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2021 더블클릭 중2-2 답지 정답

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(1)

I .

도형의 성질

...

2

II .

도형의 닮음과 피타고라스 정리

21

III .

확률

...

40

더블

클릭

연산

정답과 해설

중학 수학

2

-

2

(2)

.

도형의 성질

1

삼각형의 성질

1 ⑴ ❶ ∠A ❷ BCÓ ❸ ∠B, ∠C ⑵ ❶ ∠D ❷ EFÓ ❸ ∠E, ∠F 2 ⑴ 8 ⑵ 12 ⑶ 5 3 CAD, SAS, B 4 ⑴ 70ù ⑵ 65, 50 ⑶ 40ù ⑷ 115, 65, 65 ⑸ 117ù ⑹ 72ù ⑺ 64ù 34ù ⑻ 66ù 66ù p.8~ p.9

01

이등변삼각형의 성질 ⑴

2

⑴ ABÓ=ACÓ이므로 x=8 ⑵ ABÓ=ACÓ이므로 x=12 ⑶ ABÓ=ACÓ이므로 x=5

4

⑴ ∠x=∠B=70ù ⑶ ∠x=;2!;_(180ù-∠A)=;2!;_(180ù-100ù)=40ù ⑸ ∠ACB=;2!;_(180ù-∠A)=;2!;_(180ù-54ù)=63ù ∴ ∠x=180ù-∠ACB=180ù-63ù=117ù ⑹ ∠ACB=180ù-∠BCD=180ù-126ù=54ù ∴ ∠x=180ù-2∠ACB=180ù-2_54ù=72ù ⑺ ❶

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠x=;2!;_(180ù-∠BAC) =;2!;_(180ù-52ù)=64ù ❷

ACD에서 ∠y+∠CDA=∠ACB이므로 ∠y+30ù=64ù ∴ ∠y=34ù ⑻ ❶

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠x=;2!;_(180ù-∠BAC) =;2!;_(180ù-48ù)=66ù ❷ ∠y=∠ABC=66ù (동위각) 1 CAD, SAS, 90, ⊥

2 ⑴ x=18, y=90 ⑵ x=3, y=90 ⑶ x=5, y=25 ⑷ x=55, y=4 ⑸ x=5, y=50 ⑹ x=14, y=60 p.10

02

이등변삼각형의 성질 ⑵

2

⑴ BCÓ=2DCÓ=2_9=18`(cm) ∴ x=18 ADÓ⊥BCÓ이므로 ∠ADC=90ù ∴ y=90 ⑵ BDÓ=;2!;BCÓ=;2!;_6=3`(cm) ∴ x=3 ADÓ⊥BCÓ이므로 ∠ADC=90ù ∴ y=90 ⑶ ACÓ=ABÓ=5`cm ∴ x=5 ∠ADB=90ù이므로

ABD에서 ∠BAD=180ù-(90ù+65ù)=25ù ∴ ∠CAD=∠BAD=25ù, 즉 y=25 ⑷ ∠ADB=90ù이므로

ABD에서 ∠B=180ù-(90ù+35ù)=55ù ∴ x=55 DCÓ=;2!;BCÓ=;2!;_8=4`(cm) ∴ y=4 ⑸ CDÓ=BDÓ=5`cm ∴ x=5 ∠ADC=90ù이므로

ADC에서 ∠C=180ù-(90ù+40ù)=50ù ∴ ∠B=∠C=50ù, 즉 y=50 ⑹ BCÓ=2BDÓ=2_7=14`(cm) ∴ x=14 ∠CAD=∠BAD=30ù, ∠ADC=90ù이므로

ADC에서 ∠ACD=180ù-(90ù+30ù)=60ù ∴ y=60

1 ADC, ADC, ASA, ACÓ 2 ⑴ 10 ⑵ 5 ⑶ 4 3 36, 72 72 36, 이등변, ADÓ, 8 72, 이등변, BDÓ, 8 p.11

03

이등변삼각형이 되는 조건

2

⑴ ∠A=∠C이므로

ABC는 이등변삼각형이다. ∴ BCÓ=BAÓ=10`cm, 즉 x=10 ⑵ ∠C=180ù-(80ù+50ù)=50ù이므로 ∠A=∠C 따라서

ABC는 이등변삼각형이므로 BAÓ=BCÓ=5`cm ∴ x=5 ⑶ ∠DAC=∠DCA이므로 A B D x cm C 4 cm 60∞ 60∞ 30∞ 30∞ ⊕

ADC는 이등변삼각형이다. ADÓ=DCÓ=x`cm 한편 ∠ADB =∠DAC+∠DCA =30ù+30ù=60 즉 ∠ABD=∠ADB이므로

ABD는 이등변삼각형 이다. ∴ ADÓ=ABÓ=4`cm, 즉 x=4

(3)

3

ABC에서 ∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-36ù)=72ù ❷ ∠ABD=;2!;∠ABC=;2!;_72ù=36ù 즉 ∠DAB=∠DBA=36ù이므로

DAB는 이등변삼 각형이다. ∴ BDÓ=ADÓ=8`cm ❸

ABD에서 ∠BDC=36ù+36ù=72ù 즉 ∠BCD=∠BDC=72ù이므로

BCD는 이등변삼 각형이다. ∴ BCÓ=BDÓ=8`cm 1 ⑴ 35 70 35 75 ⑵ 105ù ⑶ 69ù ⑷ 105ù 2 ⑴ 71, 71 71 38 33 ⑵ ∠x=75ù, ∠y=45ù ⑶ ∠x=40ù, ∠y=30ù ⑷ ∠x=50ù, ∠y=15ù 3 ⑴ 50 25 50 65 ⑵ ∠x=38ù, ∠y=52ù ⑶ ∠x=80ù, ∠y=50ù ⑷ ∠x=108ù, ∠y=36ù 4 ⑴ 70 35 70 70 105 ⑵ 120ù ⑶ 90ù ⑷ 36ù 5 ⑴ 27, 63 ABC, 27 63 63, 27, 36 ⑵ 20ù ⑶ 22ù ⑷ 25ù 6 ⑴ ❶ GFC ❷ GFC ❸ 이등변, EGÓ, 10, 10 ⑵ x=40 ⑶ x=5, y=30 ⑷ x=7, y=50 p.12~ p.14

04

이등변삼각형의 성질을 이용하여 각의 크기 구하기

1

⑵ ∠ABC=∠ACB=70ù이므로 A C B D 70∞ 35∞ x ⊕ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_70ù=35ù

DBC에서 ∠x =∠DBC+∠DCB =35ù+70ù=105ù ⑶ ∠ACB=;2!;_(180ù-32ù)=74ù 37∞ ⊕ A D B C x 32∞ 이므로 ∠ACD=;2!;∠ACB=;2!;_74ù=37ù

ADC에서 ∠x =∠DAC+∠ACD =32ù+37ù=69ù ⑷ ∠ABC=;2!;_(180ù-80ù) ⊕ A B C D x 80∞ 25∞ =50ù 이므로 ∠ABD=;2!;∠ABC =;2!;_50ù=25ù

ABD에서 ∠x=∠BAD+∠ABD=80ù+25ù=105ù

2

ABC에서 A D C B y x 30∞ 30∞ 75∞ ∠ABC=∠ACB =;2!;_(180ù-30ù) =75ù

BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠x=∠BCD=75ù ∠DBC=180ù-2_75ù=30ù ∴ ∠y =∠ABC-∠DBC =75ù-30ù=45ù ⑶

ABC에서 A D C B x y 70∞ 40∞ ∠x =180ù-2_70ù=40ù ∠ABC=∠ACB=70ù

BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠DBC=180ù-2_70ù=40ù ∴ ∠y =∠ABC-∠DBC =70ù-40ù=30ù ⑷

ABC에서 A D B C x y 65∞ 50∞ ∠x =180ù-2_65ù=50ù ∠ACB=∠ABC=65ù

CDB에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠DCB=180ù-2_65ù=50ù ∴ ∠y =∠ACB-∠DCB =65ù-50ù=15ù

3

DCA에서 ⊕ A D B C 38∞ y x ∠x=∠DAC=38ù이므로 ∠BDC=38ù+38ù=76ù

DBC에서 ∠y=;2!;_(180ù-76ù)=52ù ⑶

DAB에서 ⊕ A B 40∞ Dx y C 40∞ ∠DAB=∠DBA=40ù 이므로 ∠x=40ù+40ù=80ù

DCA에서 ∠y=;2!;_(180ù-80ù)=50ù

(4)

DCA에서 A B D C 54∞ y x54∞ ∠DAC=∠DCA=54ù이 므로 ∠x=54ù+54ù=108ù

DAB에서 ∠y=;2!;_(180ù-108ù)=36ù

4

ABC에서 D A B 40∞ C 80∞ 80∞ 40∞ x E ⊕ ⊕ ∠ACB=∠ABC=40ù이 므로 ∠DAC=40ù+40ù=80ù

CDA에서 ∠ADC=∠DAC=80ù

DBC에서 ∠x =∠DBC+∠BDC=40ù+80ù=120ù

ABC에서 D A B C E 120∞60∞ 60∞ 30∞ 30∞ x ⊕ ∠ABC=∠ACB =;2!;_(180ù-120ù) =30ù ∠CAD=180ù-120ù=60ù

CDA에서 ∠CDA=∠CAD=60ù

DBC에서 ∠x =∠DBC+∠BDC=30ù+60ù=90ù

ABC에서 D A B x x C 2x2x 108∞ E ⊕ ⊕ ∠ACB=∠ABC=∠x이므로 ∠DAC=∠x+∠x=2∠x

CDA에서 ∠ADC=∠DAC=2∠x

DBC에서 ∠x+2∠x=108ù이므로 3∠x=108ù ∴ ∠x=36ù

5

⑵ ∠ABC=∠ACB ⊕ x A D C B E 40∞ 35∞70∞ 55∞ =;2!;_(180ù-40ù) =70ù 이므로 ∠DBC=;2!;∠ABC =;2!;_70ù=35ù 또 ∠ACE=180ù-70ù=110ù이므로 ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_110ù=55ù

DBC에서 35ù+∠x=55ù ∴ ∠x=20ù ⑶ ∠ABC=∠ACB x A D B C E 44∞ 34∞ 68∞ 56∞ ⊕ =;2!;_(180ù-44ù) =68ù 이므로 ∠DBC=;2!;∠ABC =;2!;_68ù=34ù 또 ∠ACE=180ù-68ù=112ù이므로 ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_112ù=56ù

DBC에서 34ù+∠x=56ù ∴ ∠x=22ù ⑷ ∠ABC=∠ACB x D E C B A 50∞ 32.5∞ 65∞ 57.5∞ ⊕ =;2!;_(180ù-50ù) =65ù 이므로 ∠DBC=;2!;∠ABC =;2!;_65ù=32.5ù 또 ∠ACE=180ù-65ù=115ù이므로 ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_115ù=57.5ù

DBC에서 32.5ù+∠x=57.5ù ∴ ∠x=25ù

6

x∞ A B F C D G E 70∞ ∠GFC=∠EGF=70ù`(엇각), ∠EFG=∠GFC=70ù`(접은 각)이므로 ∠EGF=∠EFG 따라서

EFG는 이등변삼각형이므로 ∠GEF=180ù-2_70ù=40ù ∴ x=40 ⑶ A E 5 cm x cm B F C D G 75∞ y∞ ∠EGF=∠GFC=75ù`(엇각), ∠EFG=∠GFC=75ù`(접은 각)이므로 ∠EGF=∠EFG 따라서

