2020 개념원리 수학(Ⅱ) 답지 정답

전체 글

(1)수학. 정답과 풀이.

(2) 익히기•확인체크. 개념원리. 2. Ⅰ. 함수의 극한과 연속. 1 -7로 놓으면 함 xÛ` 수 y=f(x)의 그래프는 오. 1 Z. ⑴ f (x)=x+1로 놓으면 함 수 y=f(x)의 그래프는 오. ZG Y. Y. 0. x`Ú -1. ⑵ f(x)=-2x+3으로 놓으. Z. 면 함수 y=f(x)의 그래프. . 는 오른쪽 그림과 같고, x의. lim {. 1 -7}=¦ xÛ` 1 ⑵ f(x)=- +1로 놓으면 xÛ` 함수 y=f(x)의 그래프는. . 0 . ZG Y. 절댓값이 한없이 커지므로 lim {x`Ú 0. 1 +1}=-¦ xÛ` 답 ⑴ ¦ ⑵ -¦. Z. 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값. 0. 이 1에 한없이 가까워질 때,. . ZG Y. . . Y. 3 ⑴ f(x)=3x-2로 놓으면 함수. f(x)의 값은 -2에 한없이 lim(xÛ`-3x)=-2 x`Ú 1. Z ZG Y. y=f(x)의 그래프는 오른. ZG Y. 그림과 같고, x의 값이 한없. 0. 이 커질 때, f(x)의 값은 한. . Y. !. 없이 커지므로 lim (3x-2)=¦ x`Ú¦. 쪽 그림과 같고, x의 값이 0. ⑵ f(x)=-5x+1로 놓으면 함 0. Y. f(x)의 값은 항상 9이므로 lim 9=9 x`Ú 0. 답 ⑴ 0 ⑵ -3 ⑶ -2 ⑷ 9. 수 y=f(x)의 그래프는 오른. ZG Y. 이 커질 때, f(x)의 값은 음수 이면서 그 절댓값이 한없이 커 lim (-5x+1)=-¦ x`Ú¦. Z. Å. 쪽 그림과 같고, x의 값이 한없. 지므로. Ⅰ. 함수의 극한과 연속. Z. y=f(x)의 그래프는 오른쪽. 가까워지므로. 2. Y. f(x)의 값은 음수이면서 그. Y. x`Ú 3. 에 한없이 가까워질 때, . ZG Y. 0. 이 0에 한없이 가까워질 때,. lim(-2x+3)=-3. ⑷ f(x)=9로 놓으면 함수. Z . 오른쪽 그림과 같고, x의 값. 없이 가까워지므로. ⑶ f(x)=xÛ`-3x로 놓으면. . x`Ú 0. lim (x+1)=0. 때, f(x)의 값은 -3에 한. ZG Y. 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 한없이 커지므. 까워지므로. 값이 3에 한없이 가까워질. Y. 로. . f(x)의 값은 0에 한없이 가. 0. 른쪽 그림과 같고, x의 값이. . 른쪽 그림과 같고, x의 값이 -1에 한없이 가까워질 때,. Z. ⑴ f(x)=. 0. Y.

(3) Z. f(x)=. ZG Y. y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, x의 값이 음수. 0. 이면서 그 절댓값이 한없이. Y. Å. 이므로 함수 y=f(x)의 그. Z. 래프는 오른쪽 그림과 같고,. . x의 값이 3에 한없이 가까워. . 질 때, f(x)의 값은 3에 한. 0. . 커질 때, f(x)의 값은 음수이 면서 그 절댓값이 한없이 커지므로. . ⑵ f(x)=. 른쪽 그림과 같고, x의 값이 없이 커질 때, f(x)의 값은. f(x)=. Y. xÛ`+2x 로 놓으면 3x xÛ`+2x x+2 = 3x 3. 이므로 함수 y=f(x)의. Z. 그래프는 오른쪽 그림과. !. lim (-x+4)=¦. x`Ú -¦. 같고, x의 값이 0에 한없. 답 ⑴ ¦ ⑵ -¦ ⑶ -¦ ⑷ ¦. 이 가까워질 때, f(x)의. . ZG Y. Y. 0. 값은 ;3@;에 한없이 가까워지므로. 4 ⑴ f(x)=3으로 놓으면 함수 y=f(x)의 그래프는 오른. Z . ZG Y. 0. Y. 쪽 그림과 같고, x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값 은 항상 3이므로. x+3일 때,. Z. 이므로 함수 y=f(x)의. Z. 그래프는 오른쪽 그림과. . 같고, x의 값이 3에 한없. . ZG Y. 쪽 그림과 같고, x의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한 없이 커질 때, f(x)의 값은. xÛ`-9 (x-3)(x+3) = x-3 x-3. =x+3. x`Ú¦. 1 ⑵ f (x)= 로 놓으면 함수 xÛ` y=f(x)의 그래프는 오른. xÛ`+2x lim =;3@; x`Ú 0 3x xÛ`-9 ⑶ f(x)= 로 놓으면 x-3. f(x)=. lim 3=3. 이 가까워질 때, f(x)의 0. Y. . ZG Y. 0. . Y. 값은 6에 한없이 가까워지 므로. 0에 한없이 가까워지므로. . x+0일 때, Y ZG Y. 0. 한없이 커지므로. . x lim =3 x`Ú 3 x-2. Z. 수 y=f(x)의 그래프는 오 음수이면서 그 절댓값이 한. ZG Y. 없이 가까워지므로. lim (2x-1)=-¦. x`Ú -¦. ⑷ f(x)=-x+4로 놓으면 함. (x-2)+2 x 2 = =1+ x-2 x-2 x-2. xÛ`-9 lim =6 x`Ú 3 x-3. 1 lim =0 x`Ú -¦ xÛ` 답 ⑴ 3 ⑵ 0. ⑷ f(x)=. xÜ`-1 로 놓으면 x-1. x+1일 때,. 5 ⑴ f(x)=. f(x)= x 로 놓으면 x-2. xÜ`-1 (x-1)(xÛ`+x+1) = x-1 x-1. =xÛ`+x+1. 개념원리 익히기·확인체크. 3. 확인체크 개념원리 익히기. ⑶ f(x)=2x-1로 놓으면 함수.

(4) 이므로 함수 y=f(x)의 그래. Z. 프는 오른쪽 그림과 같고, x의. . 값이 1에 한없이 가까워질 때,. . f(x)의 값은 3에 한없이 가까. Y. . 1 =¦ |x+3| Z ZG Y. 수 y=f(x)의 그래프는 오른 그림과 같고, x의 값이 한없이. xÜ`-1 lim =3 x`Ú 1 x-1. . Z. 놓으면 함수 y=f(x). . 0. 커질 때, f(x)의 값은 음수이. ⑸ f(x)='Ä3x+6으로. Y. 면서 그 절댓값이 한없이 커지. ZG Y. 므로. . lim (5-xÛ`)=-¦. 의 그래프는 오른쪽 그 림과 같고, x의 값이 1. lim. x`Ú -3. ⑶ f(x)=5-xÛ`으로 놓으면 함. 0. 워지므로. f(x)의 값은 한없이 커지므로. ZG Y. x`Ú¦. . 0. ⑷ f(x)=-'Ä3-x로 놓으면 함. Y. . 에 한없이 가까워질 때,. 수 y=f(x)의 그래프는 오른. f(x)의 값은 3에 한없이 가까워지므로. lim 'Ä3x+6=3 x`Ú 1. ⑹ f (x)='Ä - x+3으로 놓 으면 함수 y=f(x)의 그 고, x의 값이 -2에 한없. ZG Y. . 쪽 그림과 같고, x의 값이 음. 0. 수이면서 그 절댓값이 한없이. . . Y. ZG Y. 커질 때, f(x)의 값은 음수이. Z. 래프는 오른쪽 그림과 같. Z. Y. 0. 면서 그 절댓값이 한없이 커지므로. lim (-'Ä3-x)=-¦. x`Ú -¦. 답 ⑴ -¦ ⑵ ¦ ⑶ -¦ ⑷ -¦. 이 가까워질 때, f(x)의 값은 '5에 한없이 가까워 지므로. lim 'Ä-x+3='5. x`Ú -2. 답 ⑴ 3 ⑵ ;3@; ⑶ 6 ⑷ 3 ⑸ 3 ⑹ '5. ⑴ f(x)=2-;[!;로 놓으면 함수. ZG Y. Z. y=f(x)의 그래프는 오른쪽. 6. . 그림과 같고, x의 값이 한없. ⑴ f(x)=3-. 1 로놓 (x-2)Û`. 이 커질 때, f(x)의 값은 2. Z . 으면 함수 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같. ZG Y. . 0. Y. 가까워질 때, f(x)의 값은 lim[3-. 1 ]=-¦ (x-2)Û` 1 ⑵ f(x)= 로 놓으면 |x+3| x`Ú 2. ZG Y. Z . . 0. Y. 른쪽 그림과 같고, x의 값이 한없이 커질 때, f(x) ZG Y. 른쪽 그림과 같고, x의 값이. Ⅰ. 함수의 극한과 연속. x`Ú¦. 함수 y=f(x)의 그래프는 오. Z. 함수 y=f(x)의 그래프는 오 -3에 한없이 가까워질 때, . lim {2-;[!;}=2 ⑵ f(x)=. 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지므로. Y. 0. 에 한없이 가까워지므로. 3x 로 놓으면 x+1 3(x+1)-3 f(x)= x+1 3. =3x+1. 고, x의 값이 2에 한없이. 4. 7. . 0. Y. 의 값은 3에 한없이 가까워지므로 lim. x`Ú ¦. 3x =3 x+1.

(5) Z. 8. ZG Y. ⑴ x의 값이 3보다 크면서 3에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 0에 한없이 가까워지므로. 프는 오른쪽 그림과 같고, . 0. x의 값이 한없이 커질 때, . . Y. f(x)의 값은 1에 한없이 가. ⑵ x의 값이 4보다 작으면서 4에 한없이 가까워질 때,. 까워지므로. f(x)의 값은 3에 한없이 가까워지므로. lim {. 1 +1}=1 |x-2| 1 ⑷ f(x)= 로 놓으면 함 x-3. x`Ú ¦. Z. f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지므로. 른쪽 그림과 같고, x의 값. 0. . Y. 이 음수이면서 그 절댓값이. x의 값이 1보다 작으면서 1에 한없이 가까워질 때,. 은 0에 한없이 가까워지므로 lim. x`Ú 1+. x`Ú 1-. lim`f(x)=1 Z. 함수 y=f(x)의 그래프는. x`Ú 1. ZG Y. Y. 0. 이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, f(x)의 값. 값이 한없이 커질 때, f(x). lim `f(x)=2. x`Ú 2-. 즉, lim `f(x)= lim `f(x)=2이므로 x`Ú 2+. Z. ZG Y. x`Ú 2-. lim`f(x)=2 x`Ú 2. ⑸ x의 값이 -1보다 크면서 -1에 한없이 가까워질. 으면 함수 y=f(x)의 그래 의 값이 음수이면서 그 절댓. x의 값이 2보다 작으면서 2에 한없이 가까워질 때,. lim {1+. 프는 오른쪽 그림과 같고, x. lim `f(x)=2. x`Ú 2+. f(x)의 값은 2에 한없이 가까워지므로. 은 1에 한없이 가까워지므로 1 }=1 x`Ú -¦ xÛ` 1 ⑹ f(x)= -2로 놓 (x-3)Û`. ⑷ x의 값이 2보다 크면서 2에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 2에 한없이 가까워지므로. . 오른쪽 그림과 같고, x의 값. 0. . Y. . 때, f(x)의 값은 2에 한없이 가까워지므로. lim `f(x)=2. x`Ú -1+. x의 값이 -1보다 작으면서 -1에 한없이 가까워. 의 값은 -2에 한없이 가까. 질 때, f(x)의 값은 -1에 한없이 가까워지므로. 워지므로. 1 lim [ -2]=-2 x`Ú -¦ (x-3)Û` . lim `f(x)=1. x`Ú 1-. 즉, lim `f(x)= lim `f(x)=1이므로. 1 =0 x`Ú -¦ x-3 1 ⑸ f(x)=1+ 로 놓으면 xÛ`. . lim `f(x)=1. x`Ú 1+. f(x)의 값은 1에 한없이 가까워지므로. 한없이 커질 때, f(x)의 값. lim `f(x)=3. x`Ú 4-. ⑶ x의 값이 1보다 크면서 1에 한없이 가까워질 때,. ZG Y. 수 y=f(x)의 그래프는 오. lim `f(x)=0. x`Ú 3+. lim `f(x)=-1. x`Ú -1-. 즉, lim `f(x)+ lim `f(x)이므로 x`Ú -1+. 답 ⑴ 2 ⑵ 3 ⑶ 1. ⑷ 0 ⑸ 1 ⑹ -2. x`Ú -1-. lim `f(x)는 존재하지 않는다.. x`Ú -1. 답 ⑴ 0 ⑵ 3 ⑶ 1 ⑷ 2. ⑸ 존재하지 않는다.. 개념원리 익히기·확인체크. 5. 확인체크 개념원리 익히기. 1 +1로 놓 |x-2| 으면 함수 y=f(x)의 그래. ⑶ f (x)=.

