정답과풀이
1
2
1 ○ 2 × 3 ○ 4 × 5 ○ 6 × 7 × 8 ⑴ ㄱ, ㄷ, ㅂ ⑵ ㄴ, ㄹ, ㅁ 9 꼭짓점 C 10 꼭짓점 E 11 꼭짓점 D 12 꼭짓점 H 13 모서리 BC 14 모서리 AE 15 8, 12 16 5, 8 17 6, 9 18 7, 12 꼭짓점, 모서리 19 ③
기본 도형
1
Ⅰ. 도형의 기초 본문 10 쪽점, 선, 면
01
2 점이 움직인 자리는 선이 된다. 4 교점은 선과 선, 선과 면이 만나서 생긴다. 6 한 평면 위에 있는 도형은 평면도형이다. 7 삼각형과 사각형은 평면도형이고, 오각뿔은 입체도형이다. 19 ㄴ. 교선은 모두 9개이다. ㄷ. 모서리 BE와 모서리 EF의 교점은 꼭짓점 E이다. 따라서 옳은 것은 ③이다. 1 MNê 2 MÕN³ 3 NÕM³ 4 MNÓ 5 6 7 8 9 10 A B C A B C A B C A B C A B C A B C 본문 12 쪽직선, 반직선, 선분
02
AB³, 반직선 AB, BA³, 반직선 BA, ABÓ(BAÓ), 선분 AB(선분 BA) 원리확인 11 A B C D A B C D , = 12 A B C D A B C D , = 13 A B C D A B C D , + 14 A B C D A B C D , = 15 A B C D A B C D , + 16 A B C D A B C D , = 17 = 18 + 19 = 시작점, 방향 20 CAÓ 21 BCê 22 CB³ 23 AB³ 24 CBÓ 25 BAÓ 26 ④, ⑤ 27 A y , 무수히 많다. 28 A B , 1 무수히 많다, 하나 29 3 30 6 31 3 32 6 33 12 34 6 2 35 ② 26 ① PQê=QPê ② PQ³ 와 QR³ 는 시작점이 다르므로 PQ³+QR³ ③ PQÓ+QRÓ 29 AB ê, BCê, CAê 30 AB³, BA³, BC³, CB³, CA³, AC³ 31 ABÓ, BCÓ, CAÓ 32 AB ê, BCê, CDê, DAê, ACê, BDê 33 AB³, BA³, BC³, CB³, CD³, DC³, DA³, AD³, AC³, CA³, BD³, DB³ 34 ABÓ, BCÓ, CDÓ, DAÓ, ACÓ, BDÓ35 서로 다른 직선은 l의 1개이므로 a=1 서로 다른 반직선은 PQ³, QP³, QR³, RQ³, RS³, SR³의 6개이므로 b=6 서로 다른 선분은 PQÓ, PRÓ, PSÓ, QRÓ, QSÓ, RSÓ의 6개이므로 c=6 따라서 a+b+c=1+6+6=13 본문 16 쪽
두 점 사이의 거리
03
1 7 2 12 3 5 4 13 5 8 6 15`cm 7 17`cm 8 21`cm 9 9`cm 10 18`cm 4 11 ⑴ ;2!;, 8 ⑵ ;2!;, 8 ⑶ 2, 2 12 ⑴ ;2!;, 17 ⑵ ;2!;, 17 13 ⑴ 3 ⑵ 2, 6 14 ⑴ 7 ⑵ 2, 14 15 ⑴ 12 ⑵ ;2!;, 6 ⑶ 2, 24 16 ⑴ ;2!;, 15 ⑵ ;2!;, ;2!;, ;2!;, ;4!;, ;;Á2°;; ⑶ 30, ;;Á2°;;, ;;¢2°;; 17 ⑴ ;2!;, 14 ⑵ ;2!;, ;2!;, ;2!;, ;4!;, 7 ⑶ 21 ⑷ 2, 2, 4 18 ⑴ ;2!;, ;2!; ⑵ ;2!;, ;2!;, ;2!;, ;2!; ⑶ 2, 16 19 3`cm 20 20`cm 21 30`cm 22 22`cm 23 ⑴ 3 ⑵ ;3!;, 6 ⑶ 2, 12 24 ⑴ 5`cm ⑵ 10`cm ⑶ 15`cm 25 ③, ⑤ 19 MBÓ=;2!; ABÓ이므로 MNÓ=;2!; MBÓ=;2!;_;2!; ABÓ =;4!; ABÓ=;4!;_12=3(cm) 20 AÕMÓ=2NMÓ이므로 ABÓ=2AÕMÓ=2_2NMÓ=4NMÓ=4_5=20(cm) 21 AÕMÓ=MBÓ=;2!; ABÓ이므로 MNÓ=;2!; MBÓ=;2!;_;2!; ABÓ=;4!; ABÓ 따라서 ANÓ=AÕMÓ+MNÓ=;2!; ABÓ+;4!; ABÓ =;4#; ABÓ=;4#;_40=30(cm) 22 ABÓ=2MBÓ, BCÓ=2BNÓ이므로 ACÓ =ABÓ+BCÓ=2MBÓ+2BNÓ =2(MBÓ+BNÓ)=2 MNÓ =2_11=22(cm) 24 ⑴ MNÓ=AMÓ=5`cm ⑵ MBÓ=2AMÓ=2_5=10(cm) ⑶ ABÓ=3AMÓ=3_5=15(cm) 25 ③ ABÓ=;2!; BDÓ ⑤ ABÓ=BCÓ=CDÓ=;3!; ADÓ이므로 2ACÓ=2_;3@; ADÓ=;3$; ADÓ 따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다. 본문 20 쪽각
04
1 직 2 예 3 둔 4 평 5 예 6 둔 원리확인 1 × 2 ○ 3 × 4 ○ 5 × 6 ○ 7 ○8 ∠BAC, ∠CAB 9 ∠ABC, ∠CBA 10 ∠ACB, ∠BCA 11 ∠ABC, ∠CBA
12 ∠ACB, ∠BCA 13 ∠ACD, ∠DCA 14 둔각 15 직각 16 예각 17 평각 18 예각 19 둔각 20 직각 21 평각 90, 평각, 예각, 90, 180 22 40`( 90, 40) 23 20 24 10 25 22 26 20 27 16 28 15 29 137`( 180, 137) 30 70 31 80 32 54 33 20 34 35 35 30 36 ∠x=40ù, ∠y=60ù, ∠z=80ù, ( 2, 40, 3, 60, 4, 80) 37 ∠x=60ù, ∠y=96ù, ∠z=24ù 38 ∠x=90ù, ∠y=30ù, ∠z=60ù 39 ∠x=70ù, ∠y=60ù, ∠z=50ù 1. 기본 도형 3 중학연산(1-2)해설001~064.indd 3 20. 4. 16. 오후 4:25
3 평각의 크기는 180ù이다. 5 둔각은 90ù보다 크고 180ù보다 작은 각이다. 37 ∠x=180ù_5+8+2 =605 ù ∠y=180ù_5+8+2 =968 ù ∠z=180ù_5+8+2 =242 ù 38 ∠x=180ù_3+1+2 =903 ù ∠y=180ù_3+1+2 =301 ù ∠z=180ù_3+1+2 =602 ù 39 ∠x=180ù_7+6+5 =707 ù ∠y=180ù_7+6+5 =606 ù ∠z=180ù_7+6+5 =505 ù 14 ∠AOD=130ù이므로 둔각이다. 15 ∠AOC=90ù이므로 직각이다. 16 ∠BOC=50ù이므로 예각이다. 17 ∠AOE=180ù이므로 평각이다. 18 ∠BOD=75ù이므로 예각이다. 19 ∠BOE=105ù이므로 둔각이다. 20 ∠COE=90ù이므로 직각이다. 21 ∠EOA=180ù이므로 평각이다. 23 x+70=90이므로 x=20 24 5x+4x=90이므로 9x=90 따라서 x=10 25 x+(3x+2)=90이므로 4x=88 따라서 x=22 26 (x+3)+(3x+7)=90이므로 4x=80 따라서 x=20 27 (2x+15)+(3x-5)=90이므로 5x=80 따라서 x=16 30 x+110=180이므로 x=70 31 70+x+30=180이므로 x=80 32 36+90+x=180이므로 x=54 33 (5x+5)+(2x+35)=180이므로 7x=140 따라서 x=20 34 (2x-25)+(4x-5)=180이므로 6x=210 따라서 x=35 35 x+3x+2x=180이므로 6x=180 따라서 x=30 6 평각은 180ù이므로 180ù_;2!;=90ù 본문 24 쪽
맞꼭지각
05
1 ∠DOE 또는 ∠EOD 2 ∠COD 또는 ∠DOC 3 ∠AOE 또는 ∠EOA 4 ∠COA 또는 ∠AOC
5 ∠DOB 또는 ∠BOD 6 ∠COE 또는 ∠EOC 7 ∠AOF 또는 ∠FOA 8 ∠COB 또는 ∠BOC
9 ∠x=50ù 10 ∠x=110ù 11 ∠x=90ù 12 ∠x=20ù, ∠y=65ù 13 ∠x=30ù, ∠y=85ù 14 28 15 105 16 14 17 15 18 58 ∠b, ∠c 19 ∠x=130ù, ∠y=50ù`( 130, 180, 50) 20 ∠x=80ù, ∠y=100ù 21 ∠x=38ù, ∠y=142ù 22 ∠x=124ù, ∠y=56ù 23 ∠x=140ù, ∠y=140ù 24 ∠x=35ù, ∠y=65ù 25 ∠x=30ù, ∠y=75ù 28 (5x-30)+(90-3x)=90이므로 2x=30 따라서 x=15
