Ⅰ. 자연수의 성질 본문 9~11쪽
Ⅰ. 자연수의 성질
01 소인수분해
9~16쪽 01 ② 02 1 03 10^6번 04 59 05 ② 06 2^9개 07 소수 : 13, 17, 41 합성수 : 10, 16, 21, 27, 39 08 ④ 09 23, 31, 37, 53 10 38 11 ④ 12 ④ 13 영준, 성미 14 ③ 15 ⑴ 2^5 ⑵ 2^3&\5 ⑶ 2^2&\3\5 ⑷ 2\3^2&\7 16 ④ 17 10 18 4 19 ④ 20 ⑴ 2, 3 ⑵ 3, 5 ⑶ 2, 3, 5 ⑷ 2, 3, 5 21 ③ 22 84 23 21 24 35 25 126 26 ② 27 6 28 ② 29 ③ 30 270 31 43 32 140 33 ③ 34 ④ 35 ⑴ 1, 2, 5, 10, 25, 50 ⑵ 1, 3, 5, 15, 25, 75 ⑶ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 36 5 37 ③ 38 ④ 39 ③ 40 25 41 12개 42 11가지 43 ③ 44 2 45 3 46 ③ 47 ③ 48 ⑤ 49 6 50 12 51 4개 52 11개01
① 5^3&=5\5\5=125 ③ 1/5\1/5\1/5\1/5= 15^4 ④ 1 a\a\a =a^31 ⑤ a\a+b\b\b=a^2&+b^3 ②02
2\2\2\5\5\7\7\7\7=2^3&\5^2&\7^4이므로 a=3, b=2, c=4 .t3 a+b-c=3+2-4=1 103
1000000=10\10\10\10\10\10=10^6(번) 10^6번04
2^6=2\2\2\2\2\2=64이므로 x=64 …… 40% 243=3\3\3\3\3=3^5이므로 y=5 …… 40% .t3 x-y=64-5=59 …… 20% 59 채점 기준 배점 x의 값 구하기 40% y의 값 구하기 40% x-y의 값 구하기 20%05
392=8\7sqr, 7sqr=49 .t3 nemo=2 ②06
1개의 체세포 1번 분열 2^1(개) 2번 분열 2^2(개) 3번 분열 2^3(개) … 9번 분열 2^9(개) 2^9개07
1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 그 자신뿐인 것이 소수이다. .t3 소수 : 13, 17, 41 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수가 합성수이다. .t3 합성수 : 10, 16, 21, 27, 39 소수 : 13, 17, 41 합성수 : 10, 16, 21, 27, 3908
① 1은 소수도 아니고, 합성수도 아니다. ② 12=2\6=3\4이므로 소수가 아니다. ③ 9=3\3이므로 소수가 아니다. ⑤ 21=3\7이므로 소수가 아니다. ④09
8=2\4, 15=3\5, 18=2\9=3\6, 49=7\7이 므로 소수가 아니다. 따라서 소수는 23, 31, 37, 53이다. 23, 31, 37, 5310
25 이상 70 이하의 소수는 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67이다. 이 중 가장 큰 소수는 67이고, …… 40% 가장 작은 소수는 29이다. …… 40% .t3 67-29=38 …… 20% 38 채점 기준 배점 주어진 범위에서 가장 큰 소수 구하기 40% 주어진 범위에서 가장 작은 소수 구하기 40% 두 소수의 차 구하기 20%11
① 2는 소수이나 짝수이다. ② 1은 소수도 아니고, 합성수도 아니다. ③ 1의 약수는 1뿐이므로 한 개이다. ⑤ 한 자리의 수 중 합성수는 4, 6, 8, 9의 4개이다. ④12
① 소수는 약수의 개수가 2개이다. ② 두 소수 2와 3의 합은 5로 홀수이다. ③ 1은 자연수이나 소수도 아니고, 합성수도 아니다. ⑤ 가장 작은 합성수는 4이다. ④13
미소 ⇨ 짝수인 소수는 2뿐이므로 한 개이다. 기훈 ⇨ 소수이면서 합성수인 자연수는 없다. 나진 ⇨ 합성수의 약수의 개수는 3개 이상이다. 영준, 성미14
2}90, 3}45, 3}15, 5 .t3 90=2\3^2&\5 ③따라서 3과 7을 소인수로 가지는 두 자리의 자연수 중 가장 큰 수는 84이다. 84 주의 3과 7을 소인수로 가지는 자연수는 3이나 7 중 하나만을 소 인수로 가지는 것이 아니라 두 수를 모두 소인수로 가지는 수를 의미한다. 또, 3과 7만을 소인수로 가지는 수 뿐만이 아니라 2나 5 등 다른 소인수도 가질 수 있음에 주의한다.
23
189=3^3&\7 어떤 자연수의 제곱인 수가 되려면 소인수분해했을 때, 각 소인수들의 지수가 모두 짝수이어야 하므로 곱 할 수 있는 가장 작은 자연수는 3\7=21이다. 2124
140=2^2&\5\7 5와 7의 지수가 홀수이므로 곱할 수 있는 가장 작은 자 연수 a=5\7=35이다. …… 45% 140\5\7=2^2&\5^2&&\7^2=(2\5\7)^2이므로 b=2\5\7=70이다. …… 45% .t3 b-a=70-35=35 …… 10% 35 채점 기준 배점 a의 값 구하기 45% b의 값 구하기 45% b-a의 값 구하기 10%25
56=2^3&\7이므로 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할 때, 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 2\7이다. 또, 어떤 자연수의 제곱이면서 3의 배수이기 위해서는 (3\자 연수)^2의 꼴이어야 하므로 곱할 수 있는 가장 작은 자 연수는 2\7\3^2=126이다. 126 주의 56은 3을 소인수로 가지지 않으므로 어떤 수의 제곱이면서 3의 배수가 되기 위해 2와 7 이외에 더 곱해야 하는 수는 3 이 아니라 3^2이다.26
147=3\7^2이므로 147을 자연수로 나누어 어떤 자연 수의 제곱이 되도록 할 때 나눌 수 있는 가장 작은 자 연수는 3이다. ②27
216=2^3&\3^3이므로 216/x이 어떤 자연수의 제곱이 되 도록 하는 가장 작은 자연수 x는 2\3=6이다. 628
① 60=2^2&\3\5이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하기 위해 나눌 수 있는 가장 작은 자연수는15
⑴ 2}32, 2}16, 2} ~8, 2} ~4, 2 ⑵ 2}40, 2}20, 2}10, 5 .t3 40=2^3&\5 .t3 32=2^5 ⑶ 2}60, 2}30, 3}15, 5 ⑷ 2}126, 3} ~63, 3} ~21, ~7 .t3 60=2^2&\3\5 .t3 126=2\3^2&\7 ⑴ 2^5 ⑵ 2^3&\5 ⑶ 2^2&\3\5 ⑷ 2\3^2&\716
① 48=2^4&\3 ② 108=2^2&\3^3 ③ 120=2^3&\3\5 ⑤ 210=2\3\5\7 ④17
2}392, 2}196, 2} ~98, 7} ~49, `~7 392=2^3&\7^2이므로 a=3, b=7 .t3 a+b=10 1018
