01
IV.
집합과 명제
집합
CHAPTER1
STEP교과서 기본 문제
pp 6~7
1 2 A={-2 2} B={1 2 3 4 5} 3u {a} {b} {c} {a b} {b c} {a c} 4 1024 1023 32 128 5 6A'B={1 4} 7 , . ; ' ; 83 52
STEP풀이
핵심 강의
pp 8~16
1 2 34 4 53 611 7 8 98 10 11 1214 13 14 1568 16 17 18 19 20 21 22 23 2442 2512 263 27220
1
문제 속 조건 찾기 A={(x, y)|ax+by=3} (1 1)<A (2 -1)<A a+b=3 2a-b=3 조건으로 문제 풀기 (1 1)<A a+b=3 yy (2 -1)<A 2a-b=3 yy a=2 b=1 a¤ +b¤ =2¤ +1¤ =5 조건확장0
2
문제 속 조건 찾기 A={-1 1 3} B=[x|x= a<A b<A] 조건으로 문제 풀기 ⁄a=-1 ⁄b -1 1 3 ⁄ =-1 =-1 =-9 ¤a=1 ⁄b -1 1 3 ⁄ =1 =1 =9 ‹a=3 ⁄b -1 1 3 ⁄ =;3!; =;3!; 3¤ =3 3 1¤ 3 (-1)¤ 3 b¤ a 3¤ 1 1¤ 1 (-1)¤ 1 b¤ a 3¤ -1 1¤ -1 (-1)¤ -1 b¤ a b¤ a 12 1 2 3 4 6 12 5 4 6 U=A AÇ u=A;AÇ , . ; ' ; '1
x¤ =4 x¤ -4=(x-2)(x+2)=0 x=-2 x=2 A={-2 2} 5 1 2 3 4 5 B={1 2 3 4 5} A={-2 2} B={1 2 3 4 5}2
u {a} {b} {c} {a b} {b c} {a c} u {a} {b} {c} {a b} {b c} {a c}3
2⁄ ‚ =1024 2⁄ ‚ -1=1024-1=1023 A 2 2 4 6 8 10 5 2⁄ ‚ —fi =2fi =32 A 3 3 6 9 3 2⁄ ‚ —‹ =2‡ =128 1024 1023 32 1284
A;B={2 4} A'B={1 2 3 4 5 6 8 10} A-B={6 8 10} AÇ =U-A={1 2 3 4 y 9 10}-{2 4 6 8 10} ={1 3 5 7 9}5
AÇ ;BÇ =(A'B)Ç =U-(A'B)={2 3 5}
{1 2 3 4 5}-(A'B)={2 3 5} A'B={1 4} A'B={1 4}
6
n(A-B)=n(A)-n(A;B)=5-2=3 n(B-A)=n(B)-n(A;B)=7-2=5 3 58
A'B=B A B A;B=B A B A-B=A;B Ç . ,7
0
3
문제 속 조건 찾기 A={-1, 1, 2}, B={-3, 0, k} C={a¤ +b¤ |a<A, b<B} C A B 20<C k 조건으로 문제 풀기 C (-1)¤ +(-3)¤ =10, (-1)¤ +0¤ =1 (-1)¤ +k¤ =k¤ +1, 1¤ +(-3)¤ =10 1¤ +0¤ =1, 1¤ +k¤ =k¤ +1 2¤ +(-3)¤ =13, 2¤ +0¤ =4 2¤ +k¤ =k¤ +4 20<C k¤ +1=20 k¤ +4=20 k k¤ +4=20 k=4 4 ¤a¤ -2a-1=2(a+1)(a-3)=0 a=-1 a=3
a=-1 A={2 3} B={-1 2 8} A¯B
a=3 A={2 3} B={2 3 8} A,B
⁄ ¤ a=3 3
0
4
문제 속 조건 찾기 A={x|x 6 } B={x|x n } A B A,B A+B 조건으로 문제 풀기 A={1 2 3 6} B={x|x n } A,B A+B n 1 2 3 6 A+B n+6 n 12 조건확장 조건확장0
5
문제 속 조건 찾기A={2 a¤ -2a} B={a a¤ -2a-1 8} A,B
2<A 2<B
조건으로 문제 풀기
A,B 2<A 2<B
a=2 a¤ -2a-1=2
⁄a=2 A={0 2} B={-1 2 8} A¯B 조건확장
0
6
문제 속 조건 찾기 A={x||x-5|<2} B={x|x¤ +ax+b<0} A,B B,AA,B B,A A=B
조건으로 문제 풀기 A |x-5|<2 -2<x-5<2 3<x<7 A={x|3<x<7} A=B A=B B x¤ +ax+b<0 3<x<7 x¤ +ax+b=(x-3)(x-7)=x¤ -10x+21 a=-10 b=21 a+b=-10+21=11 11 ⁄~‹ B=[-9 -1 ;3!; 1 3 9] -9-1+;3!;+1+3+9=;;¡3º;; 조건확장
0
7
문제 속 조건 찾기 A={a b c d e f} X,A a<X b≤X X a b A 조건으로 문제 풀기 X a b A X 26-1-1 =2› =16 조건확장0
8
문제 속 조건 찾기 A={1 3 5 7} X,A X A {1 3}¯X 조건으로 문제 풀기 X A={1 3 5 7} X 1 3 1 3 조건확장⁄ A 1 3 2› —⁄ —⁄ =2¤ =4 ¤ A 3 1 2› —⁄ —⁄ =2¤ =4 ‹ A 1 3 2› —¤ =2¤ =4 ⁄ ‹ X 4+4+4=12
0
9
문제 속 조건 찾기 A={x|x 3 } B={x|x 6 } 1 B,X,A 조건으로 문제 풀기 A={x|x 3 } ={1 2 4 5 7 8} B={x|x 6 } ={1 5 7} {1 5 7},X,{1 2 4 5 7 8} X {1 2 4 5 7 8} 1 5 7 X 2fl —‹ =2‹ =8 8 조건확장10
문제 속 조건 찾기 U={-1 0 1 2 3 4 5 6} A={0 1 2 3 4} B={2 3 4 5} A-BÇ BÇ =U-B 조건으로 문제 풀기 BÇ =U-B ={-1 0 1 2 3 4 5 6}-{2 3 4 5} ={-1 0 1 6} A-BÇ ={0 1 2 3 4}-{-1 0 1 6}={2 3 4} A-BÇ 3 [참고]A-BÇ =A;(BÇ )Ç =A;B ={0 1 2 3 4};{2 3 4 5} ={2 3 4} 조건확장
13
문제 속 조건 찾기 A={x|x } B;C={x|x 15 } (A;BC )'(A;CC ) (A;BC )'(A;CC )=A;(BC' CC ) =A;(B;C)C 조건확장11
문제 속 조건 찾기 U={1 2 3 4 5 6 7}A;BÇ ={1 4} B-A={3} (A'B)Ç ={6}
조건으로 문제 풀기 U A B A;B={2 5 7} A;B 2+5+7=14 A 6 1 4 2 5 7 3 B U
12
문제 속 조건 찾기 (B-A)C={1 3 5 7 9} U-(A;B)={1 2 4 8 9} AC;B 조건으로 문제 풀기 (B-A)C U-(A;B) AC ;B AC; B={U-(A;B)}-(B-A)C ={1 2 4 8 9}-{1 3 5 7 9} ={2 4 8} AC; B 2+4+8=14 14 U A B AC ;B U A B (B-A)C U A B U-(A;B)14
문제 속 조건 찾기 U={1 2 3 4 y 9} A;C={1 3 6 9} B={x|x } (A'B)Ç '(B'C)Ç (A'B)Ç '(B'C)Ç ={(A'B);(B'C)}Ç 조건으로 문제 풀기 B={x|x }={2 4 6 8} (A'B)Ç '(B'C)Ç ={(A'B);(B'C)}Ç ={(A'B);(C'B)}Ç ={(A;C)'B}Ç yy` (A;C)'B={1 3 6 9}'{2 4 6 8}={1 2 3 4 6 8 9} (A'B)Ç '(B'C)Ç ={(A;C)'B}Ç ={5 7} (A'B)Ç '(B'C)Ç 2 조건확장 조건으로 문제 풀기 A={1 3 5 7 9 11 13 15} B;C={1 3 5 15} (B;C)C =U-(B;C)={2 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14} (A;BC )'(A;CC ) =A;(BC' CC ) =A;(B;C)C ={1 3 5 7 9 11 13 15};{2 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14} ={7 9 11 13} (A;BC )'(A;CC ) 416
문제 속 조건 찾기 U A B A,BA,B,U A,B A-B=Ø
조건으로 문제 풀기 A,B A-B=Ø {(A-B)'BC };AC =(Ø'BC );AC =BC ;AC A,B BC ,AC BC ;AC =BC
17
문제 속 조건 찾기 {(A-B)'(A;B)}'B=B A'B=B A,B 조건으로 문제 풀기 {(A-B)'(A;B)}'B={(A;BC)'(A;B)}'B ={A;(BC'B)}'B =(A;U)'B=A'B=B A'B=B A,B 조건확장 조건확장18
