2021 내신콘서트 수학 중3-1 기말 답지 정답

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(1)

001

전개하여 좌변으로 이항했을 때, (이차식)=0 꼴이면 이차 방정식이다. ④ 5xÛ`=4x-15xÛ`-4x+1=0 (이차방정식) 답 ④

002

전개하여 좌변으로 이항했을 때, (이차식)=0 꼴이면 이차 방정식이다. ② xÛ`-2x=xÛ`-4-2x+4=0`(일차방정식) 답 ②

003

주어진 등식을 정리하면 3(xÛ`+2x+1)=2x-2 3xÛ`+6x+3=2x-2 3xÛ`+4x+5=0 따라서 a=3, b=4, c=5이므로a+b+c=3+4+5=12 12

004

(이차항의 계수)+0이어야 하므로 a+0이다. 답 ②

005

2(x-3)Û`+7=axÛ`-6x+24에서 2xÛ`-12x+18+7=axÛ`-6x+24 (2-a)xÛ`-6x+1=0 이 식이 이차방정식이 되려면 2-a+0 ∴ a+2 답 ④

006

[ ] 안의 수를 대입하여 참이 되면 그 수는 주어진 이차방 정식의 해이다. ① x=1이면 1-2+1=0 (참)x=-3이면 9-3-6=0 (참)x=3이면 9-21+10=-2+0 (거짓)x=4이면 16+20+4=40+0 (거짓)x=5이면 25-25-6=-6+0 (거짓) 따라서 참인 것은 ①, ②이다. 답①, ②

007

x=-1을 대입하여 참이 되는 것을 찾는다.(-1)Û`=1+2 (거짓)(-1-1)(-1+2)=-2+0 (거짓)(-1)Û`+3_(-1)-4=-6+0 (거짓)(-1)Û`+(-1)=0 (참)(-1+1)Û`=0 (참) 답④, ⑤

008

x=-2를 xÛ`+ax-10=0에 대입하면 (-2)Û`+a_(-2)-10=0, -2a=6a=-3 -3

1

이차방정식의 풀이

본문 008~024쪽

009

x=-2일 때, (-2)Û`+(-2)-2=0 (참) x=-1일 때, (-1)Û`+(-1)-2=-2+0 (거짓) x=0일 때, 0Û`+0-2=-2+0 (거짓) x=1일 때, 1Û`+1-2=0 (참) x=2일 때, 2Û`+2-2=4+0 (거짓) 즉, 이차방정식 xÛ`+x-2=0의 해는 x=-2 또는 x=1 이다. 따라서 구하는 해의 합은 -2+1=-1 답 ②

010

xÛ`-4x+a=0 yy ㉠ (x+3)(x+b)=0 yy ㉡ x=-2는 ㉠과 ㉡을 동시에 만족시킨다. x=-2를 ㉠에 대입하면 (-2)Û`-4_(-2)+a=0 ∴ a=-12 x=-2를 ㉡에 대입하면 (-2+3)(-2+b)=0 ∴ b=2a+b=-12+2=-10 -10

011

주어진 이차방정식에 x=-2를 대입하면 4a-2b-10=0 즉, 2a-b-5=0 yy ㉠x=5를 대입하면 25a+5b-10=0 즉, 5a+b-2=0 yy ㉡+㉡을 하면 7a-7=0에서 a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 2-b-5=0b=-3a+b=1+(-3)=-2 답 ②

012

x=a가 xÛ`+5x-1=0의 한 근이므로 aÛ`+5a-1=0 a+0이므로 양변을 a로 나누면

a+5-;a!;=0 ∴ a-;a!;=-5 답 ⑤

포인트 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 한 근이 x=p일 때, pÛ`+ap+b=0pÛ`+ap=-bp+;pB;=-a (단, p+0)

013

xÛ`+3x-1=0의 한 근이 x=p이므로 pÛ`+3p-1=0, pÛ`+3p=1 xÛ`-5x-2=0의 한 근이 x=q이므로 qÛ`-5q-2=0, qÛ`-5q=2(pÛ`+3p+1)(qÛ`-5q+2)=(1+1)(2+2)=88

014

2x(x-2)=0에서 x(x-2)=0 x=0 또는 x-2=0

(2)

x=0 또는 x=2(x+1)(x-4)=0에서 x+1=0 또는 x-4=0x=-1 또는 x=4xÛ`-9=0에서 (x+3)(x-3)=0x=-3 또는 x=3xÛ`+7x+10=0에서 (x+5)(x+2)=0x=-5 또는 x=-2 답 ⑴ x=0 또는 x=2 ⑵ x=-1 또는 x=4 답 ⑶ x=-3 또는 x=3 ⑷ x=-5 또는 x=-2

015

주어진 이차방정식의 해는 x-2=0 또는 x+3=0이므로 x=2 또는 x=-3 답 ①

016

(x-2)(x-3)=2xÛ`에서 xÛ`-5x+6=2xÛ`, xÛ`+5x-6=0 (x+6)(x-1)=0 따라서 a=6, b=-1 또는 a=-1, b=6이므로 a+b=5 답 ④

017

xÛ`-x-12=0에서 (x+3)(x-4)=0 x=-3 또는 x=4 따라서 m=4, n=-3이므로 m-n=4-(-3)=7 7

018

xÛ`+4x-12=4x-8, xÛ`-4=0 (x+2)(x-2)=0x=-2 또는 x=2 답 ①

019

(x+2)(x-3)=0의 해는 x=-2 또는 x=3 xÛ`-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0x=1 또는 x=3 따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=3이다. 답 ⑤

020

이차방정식 xÛ`+2x-3=0을 풀면 (x-1)(x+3)=0 ∴ x=1 또는 x=-3 x=1을 xÛ`-4x+3=0에 대입하면 1-4+3=0으로 만족시킨다. x=-3을 xÛ`-4x+3=0에 대입하면 (-3)Û`-4_(-3)+3+0으로 만족시키지 않으므로 구하x의 값은 -3이다. 답 ①

021

x=-2를 주어진 이차방정식에 대입하면 (-2)Û`+a_(-2)-6=0 ∴ a=-1 a=-1을 xÛ`+ax-6=0에 대입하면 xÛ`-x-6=0, (x-3)(x+2)=0x=3 또는 x=-2 따라서 다른 한 근은 x=3이므로 b=3a+b=-1+3=2 2 포인트 한 근이 주어졌을 때, 다른 한 근을 구하는 방법 미지수 a를 포함한 이차방정식의 한 근이 x=p일 때 ① 주어진 방정식에 x=p를 대입하여 a의 값을 구한다. ② 주어진 방정식에 다시 a의 값을 대입하여 방정식을 푼다. ③ 두 근 중 x=p를 제외한 나머지 한 근을 구한다.

022

xÛ`+8=-6x에서 xÛ`+6x+8=0 (x+2)(x+4)=0 x=-2 또는 x=-4 x=-2가 xÛ`+ax+4a=0의 한 근이므로 4-2a+4a=0, 4+2a=0 a=-2 -2

023

(x+1)(x-2)=-2x+4에서 xÛ`-x-2=-2x+4 xÛ`+x-6=0 (x-2)(x+3)=0 x=2 또는 x=-3a=2, b=-3 (∵ a>b) 이것을 xÛ`+ax+b=0에 대입하면 xÛ`+2x-3=0 (x+3)(x-1)=0x=-3 또는 x=1 답③

024

x=2를 주어진 이차방정식에 대입하면 4(a-1)-2(aÛ`+1)+2(a+1)=0 aÛ`-3a+2=0 (a-1)(a-2)=0a=1 또는 a=2 그런데 a=1이면 (이차항의 계수)=0이므로 a=2 a=2를 다시 주어진 이차방정식에 대입하면 xÛ`-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0x=2 또는 x=3 따라서 다른 한 근은 x=3이다. 답⑤

025

이차방정식이 (완전제곱식)=0 꼴로 인수분해되면 중근 을 가진다. ⑴ xÛ`-4x+=0에서 (x-2)Û`+-4=0-4=0이어야 하므로 =4xÛ`+6x+=0에서 (x+3)Û`+-9=0-9=0이어야 하므로 =9xÛ`- x+16=0에서 {x- 2}Û`+16- Û`4 =0

(3)

030

xÛ`=5에서 x=Ñ'5xÛ`=8이므로 x=Ñ'8=Ñ2'2(x-1)Û`=2에서 x-1=Ñ'2x=1Ñ'2(x-2)Û`-8=0에서 (x-2)Û`=8, x-2=Ñ2'2x=2Ñ2'2 답⑴ x=Ñ'5 ``⑵ x=Ñ2'2x=1Ñ'2 ⑷ x=2Ñ2'2

031

xÛ`-4x=4의 양변에 4를 더하면 xÛ`-4x+4=4+4 (x-2)Û`=8이므로 p=-2, q=8p+q=(-2)+8=6 답 ④

032

xÛ`-6x=1+2xÛ`을 이항하여 정리하면 xÛ`+6x+1=0이므로 xÛ`+6x=-1 xÛ`+6x+9=-1+9 (x+3)Û`=8이므로 p=-3, q=8p-q=-3-8=-11 -11

033

xÛ`-4x=-2 xÛ`-4x+ 4 =-2+ 4 (x- 2 )Û`= 2 x- 2 =Ñ¿¹ 2 x= 2 Ñ¿¹ 2 따라서 A=4, B=2, C=2이므로 A+B+C=8 답 ③

034

2(x+1)Û`=12에서 (x+1)Û`=6 x+1=Ñ'6 ∴ x=-1Ñ'6 따라서 A=-1, B=6이므로 B-A=6-(-1)=7 답 ②

035

(x+3)Û`=16에서 x+3=Ñ4x=-3Ñ4 x=-3+4 또는 x=-3-4이므로 구하는 근은 x=1 또는 x=-7이다. 따라서 두 근의 합은 1+(-7)=-6 답 ①

036

3(x-2)Û`=a의 양변을 3으로 나누면 (x-2)Û`=;3A;, x-2=Ñ®;3A;x=2Ñ®;3A; 주어진 이차방정식의 해가 x=bÑ'2이므로 2Ñ®;3A;=bÑ'2 16- Û`4 =0이어야 하므로 =8 (∵ >0)xÛ`+ x+25=0에서 {x+ 2}Û`+25- Û`4 =0 25- Û`4 =0이어야 하므로 =10 (∵ >0) 답⑴ 4 ⑵ 9 ⑶ 8 ⑷ 10

026

xÛ`-6x+8=0, (x-2)(x-4)=0x=2 또는 x=4xÛ`+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0x=-4 또는 x=22xÛ`+8x+8=0, 2(x+2)Û`=0x=-2 xÛ`-7x+12=0, (x-3)(x-4)=0x=3 또는 x=44xÛ`-9=0, (2x+3)(2x-3)=0x=-;2#; 또는 x=;2#; 답 ③

027

xÛ`+7x-a=3x-6에서 xÛ`+4x+6-a=0이고 중근을 가지므로 6-a={;2$;}Û`, 6-a=4a=2 답 ② 포인트 이차방정식 xÛ`+ax+b=0이 중근을 가질 조건은 b={;2A;}2`이다. 이때 xÛ`의 계수가 1이 아닌 경우에는 xÛ`의 계수로 양변을 나눈 후 위의 조건을 이용한다.