3}315, 3}105, 5} ~35, `~7 315=3^2&\5\7 …… 70% 소인수는 3, 5, 7이므로 각 지수의 합은 2+1+1=4 …… 30% 4 채점 기준 배점 315를 소인수분해하기 70% 각 소인수의 지수의 합 구하기 30%19
780=2^2&\3\5\13이므로 ④ 7은 780의 소인수가 아 니다. ④20
⑴ 54=2\3^3이므로 54의 소인수는 2, 3이다. ⑵ 135=3^3&\5이므로 135의 소인수는 3, 5이다. ⑶ 240=2^4&\3\5이므로 240의 소인수는 2, 3, 5이다. ⑷ 300=2^2&\3\5^2이므로 300의 소인수는 2, 3, 5이다. ⑴ 2, 3 ⑵ 3, 5 ⑶ 2, 3, 5 ⑷ 2, 3, 521
① 56=2^3&\7이므로 56의 소인수는 2, 7이다. ② 98=2\7^2이므로 98의 소인수는 2, 7이다. ③ 189=3^3&\7이므로 189의 소인수는 3, 7이다. ④ 224=2^5&\7이므로 224의 소인수는 2, 7이다. ⑤ 392=2^3&\7^2이므로 392의 소인수는 2, 7이다. 따라서 소인수가 나머지 넷과 다른 하나는 ③ 189이다. ③22
3\7=21, 2\3\7=42, 3^2&\7=63, 2^2&\3\7=84, 3\5\7=105Ⅰ. 자연수의 성질 본문 11~14쪽 3\5=15이다. ② 90=2&\3^2&\5이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하기 위해 나눌 수 있는 가장 작은 자연수는 2\5=10이다. ③ 135=3^3&\5이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하기 위해 나눌 수 있는 가장 작은 자연수는 3\5=15이다. ④ 240=2^4&\3\5이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하기 위해 나눌 수 있는 가장 작은 자연수는 3\5=15이다. ⑤ 375=3\5^3이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하기 위 해 나눌 수 있는 가장 작은 자연수는 3\5=15이다. ②
29
28=2^2&\7이므로 2^2&\7\x가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 x=7\(자연수)^2의 꼴이어야 한다. ① 7=7\1^2 ② 28=7\2^2 ③ 42=7\2\3 ④ 63=7\3^2& ⑤ 112=7\4^2 따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. ③30
120=2^3&\3\5이므로 2\3\5\(자연수)^2의 꼴인 수 를 곱해야 한다. 2\3\5\1^2=30, 2\3\5\2^2=120, 2\3\5\3^2=270, 2\3\5\4^2=480, …이므로 세 번째로 작은 자연수는 270이다. 27031
360=2^3&\3^2&\5이므로 어떤 자연수의 제곱이 되게 하 기 위해 나눌 수 있는 자연수는 360의 약수 중 2\5\(자연수)^2의 꼴인 수이다. 2\5\1^2, 2\5\2^2, … 따라서 이 중 두 번째로 작은 수 a=2^3&\5=40이다. …… 60% b^2=3^2이므로 b=3 …… 30% .t3 a+b=40+3=43 …… 10% 43 채점 기준 배점 a의 값 구하기 60% b의 값 구하기 30% a+b의 값 구하기 10%32
160=2^5&\5이므로 2\5\(자연수)^2의 꼴인 수를 곱해 야 한다. 2\5\1^2=10, 2\5\2^2=40, 2\5\3^2=90, 2\5\4^2=160이므로 곱할 수 있는 모든 두 자리의 자 연수의 합은 10+40+90=140이다. 14033
252=2^2&\3^2&\7이므로 ③ 2^3&\7은 252의 약수가 아니 다. ③34
5^2은 5의 약수가 아니므로 ④ 3^3&\5^2은 3^3&\5\7^2의 약 수가 아니다. ④35
⑴ 50=2\5^2 \ 1 5 5^2 1 1 5 25 2 2 10 50 따라서 50의 약수는 1, 2, 5, 10, 25, 50이다. ⑵ 75=3\5^2 \ 1 5 5^2 1 1 5 25 3 3 15 75 따라서 75의 약수는 1, 3, 5, 15, 25, 75이다. ⑶ 108=2^2&\3^3 \ 1 3 3^2 3^3 1 1 3 9 27 2 2 6 18 54 2^2 4 12 36 108 따라서 108의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108이다. ⑴ 1, 2, 5, 10, 25, 50 ⑵ 1, 3, 5, 15, 25, 75 ⑶ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 10836
a+b+c+d가 최솟값을 가지려면 a, b, c, d가 각각 최솟값을 가져야 한다. 63=3^2&\7이 2^a&\3^b&\5^c&\7^d의 약수이므로 a의 최솟 값은 1, b의 최솟값은 2, c의 최솟값은 1, d의 최솟값 은 1이다. 따라서 a+b+c+d의 최솟값은 1+2+1+1=5이다. 537
72=2^3&\3^2이므로 72의 약수의 개수는 (3+1)\(2+1)=4\3=12(개) ③38
① 3^7의 약수의 개수는 7+1=8(개) ② 2^3&\13의 약수의 개수는 (3+1)\(1+1)=4\2=8(개) ③ 24=2^3&\3의 약수의 개수는 (3+1)\(1+1)=4\2=8(개) ④ 120=2^3&\3\5의 약수의 개수는 (3+1)\(1+1)\(1+1)=4\2\2=16(개) ⑤ 135=3^3&\5의 약수의 개수는 (3+1)\(1+1)=4\2=8(개) ④39
① 100=2^2&\5^2이므로 약수의 개수는 (2+1)\(2+1)=3\3=9(개)이다. ② 145=5\29이므로 약수의 개수는 (1+1)\(1+1)=2\2=4(개)이다. ③ 156=2^2&\3\13이므로 약수의 개수는 (2+1)\(1+1)\(1+1)=3\2\2=12(개)이다.④ 2&\7\19의 약수의 개수는 (1+1)\(1+1)\(1+1)=2\2\2=8(개)이다. ⑤ 5^2&\23의 약수의 개수는 (2+1)\(1+1)=3\2=6(개)이다. ③
40
30=2\3\5이므로 x=(1+1)\(1+1)\(1+1)=2\2\2=8 …… 30% y=(3+1)\(2+1)=4\3=12 …… 30% 9^2=3^4이므로 z=4+1=5 …… 30% .t3 x+y+z=8+12+5=25 …… 10% 25 채점 기준 배점 x의 값 구하기 30% y의 값 구하기 30% z의 값 구하기 30% x+y+z의 값 구하기 10%41
224=2^5&\7이고, n은 224의 약수이어야 하므로 n의 개수는 (5+1)\(1+1)=6\2=12(개)이다. 12개42
각 봉지에 나누어 담는 귤의 개수는 (60의 약수)개이 다. 60=2^2&\3\5이므로 60의 약수의 개수는 (2+1)\(1+1)\(1+1)=3\2\2=12(개)이다. 귤은 2개 이상의 봉지에 나누어 담아야 하므로 60의 약수 중 60을 제외하면 귤을 나누어 담는 방법은 12-1=11(가지)가 있다. 11가지43
