의 양변을 제곱하면 sin¤ x+2`sin x cos x+cos¤ x=21+2 sin x cos x=2 ∴ sin x cos x=1 2 1 -1 y O x p 6 7 y=-;2;1 p 6 11 y=sin x 2p p 3 4 p 4 3 4 p 4 3 4 p 4 O y=sin x y 1 -1 x y= ' 2 2 2p p p 4 3 p 4 '2 2
10
④11
1412
②13
②14
②15
③16
④17
718
④ 본문052`~`053쪽11
sin h+cos h= 의 양변을 제곱하면 sin¤ h+2 sin h`cos h+cos¤ h=1+2 sin h`cos h= ∴ sin h`cos
h=-∴ + =
=
= =14
12
sin h tan h=`sin h_ = ` sin¤ h=`1`-`cos¤ h=`1`-{- }¤ = 이므로sin h tan h= = =
`-13
sin¤ x+cos¤ x=1이므로 4 cos¤ x+4 sin x=5에서4(1-sin¤ x)+4 sin x=5```
4 sin¤ x-4 sin x+1=0, (2 sin x-1)¤ =0 ∴ sin x=
14
4 cos¤ x-1=0에서 (2 cos x-1)(2 cos x+1)=0 ∴ cos x=;2!; 또는 cos x=-;2!; 0<x<2p이므로 x=;3“; 또는 x=;3@;p 또는 x=;3$;p 또는 x=;3%;p ;3“;는 제1사분면의 각이므로 sin ;3“; cos ;3“;>0 ;3@; p는 제2사분면의 각이므로 sin ;3@; p cos ;3@; p<0 ;3$; p는 제3사분면의 각이므로 sin ;3$; p cos ;3$; p>0 ;3%; p는 제4사분면의 각이므로 sin ;3%; p cos ;3%; p<0 따라서 조건을 만족시키는 모든 x의 값의 합은 ;3@; p+;3%; p=;3&; p15
1+'2 sin 2x=0에서 sin 2x=-2x= 또는 2x= x=5p8 또는 x=7p8 7p 4 5p 4 1 '2 1 2 8 3 ;9*; 112 -;3!; sin¤ h cos h 8 9 1 3 sin¤ h cos h sin h cos h 1 1¤ -2_{-1}4 ¤ 11111111 {-1}4 ¤(sin¤ h+cos¤ h)¤ -2 sin¤ h`cos¤ h (sin hcos h)¤ sin› h+cos› h sin¤ h`cos¤ h cos¤ h sin¤ h sin¤ h cos¤ h 1 4 1 2 1 2 '2 2
따라서 모든 해의 합은
+ = =
16
cos¤ x=1-sin¤ x이므로 방정식 cos¤ x=sin¤ x-sin x에서 1-sin¤ x=sin¤ x-sin x2 sin¤ x-sin x-1=0 (2 sin x+1)(sin x-1)=0 sin x=-;2!; 또는 sin x=1 0…x<2p이므로 ⁄sin x=-;2!;에서 ⁄x=;6&;p 또는 x=:¡6¡:p ¤sin x=1에서 ⁄x=;2“; ⁄, ¤에서 주어진 방정식의 모든 해의 합은 ;6&; p+:¡6¡: p+;2“;=;2&; p
17
cos¤ x=1-sin¤ x이므로 cos¤ x-sin x=1에서 (1-sin¤ x)-sin x=1 sin¤ x+sin x=0 sin x(sin x+1)=0``` ∴ sin x=0 또는 sin x=-1 0<x<2p에서 x=p또는 x= p 따라서 모든 실근의 합은 p+ p= p 이므로 p+q=2+5=718
sin¤ x=1-cos¤ x`이므로 2 sin¤ x+3 cos x=3에서 2(1-cos¤ x)+3 cos x=3 2 cos¤ x-3 cos x+1=0 (2 cos x-1)(cos x-1)=0``` ∴ cos x= 또는 cos x=1 0…x<2p에서 x=0또는 x= 또는 x= p 따라서 방정식의 모든 해의 합은 0+ +5p=2p 3 p 3 5 3 p 3 1 2 5 2 3 2 3 2 3p 2 12p 8 7p 8 5p 819
cos¤ A=1-sin¤ A=1-{ }¤ = sin¤ B=1-cos¤ B=1-{ }¤ = ∴ 36(cos¤ A+sin¤ B) ∴=36{ + } ∴=27+32=5920
cos¤ h=1-sin¤ h=1-{ }¤ = 그런데 <h<p에서 cos h<0이므로 cos h=-∴ = =421
sin h+cos h= 의 양변을 제곱하면 1+2 sin h cos h=;3!; ∴ sin h cos h=-;3!;∴ tan h+ = +
∴ tan h+ =
∴ tan h+ = =-3
22
sin h+cos h= 의 양변을 제곱하면 sin¤ h+2 sin h`cos h+cos¤ h=1+2 sin h`cos h=
∴ sin h`cos
h=-(sin h-cos h)¤ =sin¤ h-2 sin h cos h+cos¤ h
=1-2_{- }=
그런데 h는 제2사분면의 각이므로 sin h>0, cos h<0에서 sin h-cos h>0 ∴ sin h-cos h=Æ =
23
이차방정식 3x¤ -kx+1=0의 두 근이 sin h, cos h이므로 근과 계수의 관계에서 '6 2 3 2 3 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 '2 1 -;3!; sin¤ h+cos¤ h sin h cos h cos h sin h sin h cos h 1 tan h 1 '3 1+;5#; 1113 1-;5#; 1-cos h 1+cos h 3 5 p 2 9 25 4 5 8 9 3 4 8 9 1 3 3 4 1 219