문제 속 조건 찾기 (A-B)C -AC =B A;B=B B,A 조건으로 문제 풀기(A-B)C-AC=(A-B)C;(AC)C=(A;BC)C;A =(AC'B );A=(AC;A)'(B;A) =u'(A;B)=A;B=B A;B=B B,A 조건확장
19
문제 속 조건 찾기 A'B={1 2 3 4 5 6 7} A;B={2 4 7} (A-B)'(B-A) (A-B)'(B-A)=(A'B)-(A;B) 조건으로 문제 풀기 (A-B)'(B-A) U A B 조건확장15
문제 속 조건 찾기 N A={x|x 50 } B={x|x } C={x|x 3 } (A'B'C)C (A'B'C)C =AC ;BC ;CC 조건으로 문제 풀기 (A'B'C)C =AC; BC; CC 50 3 (A'B'C)C 52 56 58 62 64 68 y 68 68 조건확장20
문제 속 조건 찾기
A={1 2 a¤ -1} B={3 a a-1} (A'B);(A;B)Ç =Ø 조건으로 문제 풀기 (A'B);(A;B)Ç =(A'B)-(A;B)=Ø (A'B),(A;B) (A'B).(A;B) A'B=A;B A=B
3<B 3<A a¤ -1=3 (a+2)(a-2)=0
a=-2 a=2 ⁄a=-2 A={1 2 3} B={-3 -2 3} A+B ¤a=2 A={1 2 3} B={1 2 3} A=B ⁄ ¤ a 2 A'B A;B (A'B)-(A;B) (A-B)'(B-A)=(A'B)-(A;B) ={1 2 3 4 5 6 7}-{2 4 7} ={1 3 5 6} (A-B)'(B-A) 1+3+5+6=15 p=n(U) B=U (A-B)'(B-A)=(A-U)' (U-A) =u'AC =AC (A-B)'(B-A) AC p=n(AC )
21
문제 속 조건 찾기 (A-B)'(B-A) 조건으로 문제 풀기 A=B (A-B)'(B-A)=(A-A)'(A-A) =u'u =u (A-B)'(B-A) 0 p=0 B=AC (A-B)'(B-A)=(A-AC )'(AC -A) =(A;A)'(AC ;AC ) =A'AC =U (A-B)'(B-A) U 개념 확인 U A B A;B=ØHjK A-B=A HjK B-A=B HjK A,BC HjK B,AC HjK n(A;B)=022
문제 속 조건 찾기n(U)=30 n(A)=14 n(B)=12 n(AC;BC)=10 n(AC;BC)=n((A'B)C) =n(U)-n(A'B) 조건으로 문제 풀기 n(AC; BC )=n((A'B)C ) =n(U)-n(A'B) 10=30-n(A'B) n(A'B)=20 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) 20=14+12-n(A;B) n(A;B)=6
23
문제 속 조건 찾기 U={1 2 3 y 100} 2 3 5 A B C A;B 6 A;C 10 조건으로 문제 풀기 A 2 B 3 C 5 A;(B'C)=(A;B)'(A;C) A;B A;C 6 10 (A;B);(A;C) 30n(A;B)=16 n(A;C)=10 n((A;B);(A;C))=3 조건확장
25
문제 속 조건 찾기 35 1 18 2 15 8 U 1 A 2 B 1 A-B 조건으로 문제 풀기 35 U 1 2 A B 1 A-Bn(U)=35 n(A)=18 n(B)=15 n(AC;BC)=8 n(AC;BC)=n((A'B)C) =n(U)-n(A'B) =35-n(A'B) =8 n(A'B)=35-8=27 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) n(A;B)=18+15-27=6 n(A-B)=n(A)-n(A;B) =18-6=12 12
24
문제 속 조건 찾기 n(A'B)=22 n(A)=3_n(B) n(A;BC )=6 n(A;BC )=n(A)-n(A;B)=6 조건으로 문제 풀기 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) 22=3_n(B)+n(B)-n(A;B) 22=4_n(B)-n(A;B) yy A;BC =A-B=A-(A;B) n(A;BC )=n(A)-n(A;B) n(A;B)=n(A)-n(A;BC ) =3_n(B)-6 yy 22=4_n(B)-{3_n(B)-6} n(B)=16 n(A;B)=3_n(B)-6=3_16-6=42 42 조건확장 조건확장 n(A;(B'C))=n((A;B)'(A;C)) =n(A;B)+n(A;C) -n((A;B);(A;C)) =16+10-3=2326
문제 속 조건 찾기 40 25 20 12 조건으로 문제 풀기 U A Bn(U)=40 n(A)=25 n(B)=20 n(B-A)=12 n(A;B)=n(B)-n(B-A) =20-12=8 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =25+20-8 =37 n(AC ;BC )=n((A'B)C ) =n(U)-n(A'B) =40-37=3 3 3
27
문제 속 조건 찾기 40 A 26 B 18 A B 조건으로 문제 풀기 U A A B B n(U)=40 n(A)=26 n(B)=18 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) n(A'B)=26+18-n(A;B) n(A;B)=44-n(A'B) ⁄n(A;B) n(A'B)=n(U)=40 n(A;B)=44-40=4 m=4 ¤n(A;B) n(A)>n(B) A.B n(A;B)=n(B)=18 M=18 ⁄ ¤ M+m=18+4=22 223
STEP실력 완성
practice
pp 17~20
1 2 3 4 5 611 7 8 94 1024 11 12 1364 14 15 1694 17 189 195 200
1
집합의 표현 문제 속 조건 찾기 A={2 3} B={x|x=2p+1, p<A} C={y|y=x¤ -x, x<B} D={(x, y)|n¤ =x+y, x<B, y<C, n }p=2 3 B={5 7} x=5 7 C={20 42} 조건으로 문제 풀기 B p=2 3 B={5 7} C x=5 7 C={20 42} D (x y) x+y (5 20) (7 42) 2 fix=16 =1 A 16 1 ⁄~fi A {4} {1 16} {2 8} {1 4 16} {2 4 8} {1 2 8 16} {1 2 4 8 16} 7 16 x y x 5 7 20 25 27 42 47 49 조건확장
0
2
집합의 표현 문제 속 조건 찾기 A x A A x 조건으로 문제 풀기 A x x 16 1 2 4 8 16 ⁄x=1 =16 A 1 16 ¤x=2 =8 A 2 8 ‹x=4 =4 A 4 ›x=8 =2 A 8 2 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 16 x 조건확장 개념 확인 (A;B);C=A;(B;C), (A'B)'C=A'(B'C)0
3
집합의 연산 문제 속 조건 찾기A={1 5 a¤ -a-b} B={2 b-3 a¤ +4a+7} A;BC ={1} a b n(A)=n(B)=3 조건으로 문제 풀기 A;BC={1} A;B=A-(A;BC) ={1 5 a¤ -a-b}-{1} ={5 a¤ -a-b} 5<B ⁄b-3=5 b=8
A={1 5 a¤ -a-8} B={2 5 a¤ +4a+7}
a¤ -a-8=a¤ +4a+7 5a=-15 a=-3
a=-3 b=8 a+b=-3+8=5
¤a¤ +4a+7=5
a¤ +4a+2=0 a=-2—'2
a ⁄ ¤ a+b 5
0
4
집합의 연산 문제 속 조건 찾기 A=[x|| -1|…2] | -1|…2 -2…x…6 B={x|(x-a)(x-b)>0} a<b (x-a)(x-b)>0 x<a x>b A'B=R A-B={x|-2…x…4} 조건으로 문제 풀기 | -1|…2 -2… -1…2 -1… x…3 -2…x…6 2 x 2 x 2 x 2 x 2 조건확장 조건확장A={x|-2…x…6}
(x-a)(x-b)>0 a<b x<a x>b B={x|x<a x>b} A'B=R aæ-2 b…6 A-B=A;BC ={x|-2…x…4} BC ={x|a…x…b} a=-2 b=4 b-a=4-(-2)=6 a b 6 -2 B A a b 6 -2 B A B
0
6