(4+1)\(x+1)=20, x+1=4 .t3 x=3 ③44
(2+1)\(x+1)\(3+1)=36, x+1=3 .t3 x=2 245
168=2^3&\3\7이므로 약수의 개수는 (3+1)\(1+1)\(1+1)=16(개)이다. …… 50% 3^x&\7^3의 약수의 개수가 16개이므로 (x+1)\(3+1)=16에서 …… 30% x+1=4 .t3 x=3 …… 20% 3 채점 기준 배점 168의 약수의 개수 구하기 50% 3^x&\7^3의 약수의 개수 구하는 식 세우기 30% x의 값 구하기 20%46
① 5^4&\4=5^4&\2^2이므로 약수의 개수는 (4+1)\(2+1)=5\3=15(개)이다. ② 5^4&\3^2이므로 약수의 개수는 (4+1)\(2+1)=5\3=15(개)이다. ③ 5^4&\12=5^4&\2^2&\3이므로 약수의 개수는 (4+1)\(2+1)\(1+1)=5\3\2=30(개)이다. ④ 5^4&\49=5^4&\7^2이므로 약수의 개수는 (4+1)\(2+1)=5\3=15(개)이다. ⑤ 5^4&\5^1^0=5^1^4이므로 약수의 개수는 14+1=15(개) 이다. ③47
① 20\5^6=2^2&\5^7이므로 약수의 개수는 (2+1)\(7+1)=3\8=24(개)이다. ② 20\2\5^4=2^3&\5^5이므로 약수의 개수는 (3+1)\(5+1)=4\6=24(개)이다. ③ 20\2\5^2=2^3&\5^3이므로 약수의 개수는 (3+1)\(3+1)=4\4=16(개)이다. ④ 20\2^3&\5^2=2^5&\5^3이므로 약수의 개수는 (5+1)\(3+1)=6\4=24(개)이다. ⑤ 20\2^5&\5=2^7&\5^2이므로 약수의 개수는 (7+1)\(2+1)=8\3=24(개)이다. ③48
① 32&\16=2^5&\2^4=2^9이므로 약수의 개수는 9+1=10(개)이다. ② 32&\18=2^6&\3^2이므로 약수의 개수는 (6+1)\(2+1)=7\3=21(개)이다. ③ 32&\25=2^5&\5^2이므로 약수의 개수는 (5+1)\(2+1)=6\3=18(개)이다. ④ 32\32=2^5&\2^5=2^1^0이므로 약수의 개수는 10+1=11(개)이다. ⑤ 32\81=2^5&\3^4이므로 약수의 개수는 (5+1)\(4+1)=6\5=30(개)이다. ⑤49
약수의 개수가 4개인 자연수는 (소수)^3 또는 a\b (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴이어야 한다. 2^3=8, 2\3=6이므로 약수의 개수가 4개인 자연수 중 에서 가장 작은 자연수는 6이다. 650
6=5+1 또는 6=(2+1)\(1+1)이므로 a^5(a는 소 수) 또는 b^2&\c(b, c는 서로 다른 소수)의 꼴이어야 한 다. r1par a^5의 꼴 중 가장 작은 수는 2^5=32이다. r2par b^2&\c의 꼴 중 가장 작은 수는 2^2&\3=12이다. 따라서 약수의 개수가 6개인 수 중 가장 작은 자연수는 12이다. 1251
약수의 개수가 3개이려면 (소수)^2의 꼴이어야 한다. 2^2=4, 3^2=9, 5^2=25, 7^2=49, 11^2=121, 13^2=169,Ⅰ. 자연수의 성질 본문 15~18쪽 17^2=289이므로 20 이상 200 미만인 자연수 중에서 약 수의 개수가 3개인 수는 25, 49, 121, 169의 4개이다. 4개
52
abab=1000\a+100\b+10\a+b =100\(10\a+b)+(10\a+b) =101\(10\a+b) 101은 소수이고 abab의 약수의 개수는 4개이므로 ab 도 소수이다. 50보다 작은 두 자리의 소수는 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47의 11개이므로 두 자리의 수 ab가 될 수 있는 수는 11개이다. 11개 17~19쪽 01 ③ 02 ⑤ 03 ④ 04 ③ 05 ④ 06 ③ 07 5개 08 ① 09 2 10 15개 11 6개 12 미연, 소진 13 ③ 14 1 15 150 16 ① 17 15 18 ⑴ 12 ⑵ 75 ⑶ 63 19 ⑴ 100 ⑵ 30 ⑶ 130 20 1801
① 2^5&+3^2=32+9=41 ② 8+8+8+8=8\4=32 ③ 2\2\2\5\5\11=2^3&\5^2&\11 ④ 3\3\5\5\5\7=3^2&\5^3&\7 ⑤ 1/7\1/7\1/7\1/7= 17^4 ③02
① 2는 짝수이나 소수이다. ② 합성수의 약수는 3개 이상이다. ③ 1은 소수도 아니고, 합성수도 아니다. ④ 24 미만의 합성수는 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22의 13개이다. ⑤ 10 이하의 합성수는 4, 6, 8, 9, 10이므로 그 총합은 4+6+8+9+10=37이다. ⑤03
④ 128=2^7 ④04
① 11, 13 ② 17, 19 ③ 23과 2 차이가 나는 수는 21과 25인데 이 두 수는 소 수가 아니므로 23은 쌍둥이 소수로 짝지을 수 없다. ④ 29, 31 ⑤ 41, 43 ③05
48=2^4&\3, 72=2^3&\3^2, 360=2^3&\3^2&\5 ① 3\7^3은 홀수이다. ② 48의 약수의 개수는 (4+1)\(1+1)=10(개), 72의 약수의 개수는 (3+1)\(2+1)=12(개)로 같 지 않다. ③ 2^3&\11^2의 약수의 개수는 (3+1)\(2+1)=12(개), 3\7^3의 약수의 개수는 (1+1)\(3+1)=8(개), 360의 약수의 개수는 (3+1)\(2+1)\(1+1)=24 (개)로 약수의 개수가 가장 많은 것은 360이다. ⑤ 72에 3을 곱하면 2^3&\3^3으로 어떤 자연수의 제곱이 아니다. ④06
3}585, 3}195, 5} ~65, 13 585=3^2&\5\13 .t3 2+1+1=4 ③07
11, 31, 41, 61, 71의 5개이다. 5개08
2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, …에서 2를 곱 할 때마다 일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6의 순서로 반 복된다. 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243, …에 서 3을 곱할 때마다 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1의 순서로 반복된다. 20=4\5이므로 2^2^0의 일의 자리의 숫자는 6이고, 511=4\127+3이므로 3^5^1^1의 일의 자리의 숫자는 7이 다. 따라서 2^2^0&\3^5^1^1의 일의 자리의 숫자는 2이다. ①09
약수의 개수가 2개인 수는 소수로 소수인 수를 찾아 모두 색칠해 보 면 오른쪽과 같다. 따라서 나타나는 숫자는 2이다. 210