5920
④21
①22
⑤23
④24
④25
⑤26
②27
①28
④29
④30
① 본문054`~`055쪽유형`09. 삼각방정식
21
sin h+cos h= yy`㉠
sin h`cos h= yy`㉡
㉠의 양변을 제곱하면 1+2 sin h`cos h= yy`㉢ ㉡을 ㉢에 대입하면 1+2`_ = , k¤ =15 ∴ k='1å5 (∵ k>0)
24
+ = = = = =625
0…x<2p에서 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y=;2!;은 그림 과 같다. 두 그래프의 교점의 x좌표가 , p이므로 구하는 모든 x의 값의 합은 + p=2p26
=t라 하면 0…x…2p에서 0…t…p이고, 주어진 식은 sin t= 이다. 0…t…p에서 함수 y=sin t의 그래프와 직선 y= 의 그래 프는 그림과 같다. 두 그래프의 교점의 t좌표는 , p이고, x=2t이므로 x= p또는 x= p ∴ a=43p, b=23p(∵ a>b) 4 3 2 3 2 3 p 3 p 3 p 2 1 y O t p 3 2 y= y=sin t p 2 ' 3 2 ' 3 '3 2 '3 2 x 2 5 3 p 3 5 3 p 3 p 3 5 p 3 O y=cos x y 1 -1 x 2p p y=2 1 2 11 ;3!; 2 cos h 2(1-sin h) cos h(1-sin h)cos¤ h+1-2 sin h+sin¤ h cos h(1-sin h) 1-sin h cos h cos h 1-sin h k¤ 9 1 3 k¤ 9 1 3 k 3 ∴ a-b= p- p= p
27
x+ =t { …t<:¡6£:p}로 놓으면 sin t= 이므로 t= 또는 t=;3@;p ∴ x= 또는 x= 따라서 구하는 두 근의 합은 + =;3@;p28
cos¤ x=1-sin¤ x이므로 4 cos¤ x+4 sin x=5에서 4(1-sin¤ x)+4 sin x=5 4 sin¤ x-4 sin x+1=0 (2 sin x-1)¤ =0 ∴ sin x=;2!; 0…x… 이므로 x= ∴ cos =29
sin¤ x=1-cos¤ x이므로 2 sin¤ x-cos x-1=0에서 cos x=t`(-1…t…1)로 놓으면 2(1-t¤ )-t-1=0, 2t¤ +t-1=0 (2t-1)(t+1)=0 ∴ t=;2!; 또는 t=-1 ⁄t=;2!;일 때, ⁄cos x=;2!;이므로 x= 또는 x=;3%;p ¤t=-1일 때, cos x=-1이므로 x=p 따라서 구하는 모든 근의 합은 +;3%;p+p=3p30
cos¤ h=1-sin¤ h이므로 2 cos¤ h-3 sin h=3에서 2(1-sin¤ h)-3 sin h=3 2 sin¤ h+3 sin h+1=0 (2 sin h+1)(sin h+1)=0 ∴ `sin h=- 또는 sin h=-1 0…h…2p이므로 h= p또는 h= p또는 h= p 따라서 방정식의 모든 해의 합은 p+ p+ p=9p 2 11 6 3 2 7 6 11 6 3 2 7 6 1 2 p 3 p 3 '3 2 p 6 p 6 p 2 p 2 p 6 p 2 p 6 p 3 '3 2 p 6 p 6 2 3 2 3 4 301
주어진 수열은 3씩 더해서 나열된 것이므로 a=7+3=10, b=13+3=16 ∴ a+b=10+16=26 [다른 풀이] 13이 a와 b의 등차중항이므로 a+b=2_13=2602
주어진 수열을 {a«}이라 하면 a=a¡=3_1-1=2 d=a™-a¡=(3_2-1)-2=3 ∴ a+d=2+3=503
1, 4, 7, 10, y은 첫째항이 1, 공차가 3인 등차수열이므로 a«=1+(n-1)_3 =3n-204
첫째항이 7, 공차가 -2인 등차수열의 일반항 a«은 a«=7+(n-1)_(-2)=-2n+9 ∴ a¡º=(-2)_10+9=-1105
첫째항이 -2, 공차가 5인 등차수열의 일반항 a«은 a«=-2+(n-1)_5 =5n-7 ∴ a¡™=5_12-7=5306
첫째항이 -8, 공차가 4인 등차수열의 일반항 a«은 a«=-8+(n-1)_4=4n-12 a˚=4k-12=16에서 4k=28 ∴ k=707
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡™=2+(12-1)d=-31 11d=-33 ∴ d=-308
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¡º=a+9d=37 yy㉠ a¡∞=a+14d=62 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-8, d=5 ∴ a∞=a+4d=-8+4_5=1209
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a∞=-4+4d=8 4d=12 ∴ d=3 ∴ a«=-4+(n-1)_3 =3n-7따라서 a™=-1, a£=2, a¢=5이므로
a™a£a¢=-10
10
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a™=a+d=13 yy㉠ a¢+a¶=(a+3d)+(a+6d) =2a+9d=5 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 구하는 공차 d는 d=-311
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 -a™=a£에서 -(-6+d)=-6+2d 3d=12 ∴ d=4 ∴ a¢=(-6)+3_4=612