14 3x=84에서 x=28 15 x+15=120에서 x=105 16 7x-10=88에서 x=14 17 2x+15+90=135에서 x=15 18 44+90=x+76에서 x=58 21 ∠x=38ù(맞꼭지각) 38ù+∠y=180ù이므로 ∠y=142ù 20 ∠x=80ù(맞꼭지각) 80ù+∠y=180ù이므로 ∠y=100ù 22 ∠x=124ù(맞꼭지각) 124ù+∠y=180ù이므로 ∠y=56ù 23 ∠x+40ù=180ù이므로 ∠x=140ù ∠y=∠x=140ù(맞꼭지각) 24 ∠x=35ù(맞꼭지각) ∠y+35ù+80ù=180ù이므로 ∠y=65ù 25 ∠x=30ù(맞꼭지각) 75ù+30ù+∠y=180ù이므로 ∠y=75ù 26 ∠x=12ù(맞꼭지각) 78ù+12ù+∠y=180ù이므로 ∠y=90ù 27 ∠x=90ù+45ù=135ù(맞꼭지각) 135ù+∠y=180ù이므로 ∠y=45ù 28 3∠x+15ù=2∠x+30ù(맞꼭지각)이므로 ∠x=15ù (∠y+60ù)+(2_15ù+30ù)=180ù이므로 ∠y=60ù 30 43+x+57=180이므로 x=80 31 90+x+52=180이므로 x=38 32 69+x+90=180이므로 x=21 33 6x+4x+40=180이므로 10x=140 따라서 x=14 34 28+3x+(2x+12)=180이므로 5x=140 따라서 x=28 35 110+(3x-10)+(4x+17)=180이므로 7x=63 따라서 x=9 36 6x+(2x+10)+(7x-25)=180이므로 15x=195 따라서 x=13 37 y=x+47이므로 (3x-5)+(x+47)+(2x-30)=180 6x=168, 즉 x=28 따라서 y=x+47=28+47=75이므로 x+y=28+75=103 1 × 2 ○ 3 × 4 ○ 5 ABÓ⊥ADÓ, ABÓ⊥BCÓ`( ⊥, BCÓ) 6 ABÓ⊥BCÓ
7 PMê 8 PMê 9 5 10 90 11 90 12 ⑴ 13 ⑴ • • • • • • • • l A C B D A' C' B' D' l A B C D A' C' B' D' 본문 28 쪽
수직과 직선
06
1 ⊥ 2 O 3 수직이등분선 원리확인 26 ∠x=12ù, ∠y=90ù 27 ∠x=135ù, ∠y=45ù 28 ∠x=15ù, ∠y=60ù 29 60`( 180, 60) 30 80 31 38 32 21 33 14 34 28 35 9 36 13 180ù 37 ④ ⑵ 3, 2, 1, 4 ⑶ 점 C ⑷ 점 D ⑵ 2, 4, 3, 2 ⑶ 점 A, 점 D ⑷ 점 B 1. 기본 도형 5 중학연산(1-2)해설001~064.indd 5 20. 7. 23. 오후 5:24TEST
1. 기본 도형 본문 31 쪽 1 22 2 ②, ⑤ 3 30`cm 4 ③ 5 65 6 ④ 1 a=(교점의 개수)=(꼭짓점의 개수)=6 b=(교선의 개수)=(모서리의 개수)=10 따라서 2a+b=2_6+10=22 3 AÕMÓ=MBÓ, BNÓ=NCÓ이므로 ACÓ =AÕMÓ+MNÓ+NCÓ =MBÓ+MNÓ+BNÓ =2MNÓ=2_15=30(cm) 4 (2x+16)+(6x-4)+6x=180 14x=168에서 x=12 따라서 ∠COD=6xù=6_12ù=72ù 5 4x+35=7x-10(맞꼭지각)이므로 3x=45, 즉 x=15 (4x+35)+(2y-15)=180이므로 60+35+2y-15=180, 2y=100, 즉 y=50 따라서 x+y=15+50=65 6 ④ 점 A와 CDÓ 사이의 거리는 BCÓ의 길이와 같으므로 8`cm이다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.위치 관계
2
Ⅰ. 도형의 기초 1 점 A, 점 C`( A, C) 2 점 C, 점 D 3 점 B, 점 D, 점 E 4 점 A, 점 B, 점 E 5 점 C 6 점 B, 점 E 7 있지 않다 8 있다 9 있다 10 있지 않다 11 점 A, 점 B 12 점 C, 점 D 지난다, 포함한다 13 ABÓ, ACÓ, ADÓ 14 점 E, 점 F 15 점 A, 점 D, 점 F, 점 C 16 점 D, 점 E, 점 F 17 면 ABED, 면 DEF 18 ③ 본문 34 쪽점과 직선, 점과 평면의 위치 관계
01
1 ⑴ 있다 ⑵ 있지 않다 2 ⑴ 있다 ⑵ 있지 않다 원리확인 18 ㄴ. 직선 l 위에 있지 않은 점은 점 A, 점 B, 점 E의 3개 이다. ㄷ. 평면 P 위에 있지 않은 점은 점 A, 점 B이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. 1 만나지 않는다 2 한 점에서 만난다 3 한 점에서 만난다 4 평행하다 5 일치한다 6 변 AD, 변 BC 7 변 AB, 변 CD 8 변 BC 9 변 AD, 변 BC10 변 AB, 변 CD 11 변 AD 12 직선 EF 13 직선 AB, 직선 BC, 직선 CD, 직선 EF, 직선 FG, 직선 GH 14 직선 FG 15 직선 CD, 직선 DE 0, 1, 2 16 ①, ③ • • • • 본문 36 쪽
평면에서 두 직선의 위치 관계
02
1 ABÓ⊥ADÓ, ABÓ⊥BCÓ 3 ADÓ의 수선은 ABÓ이다. 21 ② CDÓ와 수직으로 만나는 선분은 없다. ⑤ 점 D와 BCÓ 사이의 거리는 ABÓ의 길이와 같으므로 12`cm이다. 따라서 옳지 않은 것은 ②, ⑤이다. 14 ⑴ 점 D ⑵ 6`cm ⑶ 8`cm 15 ⑴ 점 H ⑵ 8`cm 16 ⑴ 점 C ⑵ 12`cm 17 점 B 18 점 G 19 5`cm 20 11`cm 21 ②, ⑤16 ① ABÓ와 CDÕÓ는 평행하지 않는다. ③ ABÓ와 DCÓ는 수직이 아니다. 따라서 옳지 않은 것은 ①, ③이다. 1 A B F G C D H E , ADÓ, AEÓ, BCÓ, BFÓ`( AEÓ, BCÓ, BFÓ) 2 A B F G C D H E , ABÓ, BFÓ, CDÓ, CGÓ 3 A B F G C D H E , BCÓ, CDÓ, FGÓ, GHÓ 4 A B F G C D H E , AEÓ, EFÓ, DHÓ, HGÓ 5 A B F G C D H E , CDÓ, EFÓ, GHÓ`( EFÓ, GHÓ) 6 A B F G C D H E , AEÓ, CGÓ, DHÓ 7 A B F G C D H E , ADÓ, BCÓ, EHÓ 8 A B F G C D H E , AEÓ, BFÓ, CGÓ 9 A B F G C D H E , DHÓ, EHÓ, CGÓ, FGÓ`( EHÓ, CGÓ, FGÓ) 본문 38 쪽
공간에서 두 직선의 위치 관계
03
• • • • • • • • 원리확인 10 A B F G C D H E , ABÓ, ADÓ, EFÓ, EHÓ 11 A B F G C D H E , ABÓ, AEÓ, CDÓ, DHÓ 12 A B F G C D H E , ABÓ, BCÓ, EFÓ, FGÓ 한 점에서 만난다, 일치한다 / 평행하다, 꼬인 위치에 있다 / 한 점에서 만난다, 일치한다, 평행하다 13 ⑴ ABÓ, ADÓ, BCÓ, CDÓ ⑵ ADÓ ⑶ ABÓ14 ⑴ ABÓ, BCÓ, ADÓ, CFÓ ⑵ ADÓ, CFÓ ⑶ ABÓ, ACÓ, ADÓ 15 ⑴ ABÓ, BCÓ, AEÓ, EDÓ ⑵ BCÓ, CDÓ ⑶ ABÓ, AEÓ 16 ⑴ ABÓ, BFÓ, CDÓ, CGÓ ⑵ ABÓ, CDÓ, EFÓ ⑶ ADÓ, CDÓ, EHÓ, GHÓ 17 ⑴ ABÓ, BCÓ, ADÓ, CDÓ, AEÓ, CGÓ ⑵ ADÓ, EHÓ, FGÓ ⑶ BFÓ, DHÓ, EFÓ, FGÓ, GHÓ, EHÓ 18 ⑴ ABÓ, ACÓ, ADÓ, BEÓ, DEÓ, EFÓ ⑵ ACÓ, DGÓ ⑶ ABÓ, AEÓ, BEÓ, DEÓ, EFÓ 19 ○ 20 ○ 21 × 22 ○ 23 × 0, 1, 2 24 ③, ④ 21 직선 AB와 직선 CD는 한 점에서 만난다. 23 직선 AE와 꼬인 위치에 있는 직선은 BGê, CHê, DIê, FGê, GHê, HIê, IJê의 7개이다. 24 ① 만나지 않는 두 직선 중 평행한 두 직선은 한 평면 위 에 있다. ② 한 평면 위에서 두 직선이 만나면 한 점에서 만나거나 일치한다. ⑤ 꼬인 위치에 있는 두 직선을 포함하는 평면은 없다. 따라서 옳은 것은 ③, ④이다. 2. 위치 관계 7 중학연산(1-2)해설001~064.indd 7 20. 7. 23. 오후 5:25