X의 약수 중 홀수는 3^2&\7^4의 약수이므로 구하는 홀수 의 개수는 (2+1)\(4+1)=15(개)이다. 15개11
1200=2^4&\3\5^2의 약수 중 어떤 자연수의 제곱이 되 는 수는 1^2, 2^2, 2^4, 5^2, 2^2&\5^2, 2^4&\5^2의 6개이다. 6개12
지민 ⇨ 4=2^2, 9=3^2, 25=5^2, 49=7^2, 121=11^2으로 이 수들은 모두 소수의 제곱인 수로 합성수이다. 혜성 ⇨ 이 수들의 약수의 개수는 모두 3개인데 36=2^2&\3^2의 약수의 개수가 (2+1)\(2+1)=9(개) 이므로 36과 약수의 개수가 같지 않다. 미연, 소진13
각 자리의 숫자의 합이 8인 두 자리의 자연수는 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71이고 이 중 소수는 17, 53, 71의 3개이다. ③ 7 31 19 53 49 51 16 2 11 29 3 13 17 57 21 33 5 41 61 4714
3n-2가 33의 약수일 때, 333n-2이 자연수가 된다. 33의 약수는 1, 3, 11, 33이므로 parr1) 3n-2=1, 3n=3, n=1 parr2) 3n-2=3, 3n=5, n=5/3 parr3) 3n-2=11, 3n=13, n=13/3 parr4) 3n-2=33, 3n=35, n=35/3 따라서 3n-233 이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 값은 1이다. 115
2\3\5=30, 2^2&\3\5=60, 2\3^2&\5=90, 2^3&\3\5=120, 2\3\5^2=150, 2^2&\3^2&\5=180, … 이므로 5번째로 작은 수는 150이다. 15016
n(180) =n(2^2&\3^2&\5)=(2+1)\(2+1)\(1+1) =18 n(n(180)) =n(18)=n(2\3^2)=(1+1)\(2+1) =6 n(n(n(180))) =n(6)=n(2\3)=(1+1)\(1+1) =4 ①17
1\2\3\4\5\6\7\8\9\10 = 1\2\3\2\2\5\2\3\7\2\2\2\3\3 \2\5 =2^8&\3^4&\5^2&\7 a=8, b=4, c=2, d=1이므로 a+b+c+d=8+4+2+1=15 1518
192=2^6&\3이므로 3\(자연수)^2의 꼴인 수를 곱해야 한다. ⑴ 3\1^2, 3\2^2, …에서 곱할 수 있는 수 중 두 번째로 작은 수인 a는 12이다. …… 40% ⑵ 3\2^2=12, 3\3^2=27, 3\4^2&=48, 3\5^2=75, 3\6^2=108, …에서 곱할 수 있는 수 중 가장 큰 두 자리의 수인 b는 75이다. …… 50% ⑶ 75-12=63 …… 10% ⑴ 12 ⑵ 75 ⑶ 63 채점 기준 배점 ⑴ 구하기 40% ⑵ 구하기 50% ⑶ 구하기 10%19
⑴ 270=2\3^3&\5이므로 2^2&\5^2&\(자연수)^3의 꼴인 수를 곱해야 한다. .t3 a=2^2&\5^2&\1^3=100 …… 50% ⑵ 2\3^3&\5\2^2&\5^2&\1^3 =2^3&\3^3&\5^3=(2\3\5)^3=30^3 .t3 b=30 …… 40% ⑶ a+b=100+30=130 …… 10% ⑴ 100 ⑵ 30 ⑶ 130 채점 기준 배점 ⑴ 구하기 50% ⑵ 구하기 40% ⑶ 구하기 10%20
169=13^2이므로 n(169)=3 150=2\3\5^2이므로 n(150)=2\2\3=12 117=3^2&\13이므로 n(117)=3\2=6 .t3 n(169)\n(150)÷n(117)=3\12÷6=6 …… 50% 즉, 6=1+5 또는 2\3이므로 약수의 개수가 6개인 자연수는 (소수)^5 또는 a\b^2&(a, b는 서로 다른 소수) 의 꼴이어야 한다. 따라서 2^2&\3=12, 2\3^2=18, 2^5=32에서 구하는 수 는 18이다. …… 50% 18 채점 기준 배점 n(169)\n(150)÷n(117)의 값 구하기 50% 두 번째로 작은 자연수 구하기 50% 20~21쪽1
⑴ 주어진 규칙대로 전구의 불을 켰다 끄면 다음과 같 다. 1부터 10까지의 순서로 전구를 늘어 놓는다. ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1의 배수가 적힌 전구의 불을 켠다. ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2의 배수가 적힌 전구의 불을 켜져 있으면 끄고, 꺼 져 있으면 켠다. ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3의 배수가 적힌 전구의 불을 켜져 있으면 끄고, 꺼 져 있으면 켠다. ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4의 배수가 적힌 전구의 불을 켜져 있으면 끄고, 꺼 져 있으면 켠다.12
정답과 풀이Ⅰ. 자연수의 성질 본문 19~24쪽 ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5의 배수가 적힌 전구의 불을 켜져 있으면 끄고, 꺼 져 있으면 켠다. ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6의 배수가 적힌 전구의 불을 켜져 있으면 끄고, 꺼 져 있으면 켠다. ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7의 배수가 적힌 전구의 불을 켜져 있으면 끄고, 꺼 져 있으면 켠다. ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8의 배수가 적힌 전구의 불을 켜져 있으면 끄고, 꺼 져 있으면 켠다. ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9의 배수가 적힌 전구의 불을 켜져 있으면 끄고, 꺼 져 있으면 켠다. ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10의 배수가 적힌 전구의 불을 켜져 있으면 끄고, 꺼져 있으면 켠다. ⇨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 따라서 마지막에 불이 켜져 있는 전구에 적힌 수는 1, 4, 9이다. ⑵ 각 전구가 켜졌다 꺼졌다 한 횟수는 다음과 같다. 1 : 21번, 13 24 : 1352번, 246 1357 : 2462번, 813579246108 : 3573번, 9 46810579 : 61082번, 79 108 9 10 1 2 13 24 135 246 : 31574번, 4268 15379 : 2648102번, 3579 41086 : 5794번, 6108 79 : 1083번, 9 10 : 4번 마지막에 꺼져 있는 전구 1111112122222323, 33334344, 44454555, 556566666, 76777778, 78888898, 99991099101010101010 은 2번 또는 4번으로 짝수 번 불이 켜졌다 꺼졌다 했고, 마지막에 켜져 있는 전구 1 2 3 4 15 26 137, 248, 359는 46101번 또57 68 79 810 9 10 는 3번으로 홀수 번 불이 켜졌다 꺼졌다 했다. ⑶ 예시 • 1=1^2, 4=2^2, 9=3^2으로 1, 4, 9는 어떤 자연수의 제곱이다. • 1의 약수는 1의 1개, 4의 약수는 1, 2, 4의 3개, 9 의 약수는 1, 3, 9의 3개로 약수의 개수가 모두 홀 수 개이다. 답 ⑴ 1, 4, 9 ⑵ 마지막에 불이 꺼져 있는 전구는 짝수 번 불이 켜졌다 꺼졌다 했고, 불이 켜져 있는 전구는 홀수 번 불이 켜졌다 꺼졌다 했다. ⑶ 풀이 참조