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 |a£|=8에서 |(-2)+2d|=8 (-2)+2d=-8또는 (-2)+2d=8 ⁄(-2)+2d=-8 2d=-6 ∴ d=-3 ¤(-2)+2d=8 2d=10 ∴ d=5 ⁄, ¤에서 조건을 만족시키는 공차 d는 d=-3(∵ d<0) ∴ a™=(-2)+1_(-3)=-513
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a•-a¢=(a+7d)-(a+3d) =4d=28 ∴ d=701
④02
⑤03
②04
①05
5306
②07
①08
1209
①10
③11
②12
③10
본문057`~`058쪽등차수열의 일반항
13
714
2015
⑤16
④17
3818
3519
1020
①21
322
2223
2624
③25
②26
①27
① 본문058`~`060쪽유형`10. 등차수열의 일반항
23
14
등차수열 { a« }의 첫째항과 공차가 같으므로 첫째항과 공차를 모 두 a라 하자. 등차수열 { a« }의 일반항 a«은 a«=a+(n-1)a=an a™+a¢=24에서 2a+4a=24 ∴ a=4 따라서 a«=4n이므로 a∞=4_5=2015
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a£=a¡+2d=2+2d=10, 2d=8 ∴ d=4 ∴ a∞=a¡+4d =2+4_4=1816
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¢=a¡+3d=1+3d=7 ∴ d=2 ∴ a«=1+(n-1)_2 =2n-1 ∴ a™+a£=3+5=8 [다른 풀이] 등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a™+a£=(a¡+d)+(a¡+2d) =a¡+(a¡+3d) =a¡+a¢=1+7=817
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a™=a+d=3 yy㉠ a∞=a+4d=24 yy㉡ ㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 a=-4, d=7 ∴ a¶=a+6d =-4+6_7=3818
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a∞=a+4d=5 yy`㉠ a¡∞=a+14d=25 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, d=2 ∴ a™º=a+19d =-3+19_2=3519
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a∞=a™+3d=16+3d=10 ∴ d=-2 a¡=a™-d=16-(-2)=18이므로 a«=18+(n-1)_(-2) =-2n+20 따라서 a˚=-2k+20=0이므로 k=1020
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡º-a¶=3d이므로 3d=6, d=2 ∴ a¢=a¡+3d=4+6=1021
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 2(a™+a£)=aª에서 2{(2+d)+(2+2d)}=2+8d 8+6d=2+8d ∴ d=322
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=a+2d=10 yy㉠ a™+a∞=(a+d)+(a+4d) =2a+5d=24 yy㉡ ㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 a=2, d=4 ∴ a§=a+5d =2+5_4=2223
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=a+2d=8 yy㉠ a§-a¢=(a+5d)-(a+3d) =2d=12 ∴ d=6 d=6을 ㉠에 대입하면 a+12=8 ∴ a=-4 ∴ a§=a+5d =-4+5_6=2624
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a•-a™=(a+7d)-(a+d) =6d=12 ∴ d=2 a¡+a™+a£=a+(a+d)+(a+2d) =3a+3d=15 이 식에 d=2를 대입하면 3a+6=15 ∴ a=3 ∴ a¡º=a+9d =3+9_2=2125
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=a£+8에서 a¡=(a¡+2d)+8이므로 d=-4 이때 2a¢-3a§=3에서 2(a¡+3d)-3(a¡+5d) =-a¡-9d =-a¡+36=3 ∴ a¡=33 a«=33+(n-1)(-4)=-4n+37a˚=-4k+37<0에서 k>:£4¶:=9.25 따라서 자연수 k의 최솟값은 10이다. [다른 풀이] 등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=a£+8에서 a£-a¡=2d=-8이므로 d=-4 이때 a¢-a§=a¡-a£=8이므로 2a¢-3a§=2(a¢-a§)-a§ =2_8-a§=3 에서 a§=13 따라서 aª=a§+3d=13+3_(-4)=1>0, a¡º=a§+4d=13+4_(-4)=-3<0 이므로 a˚<0을 만족시키는 자연수 k의 최솟값은 10이다.