028

xÛ`+6x+11-k=0이 중근을 가지므로 11-k={;2^;}Û`, 11-k=9k=2 이차방정식 xÛ`-kx+k-10=0은 xÛ`-2x-8=0 (x-4)(x+2)=0x=-2 또는 x=4 따라서 두 근의 합은 4+(-2)=2 답 ⑤

029

xÛ`+4x+m-1=0이 중근을 가지므로 m-1={;2$;}Û`, m-1=4m=5 m=5를 주어진 식에 대입하면 xÛ`+4x+4=0, (x+2)Û`=0a=-2m+a=5+(-2)=3 3

(4)

즉, 2=b, ;3A;=2이므로 a=6, b=2a+b=6+2=8 8

037

(x+a)Û`=b에서 x+a=Ñ'bx=-aÑ'b=3Ñ'§11 따라서 a=-3, b=11이므로 a+b=8 답 ③

038

근의 공식을 이용하여 풀면 x= -(-3)Ñ"Ã(-3)Û`-4_1_(-2)2_1 = 3Ñ'§172 따라서 A=3, B=17이므로 A+B=3+17=20 20

039

근의 공식을 이용하여 풀면 x= -1Ñ"Ã1Û`-1_(-1)1 =-1Ñ'2 따라서 A의 값은 2이다. 답 ②

040

근의 공식을 이용하여 풀면 x= -(-4)Ñ"Ã(-4)Û`-3_23 = 4Ñ'§103 따라서 a=4, b=10이므로 a+b=4+10=14 답 ①

041

2xÛ`=xÛ`+8x+15, xÛ`-8x-15=0을 근의 공식을 이용하여 풀면 x= -(-4)Ñ"Ã(-4)Û`-1_(-15)1 =4Ñ'§31 따라서 A=4, B=31이므로 A+B=4+31=35 35

042

이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 xÛ`+;aB;x+;aC;=0 xÛ`+;aB;x+{ b2a }Û`=-;aC;+{ b2a }Û` {x+ b2a }Û`= bÛ`-4ac

4aÛ` , x+ b2a =Ñ ¾ÐbÛ`-4ac4aÛ`x= -bÑ"ÃbÛ`-4ac2a

b

2a, b2a, b2a, bÛ`-4ac4aÛ` , b2a, ¾Ð bÛ`-4ac4aÛ` , -bÑ"Ãb2aÛ`-4ac

043

근의 공식을 이용하여 풀면 x= -(-3)Ñ"Ã(-3)Û`-4_2_A2_2 = 3Ñ'¶9-8A4 B=3이고, 9-8A=17 ∴ A=-1A+B=(-1)+3=2 2

044

근의 공식을 이용하여 풀면 x= -(-2)Ñ"Ã(-2)Û`-1_(-2)1 =2Ñ'6 따라서 x=2+'6 또는 x=2-'6이므로 두 근의 합은 (2+'6)+(2-'6)=4 답③

045

2xÛ`+ax+b=0에서 x= -aÑ"ÃaÛ`-4_2_b2_2 = -aÑ"ÃaÛ`-8b4 = 5Ñ'§414 따라서 -a=5, aÛ`-8b=41이므로 a=-5, b=-2 4xÛ`+bx+a=0에서 4xÛ`-2x-5=0 x= -(-1)Ñ"Ã(-1)Û`-4_(-5)4 = 1Ñ'§214 답②

046

;2!;xÛ`-;5!;x=;1£0;의 양변에 10을 곱하여 정리하면 5xÛ`-2x-3=0 (x-1)(5x+3)=0x=1 또는 x=-;5#; 따라서 a=1, b=-;5#; (∵ a>b)이므로 a+b-ab=1+{-;5#;}-1_{-;5#;} =1-;5#;+;5#; =1 답③

047

이차방정식 0.1xÛ`+0.4x-2=0의 양변에 10을 곱하면 xÛ`+4x-20=0 근의 공식을 이용하면 x= -2Ñ'¶4+201 =-2Ñ2'6=-2Ñ2'kk=6 답③

048

주어진 식의 양변에 6을 곱하면 2(xÛ`-2)-3(xÛ`-1)+12=0 2xÛ`-4-3xÛ`+3+12=0 xÛ`=11 ∴ x=Ñ'§11 답②

049

A=(x-6)(x+3), B=(x-5)(x+3)이므로 3A=2B에서

(5)

3(x-6)(x+3)=2(x-5)(x+3) (x+3){3(x-6)-2(x-5)}=0 (x+3)(3x-18-2x+10)=0 (x+3)(x-8)=0x=-3 또는 x=8 그런데 A+0에서 xÛ`-3x-18+0 (x+3)(x-6)+0 즉, x+-3, x+6이므로 주어진 식을 만족시키는 x의 값8이다. 8 포인트 주어진 식에 공통인수가 있으면 공통인수로 묶어 내어 인수분해한다. 3(x-6)(x+3)-2(x-5)(x+3)에서 공통인수는 (x+3) 이므로 (x+3)으로 묶어 내어 인수분해하면 된다.

050

(x+1)Û`-2(x+1)-8=0에서 좌변을 전개하면 xÛ`+2x+1-2x-2-8=0, xÛ`-9=0 (x+3)(x-3)=0x=-3 또는 x=3 답 ③

051

3{x-;3@;}Û`+5=10{x-;3@;}에서 x-;3@;=X로 놓으면 3XÛ`+5=10X 3XÛ`-10X+5=0 근의 공식을 이용하면 X= 5Ñ'Ä25-153 = 5Ñ'§103x-;3@;= 5Ñ'§103 {∵ X=x-;3@;}x= 7Ñ'§103 답 ⑤

052

(x-y)(x-y-2)=15에서 x-y=X로 놓으면 X(X-2)=15, XÛ`-2X-15=0 (X-5)(X+3)=0 ∴ X=5 또는 X=-3x-y=-3 또는 x-y=5 답 ③

053

xÛ`-5x=A로 놓으면 주어진 방정식은 AÛ`+10A+24=0, (A+4)(A+6)=0 (xÛ`-5x+4)(xÛ`-5x+6)=0 xÛ`-5x+4=0 또는 xÛ`-5x+6=0 (x-1)(x-4)=0 또는 (x-2)(x-3)=0x=1 또는 x=4 또는 x=2 또는 x=3 따라서 모든 x의 값의 합은 1+4+2+3=10 10

054

x=3을 xÛ`+ax-(a+1)=0에 대입하면

9+3a-(a+1)=0, 2a+8=0 ∴ a=-4 yy

x=-2를 2xÛ`+bx-14=0에 대입하면 8-2b-14=0, -2b-6=0 ∴ b=-3 yy 나 ∴ a+b=(-4)+(-3)=-7 yy 다 답-7 단계 채점 요소 배점 가 a=-4 구하기 1점b=-3 구하기 1점 다 답 구하기 2점

055

(x+1)(x-1)=2xÛ`-10에서 xÛ`-1=2xÛ`-10 xÛ`-9=0, (x+3)(x-3)=0 yy 가 ∴ x=-3 또는 x=3 yy 나 답 x=-3 또는 x=3 단계 채점 요소 배점 가 주어진 식을 인수분해하기 3점 나 답 구하기 3점

056

xÛ`-5x+4=0에서 (x-4)(x-1)=0 x=1 또는 x=4  yy 가 3xÛ`-x-2=0에서 (3x+2)(x-1)=0 x=-;3@; 또는 x=1  yy 나 따라서 두 이차방정식을 동시에 만족시키는 x의 값은 1이 다. yy 다 답 1 단계 채점 요소 배점 가 xÛ`-5x+4=0의 해 구하기 2점3xÛ`-x-2=0의 해 구하기 2점 다 답 구하기 2점

057

xÛ`-ax-24=0의 한 근이 x=-4이므로 x=-4를 대입 하면

16+4a-24=0 ∴ a=2 yy 가

xÛ`-ax-24=0에 a=2를 대입하면 xÛ`-2x-24=0, (x+4)(x-6)=0x=-4 또는 x=6 따라서 다른 한 근이 x=6이므로 b=6 yy 나 ∴ b-a=6-2=4 yy 다 답 4 단계 채점 요소 배점 가 a=2 구하기 2점b=6 구하기 3점 다 답 구하기 1점

058

⑴ 주어진 방정식이 이차방정식이므로

a-1+0 ∴ a+1 yy 가

x=-1을 주어진 이차방정식에 대입하여 정리하면

(6)

(a-1)(a-2)=0 ∴ a=2 (∵ a+1) yy 나 ⑵ ⑴에서 xÛ`+4x+3=0이므로 (x+1)(x+3)=0 x=-1 또는 x=-3 yy 다 x=-3은 이차방정식 xÛ`+5x+b=0의 근이므로 9-15+b=0b=6 yy 라 ⑶ a+b=2+6=8 yy 마 답 ⑴ 2 ⑵ 6 ⑶ 8 단계 채점 요소 배점 가 a+1 구하기 1점a=2 구하기 2점xÛ`+4x+3=0의 해 구하기 1점b=6 구하기 2점a+b=8 구하기 2점

059

3(x-2)Û`=-k가 중근을 가지려면 k=0 yy 가 따라서 이차방정식은 3(x-2)Û`=0, (x-2)Û`=0x=2 yy 나 답k=0, x=2 단계 채점 요소 배점 가 k=0 구하기 2점 나 중근 구하기 2점 포인트 중근을 갖는 이차방정식은 a(x-m)Û`=0`(a+0) 꼴이고, 이때의 중근은 x=m이다.