EFG는 이등변삼각형이다. ∴ EGÓ=EFÓ=5`cm, 즉 x=5 ∠GEF=180ù-2_75ù=30ù, 즉 y=30 ⑷ x cm 7 cm 6 cm y∞ A B C D G E F 65∞

(5)

1 E, D, ASA

2 DFÓ, 이등변, E, 90, RHA 3 ⑴ EDÓ, FDÓ,

EFD, 변, RHS ⑵ DEÓ, ∠B,

ABC, 예각, RHA 4 ㉣ 5

ABCª

HIG`( RHS 합동),

DEFª

JLK`( RHA 합동) p.15~ p.16

05

직각삼각형의 합동 조건

4

ABC와

NOM에서 ∠A=∠N`(직각), BCÓ=OMÓ=5 (빗변), ACÓ=NMÓ=3 ∴

ABCª

NOM`( RHS 합동)

5

Ú

ABC와

HIG에서 ∠C=∠G`(직각), ABÓ=HIÓ=6`cm (빗변), BCÓ=IGÓ=4`cm ∴

ABCª

HIG (`RHS 합동) Û

DEF와

JLK에서 ∠D=∠J`(직각), EFÓ=LKÓ=4`cm (빗변), ∠F=∠K=30ù ∴

DEFª

JLK ( RHA 합동) 1 ⑴ POR, RHA, PRÓ

⑵ OPÓ, PQÓ, OPQ, RHS, ROP 2 ⑴ x=3, y=5 ⑵ x=4 ⑶ x=1, y=1

06

직각삼각형의 합동 조건의 활용 ⑴ - 각의 이등분선 p.17

2

ABDª

CBD`( RHA 합동)이므로 ADÓ=CDÓ=3 ∴ x=3 ABÓ=CBÓ=5 ∴ y=5 1 ⑴ ❶

AED ❷ 3 ⑵ 4 30`cmÛ` ⑶ ❶

AED ❷ 5 이등변, 5 ⑷ ❶ 8 8 32`cmÛ` 2 ⑴ :£2£:`cmÛ` ⑵ 10`cmÛ` 3 ⑴ ❶

ACD ❷ 4 ⑵ 3 15`cmÛ` ⑶ ❶

BED ❷ 2 이등변, 2 ⑷ ❶ 5 5 ❸:ª2°:`cmÛ`

4 ⑴ ❶

CAE, RHA ❷ CEÓ, 5, BDÓ, 3, 8, 8 ⑵ 7 ⑶ 8

5 ⑴ 18`cmÛ` ⑵ 26`cmÛ`

6 ⑴ ❶

CAE, RHA ❷ BDÓ, 4, CEÓ, 12, 8, 8 `⑵ 7 `⑶ 5 p.18~ p.20

07

직각삼각형의 합동 조건의 활용 ⑵

1

⑴ ❶

ACD와

AED에서 A E B 3 cmDx cm C ∠C=∠E=90ù, ADÓ는 공통, ∠CAD=∠EAD이므로

ACDª

AED` ( RHA 합동) ❷ DCÓ=DEÓ=3`cm ∴ x=3

⑵ ❶

ACDª

AED`( RHA 합동)

이므로 DEÓ=DCÓ=4`cm A E B 4 cm D4 cm C 15 cmx=4

ABD=;2!;_ABÓ_DEÓ =;2!;_15_4 =30`(cmÛ`) ⑶ ❶

ABDª

AED` 45∞ 45∞ A B D C E y cm x cm 5 cm ( RHA 합동) ❷ DEÓ=DBÓ=5`cm ∴ x=5 ∠EGF=∠GFC=65ù`(엇각), ∠EFG=∠GFC=65ù`(접은 각)이므로 ∠EGF=∠EFG 따라서

EFG는 이등변삼각형이다. ∴ EGÓ=EFÓ=7`cm, 즉 x=7 ∠GEF=180ù-2_65ù=50ù, 즉 y=50

ABDª

CBD`( RHA 합동)이므로 ADÓ=CDÓ 즉 3x+2=2x+6 ∴ x=4

ABDª

CBD`( RHA 합동)이므로

ABÓ=CBÓ에서 2x-y=1 yy ㉠ ADÓ=CDÓ에서 2x+y=3 yy ㉡ ㉠+㉡을 하면 4x=4 ∴ x=1

x=1을 ㉠에 대입하면

(6)

DEC는 직각이등변삼각형이므로 CEÓ=DEÓ=5`cm

y=5

⑷ ❶

ABDª

AED`( RHA 합동)이므로 DEÓ=DBÓ=8`cm ∴ x=8

DEC는 직각이등변삼각형이므로 ECÓ=DEÓ=8`cm ∴ y=8 45∞ 45∞ 8 cm 8 cm 8 cm A E C D B ❸

DCE=;2!;_DEÓ_ECÓ =;2!;_8_8 =32`(cmÛ`)

2

⑴ 점 D에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 11 cm 3 cm E A B D C E라 하면

ACDª

AED`( RHA 합동) 이므로 DEÓ=DCÓ=3`cm ∴

ABD=;2!;_ABÓ_DEÓ =;2!;_11_3 =:£2£:`(cmÛ`) ⑵ 점 D에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 E라 10 cm A D E C B 2 cm 하면

ABDª

AED`( RHA 합동) 이므로 DEÓ=DBÓ=2`cm ∴

ADC=;2!;_ACÓ_DEÓ =;2!;_10_2 =10`(cmÛ`)

3

⑴ ❶

AED와

ACD에서 A E B x cmD 4 cm C ∠E=∠C=90ù, ADÓ는 공통, AEÓ=ACÓ이므로

AEDª

ACD` ( RHS 합동) ❷ DEÓ=DCÓ=4`cm ∴ x=4 ⑵ ❶

AEDª

ACD`( RHS 합동)이므로 DEÓ=DCÓ=3`cm ∴ x=3 A E D B 3 cm 3 cm C 10 cm

ABD=;2!;_ABÓ_DEÓ =;2!;_10_3 =15`(cmÛ`) ⑶ ❶

BCDª

BED` 45∞ 45∞ 2 cm A E B C D y cm x cm ( RHS 합동) ❷ DEÓ=DCÓ=2`cm ∴ x=2

AED는 직각이등변삼각 형이므로 AEÓ=DEÓ=2`cm ∴ y=2 ⑷ ❶

AEDª

ACD`( RHS 합동)이므로 DEÓ=DCÓ=5`cm ∴ x=5

BDE는 직각이등변삼각형이므로 BEÓ=DEÓ=5`cm ∴ y=5

BDE=;2!;_BEÓ_DEÓ 45∞ 45∞ A E D B 5 cm C 5 cm 5 cm =;2!;_5_5 =:ª2°:`(cmÛ`)

4

ABDª

CAE` 7 cm x cm B D A E C l 7 cm x cm B D A E C l ( RHA 합동)이므로 AEÓ=BDÓ=7`cm ∴ x=7

ABDª

CAE 14 cm D B C A E x cm 6 cm l ` ( RHA 합동)이므로 ADÓ=CEÓ=6`cm, AEÓ=BDÓ=x`cm 즉 DEÓ =DAÓ+AEÓ에서 6+x=14 ∴ x=8

5

ABDª

CAE` 2 cm 4 cm D A E B C l ( RHA 합동)이므로 DAÓ=ECÓ=4`cm, AEÓ=BDÓ=2`cm 즉 DEÓ=4+2=6`(cm)이므로 DBCE=;2!;_(DBÓ+ECÓ)_DEÓ =;2!;_(2+4)_6=18`(cmÛ`) ⑵

ABDª

CAE` 10 cm 6 cm D A E C B l ( RHA 합동)이므로 AEÓ=BDÓ=6`cm ECÓ=DAÓ=10-6=4`(cm) ∴

ABC = DBCE-2

ABD =;2!;_(DBÓ+ECÓ)_DEÓ-2_{;2!;_DAÓ_DBÓ} =;2!;_(6+4)_10-2_{;2!;_4_6} =50-24=26`(cmÛ`)

(7)

1 ㉡, ㉣ 2 ⑴ 4 ⑵ 3 ⑶ 25 3 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯ ⑸ × ⑹ ◯ ⑺ ◯ ⑻ × p.21

08

삼각형의 외심의 뜻과 성질

2

⑴ OAÓ=OBÓ=OCÓ=4`cm이므로 x=4 ⑵ ODÓ는 BCÓ의 수직이등분선이므로 CDÓ=BDÓ=3`cm ∴ x=3

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=;2!;_(180ù-130ù)=25ù ∴ x=25

3

OAD와

OBD에서 ∠ODA=∠ODB, ODÓ는 공통, ADÓ=BDÓ ∴

OADª

OBD`( SAS 합동)

1 ⑴ 5 ⑵ 4 ⑶ 6 ⑷ 55 ⑸ 128 ⑹ 30 2 ⑴ 3`cm, 9p`cmÛ` ⑵ 12`cm, 144p`cmÛ` ⑶ 5`cm, 25p`cmÛ` p.22

09

삼각형의 외심의 위치

1

직각삼각형 ABC의 빗변의 중점 M은 외심이다. ⑴ MAÓ=MBÓ=MCÓ이므로 MCÓ=;2!;ABÓ=;2!;_10=5`(cm) ∴ x=5 ⑵ MBÓ=MAÓ=4`cm ∴ x=4 ⑶ MAÓ=MCÓ=6`cm ∴ x=6 ⑷ MBÓ=MCÓ이므로 ∠MCB=∠MBC=35ù ∴ ∠ACM=90ù-35ù=55ù, 즉 x=55 ⑸ MAÓ=MBÓ이므로 ∠MBA=∠MAB=64ù ∴ ∠BMC=64ù+64ù=128ù, 즉 x=128 ⑹ MAÓ=MBÓ이므로 ∠MAB=∠MBA=xù 이때 ∠AMC=∠MAB+∠MBA이므로 60ù=xù+xù, 2xù=60ù ∴ x=30

2

⑴ OBÓ는 외접원 O의 반지름이고 그 길이는 3`cm이다. 따라서 외접원 O의 넓이는 p_3Û`=9p`(cmÛ`) ⑵ ABÓ는 외접원 O의 지름이므로 반지름의 길이는 ;2!;ABÓ=;2!;_24=12`(cm) 따라서 외접원 O의 넓이는 p_12Û`=144p`(cmÛ`) ⑶ ABÓ는 외접원 O의 지름이므로 반지름의 길이는 ;2!;ABÓ=;2!;_10=5`(cm) 따라서 외접원 O의 넓이는 p_5Û`=25p`(cmÛ`) 1 ⑴ [방법 1] 이등변, 20, 35, x, 180, 20, 35, x, 35 [방법 2] 90, 35 ⑵ 20ù ⑶ 10ù ⑷ 24ù 2 ⑴ [방법 1] 2, 2, 65, 2, 130 [방법 2] 65, 130 ⑵ 100ù ⑶ 60ù ⑷ 50ù 3 ⑴ ∠x=65ù ⑵ ∠x=130ù ⑶ ∠x=112ù ⑷ ∠x=130ù ⑸ ∠x=20ù ⑹ ∠x=20ù ⑺ ∠x=55ù, ∠y=110ù ⑻ ∠x=70ù, ∠y=140ù ⑼ ∠x=60ù, ∠y=120ù p.23~ p.24