(6) 9. lim`f(x)의 값이 존재하려면 x`Ú 1. lim `f(x)= lim `f(x)이어야 하므로. ⑴ x=-2에서의 우극한과 좌극한을 각각 구하면 x-2 lim =-¦ x`Ú -2+ x+2 x-2 lim =¦ x`Ú -2- x+2. Z. x`Ú 1+. Y Z Y

(7) . 0 . 11. x-2 x-2 + lim x`Ú -2+ x+2 x`Ú -2- x+2 x-2 이므로 lim 는 존재하지 않는다. x`Ú -2 x+2 lim. ⑵ x Ú`-1+일 때, . Z. x>-1이므로. Z . ⑴ lim{ f(x)+g(x)}=lim`f(x)+lim`g(x) x`Ú 1. = lim. = lim (2x-1)=-3. x`Ú -1+. Y

(8) Y ]Y

(9) ]. . x Ú`-1-일 때, x<-1이므로 |x+1|=-(x+1). 2xÛ`+x-1 ∴ lim x`Ú -1|x+1| (2x-1)(x+1) -(x+1). = lim. = lim (1-2x)=3. x`Ú -1-. x`Ú -1-. 2xÛ`+x-1 2xÛ`+x-1 즉, lim 이므 + lim x`Ú -1+ x`Ú -1|x+1| |x+1| 로 lim. x`Ú -1. ⑵ lim{ f(x)-2g(x)}=lim`f(x)-2 lim`g(x) x`Ú 1. x`Ú 1. 2xÛ`+x-1 은 존재하지 않는다. |x+1|. [x+1] =0 x+1. 답 ⑴ 존재하지 않는다. ⑵ 존재하지 않는다. ⑶ 0. x`Ú 1. x`Ú 1. ⑷ lim{g(x)}Û`={lim`g(x)}Û` x`Ú 1. x`Ú 1. `f(x) `f(x) lim x`Ú 1 ⑸ lim = x`Ú 1 g(x) lim`g(x) x`Ú 1. 3 =-3 -1 2f(x)+3g(x) ⑹ lim x`Ú 1 { f(x)}Û` . =. =. 2 lim`f(x)+3 lim`g(x) x`Ú 1. x`Ú 1. {lim`f(x)}Û` x`Ú 1. =. 2´3+3´(-1) 3Û`. =;3!; 답 ⑴ 2 ⑵ 5 ⑶ -3 ⑷ 1 ⑸ -3 ⑹ ;3!;. 12 ⑴ lim xÜ`=(-1)Ü`=-1 x`Ú -1. ⑵ lim(xÛ`-1)=0-1=-1 x`Ú 0. 10. ⑶ lim(xÜ`+xÛ`-3)=2Ü`+2Û`-3=9 x`Ú 2. lim `f(x)= lim (x-1)=0. ⑷ lim x(2x+3)=-2{2´(-2)+3}=2. lim `f(x)= lim (-x+k)=-1+k. ⑸ lim(x-2)(xÛ`+5)=(1-2)(1Û`+5)=-6. x`Ú 1+ x`Ú 1-. 6. x`Ú 1+ x`Ú 1-. Ⅰ. 함수의 극한과 연속. =(-1)Û`=1. [x+1]=0 x`Ú -1+. x`Ú 1. =3´(-1)=-3. ⑶ -1<x<0일 때, 0<x+1<1이므로. ∴ lim. x`Ú 1. =3-2´(-1)=5. Y. x`Ú -1+. x`Ú 1. ⑶ lim`f(x)g(x)=lim`f(x)´lim`g(x) 0. (2x-1)(x+1) x+1. x`Ú 1. =3+(-1)=2. |x+1|=x+1 2xÛ`+x-1 ∴ lim x`Ú -1+ |x+1|. 답 1. Y. 따라서. 0=-1+k ∴ k=1. . x`Ú 1-. x`Ú -2 x`Ú 1.

(10) x`Ú 3. . 3Û`-2´3+7 =5 = 5-3. 답 ⑴ -1 ⑵ -1 ⑶ 9 ⑷ 2 ⑸ -6 ⑹ 5. 13 주어진 식의 분모, 분자를 각각 xÛ`으로 나누면 3f(x) `f(x) 1+ lim 1+3 lim x`Ú 0 x`Ú 0 xÛ` xÛ` lim = `f(x) x`Ú 0 2f(x) 3lim 3-2 lim x`Ú 0 x`Ú 0 xÛ` xÛ` 1+3a =-2 = 3-2a. 2xÛ`+5x-3 ⑶ lim x`Ú -3 xÜ`+3xÛ`-x-3 (x+3)(2x-1) = lim x`Ú -3 (x+3)(xÛ`-1) 2x-1 = lim =-;8&; x`Ú -3 xÛ`-1 x ⑷ lim x`Ú 0 'Äx+1-1. x('Äx+1+1) =lim x`Ú 0 ('Äx+1-1)('Äx+1+1) =lim ('Äx+1+1)=2 x`Ú 0. 즉, 1+3a=-2(3-2a)에서 a=7. 답 7. (x-1)(x+1)('x+1) xÛ`-1 ⑸ lim =lim x`Ú 1 'x-1 x`Ú 1 ('x-1)('x+1) (x-1)(x+1)('x+1). =lim x`Ú 1 x-1 . x-a=t로 놓으면 x Ú`a일 때 t Ú`0이므로. (x+2-4)(x+'Ä3x-2) =lim x`Ú 2 (xÛ`-3x+2)('Äx+2+2) (x-2)(x+'Ä3x-2) =lim x`Ú 2 (x-2)(x-1)('Äx+2+2). 2f(x) 1+ x x+2f(x) ∴ lim =lim x`Ú 0 2xÛ`+3f(x) x`Ú 0 3f(x) 2x+ x. x+'Ä3x-2 =lim =1 x`Ú 2 (x-1)('Äx+2+2) 답 ⑴ 3 ⑵ ;2!; ⑶ -;8&; ⑷ 2 ⑸ 4 ⑹ 1. `f(x) lim 1+2 lim x`Ú 0 x`Ú 0 x = `f(x) 2 lim x+3 lim x`Ú 0 x`Ú 0 x. x(6+5x) 6x+5xÛ` ⑴ lim =lim x`Ú 0 2x-3xÛ` x`Ú 0 x(2-3x) 6+5x. =3 =lim x`Ú 0 2-3x. x`Ú 1. ('Äx+2-2)('Äx+2+2)(x+'Ä3x-2) =lim x`Ú 2 (x-'Ä3x-2)(x+'Ä3x-2)('Äx+2+2). `f(x-a) `f(t) lim =lim =1 x`Ú a t`Ú 0 x-a t `f(x) ∴ lim =1 x`Ú 0 x. 15. =lim(x+1)('x+1)=4. 'Äx+2-2 ⑹ lim x`Ú 2 x-'Ä3x-2. 14. 1+2´1 =1 = 0+3´1. 확인체크 개념원리 익히기. (x-1)(2x-1) 2xÛ`-3x+1 ⑵ lim =lim x`Ú 1 x`Ú 1 (x-1)(x+1) xÛ`-1 2x-1. =;2!; =lim x`Ú 1 x+1. lim(xÛ`-2x+7) x`Ú 3 xÛ`-2x+7 ⑹ lim = x`Ú 3 5-x lim(5-x). 16 답 1. xÛ`-2x+3 ⑴ lim =lim x`Ú¦ x`Ú¦ 3xÛ`+2. 5x-7 ⑵ lim =lim x`Ú¦ 4xÛ`-3x+2 x`Ú¦ ⑶ lim. x`Ú¦. xÛ` =lim 2-x x`Ú¦. 2 3 + x xÛ` =;3!; 2 3+ xÛ`. 1-. x ;[@;-1. 5 7 x xÛ` =0 3 2 4- + x xÛ` =-¦. 개념원리 익히기·확인체크. 7.

(11) 1 1x x-1 ⑷ lim =lim x`Ú¦ "ÃxÛ`+5x+3+x x`Ú¦ 5 3 ¾¨1+ + +1 x xÛ` =;2!;. ⑸ x=-t로 놓으면 x Ú`-¦일 때 t Ú`¦이므로. lim. x`Ú -¦. 3x-1 -3t-1 =lim "ÃxÛ`-2x t`Ú¦ "ÃtÛ`+2t. 1 t =lim =-3 t`Ú¦ 2 ¾¨1+ t -3-. ⑹ x=-t로 놓으면 x Ú`-¦일 때 t Ú`¦이므로. ⑶ lim 'x('Äx-1-'Äx+1) x`Ú¦. =lim. x`Ú¦. =lim. x`Ú¦. =lim. x`Ú¦. lim ("ÃxÛ`-7x+10+x). =lim("ÃtÛ`+7t+10-t) t`Ú¦. =lim. =. 2 =;3@; 2+1. ®É1-;[!;+®É1+;[!;. x`Ú -¦. =lim. 1 +2 t =lim t`Ú¦ 1 1 ¾¨4+ +¾¨1tÛ` tÛ`. -2. ⑷ x=-t로 놓으면 x Ú`-¦일 때 t Ú`¦이므로. =lim. 1+2t "Ã4tÛ`+1+"ÃtÛ`-1. -2'x 'Äx-1+'Äx+1. =-1. 1-2x lim x`Ú -¦ "Ã4xÛ`+1+"ÃxÛ`-1 t`Ú ¦. 'x('Äx-1-'Äx+1)('Äx-1+'Äx+1) 'Äx-1+'Äx+1. t`Ú¦. t`Ú¦. ("ÃtÛ`+7t+10-t)("ÃtÛ`+7t+10+t) "ÃtÛ`+7t+10+t 7t+10 "ÃtÛ`+7t+10+t. 10 t =lim t`Ú¦ 7 10 ¾¨1+ + +1 t tÛ` 7+. =;2&; 답 ⑴ -¦ ⑵ ;4#; ⑶ -1 ⑷ ;2&;. 답 ⑴ ;3!; ⑵ 0 ⑶ -¦ ⑷ ;2!; ⑸ -3 ⑹ ;3@;. 18. 17. 1 1 ⑴ lim [1] x`Ú 0 x (x+1)Û`. ⑴ lim (-xÛ`-2x+4) x`Ú -¦. = lim xÛ`{-1-;[@;+ x`Ú -¦. 4 } xÛ`. =-¦ ⑵ lim ("Ã4xÛ`+3x-1-2x) x`Ú¦. ("Ã4xÛ`+3x-1-2x)("Ã4xÛ`+3x-1+2x) x`Ú¦ "Ã4xÛ`+3x-1+2x. =lim. 3x-1 x`Ú¦ "Ã4xÛ`+3x-1+2x. =lim. 1 3x =lim x`Ú¦ 3 1 ¾¨4+ - +2 x xÛ` =;4#;. 8. Ⅰ. 함수의 극한과 연속. =lim[. 1 (x+1)Û`-1 ´ ] x (x+1)Û`. =lim[. 1 xÛ`+2x ´ ] x (x+1)Û`. x`Ú 0. x`Ú 0. x+2 =lim =2 x`Ú 0 (x+1)Û` 1 1 1 ⑵ lim { } x`Ú 0 x '3-x '3 =lim[ x`Ú 0. =lim[ x`Ú 0. 1 '3-('3-x) ´ ] x '3('3-x) 1 x ´ ] x '3('3-x). 1 =lim =;3!; x`Ú 0 3-'3x.