060

xÛ`-2x-a=0에서 xÛ`-2x=a xÛ`-2x+1=a+1 (x-1)Û`=a+1이므로 yy 가 x-1=Ñ'¶a+1x=1Ñ'¶a+1=1Ñ'7 yy 나 따라서 a+1=7이므로 a=6 yy 다 답 6 단계 채점 요소 배점 가 주어진 식을 완전제곱식으로 나타내기 2점 나 주어진 식의 해 구하기 2점 다 답 구하기 2점

061

2xÛ`-12x+8=0에서 xÛ`-6x+4=0 xÛ`-6x=-4 yy 가 xÛ`-6x+9=5 (x-3)Û`=5이므로 yy 나 x-3=Ñ'5x=3Ñ'5 yy 다 답x=3Ñ'5 단계 채점 요소 배점 가 2xÛ`-12x+8=0의 양변을 2로 나누고 정리하기 2점 나 주어진 식을 완전제곱식으로 나타내기 2점 다 답 구하기 2점

062

이차방정식 axÛ`+2b'x+c=0의 근의 공식에 a=1, b'=3, c=3을 대입하면 yy 가 x= -3Ñ"Ã3Û`-1_31 =-3Ñ'6 yy 나 답 x=-3Ñ'6 단계 채점 요소 배점 가 axÛ`+2b'x+c=0의 근의 공식 이용하기 1점 나 답 구하기 3점

063

근의 공식에 a=2, b=-5, c=A를 대입하면 x= -(-5)Ñ"Ã(-5)Û`-4_2_A2_2 = 5Ñ'Ä25-8A4 yy 가 5Ñ'Ä25-8A4 = BÑ'§174 이므로 B=5, 25-8A=17A=1 yy 나 ∴ A+B=6 yy 다 답6 단계 채점 요소 배점 가 근의 공식을 이용하여 해 구하기 3점A=1, B=5 구하기 2점 다 답 구하기 1점

064

주어진 식의 양변을 전개하여 정리하면 4xÛ`+5x+1=xÛ`-3x 3xÛ`+8x+1=0 yy 가 근의 공식을 이용하여 풀면 x= -4Ñ"Ã4Û`-3_13 = -4Ñ'§133 yy 나 -4Ñ3'§13= AÑ'§B3 이므로 A=-4, B=13A+B=9 yy 다 답9 단계 채점 요소 배점 가 주어진 식을 전개하여 정리하기 1점 나 근의 공식을 이용하여 해 구하기 3점 다 답 구하기 2점

065

주어진 식의 양변에 12를 곱하면 9xÛ`-6x-10=0 yy 가

(7)

x= -(-3)Ñ"Ã(-3)Û`-9_(-10)9 = 3Ñ'§999 = 1Ñ'§113  yy 나 3'§11= 1Ñ'ab 이므로 a=11, b=3 yy 다 답 a=11, b=3 단계 채점 요소 배점 가 주어진 식의 양변에 12 곱하기 3점 나 주어진 식의 해 구하기 3점 다 답 구하기 2점

066

xÛ`-4x+1=0에 x=a를 대입하면 aÛ`-4a+1=0 그런데 a+0이므로 양변을 a로 나누면

a-4+;a!;=0, a+;a!;=4 yy ㉠

㉠의 양변을 제곱하면 {a+;a!;}Û`=4Û`, aÛ`+2_a_;a!;+{;a!;}Û`=16 aÛ`+2+ 1 aÛ`=16 aÛ`+ 1 aÛ`=14 14

067

a(x-2)(x-3)+b=0에 x=-2를 대입하면 a(-2-2)(-2-3)+b=0, 20a+b=0b=-20a 주어진 이차방정식은 a(x-2)(x-3)-20a=0이다. 그리고 a+0이므로 양변을 a로 나누면 (x-2)(x-3)-20=0 xÛ`-5x-14=0, (x-7)(x+2)=0x=7 또는 x=-2 따라서 다른 한 근은 x=7이다. 답 ⑤

068

x=2k를 xÛ`-kx-k=0에 대입하면 (2k)Û`-k_2k-k=0 2kÛ`-k=0, k(2k-1)=0k=0 또는 k=;2!; 따라서 k의 값의 합은 0+;2!;=;2!; 답 ④

069

x=2는 두 이차방정식의 공통인 근이므로 두 이차방정식 을 모두 만족시킨다. xÛ`+ax-4=0에 x=2를 대입하면 2Û`+a_2-4=0 a=0 a=0을 xÛ`+ax-4=0에 대입하면 xÛ`-4=0, (x+2)(x-2)=0x=-2 또는 x=2 ∴ a=-2 a+b=-3에서 b=-1이므로 두 근이 x=-1 또는 x=2이고 이차항의 계수가 1인 이차방정식은 (x+1)(x-2)=0에서 xÛ`-x-2=0 이 식이 xÛ`+bx+c=0과 일치하므로b=-1, c=-2a+b+c=0+(-1)+(-2)=-3 답 ③

070

xÛ`-3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0 x=1 또는 x=2 …… ㉠ q+r=7, qr=10인 경우는 q=2, r=5 또는 q=5, r=2 ㉠에서 p=1, q=2, r=5 이차방정식 xÛ`+ax+b=0에 x=1, x=5를 대입하면 1+a+b=0, 25+5a+b=0 두 식을 연립하면 a=-6, b=5a-b=-11 답 ①

071

치호의 식은 x=3 또는 x=-3이 근인 이차방정식이므로 (x-3)(x+3)=0, xÛ`-9=0 치호가 본 상수항은 바른 것이다. ∴ b=-9 영진이의 식은 x=1 또는 x=9가 근인 이차방정식이므로 (x-1)(x-9)=0, xÛ`-10x+9=0 영진이가 본 x의 계수는 바른 것이다.a=-10a+b=-19 -19

072

주어진 이차방정식이 중근 x=3을 가지므로 xÛ`+ax+b=0은 (x-3)Û`=0으로 인수분해된다. (x-3)Û`=xÛ`-6x+9이므로 a=-6, b=9a+b=-6+9=3 답 ⑤

073

(x-2)Û`=k에서 x-2=Ñ'k, x=2Ñ'kx=2+'k 또는 x=2-'k (2+'k)(2-'k)=-4 4-k=-4k=8 8

074

a(x-p)Û`=q에서 a+0이므로 (x-p)Û`=;aQ; Ú ;aQ;>0, 즉 aq>0일 때, 서로 다른 두 근

(8)

Û ;aQ;=0, 즉 q=0일 때, 중근 Ü ;aQ;<0, 즉 aq<0일 때, 근이 없다. 답 ④ 포인트 이차방정식 (x+p)Û`=q가 ⑴ 서로 다른 두 근을 가질 조건은 q>0 ⑵ 중근을 가질 조건은 q=0 ⑶ 해를 갖지 않을 조건은 q<0

075

근의 공식을 이용하여 풀면 x= -(-1)Ñ"Ã(-1)Û`-p_(-3)p = 1Ñ'Ä1+3pp 1Ñ'Ä1+3pp = 1Ñ'q3 이므로 p=3, 1+3p=q에서 q=10p+q=3+10=13 13

076

P+Q =(xÛ`-3x-4)+(xÛ`-x-12) =2xÛ`-4x-16 =2(x-4)(x+2)=0x=4 또는 x=-2 yy ㉠ PQ =(xÛ`-3x-4)(xÛ`-x-12) =(x-4)(x+1)(x-4)(x+3) =(x-4)Û`(x+1)(x+3)+0x+4, x+-1, x+-3 yy ㉡ 따라서 ㉠과 ㉡을 동시에 만족시키는 x의 값은 -2이다. 답 ②

077

(x+4) : x=x : 2 xÛ`=2(x+4), xÛ`=2x+8 xÛ`-2x-8=0 (x+2)(x-4)=0x=-2 또는 x=4 답 ②

078

(ax+2)(3x-1)=6xÛ`+5x에서 3axÛ`+(-a+6)x-2=6xÛ`+5x (3a-6)xÛ`+(-a+1)x-2=0 이차방정식이 되려면 3a-6+0이어야 하므로 a+2 답 ④ 포인트 x에 대한 이차방정식은 주어진 방정식의 모든 항 을 좌변으로 이항하여 정리했을 때, (x에 대한 이차식)=0 꼴로 나타나야 한다.

079

주어진 이차방정식에 x=2를 대입하면 4-4a+aÛ`=0 (a-2)Û`=0a=2 답 ④

080

x=-3이 두 이차방정식의 공통인 근이므로 이차방정식 에 각각 대입하면 2xÛ`+mx-6=0에서 2_(-3)Û`+m_(-3)-6=0, 12-3m=0m=4 yy 가 xÛ`-3x-n=0에서 (-3)Û`-3_(-3)-n=0, 18-n=0n=18 yy 나 ∴ m-n=4-18=-14 yy 다 답-14 단계 채점 요소 배점 가 m=4 구하기 2점n=18 구하기 2점 다 답 구하기 2점

081

xÛ`-x-20=0, (x+4)(x-5)=0x=-4 또는 x=5 yy ㉠ yy 가 또 2(x-1)+3¾9, 2x-2+3¾9 2x¾8 ∴ x¾4 yy ㉡ yy 나 따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 것은 x=5 yy 다 답x=5 단계 채점 요소 배점 가 xÛ`-x-20=0의 해 구하기 2점2(x-1)+3¾9의 해 구하기 1점 다 답 구하기 1점

082

주어진 이차방정식에 x=2를 대입하면 4-2m-2mÛ`+8=0, 2mÛ`+2m-12=0 mÛ`+m-6=0 (m-2)(m+3)=0m=2 또는 m=-3m=-3 (∵ m<0) 답③

083

x=2를 주어진 이차방정식에 대입하면 4-2(2a+1)+aÛ`+2=0 4-4a-2+aÛ`+2=0, aÛ`-4a+4=0 (a-2)Û`=0 a=2 따라서 a=2를 주어진 이차방정식에 대입하면 xÛ`-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0x=2 또는 x=3 따라서 다른 한 근은 x=3이다. 답③

084

x=3을 xÛ`+ax-3=0에 대입하면 9+3a-3=0 a=-2 yy 가 주어진 이차방정식은 xÛ`-2x-3=0이므로

(9)

(x-3)(x+1)=0 x=3 또는 x=-1 따라서 다른 한 근은 x=-1이다. yy 나 x=-1을 3xÛ`-6x+b=0에 대입하면 3+6+b=0 ∴ b=-9 yy 다 ∴ a+b=(-2)+(-9)=-11 yy 라 답-11 단계 채점 요소 배점 가 a=-2 구하기 1점 나 다른 한 근 구하기 2점b=-9 구하기 2점 라 답 구하기 1점

085

xÛ`-2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0x=-1 또는 x=3 3xÛ`-7x-6=0에서 (3x+2)(x-3)=0x=-;3@; 또는 x=3 따라서 a=3, b=-1, c=-;3@;이므로 abc=2 답 ④

086

xÛ`+3x-4=0에서 (x+4)(x-1)=0x=-4 또는 x=1 xÛ`+x-12=0에서 (x+4)(x-3)=0 x=-4 또는 x=3 따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-4이므로 이차방정식 xÛ`+ax-20=0에 대입하면 16-4a-20=0a=-1 -1