집합의 연산과 벤다이어그램 문제 속 조건 찾기 A;B=B B,A AC ;CC ={6 8} AC ;CC =(A'C)C ={6 8} A-B={4 5} B-C={1} C-A={3 7} (A;C)-(A;BC ) 조건확장 조건확장 조건확장 개념 확인 (A;B);C=A;(B;C), (A'B)'C=A'(B'C)0
5
집합의 연산 문제 속 조건 찾기 A;B=Ø A B 조건으로 문제 풀기 A;(A'B)C=A;(AC;BC) =(A;AC);BC =Ø;BC =Ø A (A'B)C (A;BC);B=A;(BC;B) =A;Ø=Ø A;BC B (A;B);(A;BC)=A;(B;BC) =A;Ø=Ø A;B A;BC 조건으로 문제 풀기 A;B=B B,A AC; CC =(A'C)C ={6 8} A-B={4 5} B-C={1} C-A={3 7} A B C (A;C)-(A;BC ) ⁄ (A;C)-(A;BC )={2 4 5 9}-{4 5}={2 9} ¤ (A;C)-(A;BC )={2 9}-{4 5}={2 9} ‹ (A;C)-(A;BC )={2 4 9}-{4 5}={2 9} › (A;C)-(A;BC )={2 5 9}-{4 5}={2 9} ⁄~› (A;C)-(A;BC ) 2+9=11 11 6, 8 1 2 3, 7 9 4 5 U B C A 6, 8 1 2 3, 7 9 4 5 U B C A 6, 8 1 3, 7 4, 5 2 9 U B C A 1 3, 7 6, 8 2 9 4 5 U B C A0
7
집합의 연산 문제 속 조건 찾기 A={x|-2…x…-2k} B={x|k…x<8} (A'B)-B=Ø (A'B),B A,B k 조건으로 문제 풀기 (A'B)-B=A-B A-B=Ø A,B A B 조건확장 조건확장aæ5 A;B=Ø
A'B={2 3 4 a a+1 a+2} n(A'B)=6 a 4 4
0
8
부분집합의 개수 문제 속 조건 찾기 A={a b c} C,B,A B n(B)=3 n(B)=2 n(B)=1 n(B)=0 조건으로 문제 풀기 ⁄B={a b c} n(B)=3 C,B 2‹ =8 ¤B={a b} {b c} {c a} n(B)=2 2¤ _3=12 ‹B={a} {b} {c} n(B)=1 2⁄ _3=6 ›B=Ø 1 ⁄ › 8+12+6+1=27 조건확장0
9
부분집합의 개수 문제 속 조건 찾기A={2 3 4} B={a a+1 a+2}
A'B 32 A'B 32=2fi n(A'B)=5 a 조건으로 문제 풀기 A'B 32=2fi n(A'B)=5 a a=1 B={1 2 3} A'B={1 2 3 4} n(A'B)=4 a=2 B={2 3 4} A'B={2 3 4} n(A'B)=3 a=3 B={3 4 5} A'B={2 3 4 5} n(A'B)=4 a=4 B={4 5 6} A'B={2 3 4 5 6} n(A'B)=5 조건확장
10
부분집합의 개수 문제 속 조건 찾기 U={1 2 3 4 5 6} {3};A+Ø {3};A+Ø 3<A {1 2 4}'A+U {1 2 4}'A+U A 3 5 6 조건으로 문제 풀기 {3};A+Ø 3<A {1 2 4}'A+U A 5 6 A U 3 5 6 U 3 2fi =32 yy U 3 5 6 2‹ =8 yy A 32-8=24 yy 24 조건확장 조건확장11
부분집합의 개수 문제 속 조건 찾기 U={1 2 3 4 5 6 7} U 2‡ =128 X 27-4 =2‹ =8 n(X)…5 조건으로 문제 풀기 U 2‡ =128 27-4=2‹ =8 X 128-8=120 U 3 40 % U 3 5 6 40 % A 20 % k k…-2 -2k<8 -4<k…-2 k -3 -2 2 A B -2k -2 k 8 x 조건확장 조건확장12
부분집합의 개수 문제 속 조건 찾기 A={x|x } B={x|x 4 } A;X+u B;X=u 조건으로 문제 풀기 A={1 3 5 7} B={1 2 4} {1 3 5 7};X+u X 1 3 5 7 {1 2 4};X=u X 1 2 4 X {3 5 6 7} 3 5 7 2› -2⁄ =16-2=1413
부분집합의 개수 문제 속 조건 찾기 U={x|x 10 } C A'B={1 3 4 5 6 7 9} A;B={3 4 9} A'C=B'C A-B,C B-A,C 조건으로 문제 풀기A'C=B'C A-B,C B-A,C
((A-B)'(B-A)),C (A-B)'(B-A)=(A'B)-(A;B) ={1 3 4 5 6 7 9}-{3 4 9} ={1 5 6 7} C,U {1 5 6 7},C,{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} C 210-4 =2fl =64 64 조건확장
14
집합의 연산의 활용 문제 속 조건 찾기 X S(X)U={1 2 3 4 5} A B A'B=U A;B=Ø
S(A'B)=S(A)+S(B)=S(U) 조건으로 문제 풀기 A'B=U A;B=Ø S(A'B)=S(A)+S(B) =S(U) S(U)=1+2+3+4+5=15 S(A)=x S(B)=15-x S(A)S(B)=x(15-x) S(A)¥S(B)=-{x- }¤ + x= S(A)S(B) x x=7 x=8 S(A)S(B) 56 15 2 225 4 15 2 조건확장
15
집합의 원소의 개수 문제 속 조건 찾기 n(A;B)=p n(U-(AC; B)C )=q U-(AC; B)C =((AC; B)C )C 조건으로 문제 풀기 U-(AC;B)C=((AC;B)C)C =AC;B=B-A n(B-A)=q n(B)=n(A;B)+n(B-A) =p+q 조건확장16
집합의 원소의 개수 문제 속 조건 찾기 A={a|a=x¤ +x x<X} B={b|b<A b 3 } X;BC 조건으로 문제 풀기 a=x¤ +x=x(x+1) X x A x=1 a=1_(1+1)=2 x=2 a=2_(2+1)=2_3 x=3 a=3_(3+1)=3_4 x=4 a=4_(4+1)=4_5 x=5 a=5_(5+1)=5_6 n(X)=6 X {1 2 3 4 5 6} {1 2 3 4 5 7} y {2 3 4 5 6 7} 7 n(X)…5 n(X)=7 X {1 2 3 4 5 6 7} 1 n(X)…5 X 120-(7+1)=112x=100 a=100_(100+1)=100_101 A={2 2_3 3_4 4_5 y 100_101} yy X;BC =X-B=X-(X;B) X;B 100 A 3 X;B={2_3 3_4 5_6 6_7 8_9 9_10} ={6 12 30 42 72 90} yy n(X;BC )=n(X)-n(X;B)=100-6=94 yy 94 =n(U)-n(A)-n(B) p=n(U)-n(A)-n(B) A 30 % X;B 40 % X;BC 30 %
17
집합의 원소의 개수 문제 속 조건 찾기 (A'BC );(B'AC ) 조건으로 문제 풀기 B=AC (A'BC );(B'AC )=(A'(AC )C );(AC 'AC ) =(A'A);(AC 'AC ) =A;AC =u (A'BC );(B'AC ) 0 p=0 B=u (A'BC );(B'AC )=(A'uC );(u'AC ) =(A'U);(u'AC ) =U;AC =AC n((A'BC );(B'AC ))=n(AC )=n(U)-n(A) p=n(U)-n(A) A B A;B=u A'BC =BC B'AC =AC (A'BC );(B'AC )=BC ;AC =(A'B)C =U-(A'B) n((A'BC );(B'AC ))=n((A'B)C ) =n(U)-n(A'B)18
집합의 원소의 개수 문제 속 조건 찾기 n(A)=16 n(B)=18 n(C)=30 n(A;B)=8 n(A;B;C)=3 n(AC;BC;C) 조건으로 문제 풀기 xæ0 yæ0 8-xæ0 10-yæ0 0…x…8 0…y…10 0…x+y…18 AC; BC; C=C;(A'B)C =C-(A'B) n(AC; BC; C)=n(C-(A'B))=27-x-y=27-(x+y) 9…27-(x+y)…27 n(AC; BC; C) 9 9 A 8-x 10-y y 27-x-y x 5 3 B C19
집합의 원소의 개수의 활용 문제 속 조건 찾기 35 20 U A n(U)=35 n(A)=20 25 B n(B)=25 15 n(A;B)=15 조건으로 문제 풀기 U A B A;B (A'B)Cn(U)=35 n(A)=20 n(B)=25 n(A;B)=15
yy n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =20+25-15=30 yy n((A'B)C )=n(U)-n(A'B) =35-30=5 yy 5 조건확장 조건확장 조건확장
프리미엄 특급 문항!