2
⑴ 지윤이는 16=2\2\2\2로 나타내어 4점을 얻고, 태호는 18=2\3\3으로 나타내어 3점을 얻는다. 따라서 지윤이가 더 높은 점수를 받아 이기게 된다. ⑵ 지윤이가 20=2\2\5로 나타내면 3점을 얻으므로 태호가 이기려면 4점 이상을 얻을 수 있는 수를 뽑 아야 한다. 4점 이상을 얻을 수 있는 수는 16=2\2\2\2, 24=2\2\2\3뿐이다. 따라서 태호는 16이나 24가 적힌 카드를 뽑아야 한다. 답 ⑴ 지윤 ⑵ 16 또는 2402 최대공약수와 최소공배수
24~37쪽 01 ② 02 ③ 03 ⑴ 4 ⑵ 15 ⑶ 6 ⑷ 14 04 ④ 05 ④ 06 16개 07 ②, ⑤ 08 9개 09 1, 3, 9 10 ③ 11 24개 12 ① 13 ④ 14 ④ 15 280 16 ⑴ 160 ⑵ 600 ⑶ 756 ⑷ 1440 17 ④ 18 ⑤ 19 144 20 3개 21 270, 540, 810 22 2016 23 4 24 2 25 27 26 112 27 ① 28 3 29 70 30 7 31 2개 32 12, 24 33 9 34 96 35 390 36 840 37 96/5 38 ⑤ 39 709 40 189 41 6개 42 88 43 175 44 ③ 45 ④ 46 40, 56 47 ④ 48 16 49 150 50 ② 51 900 52 11 53 12개 54 6마리 55 140분 56 180명 57 ⑤ 58 24 59 20가지 60 7500원 61 18 62 5, 15 63 12 64 52명 65 20군데 66 18개 67 28개 68 62 69 ⑴ 8`m ⑵ 88송이 70 216개 71 톱니바퀴 A : 13 바퀴, 톱니바퀴 B : 10바퀴 72 12`cm 73 ③ 74 10개 75 72개 76 오전 8시 77 4월 22일 78 3월 4일 오후 10시 79 4번 80 3번 81 96초 후 82 16일 83 110 84 421 85 177 86 70명 87 76개01
2^2&\3^3&\7 2^3&\3 \7^2 최대공약수 : 2^2&\3 \7 ②02
2}24 60. 2}12 30. 3}16 15. 3}12 15 ⇨ 최대공약수 : 2\2\3=12 ③03
⑴ 2}40 84. 2}20 42. 3}10 21 ⇨ 최대공약수 : 2\2=4⑵ 120=2^3&\3\5^2=15 120=2^3&\3\5^2=15 최대공약수 : ` 3&\5^2=15& ⑶ 2}54 72. 102. 3}27 36. 151. 3}19 12 117 ⇨ 최대공약수 : 2\3=6 ⑷ 126=2^3&\3^2&\7^3=15 392=2^3&\3^2&\7^2=15 120=2^2&\3^5&\7^2=15 최대공약수 : 2^2&\3^5&\7^2=14 ⑴ 4 ⑵ 15 ⑶ 6 ⑷ 14
04
주어진 두 수의 최대공약수는 다음과 같다. ① 3 ② 2 ③ 7 ④ 1 ⑤ 2 서로소는 최대공약수가 1인 두 자연수이므로 ④ 24와 31은 서로소이다. ④05
48과 각 수의 최대공약수는 다음과 같다. ① 3 ② 3 ③ 4 ④ 1 ⑤ 6 따라서 ④ 35는 48과 서로소이다. ④06
30 이하의 자연수 중에서 3의 배수는 3, 6, …, 30이고, 5의 배수는 5, 10, …, 30이므로 15와 서로소인 수는 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29 의 16개이다. 16개 다른풀이 30 이하의 자연수 중 3의 배수는 10개이고, 5의 배수 는 6개, 15의 배수는 2개이므로 15와 서로소인 수는 30-(10+6-2)=16(개)이다.07
① 최대공약수가 1인 두 자연수를 서로소라 한다. ③ 3과 9는 홀수이지만 서로소가 아니다. ④ 8과 9는 서로소이지만 두 수 모두 소수가 아니다. ②, ⑤08
두 수의 공약수의 개수는 최대공약수의 약수의 개수와 같다. 36=2^2&\3^2이므로 두 자연수 X, Y의 공약수의 개수는 (2+1)\(2+1)=9(개)이다. 9개09
두 수의 공약수는 최대공약수의 약수이므로 X와 Y의 공약수는 1, 3, 9, 27 …… 40% Y와 Z의 공약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 …… 40% 따라서 X, Y, Z의 공약수는 1, 3, 9이다. …… 20% 1, 3, 9 채점 기준 배점 X, Y의 공약수 구하기 40% Y, Z의 공약수 구하기 40% X, Y, Z의 공약수 구하기 20%10
2}36 48. 108. 2}18 24. 154. 3}19 12. 127. 3}13 14 119 세 수의 최대공약수는 2^2&\3이므로 공약수는 1, 2, 3, 2^2, 2\3, 2^2&\3이 다. 따라서 ③ 3^2은 세 수의 공약수가 아니다. ③11
2^4&\3^2&\11^2 2^3&\3^2&\11^3 최대공약수 : 2^3&\3^2&\11^2 두 수의 최대공약수는 2^3&\3&\11^2이므로 공약 수의 개수는 (3+1)\(1+1)\(2+1)=4\2\3=24(개)이다. 24개12
120=2^3&\3\5와 X의 최대공약수는 15=3\5이다. 120과 2\3\5의 최대공약수는 2\3\5이므로 X의 값이 될 수 없는 것은 ①이다. ①13
참가자 수는 60과 48의 공약수와 같다. 60 과 48의 최대공약수는 2\2\3=12이고, 공약수는 최대공약수의 약수이므로 8명은 참가자 수가 될 수 없다. ④14
2^4&\3^2& \11 2^3&\3^3&\5^2& 최소공배수 : 2^3&\3^3&\5^2&\11 ④15
2}28 40. 2}14 20. 3}17 10 .t3 최소공배수 : 2\2\7\10=280 28016
⑴ 2}32 80. 2}16 40. 2}18 20. 2}14 10. 3}12 15 .t3 최소공배수 : 2\2\2\2\2\5=160 ⑵ 150=2^3&\3\5^2=105 120=2^3&\3\5^2=105 최소공배수 : 2^3&\3\5^2=600 2}60 48. 2}30 24. 3}15 12. 3}15 14Ⅰ. 자연수의 성질 본문 24~27쪽 ⑶ 2}12 42. 108. 3}16 21. 154. 2}12 7. 118. 3}11 17 119 .t3 최소공배수 : 2\3\2\1\7\9=756 ⑷ 196=2^5&\3^2&\5=1005 120=2^3&\3^2&\5=1005 120=2^3&\3^2&\5=1050 최소공배수 : 2^5&\3^2&\5=1440 ⑴ 160 ⑵ 600 ⑶ 756 ⑷ 1440
