1-2중간고사
수학의정상M A T H P E A K
1. 1)A 는 의 약수, B∩C 에 대하여 집합 A∪B∩A∪C의 원소의 개수를 구하시오. 2. 2)점 P 을 직선 , 축, 원점 O 에 대하여 대칭이동한 점을 각각 A , B , C 라고 하자. 이 때, 삼각형 ABC 의 넓이를 구하시오. 3. 3)명제 ‘ 이면 ≠ 이다.’의 대우가 참이 되도록 하는 정수 의 개수를 구하시오. 4. 4)이하의 자연수 중에서 의 배수도 아니고 의 배수도 아닌 자연수의 개수를 구하시오. 5. 5), , 가 실수이고 일 때, 의 최댓값을 구하시오.6. 6)전체집합 U 의 공집합이 아닌 세 부분집합 A , B , C 에 대하여 A B ∅ 이고 B C B 일 때, <보기>에서 옳은 것에는 , 옳지 않은 것에는 을 가 ∼ 다 에 대입한다. 보기 ㄱ. Ac∪B U ⋯⋯ 가 ㄴ. C B C ⋯⋯ 나 ㄷ. C A∩Bc ∅ ⋯⋯ 다 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 값을 각각 , , 이라 할 때, 의 값을 구하시오. 7. 7)두 조건 , 에 대하여 를 다음과 같이 정의하자. → 가 참 → 가 거짓 실수 전체의 집합에서 정의된 세 조건 , , 이 다음과 같을 때, ∼ ∼ ∼ ∼ 의 값을 구하시오. ≤ ≤ 8. 8)전체집합 U 의 두 부분집합 A , B 에 대하여
A∆B A∪B A∩B라 한다. 다음 조건을 만족시키는 U 의 세 부분집합 A , B , C 에 대하여 A∆B∆C의 값을 구하시오. (가) A∩B , B∩C , A∩C (나) A∩B∩C , A∪B∪C 9. 9)세 양수 , , 에 대하여 은 일 때 최솟값 를 갖는다. 이 때, 두 상수 , 에 대하여 의 값을 구하시오.
10. 10)그림과 같이 AB , BC 인 직사각형에서 점 P 는 변 AD 의 중점이다. 변 AB 와 변 BC , 변 CD 위에 임의의 세 점 Q , R , S를 정할 때, 사각형 P Q RS의 둘레의 길이의 최솟값을 라 하자. 이 때, 의 값을 구하시오. 11. 11)원 에 접하는 직선 , 이 있다. 두 직선 , 을 각각 축에 대하여 대칭이동시킨 후, 다시 축의 방향으로 만큼 평행이동시키면 점 을 지난다고 한다. 두 직선 , 과 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. 12. 12)전체집합 U 는 이하의 자연수에 대하여 두 조건 , 가 다음과 같을 때, 는 이기 위한 어떤 조건인지 <보기>에서 하나만 택하여 쓰시오. 보기 필요조건 충분조건 필요충분조건 (1) , 또는 (2) ≥ , 는 의 배수이다. 13. 13)세 집합 A , B ∈A ∈A, C ∈A ∈A에 대하여 B C ⊂ X ⊂ B 를 만족시키는 집합 X 의 개수를 구하시오.
14. 14)전체집합 U 는 이하의 자연수에 대하여 물음에 답하시오. (1) 에 대한 다음 두 조건에 대하여 조건 ‘∼ 또는 ’의 부정은 ‘는 이다.’일 때, 를 완성하고 그것의 진리집합을 구하시오. 는 의 약수이다. ≤ 이다. (2) 다음 명제 의 부정을 쓰고, 명제 ∼ 가 참이 되도록 하는 자연수 의 모든 값의 합을 구하시오. 어떤 에 대하여 이다. 15. 15)직선 위의 점 A 를 직선 에 대하여 대칭이동한 점과 원점에 대하여 대칭이동한 점을 각각 B , C 라고 하자. 점 A 의 좌표를 라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (1) 점 B 의 좌표를 를 사용하여 나타내시오. (2) 삼각형 ABC 의 무게중심 G 의 좌표가 G
일 때, 점 A 의 좌표를 구하시오. (단, 점 A 는 제 사분면 위의 점이다.) 16. 16)다음 명제 , 에 대하여 물음에 답하시오.
은 유리수가 아니다.
은 유리수가 아니다. (1) 명제 가 참임을 귀류법을 이용하여 증명하되, 다음 제시된 명제가 참임을 이용하여 서술하시오. 자연수 에 대하여 이 의 배수이면 도 의 배수이다. (2) 명제 가 참임을 증명하되, 위 (1)의 결과와 귀류법을 모두 이용하여 서술하시오.정답 (고양국제고) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) (1) 필요충분조건 (2) 필요조건 13) 14) (1) 는 의 약수이고 이다. (2) 모든 에 대하여 ≥ 이다. 15) (1) (2) 16) (1) (2)