p 21
21
집합의 연산의 활용 문제 속 조건 찾기 A«={x|x n } A£;A«=A£« A£;A« 3 n 60<(A£-A«) 60<A£ 60≤A« 조건으로 문제 풀기 A£;A« 3 n A£« 3n A£;A«=A£« 3 n n 3 {1 2 3 4 y 60}-{3 6 9 12 y 57 60}60<(A£-A«) 60<A£ 60≤A« n 60 {1 2 3 4 y 60}-{1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60} 60 n 3 60 60 3 1 2 4 5 10 20 n 40-6=34 34
22
문제 속 조건 찾기 n(A)=5 B=[ |x<A] A 40 A'B 66 A;B={8 11} 조건으로 문제 풀기 A={x¡ x™ x£ x¢ x∞} x¡+x™+x£+x¢+x∞=40 B=[ ] B (x¡+x™+x£+x¢+x∞)+ _5 = + = A'B A B A;B 90 a 50 a 40 a 10 a 1 a x∞+10 a x¢+10 a x£+10 a x™+10 a x¡+10 a x+10 a 20 % 50 % 30 %20
집합의 원소의 개수의 활용 문제 속 조건 찾기 30 35 28 37 4 조건으로 문제 풀기 A B C a b c d e f g n(A)=a+d+f+g n(B)=b+d+e+g n(C)=c+e+f+g n(A)+n(B)+n(C)=30+35+28=93 a+b+c+2(d+e+f)+3g=93 yy 37 a+b+c=37 4 g=4 d+e+f 37+2(d+e+f)+12=93 2(d+e+f)=44 d+e+f=22 22 a b c d f e A C B g 조건확장 조건확장 조건확장66=40+ -(8+11) =45 a= =2 A={x¡ x™ x£ 8 11} B=[ ] B=[ 9 ] A;B={8 11} =8 =11 x¡=6 x™=12 A={6 12 x£ 8 11} B=[8 11 9 ] A 40 6+12+x£+8+11=40 x£=3 A={3 6 8 11 12} B=[ 8 9 11] A 12 B Mm=12_13=78 78 2 13 2 21 2 13 2 21 2 x£+10 2 x™+10 2 x¡+10 2 21 2 x£+10 2 x™+10 2 x¡+10 2 11+10 2 8+10 2 x£+10 2 x™+10 2 x¡+10 2 90 45 90 a 90 a
02
IV.
집합과 명제
명제
CHAPTER1
STEP교과서 기본 문제
pp 22~23
1 2 3 4 5 6 7 8 98 6 1 2 3 6 9 1 3 9 x 6 x 9 2x-3=1 2x=4 x=2 x¤ =4 x=-2 x=2 2x-3=1 x¤ =41
U |x|…3 P P={-3 -1 1 3} P=U U x |x|…3 U x¤ <1 Q Q=u U x x¤ <13
p⁄ q P,Q Qc,Pc2
ab=0 a=0 a=0 ab=0 a+0 ab+04
p⁄ ~q q⁄ ~p5
p⁄ q q⁄ p x='2 y=-'2 x+y='2-'2=0 x y6
x¤ =3x x¤ -3x=0 x(x-3)=0 x=0 x=3 pHjjK q x¤ =4 x¤ -4=0 (x-2)(x+2)=0 x=-2 x=2 p⁄ q q⁄ p
2
STEP풀이
핵심 강의
pp 24~32
1 2 33 4 5 6 7 8 94 10 11 124 13 14 157 16 17 18 19 20 2111 22 23 24 25 26 27a¤ -ab+b¤ ={a-;2B;}¤+;4#;b¤
{a-;2B;}¤ æ0 ;4#;b¤ æ0 a¤ -ab+b¤ æ0
{ a-;2B;=0 ;4#;b¤ =0 a=b=0 }
7
2a+;a*;æ2Æ…2a_;a*; 2a+;a*;=2'ß16 =8 { 2a=;a*; a=2 } 89
(|a|+|b|)¤ -|a+b|¤ =|a|¤ +2|a||b|+|b|¤ -(a+b)¤ (|a|+|b|)¤ -|a+b|¤=a¤ +2|ab|+b¤ -a¤ -2ab-b¤ (|a|+|b|)¤ -|a+b|¤=2(|ab|-ab)
|ab|æab 2(|ab|-ab)æ0 (|a|+|b|)¤ æ|a+b|¤ |a|+|b|æ0 |a+b|æ0 |a|+|b|æ|a+b|
8
0
1
문제 속 조건 찾기 x y z x=y=z x=y=z x y z 조건으로 문제 풀기 x y z x=y=z x y z x y z x=y=z x=y=z x y z 조건확장0
2
문제 속 조건 찾기 p |x|>1 q x<-2 ~p q ~p q p ~q 조건으로 문제 풀기 p q p q p |x|>1 q x<-2 p x>1 x<-1 q xæ-2 p ~q x -2…x<-1 x>10
3
문제 속 조건 찾기 p |x|>5 q x¤ -6x-16>0 p ~q p ~q ~p q 조건으로 문제 풀기 p ~q ~p q |x|>5 x<-5 x>5 ~p -5…x…5 x¤ -6x-16…0 (x+2)(x-8)…0 -2…x…8 q -2…x…8 ~p q x -2…x…5 a=-2 b=5 a+b=(-2)+5=3 3 조건확장0
4
문제 속 조건 찾기 p x 20 q x 5 p1∞ ~q p x ~q x 조건으로 문제 풀기 p1∞ ~q x 20 x 5 p1∞ ~q x 20 5 20 1 2 4 5 10 20 U 5 10 20 5+10+20=35 조건확장 조건확장0
5
문제 속 조건 찾기 a b p q P Q p⁄ q P,Q 조건으로 문제 풀기 a>b>0 ;a!;<;b!;a=1 b=0 ab=1_0=0 a+0
a b a¤ +b¤ =0 a=0 b=0 a+b=0
a¤ +b¤ =0 a+b=0
0
6
문제 속 조건 찾기 3 조건으로 문제 풀기 ⁄ ¤ ‹ ‹ ⁄~‹ 조건확장 조건확장0
7
문제 속 조건 찾기 p q r P Q R Q,P R,PÇ R,QÇ 조건으로 문제 풀기 Q,P q⁄ p p⁄ q 조건확장 R,PÇ r⁄ ~p ~p⁄ r P¯QÇ P˘QÇ p⁄ ~q R,QÇ r⁄ ~q QÇ ¯RÇ QÇ ˘RÇ ~q⁄ ~r0
8
문제 속 조건 찾기 p x¤ -3x-10+0 q x¤ -3x-10…0 p q P Q P,Q p⁄ q 조건으로 문제 풀기 p q P Q x¤ -3x-10+0 (x+2)(x-5)+0 x+-2 x+5 P={x|x x+-2 x+5} x¤ -3x-10…0 (x+2)(x-5)…0 -2…x…5 Q={x|-2…x…5} P¯Q p1∞ q PC ={x|x=-2 x=5} QC ={x |x<-2 x> 5} PC¯ QC ~p1∞ ~q Q¯PC q1∞ ~p Q¯P q1∞ p PC, Q ~p1∞ q 조건확장0
9
문제 속 조건 찾기 p x¤ -x-20…0 q |x|>a ~p1∞ q p q P Q PC, Q 조건으로 문제 풀기 p q P Q x¤ -x-20…0 (x+4)(x-5)…0 -4…x…5 P={x|-4…x…5} |x|>a x<-a x>aQ={x|x<-a x>a} PC
={x|x<-4 x>5} 조건확장
~p1∞ q PC,Q
-4…-a a…5 a…4 a 1 2 3 4
4 4 -a a 5 -4 PC PC Q Q x (x+2k)¤ æk¤ +2k-3 x¤ +4kx+4k¤ æk¤ +2k-3 x¤ +4kx+3k¤ -2k+3æ0 x¤ +4kx+3k¤ -2k+3=0 D =(2k)¤ -(3k¤ -2k+3) =k¤ +2k-3 =(k+3)(k-1)…0 -3…k…1 k 1 -3 M-m=1-(-3)=4 4 D 4
10