087

(완전제곱식)=0이면 중근을 갖는다. ㄴ. xÛ`=;3@;x-;9!;에서 xÛ`-;3@;x+;9!;=0{x-;3!;}Û`=0 ㄷ. xÛ`+8x+16=0 (x+4)Û`=0 ㅁ. ;4!;xÛ`+;5!;x+;2Á5;=0 ㅁ. ∴ {;2!;x+;5!;}Û`=0 따라서 중근을 갖는 것은 모두 3개이다. 3개

088

(x-1)(x-5)=4에서 좌변을 전개하면 xÛ`-6x+5=4, xÛ`-6x=-1 xÛ`-6x+9=-1+9 yy 가 (x-3)Û`=8이므로 a=-3, b=8a+b=-3+8=5 yy 나 답 5 단계 채점 요소 배점 가 주어진 식을 정리하여 양변에 9를 더하기 2점 나 답 구하기 2점

089

2xÛ`+3x-1=0에서 xÛ`+;2#;x=;2!; xÛ`+;2#;x+ ;1»6; =;2!;+ ;1»6; {x+ ;4#; }Û`= ;1!6&; x+ ;4#; =Ñ '§174x=-;4#;Ñ '§174 답 ②

090

;3!;(x+a)Û`=2에서 (x+a)Û`=6 x+a=Ñ'6x=-aÑ'6 따라서 a=-5, b=6이므로 b-a=6-(-5)=11 11 포인트 이차방정식 (x+a)Û`=k`(k¾0)의 해는 x=-aÑ'k

091

xÛ`-2x-1=0을 근의 공식을 이용하여 풀면 x= -(-1)Ñ"Ã(-1)Û`-1_(-1)1 =1Ñ'2(두 근의 합)=(1+'2)+(1-'2)=2 두 근의 합이 이차방정식 xÛ`-4x+k=0의 한 근이므로 x=2를 대입하면 4-8+k=0 ∴ k=4 답 ④

092

3xÛ`+3x-1=0에서 x= -3Ñ"Ã3Û`-4_3_(-1)2_3 = -3Ñ'§216 yy 가 ∴ a= -3+'§216 yy 나 ⑵ '§21은 4<'§21<5이므로 1<-3+'§21<2, ;6!;< -3+'§216 <;3!; yy 다 즉, 0<a<1이므로 n<a<n+1을 만족시키는 정수 n은 0이다. yy 라 답⑴ -3+'§2160 단계 채점 요소 배점 가 3xÛ`+3x-1=0의 해 구하기 2점a의 값 구하기 1점;6!;<a<;3!; 구하기 3점n의 값 구하기 2점

(10)

093

주어진 식의 양변에 10을 곱하여 정리하면 3xÛ`-5x-2=0 (x-2)(3x+1)=0x=2 또는 x=-;3!; ∴ a+b=2+{-;3!;}=;3%; ;3%;

094

주어진 식의 양변에 6을 곱하면 -2(x-1)Û`=3(1-x)(3x+2) -2(xÛ`-2x+1)=3(3x+2-3xÛ`-2x) -2xÛ`+4x-2=3x+6-9xÛ` 7xÛ`+x-8=0 (x-1)(7x+8)=0x=1 또는 x=-;7*; 답 ③

095

(x-y)Û`-2(x-y)-8=0에서 x-y=X로 놓으면 XÛ`-2X-8=0, (X+2)(X-4)=0X=-2 또는 X=4x-y=-2 또는 x-y=4 여기서 x<y이므로 x-y<0x-y=-2 답 ②

001

4Û`-4_1_(-14)=72>0 ∴ 중근을 갖지 않는다. ⑵ (-8)Û`-4_1_16=0 ∴ 중근을 갖는다. ⑶ (-4)Û`-4_2_2=0 ∴ 중근을 갖는다. ⑷ 3Û`-4_1_;4(;=0 ∴ 중근을 갖는다. 답⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ◯

002

(-5)Û`-4_1_k=0이므로 25-4k=0, 4k=25k=:ª4°: 답③

003

{-2(k+1)}Û`-4_1_(k+1)=0이어야 하므로 4kÛ`+8k+4-4k-4=0 4kÛ`+4k=0, kÛ`+k=0 k(k+1)=0k=-1 또는 k=0 따라서 모든 상수 k의 값의 합은 -1이다. 답①

004

xÛ`+8x+16=a-1, xÛ`+8x+17-a=0 이차방정식 xÛ`+8x+17-a=0이 중근을 가지므로 8Û`-4_1_(17-a)=0 4a=4 ∴ a=1 (x+4)Û`=a-1에 a=1을 대입하면 (x+4)Û`=0이므로 x=-4 ∴ b=-4a+b=1+(-4)=-3 답①

005

이차방정식 4xÛ`+ax+9=0이 중근을 가지므로 aÛ`-4_4_9=0, aÛ`=144a=-12 또는 a=12 Ú a=-12일 때 4xÛ`-12x+9=0, (2x-3)Û`=0 따라서 x=;2#;, 즉 m=;2#;이므로 am=(-12)_;2#;=-18 Û a=12일 때 4xÛ`+12x+9=0, (2x+3)Û`=0 따라서 x=-;2#;, 즉 m=-;2#; 이므로 am=12_{-;2#;}=-18 Ú, Û에서 am=-18 답①

2

이차방정식의 성질과 활용

본문 026~044쪽

(11)

006

이차방정식 xÛ`+ax+b=0이 중근 x=3을 가지므로 (x-3)Û`=0으로 인수분해된다. (x-3)Û`=xÛ`-6x+9이므로 a=-6, b=9a+b=-6+9=3 답 ⑤

007

이차방정식 xÛ`-2x+a=0이 중근을 가지므로 (-2)Û`-4_1_a=0 ∴ a=1 a=1을 xÛ`-2(a+1)x+b=0에 대입하면 xÛ`-4x+b=0 이 이차방정식이 중근을 가지므로 (-4)Û`-4_1_b=0 ∴ b=4a+b=1+4=5 답 ⑤

008

이차방정식 xÛ`-4x+k=0이 중근을 가지므로 (-4)Û`-4_1_k=0 ∴ k=4 k=4를 (k-7)xÛ`+4x-1=0에 대입하면 -3xÛ`+4x-1=0 -(3x-1)(x-1)=0x=;3!; 또는 x=1 답 ④

009

(-1)Û`-4_1_4=-1504Û`-4_2_1=82(-4)Û`-4_1_4=01 답 ⑴ -15 ⑵ 0 ⑶ 8 ⑷ 2 ⑸ 0 ⑹ 1

010

이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 bÛ`-4ac<0이면 근이 없 다. bÛ`-4ac의 값을 구하면(-3)Û`-4_1_3=-3<0 ∴ 근이 없다. ⑤ 주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면 2xÛ`+3x+6=0 3Û`-4_2_6=-39<0 ∴ 근이 없다. 답③, ⑤

011

(-6)Û`-4_4_9=-108<0 0개4Û`-4_4_1=0 1개(-2)Û`-4_1_1=0 1개x(x-6)+9=xÛ`-6x+9이므로 (-6)Û`-4_1_9=0 1개3x(x-4)+12=0에서 xÛ`-4x+4=0이므로 (-4)Û`-4_1_4=0 1개 답 ①

012

2xÛ`-5x-1=0에서 (-5)Û`-4_2_(-1)=33>0이므로 a=2 ;3!;xÛ`-2x+3=0에서 (-2)Û`-4_;3!;_3=0이므로 b=1 -2(x-1)Û`=6에서 xÛ`-2x+4=0이므로 (-2)Û`-4_1_4=-12<0 ∴ c=0a+b+c=2+1+0=3 답 ④

013

(-4)Û`-4_2_(k+1)>0 -8k+8>0 ∴ k<1 따라서 상수 k의 값 중에서 가장 큰 정수는 0이다. 0

014

(-3)Û`-4_1_(4-k)<0, 4k-7<0k<;4&; 따라서 이를 만족시키는 자연수 k의 개수는 1의 1이다. 답 ②

015

{-2(m+1)}Û`-4_(mÛ`+3)<0 4mÛ`+8m+4-4mÛ`-12<0 8m-8<0m<1 따라서 상수 m의 값 중 가장 큰 정수는 0이다. 답 ③

016

이차방정식 3xÛ`-4x+k-1=0에서 서로 다른 두 근을 가 지므로 (-4)Û`-4_3_(k-1)>0 3k-7<0 ∴ k<;3&; yy`㉠ 이차방정식 xÛ`+kx+3=0에서 중근을 가지므로 kÛ`-4_1_3=0, kÛ`-12=0 kÛ`=12 ∴ k=Ñ2'3 yy`㉡ ㉠, ㉡에서 k=-2'3 -2'3

017

답⑴ xÛ`-7x+10=0 ⑵ 2xÛ`-8x+6=0

018

두 근이 3, 4이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-3)(x-4)=0a+b=7 답 ④ 포인트 두 근이 a, b이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식(x-a)(x-b)=0

019

2(x-1)(x+3)=0 2xÛ`+4x-6=0 따라서 a=4, b=-6이므로 ab=-24 답 ①

(12)

020

xÛ`의 계수가 1이고 두 근이 a, b인 이차방정식은 xÛ`-(a+b)x+ab=0이므로 a+b=-5, ab=-9 따라서 xÛ`의 계수가 1이고 a+b, ab를 두 근으로 하는 이 차방정식은 (x+5)(x+9)=0xÛ`+14x+45=0 xÛ`+14x+45=0

021

xÛ`의 계수가 1이고 두 근이 a, b인 이차방정식은 xÛ`-(a+b)x+ab=0이므로 a+b=4, ab=-7 xÛ`의 계수가 1이고 두 근이 a+2, b+2인 이차방정식은 {x-(a+2)}{x-(b+2)} =xÛ`-(a+b+4)x+(a+2)(b+2) =xÛ`-(a+b+4)x+{ab+2(a+b)+4} =xÛ`-8x+5 따라서 a=-8, b=5이므로 a+b=-3 답 ②

022

3 {x-;3!;}2=0, 3 {xÛ`-;3@;x+;9!;}=0 3xÛ`-2x+;3!;=0 ∴ a=-2, b=;3!;a+b=(-2)+;3!;=-;3%; 답 ① 포인트 중근이 a이고 xÛ`의 계수가 a인 이차방정식a(x-a)Û`=0

023

xÛ`의 계수가 a이고 두 근이 x=2 또는 x=-3인 이차방 정식은 a(x-2)(x+3)=0, axÛ`+ax-6a=0 이 식이 axÛ`+bx-c=0과 일치하므로 b=a, c=6aa`:`c=a`:`6a=1`:`6 답 ⑤