10

삼각형의 외심에서 각의 크기 구하기

1

⑵ ∠x+20ù+50ù=90ù ∴ ∠x=20ù ⑶ ∠x+30ù+50ù=90ù ∴ ∠x=10ù ⑷ 40ù+∠x+26ù=90ù ∴ ∠x=24ù

6

ABDª

CAE `( RHA 합동)이므로 A B E C D l 12 cm 5 cm x cm AEÓ=BDÓ=12`cm, ADÓ=CEÓ=5`cm ∴ DEÓ =AEÓ-ADÓ =12-5=7`(cm)x=7

ABDª

CAE`( RHA 합동) C E B A D l 9 cm x cm 14 cm 이므로 AEÓ=BDÓ=14`cm, ADÓ=CEÓ=9`cm ∴ DEÓ =AEÓ-ADÓ =14-9=5`(cm) 즉 x=5

(8)

2

⑵ ∠x=2_50ù=100ù ⑶ ∠x=;2!;_120ù=60ù ⑷

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠BOC=180ù-2_40ù=100ù ∴ ∠x=;2!;_100ù=50ù

3

⑴ 20ù+25ù+∠OAC=90ù이므로 x O A C B 25∞ 20∞ 20∞ ∠OAC=45ù ∠OAB=∠OBA=20ù ∴ ∠x=20ù+45ù=65ù ⑵ ∠OAB=∠OBA=40ù이므로 40∞ 40∞ x O A B C 25∞ ∠BAC=40ù+25ù=65ù ∴ ∠x=2_65ù=130ù ⑶ ∠OBC=∠OCB=16ù이므로 x O A B 40∞ C 16∞ 16∞ ∠ABC=40ù+16ù=56ù ∴ ∠x=2_56ù=112ù ⑷ ∠OCB=∠OBC=30ù이므로 x O A B 30∞ 30∞ C 35∞ ∠ACB=30ù+35ù=65ù ∴ ∠x=2_65ù=130ù ⑸ ∠BAC=;2!;_100ù=50ù x x O B C A 100∞ 30∞ 30∞ ∠OAC=∠OCA=30ù이고 ∠OAB=∠OBA=∠x이므로 ∠x+30ù=50ù ∴ ∠x=20ù ⑹ ∠ACB=;2!;_110ù=55ù이므로 x O A B C 110∞ 35∞ 20∞ ∠OCB=55ù-35ù=20ù ∴ ∠x=∠OCB=20ù ⑺ OAÓ를 그으면 x y O A B C 35∞ 20∞ ∠OAB=∠OBA=35ù, ∠OAC=∠OCA=20ù이므로 ∠x=35ù+20ù=55ù ∴ ∠y=2_55ù=110ù 1 접선, 접점, 수직 2 ⑴ 55ù ⑵ 50ù ⑶ 60ù 3 ⑴ ㉡, ㉢ ⑵ ㉠, ㉣ 4 ㉠, ㉢ 5 ⑴ 30 ⑵ 20 ⑶ 2 6 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ × ⑸ × ⑹ ◯ p.25~ p.26

11

삼각형의 내심의 뜻과 성질

2

⑴ ∠OAP=90ù이므로

OPA에서 ∠x=180ù-(90ù+35ù)=55ù ⑵ ∠OAP=90ù이므로

OAP에서 ∠x=180ù-(90ù+40ù)=50ù

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=30ù 이때 ∠OAP=90ù이므로 ∠x=90ù-∠OAB=90ù-30ù=60ù

5

⑴ ∠IBC=∠IBA=30ù ∴ x=30 ⑵ ∠ICB=∠ICA=30ù이므로

IBC에서 ∠IBC=180ù-(130ù+30ù)=20ù ∴ ∠IBA=∠IBC=20ù, 즉 x=20 ⑶ IDÓ=IEÓ=IFÓ=2`cm ∴ x=2

6

BDI와

BEI에서 ∠BDI=∠BEI=90ù, BIÓ는 공통, ∠IBD=∠IBE ∴

BDIª

BEI`( RHA 합동)

⑻ OBÓ를 그으면 y x O A B 40∞ C 30∞ ∠OBA=∠OAB=30ù, ∠OBC=∠OCB=40ù이므로 ∠x=30ù+40ù=70ù ∴ ∠y=2_70ù=140ù ⑼ OCÓ를 그으면 x y O A B C 35∞ 25∞ ∠OCB=∠OBC=25ù, ∠OCA=∠OAC=35ù이므로 ∠x=25ù+35ù=60ù ∴ ∠y=2_60ù=120ù

(9)

1 ⑴ [방법 1] 180, 2, 2, 2, 180, 45 [방법 2] 90, 45 ⑵ 20ù ⑶ 34ù ⑷ 37ù 2 ⑴ [방법 1] 2, 2, 2, 180, 90, 115 [방법 2] 50, 115 ⑵ 126ù ⑶ 44ù ⑷ 119ù 3 ⑴ ∠x=15ù ⑵ ∠x=130ù ⑶ ∠x=70ù ⑷ ∠x=92ù ⑸ ∠x=20ù ⑹ ∠x=60ù ⑺ ∠x=125ù, ∠y=35ù ⑻ ∠x=128ù, ∠y=28ù ⑼ ∠x=35ù, ∠y=60ù 4 ⑴ 100ù, 115ù ⑵ 40ù, 110ù ⑶ 60ù, 120ù 5 ⑴ 35, 50 70 35 80 50 15 ⑵ 18ù ⑶ 9ù ⑷ 12ù p.27~ p.29

12

삼각형의 내심에서 각의 크기 구하기

1

⑵ 40ù+30ù+∠x=90ù ∴ ∠x=20ù ⑶ 24ù+32ù+∠x=90ù ∴ ∠x=34ù ⑷ ∠x+18ù+35ù=90ù ∴ ∠x=37ù

2

⑵ ∠x=90ù+;2!;_72ù=126ù ⑶ ∠BIC=90ù+;2!;∠A이므로 112ù=90ù+;2!;∠x ;2!;∠x=22ù ∴ ∠x=44ù ⑷ ;2!;∠A=∠IAC=29ù이므로 ∠x=90ù+29ù=119ù

3

⑴ 35ù+∠x+40ù=90ù x x I A B C 35∞ 35∞ 40∞ 40∞ ∴ ∠x=15ù ⑵ ;2!;∠A=∠IAC=40ù이므로 40∞ 40∞ x A I B C ∠x=90ù+40ù=130ù ⑶ ∠BIC =180ù-(25ù+30ù) x A B C I 25∞ 125∞ 30∞ =125ù 125ù=90ù+;2!;∠x에서 ;2!;∠x=35ù ∴ ∠x=70ù ⑷ ∠IBC=∠IBA=16ù이므로 x I A B C 16∞ 16∞ 28∞ 136∞ ∠BIC =180ù-(16ù+28ù) =136ù 136ù=90ù+;2!;∠x이므로 ;2!;∠x=46ù ∴ ∠x=92ù ⑸ ∠BIC=90ù+∠x이므로 x x A B C I 110∞ ∠x=110ù-90ù=20ù ⑹ ∠BIA=90ù+∠x이므로 x x A C B I 150∞ ∠x=150ù-90ù=60ù ⑺ ∠x=90ù+;2!;_70ù=125ù y y x I A B C 70∞ 20∞ 20∞ ∠IBC=∠IBA=∠y, ∠ICB=∠ICA=20ù이므로

IBC에서 ∠y+125ù+20ù=180ù ∠y+145ù=180ù ∴ ∠y=35ù ⑻ ∠x=90ù+;2!;_76ù=128ù y x A B C I 24∞ 76∞

IAB에서 ∠y+24ù+128ù=180ù ∠y+152ù=180ù ∴ ∠y=28ù ⑼ ∠IBC=∠IBA=25ù, 120∞ x x y I A B C 25∞ 25∞ ∠ICB=∠ICA=∠x이므로

IBC에서 25ù+120ù+∠x=180ù 145ù+∠x=180ù ∴ ∠x=35ù 한편 ∠BIC=90ù+;2!;∠y이므로 120ù=90ù+;2!;∠y, ;2!;∠y=30ù ∴ ∠y=60ù

4

⑴ ∠x=2∠A=2_50ù=100ù ∠y=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_50ù=115ù ⑵ ∠x=;2!;∠BOC=;2!;_80ù=40ù ∠y=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_40ù=110ù ⑶ ∠BIC=90ù+;2!;∠x에서 120ù=90ù+;2!;∠x ;2!;∠x=30ù ∴ ∠x=60ù ∠y=2∠A=2_60ù=120ù

(10)

1 ⑴ 35ù ⑵ DBÓ ⑶ 25ù ⑷ ECÓ ⑸ 22`cm 2 ⑴ 15 ⑵ 7 ⑶ 4 3 ⑴ 28`cm ⑵ 18`cm p.30

13

평행선과 삼각형의 내심

5

⑵ ABÓ=ACÓ이므로 x A B C I O 36∞ 36∞54∞ ∠ABC=;2!;_(180ù-36ù)=72ù ∴ ∠IBC=;2!;∠ABC =;2!;_72ù=36ù 한편 ∠BOC =2∠A =2_36ù=72ù 이고 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=;2!;_(180ù-72ù)=54ù ∴ ∠x =∠OBC-∠IBC=54ù-36ù=18ù ⑶ OBÓ=OCÓ이므로 x A B C I O 96∞ 33∞ 42∞ ∠OCB=;2!;_(180ù-96ù)=42ù 한편 ∠A=;2!;∠BOC =;2!;_96ù=48ù 이고 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=;2!;_(180ù-48ù)=66ù ∴ ∠ICB=;2!;∠ACB=;2!;_66ù=33ù ∴ ∠x =∠OCB-∠ICB=42ù-33ù=9ù ⑷ ABÓ=ACÓ이므로 I A B O C 76∞ 14∞ 26∞ x ∠ABC=;2!;_(180ù-76ù) =52ù ∴ ∠IBC=;2!;∠ABC =;2!;_52ù=26ù 한편 ∠BOC=2∠A=2_76ù=152ù이고 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=;2!;_(180ù-152ù)=14ù ∴ ∠x =∠IBC-∠OBC=26ù-14ù=12ù

1

⑴ ∠DIB =∠IBC=∠DBI A D B C E I 10 cm 12 cm 35∞ 35∞ 25∞ 25∞ 25∞ 35∞ =35ù ⑵

DBI는 이등변삼각형이므 로 DIÓ=DBÓ ⑶ ∠EIC =∠ICB=∠ICE =25ù ⑷

EIC는 이등변삼각형이므로 IEÓ=ECÓ ⑸

ADE의 둘레의 길이는 ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+DIÓ+IEÓ+EAÓ =ADÓ+DBÓ+ECÓ+EAÓ =ABÓ+ACÓ =10+12=22`(cm)

2

⑴ DIÓ=DBÓ=7`cm이고 I A B C E D 7 cm x cm 8 cm IEÓ=ECÓ=8`cm이므로 DEÓ=7+8=15`(cm) ∴ x=15 ⑵ DEÓ =DIÓ+IEÓ x cm I A D B C E 3 cm 4 cm =DBÓ+ECÓ =3+4=7`(cm) ∴ x=7 ⑶ DIÓ=DBÓ=6`cm이므로 A D B C E I 6 cm x cm 10 cm ECÓ =EIÓ =DEÓ-DIÓ =10-6 =4`(cm)x=4