문제 속 조건 찾기 x x¤ -2x-3>0 x x¤ -2x-3>0 x x¤ -2x-3…0 조건으로 문제 풀기 x x¤ -2x-3>0 x x¤ -2x-3…0 x¤ -2x-3…0 (x+1)(x-3)…0 -1…x…3 x -1…x…3 조건확장11
문제 속 조건 찾기 x 3x¤ -2kx+4k>0 x 3x¤ -2kx+4k…0 조건으로 문제 풀기 x 3x¤ -2kx+4k>0 x 3x¤ -2kx+4k…0 3x¤ -2kx+4k=0 D =(-k)¤ -3_4k=k(k-12)æ0 k…0 kæ12 k 12 D 4 조건확장12
문제 속 조건 찾기 x (x+2k)¤ <k¤ +2k-3 x (x+2k)¤ æk¤ +2k-3 조건으로 문제 풀기 x (x+2k)¤ <k¤ +2k-3 x (x+2k)¤ æk¤ +2k-3 조건확장13
문제 속 조건 찾기 x¤ -8x-20+0 x-a+0 조건으로 문제 풀기 x¤ -8x-20+0 x-a+0 x=a x¤ -8x-20=0a¤ -8a-20=0 (a+2)(a-10)=0
a=-2 a=10 a -2+10=8 조건확장
15
문제 속 조건 찾기 p a…x q xæ2a-7 p1∞ q p1∞ q ~q1∞~p 조건확장14
문제 속 조건 찾기 p q q p x 조건으로 문제 풀기 x>0 x¤ >0 0 x>0 x>1 0.5>0 0.5<1 x>1 x¤ >x 1 x x 조건확장조건으로 문제 풀기 p q P Q p1∞ q p1∞ q P,Q P={x|a…x} Q={x|xæ2a-7} P,Q 2a-7…a a…7 a 7 7
16
문제 속 조건 찾기 p1∞ q ~q1∞~p q1∞ ~r r1∞ q 조건으로 문제 풀기 p1∞ q ~q1∞~p q1∞ r r1∞ q rjjK~q ~qjjK~p rjjK~p 조건확장 조건확장17
문제 속 조건 찾기 p1∞ ~q P, QC q1∞ ~p ~r1∞ q RCC,Q ~q1∞ r 조건으로 문제 풀기 p1∞ ~q P,QC q1∞ ~p Q,PC ~r1∞ q RC, Q ~q1∞ r QC, R P,QC QC, R P,R P,QC P,R P,(R;QC ) R,PC 조건확장 조건확장18
문제 속 조건 찾기 5 조건으로 문제 풀기 조건확장19
문제 속 조건 찾기 p : xæa q : -1…x…2 xæ4 p q p q P Q P.Q 조건으로 문제 풀기 p q P Q P.Q P={x|xæa} Q={x|-1…x…2 xæ4} a…-1 a -1 조건확장20
문제 속 조건 찾기 p (x-2)¤ =a q x=5 x=b p q p q P Q P=Q 조건확장조건으로 문제 풀기 p x¤ -4x+4-a=0 q x=5 x=b p q 5+b=4 5b=4-a a=9 b=-1 a+b=8
21
문제 속 조건 찾기 p -1<x…9 q -2…x…a r xæb p q p q P Q P,Q r q q r Q R Q,R 조건으로 문제 풀기 p q r P Q R p q P,Q r q Q,R P,Q Q,R aæ9 b…-2 a-b a b a-b 9-(-2)=11 11 -1 b -2 9 a P Q R 조건확장 조건확장23
문제 속 조건 찾기 a b a>b>0 ('a-'b)¤ =a-2'a'b+b a+b=4 조건으로 문제 풀기 P= =;2$;=2 Q¤ -P¤ =('a+'b)¤ -2¤ Q¤ -P¤=(a+2'a'b+b)-4 Q¤ -P¤=(a+b)-4+2'a'b Q¤ -P¤=2'a'b>0 Q¤ >P¤ P>0 Q>0 Q>P yy R¤ -P¤ =('a-'b)¤ -2¤ Q¤ -P¤=(a-2'a'b+b)-4 Q¤ -P¤=(a+b)-4-2'a'b Q¤ -P¤=-2'a'b<0 R¤ <P¤ P>0 R>0 R<P yy R<P<Q a+b 2 조건확장24
문제 속 조건 찾기 a b |a+b|æ|a|-|b| |a|æ|b| |a|<|b| 조건으로 문제 풀기 ⁄|a|æ|b| ⁄(|a+b|)¤ -(|a|-|b|)¤⁄=a¤ +2ab+b¤ -(a¤ -2|a||b|+b¤ )
⁄=2(ab+|a||b|) ⁄=2(ab+|ab|)æ0 ⁄ (|a+b|)¤ æ(|a|-|b|)¤ ⁄ |a+b|æ0 |a|-|b|æ0 ⁄|a+b|æ|a|-|b| ¤|a|<|b| ⁄|a+b|æ0 |a|-|b|<0 ⁄|a+b|>|a|-|b| ⁄ ¤ |a+b|æ|a|-|b| 조건확장
22
문제 속 조건 찾기 a b a¤ +b¤ +1æab+a+b a b a-b a-1 b-1 (a-b)¤ æ0 (a-1)¤ æ0 (b-1)¤ æ0 조건으로 문제 풀기 a¤ +b¤ +1-(ab+a+b) =a¤ +b¤ +1-a-b-ab =;2!;( +2b¤ +2-2a-2b-2ab)=;2!;{(a¤ -2ab+b¤ )+(a¤ -2a+1)+( )}
=;2!;{ ¤ + ¤ + ¤ }æ0 a=b=1 a¤ (b-1) (a-1) (a-b) b¤ -2b+1 2a¤ 조건확장
26
문제 속 조건 찾기 AB 8 APB=90˘ P’A”¤ +P’B”¤ =64 P PA”_P’B’ P’A”>0 P’B”>0P’A”¤ +P’B”¤ æ2øπPA”¤ _P’B”¤ =2P’A”_P’B”
조건으로 문제 풀기
P’A”¤ +P’B”¤ æ2øπPA”¤ _P’B”¤ =2P’A”_PB”
P’A”¤ +P’B”¤ =64 64æ2P’A”_PB” P’A”_PB”…32 P’A”=P’B” PAB ;2!;_P’A”_P’B”=;2!;_32=16
25
문제 속 조건 찾기 a>0 b>0 {a+ }{b+ } {a+ }{b+ }=ab+ + + {a+ }{b+ }={ab+ }+{ + } 조건으로 문제 풀기 {a+ }{b+ }=ab+ + + ={ab+ }+{ + } a>0 b>0 ab>0 >0{ab+ }æ2æ≠ab_ =4 { ab= }
a>0, b>0 >0 >0 + æ2æ≠ _ =4 { = } {ab+ }+{ + }æ4+4=8 {a+ }{b+ } 8 4 b 1 a b a 4a b 4 ab b a 4a b b a 4a b b a 4a b b a 4a b 4 ab 4 ab 4 ab 1 ab b a 4a b 4 ab 4 ab b a 4a b 4 b 1 a b a 4a b 4 ab 4 ab b a 4a b 4 b 1 a 4 b 1 a 조건확장
27
문제 속 조건 찾기 4 m a b a¤ +b¤ =16 조건으로 문제 풀기 a b a¤ +b¤ =16 a>0 b>0æ"ça¤ b¤ a¤ =b¤ a=b
"ça¤ b¤ …;;¡2§;;=8 ab…8 ;2!;ab…4 4 m¤ a¤ +b¤ 2 조건확장 조건확장 조건확장
3
STEP실력 완성
practice
pp 33~36
1 2 3 4 5a 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200
1
명제의 참, 거짓 문제 속 조건 찾기 a b 조건으로 문제 풀기a<b<0 |a|>|b| a¤ =|a|¤ >|b|¤ =b¤ aæ0 bæ0 'a'b='ßab |3|+|-4|æ|3-4| 3æ0 -4…0 조건확장
0
2
명제의 역과 대우 문제 속 조건 찾기 p q q p 조건확장조건으로 문제 풀기
A,B A,C A,(B'C)
a¤ =b¤ a=b a=1 b=-1 1¤ =(-1)¤ =1 1+-1 x+y>0 x>0 y>0 x=3 y=-2 x+y=3+(-2)=1>0 x>0 y<0 ~q {4 5} p ~q {4}
0
4
조건과 진리집합 문제 속 조건 찾기 U={0 1 2 3 4 5} p |x-1|<4 q x¤ …3x p ~q p q P Q P={0 1 2 3 4} QÇ ={4 5} 조건으로 문제 풀기 U p |x-1|<4 p {0 1 2 3 4} q x¤ …3x ~q x¤ >3x x¤ -3x>0 x(x-3)>0 x<0 x>3 조건확장0