024

한 근이 x=-2+'¶11이므로 다른 한 근은 x=-2-'¶11 ∴ a=-2-'¶11 k=(-2-'¶11 )(-2+'¶11 )=-7 ∴ a+k=(-2-'¶11 )+(-7)=-9-'¶11-9-'¶11

025

2<'5 <3이므로 '5 의 정수 부분은 2이고, 소수 부분은 '5-2이다. 2와 '5-2를 두 근으로 하는 이차방정식 xÛ`+px+q=0 에서 -p=2+('5 -2)='5p=-'5 q=2_('5 -2)=2'5 -42p+q=2_(-'5 )+(2'5 -4)=-4 답 ④

026

-3과 3을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-3)(x+3)=0, xÛ`-9=0 즉, 이차방정식의 상수항은 -9이다.b=-9 1과 9를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-1)(x-9)=0, xÛ`-10x+9=0 즉, 이차방정식의 x의 계수는 -10이다.a=-10 따라서 처음 이차방정식은 xÛ`-10x-9=0x= -(-5)Ñ'Ä25+9` 1 =5Ñ'¶34(두 근의 합)=(5+'¶34 )+(5-'¶34 )=10 답⑤

027

-1과 -5를 근으로 가지고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+1)(x+5)=0 ∴ xÛ`+6x+5=0 즉, 이차방정식의 상수항은 5이다. 2와 4를 근으로 가지고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-2)(x-4)=0 ∴ xÛ`-6x+8=0 즉, 이차방정식의 x의 계수는 -6이다. 따라서 처음 이차방정식은 xÛ`-6x+5=0 (x-1)(x-5)=0 x=1 또는 x=5 x=1 또는 x=5

028

xÛ`의 계수가 3이고 a, b를 근으로 갖는 이차방정식은 3(x-a)(x-b)=0에서 3xÛ`-3(a+b)x+3ab=0 a+b=3, ab=;3!;이므로 ;a!;+;b!;= a+b ab =3Ö;3!;=9 답⑤

029

xÛ`의 계수가 1이고 a, b를 근으로 갖는 이차방정식은 (x-a)(x-b)=0에서 xÛ`-(a+b)x+ab=0  a+b=2, ab=k+1이므로 aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab=2Û`-2(k+1)=8 -2k=6 ∴ k=-3 답③

030

작은 근을 a라 하면 큰 근은 a+3이므로 xÛ`의 계수가 1이 고 a, a+3을 두 근으로 갖는 이차방정식은 (x-a){x-(a+3)}=0에서 xÛ`-(2a+3)x+a(a+3)=0 2a+3=5 yy`㉠ a(a+3)=-2k+5 yy`㉡ ㉠에서 2a=2 ∴ a=1 a=1을 ㉡에 대입하면 4=-2k+5 2k=1 ∴ k=;2!; 답⑤

031

한 근을 m이라 하면 다른 한 근이 2m이므로 xÛ`의 계수가 1이고 m, 2m을 두 근으로 갖는 이차방정식은

(13)

(x-m)(x-2m)=0에서 xÛ`-3mx+2mÛ`=0 a=-3m yy`㉠ 2mÛ`=8 yy`㉡ ㉡에서 mÛ`=4 ∴ m=-2 또는 m=2 이것을 ㉠에 대입하면 a=6 또는 a=-6 a>0이므로 a=6 6

032

한 근을 2a (a+0)라 하면 다른 근은 5a이므로 xÛ`의 계수1이고 2a, 5a를 두 근으로 갖는 이차방정식은 (x-2a)(x-5a)=0에서 xÛ`-7ax+10aÛ`=0 -7a=7k yy`㉠ 10aÛ`=4k+6 yy`㉡ ㉠에서 a=-k ㉡에서 5aÛ`=2k+3 a=-k이므로 5kÛ`=2k+3 5kÛ`-2k-3=0, (5k+3)(k-1)=0k=-;5#; 또는 k=1 k는 정수이므로 k=1 답 ①

033

n(n+1) 2 =105, n(n+1)=210 nÛ`+n-210=0, (n+15)(n-14)=0 n은 자연수이므로 n=14 답 ④ 포인트 이차방정식의 모든 해가 문제의 답이 되는 것은 아 니므로 문제의 조건에 맞는지 확인하는 것이 중요하다.

034

n(n-3) 2 =77 nÛ`-3n-154=0, (n-14)(n+11)=0 n>0이므로 n=14 따라서 대각선의 총 개수가 77인 다각형은 십사각형이다. 답 ④

035

⑴ 두 자연수의 합이 11이므로 작은 수를 x라 하면 큰 수11-x이다. ⑵ 두 자연수의 곱이 28이므로 x(11-x)=28, -xÛ`+11x=28 xÛ`-11x+28=0a=-11, b=28xÛ`-11x+28=0, (x-7)(x-4)=0x=4 또는 x=7 따라서 두 수 중 작은 수가 x이므로 x=4 답⑴ 11-x ⑵ a=-11, b=28 ⑶ 4

036

어떤 자연수를 x라 하면 3x+1=(x-1)Û` xÛ`-5x=0, x(x-5)=0 x는 자연수이므로 x=5 5

037

어떤 수를 x라 하면 그 수의 제곱은 xÛ`이므로 x+xÛ`=30, xÛ`+x-30=0 (x+6)(x-5)=0x=-6 또는 x=5 따라서 두 수의 합은 -6+5=-1 답 ③

038

연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면 x(x+1)=240, xÛ`+x-240=0 (x+16)(x-15)=0 x는 자연수이므로 x=15 따라서 두 자연수는 15, 16이므로 구하는 합은 15+16=31 31

039

연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면 두 수의 곱이 168이므로 x(x+2)=168, xÛ`+2x-168=0 (x+14)(x-12)=0 x>0이므로 x=12 따라서 두 짝수는 12와 14이므로 구하는 큰 수는 14이다. 답 ③

040

a+b=5 yy`㉠ ab=-36 yy`㉡ ㉠에서 a+b=5이므로 b=5-a b=5-a를 ㉡에 대입하면 a(5-a)=-36, 5a-aÛ`=-36 aÛ`-5a-36=0, (a-9)(a+4)=0 a>0이므로 a=9 a=9를 ㉡에 대입하면 b=-4 따라서 두 수 a, b 중 작은 수는 -4이다. 답 ①

041

큰 자연수를 x라 하면, 작은 자연수는 x-2이고, 두 수의 제곱의 합이 202이므로 xÛ`+(x-2)Û`=202, 2xÛ`-4x-198=0 xÛ`-2x-99=0, (x-11)(x+9)=0 x는 자연수이므로 x=11 따라서 두 자연수는 9, 11이므로 두 수의 합은 20이다. 답 ⑤

042

연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면 x(x+2)=255 xÛ`+2x-255=0 (x-15)(x+17)=0 x>0이므로 x=15 따라서 구하는 두 홀수의 합은 15+17=32 답 ②

(14)

043

연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2로 놓으면 (x-2)Û`+xÛ`+(x+2)Û`=155, 3xÛ`+8=155 3xÛ`=147, xÛ`=49 x>0이므로 x=7 따라서 세 홀수는 5, 7, 9이므로 가장 큰 수는 9이다. 답 ③

044

가장 작은 자연수를 x라 하면 연속하는 4개의 자연수는 x, x+1, x+2, x+3이다. (x+3)Û`-xÛ`=(x+1)(x+2)-33 xÛ`-3x-40=0, (x-8)(x+5)=0 x는 자연수이므로 x=8 따라서 가장 작은 자연수는 8이다. 답 ⑤

045

어떤 자연수를 x라 하면 2x=xÛ`-80, xÛ`-2x-80=0 (x-10)(x+8)=0 x는 자연수이므로 x=10 답 ③

046

학생 수를 x라 하면 한 사람에게 돌아가는 자두의 개수는 (x-5)이므로 x(x-5)=84, xÛ`-5x-84=0 (x-12)(x+7)=0 x>0이므로 x=12 따라서 학생 한 명이 가지는 자두의 개수는 12-5=7 답 ①

047

형의 나이를 x세라 하면 동생의 나이는 (x-7)세이다. xÛ`=3(x-7)Û`+13, 2xÛ`-42x+160=0 xÛ`-21x+80=0, (x-16)(x-5)=0x=5 또는 x=16 형의 나이가 5세이면 동생의 나이가 음수가 되므로 형의 나이는 16세이다. 16세

048

온천 여행을 한 3일의 날짜를 (x-1)일, x일, (x+1)일 이라 하면 (x-1)Û`+xÛ`+(x+1)Û`=110 3xÛ`=108, xÛ`=36 x>0이므로 x=6 따라서 출발 날짜는 2월 5일이다. 답 ②

049

가로, 세로의 줄의 합이 11줄이므로 가로의 줄의 수를 x라 하면 세로의 줄의 수는 11-x이다. 즉, x(11-x)=30, xÛ`-11x+30=0 (x-6)(x-5)=0 ∴ x=5 또는 x=6 세로의 줄의 수가 가로의 줄의 수보다 많다고 하였으므로 가로의 줄의 수는 5이다. 5

050

t초 후의 좌표가 64t-16tÛ`이므로 좌표가 48이 되는 것은 64t-16tÛ`=48, tÛ`-4t+3=0 (t-1)(t-3)=0 t>1이므로 t=3 따라서 원점을 출발한 지 3초 후에 점 P가 48의 위치를 지 난다. 답②

051

-7tÛ`+42t=63, 7tÛ`-42t+63=0 tÛ`-6t+9=0, (t-3)Û`=0 ∴ t=3 따라서 불꽃을 쏘아 올린 지 3초 후에 높이가 63`m가 된다. 답②

052

-5tÛ`+35t+25=75 5tÛ`-35t+50=0 tÛ`-7t+10=0 (t-2)(t-5)=0t=2 또는 t=5 따라서 이 물체가 처음으로 75`m의 높이에 도달하는 것은 쏘아 올린 지 2초 후이다. 2초 포인트 시간 t에 따른 물체의 높이가 (atÛ`+bt+c) m로 주어졌을 때, 높이가 p`m일 때의 시간을 구하려면 이차방 정식 p=atÛ`+bt+c 의 해를 구한다. 이때 t¾0임에 주의한다.