1 A B F G C D H E , AEÓ, BFÓ, CGÓ, DHÓ`( BFÓ, CGÓ, DHÓ) 2 A B F G C D H E , ADÓ, BCÓ, FGÓ, EHÓ 3 A B F G C D H E , ABÓ, CDÓ, EFÓ, GHÓ 4 A B F G C D H E , ADÓ, BCÓ, EHÓ, FGÓ 5 A B F G C D H E , ABÓ, CDÓ, EFÓ, GHÓ 6 A B F G C D H E , EFÓ, FGÓ, GHÓ, HEÓ`( FGÓ, GHÓ, HEÓ) 7 A B F G C D H E , CDÓ, DHÓ, GHÓ, CGÓ 8 A B F G C D H E , ADÓ, AEÓ, EHÓ, DHÓ 9 A B F G C D H E , ABÓ, BFÓ, EFÓ, AEÓ 10 A B F G C D H E , BCÓ, BFÓ, CGÓ, FGÓ 본문 42 쪽
공간에서 직선과 평면의 위치 관계
04
• • • • • • 원리확인 11 A B F G C D H E , 면 ABCD, 면 ABFE`( ABFE) 12 A B F G C D H E , 면 ABFE, 면 BFGC 13 A B F G C D H E , 면 AEHD, 면 EFGH 14 A B F G C D H E , 면 ABCD, 면 BFGC 15 A B F G C D H E , 면 AEHD, 면 CGHD 16 A B F G C D H E , 면 ABFE, 면 CGHD`( CGHD) 17 A B F G C D H E , 면 ABCD, 면 EFGH 18 A B F G C D H E , 면 AEHD, 면 BFGC 19 A B F G C D H E , 면 ABFE, 면 CGHD ⊥ 20 ⑴ 면 ABC, 면 ABED ⑵ ADÓ, BEÓ, CFÓ ⑶ 면 BEFC ⑷ 면 ABC, 면 DEF 21 ⑴ 면 BFGC, 면 AEHD ⑵ 면 BFGC, 면 EFGH ⑶ ADÓ, AEÓ, EHÓ, DHÓ ⑷ AEÓ, BFÓ, CGÓ, DHÓ 22 ⑴ CDÓ, CGÓ, GHÓ, DHÓ ⑵ ADÓ, BCÓ, EHÓ, FGÓ ⑶ ABÓ, CDÓ, EFÓ, GHÓ ⑷ 면 AEHD, 면 BFGC 23 ⑴ 면 ABCDEF, 면 GHIJKL ⑵ 면 BHGA, 면 AGLF ⑶ AGÓ, BHÓ, CIÓ, DJÓ, EKÓ, FLÓ ⑷ 점 G 24 × 25 ○ 26 ○ 27 ○ 28 × 0, 1, 2 29 ③1 면 ABFE, 면 BFGC, 면 CGHD, 면 AEHD ( BFGC, CGHD, AEHD) 2 면 ABCD, 면 BFGC, 면 EFGH, 면 AEHD 3 면 ABCD, 면 ABFE, 면 EFGH, 면 CGHD 4 면 ABCD, 면 BFGC, 면 EFGH, 면 AEHD 5 면 ABFE, 면 BFGC, 면 CGHD, 면 AEHD 6 면 EFGH`( EFGH) 7 면 CGHD 8 면 AEHD 9 면 ABFE 10 면 ABCD 11 면 ABFE, 면 BFGC, 면 CGHD, 면 AEHD ( BFGC, CGHD, AEHD) 12 면 ABCD, 면 BFGC, 면 EFGH, 면 AEHD 13 면 ABCD, 면 ABFE, 면 EFGH, 면 CGHD 14 면 ABCD, 면 BFGC, 면 EFGH, 면 AEHD 15 면 ABFE, 면 BFGC, 면 CGHD, 면 AEHD 16 ⑴ 면 DEF ⑵ 면 ABC, 면 ABED, 면 DEF, 면 ADFC ⑶ 면 ABC, 면 ADFC, 면 DEF 본문 46 쪽
공간에서 두 평면의 위치 관계
05
• • • • • • 원리확인 17 ⑴ 면 ABCD ⑵ 면 ABCD, 면 BFGC, 면 EFGH, 면 AEHD ⑶ 면 ABCD, 면 EFGH 18 ⑴ 면 ABHG, 면 FLKE, 면 ABCDEF, 면 GHIJKL ⑵ 면 DJKE ⑶ 면 ABHG, 면 BHIC, 면 CIJD, 면 DJKE, 면 FLKE, 면 AGLF 19 ⑴ 면 ABC ⑵ CFÓ ⑶ 면 ADEB, 면 DEF 20 ⑴ 면 EFGH ⑵ AEÓ ⑶ 면 BFGC, 면 CGHD 21 ⑴ 면 FGHIJ ⑵ FJÓ ⑶ 면 AFGB, 면 AFJE 22 ○ 23 × 24 ○ 25 × 26 ○ 27 ② 28 ADÓ, BFÓ 29 AEÓ, ADÓ, EFÓ, DGÓ 30 면 BFGC 31 면 AEB, 면 BEF 32 면 DEFG 33 면 AED, 면 BEF, 면 BFGC, 면 ADGC 34 직선 AD, 직선 DH, 직선 BC, 직선 CG, 직선 HG 35 직선 DH, 직선 EH, 직선 CG, 직선 FG, 직선 HG 36 AEÓ, BFÓ, CGÓ, DHÓ 37 AEÓ, EHÓ, DHÓ, ADÓ 38 면 AEHD, 면 BFGC 39 면 BFGC 40 × 41 ○ 42 × 43 ○ 44 × 45 ○ 46 × 47 ○ 48 ○ 49 × 50 ○ 51 × 52 × 53 ○ • • • • • • 24 모서리 BF와 면 AEHD는 평행하므로 만나지 않는다. 27 면 ABCD와 수직인 모서리는 AEÓ, BFÓ, CGÓ, DHÓ의 4개 이다. 28 모서리 AB와 한 점에서 만나는 면은 면 AEHD, 면 BFGC의 2개이다. 29 면 BFHD와 한 점에서 만나는 모서리는 ABÓ, BCÓ, CDÓ, ADÓ, EFÓ, EHÓ, FGÓ, GHÓ이므로 a=8 모서리 AD와 수직인 면은 면 ABFE, 면 CGHD이므로 b=2 따라서 ab=8_2=16 23 면 AEHD와 면 CGHD는 수직이다. 24 면 EFGH와 한 모서리에서 만나는 면은 면 ABFE, 면 BFGC, 면 CGHD, 면 AEHD의 4개이다. 25 면 ABFE와 평행한 면은 면 CGHD의 1개이다. 27 면 BHIC와 평행한 면은 면 FLKE의 1개이므로 a=1, 면 GHIJKL과 수직인 면은 면 ABHG, 면 BHIC, 면 CIJD, 면 DJKE, 면 FLKE, 면 AGLF의 6개이므 로 b=6, 면 DJKE와 한 모서리에서 만나는 면은 면 ABCDEF, 면 CIJD, 면 FLKE, 면 GHIJKL의 4개이므로 c=4 따라서 a+b+c=1+6+4=11 2. 위치 관계 9 중학연산(1-2)해설001~064.indd 9 20. 7. 23. 오후 5:25TEST
2. 위치 관계 본문 53 쪽 1 ② 2 ㄴ, ㄹ 3 ④, ⑤ 4 ⑤ 5 ⑴ 면 BFGC, 면 EFGH ⑵ 면 CGHD, 면 EFGH ⑶ AEÓ, BFÓ, CGÓ, DHÓ 6 3 1 ② 점 C는 직선 l 위에 있다. 2 ㄱ. 점 A는 평면 P 위에 있지 않다. ㄷ. 두 점 C, D는 직선 l 위에 있고 평면 P 위에도 있다. ㄹ. 직선 l 위에 있지 않은 점은 점 A, 점 B의 2개이다. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. 3 ④ 두 직선이 두 점 이상의 교점을 가지면 두 직선은 일치 한다. ⑤ 평면에서는 두 직선이 꼬인 위치에 있는 경우가 존재 하지 않는다. 따라서 l, m의 위치 관계가 될 수 없는 것은 ④, ⑤이다. 40 lm인 직선 l, m에 대 하여 m⊥n인 직선 n을 나타내면 오른쪽 그림과 같이 l⊥n 또는 l과 n은 꼬인 위치에 있다. l l m n m n n n 41 lm인 직선 l, m에 대하여 ln인 직선 n을 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 mn이다. l m n n 42 lm인 직선 l, m에 대하여 l⊥n인 직선 n을 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 m⊥n 또는 m과 n은 꼬인 위치에 있다. l m n n n n 43 l⊥m인 직선 l, m에 대하여 m⊥n인 직 선 n을 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 ln 또는 l⊥n 또는 l과 n은 꼬인 위치 에 있다. l m n n n 44 l⊥m인 직선 l, m에 대하여 l⊥n인 직선 n을 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 mn 또는 m⊥n 또는 m과 n은 꼬인 위 치에 있다. l m n n n 45 lm인 