17
2}24 60. 100. 2}12 30. 150. 3}16 15. 125. 5}12 15. 125. 3}12 11 115 .t3 최소공배수 : 2^3&\3\5^2 ④18
두 수의 공배수는 최소공배수의 배수이므로 최소공배 수가 18인 두 수의 공배수는 18의 배수이다. 따라서 18, 36, 54, …에서 ⑤ 36이 두 수 X, Y의 공 배수이다. ⑤19
두 수의 공배수는 최소공배수의 배수이므로 최소공배 수가 24인 두 수의 공배수는 24의 배수이다. 따라서 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, …에서 150에 가장 가까운 수는 144이다. 14420
32, 32\2=64, 32\3=96, 32\4=128, 32\5=160, 32\6=192, 32\7=224에서 100 이상 200 이하인 수는 128, 160, 192의 3개이다. 3개21
54=2\3^3 \3^3& 3^2&\5^2 2\3^3& 2&\3^3&\5^2 세 수의 최소공배수는 2\3^3&\5=270이 다. …… 50% 270, 270\2=540, 270\3=810, 270\4=1080, …에서 세 수의 공배수 중 세 자리의 수는 270, 540, 810이다. …… 50% 270, 540, 810 채점 기준 배점 세 수의 최소공배수 구하기 50% 세 수의 공배수 중 세 자리의 수 구하기 50%22
168=2^3&\3\7 2^2&\3^2& 3^2&\7 2^3&\3 &\7 2^3&\3^2&\7 세 수의 최소공배수는 2^3&\3^2&\7=504 이고, 504의 배수 504, 1008, 1512, 2016, …에서 2000에 가장 가까운 수는 2016이다. 201623
x}16\x. 24.\x. 2}1616. 1.24.24`x. 2}1618. 1.24.12`x. 2}1614. 1.24. 6`x. 2}1612 124 3`x 최소공배수 : x\2\2\2\2\3=192 .t3 x=4 424
x}15\x. 18\x.. 27\x. 3}1615. . 12418. . 12427`x. 3}16 5. . 124 6. . 124 9`x. 16 5 124 2 124 3`x 최소공배수 : x\3\3\5\2\3=540 .t3 x=2 225
세 자연수를 2\x, 3\x, 6\x(x는 자연수)라 하면 최대공약수는 x이고, 최소공 배수는 x}2\x. 3\x.. 6\x. 2}12 .124 3. . 1246`x. 3}11 .124 3. 1243`x. 1 1 1 x\2\3\1\1\1=162에서 x=27이다. 따라서 최대공약수는 27이다. 2726
세 자연수를 3\x, 4\x, 7\x(x는 자연수)라 하면 최소공배수는 x\3\4\7=672이므로 x=8이다. …… 60% 세 자연수는 3\8=24, 4\8=32, 7\8=56이다. …… 30% 따라서 세 수의 합은 24+32+56=112이다. …… 10% 112 채점 기준 배점 x의 값 구하기 60% 세 수 구하기 30% 세 수의 합 구하기 10%27
3^a& `\7 3^3&\5^b&\7 최대공약수 : 3^2& `\7 최소공배수 : 3^3&\5^2&\7 ⇨ a=2, b=2 .t3a-b=2-2=0 ①28
2^a&\5^4&\7^3& 2^3& \7^b&\11 최대공약수 : 2^2& \7 ⇨ a=2, b=1 .t3a+b=2+1=3 329
2`\5^a&\7 2^3&\5 \7^b&\11 최소공배수 : 2^3&\5^2&\7^3&\11 ⇨ a=2, b=3 x}3\x. 4\x.. 7\x. 1`~3 124~4 124~72^3&\5 \7^3&\112`\5^2&\7 최대공약수 : 2 &\5 &\7 &=70
70
30
2`\3^a& 2^b&\3 \5 2^2&\3 \5^c& 최소공배수 : 720=2^4&\3^2&\5 ⇨ a=2, b=4, c=1 …… 80% .t3 a+b+c=2+4+1=7 …… 20% 7 채점 기준 배점 a, b, c의 값 구하기 80% a+b+c의 값 구하기 20%31
n은 68과 85의 공약수이므로 최대공약 수인 17의 약수 1, 17의 2개이다. 2개32
n은 96과 120의 공약수이므로 최대공약 수인 2\2\2\3=24의 약수이다. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 이 중 두 자리의 수는 12, 24이다. 12, 2433
가장 큰 n의 값은 36, 45, 81의 최대 공약수인 3\3=9이다. 934
1/24, 1/32 중 어느 것에 곱해도 자연수가 되는 수 중 가장 작은 수는 24와 32의 최소공배수인 2\2\2\3\4=96이다. 9635
1/26, 1/39, 1/65 중 어느 것에 곱해도 자연수가 되는 가장 작은 수는 26, 39, 65의 최소공배수인 13\2\3\5=390이다. 39036
구하는 수는 21과 30의 최소공배수인 3\7\10=210의 배수이다. 210\4=840, 210\5=1050이므로 210의 배수에서 세 자리의 자연수 중 가장 큰 수는 840이다. 84037
구하는 분수를 y/x라 하면 y는 24와 32의 최소공배수이므로 2\2\2\3\4=96이 17}68 85. 4 5 2}96 120. 2}48 60. 2}24 30. 3}12 15. 4 5 3}36 45. 81. 3}12 15. 27. 4 5 9 2}24 32. 2}12 16. 2} 6 8. 3 4 13}26 39. 65. 2 3 5 3}21 30. 7 10 2}24 32. 2}12 16. 2} 6 8. 3 4 고, x는 25와 15의 최대공약수이므로 5이다. 따라서 구하는 분수는 96/5이다. 96/538
구하는 기약분수를 y/x라 하면 x는 16과 40의 최대공 약수이고, y는 7과 21의 최소공배수이다. 2}16 40. 2} 8 20. 2} 4 10. 2 5 7}7 21. 1 3 ⇨ x=2\2\2=8 y=7\1\3=21 따라서 구하는 분수는 ⑤ 21/8이다. ⑤39
a는 20, 35, 25의 최소공배수이므로 5\4\7\5=700이고, b는 27, 54, 72의 최대공약수이므로 3\3=9이다. .t3 a+b=700+9=709 70940
A=63\a(단, a는 자연수)라 하면 126=63\2이므로 a와 2는 서로소이 다. 따라서 63의 배수 중 A가 될 수 있는 세 자리의 자 연수는 63\3=189, 63\5=315, …이고 이 중 가장 작은 수는 189이다. 18941
x=12\nemo(단, nemo는 자연수)라 하면 36=12\3이므 로 nemo와 3은 서로소이다. 12}x 36. `~nemo `3 nemo=1 , 2, 4, 5, 7, 8, … 따라서 x의 값이 될 수 있는 두 자리의 자연수는 12, 24, 48, 60, 84, 96의 6개이다. 6개42