(12) x`Ú¦. =lim. x`Ú¦. 'x } 'Ä4x+3. x('Ä4x+3-2'x) 2'Ä4x+3. x('Ä4x+3-2'x)('Ä4x+3+2'x) x`Ú¦ 2'Ä4x+3('Ä4x+3+2'x). =lim =lim. x`Ú¦. =lim. x`Ú¦. =. 3x 8x+6+4"Ã4xÛ`+3x 3 8+;[^;+4®É4+;[#;. 3 =;1£6; 8+8. ⑷ x=-t로 놓으면 x Ú`-¦일 때 t Ú`¦이므로. lim xÛ`{;3!;+. x`Ú -¦. x } "Ã9xÛ`+3. t =lim tÛ`{;3!;} t`Ú¦ "Ã9tÛ`+3 tÛ`("Ã9tÛ`+3-3t) =lim t`Ú¦ 3"Ã9tÛ`+3. tÛ`("Ã9tÛ`+3-3t)("Ã9tÛ`+3+3t) =lim t`Ú¦ 3"Ã9tÛ`+3("Ã9tÛ`+3+3t) 3tÛ` =lim t`Ú¦ 3(9tÛ`+3+3t"Ã9tÛ`+3) tÛ` =lim t`Ú¦ 9tÛ`+3+"Ã81tÝ`+27tÛ` 1 =lim t`Ú¦ 3 27 9+ +¾¨81+ tÛ` tÛ` =. 1 =;1Á8; 9+9 답 ⑴ 2 ⑵ ;3!; ⑶ ;1£6; ⑷ ;1Á8;. (x-2)(x+2) xÛ`-4 ∴ b=lim =lim x`Ú 2 x-2 x`Ú 2 x-2 =lim(x+2)=4. x`Ú 2. ⑵ x Ú`-1일 때 (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하 므로 (분자) Ú`0이다.. 즉, lim (xÛ`+ax+b)=0이므로 x`Ú -1. 1-a+b=0 ∴ b=a-1 ∴ lim. x`Ú -1. xÛ`+ax+b xÛ`+ax+a-1 = lim x`Ú -1 x+1 x+1 (x+1)(x+a-1) x+1. = lim. = lim (x+a-1). =a-2. x`Ú -1. x`Ú -1. a-2=2이므로 a=4, b=3. ⑶ x Ú`2일 때 (분자) Ú`0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모) Ú`0이다.. 즉, lim(a'Äx-1+b)=0이므로 x`Ú 2. a+b=0 ∴ b=-a x-2 x-2 ∴ lim =lim x`Ú 2 a'Äx-1+b x`Ú 2 a'Äx-1-a. x-2 =lim x`Ú 2 a('Äx-1-1). (x-2)('Äx-1+1) =lim x`Ú 2 a(x-2) 'Äx-1+1 =lim =;a@; x`Ú 2 a. ;a@;=1이므로 a=2, b=-2 답 ⑴ a=4, b=4 ⑵ a=4, b=3. ⑶ a=2, b=-2. 20 19. lim. `f(x) =2에서 f(x)는 이차항의 계수가 2인 이 xÛ`+1. ⑴ x Ú`2일 때 (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하므로. 차함수임을 알 수 있다.. 즉, lim(xÛ`-a)=0이므로. `f(x) `f(x) 또, lim =lim =-1에서 x`Ú 1 xÛ`-1 x`Ú 1 (x-1)(x+1). (분자) Ú`0이다. x`Ú 2. 4-a=0 ∴ a=4. x`Ú¦. x Ú`1일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú 0이다.. 개념원리 익히기·확인체크. 9. 확인체크 개념원리 익히기. ⑶ lim x{;2!;-.

(13) 즉, lim`f(x)=0이므로 f(1)=0. 24. f(x)=2(x-1)(x+a)`(a는 상수)로 놓으면. 2x+1<f(x)<2x+5의 각 변을 세제곱하면. 2(x-1)(x+a) `f(x) lim =lim x`Ú 1 (x-1)(x+1) x`Ú 1 (x-1)(x+1). (2x+1)Ü`<{`f(x)}Ü`<(2x+5)Ü`. x`Ú 1. . 2(x+a) =lim x`Ú 1 x+1. . =1+a=-1. xÜ`+1>0이므로 각 변을 xÜ`+1로 나누면 (2x+1)Ü` { f(x)}Ü` (2x+5)Ü` < < xÜ`+1 xÜ`+1 xÜ`+1 이때 lim. ∴ a=-2. x`Ú¦. 따라서 f(x)=2(x-1)(x-2)이므로 2(x-1)(x-2) lim =lim 2(x-1)=2 x`Ú 2 x`Ú 2 x-2. (2x+1)Ü` (2x+5)Ü` =8, lim =8이므로 x`Ú¦ xÜ`+1 xÜ`+1. 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 답 2. lim. x`Ú¦. { f(x)}Ü` =8 xÜ`+1. 답 8. 21. 25. `f(x)-2xÜ` lim =2에서 f(x)는 삼차항의 계수가 xÛ`. 직선 OP의 기울기가. x`Ú¦. tÛ` =t이므로 점 P를 지나고 직 t. 2, 이차항의 계수가 2인 다항함수임을 알 수 있다.. 선 OP와 수직인 직선의 방정식은. `f(x) 또, lim =-3에서 x Ú`0일 때 (분모) Ú`0 x`Ú 0 x. 1 y-tÛ`=- (x-t) t. 즉, lim `f(x)=0이므로 f(0)=0. f(t)=tÛ`+1. 이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú`0이다. x`Ú 0. ∴ lim`f(t)=lim(tÛ`+1)=1 t`Ú 0. f(x)=2xÜ`+2xÛ`+ax`(a는 상수)로 놓으면 `f(x) 2xÜ`+2xÛ`+ax lim =lim x`Ú 0 x`Ú 0 x x . 위의 식에 x=0을 대입하면 y=tÛ`+1이므로 답 1. t`Ú 0. 26 ⑴ f(1)의 값이 존재하지 않으므로 불연속이다.. =lim(2xÛ`+2x+a)=-3 x`Ú 0. ⑵ lim `f(x)=3, lim `f(x)=2이므로. ∴ a=-3. x`Ú1+. ∴ f(x)=2xÜ`+2xÛ`-3x 답 f(x)=2xÜ`+2xÛ`-3x. x`Ú1-. lim `f(x)+ lim `f(x). x`Ú1+. x`Ú1-. ‌따라서 lim`f(x)의 값이 존재하지 않으므로 불연속 x`Ú1. 이다.. 22. ⑶ f(1)=1이고 lim`f(x)=2이므로 x`Ú1. lim(2x+1)=3, lim(xÛ`+2)=3이므로 x`Ú 1. x`Ú 1. 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 lim h(x)=3 x`Ú 1. lim`f(x)+f(1). 답 3. x`Ú1. 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 불연속이다. 답 풀이 참조. 23. 27. 5x+3 5xÛ`-2x+7 lim =5, lim =5이므로 x`Ú¦ x+2 x`Ú¦ xÛ`. ⑴ f(2)=0, lim`f(x)=0이므로 x`Ú2. lim`f(x)=f(2). 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 lim `f(x)=5. x`Ú¦. 10. Ⅰ. 함수의 극한과 연속. x`Ú2. 답 5. 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 연속이다..

(14) ⑶ Ú x>2일 때,. 함수 f(x)는 x=2에서 불연속이다.. . 답 ⑴ 연속 ⑵ 불연속. 28 답 ⑴ [-2, 1]. ⑷ (1, 3]. ⑵ (-1, 2). ⑶ [0, 2). ⑸ (-¦, -2). ⑹ [3, ¦). Z. xÛ`-4 f(x)= |x-2|. . (x-2)(x+2) x-2. . =. . =x+2. ZG Y. 0 . Y. . Û x<2일 때, f(x)=. . (x-2)(x+2) xÛ`-4 = -(x-2) |x-2|. =-x-2 Ü ‌x=2일 때, 함숫값 f(2)는 존재하지 않는다.. 29. 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 불연속이다.. ⑴ 주어진 함수의 정의역은 실수 전체의 집합이므로. ⑷ x+2일 때,. Z. xÛ`-3x+2 f(x)= x-2 (x-2)(x-1). = x-2. . (-¦, ¦) ⑵ ‌주어진 함수의 정의역은 x-1¾0, 즉 x¾1인 x의 값들의 집합이므로 [1, ¦) 답 ⑴ (-¦, ¦) ⑵ [1, ¦). 0. ZG Y. Y. . =x-1. Ú x=2에서의 함숫값은 f(2)=1 Û lim`f(x)=lim(x-1)=1. 30. x`Ú2. Z. ⑴ Ú x>2일 때, . f(x)=x-2이므로 lim `f(x). . ZG Y. . Y. . x`Ú2+. ZG Y. lim `f(x)=-1이므로. x`Ú2-. 0 . lim `f(x)+ lim `f(x). x`Ú2+. . x`Ú2-. Y. ‌따라서 극한값 lim`f(x)가 x`Ú2. lim `f(x)= lim (-x+2)=0 x`Ú2-. 존재하지 않으므로 함수 f(x)는 x=2에서 불연속. Ü x=2일 때, . Z. x`Ú2+. f(x)=-(x-2)=-x+2이므로 x`Ú2-. x`Ú2. ⑸ lim `f(x)=0,. 0. Û x<2일 때, . Ú, Û에서 lim`f(x)=f(2) 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 연속이다.. . x`Ú2+. = lim (x-2)=0. x`Ú2. 이다.. f(2)=|2-2|=0. 답 ⑴ 연속 ⑵ 불연속 ⑶ 불연속. Ú~Ü에서 lim`f(x)=f(2). ⑷ 연속 ⑸ 불연속 . . x`Ú2. 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 연속이다. ⑵ x+2일 때,. Z. xÛ`+x-6 f(x)= x-2 (x-2)(x+3). = x-2. . ZG Y. 31 x=1, x=2, x=3에서 함수 f(x)의 연속성을 조사 한다.. 0. . Y. =x+3. ‌x=2일 때, 함숫값 f(2)가 존재하지 않으므로 함 수 f(x)는 x=2에서 불연속이다.. Ú x Ú`1일 때의 극한값은. lim `f(x)=3, lim `f(x)=2. x`Ú1+. x`Ú1-. 이므로 lim `f(x)+ lim `f(x) x`Ú1+. x`Ú1-. 개념원리 익히기·확인체크. 11. 확인체크 개념원리 익히기. ⑵ x=2일 때, 함숫값 f(2)가 존재하지 않으므로.

(15) . 따라서 lim`f(x)의 값이 존재하지 않으므로. f(x)는 x=1에서 불연속이다.. x`Ú1. lim `f(x)g(x)= lim `f(x)´ lim `g(x). x`Ú0-. x`Ú0-. x`Ú0-. =(-1)´1=-1. Û x=2에서의 함숫값은 f(2)=4. 따라서 lim`f(x)g(x)=-1이므로. lim`f(x)g(x)+f(0)g(0). 즉, f(x)g(x)는 x=0에서 불연속이다.. f(x)=-1이므로. x Ú`2일 때의 극한값은. lim `f(x)= lim `f(x)=3. x`Ú2+. x`Ú2-. ‌따라서 lim `f(x)+f(2)이므로 f(x)는 x=2에 x`Ú2. 서 불연속이다.. lim `f(x)= lim `f(x)=4. x`Ú3+. x`Ú3-. 따라서 lim`f(x)=4이므로 lim`f(x)=f(3). 즉, f(x)는 x=3에서 연속이다.. x`Ú3. x`Ú3. x`Ú0. ㄷ. x Ú`0+일 때 f(x)=1이고, x Ú`0-일 때. Ü x=3에서의 함숫값은 f(3)=4 x Ú`3일 때의 극한값은. x`Ú0. lim `g(`f(x))=g(1)=-1. x`Ú0+. lim `g(`f(x))=g(-1)=1. x`Ú0-. 따라서 lim `g(`f(x))+ lim `g(`f(x))이므로. g(`f(x))는 x=0에서 불연속이다.. g(x)=1이므로. x`Ú0+. x`Ú0-. Ú~Ü에서 x=1에서 극한값이 존재하지 않으므로. ㄹ. ‌x Ú`0+일 때 g(x)=-1이고, x Ú`0-일 때. a=1. 또, x=1, x=2에서 불연속이므로 b=2 ∴ ab=1´2=2. 답 2. 32. lim `f(g(x))=f(-1)=-1. x`Ú0+. lim `f(g(x))=f(1)=1. x`Ú0-. 따라서 lim `f(g(x))+ lim `f(g(x))이므로. f(g(x))는 x=0에서 불연속이다.. x`Ú0+. x`Ú0-. 그러므로 x=0에서 연속인 함수는 ㄱ뿐이다.. ㄱ. x=0에서의 함숫값은. 답 ㄱ. f(0)+g(0)=;2!;+{-;2!;}=0. lim {`f(x)+g(x)}= lim `f(x)+ lim `g(x). x`Ú0+. x`Ú0+. x`Ú0+. =1-1=0. 33. x Ú`0일 때의 극한값은. lim {`f(x)+g(x)}= lim `f(x)+ lim `g(x). x`Ú0-. x`Ú0-. x`Ú0-. =-1+1=0. 따라서 lim{`f(x)+g(x)}=0이므로. lim{`f(x)+g(x)}=f(0)+g(0). 즉, f(x)+g(x)는 x=0에서 연속이다.. x`Ú0. x`Ú0. ㄴ. x=0에서의 함숫값은. x Ú`0일 때의 극한값은. lim `f(x)g(x)= lim `f(x)´ lim `g(x). x`Ú0+. 12. x`Ú0+. x`Ú0+. =1´(-1)=-1. Ⅰ. 함수의 극한과 연속. lim `f(x)=f(-1)이어야 하므로. x`Ú-1. xÛ`+2ax+3 lim =b x+1. x`Ú-1. yy`㉠. x Ú`-1일 때 (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú`0이다.. 즉, lim (xÛ`+2ax+3)=0이므로 x`Ú-1. 1-2a+3=0 ∴ a=2 a=2를 ㉠에 대입하면 xÛ`+4x+3 b= lim x`Ú-1 x+1 (x+1)(x+3) = lim x`Ú-1 x+1. f(0)g(0)=;2!;´{-;2!;}=-;4!;. 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이려면. = lim (x+3)=2 x`Ú-1. ∴ a+b=2+2=4. 답 4.