3

⑴ (

ADE의 둘레의 길이) I A B C D E 15 cm 13 cm =ABÓ+ACÓ =15+13 =28`(cm) ⑵ (

ADE의 둘레의 길이) I A D E B C 10 cm 8 cm 7 cm =ABÓ+ACÓ =10+8 =18`(cm)

(11)

1 ⑴ ❶ 4 6 6 2 2 ⑵ 7 ⑶ 10 ⑷ 4 ⑸ 7 ⑹ 12 ⑺ x x x 5 ⑻ :Á2°: p.31

14

삼각형의 내심의 활용 ⑴

1

⑵ BDÓ=BEÓ=7`cm A D B E C F I 5 cm x cm 7 cmx=7 ⑶ AFÓ=ADÓ=3`cm, 3 cm 7 cm 3 cm x cm 7 cm I A B D C E F CFÓ=CEÓ=7`cm이므로 ACÓ=3+7=10`(cm) ∴ x=10 ⑷ BDÓ=BEÓ=6`cm이므로 6 cm 6 cm 10 cm 4 cmA x cm D B E C F I AFÓ =ADÓ =10-6=4`(cm)x=4 ⑸ CEÓ=CFÓ=2`cm 5 cm 3 cm 5 cm x cm 8 cm 2 cm 2 cm 3 cm A D B E C F I ADÓ=AFÓ=3`cm이므로 BEÓ=BDÓ=8-3=5`(cm) ∴ BCÓ=5+2=7`(cm), 즉 x=7 ⑹ BEÓ=BDÓ=12-5=7`(cm) 7 cm 12 cm 10 cm x cm 7 cm 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm I A D B E C F AFÓ=ADÓ=5`cm이므로 CEÓ=CFÓ=10-5=5`(cm) ∴ BCÓ=7+5=12`(cm), 즉 x=12 ⑺ ❹ x cm 10 cm (12-x) cm (12-x) cm (8-x) cm (8-x) cm I A D B E C F x cm ACÓ=AFÓ+CFÓ에서 10=(8-x)+(12-x) 10=20-2x, 2x=10 ∴ x=510 cm (13-x) cm x cm (13-x) cm (12-x) cm (12-x) cm x cm I A D B E C F 1 [방법 1] r, 5r, r, 6r, r, 5r, ABC, 16, 48, 3 [방법 2] 48, r, 3 2 ⑴ 60`cmÛ` ⑵ 48`cm ⑶ 8`cmÛ` ⑷ (22-4p)`cmÛ` 3 [방법 1] 6, 2 [방법 2] 6-r, 8-r, 2 4 ⑴ 1`cm ⑵ 2`cm ⑶ 16p`cmÛ` ⑷ (54-9p)`cmÛ` p.32~ p.33

15

삼각형의 내심의 활용 ⑵

2

ABC=;2!;_3_(8+17+15) =60`(cmÛ`) ⑵ 72=;2!;_3_(ABÓ+BCÓ+CAÓ) ∴ ABÓ+BCÓ+CAÓ=48`(cm) ⑶ 내접원 I의 반지름의 길이를 8 cm 7 cm r cm 5 cm A D B E C F I r`cm라 하면 20=;2!;_r_(7+8+5)r=2

IBC=;2!;_8_2=8`(cmÛ`) ⑷

ABC=;2!;_22_2=22`(cmÛ`) (원 I의 넓이)=p_2Û`=4p`(cmÛ`) ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(

ABC의 넓이)-(원 I의 넓이) =22-4p`(cmÛ`)

4

ABC=;2!;_4_3 I A D E F B C 3 cm r cm 4 cm 5 cm =6`(cmÛ`) 내접원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 6=;2!;_r_(3+4+5)r=1 CEÓ=CFÓ=x`cm이므로 BDÓ=BEÓ=(12-x)`cm ADÓ=AFÓ=(13-x)`cm ABÓ=ADÓ+BDÓ에서 10=(13-x)+(12-x) 10=25-2x, 2x=15 ∴ x=:Á2°:

(12)

1 ⑴ ∠x=30ù, ∠y=80ù ⑵ ∠x=35ù, ∠y=45ù ⑶ ∠x=70ù, ∠y=30ù 2 ⑴ ❶ 85 85, 85, 180, 65 ⑵ 90ù ⑶ 75ù ⑷ 80ù p.35

16

평행사변형의 뜻

1

⑴ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠x=∠CAD=30ù (엇각) ABÓ∥DCÓ이므로 ∠y=∠BAC=80ù (엇각) ⑵ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠x=∠DBC=35ù (엇각) ABÓ∥DCÓ이므로 ∠y=∠BDC=45ù (엇각) ⑶ ABÓ∥DCÓ이므로 ∠x=∠ACD=70ù (엇각) ADÓ∥BCÓ이므로 ∠y=∠CAD=30ù (엇각)

2

⑵ ABÓ∥DCÓ이므로 A B C D O 30∞ 60∞ 30∞ x ∠BDC=∠DBA=30ù (엇각)

OCD에서 ∠x=60ù+30ù=90ù ⑶ ABÓ∥DCÓ이므로 A D O B C 85∞ 20∞ 85∞ x ∠ACD=∠CAB=85ù (엇각)

OCD에서 ∠x+85ù+20ù=180ù ∴ ∠x=75ù ⑷ ADÓ∥BCÓ이므로 A D O B C 70∞ 30∞ 70∞x ∠ACB=∠CAD=70ù (엇각)

OBC에서 ∠x+30ù+70ù=180ù ∴ ∠x=80ù ⑵

ABC=;2!;_5_12 I A D B E F C r cm 12 cm 13 cm 5 cm =30`(cmÛ`) 내접원 I의 반지름의 길이 를 r`cm라 하면 30=;2!;_r_(5+13+12) ∴ r=2

ABC=;2!;_12_16=96`(cmÛ`) 내접원 I의 반지름의 길이를 I A D B E C F r cm 16 cm 20 cm 12 cm r`cm라 하면 96=;2!;_r_(20+12+16)r=4 ∴ (원 I의 넓이) =p_4Û` =16p`(cmÛ`) ⑷

ABC=;2!;_12_9 I A D B E C F 15 cm 9 cm 12 cm r cm =54`(cmÛ`) 내접원 I의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 54=;2!;_r_(15+12+9)r=3 따라서 원 I의 넓이는 p_3Û`=9p`(cmÛ`)이므로 색칠한 부분의 넓이는 (

ABC의 넓이)-(원 I의 넓이)=54-9p`(cmÛ`)

2

평행사변형

1 ⑴ x=12, y=9 ⑵ x=60, y=120 ⑶ x=5, y=70 ⑷ x=8, y=6 ⑸ x=3, y=4 ⑹ x=12, y=7 ⑺ x=80, y=55 ⑻ x=70, y=60 ⑼ x=105, y=3 2 ⑴ ❶ 14`cm ❷ 10`cm ❸ 8`cm ❹ 32`cm ⑵ 20`cm 3 ⑴ x=3 ⑵ x=4 ⑶ x=9, y=3 ⑷ x=9, y=4 ⑸ x=2, y=8 ⑹ x=6, y=5

4 DCA, DAC,

CDA, ASA, DAC, DCA 5 CDO, DCO,

CDO, ASA, OCÓ, ODÓ p.36~ p.38

17

평행사변형의 성질

(13)

1 ⑴ ❶ 2, 2 180, 2, 180, 60 ⑵ 135ù ⑶ 80ù ⑷ 72ù 2 ⑴ ❶ 5, DAE, 이등변, ABÓ, 5 7, 7, 2, 2 ⑵ 4 ⑶ 1 ⑷ 4

3 ⑴ ❶ 11, ABF, 이등변, BCÓ, 11 6, 6, 5, 5 ⑵ x=4 ⑶ x=10, y=130 ⑷ x=35, y=2 4 ⑴ ❶ 6,

FCE, ASA, BAÓ, 6 6, 6, 12, 12 ⑵ 9 ⑶ 10 ⑷ 6 p.39~ p.40

18

평행사변형의 성질의 활용

1

⑴ BCÓ=ADÓ=12`cm ∴ x=12 DCÓ=ABÓ=9`cm ∴ y=9 ⑵ ∠D=∠B=60ù ∴ x=60 ∠B+∠C=180ù이므로 ∠C=180ù-60ù=120ù ∴ y=120 ⑶ BCÓ=ADÓ=5`cm ∴ x=5 ∠A+∠D=180ù이므로 ∠D=180ù-110ù=70ù ∴ y=70 ⑷ ABÓ=DCÓ=8`cm ∴ x=8 ODÓ=;2!;BDÓ=;2!;_12=6`(cm) ∴ y=6 ⑸ OBÓ=ODÓ=3`cm ∴ x=3 OCÓ=OAÓ=4`cm ∴ y=4 ⑹ ACÓ=2OAÓ=2_6=12`(cm) ∴ x=12 OBÓ=;2!;BDÓ=;2!;_14=7`(cm) ∴ y=7 ⑺ ∠D=∠B=80ù ∴ x=80 A B C D y∞ x∞ 45∞ 80∞ ∠BCD =180ù-∠B =180ù-80ù=100ù 즉 ∠BCA+∠ACD=100ù 이므로 45ù+∠ACD=100ù ∴ ∠ACD=55ù, 즉 y=55 ⑻ ∠B=∠D=70ù이므로 x=70 A B C D y∞ x∞ 50∞ 70∞

ABC에서 ∠BAC+70ù+50ù=180ù ∴ ∠BAC=60ù, 즉 y=60 ⑼

ABD에서 A B C D O 6 cm y cm x∞ 35∞ 40∞ ∠BAD+40ù+35ù=180ù ∴ ∠BAD=105ù 이때 ∠BCD=∠BAD=105ù 이므로 x=105

OAÓ=;2!;ACÓ=;2!;_6=3`(cm) ∴ y=3

2

⑴ ❶ BCÓ=ADÓ=14`cm ❷ OBÓ=;2!;BDÓ=;2!;_20=10`(cm) ❸ OCÓ=;2!;ACÓ=;2!;_16=8`(cm) ❹

OBC의 둘레의 길이는 OBÓ+BCÓ+OCÓ=10+14+8=32`(cm) ⑵ ABÓ=DCÓ=8`cm A D C O B 8 cm 10 cm 14 cm OAÓ=;2!;ACÓ =;2!;_10=5`(cm) OBÓ=;2!;BDÓ =;2!;_14=7`(cm) 따라서

OAB의 둘레의 길이는 ABÓ+OBÓ+OAÓ=8+7+5=20`(cm)

3

⑴ ABÓ=DCÓ이므로 5=2x-1 2x=6 ∴ x=3 ⑵ ABÓ=DCÓ이므로 2x-1=7 2x=8 ∴ x=4 ⑶ ADÓ=BCÓ이므로 10=x+1 ∴ x=9 ABÓ=DCÓ이므로 6=3y-3 3y=9 ∴ y=3 ⑷ ADÓ=BCÓ이므로 16=2x-2 2x=18 ∴ x=9

ABÓ=DCÓ이므로 2y=y+4 ∴ y=4

⑸ ABÓ=DCÓ이므로 4x-2=6 4x=8 ∴ x=2 BDÓ=2OBÓ이므로 y=2_4=8 ⑹ OAÓ=OCÓ이므로 4=x-2 ∴ x=6 OBÓ=ODÓ이므로 2y-5=5 2y=10 ∴ y=5