053

80t-5tÛ`=320, tÛ`-16t+64=0 (t-8)Û`=0 ∴ t=8 즉, 8초 후에 높이 320`m인 지점을 지나게 된다. 또 땅에 떨어질 때는 높이가 0이므로 80t-5tÛ`=0, tÛ`-16t=0, t(t-16)=0t=0 또는 t=16 그런데 t=0일 때는 처음 던졌을 때이므로 땅에 떨어질 때t=16, 즉 16초 후이다. 따라서 320`m 지점을 지난 후 땅에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 16-8=8(초) 답④

054

큰 원의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 작은 원의 반지름의 길이는 (6-x) cm이므로 p_xÛ`=4_p_(6-x)Û` xÛ`=4(36-12x+xÛ`) 3xÛ`-48x+144=0 xÛ`-16x+48=0 (x-4)(x-12)=0 0<x<6이므로 x=4 (cm) 따라서 큰 원의 반지름의 길이는 4`cm이다. 4`cm

(15)

055

큰 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 작은 정사각형의 한 변의 길이는 (9-x) cm이다. xÛ`+(9-x)Û`=45, 2xÛ`-18x+36=0 xÛ`-9x+18=0, (x-6)(x-3)=0x=3 또는 x=6 따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 6`cm이다.6`cm

056

" $ # YDN ADN YADN 가장 작은 반원의 지름의 길이를 x`cm라 하면 두 번째로 큰 반원의 지름의 길이는 (12-x) cm이므로 ;2!;_p_6Û`-;2!;_p_{;2{;}2-;2!;_p_{ 12-x 2 }2=5p xÛ`-12x+20=0, (x-2)(x-10)=0x=2 또는 x=10 따라서 가장 작은 반원의 지름의 길이는 2`cm이다.2`cm

057

도로의 폭을 x`m라 하면 도로를 제외한 부분의 넓이는 (30-x)(24-x)=520 xÛ`-54x+200=0, (x-50)(x-4)=0 0<x<24이므로 x=4 (m) 답 ①

058

주어진 직선의 방정식은 y=-4x+16 점 P(a, b)는 y=-4x+16의 그래프 위의 점이므로 b=-4a+16 즉, 점 P의 좌표는 (a, -4a+16) ∴ OAPB=OAÓ_OBÓ=a_b =a(-4a+16)=16 -4aÛ`+16a=16, aÛ`-4a+4=0 (a-2)Û`=0 ∴ a=2 따라서 a=2, b=8이므로 구하는 점 P의 좌표는 (2, 8)이 다. 답(2, 8)

059

PQÓ=x`cm, ARÓ=(12-x)`cm라 하면 △PQR=;2!;_x_PRÓ=12 ∴ PRÓ= 24 x (cm) △ABC»△APR(AA`닮음)이므로 12`:`9=(12-x)`:` 24 x xÛ`-12x+32=0 (x-4)(x-8)=0x=4 또는 x=8 따라서 PQÓ의 길이는 4`cm 또는 8`cm이다. 답 ③

060

처음 원의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 늘어난 원의 반지름의 길이는 (x+2) cm이다. p(x+2)Û`=3pxÛ` 2xÛ`-4x-4=0 xÛ`-2x-2=0 x>0이므로 x=1+'3 (cm) 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 (1+'3) cm이다. 답 ① 포인트 원의 반지름의 길이를 r라 할 때(원의 둘레의 길이)=2pr(원의 넓이)=prÛ`

061

처음 직각이등변삼각형의 밑변의 길이를 x`cm라 하면 ;2!;(x+2)(x+4)=2_;2!;xÛ` xÛ`-6x-8=0 x>0이므로 x=3+'¶17 (cm) 따라서 처음 직각이등변삼각형의 밑변의 길이는 (3+'¶17 ) cm이다. (3+'¶17 ) cm

062

(x+2)(x-3)=50 xÛ`-x-56=0 (x-8)(x+7)=0 x>0이므로 x=8 (m) 따라서 처음 정사각형 모양의 꽃밭의 한 변의 길이는 8`m 이다. 답 ④

063

물받이의 높이를 x`cm라 하면 x(12-2x)=16 xÛ`-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0x=2 (cm) 또는 x=4 (cm) 따라서 물받이의 높이는 2`cm 또는 4`cm이다. 답②, ④

064

넓이가 처음 직사각형의 넓이와 같아지는 데 걸리는 시간 을 x초라 하면 직사각형의 가로의 길이는 (20-x) cm이고 세로의 길이는 (16+2x) cm이므로 (20-x)(16+2x)=20_16, xÛ`-12x=0 x(x-12)=0 x>0이므로 x=12(초) 따라서 넓이가 처음 직사각형의 넓이와 같아지는 데 걸리 는 시간은 12초이다. 답 ⑤

(16)

065

이차방정식 xÛ`+ax+a=0이 중근을 가지므로 aÛ`-4a=0, a(a-4)=0 a+0이므로 a=4 yy 가 ∴ xÛ`+4x+4=0 (x+2)Û`=0 ∴ x=-2 x=-2를 bxÛ`+4x-b+2=0에 대입하면 4b-8-b+2=0, 3b=6b=2 yy 나 ∴ a+b=6 yy 다 답 6 단계 채점 요소 배점 가 a=4 구하기 1점b=2 구하기 1점 다 답 구하기 2점 다른 풀이 이차방정식 xÛ`+ax+a=0이 중근을 가지므로 a={;2A;}2, aÛ`-4a=0 a(a-4)=0 ∴ a=4xÛ`+4x+4=0 (x+2)Û`=0 ∴ x=-2 x=-2를 bxÛ`+4x-b+2=0에 대입하면 4b-8-b+2=0, 3b=6b=2a+b=4+2=6

066

(-2)Û`-4_3_(-k)>0이므로 4+12k>0 ∴ k>-;3!; yy 가 ⑵ (-2)Û`-4_3_(-k)<0이므로 4+12k<0 ∴ k<-;3!; yy 나 답⑴ k>-;3!; ⑵ k<-;3!; 단계 채점 요소 배점 가 k>-;3!; 구하기 2점k<-;3!; 구하기 2점

067

(-4)Û`-4_1_(m-1)¾0이므로 16-4m+4¾0mÉ5 yy 가 5Û`-4_(m+1)_10<0이므로 25-40m-40<0m>-;8#; yy 나 ∴ -;8#;<mÉ5 yy 다 답 -;8#;<mÉ5 단계 채점 요소 배점 가 mÉ5 구하기 1점m>-;8#; 구하기 1점 다 답 구하기 2점

068

이차방정식 9xÛ`-12x+k=0이 중근을 가지므로 (-12)Û`-4_9_k=0 ∴ k=4 yy 가 따라서 k=4를 k-9, 2k-4에 각각 대입하면 -5, 4이므-5, 4를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 2인 이차방정식은 2(x-4)(x+5)=0 yy 나 ∴ 2xÛ`+2x-40=0 yy 다 답2xÛ`+2x-40=0 단계 채점 요소 배점 가 k=4 구하기 2점 나 주어진 조건에 맞는 이차방정식 세우기 2점 다 답 구하기 2점

069

한 근이 2-'3이므로 다른 한 근은 2+'3이다. yy (두 근의 합)=(2-'3 )+(2+'3 )=4 (두 근의 곱)=(2-'3 )(2+'3 )=1 yy 나 따라서 이차방정식은 xÛ`-4x+1=0이므로

a=-4, b=1 ∴ a+b=-3 yy 다

-3 단계 채점 요소 배점 가 다른 한 근 구하기 1점 나 두 근의 합과 두 근의 곱 구하기 3점 다 답 구하기 2점

070

xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0x=1 또는 x=2 ∴ a=2 yy 가 4xÛ`-5x+1=0, (4x-1)(x-1)=0x=;4!; 또는 x=1 ∴ b=;4!; yy 나 따라서 ;4!;, 2를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 4인 이차방정 식은 4(x-2){x-;4!;}=0, 4{xÛ`-;4(;x+;2!;}=04xÛ`-9x+2=0 yy 다 답 4xÛ`-9x+2=0 단계 채점 요소 배점 가 a=2 구하기 2점b=;4!; 구하기 3점 다 답 구하기 3점

(17)

071

xÛ`의 계수가 1이고 a, b를 두 근으로 갖는 이차방정식은 (x-a)(x-b)=0에서 xÛ`-(a+b)x+ab=0이므로

a+b=5, ab=3 yy 가

∴ aÛ`+3ab+bÛ`=(a+b)Û`+ab=5Û`+3=28 yy 나

28 단계 채점 요소 배점 가 a+b=5, ab=3 구하기 3점 나 답 구하기 3점

072

연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면 xÛ`+(x+1)Û`=265 yy 가 2xÛ`+2x-264=0 xÛ`+x-132=0 (x+12)(x-11)=0 x는 자연수이므로 x=11 yy 나 따라서 두 자연수는 11, 12이다. yy 다 답11, 12 단계 채점 요소 배점 가 주어진 조건에 맞는 이차방정식 세우기 2점x=11 구하기 2점 다 답 구하기 2점

073

연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면 (x+1)Û`=2x(x-1)-20 yy 가 xÛ`-4x-21=0, (x+3)(x-7)=0 x는 자연수이므로 x=7 yy 나 따라서 구하는 세 수는 차례대로 8, 7, 6이다. yy 다 답 8, 7, 6 단계 채점 요소 배점 가 주어진 조건에 맞는 이차방정식 세우기 2점x=7 구하기 2점 다 답 구하기 2점

074

xÛ`+px+q=0의 두 근을 m, m+1 (m>0)로 놓으면 두 근의 제곱의 차가 9이므로 (m+1)Û`-mÛ`=9, mÛ`+2m+1-mÛ`=9m=4 yy 가 따라서 두 근은 4, 5이므로 구하는 이차방정식은 (x-4)(x-5)=0, xÛ`-9x+20=0p=-9, q=20 yy 나 ∴ p+q=-9+20=11 yy 다 답 11 단계 채점 요소 배점 가 m=4 구하기 3점p=-9, q=20 구하기 3점 다 답 구하기 2점

075

물체가 땅에 떨어질 때의 높이는 0이므로 -5tÛ`+15t+20=0 yy 가 tÛ`-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0 t>0이므로 t=4 따라서 물체가 땅에 떨어질 때까지 걸린 시간은 4초이다. yy 나 답4초 단계 채점 요소 배점 가 주어진 조건에 맞는 이차방정식 세우기 3점 나 답 구하기 3점 포인트 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0이다.

076

처음 직사각형의 세로의 길이를 x`cm라 하면 가로의 길이는 (x+6) cm이다. 직육면체의 가로의 길이는 (x+6)-8=x-2 (cm), 세로의 길이는 (x-8) cm이므로 yy 가 (x-2)(x-8)_4=288 yy 나 xÛ`-10x-56=0 (x-14)(x+4)=0 x>0이므로 x=14 따라서 처음 직사각형의 세로의 길이는 14`cm이다. yy 다 답 14`cm 단계 채점 요소 배점 가 직육면체의 가로, 세로의 길이 구하기 2점 나 주어진 조건에 맞는 이차방정식 세우기 2점 다 답 구하기 2점 포인트 이차방정식의 활용 - 상자를 만드는 경우 구하는 길이를 x로 놓고 (직육면체의 부피) =(밑면의 가로의 길이)_(밑면의 세로의 길이)_(높이) 임을 이용하여 이차방정식을 세운다.