(16) 36. 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=1에서. x+-1, x+2일 때,. 연속이어야 한다.. f(x)=. 함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면 x`Ú1. x=-1, x=2에서도 연속이다. yy`㉠. x Ú`1일 때 (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú`0이다.. 즉, lim`(a"ÃxÛ`+8-b)=0이므로. Ú 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이므로. yy`㉡. ㉡을 ㉠에 대입하면. x Ú`-1일 때 (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하. 즉, lim (xÝ`+ax+b)=0이므로. a"ÃxÛ`+8-3a lim x`Ú1 x-1 a("ÃxÛ`+8-3) =lim x`Ú1 x-1 a("ÃxÛ`+8-3)("ÃxÛ`+8+3) =lim x`Ú1 (x-1)("ÃxÛ`+8+3) a(x-1)(x+1) =lim x`Ú1 (x-1)("ÃxÛ`+8+3). 므로 (분자) Ú`0이다. x`Ú-1. 1-a+b=0. ……`㉠. Û 함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로. a(x+1) =lim =;3A; x`Ú1 "ÃxÛ`+8+3 a-1 이므로 2a=3a-3 ∴ a=3 ;3A;= 2. xÝ`+ax+b f(2)=lim`f(x)=lim x`Ú2 x`Ú2 (x+1)(x-2) x Ú`2일 때 (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하므. 로 (분자) Ú`0이다.. 즉, lim(xÝ`+ax+b)=0이므로 x`Ú2. 16+2a+b=0. ……`㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=-6 xÝ`-5x-6 ∴ f(2)=lim x`Ú2 (x+1)(x-2). a=3을 ㉡에 대입하면 b=9 ∴ b-a=9-3=6. xÝ`+ax+b f(-1)= lim `f(x)= lim x`Ú-1 x`Ú-1 (x+1)(x-2). x`Ú 1. 3a-b=0 ∴ b=3a. xÝ`+ax+b xÝ`+ax+b = xÛ`-x-2 (x+1)(x-2). 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이므로. lim`f(x)=f(1)이어야 하므로 a"ÃxÛ`+8-b a-1 lim = x`Ú1 2 x-1. 확인체크 개념원리 익히기. 34. (x+1)(x-2)(xÛ`+x+3) =lim x`Ú2 (x+1)(x-2). 답 6. =lim(xÛ`+x+3) x`Ú2. 35. =4+2+3=9. x+1일 때, f(x)=. 답 9. 'Äx+15-4 x-1. 함수 f(x)가 x¾-15인 모든 실수 x에 대하여 연속 이므로 x=1에서도 연속이다. 'Äx+15-4 ∴ f(1)=lim`f(x)=lim x`Ú1 x`Ú1 x-1 ('Äx+15-4)('Äx+15+4) =lim x`Ú1 (x-1)('Äx+15+4). 37 ㄱ. 2f(x), 3g(x)가 x=a에서 연속이므로 함수. g(x) 는 x=a에서 정의되지 않으 f(x) g(x) 므로 함수 f(x)+ 는 x=a에서 불연속이다. f(x). ㄴ. ‌f(a)=0이면. x-1 =lim x`Ú1 (x-1)('Äx+15+4) 1 =lim =;8!; x`Ú1 'Äx+15+4. 2f(x)+3g(x)도 x=a에서 연속이다.. 답 ;8!;. ㄷ. {`f(x)}Û`=f(x)´f(x)이므로 함수 {`f(x)}Û`도. x=a에서 연속이다.. 개념원리 익히기·확인체크. 13.

(17) ㄹ. 함수 g(`f(x))가 x=a에서 연속이려면. ⑵ 반닫힌 구간 (1, 4]에서 함수. lim`g(`f(x))=g(`f(a))이어야 한다.. ‌즉, 함수 g(x)는 x=f(a)에서 연속이어야 한다는. x`Úa. 조건이 더 필요하다.. 2x+1 f(x)= x-1 3. +2 = x-1. Z. ZG Y. 0. . . Y. ‌의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.. 따라서 x=a에서 항상 연속인 함수는 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ. ‌따라서 f(x)는 최댓값은 없고, x=4에서 최솟값 3을 갖는다. 답 ⑴ 최댓값: 없다., 최솟값: 3. ⑵ 최댓값: 없다., 최솟값: 3. 38 ⑴ ‌함수 f(x)=|x|는 닫힌. Z. 구간 [-1, 3]에서 연속. . 이고 닫힌구간 [-1, 3]. ZG Y. 40. . 에서 함수 y=f(x)의 그. . 래프는 오른쪽 그림과 같. Y. 0. ⑴ ‌f(x)=3xÜ`-2xÛ`+1로 놓으면 함수 f(x)는 닫힌구간 [-3, 3]에서 연속이고 f(-3)=-98<0, f(3)=64>0. 다. ‌따라서 f(x)는 x=3에서 최댓값 3, x=0에서 최. ‌이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f(x)=0 은 열린구간 (-3, 3)에서 적어도 하나의 실근을. 솟값 0을 갖는다. ⑵ ‌함수 f(x)='Ä 8 -2x는. 갖는다.. Z . 닫힌구간 [-4, 2]에서 . 연속이고 닫힌구간 [-4, 2]에서 함수 . . ⑵ ‌f(x)=xÝ`+xÜ`-9x+1로 놓으면. ZG Y. 0. 함수 f(x)는 닫힌구간 [1, 3]에서 연속이고 Y. . f(1)=-6<0, f(3)=82>0 ‌이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f(x)=0. y=f(x)의 그래프는 오른. 은 열린구간 (1, 3)에서 적어도 하나의 실근을 갖. 쪽 그림과 같다. ‌따라서 f(x)는 x=-4에서 최댓값 4, x=2에서. 는다. 답 풀이 참조. 최솟값 2를 갖는다. 답 ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: 0. ⑵ 최댓값: 4, 최솟값: 2. 41 함수 f(x)는 모든 실수 x에서 연속이므로 닫힌구간 . 39. [-2, 3]에서 연속이다.. ⑴ ‌함수 f(x)=xÛ`-4x+7은 열. Z. 린구간 (1, 4)에서 연속이고. . 열린구간 (1, 4)에서 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ‌따라서 f(x)는 최댓값은 없고, x=2에서 최솟값 3을 갖는다.. 14. Ⅰ. 함수의 극한과 연속. ZG Y. f(1)f(2)>0, f(2)f(3)>0 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f(x)=0은 열린구간 . 0 . f(-2)f(-1)<0, f(-1)f(0)>0, f(0)f(1)<0,. (-2, -1), (0, 1)에서 각각 적어도 하나의 실근을 . Y. 갖는다. 따라서 열린구간 (-2, 3)에서 적어도 2개의 실근을 갖는다.. 답 2개.

(18) Ⅱ. 미분. =;2!; lim[ h`Ú 0. 42 (평균변화율)= =. `f(a+h)-f(a) `f(a-h)-f(a) + ] h -h. =;2!;{ f '(a)+f '(a)}. Dy `f(3)-f(1) = Dx 3-1. =f '(a)=2. (3Û`+3+1)-(1Û`+1+1) 2. ⑷ (주어진 식) `f(a+3h)-f(a)-f(a+h)+f(a) =lim h`Ú 0 2h. =:Á2¼:=5. `f(a+3h)-f(a) =lim h`Ú 0 2h. `f(a+Dx)-f(a) `f '(a)= lim Dx`Ú 0 Dx {(a+Dx)Û`+(a+Dx)+1}-(aÛ`+a+1) = lim Dx`Ú 0 Dx. `f(a+h)-f(a) -lim h`Ú 0 2h. . = lim. `f(a+3h)-f(a) =lim ´;2#; h`Ú 0 3h. = lim (Dx+2a+1)=2a+1. . (Dx)Û`+2aDx+Dx Dx`Ú 0 Dx. `f(a+h)-f(a) -lim ´;2!; h`Ú 0 h. Dx`Ú 0. 즉, 2a+1=5이므로 a=2. 답 2. =;2#; f '(a)-;2!; f '(a) =f '(a)=2. 43. 답 ⑴ 0 ⑵ -6 ⑶ 2 ⑷ 2. Dy `f(4)-f(1) (평균변화율)= = Dx 4-1 (4Û`-4'a+4)-(1Û`-'a+4) = 4-1 =. 15-3'a 3. ∴ a=16. `f(a-2h)-f(a)-f(a+h)+f(a) =lim h`Ú 0 h 답 16. 44 ⑴ (주어진 식)=lim[ h`Ú 0. `f(a+hÛ`)-f(a) ´h] hÛ`. =f '(a)´lim h=0 h`Ú 0. `f(a-3h)-f(a) ⑵ (주어진 식)=lim ´(-3) h`Ú 0 -3h. =-3f '(a)=-6. ⑶ (주어진 식) `f(a+h)-f(a-h) =;2!; lim h`Ú 0 h. `f(a-2h)-f(a+h)+g(h) lim h`Ú 0 h `f(a-2h)-f(a+h) g(h) =lim +lim h`Ú 0 h`Ú 0 h h. =5-'a. 즉, 5-'a=1이므로 'a=4. 45. g(h) +lim h`Ú 0 h. `f(a-2h)-f(a) =lim ´(-2) h`Ú 0 -2h . `f(a+h)-f(a) g(h) -lim +lim h`Ú 0 h`Ú 0 h h. g(h) =-2f '(a)-f '(a)+lim h`Ú 0 h g(h) g(h) =-3f '(a)+lim =9+lim h`Ú 0 h`Ú 0 h h g(h) g(h) 즉, 9+lim =2에서 lim =-7 h`Ú 0 h`Ú 0 h h . 답 -7. 개념원리 익히기·확인체크. 15. 확인체크 개념원리 익히기. `f(a+h)-f(a)-f(a-h)+f(a) =;2!; lim h`Ú 0 h.