1

⑵ ∠A:∠B=3:1이므로 ∠A=3∠B 이때 ∠A+∠B=180ù이므로 3∠B+∠B=180ù, 4∠B=180ù ∴ ∠B=45ù 즉 ∠A=3∠B=3_45ù=135ù이므로 ∠x=135ù

(14)

⑶ ∠A:∠B=4:5이므로 5∠A=4∠B 즉 ∠B=;4%;∠A이고 ∠A+∠B=180ù이므로 ∠A+;4%;∠A=180ù ;4(;∠A=180ù ∴ ∠A=80ù 따라서 ∠C=∠A이므로 ∠x=80ù ⑷ ∠A:∠B=3:2이므로 ∠A=;2#;∠B 이때 ∠A+∠B=180ù이므로 ;2#;∠B+∠B=180ù ;2%;∠B=180ù ∴ ∠B=72ù 따라서 ∠D=∠B이므로 ∠x=72ù

2

⑵ ∠AEB=∠EBC`(엇각)이 A E D C B 4 cm 6 cm x cm 엇각 고 ∠EBC=∠ABE이므로 ∠ABE=∠AEB 따라서

ABE는 이등변삼각 형이므로 AEÓ=ABÓ=4`cm ∴ x=4 ⑶ ∠BEA=∠EAD`(엇각)이고 A B E C D 5 cm 4 cm x cm 엇각 ∠EAD=∠BAE이므로 ∠BAE=∠BEA 따라서

BEA는 이등변삼각 형이므로 BEÓ=ABÓ=4`cm 한편 BCÓ=ADÓ=5`cm이므로 ECÓ=BCÓ-BEÓ=5-4=1`(cm) ∴ x=1 ⑷ ∠DEA=∠EAB`(엇각)이고 A B C D E 11 cm 15 cm x cm 엇각 ∠EAB=∠DAE이므로 ∠DAE=∠DEA 따라서

DAE는 이등변삼각형 이므로 DEÓ=ADÓ=11`cm 한편 DCÓ=ABÓ=15`cm이므로 ECÓ=DCÓ-DEÓ=15-11=4`(cm) ∴ x=4

3

⑵ ∠AFD=∠ADF이므로 A B E C D F x cm 8 cm 12 cm 엇각

AFD는 이등변삼각형이다. 따라서 AFÓ=ADÓ=12`cm 이므로 BFÓ=12-8=4`(cm) ∴ x=4 ⑶ ∠DAF=∠DFA이므로 10 cm 6 cm x cm A B E F C D y∞ 65∞ 엇각

DAF는 이등변삼각형이다. 따라서 DFÓ=ADÓ=10`cm이 므로 x=10 또 ∠BAF =∠DAF =∠DFA=65ù 이므로 ∠BAD =2∠BAF=2_65ù=130ù ∴ ∠BCD=∠BAD=130ù, 즉 y=130 ⑷ ∠CBF =∠ABF A D F E B C y cm x∞ 6 cm 8 cm 35∞ 엇각 =∠CFE =35ù (엇각) 이므로 x=35

CFB는 이등변삼각형이 므로 CFÓ=BCÓ=8`cm 한편 DCÓ=ABÓ=6`cm이므로 DFÓ=8-6=2`(cm) ∴ y=2

4

ABEª

FCE` A B E F C D x cm 15 cm 18 cm (ASA 합동)이므로 CFÓ=ABÓ=x`cm 이때 DCÓ=ABÓ=x`cm 이므로 DFÓ=DCÓ+CFÓ에서 18=x+x 2x=18  ∴ x=9

AEDª

FEC`( ASA 합동) A

B F E D C x cm 5 cm 이므로 CFÓ=DAÓ=5`cm 이때 BCÓ=ADÓ=5`cm이므로 BFÓ =BCÓ+CFÓ에서 x=5+5=10

ABEª

DFE F E A D C B x cm 12 cm 8 cm ( ASA 합동)이므로 FDÓ=BAÓ=x`cm 이때 DCÓ=ABÓ=x`cm 이므로 FCÓ =FDÓ+DCÓ에서 12=x+x 2x=12  ∴ x=6

(15)

1 1 ⑴ ABÓ∥DCÓ, ADÓ∥BCÓ ⑵ ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ ⑶ ∠A=∠C, ∠B=∠D ⑷ OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ ⑸ ADÓ∥BCÓ, ADÓ=BCÓ`(또는 ABÓ∥DCÓ, ABÓ=DCÓ) 2 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯ ⑸ × ⑹ × 3 ⑴ ◯, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. ⑵ ◯, 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. ⑶ × ⑷ × ⑸ ◯, 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. ⑹ ◯, 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. 4 ⑴ ◯, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. ⑵ × ⑶ ◯, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. ⑷ ◯, 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. ⑸ × ⑹ × 5 ⑴ ❶ DFÓ, FCÓ, DFÓ ❷ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. ⑵ ❶ OGÓ, OHÓ ❷ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. ⑶ ❶ CFÓ, CFÓ ❷ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. ⑷ ❶ EDF, EDF, BFD ❷ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. p.41~ p.43

19

평행사변형이 되는 조건 1 ⑴ 20`cmÛ` ⑵ 15`cmÛ` ⑶ 20`cmÛ` 2 ⑴ 7`cmÛ` ⑵ 12`cmÛ` ⑶ 18`cmÛ` 3 ⑴ 21`cmÛ` ⑵ 16`cmÛ` ⑶ 45`cmÛ` ⑷ 10`cmÛ` 4 ⑴ 12`cmÛ` ⑵ 75`cmÛ` ⑶ 63`cmÛ` p.44~ p.45

20

평행사변형의 넓이

1

⑴ ABCD=2

ABD=2_10=20`(cmÛ`) ⑵

ACD=

ABC=15`cmÛ` ⑶

ABC=;2!;ABCD=;2!;_40=20`(cmÛ`)

2

OAB=;4!;ABCD=;4!;_28=7`(cmÛ`) ⑵ ABCD=4

ODA=4_3=12`(cmÛ`) ⑶

OAB+

OCD =;4!;ABCD+;4!;ABCD =;2!;ABCD =;2!;_36=18`(cmÛ`)

3

PAB+

PCD=

PDA+

PBC이므로 18+12=

PDA+9 ∴

PDA=21`(cmÛ`) ⑵

PAB+

PCD=

PDA+

PBC이므로

PAB+10=7+19 ∴

PAB=16`(cmÛ`) ⑶

PAB+

PCD =;2!;ABCD =;2!;_90=45`(cmÛ`) ⑷

PDA+

PBC=;2!;ABCD이므로

PDA+20=;2!;_60 ∴

PDA=10`(cmÛ`)

4

AOPª

COQ`( ASA 합동)이므로

AOP=

COQ ∴

POD+

COQ =

POD+

AOP =

AOD =;4!;ABCD =;4!;_48=12`(cmÛ`)

POBª

QOD`(ASA 합동)이므로

POB=

QOD ∴

APO+

QOD =

APO+

POB =

ABO =;4!;ABCD =;4!;_300=75`(cmÛ`)

AOPª

COQ`(ASA 합동)이므로

AOP=

COQ ∴

AOP+

OBQ =

COQ+

OBQ =

OBC =;4!;ABCD =;4!;_252=63`(cmÛ`)

(16)

1 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯ 2 ⑴ x=80 ⑵ x=74 ⑶ x=35, y=55 ⑷ x=15, y=75 ⑸ x=12, y=6 ⑹ x=3 3 DCÓ, SSS, ∠C, ∠D, 직사각형 4 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯ ⑸ × ⑹ ◯ ⑺ × ⑻ × p.48~ p.49

21

직사각형 1 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ×

2 ⑴ x=5, y=50 ⑵ x=90, y=25 ⑶ x=8, y=30 ⑷ x=20, y=140 ⑸ x=30, y=60 ⑹ x=40, y=50 3 ⑴ ❶ CDÓ, 40 40, 50, 50 ⑵ 56ù

⑶ ❶ 180, 120 120, 360, 60 ⑷ 80ù

4 ⑴ x=5 ⑵ x=4, y=3 ⑶ x=2, y=;2&; ⑷ x=2, y=3 5 DOÓ, AOD, SAS, ADÓ, DCÓ, ADÓ, 마름모

6 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯ ⑸ × ⑹ × ⑺ ◯ ⑻ ◯ p.50~ p.52

22

마름모

2

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=40ù ∴ ∠DOC=40ù+40ù=80ù, 즉 x=80 ⑵

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=37ù ∴ ∠AOD=37ù+37ù=74ù, 즉 x=74 ⑶

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=35ù ∴ x=35

ABC에서 ∠B=90ù이므로 ∠BAC=180ù-(90ù+35ù)=55ù ∴ y=55 ⑷ ∠AOD=∠BOC=150ù (맞꼭지각)이고

AOD에서 OAÓ=ODÓ이므로 ∠ODA=∠OAD=;2!;_(180ù-150ù)=15ù ∴ x=15 또 ∠BAD=90ù이므로 ∠BAO=90ù-15ù=75ù ∴ y=75 ⑸ ACÓ=BDÓ=12`cm이므로 x=12 OBÓ=;2!;BDÓ=;2!;_12=6`(cm) ∴ y=6 ⑹ OBÓ=OCÓ이므로 3x-3=12-2x 5x=15 ∴ x=3

2

⑴ ADÓ=ABÓ=5`cm ∴ x=5

BCA에서 BAÓ=BCÓ이므로 ∠BCA=∠BAC=50ù ∴ y=50 ⑵ ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠AOD=90ù ∴ x=90 ABÓ∥DCÓ이므로 ∠OCD=∠OAB=65ù`(엇각)

OCD에서 ∠COD=90ù이므로 ∠ODC=180ù-(90ù+65ù)=25ù ∴ y=25 ⑶ OBÓ=ODÓ=8`cm이므로 x=8

AOD에서 ∠AOD=90ù이므로 ∠ADO=180ù-(90ù+60ù)=30ù 이때 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABO=∠ADO=30ù ∴ y=30

ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=;2!;_(180ù-140ù)=20ù ∴ x=20 ∠C=∠A=140ù이므로 y=140

DAC에서 DAÓ=DCÓ이므로 ∠DCO=∠DAO=30ù ABÓ∥DCÓ이므로 ∠BAO=∠DCO=30ù`(엇각) ∴ x=30

AOD에서 ∠AOD=90ù이므로 ∠ODA=180ù-(90ù+30ù)=60ù ADÓ∥BCÓ이므로 ∠OBC=∠ODA=60ù`(엇각) ∴ y=60 ⑹ ABÓ∥DCÓ이므로 ∠CDO=∠ABO=40ù`(엇각) ∴ x=40 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ADO=∠ABO=40ù이고

AOD에서 ∠AOD=90ù이므로 ∠OAD=180ù-(90ù+40ù)=50ù ∴ y=50

3

CDB에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CBD=;2!;_(180ù-112ù)=34ù

PBH에서 ∠PHB=90ù이므로 ∠BPH=180ù-(90ù+34ù)=56ù ∴ ∠x=∠BPH=56ù (맞꼭지각) ⑷ APCQ에서 ∠APC=∠AQC=90ù이므로 80ù+90ù+∠C+90ù=360ù ∴ ∠C=100ù ABCD에서 ∠C+∠D=180ù이므로 100ù+∠x=180ù ∴ ∠x=80ù