A=8\a(단, a는 자연수)라 하면 80=8\10이므로 a와 10은 서로소이다. a=1, 3, 7, 9, 11, 13, … A=8\a=8, 24, 56, 72, 88, 104, … …… 80% 따라서 100 이하의 자연수 중 가장 큰 수는 88이다. …… 20% 88 채점 기준 배점 A가 될 수 있는 수들 구하기 80% 주어진 범위에서 가장 큰 A의 값 구하기 20%43
A=25\a(단, a는 자연수)라 하면 a와 2는 서로소이므로 a=1, 3, 5, 7, 9, … 25\5=125, 25\7=175, 25\9=225이므로 A=175이다. 175 5}20 35. 25. 4 7 5 3}27 54. 72. 3} 9 18. 24. 3 6 8 63}A 126. ~a ~ 2 8}A 80. ~a ~10 25}A 50. ~a 2Ⅰ. 자연수의 성질 본문 27~32쪽
44
A=16\a(단, a는 자연수)라 하면 80=16\5이므로 a와 5는 서로소이다. 두 수의 최소공배수는 320이므로 16\a\5=320, a=4 .t3 A=16\4=64 ③45
A=8\a(단, a는 자연수)라 하면 840=8\3\5\7이므로 a가 될 수 있는 수는 5, 3\5=15, 5\7=35, 3\5\7=105이다. ① a=5이면 A=40 ② a=15이면 A=120 ③ a=35이면 A=280 ⑤ a=105이면 A=840 ④46
A=4\a(단, a는 자연수)라 하면 280=4\2\5\7이므로 a의 값이 될 수 있는 수는 2, 2\5=10, 2\7=14, 2\5\7=70이다. 따라서 A=8, 40, 56, 280이므로 이 중 두 자리의 수 는 40, 56이다. 40, 5647
두 자연수 A, B를 각각 7\a, 7\b(단, a<b이고 a, b는 서로소)라 하면 최소공배수는 7\a\b=105이므 로 a\b=15이다. a=1, b=15이면 두 수는 7\1=7, 7\15=105 a=3, b=5이면 두 수는 7\3=21, 7\5=35 이때 A, B는 두 자리의 자연수이므로 A=21, B=35 .t3 A+B=21+35=56 ④48
두 자연수 A, B를 각각 8\a, 8\b(단, a>b이고 a, b는 서로소)라 하면 두 수의 곱은 8\a\8\b=960 이므로 a\b=15이다. a=15, b=1이면 A=8\15=120, B=8\1=8 a=5, b=3이면 A=8\5=40, B=8\3=24 이때 A, B는 두 자리의 자연수이므로 A=40, B=24 .t3 A-B=40-24=16 1649
A=15\a, B=15\b(단, a, b는 서로소, a>b)라 하 면 최소공배수는 315이므로 15\a\b=315, a\b=21 …… 40% 이때 두 수의 차가 60이므로 15\a-15\b=60, a-b=4 .t3 a=7, b=3 …… 40% 따라서 A=15\7=105, B=15\3=45이다. …… 10% .t3 A+B=150 …… 10% 16}A 80. ~a 5 8}24 56. A. 3 7 ~a 4}20 28. A. 5 7 ~a 150 채점 기준 배점 A, B를 각각 15\a, 15\b라 하고 a\b의 값 구하기 40% a, b의 값 구하기 40% A, B의 값 구하기 10% A+B의 값 구하기 10%50
(두 수의 곱)=(최대공약수)\(최소공배수)이므로 2^4&\3^2&\5^3=2^2&\3\5&\(최소공배수) .t3 (최소공배수)=2^2&\3\5^2 ②51
(두 수의 곱)=(최대공약수)\(최소공배수) =15\60=900 90052
(두 수의 곱)=(최대공약수)\(최소공배수)이므로 726=(최대공약수)\66 .t3 (최대공약수)=11 1153
최대한 많은 통에 나누어 담으려면 통의 개수가 180, 84의 최대공약수이어야 한 다. 따라서 2\2\3=12(개)의 통이 필 요하다. 12개 2}180 84. 2} 90 42. 3} 45 21. 15 754
가능한 한 많은 양의 피자를 만들 려면 피자 수가 300, 400, 750의 최대공약수이어야 한다. 피자는 최대 2\5\5=50(판)을 만들 수 있으므로 한 판에 올라가는 새우는 300÷50=6(마리) 이어야 한다. 6마리55
가능한 한 많은 팀으로 나누려고 하므로 28과 350의 최대공약수인 2\7=14(팀) 으로 나눈다. …… 60% 팀은 14팀이므로 담력훈련을 시작해서 끝날 때까지 14\10=140(분)이 걸린다. …… 40% 140분 채점 기준 배점 팀의 수 구하기 60% 담력훈련에 걸리는 시간 구하기 40%56
최대한 많은 시민들에게 나누어 주려면 시민 수는 1080, 720, 900의 최대공약수이어야 한다. 2}1080 .720 900. 2} 540 .360 450. 3} 270 .180 225. 3} 90 . 60 75. 5} 30 . 20 25. 6 4 5 2}300 400. 750. 5}150 200. 375. 5} 30 40. 75. 6 8 15 2}28 350. 7}14 175. 2 25본문 8~17쪽 최대공약수 : 2\2\3\3\5=180 따라서 최대 180명의 시민들에게 나누어 줄 수 있다. 180명
57
가장 적은 개수의 나무 조각으로 잘라야 하므로 나무 조각의 한 모서리의 길이는 큰 나무토막의 가로의 길 이, 세로의 길이, 높이의 최대공약수이어야 한다. 따라서 나무 조각의 한 모서리의 길이는 3\5=15(cm)이어야 한 다. ⑤58
상자의 한 모서리의 길이는 240, 264, 192의 최대공약수인 2\2\2\3=24(cm)이어야 한 다. 24 2}240 264. 192. 2}120 132. 96. 2} 60 66. 48. 3} 30 33. 24. 10 11 859
정사각형의 한 변의 길이는 64, 80의 최대 공약수인 2\2\2\2=16(cm)이어야 한다. 가로 : 64÷16=4(가지) 세로 : 80÷16=5(가지) 따라서 모두 4\5=20(가지)의 천이 필요하다. 20가지60
사진의 한 변의 길이는 42, 70의 최대공약 수인 2\7=14(cm)이어야 한다. 가로 : 42÷14=3(장) 세로 : 70÷14=5(장) 모두 3\5=15(장)의 사진을 붙여야 하므로 인화금액 은 15\500=7500(원)이다. 7500원61
어떤 수로 88을 나누면 2가 부족하므로 88+2=90을 나누면 나누어떨어지고, 40을 나누면 4가 남으므로 40-4=36을 나누면 나누어떨어진다. 이러한 수 중 가장 큰 수이므로 90과 36의 최대공약수인 2\3\3=18이다. 1862
어떤 수로 109를 나누면 4가 남으므로 109-4=105를 나누면 나누어떨어지고 58을 나누면 2가 부족하므로 58+2=60을 나누면 나누어떨어진다. 이러한 수는 105와 60의 최대공약수인 3\5=15의 약수 중에서 나머지 4보다 큰 수이므로 5, 15이다. 5, 15 3}135 .120 90. 5} 45 . 40 30. 9 8 6 2}64 80. 2}32 40. 2}16 20. 2} 8 10. 4 5 2}42 70. 7}21 35. 3 5 2}90 36. 3}45 18. 3}15 6. 5 2 3}105 60. 5} 35 20. 7 463