(19) 46. 49. (주어진 식)=lim[ x`Ú 2. =lim x`Ú 2. =. [. x-2 ´(xÛ`+2x+4)] `f(x)-f(2) 1 ´(xÛ`+2x+4) ] `f(x)-f(2) x-2. x=0, y=0을 주어진 식에 대입하면 f(0)=f(0)+f(0)+0 ∴ f(0)=0 `f(1+h)-f(1) f '(1)=lim h`Ú 0 h { f(1)+f(h)+h}-f(1) =lim h`Ú 0 h. 1 ´lim(xÛ`+2x+4) `f '(2) x`Ú 2. =;3!;(4+4+4)=4. `f(h)+h =lim h`Ú 0 h. 답 4. `f(h) =lim +1 h`Ú 0 h. 47. `f(h)-f(0) =lim +1 h`Ú 0 h. (주어진 식). =f '(0)+1. 2f(x)-2f(2)-xf(2)+2f(2) =lim x`Ú 2 x-2. 이고 f '(1)=3이므로 f '(0)+1=3. 2{ f(x)-f(2)}-(x-2)f(2) =lim x`Ú 2 x-2. ∴ f '(0)=2 `f(3+h)-f(3) ∴ f '(3)=lim h`Ú 0 h. `f(x)-f(2) (x-2)f(2) =2 lim -lim x`Ú 2 x`Ú 2 x-2 x-2. { f(3)+f(h)+3h}-f(3) =lim h`Ú 0 h. =2f '(2)-f(2) =2´1-3=-1. 답 -1. `f(h)+3h =lim h`Ú 0 h. 48. `f(h) =lim +3 h`Ú 0 h. x=0, y=0을 주어진 식에 대입하면 f(0)=f(0)+f(0)+1 ∴ f(0)=-1. `f(h)-f(0) =lim +3 h`Ú 0 h. `f(4+h)-f(4) f '(4)=lim h`Ú 0 h. =f '(0)+3=2+3=5. { f(4)+f(h)+1}-f(4) =lim h`Ú 0 h. 50. `f(h)+1 `f(h)-f(0) =lim =lim h`Ú 0 h`Ú 0 h h. f(x)=xÜ`-x로 놓으면 점 (2, 6)에서의 접선의 기울 기는 함수 f(x)의 x=2에서의 미분계수 f '(2)와 같. =f '(0). 으므로. 이고 f '(4)=1이므로 f '(0)=1. `f(x)-f(2) f '(2)=lim x`Ú 2 x-2. `f(2+h)-f(2) f '(2)=lim h`Ú 0 h. (xÜ`-x)-6 =lim x`Ú 2 x-2. { f(2)+f(h)+1}-f(2) =lim h`Ú 0 h `f(h)+1 `f(h)-f(0) =lim =lim h`Ú 0 h`Ú 0 h h. (x-2)(xÛ`+2x+3) =lim x`Ú 2 x-2. =f '(0)=1. =lim (xÛ`+2x+3)=11. ∴ f(0)+f '(2)=-1+1=0. 16. Ⅱ. 미분. 답 5. x`Ú 2. 답 0. 따라서 구하는 접선의 기울기는 11이다.. 답 11.

(20) ⑵ Ú f(1)=0이고. ㄱ. 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 x=a인 점에 서 접하므로 f(a)=g(a) (참) ㄴ. x=a에서의 곡선 y=f(x)의 접선의 기울기와 직 선 y=g(x)의 기울기가 같으므로 . . x`Ú 1. . =0. . 이므로 lim`f(x)=f(1). . 따라서 함수 f(x)는 x=1 . 0. x`Ú 1. Û lim. `f(x)-g(x) lim x`Ú a x-a. x`Ú 1+. `f(x)-f(a)+g(a)-g(x) =lim x`Ú a x-a. . Y. . = lim (x+1). =f '(a)-g '(a)=0 (참). 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ. 52 ⑴ Ú f(1)=0이고. Z. . lim`f(x). . =lim x|x-1|=0. ZG Y. xÛ`-1 x-1. = lim. . 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. `f(x)-f(1) |xÛ`-1| = lim x`Ú 1+ x-1 x-1. . `f(x)-f(a) g(x)-g(a) =lim -lim x`Ú a x`Ú a x-a x-a. x`Ú 1+. x`Ú 1+. =2 `f(x)-f(1) |xÛ`-1| lim = lim x`Ú 1x`Ú 1- x-1 x-1 -(xÛ`-1) x-1. . = lim. . = lim {-(x+1)}. . =-2. . x`Ú 1-. x`Ú 1-. 따라서 f '(1)의 값이 존재하지 않으므로 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하지 않다.. x`Ú 1. 0. x`Ú 1. Å. . . 이므로. . lim`f(x)=f(1). . 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다.. Y. Ú, Û에서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이지만 미 분가능하지 않다. ⑶ Ú f(1)=1이고. x`Ú 1. `f(x)-f(1) x|x-1| Û lim = lim x`Ú 1+ x`Ú 1+ x-1 x-1 . x(x-1) = lim x`Ú 1+ x-1. . = lim x=1 x`Ú 1+. `f(x)-f(1) x|x-1| = lim x`Ú 1x`Ú 1x-1 x-1 lim. . lim `f(x)= lim (2x-1). x`Ú 1-. 이므로 lim`f(x)=1. . ∴ lim`f(x)=f(1). . 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다.. x`Ú 1. . x`Ú 1+. . Y. x`Ú 1. = lim (-x)=-1. Ú, Û에서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이지만 미. x`Ú 1-. . . . f(x)는 x=1에서 미분가능하지 않다.. 0. =1. . Û lim. 따라서 f '(1)의 값이 존재하지 않으므로 함수. ZG Y. . =1. . x`Ú 1-. x`Ú 1+. . Z. lim `f(x)= lim xÛ`. x`Ú 1+. -x(x-1) = lim x`Ú 1x-1. 분가능하지 않다.. x`Ú 1. 에서 연속이다.. ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 f(a)=g(a), f '(a)=g '(a)이므로. . ZG Y. lim`f(x)=lim`|xÛ`-1|. . f '(a)=g '(a) (참). . Z. `f(x)-f(1) xÛ`-1 = lim x`Ú 1+ x-1 x-1 = lim (x+1)=2 x`Ú 1+. lim. x`Ú 1-. `f(x)-f(1) 2x-1-1 = lim x`Ú 1x-1 x-1 = lim. x`Ú 1-. 2(x-1) =2 x-1. 개념원리 익히기·확인체크. 17. 확인체크 개념원리 익히기. 51.

(21) . 따라서 f '(1)의 값이 존재하므로 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하다.. Ú, Û에서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이고 미분 가능하다. . 답 ⑴ 연속, 미분가능하지 않다.. . ⑵ 연속, 미분가능하지 않다.. . ⑶ 연속, 미분가능하다.. 55 ⑴ y'=(10Û`)'=0 ⑵ y'={4xÜ`-;2!;xÛ`+3}'=12xÛ`-x ⑶ y'=(5xÝ`+xÜ`-3x-8)'=20xÜ`+3xÛ`-3 답 ⑴ y'=0 ⑵ y'=12xÛ`-x. ⑶ y'=20xÜ`+3xÛ`-3. 53. 56. ① 점 (3, f(3))에서의 접선의 기울기가 0보다 크므. ⑴ y'=(xÜ`+2)'(xÛ`-1)+(xÜ`+2)(xÛ`-1)' =3xÛ`(xÛ`-1)+(xÜ`+2)´2x. 로 f '(3)>0이다.. =5xÝ`-3xÛ`+4x. ② lim `f(x)= lim `f(x)이므로 lim`f(x)의 값이 x`Ú 2+. x`Ú 2-. x`Ú 2. ⑵ y'=(xÛ`-1)'(2x+1)(3x-2). 존재한다. ③ x=4, x=5에서 불연속이다. ④ 불연속인 점과 뾰족점에서는 미분가능하지 않으므. . +(xÛ`-1)(2x+1)'(3x-2). . +(xÛ`-1)(2x+1)(3x-2)'. . ⑤ x=2에서 연속이지만 미분가능하지 않다.. +2(xÛ`-1)(3x-2)+3(xÛ`-1)(2x+1). =24xÜ`-3xÛ`-16x+1 ⑶ y'=12(2x-1)Ü`(2x-1)' =12(2x-1)Ü`´2. 54. =24(2x-1)Ü`. `f(x+h)-f(x) 3-3 ⑴ f '(x)=lim =0 =lim h`Ú 0 h`Ú 0 h h. 답 ⑴ y'=5xÝ`-3xÛ`+4x. ⑵ y'=24xÜ`-3xÛ`-16x+1. `f(x+h)-f(x) ⑵ f '(x)=lim h`Ú 0 h. {(x+h)-4}-(x-4) =lim h`Ú 0 h. h =lim =1 h`Ú 0 h. ⑶ y'=24(2x-1)Ü`. 57 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)y(x-7)에서. `f(x+h)-f(x) ⑶ f '(x)=lim h`Ú 0 h. f '(x)=(x-2)(x-3)y(x-7) . +(x-1)(x-3)y(x-7) +`y`+(x-1)(x-2)y(x-6). {8(x+h)Û`+7(x+h)}-(8xÛ`+7x) =lim h`Ú 0 h. . 8hÛ`+16xh+7h =lim h`Ú 0 h. f '(1)=(1-2)(1-3)y(1-7). =lim (8h+16x+7). =16x+7. h`Ú 0. ⑶ f '(x)=16x+7. Ⅱ. 미분. 따라서. =(-1)´(-2)´`y`´(-6)=720 f '(5)=(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)(5-6)(5-7) =4´3´2´1´(-1)´(-2)=48. 답 ⑴ f '(x)=0 ⑵ f '(x)=1. 18. =2x(2x+1)(3x-2) . 로 x=2, x=4, x=5에서 미분가능하지 않다. 답 ⑤. 이므로. `f '(1) =15 f '(5). 답 15.

(22) 62. f(x)=axÛ`+bx+c에서 f '(x)=2ax+b. f(x)=xÜ`+axÛ`+bx에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+b. f '(1)=-4에서 2a+b=-4. yy`㉠. f '(-1)=8에서 -2a+b=8. yy`㉡. `f(x)-f(2) lim =5에서 f '(2)=5 x`Ú 2 x-2. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2. 즉, f '(2)=12+4a+b=5에서. f(0)=5에서 c=5. 4a+b=-7. ∴ a=-3, b=2, c=5. 답 a=-3, b=2, c=5. yy`㉠. (x-1)(xÛ`+x+1) xÜ`-1 lim =lim x`Ú 1 `f(x)-f(1) x`Ú 1 `f(x)-f(1). 59. =lim x`Ú 1. f(x)=xÜ`+axÛ`-3에서 f '(x)=3xÛ`+2ax yy`㉠. ∴ f '(1)=3+2a g(x)=(xÛ`+1)f(x)에서. 3 xÛ`+x+1 = `f '(1) `f(x)-f(1) x-1. 3 =-;2#;이므로 f '(1)=-2 `f '(1) 즉, f '(1)=3+2a+b=-2에서. g '(x)=2xf(x)+(xÛ`+1)f '(x) ∴ g '(1)=2(a-2)+2(3+2a). yy`㉡. 2a+b=-5. yy`㉡. =6a+2. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-3 ∴ a+b=-4. 답 -4. f '(1)=g '(1)이므로 ㉠, ㉡에서 3+2a=6a+2 ∴ a=;4!;. 답 ;4!;. 63 f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+1에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+b. 60. `f(1+h)-f(1) lim =4에서 f '(1)=4 h`Ú 0 h. `f(1+h)-f(1) (주어진 식)=lim h`Ú 0 h. 즉, f '(1)=3+2a+b=4에서. `f(1-h)-f(1) +lim h`Ú 0 -h. . =f '(1)+f '(1)=2 f '(1). `f(-2-h)-f(-2) lim h`Ú 0 h `f(-2-h)-f(-2) =-lim h`Ú 0 -h. 한편, f(x)=xÝ`-2xÜ`+x+4에서 f '(x)=4xÜ`-6xÛ`+1이므로 f '(1)=-1 ∴ 2f '(1)=2´(-1)=-2. yy`㉠. 2a+b=1. 답 -2. =-f '(-2)=-1 에서 f '(-2)=1 즉, f '(-2)=12-4a+b=1에서. 61. yy`㉡. 4a-b=11. `f(x)-f(2) 1 (주어진 식)=lim[ ´ ] x`Ú 2 x-2 xÛ`+2x+4 =;1Á2; f '(2). ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-3 따라서 f(x)=xÜ`+2xÛ`-3x+1이므로 f(1)=1+2-3+1=1. 한편, f(x)=xÜ`-3xÛ`+4x+3에서. 답 1. f '(x)=3xÛ`-6x+4이므로. 64. f '(2)=3´2Û`-6´2+4=4. f(x)=xÚ`â`+x로 놓으면 f(1)=2. ∴ ;1Á2; f '(2)=;1Á2;´4=;3!;. 답 ;3!;. `f(x)-f(1) xÚ`â`+x-2 lim =lim =f '(1) x`Ú 1 x`Ú 1 x-1 x-1. 개념원리 익히기·확인체크. 19. 확인체크 개념원리 익히기. 58.