4

⑴ ABÓ=BCÓ이어야 하므로 3x-4=2x+1 ∴ x=5 ⑵ ADÓ=BCÓ이므로 x+1=5 ∴ x=4 또 BCÓ=DCÓ이어야 하므로

3

여러 가지 사각형

(17)

5=2y-1, 2y=6 ∴ y=3

⑶ ABÓ=DCÓ이므로

3x+2=8, 3x=6 ∴ x=2

또 BCÓ=DCÓ이어야 하므로 2y+1=8, 2y=7 ∴ y=;2&; ⑷ ABÓ=BCÓ이어야 하므로 2x+1=7-x, 3x=6 ∴ x=2 또 ADÓ=BCÓ이므로 y+2=7-x, 즉 y+2=5 ∴ y=3

6

⑺ ABÓ∥CDÓ이므로 ∠CDB=∠ABD (엇각)이고 ∠ABD=∠CBD이므로 ∠CBD=∠CDB ∴ CBÓ=CDÓ 즉 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 ABCD는 마름 모가 된다. 1 ⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ◯

2 ⑴ x=5, y=90 ⑵ x=90, y=6 ⑶ x=4, y=45 ⑷ x=45, y=5 3 ❶ 8 16`cmÛ` ❸ 16`cmÛ` ❹ 32`cmÛ` 4 ⑴ ❶ DCP, SAS, PBC, 25 25, 45, PDC, 70 ⑵ 80ù ⑶ 68ù ⑷ 27ù 5 ⑴ ❶ BCF, SAS, CBF, x x, 110, 70, 70, 20 ⑵ 65ù ⑶ 35ù ⑷ 90ù 6 ⑴ ❶ 60, 30 30, 30, 30, 75 75, 75, 75, 15 15, 15, 15, 150 ⑵ 30ù ⑶ 75ù ⑷ 15ù p.53~ p.55

23

정사각형

2

⑴ OBÓ=OAÓ=5`cm ∴ x=5 ∠ADC=90ù이므로 y=90 ⑵ ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠BOC=90ù ∴ x=90 ODÓ=OAÓ=6`cm ∴ y=6 ⑶ BDÓ=ACÓ=2OAÓ=2_2=4`(cm) ∴ x=4 ∠AOB=90ù이고 OAÓ=OBÓ이므로 ∠BAO=45ù ∴ y=45 ⑷ ∠BOC=90ù이고 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=45ù ∴ x=45 OAÓ=;2!;ACÓ=;2!;_10=5`(cm) ∴ y=5

3

❶ OBÓ=OCÓ=ODÓ=OAÓ=4`cm이므로 BDÓ=ACÓ=2OAÓ=2_4=8`(cm) ❷

ABD=;2!;_BDÓ_AOÓ=;2!;_8_4=16`(cmÛ`) ❸

BCD=;2!;_BDÓ_COÓ=;2!;_8_4=16`(cmÛ`) ❹ ABCD=

ABD+

BCD=16+16=32`(cmÛ`)

4

BCPª

DCP`(SAS 합동) x P A B C D 35∞ 45∞45∞ 35∞ ⊕ 이므로 ∠PDC=∠PBC=35ù

DCP에서 ∠APD=∠PCD+∠PDC이므로 ∠x=45ù+35ù=80ù

ABPª

ADP`(SAS 합동)

x A P B C D 23∞ 45∞ 45∞ 23∞ ⊕ 이므로 ∠ABP=∠ADP=23ù

ABP에서 ∠BPC=∠BAP+∠ABP이므로 ∠x=45ù+23ù=68ù

ABP에서 P x A B C D 72∞ 45∞ 27∞ 45∞ ∠BPC=∠BAP+∠ABP이므로 72ù=45ù+∠ABP ∴ ∠ABP=27ù 한편

ABPª

ADP` (SAS 합동)이므로 ∠ADP=∠ABP=27ù ∴ ∠x=27ù

5

ABEª

BCF`(SAS 합동) x E G F A B C D 65∞ 이므로 ∠BFC=∠AEB=65ù ∴ ∠x=65ù ⑶

ABE에서 x F E G A B C D 125∞ 55∞ 35∞ ∠AEB=180ù-125ù=55ù이므로 ∠BAE=180ù-(90ù+55ù)=35ù 한편

ABEª

BCF` ( SAS 합동)이므로 ∠CBF=∠BAE=35ù ∴ ∠x=35ù ⑷

ABEª

BCF`( SAS 합동) x A B E G C F D 이므로 ∠BAE=∠CBF 이때 ∠BAE+∠AEB=90ù 이므로 ∠CBF+∠AEB=90ù

GBE에서 ∠AGB=∠CBF+∠AEB=90ù ∴ ∠x=90ù

(18)

1 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯ ⑸ × ⑹ × 2 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ × ⑸ ◯ p.56

24

정사각형이 되는 조건

6

PBC는 정삼각형이므로 x A P B C D 60∞ ∠PCB=60ù ∴ ∠x=90ù-60ù=30ù ⑶

CDP에서 CPÓ=CDÓ이고 x A B C D P 60∞ 30∞ ∠PCD=30ù이므로 ∠CPD=;2!;_(180ù-30ù) =75ù ∴ ∠x=75ù ⑷ ∠CDA=90ù이고 A x B C D P75∞75∞ 30∞ 60∞ ∠CDP=75ù이므로 ∠PDA =∠CDA-∠CDP =90ù-75ù=15ù ∴ ∠x=15ù 1 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ◯ 2 ⑴ 60 ⑵ 115 ⑶ 70 ⑷ 35 ⑸ 8 ⑹ 9 3 ⑴ ❶ x, x, x x, 2, 70, 35 ⑵ 70ù ⑶ 90ù ⑷ 32ù 4 ⑴ ❶ 6, 평행사변형, ADÓ, 6 60, 60, 8, 정삼각형, ABÓ, 8, 14, 14 ⑵ 10 ⑶ 12 ⑷ 20 5 ⑴ ❶ 6, 직사각형, ADÓ, 6 DCF, RHA, x, BEÓ, x, 6, x, 4 ⑵ 3 ⑶ 10 ⑷ 7 6 ⑴ 마름모 ⑵ 정삼각형 ⑶ 60ù p.57~ p.59

25

등변사다리꼴

2

⑴ ∠A+∠B=180ù이므로 ∠B=180ù-120ù=60ù ∴ x=60 ⑵ ∠C=∠B=65ù이므로 ∠D=180ù-∠C=180ù-65ù=115ù ∴ x=115 ⑶ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ACB=∠CAD=25ù (엇각) ∠ABC=∠BCD=25ù+45ù=70ù ∴ x=70 ⑷ ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ACB=∠CAD=40ù (엇각) ∠ABC=∠BCD이므로 75ù=40ù+∠ACD ∴ ∠ACD=35ù, 즉 x=35 ⑸ DCÓ=ABÓ=8`cm ∴ x=8 ⑹ ACÓ=BDÓ=OBÓ+ODÓ=7+2=9`(cm) ∴ x=9

3

ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 A B C D x 35∞ 35∞ 35∞ 엇각 ∠ABD=∠ADB=35ù ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DBC=∠ADB=35ù`(엇각) 따라서 ∠ABC=35ù+35ù=70ù이므로 ∠x=∠ABC=70ù ⑶ ADÓ∥BCÓ이므로 A D B C x 30∞ 30∞ 30∞ 60∞ 엇각 ∠ADB =∠DBC =30ù`(엇각)

ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB=30ù 따라서 ∠ABC=30ù+30ù=60ù이므로 ∠C=∠ABC=60ù

DBC에서 ∠x+30ù+60ù=180ù ∴ ∠x=90ù ⑷ ADÓ∥BCÓ이므로 A B C D x x x 2x 84∞ 엇각 ∠ADB=∠DBC=∠x`(엇각)

ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB=∠x 따라서 ∠C=∠ABC=∠x+∠x=2∠x이므로

DBC에서 ∠x+2∠x+84ù=180ù, 3∠x=96ù ∴ ∠x=32ù

4

⑵ 점 A를 지나고 DCÓ와 평행한 A D C B E x cm 20 cm 30 cm 60∞ 60∞ 60∞ 선을 그어 BCÓ와 만나는 점을 E라 하자. AECD는 평행사변형이므로 ECÓ=ADÓ=x`cm 또 AEÓ∥DCÓ이므로 ∠AEB=∠DCE=∠ABE=60ù 따라서

ABE는 정삼각형이므로 BEÓ=ABÓ=20`cm 즉 BCÓ=BEÓ+ECÓ에서 30=20+x x=10

(19)

⑶ 점 D를 지나고 ABÓ와 평행한 A B C D E 7 cm 5 cm x cm 120∞ 60∞ 60∞ 60∞ 선을 그어 BCÓ와 만나는 점을 E라 하자. ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=5`cm 또 ABÓ∥DEÓ이므로 ∠DEC=∠ABE=∠DCE=180ù-120ù=60ù 따라서

DEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=7`cm ∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=5+7=12`(cm), 즉 x=12 ⑷ 점 D를 지나고 ABÓ와 평행한 A D C B E x cm 12 cm 8 cm 120∞ 60∞ 60∞ 60∞ 선을 그어 BCÓ와 만나는 점을 E라 하자. ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=8`cm 또 ABÓ∥DEÓ이므로 ∠DEC=∠ABE=∠DCE=180ù-120ù=60ù 따라서

DEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=12`cm ∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=8+12=20`(cm), 즉 x=20

5

⑵ 점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 A B E F C D x cm 13 cm 7 cm 발을 F라 하면 AEFD는 직사각형이므로 EFÓ=ADÓ=7`cm 한편

ABEª

DCF` ( RHA 합동)이므로 FCÓ=BEÓ=x`cm 따라서 BCÓ=BFÓ+EFÓ+FCÓ에서 x+7+x=13  ∴ x=3 ⑶ 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 F A B E C D x cm 2 cm 6 cm 발을 F라 하면 AFED는 직사각형이므로 FEÓ=ADÓ=6`cm 한편

ABFª

DCE ( RHA 합동)이므로 BFÓ=ECÓ=2`cm ∴ BCÓ=2+6+2=10`(cm), 즉 x=10 ⑷ 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 A B D C E x cm 5 cm 1 cm F 발을 F라 하면 AFED는 직사각형이므로 FEÓ=ADÓ=5`cm 한편

ABFª

DCE` ( RHA 합동)이므로 BFÓ=ECÓ=1`cm ∴ BCÓ=1+5+1=7`(cm), 즉 x=7

6

⑴ ADÓ∥BEÓ, ABÓ∥DEÓ이므로 A D E B x C ABED는 평행사변형이다. 이때 ABÓ=ADÓ이므로 ABED는 마름모이다. ⑵ DEÓ=ABÓ=DCÓ BEÓ=ADÓ이고 BCÓ=2ADÓ이므로 ECÓ=BEÓ=ADÓ=DCÓ 따라서

DEC는 정삼각형이다. ⑶

DEC는 정삼각형이므로 ∠C=60ù ∴ ∠x=∠C=60ù 1 ① - ㉡, ② - ㉣, ③ - ㉢, ④ - ㉠, ⑤ - ㉠, ⑥ - ㉢ 2 ① - ㉢, ② - ㉠, ③ - ㉡, ④ - ㉡, ⑤ - ㉠ 3 4 ⑴ ㉠, ㉢, ㉣, ㉤ ⑵ ㉢, ㉣, ㉥ ⑶ ㉠, ㉣ ⑷ ㉢, ㉣ ⑸ ㉠, ㉣ ⑹ ㉠, ㉢, ㉣, ㉤ 5 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ × ⑸ × ⑹ ◯ 6 ⑴ × ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯ ⑸ ◯ ⑹ × ⑺ × p.60~ p.62