077

4xÛ`-a(2x+1)+3=0, 4xÛ`-2ax-a+3=0 이차방정식 4xÛ`-2ax-a+3=0이 중근을 가지므로 (-2a)Û`-4_4(-a+3)=0 4aÛ`+16a-48=0 aÛ`+4a-12=0 (a+6)(a-2)=0a=-6 또는 a=2 Ú a=-6이면 4xÛ`+12x+9=0이므로 (2x+3)Û`=0 ∴ x=-;2#; Û a=2이면 4xÛ`-4x+1=0이므로 (2x-1)Û`=0 ∴ x=;2!; Ú, Û에서 a<0이므로 a=-6 답 ①

(18)

078

ㄱ. A=2, B=1이면 xÛ`+2x+1=0이므로 중근을 갖는다. (거짓) ㄴ. 0Û`-4_1_1<0이므로 근이 없다. (거짓) ㄷ. B<-1이면 AÛ`-4B>0이므로 서로 다른 두 근을 갖 는다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. 답 ③

079

이차방정식 xÛ`+(2k-1)x+kÛ`-7=0이 근을 가지려면 (2k-1)Û`-4(kÛ`-7)¾0 4kÛ`-4k+1-4kÛ`+28¾0 -4k+29¾0:ª4»: 답 ⑤

080

-4와 3을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+4)(x-3)=0, xÛ`+x-12=0 즉, 이차방정식의 상수항은 -12이다. 1과 9를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-1)(x-9)=0, xÛ`-10x+9=0 즉, 이차방정식의 x의 계수는 -10이다.b-c=-10-(-12)=2 답 ①

081

두 근이 -;3!;, 2인 이차방정식은 {x+;3!;}(x-2)=0, xÛ`-;3%;x-;3@;=0 양변에 3을 곱하면 3xÛ`-5x-2=0 따라서 a=3, b=-5, c=-2이므로 a+b+c=3+(-5)+(-2)=-4 답 ①

082

이차방정식 xÛ`-2ax+(a+b)(a-b)=0의 두 근을 a, b (a>b)라 하면 a-b=2'3, a+b=2a, ab=aÛ`-bÛ` (a-b)Û`=(a+b)Û`-4ab에서 (2'3 )Û`=(2a)Û`-4(aÛ`-bÛ`) 12=4aÛ`-4aÛ`+4bÛ` bÛ`=3 b>0이므로 b='3 답 ③

083

십의 자리의 숫자는 a, 일의 자리의 숫자는 3a로 놓으면 처음 수는 10_a+3a=13a aÛ`+(3a)Û`=13a+14 10aÛ`-13a-14=0 (10a+7)(a-2)=0 0<a<10이므로 a=2 따라서 처음 수는 26이다. 26

084

어떤 수를 x라 하면 xÛ`-9=2x-9+8 xÛ`-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0x=-2 또는 x=4 따라서 어떤 수는 -2, 4이다. -2, 4

085

10000원인 화장품에 x`%의 이익을 덧붙인 금액은 10000_{1+;10{0;}이고 여기에 x`%를 할인하면 10000_{1+;10{0;}_{1-;10{0;}=9600 10000_{1- xÛ` 10000 }=9600 1- xÛ` 10000 =;1»0¤0; 10000 =;10$0;xÛ` xÛ`=400 x>0이므로 x=20 (%) 답⑤

086

-5tÛ`+100t+1500=2000 tÛ`-20t+100=0 (t-10)Û`=0t=10(초) 따라서 분출물의 높이가 2000`m가 되는 것은 분출된 지 10초 후이다. 답③

087

BDÓ의 길이를 x`cm라 하면 ACÓ=(x+3) cm이고 DCÓ=(4-x) cm이다. ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`DCÓ에서 3`:`x+3=x`:`4-x x(x+3)=3(4-x) xÛ`+6x-12=0 x>0이므로 x=-3+'¶21 따라서 BDÓ의 길이는 (-3+'¶21) cm이다.(-3+'¶21) cm

088

x초 후 DPÓ의 길이는 (20-2x) cm, DQÓ의 길이는 x cm이므로 △DPQ=;2!;_DPÓ_DQÓ=;2!;_(20-2x)_x=23xÛ`-10x+23=0x= 10Ñ'Ä100-92`2 = 10Ñ2'2`2 =5Ñ'2 따라서 처음으로 △DPQ의 넓이가 23`cmÛ`가 되는 시간은 출발한 지 (5-'2 )초 후이다. 5-'2

089

ㄱ. (-4)Û`-4_1_(-4)=32>0 ㄴ. xÛ`=;3@;x-;9!;에서 xÛ`-;3@;x+;9!;=0 {-;3@;}2-4_1_;9!;=0

(19)

ㄷ. 8Û`-4_1_16=0 ㄹ. 6Û`-4_1_16=-28<0 ㅁ. {;5!;}2-4_;4!;_;2Á5;=0 따라서 중근을 갖는 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ의 3개이다. 답 ③

090

이차방정식 15-xÛ`=6(x+m)에서 xÛ`+6x+6m-15=0이므로 6Û`-4_1_(6m-15)=0 24m=96 ∴ m=4 답 ④

091

0Û`-4_2_0=0 ∴ 중근을 갖는다.1Û`-4_1_1=-3<0 ∴ 근이 없다.xÛ`=6x-9, xÛ`-6x+9=0 (-6)Û`-4_1_9=0 ∴ 중근을 갖는다.(-2)Û`-4_3_(-1)=16>0 ∴ 서로 다른 두 근을 가진다. ⑤ 0Û`-4_1_4=-16<0 ∴ 근이 없다. 답 ④

092

주어진 이차방정식이 근을 갖지 않으려면 6Û`-4_1_3m<0 ∴ 36-12m<0 yy 가 ∴ m>3 yy 나 답 m>3 단계 채점 요소 배점 가 근을 갖지 않는 조건 찾기 2점 나 답 구하기 2점 포인트 근의 개수에 따른 미지수의 값의 범위 구하기 이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 ⑴ 해가 2개일 때 bÛ`-4ac>0 ⑵ 해를 가질 때  bÛ`-4ac¾0 ⑶ 해가 없을 때  bÛ`-4ac<0

093

(-10)Û`-4_1_m=100-4m이므로 100-4m>0, m<25이면 서로 다른 두 근을 갖는다. 100-4m=0, m=25이면 중근을 갖는다. 100-4m<0, m>25이면 근을 갖지 않는다. ㄱ. m=10이면 m<25이므로 서로 다른 두 근을 갖는다. (참) ㄴ. m=25이면 중근 x=5를 갖는다. (참) ㄷ. m=20이면 m<25이므로 서로 다른 두 근을 갖는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ②

094

y=ax+b의 그래프에서 a=;5#;, b=-3 yy 가 xÛ`의 계수가 3이고 중근 -3을 갖는 이차방정식은 3(x+3)Û`=03xÛ`+18x+27=0 yy 나 답 3xÛ`+18x+27=0 단계 채점 요소 배점 가 a=;5#;, b=-3 구하기 2점 나 답 구하기 2점

095

xÛ`-3x-10=0, (x-5)(x+2)=0x=5 또는 x=-2 axÛ`+x-b=0의 두 근은 x=5 또는 x=-2에서 각각 2 를 뺀 값, 즉 x=3 또는 x=-4가 근이 된다. 두 근이 3, -4이고 xÛ`의 계수가 a인 이차방정식은 a(x-3)(x+4)=axÛ`+ax-12a=0 yy`㉠ ㉠이 axÛ`+x-b=0과 일치하므로 a=1, b=12b-a=12-1=11 답 ③

096

이차방정식 xÛ`-2x-1=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=2, ab=-1

∴ ba +ab =aÛ`+bÛ`ab =(a+b)Û`-2ab ab

= 2Û`-2_(-1)-1 =-6 답 ④

097

두 근은 모두 양수이므로 두 근을 a, 5a`(a>0)라 하면 5a-a=4 ∴ a=1 a=1이므로 두 근은 1, 5가 된다. xÛ`의 계수가 1이고 1, 5를 두 근으로 갖는 이차방정식은 (x-1)(x-5)=0에서 xÛ`-6x+5=0a+b=-6+5=-1 답 ②

098

n(n-1) 2 =78이므로 nÛ`-n-156=0 yy 가 (n-13)(n+12)=0 n>0이므로 n=13 따라서 모임의 회원은 13명이다. yy 나 답13명 단계 채점 요소 배점 가 주어진 조건에 맞는 이차방정식 세우기 3점 나 답 구하기 3점 포인트 간단한 공식을 이용한 문제 ⑴ 자연수 1부터 n까지의 합: n(n+1) 2n명 중 대표 2명을 뽑는 경우의 수: n(n-1) 2

099

가장 큰 수를 x라 하면 연속하는 4개의 자연수는 x-3, x-2, x-1, x

(20)

xÛ`-(x-3)Û`=(x-2)(x-1)-3이므로 xÛ`-xÛ`+6x-9=xÛ`-3x+2-3 6x-9=xÛ`-3x-1 xÛ`-9x+8=0 (x-1)(x-8)=0 x>3이므로 x=8 따라서 가장 큰 수는 8이다. 답 ④

100

어떤 수를 x라 하면 (x+3)Û`=2(x+3) xÛ`+4x+3=0, (x+3)(x+1)=0 x=-3 또는 x=-1 따라서 두 수는 -3, -1이므로 두 수의 합은 -3+(-1)=-4 답 ①

101

두 면의 쪽수는 연속하는 자연수이므로 왼쪽 면의 쪽수를 x쪽이라 하면 오른쪽 면의 쪽수는 (x+1)쪽이므로 x(x+1)=420 xÛ`+x-420=0, (x+21)(x-20)=0 x>0이므로 x=20(쪽) 따라서 두 면은 20쪽과 21쪽이고, 두 면의 쪽수의 합은 20+21=41 답 ①

102

;6!; nÛ`-;2#; n-;3%;=2 nÛ`-9n-10=12 nÛ`-9n-22=0 (n+2)(n-11)=0 n>0이므로 n=11(개) 답 ④ 포인트 시간, 속력, 거리, 길이, 넓이, 부피 등은 양수가 되어야 하고, 개수, 나이 등은 자연수가 되어야 한다.