직선 l, m에 대하여 mn인 직선 n을 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 ln이다. l m n n 46 l⊥m인 직선 l, m에 대하여 mn인 직선 n을 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 l⊥n 또는 l과 n은 꼬인 위치에 있다. l m n n n 47 l⊥P인 직선 l, 평면 P 에 대하여 l⊥Q인 평면 Q를 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 PQ 이다. Q l P l P 48 l⊥P인 직선 l과 평면 P에 대하여 lQ인 평면 Q를 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 P⊥Q이다. Q l P 49 l⊥m인 직선 l, m에 대하여 lP인 평면 P를 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 m⊥P 또는 mP이다. l P P m 50 l⊥P인 직선 l과 평면 P에 대하여 PQ 인 평면 Q를 나타내면 오른쪽 그림과 같으 므로 l⊥Q이다. Q l P 51 l⊥P인 직선 l과 평면 P에 대하여 P⊥Q 인 평면 Q를 나타내면 오른쪽 그림과 같으 므로 직선 l은 평면 Q에 포함되거나 l⊥Q 또는 lQ이다. Q Q Q Q l P 52 lm인 직선 l, m에 대하여 lP인 평면 P를 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 직선 m은 평면 P에 포함되거나 mP이다. l P P m 53 l⊥P인 직선 l과 평면 P에 대하여 m⊥P 인 직선 m을 나타내면 오른쪽 그림과 같으 므로 lm이다. m l P m m4 ⑤ BFÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 ACÓ, ADÓ, CDÓ, EGÓ, EHÓ, GHÓ의 6개이다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 6 모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 ADÓ, DEÓ, EFÓ, FGÓ, DGÓ의 5개이므로 a=5 면 ADGC와 평행한 면은 면 BEF의 1개이므로 b=1 면 BEF와 수직인 면은 면 ABC, 면 ABED, 면 DEFG, 면 CFG의 4개이므로 c=4 따라서 a+2b-c=5+2-4=3
평행선
3
Ⅰ. 도형의 기초 1 ⑴ ∠e ⑵ ∠f ⑶ ∠h ⑷ ∠a ⑸ ∠c ⑹ ∠d 2 ⑴ ∠f ⑵ ∠e ⑶ ∠c ⑷ ∠d 3 ⑴ ∠y ⑵ ∠w ⑶ ∠a ⑷ ∠c ⑸ ∠d ⑹ ∠b 동위각, 엇각 4 ⑴ 110, 70 ⑵ 110 5 ⑴ ∠f, ∠f, 75, 105 ⑵ ∠e, ∠e, 75 6 ⑴ ∠c, ∠c, 60, 120 ⑵ ∠d, ∠d, 40, 140 7 ⑴ 85ù ⑵ 70ù ⑶ 110ù ⑷ 70ù 8 ⑴ 65ù ⑵ 115ù ⑶ 100ù ⑷ 80ù 9 ④ 본문 56 쪽동위각과 엇각
01
7 ⑴ ∠d=85ù(맞꼭지각) ⑶ ∠c=180ù-70ù=110ù 9 ④ ∠d의 동위각은 ∠b이므로 ∠b=95ù`(맞꼭지각) 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 8 ⑴ ∠b=65ù(맞꼭지각) ⑵ ∠c=180ù-65ù=115ù ⑶ ∠f =100ù(맞꼭지각) ⑷ ∠d=180ù-100ù=80ù 1 72ù 2 65ù 3 45ù 4 140ù 5 55ù 6 30ù 7 110ù =, = 8 ∠x=55ù, ∠y=125ù`( 55, 55, 125) 9 ∠x=70ù, ∠y=110ù 10 ∠x=85ù, ∠y=95ù 11 ∠x=75ù, ∠y=105ù 12 ∠x=155ù, ∠y=25ù 13 ∠x=45ù, ∠y=135ù 14 ∠x=44ù, ∠y=136ù 15 ∠x=50ù, ∠y=130ù 16 ∠x=115ù, ∠y=65ù 17 ∠x=85ù, ∠y=120ù`( 85, 60, 120) 본문 58 쪽평행선의 성질
02
3. 평행선 11 중학연산(1-2)해설001~064.indd 11 20. 4. 16. 오후 4:2518 ∠x=80ù, ∠y=70ù 19 ∠x=42ù, ∠y=105ù 20 ∠x=131ù, ∠y=50ù 21 ∠x=120ù, ∠y=100ù 22 ∠x=96ù, ∠y=50ù 23 ∠x=125ù, ∠y=85ù 24 ∠x=120ù, ∠y=60ù 25 ∠x=80ù, ∠y=135ù 180ù, ∠h, 180ù 26 60ù`( 180, 80, 40, 180, 60) 27 70ù 28 55ù 29 90ù 30 80ù 31 60ù`( 180, 72, 48, 180, 60) 32 62ù 33 40ù 34 30ù 35 ① 9 ∠x=70ù`(동위각), ∠y=180ù-70ù=110ù 10 ∠x=85ù`(엇각), ∠y=180ù-85ù=95ù 11 ∠y=105ù`(엇각), ∠x=180ù-105ù=75ù 12 ∠x=155ù`(동위각), ∠y=180ù-155ù=25ù 13 ∠y=135ù`(엇각), ∠x=180ù-135ù=45ù 14 ∠x=44ù`(엇각), ∠y=180ù-44ù=136ù 7 ∠x=180ù-70ù=110ù 70ù l m x x 6 ∠x=180ù-150ù=30ù 150ù l m x x 5 ∠x=55ù`(맞꼭지각) 55ù l m x x 15 ∠a=130ù`(동위각) ∠x=180ù-130ù=50ù ∠y=∠a=130ù`(맞꼭지각) 130ù l m x y a 16 ∠a=65ù`(동위각) ∠x=180ù-65ù=115ù ∠y=∠a=65ù`(맞꼭지각) 65ù l m x y a 18 ∠x=80ù`(동위각), ∠y=180ù-110ù=70ù 80ù 110ùl m x y 110ù 19 ∠x=42ù`(엇각), ∠y=105ù`(맞꼭지각) 105ù 42ù l m x y 105ù 20 ∠y=50ù`(동위각), ∠x=180ù-49ù=131ù` 50ù 49ù l m x y 49ù 21 ∠x=120ù`(동위각) ∠y=180ù-80ù=100ù 120ù 80ù l m x y 80ù 22 ∠x=180ù–84ù=96ù, ∠y=180ù-130ù=50ù 130ù 84ù l m x y 84ù 130ù 23 ∠x=180ù-55ù=125ù, ∠y=180ù-95ù=85ù 55ù 95ùl m x y 55ù 95ù 24 ∠x=180ù-60ù=120ù, ∠y=180ù-120ù=60ù 120ù60ù l m x y 60ù 120ù 25 ∠x=180ù-100ù=80ù, ∠y=180ù-45ù=135ù l m x y45ù45ù 100ù 100ù 27 평각의 크기는 180ù이므로 ∠x+40ù+70ù=180ù 따라서 ∠x=70ù 40ù 70ù l m x 40ù 29 평각의 크기는 180ù이므로 25ù+∠x+65ù=180ù 따라서 ∠x=90ù 65ù 25ù l m x 65ù 25ù 28 평각의 크기는 180ù이므로 ∠x+75ù+50ù=180ù 따라서 ∠x=55ù l m x 75ù 50ù 75ù
30 평각의 크기는 180ù이므로 55ù+45ù+∠x=180ù 따라서 ∠x=80ù 55ù 45ù l m x 45ù x 32 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù 이므로 60ù+∠x+58ù=180ù 따라서 ∠x=62ù 60ù 58ù l m x 58ù 33 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù 이므로 65ù+75ù+∠x=180ù 따라서 ∠x=40ù l m 65ù 65ù 75ù x 34 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 65ù+∠x+85ù=180ù 따라서 ∠x=30ù 85ù 65ù l m x 85ù 35 lm, pq이므로 ∠x=180ù-67ù=113ù` 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù 이므로 ∠y+67ù+80ù=180ù, 즉 ∠y=33ù 따라서 ∠x-∠y=113ù-33ù=80ù 67ù 80ùl m x 67ù y y q p r 1 85ù`( 30, 55, 85) 2 98ù 3 65ù 4 80ù 5 20ù ∠a, ∠b 6 100ù`( 40, 60, 100) 7 45ù 8 33ù 9 ① 10 115ù`( 70, ④, 30, 70, 40, 40, 75, 40, 75, 115) 11 30ù 12 35ù 본문 62 쪽