3
명제의 참, 거짓 문제 속 조건 찾기 p m+n q mn 조건으로 문제 풀기 m+n mn m+n m n m=2k-1 n=2l(k l ) mn=(2k-1)_2l=2{l(2k-1)} m=2k n=2l-1 k l mn=2k _(2l-1)=2{k(2l-1)} mn p1∞ q mn m+n m=2 n=4 mn=8 m+n=6 q1∞ p mn m+n mn m n m=2k-1 n=2l-1 k l m+n=(2k-1)+(2l-1)=2(k+l-1) m+n ~q1∞ ~p0
5
명제의 참, 거짓 문제 속 조건 찾기 p 3…x…5a-2 q 2a-1…x…4a+1 ~p ~q PC ,QC Q,P 조건으로 문제 풀기 p q P Q ~p2⁄~q PC, QC Q,P yy3…2a-1 4a+1…5a-2 2…a 3…a
aæ3 yy aæ3 조건확장 40 % a 60 %
0
6
명제의 참, 거짓 문제 속 조건 찾기 PÇ ;QÇ =u PÇ ;QÇ =(P'Q)Ç =u P-Q=P P;Q=u P+Q Q+u 조건으로 문제 풀기 PÇ ;QÇ =(P'Q)Ç =u P'Q=U P-Q=P P;Q=u QÇ =P PÇ =Q ~ q1∞ p 조건확장 조건확장0
7
명제의 참, 거짓과 진리집합 문제 속 조건 찾기 p x>2 q x>3-a r x¤ -a¤ >0 p1∞ q p q P Q P,Q q1∞ r q r Q R Q,R 조건확장 조건확장조건으로 문제 풀기 p q r P Q R P={x|x>2} Q={x|x>3-a} p1∞ q P,Q 3-a…2 aæ1 a R={x|x<-a x>a} q1∞ r Q,R a…3-a a…;2#; 1…a…;2#; a ;2#; 1 M+m=;2#;+1=;2%; -a a3-a2 P Q R R
0
8
모든, 어떤을 포함하는 명제 문제 속 조건 찾기 x p 조건으로 문제 풀기 p P x p P+u P,U P U 2fi -1=3110
명제의 참, 거짓 문제 속 조건 찾기 조건으로 문제 풀기 1 2 3 4 1 2 3 4 A B C11
삼단논법 문제 속 조건 찾기 pjjK q p2⁄q pjjK q ~pjjK r ~sjjK ~r 조건으로 문제 풀기 pjjK q ~qjjK ~p ~pjjK r ~rjjK p ~sjjK ~r rjjK s ~qjjK ~p ~pjjK r rjjK s ~qjjK s 1 2 3 4 A B C 조건확장 조건확장0
9
명제의 참, 거짓 문제 속 조건 찾기 |x-p|…2 x 0…x…2 |x-p|…2 P 0…x…2 Q P;Q+Ø 조건으로 문제 풀기 P={x||x-p|…2} Q={x|0…x…2} P;Q+Ø ⁄ ¤ ⁄ ¤ p-2…2 0…p+2 -2…p…4 Q P p-2 0p+2 2 x Q P p-22 p+2 0 x12
삼단논법 문제 속 조건 찾기 p ~r pjjK ~r r q qjjK r 조건으로 문제 풀기 p ~r pjjK ~r pjjK ~r rjjK ~p r q qjjK r rjjK ~p qjjK r qjjK ~p 조건확장 조건확장 조건확장13
충분조건과 필요조건, 필요충분조건 문제 속 조건 찾기 p q p q p2⁄q x y 조건으로 문제 풀기 p q p2⁄qx=1 y=-1 x¤ -y¤ =0 x-y+0
p2⁄q
x y x¤ æ0 y¤ æ0 x¤ +y¤ =0 x=y=0
x+y=0 p2⁄q x=-1 y=-1 |xy|=|(-1)_(-1)|=1=(-1)_(-1)=xy x<0 y<0 p2⁄q p q 조건확장
14
충분조건과 필요조건, 필요충분조건 문제 속 조건 찾기 p -1<x<3 q |x|<a p q p q P Q P,Q 조건으로 문제 풀기 p -1<x<3 q -a<x<a p q-a…-1 aæ3 aæ3
a 3 조건확장 a 1 M=1 R={x|b…x…4} r p R,P bæ1 b 1 m=1 M+m=1+1=2 x 5 b 4 1 x 6 a 1 5
15
충분조건과 필요조건, 필요충분조건 문제 속 조건 찾기 p x¤ -6x+5…0 q a…x…6 r b…x…4 q p p q P Q P,Q r p p r P R R,P 조건으로 문제 풀기 p q r P Q R x¤ -6x+5…0 (x-1)(x-5)…0 1…x…5 P={x|1…x…5} Q={x|a…x…6} q p P,Q a…1 조건확장 조건확장 개념 확인 ▶ 두 조건 p q의 진리집합을 각각 P Q라 하면 p q HjK P,Q p q HjK Q,P p q HjK P=Q16
충분조건과 필요조건, 필요충분조건 문제 속 조건 찾기 p q pjjK q A+Ø B+Ø n(X) X 조건으로 문제 풀기 A={1 2} B={3 4 5} n(A)…n(B) A¯B A={1} B={1 2} n(A-B)=0 n(A)+n(B)A=BC A'B=BC'B=U
p q 조건확장
17
충분조건과 필요조건, 필요충분조건 문제 속 조건 찾기 p q r P Q R p q P,Q p ~q QC, P ~r p RC, P 조건확장 조건확장 조건확장조건으로 문제 풀기 p q P,Q yy p ~q QC, P yy ~r p RC, P QC, P PC, Q P,Q (P'PC ),Q,U U,Q,U Q=U Q=U P,Q RC, P Q;R=U;R=R P;RC =RC +u Q;PC =U;PC =PC PC ,R (Q;PC ),R Q=U P RC
18
부등식의 증명 문제 속 조건 찾기 a b 0<b<a b-a<0 a-b>0 조건으로 문제 풀기 - = - = <0 ( b-a<0) > - = = >0{ a-b>0 a¤ +ab+b¤ ={a+ }¤ + b¤ >0} > - = - = <0 ( b-a<0) > b 1+b a 1+a b-a (1+a)(1+b) b(1+a)-a(1+b) (1+a)(1+b) a 1+a b 1+b b a¤ a b¤ 3 4 b 2 (a-b)(a¤ +ab+b¤ ) a¤ b¤ a‹ -b‹ a¤ b¤ b a¤ a b¤ a+1 b+1 a b b-a b(b+1) b(a+1)-a(b+1) b(b+1) a b a+1 b+1 조건확장
19
산술평균과 기하평균 문제 속 조건 찾기 {2a+;b!;}{b+;a@;} {2a+;b!;}{b+;a@;}=2ab+4+1+ {2a+;b!;}{b+;a@;}={2ab+ }+5 a b 조건으로 문제 풀기 a>0 b>0 {2a+;b!;}{b+;a@;}=2ab+4+1+{2a+;b!;}{b+;a@;}={2ab+ }+5æ2Æ2a¬b¬_¬ +5=9
2ab= ab=1 2 ab 2 ab 2 ab 2 ab 2 ab 2 ab 조건확장 개념 확인 {2a+;b!;}{b+;a@;}æ2Æ2a¬_;b!;_2Æb¬_;a@; =2'2Æ;bA;_2'2Æ;aB;=8 2a=;b!; b=;a@; a b
20
산술평균과 기하평균 문제 속 조건 찾기 10 km 1 1 조건으로 문제 풀기 x km y¡ y¡= (k 0 ) 10 km 1 100= k=1000 y™ y™=lx(l 0 ) 10 km 1 10=10l l=1 x km +x +x 1000 x 1000 x k 10 k x+xæ2æ≠ _x=20'ßß10(km) =x x 10'ßß10(km) 1000 x 1000 x 1000 x 0… a-5<1 2a-4>2 5…a<6 x=2 a-5<0 1<2a-4…2 ;2%;<a…3 5…a<6 ;2%;<a…3 a 3 5 3+5=8 8 -1 1 2 3 2a-4 Q Q R a-5
프리미엄 특급 문항!