26

여러 가지 사각형 사이의 관계

5

⑴ ABÓ=BCÓ이면 마름모이다. ⑷ OAÓ=OBÓ이면 직사각형이다. ⑸ ACÓ=BDÓ, ∠A=90ù이면 직사각형이다. 성질 사각형 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. 네 변의 길이가 같다. 두 쌍의 대각의 크기 가 각각 같다. 네 내각의 크기가 모두 같다. 등변사다리꼴 × × × × 평행사변형 ◯ × ◯ × 직사각형 ◯ × ◯ ◯ 마름모 ◯ ◯ ◯ × 정사각형 ◯ ◯ ◯ ◯ 성질 사각형 대각선 서로 다른 것을 이등분한다. 길이가 같다. 서로 수직이다. 등변사다리꼴 × ◯ × 평행사변형 ◯ × × 직사각형 ◯ ◯ × 마름모 ◯ × ◯ 정사각형 ◯ ◯ ◯ 1 ⑴ ×, 마름모 ⑵ ×, 직사각형 ⑶ ×, 평행사변형 ⑷ ◯ ⑸ ×, 평행사변형 ⑹ ◯

2 ⑴ BFÓ ⑵ DEÓ ⑶ SAS ⑷ EHÓ ⑸ 마름모

(20)

1 ⑴

DBC ⑵

ACD ⑶

DOC 2 ⑴ 20`cmÛ` ⑵ 75`cmÛ`

3 ⑴

AEC ⑵

DEC ⑶

AFD ⑷

ABC 4 ⑴ 26`cmÛ` ⑵ 4`cmÛ` ⑶ 18`cmÛ` ⑷ 14`cmÛ` ⑸ 42`cmÛ` ⑹ 64`cmÛ`

p.64~ p.65

28

평행선과 넓이

1

ABO =

ABC-

OBC =

DBC-

OBC =

DOC

2

DOC =

DBC-

OBC =

ABC-

OBC =50-30=20`(cmÛ`) ⑵

DOC =

ABO =

ABC-

OBC =45-27=18`(cmÛ`)

∴ ABCD =

AOD+

ABC+

DOC =12+45+18

=75`(cmÛ`)

3

⑶ AEÓ∥DCÓ이므로

AEC=

AED ∴

FEC =

AEC-

AEF

=

AED-

AEF =

AFD ⑷ AEÓ∥DCÓ이므로

AED=

AEC ∴ ABED =

ABE+

AED

=

ABE+

AEC=

ABC

4

⑴ ABED =

ABE+

AED =

ABE+

AEC =14+12=26`(cmÛ`) ⑵

AEC =

AED =ABED-

ABE =10-6=4`(cmÛ`) ⑶

ABE =ABED-

AED =ABED-

AEC =30-12=18`(cmÛ`) ⑷

DBE =

AED =AECD-

DEC =40-26=14`(cmÛ`) ⑸ AECD =

AED+

DEC

=

DBE+

DEC =

DBC =;2!;_(6+8)_6=42`(cmÛ`) 1 ⑴ 8`cmÛ` ⑵ 32`cmÛ` ⑶ 48`cmÛ` ⑷ 42`cmÛ` 2 ⑴ ❶ 2, 1, ;2!;, 24 3, 1, ;3!;, 8 ⑵ 15`cmÛ` ⑶ 20`cmÛ` 3 ⑴ ❶ 2, 4, ABO, 4 2, 8 ⑵ 4`cmÛ` ⑶ 1`cmÛ` ⑷ 40`cmÛ` ⑸ 54`cmÛ` p.66~ p.67

29

삼각형과 넓이

1

APC=2

ABP=2_4=8`(cmÛ`) ⑵

ABP=;7$;

ABC=;7$;_56=32`(cmÛ`) ⑶

APC=;5#;

ABC=;5#;_80=48`(cmÛ`) ⑷

ABC=;5&;

APC=;5&;_30=42`(cmÛ`)

2

ABD=;2!;

ABC=;2!;_60=30`(cmÛ`) ∴

ABE=;2!;

ABD=;2!;_30=15`(cmÛ`) ⑶

ADC=;2#;

AEC=;2#;_8=12`(cmÛ`) ∴

ABC=;3%;

ADC=;3%;_12=20`(cmÛ`)

3

DBC=

ABC=16`cmÛ` ∴

DOC=;4!;

DBC=;4!;_16=4`(cmÛ`) ⑶

DOC=;3!;

OBC=;3!;_9=3`(cmÛ`)

ABO=

DOC=3`cmÛ` ∴

AOD=;3!;

ABO=;3!;_3=1`(cmÛ`) ⑷

ABO=

DOC=24`cmÛ` ∴

ABD=;3%;

ABO=;3%;_24=40`(cmÛ`) ⑸

ABO=2

AOD=2_6=12`(cmÛ`)

DOC=

ABO=12`cmÛ`

OBC=2

DOC=2_12=24`(cmÛ`)

∴ ABCD =

ABO+

OBC+

DOC+

AOD =12+24+12+6=54`(cmÛ`)

⑹ ABED =

ABE+

AED =

ABE+

AEC =

ABC

=;2!;_(10+6)_8 =64`(cmÛ`)

(21)

.

도형의 닮음과 피타고라스 정리

1

도형의 닮음

1 ⑴ DEF ⑵ 점 D ⑶ DEÓ ⑷ ∠F 2 ⑴ EFGH ⑵ 점 E ⑶ EFÓ ⑷ ∠G 3 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯ ⑸ × p.72

01

닮은 도형

3

⑵ 3 4 5 10 8 6   ➡위의두도형은닮음이지만넓이는다르다.  ⑸ 50∞ 65∞ 65∞ 50∞ 80∞ 50∞   ➡위의두이등변삼각형은한내각의크기가같지만닮음 은아니다. 1 ⑴ 2, 3, 2 ⑵ 2, x, 2, :Á3¤: ⑶ B, 80 ⑷ 180, 40, C, 40, 40 2 ⑴ 4:3 ⑵ 6`cm ⑶ 30ù ⑷ 80ù 3 ⑴ 1:3 ⑵ 6`cm ⑶ 12`cm ⑷ 80ù ⑸ 150ù 4 ⑴ 3:4 ⑵ 8`cm ⑶ 110ù ⑷ 80ù 5 ⑴ 2:3 ⑵ 8`cm ⑶ 9`cm ⑷ 면 A'B'F'E' 6 ⑴ 2:1 ⑵ 10`cm ⑶ 3`cm ⑷ 면 A'D'F'C' p.73~ p.74

02

닮음의 성질

2

⑴닮음비는ABÓ:DEÓ=4:3  ⑵ACÓ:DFÓ=4:3이므로   8:DFÓ=4:3  ∴DFÓ=6`(cm)  ⑶∠C=∠F=30ù  ⑷∠E=∠B=70ù이므로

DEF에서   ∠D=180ù-(70ù+30ù) =80ù

3

⑴닮음비는ABÓ:EFÓ=2:6=1:3  ⑵BCÓ:FGÓ=1:3이므로   BCÓ:18=1:3  ∴BCÓ=6`(cm)  ⑶DCÓ:HGÓ=1:3이므로   4:HGÓ=1:3  ∴HGÓ=12`(cm)  ⑷∠D=∠H=80ù  ⑸∠E=∠A=150ù

4

⑴닮음비는BCÓ:FGÓ=9:12=3:4  ⑵CDÓ:GHÓ=3:4이므로   6:GHÓ=3:4  ∴GHÓ=8`(cm)  ⑶∠D=∠H=110ù  ⑷∠E=∠A=95ù이므로EFGH에서   95ù+75ù+∠G+110ù=360ù   ∴∠G=80ù

5

⑴닮음비는FGÓ:F'G'Ó=4:6=2:3  ⑵GHÓ:G'H'Ó=2:3이므로   GHÓ:12=2:3  ∴GHÓ=8`(cm)  ⑶DHÓ:D'H'Ó=2:3이므로   6:D'H'Ó=2:3  ∴D'H'Ó=9`(cm)

6

⑴닮음비는ADÓ:A'D'Ó=14:7=2:1  ⑵ACÓ:A'C'Ó=2:1이므로   ACÓ:5=2:1  ∴ACÓ=10`(cm)  ⑶BCÓ:B'C'Ó=2:1이므로   6:B'C'Ó=2:1  ∴B'C'Ó=3`(cm)   즉E'F'Ó=B'C'Ó=3`(cm) 1 ⑴ DEÓ, 9, 3 ⑵ 3 ⑶ 4, 12, 9 2 ⑴ 반지름, 2, 5 ⑵ 2, 5, 2, 5 ⑶ 2, 5, 4, 25 3 ⑴ 2:3 ⑵ 18p`cmÛ` 4 ⑴ 3:5 ⑵ 27`cm p.75

03

평면도형에서의 닮음비

1

⑴(닮음비)=ABÓ:DEÓ=3:9=1:3  ⑵(

ABC의둘레의길이) =3+4+5=12`(cm)   (

DEF의둘레의길이) =9+12+15=36`(cm)   ∴(둘레의길이의비)=12:36=1:3  ⑶

ABC=;2!;_4_3=6`(cmÛ`)  

DEF=;2!;_12_9=54`(cmÛ`)   ∴(넓이의비)=6:54=1:9

(22)

1 ⑴ SSS 닮음 ⑵ SAS 닮음 ⑶ AA 닮음 2 ⑴ MNO, 세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같다. ⑵ RPQ, 두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각 의 크기가 같다. ⑶ LKJ, 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같다. 3

ABC»

KJL (AA 닮음),

DEF»

QPR (SAS 닮음) 4 ⑴

ABC»

ADE, SAS 닮음 ⑵

ABC»

DAC, SSS 닮음 ⑶

ABC»

ADE, AA 닮음 5 ⑴ ◯ ⑵ × ⑶ × ⑷ ◯ ⑸ × 6 ADE, AA, ADÓ, 2, 2, 9, 4

7 ⑴ 3:2 ⑵ 9:4 ⑶ 8`cmÛ` ⑷ 10`cmÛ` 8 ⑴ 15`cmÛ` ⑵ 84`cmÛ` ⑶ 32`cmÛ` 9 ⑴ 2:3 ⑵ 4:9 ⑶ 36`cmÛ` ⑷ BOÓ, 24`cmÛ` 10 ⑴ 16`cmÛ` ⑵ 6`cmÛ` ⑶ 32`cmÛ` ⑷ 54`cmÛ` p.78~ p.81

05

삼각형의 닮음 조건

2

⑴닮음비는반지름의길이의비이므로2:5  ⑵두원O와O'의둘레의길이를각각구하면   원O:2p_2=4p`(cm)   원O':2p_5=10p`(cm)   따라서둘레의길이의비는4p:10p=2:5  ⑶두원O와O'의넓이를각각구하면   원O:p_2Û`=4p`(cmÛ`)   원O':p_5Û`=25p`(cmÛ`)   따라서넓이의비는4p:25p=4:25

3

⑴닮음비는반지름의길이의비이므로6:9=2:3  ⑵(S의넓이):(S'의넓이)=2Û`:3Û`=4:9이므로   8p:(S'의넓이)=4:9   ∴(S'의넓이)=18p`(cmÛ`)