평행선과 꺾인 선
03
2 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을 그으 면 ∠x=40ù+58ù=98ù x 40ù 58ù 40ù 58ù l m n 3 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을 그으 면 22ù+∠x=87ù 따라서 ∠x=65ù x 22ù22ù 87ù l m n x 4 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을 그으면 ∠x=25ù+55ù=80ù x 25ù 55ù 180ù-125ù=55ù 25ù 125ù l m n 5 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을 그으면 ∠x+26ù=46ù 따라서 ∠x=20ù x 26ù 180ù-154ù=26ù 46ù 154ù l m n x 7 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을 그으 면 ∠x+70ù=115ù 따라서 ∠x=45ù 70ù x 70ù 115ùl m n x 8 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을 그으면 ∠x+92ù=125ù 따라서 ∠x=33ù 92ù 180ù-88ù=92ù x 88ù x l m n 125ù 9 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을 그 으면 (2∠x-10ù)+(3∠x+17ù)=112ù 따라서 ∠x=21ù 112ù 3x+17ù 3x+17ù 2x-10ù 2x-10ù l m n 11 두 직선 l, m에 평행한 직선 n, k를 그 으면 15ù+∠x=45ù 따라서 ∠x=30ù 15ù 65ù 15ù x 80ù 65ù l m n k x 45ù 12 두 직선 l, m에 평행한 직선 n, k 를 그으면 (2∠x+10ù)+15ù=3∠x-10ù 따라서 ∠x=35ù x-15ù 3x-10ù 2x+10ù x-15ù 2x+10ù 15ù 15ù l m n k x 3. 평행선 13 중학연산(1-2)해설001~064.indd 13 20. 4. 16. 오후 4:251 54ù 2 100ù 3 134ù 4 24ù 5 26ù 6 44ù 7 40ù 8 52ù 9 78ù 10 82ù 11 73ù 12 75ù 13 54ù 14 30ù 15 ④ 본문 64 쪽
평행선과 종이접기
04
1 55, 55, 180, 55, 55, 180, 70 2 70, 70, 180, 70, 70, 180, 40 원리확인 1 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù 이므로 63ù+∠x+63ù=180ù 따라서 ∠x=54ù 63ù x 63ù 63ù 2 평각의 크기는 180ù이므로 ∠x+40ù+40ù=180ù 따라서 ∠x=100ù x 40ù 40ù 40ù 3 평각의 크기는 180ù이므로 ∠x+46ù=180ù 따라서 ∠x=134ù x 46ù 46ù 46ù 4 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x+78ù+78ù=180ù 따라서 ∠x=24ù x 78ù78ù 78ù 5 평각의 크기는 180ù이므로 ∠x+77ù+77ù=180ù 따라서 ∠x=26ù x 77ù 77ù 77ù 6 평각의 크기는 180ù이므로 180ù-112ù=68ù이고 ∠x+68ù+68ù=180ù 따라서 ∠x=44ù x68ù68ù112ù 68ù 7 평각의 크기는 180ù이므로 180ù-110ù=70ù 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù 이므로 ∠x+70ù+70ù=180ù 따라서 ∠x=40ù x 110ù70ù70ù70ù 8 평각의 크기는 180ù이므로 180ù-116ù=64ù이고 ∠x+64ù+64ù=180ù 따라서 ∠x=52ù x 116ù 64ù 64ù64ù 9 평행선의 성질에 의하여 엇각의 크기는 서로 같으므로 ∠x=39ù+39ù=78ù x 39ù 39ù 10 평행선의 성질에 의하여 엇각의 크기는 서로 같으므로 ∠x=41ù+41ù=82ù x 41ù 41ù 41ù 11 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù 이므로 ∠x+34ù+∠x=180ù 따라서 ∠x=73ù x 34ùx x 12 평각의 크기는 180ù이므로 ∠x+∠x+30ù=180ù 따라서 ∠x=75ù x x x 30ù 13 ∠ABC=27ù`(접은 각)이므로 ∠ACB=180ù-27ù-90ù=63ù 즉 ∠BCD=∠ACB=63ù`(접은 각) 이므로 ∠x=180ù-63ù-63ù=54ù x 27ù 63ù 63ù 27ù A B C D 14 ∠BAC =∠BAD=;2!;_(90ù-60ù) =15ù`(접은 각) 이므로 ∠ABC=180ù-15ù-90ù=75ù 즉 ∠ABD=∠ABC=75ù`(접은 각)이므로 ∠x=180ù-75ù-75ù=30ù x 60ù 75ù 75ù 15ù 15ù A B C D 15 평각의 크기는 180ù이므로 180ù-102ù=78ù이고, ∠x+78ù+78ù=24ù 따라서 ∠x=24ù x 102ù78ù 78ù78ùTEST
3. 평행선 본문 67 쪽 1 ④ 2 ∠x=48ù, ∠y=67ù 3 ① 4 ② 5 34ù 6 ② 1 ④ ∠e의 동위각은 ∠c이므로 ∠c=180ù-65ù=115ù 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 2 ∠x=180ù-132ù=48ù`(엇각), ∠y=67ù`(동위각) 1 동위각, 같으므로, 평행하다 2 44, 엇각, 같지 않으므로, 평행하지 않다 3 70, 72, l, n, 동위각, 70, l, n 4 44, l, m, 엇각, 44, l, m 5 ③ 본문 66 쪽두 직선이 평행할 조건
05
5 두 직선 l, k에서 엇각의 크기가 55ù 로 서로 같으므로 lk 53ù 55ù 55ù 54ù 127ù 125ù l n k m 3 pq이므로 ∠x=180ù-55ù=125ù`(동위각) 55ù+∠y+42ù=180ù`(동위각)에서 ∠y=83ù 따라서 ∠x+∠y=125ù+83ù=208ù 42ù 55ù 42ù 55ù l m x y p q r 4 두 직선 l, m에 평행한 직선 n을 그으 면 ∠x+52ù=89ù 따라서 ∠x=37ù x 52ù l m n 89ù x 52ù 5 평각의 크기는 180ù이므로 180ù-107ù=73ù이고, ∠x+73ù+73ù=180ù 따라서 ∠x=34ù 107ù x 73ù 73ù 73ù 6 두 직선 l, n에서 동위각의 크기가 48ù 로 서로 같으므로 ln 48ù 133ù 132ù 46ù l m n k 47ù 48ù 1 × 2 ○ 3 × 4 × 5 × 6 ○ 7 × 8 × 9 ❶ 눈금 없는 자 ❷ 컴퍼스 ❸ ABÓ 10 A B C ① ② 11 A B C ① ② ③ 12 A B ② P ③ Q ① � 13 A B ② P ③ ④ Q ① � 14 ❶ 컴퍼스 ❷ ABÓ, C ❸ 눈금 없는 자 ❸, ❶, ❷ 15 ②, ③작도와 합동
4
Ⅰ. 도형의 기초 본문 70 쪽길이가 같은 선분의 작도
01
1 작도를 할 때는 눈금 없는 자, 컴퍼스만을 사용한다. 15 ② 작도에서는 선분의 길이를 자로 재지 않는다. ③ 선분 PQ를 점 Q의 방향으로 연장할 때, 눈금 없는 자 가 필요하다. 따라서 옳지 않은 것은 ②, ③이다. 3 작도에서 주어진 선분을 연장할 때는 눈금 없는 자를 사 용한다. 4 작도에서 선분의 길이를 잴 때는 컴퍼스를 사용한다. 5 작도에서 두 선분의 길이를 비교할 때는 컴퍼스를 사용한다. 7 작도에서는 선분의 길이를 자로 재지 않는다. 8 작도할 때는 눈금없는 자, 컴퍼스만을 사용한다. 4. 작도와 합동 15 중학연산(1-2)해설001~064.indd 15 20. 4. 16. 오후 4:251 ⑴ BCÓ ⑵ ACÓ ⑶ ABÓ ⑷ ∠C ⑸ ∠A ⑹ ∠B 2 ⑴ 5`cm ⑵ 7`cm ⑶ 67ù 3 ⑴ 7`cm ⑵ 52ù ⑶ 80ù 4 >, 3, 없다 본문 74 쪽