(23) g(x)=a(x-4)Û`+b (x¾2). 이때 f '(x)=10xá`+1이므로. 다른풀이 f(x)=[ . f '(1)=10+1=11. 답 11. 65. h(x)=xÛ``. (x<2). g'(x)=2a(x-4) (x>2) 으로 놓으면 f '(x)=[ (x<2) h'(x)=2x 함수 f(x)가 x=2에서 미분가능할 조건은. xÇ`-xÜ`-x-6 lim =k에서 x Ú`2일 때 x`Ú 2 x-2. (분모) Ú`0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú`0이다. 즉, lim (xn-xÜ`-x-6)=0이므로. Ú g(2)=h(2). Û g'(2)=h'(2). 이므로 g(2)=h(2)에서 a(2-4)Û`+b=2Û` yy`㉠. ∴ 4a+b=4. x`Ú 2. 2n-8-2-6=0, 2n=16=2Ý` . g'(2)=h'(2)에서 2a(2-4)=2´2 . ∴ n=4. ∴ a=-1. 이때 f(x)=xÝ`-xÜ`-x-6으로 놓으면. ㉠, ㉡에서 a=-1, b=8. yy`㉡. f(2)=0, f '(x)=4xÜ`-3xÛ`-1이므로 `f(x)-f(2) xÝ`-xÜ`-x-6 lim =lim =f '(2) x`Ú 2 x`Ú 2 x-2 x-2 . =4´2Ü`-3´2Û`-1=19=k. ∴ n+k=4+19=23. 답 23. 67 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 미분가능하면 x=1에 서도 미분가능하므로 x=1에서 연속이다. 즉, lim`f(x)=f(1)에서 2+1=1+a+b. 66. x`Ú 1. 함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하므로 x=2에서 연 속이다. 즉, lim`f(x)=f(2)에서 4=4a+b x`Ú 2. yy`㉠. 또, 미분계수 f '(2)가 존재하므로 lim. x`Ú 2+. = lim. x`Ú 2+. 또, 미분계수 f '(1)이 존재하므로 lim. x`Ú 1+. `f(x)-f(1) x-1. = lim. (xÜ`+axÛ`+bx)-(1+a+b) x-1. = lim. (x-1){xÛ`+(a+1)x+a+b+1} x-1. x`Ú 1+. `f(x)-f(2) x-2. x`Ú 1+. a(x-4)Û`+b-(4a+b) x-2. = lim {xÛ`+(a+1)x+a+b+1} x`Ú 1+. a(x-2)(x-6) = lim x`Ú 2+ x-2. =2a+b+3 lim. = lim a(x-6)=-4a. x`Ú 1-. x`Ú 2+. `f(x)-f(1) (2xÛ`+1)-(1+a+b) = lim x`Ú 1x-1 x-1. `f(x)-f(2) xÛ`-(4a+b) = lim x`Ú 2x`Ú 2x-2 x-2 lim. = lim. x`Ú 2-. (x+2)(x-2) x`Ú 2x-2. = lim (x+2)=4 x`Ú 2-. 즉, -4a=4이므로 a=-1 a=-1을 ㉠에 대입하면 b=8. Ⅱ. 미분. = lim. 2xÛ`+1-3 (∵ ㉠) x-1. = lim. 2(x+1)(x-1) x-1. x`Ú 1-. xÛ`-4 (∵ ㉠) x-2. = lim. 20. yy`㉠. ∴ a+b=2. x`Ú 1-. = lim 2(x+1)=4 x`Ú 1-. 즉, 2a+b+3=4이므로 2a+b=1. yy`㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 답 a=-1, b=8. ∴ ab=-3. 답 -3.

(24) h(x)=2xÛ`+1. (x<1). 양변에 x=1을 대입하면 1-2+4=a+b ∴ a+b=3. 로 놓으면. ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면. g'(x)=3xÛ`+2ax+b (x>1) f '(x)=[ (x<1) h'(x)=4x. 100xá`á`-6xÛ`=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û`Q'(x)+a. 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능할 조건은. 100-6=a ∴ a=94, b=-91. Ú g(1)=h(1). 양변에 x=1을 대입하면. Û g'(1)=h'(1). 따라서 구하는 나머지는 94x-91. 이므로. 다른풀이 f(x)=xÚ`â`â`-2xÜ`+4를 (x-1)Û`으로 나누. g(1)=h(1)에서 1+a+b=3 ∴ a+b=2. yy`㉠. g'(1)=h'(1)에서 3+2a+b=4 ∴ 2a+b=1. 답 94x-91. yy`㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=3. 었을 때의 나머지는 f '(1)(x-1)+f(1) f '(x)=100xá`á`-6xÛ`에서 f '(1)=100-6=94 f(1)=1-2+4=3 따라서 구하는 나머지는 94(x-1)+3=94x-91. ∴ ab=-3. 70. 68 다항식 xÛ`â`-ax+b를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 몫 을 Q(x)라 하면 xÛ`â`-ax+b=(x-1)Û`Q(x). yy`㉠. 양변에 x=1을 대입하면. xÝ`+axÛ`+b=(x+1)Û`Q(x)+2x+3 양변에 x=-1을 대입하면. 양변에 x=-1을 대입하면. 양변에 x=1을 대입하면. -4-2a=2 ∴ a=-3. 20-a=0 ∴ a=20, b=19 답 39. 다른풀이 f(x)=xÛ`â`-ax+b가 (x-1)Û`으로 나누어. 떨어질 조건은. a=-3을 ㉡에 대입하면 b=3 ∴ ab=-9. 답 -9. 71. f(1)=0, f '(1)=0 yy`㉠. f '(x)=20xÚ`á`-a에서 f '(1)=20-a=0 yy`㉡. ⑴ f(x)=2xÛ`+4x-3으로 놓으면 f '(x)=4x+4 곡선 y=f(x) 위의 점 (1, 3)에서의 접선의 기울. ㉠, ㉡에서 a=20, b=19. 기는 f '(1)이므로. ∴ a+b=20+19=39. f '(1)=4+4=8 ⑵ f(x)=xÜ`-2x+1로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-2. 69. 곡선 y=f(x) 위의 점 (2, 5)에서의 접선의 기울. 다항식 xÚ`â`â`-2xÜ`+4를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의. 기는 f '(2)이므로. 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면. f '(2)=12-2=10. x -2xÜ`+4=(x-1)Û`Q(x)+ax+b. yy`㉡. 4xÜ`+2ax=2(x+1)Q(x)+(x+1)Û`Q'(x)+2. 20xÚ`á`-a=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û`Q'(x). 100. yy`㉠. ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면. ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면. f(1)=1-a+b=0에서 a-b=1. 을 Q(x)라 하면. 1+a+b=1 ∴ a+b=0. 1-a+b=0 ∴ a-b=1. ∴ a+b=39. 다항식 xÝ`+axÛ`+b를 (x+1)Û`으로 나누었을 때의 몫. yy`㉠. . 답 ⑴ 8 ⑵ 10. 개념원리 익히기·확인체크. 21. 확인체크 개념원리 익히기. g(x)=xÜ`+axÛ`+bx (x¾1). 다른풀이 f(x)=[ .

(25) 72. 곡선 y=f(x) 위의 점 (-1, c)에서의 접선의 기울기. f(x)=xÛ`-4x-1로 놓으면 f '(x)= 2x-4 곡선 y=f(x) 위의 점 (4, -1)에서의 접선의 기울기. 가 -;2#;이므로 f '(-1)=-;2#;. 는 f '( 4 )=8-4= 4. ∴ -2a+b=-;2#;. 따라서 구하는 접선의 방정식은 기울기가 4 이고,. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면. 점 (4, -1)을 지나는 직선의 방정식이므로. a=1, b=;2!;. y-( -1 )= 4 (x- 4 ) ∴ y= 4x-17 . 답 풀이 참조. yy`㉡. ∴ f(x)=xÛ`+;2!;x+;2!; 점 (-1, c)는 곡선 y=f(x) 위의 점이므로 f(-1)=c. 73 f(x)=3xÛ`+2x+1로 놓으면 f '(x)= 6x+2 접점의 좌표를 (a, 3aÛ`+2a+1)이라 하면 접선의 기. 1-;2!;+;2!;=c ∴ c=1 답 ;2!;. ∴ abc=1´;2!;´1=;2!;. 울기가 8이므로 f '(a)= 6a+2 =8, 6a=6 ∴ a=1 따라서 접점의 좌표는 (1, 6 )이므로 구하는 접선의. 76. 방정식은. f(x)=xÜ`-2xÛ`+1로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-4x. y- 6 = 8 (x- 1 ) . 곡선 y=f(x) 위의 점 (-1, -2)에서의 접선의 기울. ∴ y= 8x-2 답 풀이 참조. 기는 f '(-1)=3+4=7 따라서 구하는 접선의 방정식은 기울기가 7이고, 점 (-1, -2)를 지나는 직선의 방정식이므로. 74. y-(-2)=7{x-(-1)}. f(x)=xÜ`+axÛ`+bx로 놓으면. ∴ y=7x+5. 답 y=7x+5. f '(x)=3xÛ`+2ax+b 곡선 y=f(x)가 점 (1, 5)를 지나므로 f(1)=5 1+a+b=5 ∴ a+b=4. yy`㉠. 77. 곡선 y=f(x) 위의 점 중 x좌표가 -1인 점에서의. f(x)=xÜ`+axÛ`+bx로 놓으면. 접선의 기울기가 1이므로 f '(-1)=1. f '(x)=3xÛ`+2ax+b. 3-2a+b=1 ∴ -2a+b=-2. yy`㉡. 8+4a+2b=4 . ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=2. 곡선 y=f(x)가 점 (2, 4)를 지나므로 f(2)=4. 답 a=2, b=2. ∴ 2a+b=-2. yy`㉠. 곡선 y=f(x) 위의 점 (2, 4)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=12+4a+b. 75. 그런데 접선의 기울기가 6이므로. f(x)=axÛ`+bx+;2!;로 놓으면 f '(x)=2ax+b 곡선 y=f(x)가 점 (1, 2)를 지나므로 f(1)=2 a+b+;2!;=2 ∴ a+b=;2#;. 22. Ⅱ. 미분. yy`㉠. f '(2)=12+4a+b=6 ∴ 4a+b=-6. yy`㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=2. 답 a=-2, b=2.

(26) f '(a)=-2a=2 ∴ a=-1 따라서 접점의 좌표는 (-1, 0)이므로 구하는 접선의. f(x)=xÜ`-x+1로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-1 곡선 y=f(x) 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는. 방정식은 y-0=2{x-(-1)}. f '(1)=2이므로 점 (1, 1)에서의 접선에 수직인 직선. ∴ y=2x+2. 답 y=2x+2. 의 기울기는 -;2!;이다.. 81. 따라서 구하는 직선의 방정식은 y-1=-;2!;(x-1) ∴ y=-;2!;x+;2#;. f(x)=xÜ`-11x+2로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-11 답 y=-;2!;x+;2#;. 구하는 접선이 직선 x-8y+3=0, 즉 y=;8!;x+;8#; 에 수직이므로 구하는 접선의 기울기는 -8이다. 접점의 좌표를 (a, aÜ`-11a+2)라 하면 접선의 기울. 79. 기가 -8이므로. f(x)=xÛ`으로 놓으면 f '(x)=2x 곡선 y=f(x)의 접선이 x축의 양의 방향과 45ù의 각 을 이루므로 접선의 기울기는 tan`45ù=1이다. 접점의 좌표를 (a, aÛ`)이라 하면 접선의 기울기가 1이 므로. 방정식은 y-;4!;=1´{x-;2!;} ∴ y=x-;4!; 답 y=x-;4!; Z. ZNY

(27) O. (m>0)과 x축의 양의 방. 따라서 접점의 좌표는 (-1, 12), (1, -8)이므로 구. ∴ y=-8x+4, y=-8x 답 y=-8x+4, y=-8x. . 82 ⑴ f(x)=-xÛ`+2x+3으로 놓으면 f '(x)=-2x+2 접점의 좌표를 (t, -tÛ`+2t+3)이라 하면 이 점에. 향이 이루는 각의 크기가 직선의 기울기 m=tan`aù. ∴ a=-1 또는 a=1. y-12=-8{x-(-1)}, y-(-8)=-8(x-1). 따라서 접점의 좌표는 {;2!;, ;4!;}이므로 구하는 접선의. aù`(0ù<aù<90ù)일 때,. 3aÛ`=3, aÛ`=1. 하는 접선의 방정식은. f '(a)=2a=1 ∴ a=;2!;. 참고 직선 y=mx+n. f '(a)=3aÛ`-11=-8. 서의 접선의 기울기는 =± 0. Y. 이다.. f '(t)=-2t+2 따라서 기울기가 -2t+2이고 점 (t, -tÛ`+2t+3)을 지나는 직선의 방정식은 y-(-tÛ`+2t+3)=(-2t+2)(x-t). 80. ∴ y=(-2t+2)x+tÛ`+3. f(x)=-xÛ`+1로 놓으면 f '(x)=-2x. 이 직선이 점 (2, 4)를 지나므로. 구하는 접선이 직선 2x-y+3=0, 즉 y=2x+3에 . 4=(-2t+2)´2+tÛ`+3. 평행하므로 구하는 접선의 기울기는 2이다.. tÛ`-4t+3=0 . 접점의 좌표를 (a, -aÛ`+1)이라 하면 접선의 기울기. (t-1)(t-3)=0. 가 2이므로. ∴ t=1 또는 t=3. yy`㉠. 개념원리 익히기·확인체크. 23. 확인체크 개념원리 익히기. 78.