4

⑴닮음비는BCÓ:BFÓ=3:(3+2)=3:5  ⑵(ABCD의둘레의길이):(EBFG의둘레의길이) =3:5이므로   (ABCD의둘레의길이):45=3:5   ∴(ABCD의둘레의길이)=27`(cm) 1 ⑴ 1:2 ⑵ 1:4 ⑶ 1:8 2 48`cmÛ` 3 ⑴ 2:3 ⑵ 2:3 ⑶ 4:9 ⑷ 8:27 4 54p`cmÜ` 5 ⑴ 1:2 ⑵ 1:4 ⑶ 1:8 6 27:64 7 ⑴ 3:5 ⑵ 27:125 ⑶ 9, 25, 36`cmÛ` 8 ⑴ 2:3 ⑵ 4:9 ⑶ 8, 27, 54p`cmÜ` p.76~ p.77

04

입체도형에서의 닮음비

1

⑴두직육면체A와B의닮음비는3:6=1:2  ⑵겉넓이의비는1Û`:2Û`=1:4  ⑶부피의비는1Ü`:2Ü`=1:8

2

두삼각기둥A와B의닮음비는6:9=2:3이므로겉넓이 의비는2Û`:3Û`=4:9  즉(A의겉넓이):108=4:9  ∴(A의겉넓이)=48`(cmÛ`)

3

⑴두원기둥A와B의닮음비는16:24=2:3  ⑵밑면의반지름의길이의비는닮음비와같으므로2:3   따라서밑면의둘레의길이의비는2:3  ⑶겉넓이의비는2Û`:3Û`=4:9  ⑷부피의비는2Ü`:3Ü`=8:27

4

두원기둥A와B의닮음비는3:5이므로부피의비는  3Ü`:5Ü`=27:125  즉27:125=(A의부피):250p  ∴(A의부피)=54p`(cmÜ`)

5

⑴두구O와O'의닮음비는2:4=1:2  ⑵겉넓이의비는1Û`:2Û`=1:4  ⑶부피의비는1Ü`:2Ü`=1:8

6

두구O와O'의닮음비는3:4이므로  부피의비는3Ü`:4Ü`=27:64

7

⑴두사각뿔A와B의닮음비는3:5  ⑵부피의비는3Ü`:5Ü`=27:125  ⑶겉넓이의비는3Û`:5Û`=9:25이므로   (A의겉넓이):100=9:25   ∴(A의겉넓이)=36`(cmÛ`)

8

⑴두원뿔A와B의닮음비는4:6=2:3  ⑵겉넓이의비는2Û`:3Û`=4:9  ⑶부피의비는2Ü`:3Ü`=8:27이므로   16p:(B의부피)=8:27   ∴(B의부피)=54p`(cmÜ`)

1

⑴

ABC와

DEF에서   ABÓ:DEÓ=6:3=2:1   BCÓ:EFÓ=12:6=2:1   CAÓ:FDÓ=10:5=2:1   ∴

ABC»

DEF(SSS닮음)

(23)

ABC와

DEF에서 BCÓ:EFÓ=4:8=1:2 CAÓ:FDÓ=2.5:5=1:2 ∠C=∠F=70ù ∴

ABC»

DEF ( SAS 닮음) ⑶

ABC와

DEF에서 ∠A=∠D=40ù, ∠C=∠F=65ù ∴

ABC»

DEF ( AA 닮음)

2

A B C 2 cm 3 cm 4 cm 6 cm 4 cm 8 cm M O N

ABC와

MNO에서 ABÓ:MNÓ=3:6=1:2 BCÓ:NOÓ=4:8=1:2 CAÓ:OMÓ=2:4=1:2 ∴

ABC»

MNO ( SSS 닮음) ⑵ D E F 3 cm 6 cm 60∞ 4 cm 2 cm P R Q 60∞

DEF와

RPQ에서 DEÓ:RPÓ=6:4=3:2 DFÓ:RQÓ=3:2 ∠D=∠R=60ù ∴

DEF»

RPQ ( SAS 닮음) ⑶ G H I 70∞ 50∞ J K L 70∞ 60∞

GHI와

LKJ에서 ∠G=∠L=70ù

LKJ에서 ∠K=180ù-(60ù+70ù)=50ù이므로 ∠H=∠K=50ù ∴

GHI»

LKJ ( AA 닮음)

3

Ú

ABC와

KJL에서 A B C 30∞ J K 60∞ L ∠A=∠K=90ù

KJL에서 ∠J =180ù-(90ù+60ù) =30ù이므로 ∠B=∠J=30ù ∴

ABC»

KJL ( AA 닮음) Û 8 cm 6 cm D E F 70∞ 12 cm 9 cm P Q R 70∞

DEF와

QPR에서 DEÓ:QPÓ=8:12=2:3 EFÓ:PRÓ=6:9=2:3 ∠E=∠P=70ù ∴

DEF»

QPR ( SAS 닮음)

4

ABC와

ADE에서 2 3 4 6 B E A C D ABÓ:ADÓ=3:6=1:2 ACÓ:AEÓ=2:4=1:2 ∠BAC=∠DAE (맞꼭지각) ∴

ABC»

ADE ( SAS 닮음) ⑵

ABC와

DAC에서 A D C B 4.5 3 4 6 9 ABÓ:DAÓ=4.5:3=3:2 BCÓ:ACÓ=9:6=3:2 CAÓ:CDÓ=6:4=3:2 ∴

ABC»

DAC ( SSS 닮음) ⑶

ABC와

ADE에서 A B C D E ∠A는 공통, BCÓ∥DEÓ이므로 ∠ABC=∠ADE (동위각) ∴

ABC»

ADE ( AA 닮음)

5

⑴ ABÓ:DEÓ=15:12=5:4 BCÓ:EFÓ=10:8=5:4 ∠B=∠E=55ù ∴

ABC»

DEF (SAS 닮음) ⑵ ABÓ:DEÓ=8:6=4:3 BCÓ:EFÓ=10:8=5:4 즉 ABÓ:DEÓ+BCÓ:EFÓ ⑷ ∠A=∠D=65ù, ∠B=∠E=55ù ∴

ABC»

DEF ( AA 닮음) ⑸ ACÓ:DFÓ=5:4, BCÓ:EFÓ=10:8=5:4 그런데 ∠B, ∠E가 끼인각이 아니다.

7

ABC와

ADE에서 ∠A는 공통, BCÓ∥DEÓ이므로 ∠ABC=∠ADE`(동위각) ∴

ABC»

ADE`(AA 닮음)

따라서 닮음비는 ABÓ:ADÓ=6:4=3:2 ⑵

ABC와

ADE의 넓이의 비는 3Û`:2Û`=9:4

(24)

1 ⑴ ❶ A, ACD, ACD ❷ AA 닮음 ⑵ ❶ A, 1, AED ❷ SAS 닮음 2 ⑴ ACD, AA ⑵ ACÓ, 12, 3, 2 ⑶ 15, 8 3 ⑴ 12 ⑵ 8 ⑶ 1 ⑷ 6 ⑸ 3 ⑹ 5 ⑺ 4 ⑻ 8 4 ⑴ EBD, SAS ⑵ EBÓ, 12, 3, 2 ⑶ 15 5 ⑴ 12 ⑵ 18 ⑶ 24 ⑷ 10

6 ⑴

ABC»

ADB, SAS 닮음 ⑵ 3:2 ⑶ 8 7 ⑴ 6 ⑵ 3 ⑶ 6 ⑷ 10 p.82~ p.85

06

닮음인 삼각형 찾기

2

⑴

ABC와

ACD에서   ∠A는공통,∠ABC=∠ACD   ∴

ABC»

ACD(AA닮음)  ⑵(닮음비)=ABÓ:ACÓ=18:12=3:2  ⑶BCÓ:CDÓ=3:2에서x:10=3:2  ∴x=15

  ACÓ:ADÓ=3:2에서12:y=3:2  ∴y=8

3

⑴

ABC»

AED  6 cm 30 cm 15 cmx cm A B D E C   (AA닮음)이므로   ABÓ:AEÓ=ACÓ:ADÓ에서   15:6=30:x   15x=180  ∴x=12  ⑶18:

ADE=9:4,9

ADE=72   ∴

ADE=8`(cmÛ`)

 ⑷DBCE=

ABC-

ADE =18-8=10`(cmÛ`)

8

⑴

ABC»

DBE`(AA닮음)이고   닮음비는BCÓ:BEÓ=12:8=3:2이므로   넓이의비는3Û`:2Û`=9:4

  즉27:

DBE=9:4,9

DBE=108   ∴

DBE=12`(cmÛ`)

  ∴ADEC=27-12=15`(cmÛ`)  ⑵

ABC»

DBE`(AA닮음)이고   닮음비는ABÓ:DBÓ=20:8=5:2이므로   넓이의비는5Û`:2Û`=25:4

  즉

ABC:16=25:4,4

ABC=400   ∴

ABC=100`(cmÛ`)

  ∴ADEC=100-16=84`(cmÛ`)  ⑶

ABC»

DBE`(AA닮음)이고   닮음비는BCÓ:BEÓ=10:6=5:3이므로   넓이의비는5Û`:3Û`=25:9   즉

ABC:18=25:9,9

ABC=450   ∴

ABC=50`(cmÛ`)   ∴ADEC=50-18=32`(cmÛ`)

9

⑴

AOD와

COB에서   ∠AOD=∠COB`(맞꼭지각),   ADÓ∥BCÓ이므로∠OAD=∠OCB`(엇각)   ∴

AOD»

COB(AA닮음)   따라서닮음비는ADÓ:CBÓ=8:12=2:3  ⑵

AOD와

COB의넓이의비는2Û`:3Û`=4:9  ⑶16:

COB=4:9,4

COB=144   ∴

COB=36`(cmÛ`)  ⑷

ABO:

AOD=BOÓ:DOÓ이고   BOÓ:DOÓ=CBÓ:ADÓ=3:2이므로  

ABO:16=3:2,2

ABO=48   ∴

ABO=24`(cmÛ`)

10

⑴

AOD»

COB(AA닮음)이고   닮음비는ADÓ:CBÓ=3:6=1:2이므로   넓이의비는1Û`:2Û`=1:4   즉4:

COB=1:4  ∴

COB=16`(cmÛ`)  ⑵

AOD»

COB(AA닮음)이고   닮음비는ADÓ:CBÓ=4:12=1:3이므로   넓이의비는1Û`:3Û`=1:9   즉

AOD:54=1:9,9

AOD=54   ∴

AOD=6`(cmÛ`)  ⑶

AOD»

COB(AA닮음)이고   닮음비는ADÓ:CBÓ=6:8=3:4이므로   AOÓ:COÓ=ADÓ:CBÓ=3:4   즉

ABO:

COB=3:4에서   24:

COB=3:4,3

COB=96   ∴

COB=32`(cmÛ`)  ⑷

AOD»

COB(AA닮음)이고   닮음비는ADÓ:CBÓ=4:8=1:2이므로   넓이의비는1Û`:2Û`=1:4   즉6:

COB=1:4   ∴

COB=24`(cmÛ`)   또DOÓ:BOÓ=ADÓ:CBÓ=1:2이므로   6:

ABO=1:2   ∴

ABO=12`(cmÛ`)   이때

DOC=

ABO=12`(cmÛ`)이므로

  ABCD=

AOD+

ABO+

COB+

DOC =6+12+24+12=54`(cmÛ`)

참조

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