p 37
21
문제 속 조건 찾기 p x¤ -2x-3<0 q x¤ +(9-3a)x+2a¤ -14a+20æ0 p q x 조건으로 문제 풀기 p x¤ -2x-3<0 x¤ -2x-3=(x+1)(x-3)<0 -1<x<3 p P P={x|-1<x<3} q x¤ +(9-3a)x+2a¤ -14a+20æ0 x¤ +(9-3a)x+2a¤ -14a+20 =x¤ +(9-3a)x+2(a-2)(a-5) =(x-2a+4)(x-a+5)æ0 q Q a Q ⁄ 2a-4<a-5 a<-1 Q={x|x…2a-4 xæa-5} a-5<-6 P,Q p q x 0 1 2 3 ¤2a-4=a-5 a=-1 Q={x|x } P,Q p q x 0 1 2 3 ‹2a-4>a-5 a>-1 Q={x|x…a-5 xæ2a-4} p q x x=0 -1 0 1 2 3 2a-4 a-5 Q Q R -1 2a-4 a-5 3 Q Q P22
문제 속 조건 찾기 p x¤ -2x-8…0 q a…x…b r c…x…d p q p q P Q P,Q r ~p p r P R R.PC 조건으로 문제 풀기 p q r P Q R x¤ -2x-8=(x+2)(x-4)…0 -2…x…4 U={1 2 3 4 5 6 7 8 9} P,U P={1 2 3 4} p q P,Q Q,U P,Q,U {1 2 3 4},{x|a…x…b},{1 2 3 4 5 6 7 8 9} a b (a b) (1 4) (1 5) (1 6) (1 7) (1 8) (1 9) 6 r ~p R.PC R,U PC,R,U {5 6 7 8 9},{x|c…x…d},{1 2 3 4 5 6 7 8 9} c d (c d) (1 9) (2 9) (3 9) (4 9) (5 9) 5 a b c d (a b c d) 6_5=30 30 조건확장 조건확장X Y
1
{1 2 3 4} {a b c d} {a c d}2
f(-1)=-1+1=0 g(-1)=(-1)‹ +1=0 f(0)=0+1=1 g(0)=0+1=1 f(1)=1+1=2 g(1)=1+1=2 f=g f(-1)=-1-1=-2 g(-1)=-1-2=-3 f(0)=0-1=-1 g(0)=0-2=-2 f(1)=1-1=0 g(1)=1-2=-1 f+g f(-1)=|-1|=1 g(-1)=(-1)¤ =1 f(0)=|0|=0 g(0)=0¤ =0 f(1)=1 g(1)=1¤ =1 f=g f g3
y x=k k4
X x X x5
2+-2 f(2)=f(-2)=46
2
STEP풀이
핵심 강의
pp 43~50
1 2 3 4 59 6 7 826 9 10 11 12 1323 14 15 1614 17 18 196 20 2112 220
1
문제 속 조건 찾기 X Y 조건으로 문제 풀기 X 2 Y 2 X 1 Y X Y X 1 Y 조건확장 조건확장0
2
문제 속 조건 찾기 X Y 조건으로 문제 풀기 y=|x|-x y= X Y y= X 0 1 2 Y -1 0 1 2 x-1 (x…0) x+1 (x>0) [ X 0 1 2 Y -1 0 1 2 X 0 1 2 Y -1 0 1 2 x¤ -1 x+103
V.
함수
함수 (1)
CHAPTER1
STEP교과서 기본 문제
pp 40~42
1 2 3 4 5 6x=2 y=3 3≤Y x=2 Y
0
3
문제 속 조건 찾기
X={a a+1 a+2} f(x)=x¤ -3
f 68
조건으로 문제 풀기
f(a)=a¤ -3
f(a+1)=(a+1)¤ -3=a¤ +2a-2 f(a+2)=(a+2)¤ -3=a¤ +4a+1
f {a¤ -3 a¤ +2a-2 a¤ +4a+1}
f
(a¤ -3)+(a¤ +2a-2)+(a¤ +4a+1) =3a¤ +6a-4
f 68
3a¤ +6a-4=68 a¤ +2a-24=0 (a-4)(a+6)=0 a>0 a=4
0
5
문제 속 조건 찾기 f(1)=2 f(2)=4 X x xf(x) x f(x) x f(x) 조건으로 문제 풀기 x=3 f(3) f(3)=2 f(3)=4 x=4 f(4) f(4)=1 f(4)=2 f(4)=3 f(4)=4 f(4)=1 f {1 2 4} f(4)=2 f {2 4} f(4)=3 f {2 3 4} f(4)=4 f {2 4} f 2+3+4=9 90
4
문제 속 조건 찾기 X={-3 -1 1 a} f(x)=-2x+5 f {-1 3 7 b} 조건으로 문제 풀기 f(-3)=-2_(-3)+5=11 f(-1)=-2_(-1)+5=7 f(1)=-2_1+5=3 f(a)=-2a+5 11<{-1 3 7 b} b=11 f {-1 3 7 11} -2a+5=-1 a=3 a+b=3+11=14 조건확장0
6
문제 속 조건 찾기 f(2x-1)=x+2 조건으로 문제 풀기 2x-1=3 x=2 f(3)=40
7
문제 속 조건 찾기 x f(2x-3)=x¤ -1 2x-3=t f(a)=-1 조건으로 문제 풀기 2x-3=t x= yy f(2x-3)=x¤ -1 f(t)={ }¤ -1= f(a)= =-1 a¤ +6a+5=-4a¤ +6a+9=0 (a+3)¤ =0 a=-3 a¤ +6a+5 4 t¤ +6t+5 4 t+3 2 t+3 2 조건확장
0
9
문제 속 조건 찾기 f(x)=x+3 g(x)= x¤ +x-6=(x+3)(x-2) f g 조건으로 문제 풀기 f g g(x)= g(x)= x+2 f(x)=g(x) x=2 f=g f(2)=2+3=5 g(2)=a=5 [ x+3 (x+2) a (x=2)[
[
(x+2) a (x=2) x¤ +x-6 x-2 (x+2) a (x=2) x¤ +x-6 x-2 조건확장10
문제 속 조건 찾기 f(x)=x¤ -2x+2 g(x)=a|x-1|+b f g f(0)=g(0) f(1)=g(1) f(2)=g(2) 조건으로 문제 풀기 f g f(0)=g(0) 2=a+b f(1)=g(1) 1=b f(2)=g(2) 2=a+b a=1 b=1 2a+b=2_1+1=3 조건확장11
문제 속 조건 찾기 {a b} f(x)=2x¤ -1 g(x)=2x+3 a b f(x)=g(x) 조건으로 문제 풀기 {a b} f(x)=2x¤ -1 g(x)=2x+3 f(a)=g(a) f(b)=g(b) a b f(x)=g(x) f(x)=g(x) 2x¤ -1=2x+3 2x¤ -2x-4=0 2(x-2)(x+1)=0 x=-1 x=2 a+b=(-1)+2=1 조건확장0
8
문제 속 조건 찾기 f(0)=1 x f(x¤ +1)={ f(x)}¤ +1 x=0 x=1 x=2 조건으로 문제 풀기 f(0)=1 x=0 f(1)={ f(0)}¤ +1=2 x=1 f(2)={ f(1)}¤ +1=2¤ +1=5 x=2 f(5)={ f(2)}¤ +1=5¤ +1=26 26 조건확장12
문제 속 조건 찾기 f f y f 조건으로 문제 풀기 f y f f y f f f 조건확장13
문제 속 조건 찾기 f(x)=-x¤ +ax+b G X={-2 -1 0 1 2} G={(x f(x))|x<X} (-1 0)<G (1 4)<G 0=f(-1) 4=f(1) 조건으로 문제 풀기 (-1 0)<G f(-1)=0 f(-1)=-1-a+b=0 a-b=-1 yy (1 4)<G f(1)=-1+a+b=4 a+b=5 yy a=2 b=3 10a+b=10_2+3=23 23 조건확장 조건확장14
문제 속 조건 찾기 X X f(x) {1 2 3} f(2)=1 f(3)=3 f(2)=3 f(3)=1 조건으로 문제 풀기 X={1 2 3} f X X f(1)=2 f(2)=1 f(3)=3 f(2)=3 f(3)=1 f(2)+f(3)=4 조건확장15
문제 속 조건 찾기 R R f(x)=|x-2|+kx+3 f(x) 조건으로 문제 풀기 f(x)=|x-2|+kx+3 ⁄xæ2 f(x)=(x-2)+kx+3=(k+1)x+1 ¤x<2 f(x)=-(x-2)+kx+3=(k-1)x+5 (k+1)(k-1)>0 k k<-1 k>1 조건확장17
문제 속 조건 찾기 X={x|x 10 } f X1⁄ X f(x)=x f f 조건으로 문제 풀기 X={x|x 10 }={2 3 5 7} f X1⁄ X f(x)=x f f f {2 3 5 7} f 2+3+5+7=17 조건확장16