삼각형
03
5 4<2+3 6 6=2+4 7 5<3+4 8 7<3+5 9 12>4+6 10 11=5+6 12 Ú 가장 긴 변의 길이가 x`cm일 때, x<5+7이므로 x<12 Û 가장 긴 변의 길이가 7`cm일 때, 7<x+5이므로 x>2 Ú, Û에 의하여 2<x<12 13 Ú 가장 긴 변의 길이가 x`cm일 때, x<6+10이므로 x<16 Û 가장 긴 변의 길이가 10`cm일 때, 10<x+6이므로 x>4 Ú, Û에 의하여 4<x<16 14 x+5<x+(x+2)이므로 x>3 15 x+2<(x+1)+(x-3)이므로 x>4 16 나머지 한 변의 길이를 x`cm라 하자. Ú 가장 긴 변의 길이가 x`cm일 때, x<5+8이므로 x<13 Û 가장 긴 변의 길이가 8`cm일 때, 8<x+5이므로 x>3 Ú, Û에 의하여 x의 값의 범위는 3<x<13이므로 나머지 한 변의 길이가 될 수 없는 것은 ⑤이다. 9 ① QAÓ=QBÓ=PCÓ=PDÓ이지만 PAÓ, ABÓ의 길이는 같을 수도 있고 다를 수도 있다. ④ ∠AQB와 크기가 같은 ∠CPD의 작도를 이용한 것으 로, 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 서로 평행함을 이용하였다. 따라서 옳지 않은 것은 ①, ④이다.1 ❶ A, B ❷ D ❸ 컴퍼스, ABÓ ❹ ABÓ, C
❺ CPD 2 O X Y ① ③ P ② Q ④ � C ⑤ D 3 ② ④ C ⑤ D O ①Y ③ P Q � X 4 O X Y ① ③ P ② Q ④ � C ⑤ D 5 O X Y ① ③ P Q ② ④ � C ⑤ D ❺, ❶, ❹
6 ❶ Q ❷ A, B ❸ C ❹ 컴퍼스, ABÓ ❺ ABÓ, D
❻ P, D, PD 7 l ① ② ③ ④⑤m P 8 l ① ② ③ ④ ⑤ m P ⑥ ❺, ❶, ❻, ❷ 9 ①, ④ 본문 72 쪽
크기가 같은 각의 작도
02
5 ○ 6 × 7 ○ 8 ○ 9 × 10 × 11 6, 4, 6, 10, 6, 6, 4, x, 2, 2, 10 12 2<x<12 13 4<x<16 14 x>3 15 x>4 16 ⑤1 ❶ l, 선분, a, BC ❷ c, b ❸ B, A 2 3 4 5 6 7 ❺, ❶, ❷, ❺, ❷, ❶ 8 ❶ 각 ❷ 선분, c, a ❸ C 9 10 11 12 13 14 ❹, ❶, ❸, ❷, ❶, ❸ 15 ❶ 선분, a ❷ 각, B, C ❸ A 16 17 18 19 A B C a b c ① ② ④ ③ ⑤ ⑤ A B C a b c ① ② ③ ④ ⑤ ⑤ A C B c b a ① ② ③ ④ ⑤ ⑤ A B C b c a ① ② ④ ③ ⑤ ⑤ B A C b c a ① ② ⑤ ⑤ ④ ③ b a A B C c ① ② ④ ⑤ ⑤ ③ A B c a ① ② ③ ④ ⑤ C c A ① ② ③ ④ ⑤ a B C A B a ① ② ③ ④ ⑤ C b C A ① ② ③ ④ ⑤ B a b C ① ② ③ ④ ⑤ B c A b ① ② ③ ④ ⑤ B a C b A ① ② ③ ④ ⑤ a A B C ① ② ③ ④ ⑤ B C A b c A B C ① ② ③ ④ ⑤ a A B C ① ② ③ ④ ⑤ 본문 76 쪽
삼각형의 작도
04
20 21 ❷, ❶, ❹, ❶ 22 ○ 23 ○ 24 ○ 25 × 26 ○ 27 ○ b A B C ① ② ③ ④ ⑤ c C ① ② ③ ④ ⑤ A B 1 ○ 2 × 3 ○ 4 × 5 ○ 6 × 7 ○ 8 × b, c, B, B, C 9 ⑴ × ⑵ ○ ⑶ ○ ⑷ ○ 10 ⑴ ○ ⑵ × ⑶ ○ ⑷ ○ 11 ⑴ ○ ⑵ × ⑶ ○ 12 ⑴ ○ ⑵ ○ ⑶ ○ 13 ⑤ 본문 80 쪽삼각형의 결정조건
05
1 세 변의 길이가 주어졌고 11<5+8이므로 삼각형이 하나 로 정해진다. 2 세 변의 길이가 주어졌고 12>4+7이므로 삼각형이 만들 어지지 않는다. 3 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로 삼각형 이 하나로 정해진다. 4 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 다른 한 각의 크기가 주 어졌으므로 삼각형이 하나로 정해지지 않는다. 5 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로 삼각 형이 하나로 정해진다. 6 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌지만 ∠B+∠C>180ù이므로 삼각형이 만들어지지 않는다. 7 ∠C=180ù-50ù-60ù=70ù이므로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어지는 것과 같다. 따라서 삼각형이 하 나로 정해진다. 8 세 각의 크기로는 삼각형을 하나로 결정할 수 없다. 4. 작도와 합동 17 중학연산(1-2)해설001~064.indd 17 20. 4. 16. 오후 4:2513 ㄱ. 15>7+5이므로 삼각형은 만들어지지 않는다. ㄴ. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로 삼 각형이 하나로 정해진다. ㄷ. ∠A=180ù-50ù-75ù=55ù이므로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 것과 같다. 즉 삼각형이 하나로 정해진다. 따라서 삼각형 ABC가 오직 하나로 정해지는 것은 ㄴ, ㄷ이다. 9 ⑴ 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 한 각의 크기가 주어 지는 것이므로 삼각형이 하나로 정해지지 않는다. ⑵ 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어지는 것이므로 삼각 형이 하나로 정해진다. ⑶ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어지는 것이므 로 삼각형이 하나로 정해진다. ⑷ ∠C의 크기를 구할 수 있으므로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어지는 것과 같다. 즉 삼각형이 하나 로 정해진다. 10 ⑴ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어지는 것이므 로 삼각형이 하나로 정해진다. ⑵ 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 한 각의 크기가 주어 지는 것이므로 삼각형이 하나로 정해지지 않는다. ⑶ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어지는 것이므 로 삼각형이 하나로 정해진다. ⑷ ∠C의 크기를 구할 수 있으므로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어지는 것과 같다. 즉 삼각형이 하나 로 정해진다. 11 ⑴ 세 변의 길이가 주어지는 것이므로 삼각형이 하나로 정해진다. ⑵ 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 한 각의 크기가 주어 지는 것이므로 삼각형이 하나로 정해지지 않는다. ⑶ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어지는 것이므 로 삼각형이 하나로 정해진다. 12 ⑴ 세 변의 길이가 주어지는 것이므로 삼각형이 하나로 정해진다. ⑵ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어지는 것이므 로 삼각형이 하나로 정해진다. ⑶ ∠C의 크기를 구할 수 있으므로 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어지는 것과 같다. 즉 삼각형이 하나 로 정해진다.