(28) Z . 이것을 ㉠에 각각 대입하면 구하는 접선의 방정식은. 이 접선이 점 (k, 30)을 지나므로. . 30=12k-18, 12k=48 ∴ k=4. 답 4. y=4, y=-4x+12 0. . Y. ZY

(29) Y

(30) . ⑵ f(x)=xÜ`-2x로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-2 접점의 좌표를 (t, tÜ`-2t)라 하면 이 점에서의 접 선의 기울기는. 84 f(x)=;4!;xÝ`+3으로 놓으면 f '(x)=xÜ` 접점 P를 P {t, ;4!;tÝ`+3}이라 하면 점 P에서의 접선 의 기울기는 f '(t)=tÜ`. f '(t)=3tÛ`-2 따라서 기울기가 3tÛ`-2이고 점 (t, tÜ`-2t)를 지나 는 직선의 방정식은 y-(tÜ`-2t)=(3tÛ`-2)(x-t). y-{;4!;tÝ`+3}=tÜ`(x-t) 이 직선이 원점을 지나므로. yy`㉠. ∴ y=(3tÛ`-2)x-2tÜ` . 따라서 점 P에서의 접선의 방정식은. 이 직선이 점 (0, 2)를 지나므로. -{;4!;tÝ`+3}=tÜ`´(-t). 2=-2tÜ`, tÜ`=-1. ;4#;tÝ`-3=0, `tÝ`-4=0. ∴ t=-1. (tÛ`+2)(t+'2)(t-'2)=0. t=-1을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은. ∴ t=-'2 또는 t='2. y=x+2. 따라서 P(-'2, 4) 또는 P('2, 4)이므로 선분 OP 답 ⑴ y=4, y=-4x+12. ⑵ y=x+2. ¿¹('2 )Û`+4Û`='18=3'2. 83 접점의 좌표를 (t, tÜ`-2)라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는. f(x)=xÜ`으로 놓으면 f '(x)=3xÛ` 곡선과 직선의 접점의 좌표를 (t, tÜ`)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=3tÛ`, 접선의 방. f '(t)=3tÛ` 따라서 기울기가 3tÛ`이고 점 (t, tÜ`-2)를 지나는 직선 의 방정식은. 정식은 y-tÜ`=3tÛ`(x-t) ∴ y=3tÛ`x-2tÜ`. y-(tÜ`-2)=3tÛ`(x-t) yy`㉠. 이 직선이 점 (1, -6)을 지나므로 -6=3tÛ`-2tÜ`-2, 2tÜ`-3tÛ`-4=0 (t-2)(2tÛ`+t+2)=0 ∴ t=2 {∵ 2tÛ`+t+2=2{t+;4!;}Û`+:Á8°:>0}. ㉠이 y=ax+2이므로 -2tÜ`=2에서 tÜ`=-1 ∴ t=-1 ∴ a=3´(-1)Û`=3. 답 3. 다른풀이 f(x)=xÜ`으로 놓으면 f '(x)=3xÛ`. 곡선과 직선의 접점의 좌표를 (t, tÜ`)이라 하면 이 점 에서의 접선의 기울기는. y=12x-18. f '(t)=3tÛ`. Ⅱ. 미분. yy`㉠. 3tÛ`=a, -2tÜ`=2. t=2를 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은. 24. 답 3'2. 85. f(x)=xÜ`-2로 놓으면 f '(x)=3xÛ`. ∴ y=3tÛ`x-2tÜ`-2 . 의 길이는.

(31) 지나므로 f(-1)=0, g(-1)=0. 표가 같다. 즉, tÜ`=at+2. yy`㉠. 또한, 접점에서의 접선의 기울기가 a이므로 f '(t)=3tÛ`=a ∴ a=3tÛ`. 두 곡선 y=f(x), y=g(x) 모두 점 (-1, 0)을 . yy`㉡. -1-a=0 ∴ a=-1. yy`㉠. b+c=0. yy`㉡. 두 곡선의 접점 (-1, 0)에서의 접선의 기울기가. ㉡을 ㉠에 대입하면 tÜ`=3tÛ`´t+2. 같으므로 f '(-1)=g'(-1). -2tÜ`=2, tÜ`=-1 ∴ t=-1. 3+a=-2b, 2=-2b (∵ ㉠). t=-1을 ㉡에 대입하면 a=3. ∴ b=-1 따라서 ㉡에서 c=1. 86. ⑵ 접점의 좌표는 (-1, 0)이고, 접선의 기울기는. f(x)=xÜ`-ax+2로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-a. f '(-1)=g'(-1)=2이므로 두 곡선에 공통으로. 곡선과 직선의 접점의 좌표를 (t, tÜ`-at+2)라 하면. 접하는 직선의 방정식은. 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(t)=3tÛ`-a, 접선의. y-0=2{x-(-1)} . 방정식은. ∴ y=2x+2. y-(tÜ`-at+2)=(3tÛ`-a)(x-t) ∴ y=(3tÛ`-a)x-2tÜ`+2. 답 ⑴ a=-1, b=-1, c=1 ⑵ y=2x+2. yy`㉠. ㉠이 y=5x이므로. 88. 3tÛ`-a=5, -2tÜ`+2=0. f(x)=xÛ`-1, g(x)=axÛ``(a+0)으로 놓으면. -2tÜ`+2=0에서 tÜ`=1 ∴ t=1. f '(x)=2x, g'(x)=2ax. 3-a=5 ∴ a=-2. 답 -2. 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점의 x좌표를 t라 하. 다른풀이 f(x)=xÜ`-ax+2로 놓으면. 면 f(t)=g(t). f '(x)=3xÛ`-a. tÛ`-1=atÛ`. 곡선과 직선의 접점의 좌표를 (t, tÜ`-at+2)라 하면. 두 곡선의 교점에서의 각각의 접선이 서로 수직이므로. 이 점에서의 접선의 기울기는. 두 접선의 기울기의 곱이 -1이다. 즉,. f '(t)=3tÛ`-a. f '(t)g'(t)=-1. 곡선과 직선의 접점은 곡선과 직선의 교점이므로 y좌. 2t´2at=-1, 4atÛ`=-1. 표가 같다. 즉,. ∴ atÛ`=-;4!;. tÜ`-at+2=5t. yy`㉠. 또한, 접점에서의 접선의 기울기가 5이므로 f '(t)=3tÛ`-a=5 ∴ a=3tÛ`-5 ㉡을 ㉠에 대입하면 tÜ`-(3tÛ`-5)t+2=5t, -2tÜ`+2=0 ∴ t=1 t=1을 ㉡에 대입하면 a=-2. 87. yy`㉡. yy`㉠. yy`㉡. ㉡을 ㉠에 대입하면 tÛ`-1=-;4!;, tÛ`=;4#; ㉡에서 ;4#;a=-;4!; 답 -;3!;. ∴ a=-;3!;. 89 ⑴ 함수 f(x)=xÛ`-6x는 닫힌구간 [1, 5]에서 연속. ⑴ f(x)=xÜ`+ax, g(x)=bxÛ`+c로 놓으면. 이고 열린구간 (1, 5)에서 미분가능하다. 또한,. f '(x)=3xÛ`+a, g'(x)=2bx. f(1)=f(5)=-5. 개념원리 익히기·확인체크. 25. 확인체크 개념원리 익히기. 곡선과 직선의 접점은 곡선과 직선의 교점이므로 y좌.

(32) 이므로 롤의 정리에 의하여 f '(c)=0인 c가 열린구. 이때 f '(x)=xÛ`+2x-3이므로. 간 (1, 5)에 적어도 하나 존재한다.. f '(c)=cÛ`+2c-3=(c+3)(c-1)=0. 이때 f '(x)=2x-6이므로. ∴ c=1 (∵ -3<c<3). 답 c=1, a=3. f '(c)=2c-6=0 ∴ c=3 ⑵ 함수 f(x)=-xÛ`+2x+4는 닫힌구간 [0, 2]에서 연속이고 열린구간 (0, 2)에서 미분가능하다. 또한,. 91 ⑴ 함수 f(x)=xÛ`-4x+3은 닫힌구간 [2, 4]에서 . f(0)=f(2)=4 . 연속이고 열린구간 (2, 4)에서 미분가능하므로 평. 이므로 롤의 정리에 의하여 f '(c)=0인 c가 열린구. 균값 정리에 의하여. 간 (0, 2)에 적어도 하나 존재한다.. `f(4)-f(2) 3-(-1) = =2=f '(c) 4-2 2. 이때 f '(x)=-2x+2이므로. 인 c가 열린구간 (2, 4)에 적어도 하나 존재한다.. f '(c)=-2c+2=0 . 이때 f '(x)=2x-4이므로. ∴ c=1 ⑶ 함수 f(x)=xÜ`-xÛ`-5x-3은 닫힌구간 . [-1, 3]에서 연속이고 열린구간 (-1, 3)에서 미 분가능하다. 또한,. f(-1)=f(3)=0. f '(c)=2c-4=2 ∴ c=3 ⑵ 함수 f(x)=-xÜ`+x는 닫힌구간 [0, 2]에서 연속 이고 열린구간 (0, 2)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 `f(2)-f(0) -6-0 =-3=f '(c) = 2 2-0. 이므로 f '(c)=0인 c가 열린구간 (-1, 3)에 적어. 도 하나 존재한다.. 인 c가 열린구간 (0, 2)에 적어도 하나 존재한다.. 이때 f '(x)=3xÛ`-2x-5이므로. 이때 f '(x)=-3xÛ`+1이므로. f '(c)=3cÛ`-2c-5=0. f '(c)=-3cÛ`+1=-3, -3cÛ`=-4, cÛ`=;3$;. (c+1)(3c-5)=0. ∴ c=. ∴ c=;3%; (∵ -1<c<3) 답 ⑴ 3 ⑵ 1 ⑶ ;3%;. . 90 함수 f(x)=;3!;xÜ`+xÛ`-3x+2는 닫힌구간 [-a, a]에서 롤의 정리의 조건을 만족시키므로 f(-a)=f(a)이다. 즉, -;3!;aÜ`+aÛ`+3a+2=;3!;aÜ`+aÛ`-3a+2. 2'3 (∵ 0<c<2) 3. . 답 ⑴ 3 ⑵. 92 함수 f(x)=;3!;xÜ`-xÛ`+1은 닫힌구간 [0, 3]에서 연 속이고 열린구간 (0, 3)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 `f(3)-f(0) 1-1 =0=f '(c) = 3 3-0. ;3@;aÜ`-6a=0, aÜ`-9a=0. 인 c가 열린구간 (0, 3)에 적어도 하나 존재한다.. a(a+3)(a-3)=0. 이때 f '(x)=xÛ`-2x이므로. ∴ a=3 (∵ a는 자연수). f '(c)=cÛ`-2c=0, c(c-2)=0. 따라서 함수 f(x)는 닫힌구간 [-3, 3]에서 롤의 정. ∴ c=2 (∵ 0<c<3). 리의 조건을 만족시킨다.. 따라서 실수 c는 2의 1개이다.. 26. Ⅱ. 미분. 2'3 3. 답 1.