어떤 수로 세 수에서 각각 1을 뺀 수를 나누면 나누어 떨어진다. 이러한 수 중 가장 큰 수는 157-1=156, 109-1=108, 193-1=192의 최대공약수인 2\2\3=12이다. 1264
마카롱 267-7=260(개), 쿠키 158-2=156(개)를 가능한 한 많은 사람들에게 똑같이 나 누어 주었으므로 마카롱과 쿠키를 받 은 사람은 260과 156의 최대공약수인 2\2\13=52(명)이다. 52명65
바나나 : 224만-4만=220만 (개), 카카오 : 187만-7만=180만 (개), 기름야자 : 129만-9만=120만 (개) 세 작물을 최대한 많은 업체에 만 단위의 개수로 모두 팔았으므로 220, 180, 120의 최대공약수인 2\2\5=20(군데)의 수출업체 와 거래하였다. 20군데66
돌 사이의 간격은 75와 60의 최대공약수 인 3\5=15(m)이어야 한다. 가로 : 75÷15+1=6(개) 세로 : 60÷15+1=5(개) 이때 네 모퉁이에서 2번씩 겹치므로 필요한 돌의 개수 는 6\2+5\2-4=18(개)이다. 18개67
고리 사이의 간격이 가능한 한 넓게 하 려면 고리 사이의 간격은 204와 156의 최대공약수인 2\2\3=12(cm)이어야 한다. 204÷12=17, 156÷12=13이므 로 고리는 모두 (17-1)+(13-1)=16+12=28(개) 달 수 있다. 28개68
나무를 최대한 적게 심으려면 나무 사 이의 간격은 208과 221의 최대공약수 인 13`m가 되어야 한다. 가로 : 208÷13+1=17(그루) 세로 : 221÷13+1=18(그루) 심어야 하는 장미나무는 17\2+18\2-4=66(그루) 인데 이미 네 모퉁이에 나무가 심어져 있으므로 66-4=62(그루)를 사서 심으면 된다. 62 2}156 108. 192. 2} 78 54. 96. 3} 39 27. 48. 13 9 16 2}260 156. 2}130 78. 13} 65 39. 5 3 2}220 180. 120. 2}110 90. 60. 5} 55 45. 30. 11 9 6 3}75 60. 5}25 20. 5 4 2}204 156. 2}102 78. 3} 51 39. 17 13 13}208 221. 16 17Ⅰ. 자연수의 성질 본문 32~36쪽
69
⑴ 꽃 사이의 간격은 80과 56의 최대공약 수인 2\2\2=8`(m)이어야 한다. ⑵ 네 모퉁이에도 반드시 꽃을 심어야 하 므로 가로 : 80÷8+1=11(송이) 세로 : 56÷8+1=8(송이) 따라서 필요한 꽃은 모두 11\8=88(송이)이다. ⑴ 8`m ⑵ 88송이70
54와 72의 최소공배수는 2\3\3\3\4=216이므로 두 톱니바퀴 가 같은 톱니에서 처음으로 다시 맞물릴 때까지 움직인 톱니바퀴 A의 톱니의 수는 216개이다. 216개71
두 톱니바퀴가 한 번 맞물린 후, 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물리려면 움직인 톱 니의 수는 40과 52의 최소공배수인 2\2\10\13=520(개)이어야 한다. …… 50% 따라서 톱니바퀴 A, B는 각각 520÷40=13(바퀴), 520÷52=10(바퀴)를 회전해야 한다. …… 50% 톱니바퀴 A : 13바퀴, 톱니바퀴 B : 10바퀴 채점 기준 배점 40과 52의 최소공배수 구하기 50% A, B의 회전수 각각 구하기 50%72
64와 80의 최소공배수는 2\2\2\2\4\5=320이므로 두 톱니 바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물 릴 때까지 톱니바퀴 B는 320÷80=4(바 퀴) 회전을 한다. 따라서 수정테이프는 4\3=12(cm) 나온다. 12`cm73
정사각형의 한 변의 길이는 12와 32의 최 소공배수인 2\2\3\8=96의 배수이다. 96, 96\2=192, 96\3=288, 96\4=384, 96\5=480, 96\6=576이므로 ③ 280`cm는 정사각형의 한 변의 길이가 될 수 없다. ③74
정사각형의 한 변의 길이는 70과 28의 최 소공배수인 2\7\5\2=140`(cm)이다. 가로 : 140÷70=2(개) 세로 : 140÷28=5(개) 2}80 56. 2}40 28. 2}20 14. 10 7 2}54 72. 3}27 36. 3} 9 12. 3 4 2}40 52. 2}20 26. 10 13 2}64 80. 2}32 40. 2}16 20. 2} 8 10. 4 5 2}12 32. 2} 6 16. 3 8 2}70 28. 7}35 14. 5 2 따라서 필요한 타일은 모두 2\5=10(개)이다. 10개75
정육면체 모양의 한 모서리의 길이는 30, 45, 60의 최소공배수인 3\5\2\1\3\2=180`(cm)이어 야 한다. 가로 : 180÷30=6(개), 세로 : 180÷45=4(개) 높이 : 180÷60=3(개) 따라서 필요한 상자의 수는 6\4\3=72(개)이다. 72개76
24와 30의 최소공배수는 2\3\4\5=120이므로 두 새는 120분 마다 동시에 나왔다 들어간다. 따라서 처음으로 다시 두 마리의 새가 동시에 나왔다 가 들어가는 것은 2시간 후인 오전 8시이다. 오전 8시77
3, 4, 6의 최소공배수는 2\3\1\2\1=12이므로 12일 후인 4 월 22일에 처음으로 다시 세 종류의 김치 를 동시에 담근다. 4월 22일78
20, 8, 16의 최소공배수는 2\2\2\5\1\2=80이므로 80시 간 후인 3일 8시간 후에 동시에 울릉 항에 도착한다. 따라서 처음으로 다시 동시에 도착하는 것은 3월 4일 오후 10시이다. 3월 4일 오후 10시79
두 마차는 9와 12의 최소공배수인 3\3\4=36(분)마다 동시에 분수대를 지 난다. …… 50% 2시간=120분이고 36\3=108, 36\4=144이므로 두 마차가 동시에 분수대를 지나는 것은 모두 3+1=4(번)이다. …… 50% 4번 채점 기준 배점 몇 분 간격으로 동시에 분수대를 지나는 지 구하기 50% 퍼레이드가 끝날 때까지 몇 번이나 동시에 분수대를 지나는 지 구하기 50%80
두 버스가 차고지에서 처음으로 동시에 출 발하는 시각은 오전 8시이고, 30과 45의 3}30 45. 60. 5}10 15. 20. 2} 2 3. 4. 1 3 2 2}24 30. 3}12 15. 4 5 2}3 4 6. 3}3 2 3. 1 2 1 2}20 8 16. 2}10 4 8. 2} 5 2 4. 5 1 2 3}9 12. 3 4 3}30 45. 5}10 15. 2 3최소공배수는 3\5\2\3=90이므로 90분마다 동시 에 출발한다. 따라서 오전 7시부터 오후 12시까지 차 고지에서 두 버스가 동시에 출발하는 것은 8시, 9시 30 분, 11시의 3번이다. 3번