1 △DEF 2 △HGI 3 △GIH 4 ILKJ 5 HEFG 6 점 E 7 점 H 8 점 C 9 변 EF 10 변 FG 11 변 CD 12 ∠H 13 ∠B 14 ∠A 15 ⑴ 점 E ⑵ 변 AC ⑶ ∠D 16 ⑴ 점 C ⑵ 변 ED ⑶ ∠A 17 ③, ④ 18 ⑴ 8`cm ⑵ 60ù ⑶ 70ù 19 ⑴ 6`cm ⑵ 30ù ⑶ 25ù 20 ⑴ 7`cm ⑵ 60ù ⑶ 65ù 21 ⑴ 8`cm ⑵ 45ù ⑶ 80ù 22 ⑴ 7`cm ⑵ 8`cm ⑶ 90ù ⑷ 100ù 23 ⑴ 9`cm ⑵ 8`cm ⑶ 95ù ⑷ 95ù 24 ⑴ 5`cm ⑵ 75ù ⑶ 90ù ⑷ 55ù 25 ⑴ 6`cm ⑵ 80ù ⑶ 115ù ⑷ 90ù 26 ○ 27 ○ 28 ○ 29 ○ 30 ○ 31 × 32 × 33 × 34 × D, E, EFÓ 35 ⑤ 본문 82 쪽
도형의 합동
06
17 ③ ∠D의 대응각은 ∠H이다. ④ 두 직사각형의 한 변의 길이는 2 2 3 5 같지만 합동은 아니다. 따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다. 20 ⑶ ∠E=∠C=180ù-60ù-55ù=65ù 21 ⑶ ∠F=∠B=180ù-55ù-45ù=80ù 24 ⑷ ∠C=360ù-75ù-90ù-140ù=55ù 25 ⑷ ∠A=360ù-80ù-75ù-115ù=90ù 31 오른쪽 그림의 두 삼각형은 대응하는 2 2 2 3 3 3 각의 크기가 같지만 합동이 아니다. 33 오른쪽 그림의 두 삼각형은 둘레 4 4 4 3 4 5 의 길이가 같지만 합동이 아니다. 34 오른쪽 그림의 두 삼각형은 넓이 3 3 4 4 가 같지만 합동이 아니다.35 ⑤ ∠F의 대응각은 ∠C이므로
∠F=∠C=180ù-75ù-60ù=45ù 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
1 △ACB, BAÓ, 10, ∠OMN, 32, ACÓ, 5, △ACB, SAS
2 △IGH, ∠GHI, 45, HIÓ, 8, ∠GIH, 180, 65, △IGH, ASA
3 △FDE, FDÓ, 6, KLÓ, 10, EFÓ, 8, △FDE, SSS 4 5 6 ○ 7 × 8 ○ 9 × 10 ○ 11 ○ 12 ×
13 ⑴ EFÓ, △DEF, SSS ⑵ ∠D, △DEF, SAS 14 ⑴ DFÓ, △DFE, SAS ⑵ ∠E, △DFE, ASA
⑶ ∠F, 180, 180, ∠F, ∠E, △DFE, ASA 15 ⑴ DEÓ, △DEF, ASA ⑵ EFÓ, ∠F, △DEF, ASA
⑶ FDÓ, ∠F, △DEF, ASA 16 ADÓ, DCÓ, CAÓ, △ADC, SSS 17 OCÓ, ODÓ, ∠COD, △OCD, SAS
18 ACÓ, DCÓ, ∠DCA, BCÓ, ∠CAD, △CDA, ASA 19 MCÓ, ⊥, AÕMÓ, CÕMÓ, ∠AMC, 90, △ACM, SAS 20 CDÓ, CBÓ, BDÓ, △CDB, SSS
21 △CDA, SAS
22 COÓ, OBÓ, ∠O, △COB, SAS
23 △DOC, ASA 24 △BOP, ASA 25 ④ • • • • • • • • • • • • 본문 86 쪽
삼각형의 합동 조건
07
1 DEÓ, BCÓ, FDÓ, 변, 길이, SSS 2 DEÓ, ∠E, BCÓ, 변, 길이, 끼인각, 크기, SAS 3 ∠A, DEÓ, ∠E, 변, 길이, 각, 크기, ASA 원리확인 4 ㉠-㉥: SSS 합동 ㉡-㉢: SAS 합동 ㉣-㉤: ASA 합동 5 ㉠-㉥: ASA 합동 ㉡-㉤: SSS 합동 ㉢-㉣: SAS 합동 6 △ABCª△DEF(SSS 합동) 8 △ABCª△DEF(SAS 합동) 9 ∠A, ∠D는 끼인각이 아니므로 합동이 아니다. 10 △ABCª△DEF(ASA 합동) 11 ∠B=180ù-∠A-∠C=180ù-∠D-∠F=∠E 따라서 △ABCª△DEF(ASA 합동) 25 ㄱ. ABÓ=DEÓ=8`cm이면 끼인각인 ∠A, ∠D의 크기는 알 수 없으므로 △ABC와 △DEF가 합동인지 알 수 없다. ㄴ. SAS 합동 ㄷ. ASA 합동 따라서 △ABC와 △DEF가 합동이기 위하여 필요한 나 머지 한 조건은 ㄴ, ㄷ이다. 12 오른쪽 그림의 두 삼각형은 합동이 아니다. 60ù 60ù 50ù 50ù 70ù 70ù A B C D E F 7 오른쪽 그림의 두 삼각형은 합동이 아니다. A B C D E FTEST
4. 작도와 합동 본문 91 쪽 1 ⑤ 2 ① 3 5 4 125 5 ⑤ 6 ③, ⑤ 1 ① 눈금 없는 자와 컴퍼스를 사용한다. ②, ④ 컴퍼스를 사용한다. ③ 자를 사용한다. 따라서 옳은 것은 ⑤이다. 4. 작도와 합동 19 중학연산(1-2)해설001~064.indd 19 20. 4. 17. 오전 10:452 ㄴ. PAÓ=PBÓ=QCÓ=QDÓ, ABÓ=CDÓ이지만 QCÓ, CDÓ의 길이는 다를 수 있다. ㄹ. 엇각의 크기가 같으면 두 직선이 평행하다는 성질을 이용한 것이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 3 Ú 가장 긴 변의 길이가 11일 때, 11<6+(2a+1), 2a>4, a>2 Û 가장 긴 변의 길이가 2a+1일 때, 2a+1<11+6, 2a<16, a<8 Ú, Û에서 2<a<8이므로 자연수 a는 3, 4, 5, 6, 7의 5 개이다. 4 ∠D=∠H=80ù이므로 ∠A=360ù-90ù-70ù-80ù=120ù에서 x=120 HEÓ=DAÓ=5`cm이므로 y=5 따라서 x+y=120+5=125 5 ⑤ 삼각형에서 나머지 한 각의 크기는 180ù-75ù-60ù=45ù이므로 주어진 삼각형과 ASA 합동이다. 6 ③ SAS 합동 ④ ∠A, ∠D가 끼인각이 아니므로 합동이 아니다. ⑤ ∠B=180ù-∠A-∠C=180ù-∠D-∠F=∠E 이므로 ASA 합동이다. 따라서 △ABC와 △DEF가 합동이기 위하여 필요한 나 머지 한 조건은 ③, ⑤이다.