(33) ‌따라서 함수 f(x)는 반닫힌 구간 (-¦, -3]과 반 닫힌 구간 [5, ¦)에서 증가하고, 닫힌구간 . f(-2)=19, f(a)=2aÛ`-4a+3. [-3, 5]에서 감소한다.. f '(x)=4x-4에서 . f '{-;2!;}=4´{-;2!;}-4=-6. 답 풀이 참조. 참고 도함수 y=f '(x)의 그래프는 각각 다음과 같다.. 함수 f(x)=2xÛ`-4x+3에 대하여 닫힌구간. ⑴.

(34). [-2, a]에서 평균값 정리가 성립하므로. . . . `f(a)-f(-2) =f '{-;2!;} a-(-2). ⑵. ZG Y. Y .

(35) . ZG Y. (2aÛ`-4a+3)-19 =-6 a+2.

(36) Y. . . 95. 2aÛ`-4a-16=-6a-12. ⑴ f(x)=;3!;xÜ`+axÛ`+(5a-4)x+2에서. 2aÛ`+2a-4=0, 2(a+2)(a-1)=0 ∴ a=1 (∵ a>-2). 답 1. f '(x)=xÛ`+2ax+(5a-4) ‌삼차함수 f(x)가 열린구간 (-¦, ¦)에서 증가하. 94. 려면 모든 실수 x에 대하여 f '(x)¾0이어야 하므 로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면. ⑴ f(x)=-xÜ`+3x-4에서 f '(x)‌=-3xÛ`+3=-3(x+1)(x-1). D =aÛ`-(5a-4)=aÛ`-5a+4É0 4. ‌f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은. (a-1)(a-4)É0 ∴ 1ÉaÉ4. x=-1 또는 x=1 ‌함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. ⑵ f(x)=-xÜ`+axÛ`-12x-1에서 f '(x)=-3xÛ`+2ax-12 ‌삼차함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하려면. x. y. -1. y. 1. y. 모든 실수 x에 대하여 f '(x)É0이어야 하므로 이. f '(x). -. 0. +. 0. -. 차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면. f(x). ↘. -6. ↗. -2. ↘. ‌따라서 함수 f(x)는 반닫힌 구간 (-¦, -1]과 반. D =aÛ`-(-3)´(-12)=aÛ`-36É0 4. (a+6)(a-6)É0 ∴ -6ÉaÉ6. 닫힌 구간 [1, ¦)에서 감소하고, 닫힌구간 . 답 ⑴ 1ÉaÉ4 ⑵ -6ÉaÉ6. [-1, 1]에서 증가한다.. 96. ⑵ f(x)=xÜ`-3xÛ`-45x-6에서. f(x)=-4xÜ`+axÛ`+36x-1에서. f '(x)=3xÛ`-6x-45=3(x+3)(x-5). f '(x)=-12xÛ`+2ax+36. ‌f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은. Z. 삼차함수 f(x)가 닫힌구간. x=-3 또는 x=5 ‌함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x. y. -3. y. 5. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 75. ↘. -181. ↗. ZG Y. [-2, 1]에서 증가하려면 닫힌구간 [-2, 1]에서 f '(x)¾0이어야 하므로 오 른쪽 그림에서. . 0. . Y. f '(-2)‌=-48-4a+36 ¾0. 개념원리 익히기·확인체크. 27. 확인체크 개념원리 익히기. 93.

(37) yy`㉠. -4a¾12 ∴ aÉ-3 f '(1)=-12+2a+36¾0. yy`㉡. 2a¾-24 ∴ a¾-12. ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 실수 a의 값의 범위는 -12ÉaÉ-3. 답 -12ÉaÉ-3. x. y. 0. y. 2. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 3 극대. -5. ↘. ↗. 극소. 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극댓값 3, x= 2 에서 극솟값 -5 를 갖는다.. 97. 답 6, -12, 2, 2, -5, 2, -5. f(x)=xÜ`+ax+1에서 f '(x)=3xÛ`+a Z. 삼차함수 f(x)가 닫힌구간. ZG Y. f(x)=-xÝ`+2xÛ`-3에서. [-1, 1]에서 증가하려면 . f '(x)‌= -4 xÜ`+( 4 )x=-4x(x+1)(x-1). 닫힌구간 [-1, 1]에서 f '(x)¾0이어야 하므로 오. . 0. Y. . 른쪽 그림에서 f '(0)=a¾0. Û ([-1, 1]에서 f '(x)의 최솟값)¾0. 따라서 실수 a의 최솟값은 0이다.. 답 0. 98 f(x)=2xÜ`-3axÛ`+(6a-6)x-1에서 f '(x)=6xÛ`-6ax+(6a-6) 함수 f(x)가 감소하는 구. ZG Y. 범위가 1ÉxÉ5이다. 즉, .

(38) . f '(x)의 부호를 조사하여 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x. y. -1. y. 0. y. 1. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. 0. -. f(x). ↗. -2 극대. ↘. -3 극소. -2. ↗. ↘. 극대. 답 -4, 4, 0, 0, -, -3, 0, -3. Y. . 이차부등식 f '(x)É0의 . 101. 해가 1ÉxÉ5이므로. ⑴ f(x)=xÛ`(3-x)=-xÜ`+3xÛ`에서. f '(x)‌=6(x-1)(x-5) . f '(x)=-3xÛ`+6x=-3x(x-2). =6xÛ`-36x+30. ‌f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은 x=0 또는 x=2. 따라서 -6a=-36, 6a-6=30이므로 a=6. x=-1 또는 x= 0 또는 x=1. -2, x= 0 에서 극솟값 -3 을(를) 갖는다..

(39) . f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은. 따라서 함수 f(x)는 x=-1과 x=1에서 극댓값. 간이 닫힌구간 [1, 5]이므 로 f '(x)É0인 x의 값의. 100. 답 6. ‌함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. 99 f(x)=2xÜ`-6xÛ`+3에서 f '(x)= 6 xÛ`+( -12 )x=6x(x-2) f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은 x=0 또는 x= 2 f '(x)의 부호를 조사하여 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. 28. Ⅱ. 미분. x. y. f '(x). -. f(x). ↘. 0. y. 0. +. 0 극소. ↗. 2. y. 0. -. 4 극대. ↘. ‌따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극솟값 0, x=2에 서 극댓값 4를 갖는다..

(40) ‌함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과. f '(x)=6xÛ`+6x-12=6(x+2)(x-1). 같다.. ‌f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은. y. x. x=-2 또는 x=1 ‌함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과. y. -1. y. 0. y. 0. +. 0. -. 0. +. f '(x) f(x). 같다.. -3. ↘. -22 극소. ↗. 10. 5. ↘. 극대. 극소. ↗. x. y. -2. y. 1. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. x=-1에서 극댓값 10, x=0에서 극솟값 5를 갖. ↗. 는다.. f(x). ↗. 16 극대. ↘. -11 극소. ‌따라서 함수 f(x)는 x=-3에서 극솟값 -22,. ⑵ f(x)=-xÝ`+4xÜ`-13에서. ‌따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극댓값 16, x=1에서 극솟값 -11을 갖는다.. f '(x)=-4xÜ`+12xÛ`=-4xÛ`(x-3) ‌f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은. 답 ⑴ 극댓값: 4, 극솟값: 0. ⑵ 극댓값: 16, 극솟값: -11. x=0(중근) 또는 x=3 ‌함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. 102 f(x)=-2xÜ`+15xÛ`-24x-2에서 f '(x)‌=-6xÛ`+30x-24 =-6(x-1)(x-4) f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은 x=1 또는 x=4 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같. x. y. 0. y. 3. y. f '(x). +. 0. +. 0. -. f(x). ↗. -13. ↗. 14. ↘. 극대. ‌따라서 함수 f(x)는 x=3에서 극댓값 14를 갖고, 극솟값은 없다.. 다.. 답 ⑴ 극댓값: 10, 극솟값: -22, 5. x. y. 1. y. 4. y. f '(x). -. 0. +. 0. -. f(x). ↘. -13 극소. ↗. 14 극대. ↘. ⑵ 극댓값: 14, 극솟값: 없다.. 104. 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극솟값 -13, x=4에. f(x)=-3xÝ`+8xÜ`+6xÛ`-24x에서. 서 극댓값 14를 가지므로 극댓값과 극솟값의 차는. f '(x)‌=-12xÜ`+24xÛ`+12x-24. 14-(-13)=27. =-12(x+1)(x-1)(x-2). 답 27. f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은. 103. x=-1 또는 x=1 또는 x=2. ⑴ f(x)=3xÝ`+16xÜ`+18xÛ`+5에서 f '(x)‌=12xÜ`+48xÛ`+36x=12x(xÛ`+4x+3) =12x(x+3)(x+1) ‌f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은 x=-3 또는 x=-1 또는 x=0. 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x. y. -1. y. 1. y. 2. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. 0. -. f(x). ↗. 19 극대. ↘. -13 극소. ↗. -8 극대. 개념원리 익히기·확인체크. ↘. 29. 확인체크 개념원리 익히기. ⑵ f(x)=2xÜ`+3xÛ`-12x-4에서.

(41) 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값 19, x=1에. f '(x)=0을 만족시키는 x의 값이 x=-4 또는 x=2. 서 극솟값 -13, x=2에서 극댓값 -8을 가지므로. 이므로 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다. 극댓값의 합은 19+(-8)=11, 극솟값의 합은 -13. 음과 같다.. ∴ M=11, m=-13 ∴ M-m=11-(-13)=24. 답 24. 105. x. y. -4. y. 2. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 80+b. -28+b. ↘. 극대. ↗. 극소. 따라서 함수 f(x)는 x=-4에서 극댓값 80+b,. f(x)=axÜ`+bxÛ`+3bx+2에서. x=2에서 극솟값 -28+b를 갖는다.. f '(x)=3axÛ`+2bx+3b 미분가능한 함수 f(x)가 x=-1에서 극댓값, x=3 에서 극솟값을 가지므로 f '(-1)=0, f '(3)=0 즉, 이차방정식 f '(x)=0의 두 근이 x=-1, x=3 이므로. 그런데 f(x)가 x=c에서 극솟값 2를 가지므로 c=2, -28+b=2 ∴ b=30 따라서 f(x)의 극댓값은 80+b=80+30=110 ∴ d=110 ∴ a+b+c+d=3+30+2+110=145. f '(x)=3a(x+1)(x-3)=3axÛ`-6ax-9a. 답 145. 따라서 2b=-6a, 3b=-9a이므로 b=-3a. yy`㉠. 또한, 극댓값과 극솟값의 차가 32이므로. 107. |`f(-1)-f(3)|=32. Z ZG Y. |(-a+b-3b+2)-(27a+9b+9b+2)|=32 |-28a-20b|=32 ∴ |28a+20b|=32. B. yy`㉡. .

(42)

(43)

(44) 0 D E F G C Y. ㉠을 ㉡에 대입하면 |28a-60a|=32, |-32a|=32, |32a|=32 32a=32 또는 32a=-32. 을 위의 그림과 같이 c, d, 0, e, f 라 할 때, f(x)의 증. ∴ a=1 (∵ a>0). 가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. ㉠에서 b=-3 ∴ ab=1´(-3)=-3. 닫힌구간 [a, b]에서 f '(x)=0을 만족시키는 x의 값. 답 -3. 106. x. a y c y d y 0 y e y f y b. f '(x). - 0 + 0 - 0 - 0 + 0 +. f(x). ↘. 극 소. ↗. 극 대. ↘. ↘. 극 소. ↗. ↗. f(x)=xÜ`+axÛ`-24x+b에서. 따라서 f(x)가 극댓값을 갖는 x의 값은 d의 1개, 극. f '(x)=3xÛ`+2ax-24. 솟값을 갖는 x의 값은 c, e의 2개이다.. 미분가능한 함수 f(x)가 x=-4에서 극댓값을 가지. ∴ m=1, n=2. 므로 f '(-4)=0, 즉. ∴ m-n=1-2=-1. 48-8a-24=0 ∴ a=3. 참고 f '(0)=0이지만 x=0의 좌우에서 f '(x)의 부. ∴ f(x)=xÜ`+3xÛ`-24x+b. 호가 음(-)에서 음(-) 그대로이므로 f(x)는 x=0. f '(x)=3xÛ`+6x-24=3(x+4)(x-2). 30. Ⅱ. 미분. 에서 극값을 갖지 않는다.. 답 -1.