103

1000x-500xÛ`=375 -500xÛ`+1000x-375=0 4xÛ`-8x+3=0 (2x-3)(2x-1)=0x=;2!;(초) 또는 x=;2#;(초) 따라서 물의 높이가 375`cm가 되는 시간은;2!; 초 후 또는 ;2#; 초 후이므로 두 시간 사이의 간격은 1초이다. yy 가 ⑵ 1000x-500xÛ`=0 xÛ`-2x=0, x(x-2)=0 x>0이므로 x=2(초) 따라서 뿜어 올린 물이 다시 수면에 떨어질 때까지 걸 리는 시간은 2초이다. yy 나 답 ⑴ 1초 ⑵ 2초 단계 채점 요소 배점 가 뿜어 올린 물이 375`cm의 높이가 되는 처음 시간과 두 번째 시간 사이의 간격 구하기 3점 나 뿜어 올린 물이 다시 수면에 떨어질 때까지 걸리는 시 간 구하기 3점

104

(3a-1, a)가 y=ax-1의 그래프 위의 점이므로 a=a(3a-1)-1, 3aÛ`-2a-1=0 (3a+1)(a-1)=0 a는 정수이므로 a=1 답③

105

가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 가운데 정사각형과 가장 큰 정사각형의 한 변의 길이는 각 각 (x+2) cm, (x+4) cm이므로 (x+4)Û`=xÛ`+(x+2)Û` yy 가 xÛ`+8x+16=xÛ`+xÛ`+4x+4 xÛ`-4x-12=0, (x+2)(x-6)=0 x>0이므로 x=6 (cm) yy 나 ∴ (색칠한 부분의 넓이)=(가운데 정사각형의 넓이) -(가장 작은 정사각형의 넓이) =8Û`-6Û`=64-36 =28 (cmÛ`) yy 다 답 28`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 주어진 조건에 맞는 이차방정식 세우기 3점x=6 구하기 2점 다 답 구하기 3점

106

△ADE»△ABC(AA 닮음)이므로 DEÓ`:`BCÓ=AEÓ`:`ACÓ x`:`8=(x+3)`:`2x 2xÛ`=8(x+3), xÛ`-4x-12=0 (x+2)(x-6)=0 x>0이므로 x=6 답②

(21)

001

y가 x에 대한 이차식으로 나타나는 것을 찾는다. ①, ③은 일차함수이다. ② y가 x에 대한 삼차식이다.y=xÛ`-xÛ`+x=x  일차함수 답 ④

002

①, ⑤는 이차함수이다. ② y=(x+1)(x-2)=xÛ`-x-2  이차함수 ③ y=xÛ`-(x+2)Û`=xÛ`-(xÛ`+4x+4)=-4x-4  일차함수 ④ y =2xÛ`-(2x-1)Û`=2xÛ`-(4xÛ`-4x+1) =-2xÛ`+4x-1  이차함수 답 ③

003

y=2px  일차함수 ② y=3x  일차함수 ③ y=xÛ`  이차함수 ④ y=4pxÛ`  이차함수 ⑤ y=xÜ` y가 x에 대한 삼차식이다. 답③, ④

004

y=pxÛ`  이차함수 ② y=;3$;pxÜ` y가 x에 대한 삼차식이다.y=xÛ`  이차함수 ④ y=(x+2)(x+1)=xÛ`+3x+2  이차함수 ⑤ y=5pxÛ`  이차함수 답 ②

005

y =4xÛ`+2-x(ax+1) =4xÛ`+2-axÛ`-x =(4-a)xÛ`-x+2 따라서 xÛ`의 계수가 0이 아니어야 하므로 4-a+0 ∴ a+4 답 ⑤ 포인트 특별한 말이 없으면 이차함수에서 x의 값의 범위 는 실수 전체로 생각한다.

006

f(-1)=(-1)Û`-2_(-1)+3=6 f(2)=2Û`-2_2+3=3f(-1)+f(2)=6+3=9 답 ⑤

007

11=2aÛ`-a+1, 2aÛ`-a-10=0 (2a-5)(a+2)=0 a는 정수이므로 a=-2 답 ①

008

f(-1)=a-5-2=-10에서 a=-3 즉, f(x)=-3xÛ`+5x-2이므로 b=f(3)=(-3)_9+5_3-2=-14ab=(-3)_(-14)=42 42

009

a<0이면 위로 볼록하므로 위로 볼록한 그래프는 ㄱ, ㄹ이다. ⑵ a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아지므로 폭이 가장 좁은 그래프는 ㄱ이다. ⑶ xÛ`의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 이차함수 의 그래프는 x축에 대하여 대칭이므로 ㄴ과 ㄹ이다. 답⑴ ㄱ, ㄹ ⑵ ㄱ ⑶ ㄴ과 ㄹ

010

이차함수 y=axÛ`의 그래프에서 a의 절댓값이 클수록 그래 프의 폭이 좁아지고, a의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭 이 넓어진다. 또 a>0이면 그래프가 아래로 볼록하고, a<0이면 위로 볼록하므로 그래프와 식을 짝 지으면 ㄱ - ⓑ, ㄴ - ⓓ, ㄷ - ⓒ, ㄹ - ⓔ, ㅁ - ⓐ 답 ㄱ - ⓑ, ㄴ - ⓓ, ㄷ - ⓒ, ㄹ - ⓔ, ㅁ - ⓐ

011

① 점 (-2, -1)을 지난다. ② 축의 방정식은 x=0이다. ③ 위로 볼록한 포물선이다. ④ 어떤 x의 값에 대하여도 yÉ0이다.x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 답 ⑤

012

a의 절댓값이 작을수록 폭이 넓어진다. 답 ③

013

이차함수 y=axÛ`의 그래프에서 a의 절댓값이 작을수록 그 래프의 폭이 넓다. 따라서 ③y=-;3@;xÛ`의 그래프의 폭이 가장 넓다. 답 ③

014

아래로 볼록한 그래프는 a>0이므로 y=3xÛ`, ③ y=;2!;xÛ`, ⑤ y=;3@;xÛ`이다. 이 중에서 폭이 가장 좁은 것은 xÛ`의 계수의 절댓값이 가 장 크면 되므로 ② y=3xÛ`이다. 답 ②

015

y=-;4!;xÛ`의 그래프는 y=-xÛ`의 그래프 ⑤보다 폭이 넓 으므로 ③이다. 답 ③

016

y=axÛ`의 그래프의 폭이 y=-xÛ`의 그래프의 폭보다 넓으 므로 a의 절댓값이 1보다 작아야 한다. 또 위로 볼록이므로 -1<a<0 답 ②

017

원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 식은 y=axÛ`이다. y=axÛ`의 그래프가 점 (3, -4)를 지나므로 -4=a_3Û` ∴ a=-;9$; 따라서y=-;9$;xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래 프의 이차함수의 식은 y=;9$;xÛ` y=;9$;xÛ`

3

이차함수와 그 그래프

본문 046~064쪽

(22)

018

y=-;2%;xÛ`의 그래프와 x축에 대하여 대칭인 그래프의 이 차함수의 식은xÛ`의 계수와 절댓값이 같고 부호만 바뀌므 로 ⑤ y=;2%;xÛ`이다. 답 ⑤

019

y=axÛ`에 점 (2, 8)을 대입하면 a=2이므로 y=2xÛ` y=2xÛ`에 점 (-3, k)를 대입하면 k=18 답 ⑤

020

원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 식은 y=axÛ`이다. y=axÛ`의 그래프가 점 (3, 2)를 지나므로 2=9a ∴ a=;9@;y=;9@;xÛ` 답 ②

021

원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 식은 y=axÛ`이다. 이 그래프가 점 (-2, 4)를 지나므로 4=a_(-2)Û` ∴ a=1 따라서 구하는 포물선의 식은 y=xÛ` y=xÛ`

022

원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 식은 y=axÛ`이고 (-2, 8)을 지나므로 8=a_(-2)Û` ∴ a=2 따라서 포물선의 식은 y=2xÛ`이고, 점 (3, k)를 지나므로 k=2_3Û`=18 답 ④

023

답 ⑴ y=xÛ`+5, (0, 5)y=-2xÛ`-9, (0, -9)y=;2!;xÛ`-7, (0, -7)y=-;4!;xÛ`+5, (0, 5)

024

④ 꼭짓점의 좌표는 (0, 1)이다. 답 ④

025

y=axÛ`+1에 점 (2, -5)를 대입하면 -5=4a+1 4a=-6a=-;2#; 답 ②

026

y=axÛ`+q의 그래프가 점 (-1, -1)을 지나므로 a+q=-1 yy`㉠ y=axÛ`+q의 그래프가 점 (2, -10)을 지나므로 4a+q=-10 yy`㉡ ㉠, ㉡에서 a=-3, q=2a+3q =(-3)+3_2=3 답 ④

027

y=;2!;xÛ`+c의 그래프가 점 (2, 4)를 지나므로 4=;2!;_2Û`+c ∴ c=2 따라서 y=;2!;xÛ`+2이므로 꼭짓점의 좌표는 (0, 2)이다.(0, 2)

028

y=2xÛ`-1의 그래프는 y=2xÛ`+3의 그래프를 y축의 방향으로 -4만큼 평행이동하면 완전히 포갤 수 있다. 답② 포인트 이차함수의 그래프를 평행이동하면 그래프의 모양 과 폭은 변하지 않고 위치만 바뀐다. 따라서 그래프의 모 양과 폭을 결정하는 xÛ`의 계수는 변하지 않는다.

029

y=2xÛ`+5의 그래프는 y=2xÛ`의 그래프를 y축의 방향으5만큼 평행이동한 것이므로 y축에 평행한 선분 AB의 길이는 5이다. 5

030

y=axÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그 래프의 식은 y=axÛ`+3 y=axÛ`+3의 그래프가 점 (-2, 1)을 지나므로 1=a_(-2)Û`+3, 1=4a+3a=-;2!; 답②

031

y=4xÛ`+1의 그래프를 y축의 방향으로 k만큼 평행이동하y=4xÛ`+1+k 즉, 1+k=-5이므로 k=-6 답③

032

꼭짓점의 좌표가 (0, -4)이므로 y=axÛ`+q에 대입하면 q=-4y=axÛ`-4 또 점 (2, 0)을 지나므로 y=axÛ`-4에 대입하면 0=a_2Û`-4, 0=4a-4 ∴ a=1a+q=1+(-4)=-3 답①

033

꼭짓점의 좌표가 (0, 3)이므로 y=axÛ`+3 y=axÛ`+3의 그래프가 점 (2, 7)을 지나므로 7=4a+3, 4a=4 ∴ a=1 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=xÛ`+3 답①

034

답 ⑴ y=(x+2)Û`, (-2, 0)y=-2(x-7)Û`, (7, 0)y=;5@;{x+;2!;}2, {-;2!;, 0}

수치

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참조

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