다각형의 성질
5
Ⅱ. 평면도형 1 삼각형, 3, 3, 3 2 오각형, 5, 5, 5 3 육각형, 6, 6, 6 4 칠각형, 7, 7, 7 5 팔각형, 8, 8, 8 같다 6 7 8 9 10 11 130ù`( 50, 130) 12 80ù 13 65ù 14 85ù 15 50ù 180ù 16 ⑴ 60ù ⑵ 120ù ⑶ 125ù 17 ⑴ 90ù ⑵ 95ù ⑶ 110ù 18 ⑴ 45ù ⑵ 130ù ⑶ 65ù ⑷ 110ù 19 ⑴ 55ù ⑵ 125ù`( 55, 125) ⑶ 60ù 20 ⑴ 55ù ⑵ 95ù ⑶ 90ù 21 ⑴ 115ù ⑵ 100ù ⑶ 120ù ⑷ 130ù 22 ∠x=65ù, ∠y=130ù 23 ∠x=96ù, ∠y=127ù 24 ∠x=77ù, ∠y=75ù 25 ∠x=85ù, ∠y=55ù 26 ∠x=108ù, ∠y=72ù 27 ○ 28 × 29 × 30 ○ 31 ○ 32 × 33 × 34 ③ A B C A B C D A B C D E A B C D E F A B C D E F G 본문 94 쪽다각형
01
1 × 2 ○ 3 × 4 ○ 5 × 6 × 원리확인 12 180ù-100ù=80ù 13 180ù-115ù=65ù 14 180ù-95ù=85ù 15 180ù-130ù=50ù 19 ⑶ 180ù-120ù=60ù20 ⑴ 180ù-125ù=55ù ⑵ 180ù-85ù=95ù ⑶ 180ù-90ù=90ù 21 ⑴ 180ù-65ù=115ù ⑵ 180ù-80ù=100ù ⑶ 180ù-60ù=120ù ⑷ 180ù-50ù=130ù 22 ∠x=180ù-115ù=65ù, ∠y=180ù-50ù=130ù 23 ∠x=180ù-84ù=96ù, ∠y=180ù-53ù=127ù 24 ∠x=180ù-103ù=77ù, ∠y=180ù-105ù=75ù 25 ∠x=180ù-95ù=85ù, ∠y=180ù-125ù=55ù 26 ∠x=180ù-72ù=108ù, ∠y=180ù-108ù=72ù 28 다각형은 3개 이상의 선분으로 둘러싸여 있다. 29 구각형은 9개의 선분으로 둘러싸여 있다. 32 다각형의 한 꼭짓점에서 내각의 크기와 외각의 크기의 합 은 180ù이다. 33 다각형에서 한 내각에 대한 외각은 두 개이다. 34 한 내각의 크기와 이웃한 한 외각의 크기 a b c d e 60ù 150ù 85ù 100ù 145ù 의 합은 180ù이므로 주어진 오각형의 내 각의 크기는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 오각형의 내각의 크기가 아닌 것은 ③이다. 1 같다, 같다, 정다각형이다 2 같다, 같다, 정다각형이다 3 같다, 같지 않다, 정다각형이 아니다 본문 98 쪽
정다각형
02
1 ○ 2 × 3 × 4 ○ 원리확인 4 같지 않다, 같다, 정다각형이 아니다 5 정삼각형`( 삼) 6 정오각형 7 정구각형 8 정육각형 9 정십이각형 10 ○ 11 × 12 × 13 ○ 14 ○ 15 × 16 × 17 ③ 11 정사각형은 네 변의 길이가 같고, 네 내각의 크기가 같다. 12 직사각형의 변의 길이는 같지 않을 수 있으므로 정다각형 이 아니다. 15 변의 길이가 모두 같고 내각의 크기가 모두 같은 다각형 을 정다각형이라 한다. 16 정삼각형의 한 내각의 크기는 60ù이고 한 외각의 크기는 120ù이다. 17 ③ 오른쪽 그림과 같이 두 대각선의 길이가 다르다. 1 오각형`( 2, 5, 오) 2 구각형 3 십일각형 4 십오각형 n-3 5 5`( 5, 2, 5) 6 20 7 54 8 152 9 9`( 3, 6, 육각형, 6, 2, 9) 10 20 11 65 12 90 13 209 14 칠각형`( 14, 7, 7, 칠각형) 15 구각형 16 십각형 17 십삼각형 18 십사각형 19 십팔각형 n-3 본문 100 쪽다각형의 대각선
03
1 0 2 1 3 3 4 5 원리확인 2 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=6에서 n=9 따라서 구각형이다. 3 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=8에서 n=11 따라서 십일각형이다. 5. 다각형의 성질 21 중학연산(1-2)해설001~064.indd 21 20. 4. 16. 오후 4:254 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=12에서 n=15 따라서 십오각형이다. 6 8(8-3)2 =20 7 12(12-3)2 =54 8 19(19-3)2 =152 10 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=5에서 n=8 따라서 팔각형의 대각선의 개수는 8(8-3)2 =20 11 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=10에서 n=13 따라서 십삼각형의 대각선의 개수는 13(13-3)2 =65 12 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=12에서 n=15 따라서 십오각형의 대각선의 개수는 15(15-3)2 =90 13 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-3=19에서 n=22 따라서 이십이각형의 대각선의 개수는 22(22-3)2 =209 15 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3)2 =27에서 n(n-3)=54 이때 54=9_6이므로 n=9 따라서 구하는 다각형은 구각형이다. 16 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3)2 =35에서 n(n-3)=70 이때 70=10_7이므로 n=10 따라서 구하는 다각형은 십각형이다. 17 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3)2 =65에서 n(n-3)=130 이때 130=13_10이므로 n=13 따라서 구하는 다각형은 십삼각형이다. 18 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3)2 =77에서 n(n-3)=154 이때 154=14_11이므로 n=14 따라서 구하는 다각형은 십사각형이다. 19 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n(n-3)2 =135에서 n(n-3)=270 이때 270=18_15이므로 n=18 따라서 구하는 다각형은 십팔각형이다. 1 40ù 2 40ù 3 20ù`( 180, 20) 4 30ù 5 10ù 6 25ù 7 15ù 180 8 60ù`( 50 / 50, 180, 60) 9 65ù 10 35ù 11 32ù 12 45ù 13 30ù`( 1, 30, 180, 180, 30) 14 40ù 15 45ù 16 30ù 17 40ù 18 ② 본문 102 쪽
삼각형; 내각의 크기의 합
04
∠ACE, ∠ECD, 180ù 원리확인 1 ∠x+75ù+65ù=180ù이므로 ∠x=40ù 2 50ù+90ù+∠x=180ù이므로 ∠x=40ù 4 ∠x+2∠x+90ù=180ù이므로 3∠x=90ù 따라서 ∠x=30ù 5 3∠x+115ù+35ù=180ù이므로 3∠x=30ù 따라서 ∠x=10ù 6 (5∠x-20ù)+2∠x+25ù=180ù이므로 ∠7x=175ù 따라서 ∠x=25ù 7 (4∠x+30ù)+(2∠x+15ù)+3∠x=180ù이므로 9∠x=135ù 따라서 ∠x=15ù 9 맞꼭지각의 크기가 같으므로 (180ù-105ù)+∠x+40ù=180ù 따라서 ∠x=65ù 11 ∠x+(90ù-32ù)+90ù=180ù이므로 ∠x=32ù 10 ∠x+(90ù-35ù)=90ù이므로 ∠x=35ù12 맞꼭지각의 크기는 같으므로 75ù+35ù=65ù+∠x 따라서 ∠x=45ù 14 180ù_3+2+4 =402 ù 15 180ù_3+4+5 =453 ù 16 180ù_2+3+7 =302 ù 17 180ù_4+5+9 =404 ù 18 ∠A=∠x라 하면 ∠B=3∠x, ∠C=60ù이고 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x+3∠x+60ù=180ù, 4∠x=120ù, ∠x=30ù 따라서 ∠A=30ù 1 105ù`( 30, 105) 2 115ù 3 110ù 4 120ù 5 60ù b, c, a, c, a, b 6 20ù`( ∠x, 3∠x, 20) 7 45ù 8 22ù 9 20ù 10 30ù 11 ∠x=55ù, ∠y=155ù`( 25, 55, 80, 155) 12 ∠x=80ù, ∠y=120ù 13 ∠x=130ù, ∠y=60ù 14 ∠x=70ù, ∠y=25ù 본문 104 쪽
삼각형; 외각의 성질
05
∠ECD, ∠ACE, ∠ACE, ∠ECD
원리확인 2 ∠x=55ù+60ù=115ù 3 ∠x=(180ù-120ù)+50ù=110ù 4 ∠x=90ù+(180ù-150ù)=120ù 5 ∠x+50ù=110ù이므로 ∠x=60ù 7 3∠x-10ù=(180ù-100ù)+∠x이므로 2∠x=90ù 따라서 ∠x=45ù 8 125ù=(∠x+15ù)+4∠x이므로 5∠x=110ù 따라서 ∠x=22ù 9 5∠x=(180ù-110ù)+(3∠x-30ù)이므로 2∠x=40ù 따라서 ∠x=20ù 10 ∠x+80ù=(3∠x-40ù)+(180ù-120ù) 2∠x=60ù 따라서 ∠x=30ù 12 ∠x=35ù+45ù=80ù ∠y=40ù+80ù=120ù 13 ∠x=20ù+110ù=130ù ∠y+50ù=110ù이므로 ∠y=60ù 14 ∠x+40ù=110ù이므로 ∠x=70ù ∠y+110ù=135ù이므로 ∠y=25ù 1 80, 40, 60, 30 / 30, 110 2 95ù 3 75ù 4 80ù 5 95ù 6 100ù 7 95, 40 / 80, 80, 135 8 160ù 9 125ù 10 75ù 11 95ù 12 85ù 13 95ù 14 50, 50, 65 / 65, 115 15 110ù 16 125ù 17 150ù 18 50ù 19 100ù 20 68ù 21 80, 80, 40 / 40 22 25ù 23 34ù 24 35ù 25 60ù 26 74ù 27 80ù 28 80, 35 / 80, 25 29 ∠x=45ù, ∠y=30ù 30 ∠x=40ù, ∠y=50ù 31 ∠x=30ù, ∠y=65ù 32 ∠x=70ù, ∠y=40ù 33 ∠x=110ù, ∠y=75ù 34 ∠x=90ù, ∠y=30ù 35 65, 95 / 95, 120 36 145ù 37 25ù 38 145ù`( 180, 35, 180, 35, 145) 39 120ù 40 115ù 41 25, 50, 50 / 50, 75 42 60ù 43 90ù 44 126ù 45 39ù 46 38ù 47 111ù 48 b, d / c, e / d, c, 180 49 50ù 50 55ù 51 35ù 52 30ù 53 43ù 본문 106 쪽