문제 속 조건 찾기 X={x|-1…x…2} Y={y|a…y…2a} X Y f(x)=2x+b f(x) = x¡ x™<X x¡+x™ f(x¡)+f(x™) 조건으로 문제 풀기 X f(x)=2x+b ⁄ = ¤ x¡ x™<X x¡+x™ f(x¡)+f(x™) f(x)=2x+b x y ¤ f(x)=2x+b ⁄ f(-1)=a f(2)=2a -2+b=a 4+b=2a a=6 b=8 a+b=14 14 조건확장18
문제 속 조건 찾기 X={-1 1} Y f(-1)=f(1) 조건으로 문제 풀기 X -1 1 f(-1)=f(1) f(x)=x¤ f(-1)=f(1)=1 f(x)=|x| f(-1)=f(1)=1 f(x)=-x+1 f(-1)=2 f(1)=0 조건확장19
문제 속 조건 찾기 f g h f(2)=g(4)=h(8) f(2)_ f(4)=f(8) 조건으로 문제 풀기 g g(4)=4 f(2)=g(4)=h(8) f(2)=h(8)=4 h h(8)=4 h(x)=4 f(2)_ f(4)=f(8) 4f(4)=f(8) f f(4)=2 f(8)=8 f(4)+h(2)=2+4=6 620
문제 속 조건 찾기 f(1)+f(2)+f(3)=4 조건으로 문제 풀기 f(1)+f(2)+f(3)=4 (f(1) f(2) f(3)) (1 1 2) (1 2 1) (2 1 1) 3 f(1)+f(2)+f(3)=4 f 3 X 1 2 3 1 2 3 Y X 1 2 3 1 2 3 Y X 1 2 3 1 2 3 Y21
문제 속 조건 찾기 f : X={-1 0 1} ⁄ X={-1 0 1} { f(-1)+1}{ f(1)-1}+0 f(-1)+-1 f(1)+1 조건으로 문제 풀기 X={-1 0 1} { f(-1)+1}{ f(1)-1}+0 f(-1)+-1 f(1)+1 X x=-1 f(-1)=0 f(-1)=1 x=0 f(0)=-1 f(0)=0 f(0)=1 x=1 f(1)=-1 f(1)=0 2 3 2 f 2_3_2=12 12 조건확장22
문제 속 조건 찾기 A={-2 -1 0 1 2} A A f f(-x)=f(x) f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) 조건으로 문제 풀기 A f(-x)=f(x) f(-1)=f(1)=a f(2)=f(-2)=b a -2 -1 0 1 2 5 b -2 -1 0 1 2 5 f(0) -2 -1 0 1 2 5 f 5_5_5=125 조건확장3
STEP실력 완성
practice
pp 51~54
1 2 3-;5!;…m…;5#; 4;3!; 5 6 79 8 915 10 11 12 13 14 15 16 173 18 1912 20400
1
함수의 정의 문제 속 조건 찾기 X={1 2 3} Y={-3 -2 -1 0 1 2 3} y=-x+a X Y 조건으로 문제 풀기 f(x)=-x+a f(1)=-1+a f(2)=-2+a f(3)=-3+af {a-3 a-2 a-1}
a-3<a-2<a-1
{a-3 a-2 a-1},{-3 -2 -1 0 1 2 3}
a 0 1 2 3 4 a 4
0
2
정의역, 공역, 치역 문제 속 조건 찾기 f(x)= {-14 -2 2 11} 조건으로 문제 풀기 ⁄x<1 x¤ æ0 f(x)=2+x¤ æ2 f(a)=2 f(b)=11 a<1 b<1 f(a)=2 2+a¤ =2 a¤ =0a=0 f(b)=11 2+b¤ =11 b¤ =9 b<1 b=-3 ¤xæ1 x¤ æ1 f(x)=2-x¤ …1 f(c)=-14 f(d)=-2 cæ1 dæ1 f(c)=-14 2-c¤ =-14 c¤ =16 cæ1 c=4 f(d)=-2 2-d¤ =-2 d¤ =4 dæ1 d=2 ⁄ ¤ f X={a b c d} {-3 0 2 4} X -3+0+2+4=3 2+x¤ (x<1) 2-x¤ (xæ1) [
x "√x¤ +2x+2="√(x+1)¤ +1 "√(x+1)¤ <"√(x+1)¤ +1<"√(x+2)¤ x+1<"√(x+1)¤ +1<x+2 f(x)=x+1 f(3)=4 a=4 f(5)=6 b=5
0
7
함숫값 문제 속 조건 찾기 f(x)=("√x¤ +2x+2 ) f(3)=a f(b)=6 조건으로 문제 풀기 "√3¤ +2_3+2='∂17 4='∂16<'∂17<'∂25=5 f(3)=4 a=4 "√5¤ +2_5+2='∂37 6='∂36<'∂37<'∂49=7 f(5)=6 b=5 a+b=4+5=9 90
3
함수의 정의역, 공역, 치역 문제 속 조건 찾기 X={x|0…x…4} X X f(x)=mx+m+1 X={x|0…x…4} 조건으로 문제 풀기 {x|0…x…4} f(x) 0…f(0)…4 0…f(4)…4 f(x)=mx+m+1 0…m+1…4 0…5m+1…4 m -;5!;…m…;5#; -;5!;…m…;5#; 조건확장0
4
함숫값 구하기 문제 속 조건 찾기 (x+2)f(2-x)+(2x+1)f(2+x)=1 x=3 x=-3 조건으로 문제 풀기 (x+2)f(2-x)+(2x+1)f(2+x)=1 x=3 5f(-1)+7f(5)=1 yy x=-3 -f(5)-5f(-1)=1 yy + 6f(5)=2 f(5)=;3!; ;3!; 조건확장0
5
함숫값 구하기 문제 속 조건 찾기 f(x+2)=2x-1 x+2=t x=t-2 f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10)=f(a) 조건으로 문제 풀기 x+2=t x=t-2 f(t)=2(t-2)-1=2t-5 f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10) =(2_1-5)+(2_2-5)+(2_3-5)+y+(2_10-5) =2(1+2+3+y+10)-5_10 =2_55-50 =60f(a)=60 2a-5=60 a=;;§2∞;; 조건확장
0
6
함숫값 구하기 문제 속 조건 찾기 S,R S fS(x)= R A B C fA;B;C(a)=2 a<A;B;C 조건으로 문제 풀기 fA;B;C(a)=2 a<A;B;Ca<A a≤BÇ a<C a≤A-B a<A fA(a)=2
a<B a≤BC
fBÇ(a)=5
a <C fC(a)=2
a≤A-B fA-B(a)=5
s=2+5+2=9 t=5 s_t=9_5=45 [ 2 (x<S) 5 (x≤S) 조건확장 다른 풀이
0
8
함숫값 문제 속 조건 찾기 f(n)=(n ) m…f(m) f(m)<f(m+1) m n f(mn)=f(m)f(n)조건으로 문제 풀기 ⁄m=1 f(m)=1=m ¤m m 1 m f(m)=1_m=m ‹m m 1 m p(p+1 p+m) f(m)=1_p_m=p_m>m ⁄~‹ m…f(m) m=4 m+1=5 4 1 2 4 f(m)=f(4)=1_2_4=8 5 1 5 f(m+1)=f(5)=1_5=5 f(m)>f(m+1) m n m 1 m n 1 n mn 1 m n mn f(m)=1_m=m f(n)=1_n=n f(mn)=1_m_n_mn=m¤ n¤ f(mn)+f(m)f(n)
0
9
함숫값 문제 속 조건 찾기 f(1)=;5!; f(n+1)= 조건으로 문제 풀기 f(1)=;5!;…1 f(2)=2f(1)=2_;5!;=;5@; f(2)=;5@;…1 f(3)=2f(2)=2_;5@;=;5$; f(3)=;5$;…1 f(4)=2f(3)=2_;5$;=;5*; f(4)=;5*;>1 f(5)=f(4)-1=;5*;-1=;5#; 2f(n) (f(n)…1) f(n)-1 (f(n)>1) [ f(5)=;5#;…1 f(6)=2f(5)=2_;5#;=;5^; f(6)=;5^;>1 f(7)=f(6)-1=;5^;-1=;5!; f(n)=f(n+6)( n=1 2 3 y) f(1)+f(2)+f(3)+y+f(20) =3{f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)}+f(1)+f(2) =3{;5!;+;5@;+;5$;+;5*;+;5#;+;5^;}+;5!;+;5@; =3_;;™5¢;;+;5#; =15 1510
조건을 이용하여 함숫값 구하기 문제 속 조건 찾기 x y f(xy)=f(x)+f(y) f(x« )=nf(x) n f(3)=a f(5)=b 3645=3fl _5 조건으로 문제 풀기 f(x¤ )=f(x¥x)=f(x)+f(x)=2f(x) f(x‹ )=f(x¤ ¥x)=f(x¤ )+f(x) f(x« )=2f(x)+f(x)=3f(x) n f(x« )=f(x« —⁄ ¥x)=f(x« —⁄ )+f(x) =(n-1)f(x)+f(x)=nf(x) f(3645)=f(3fl _5)=f(3fl )+f(5) =6f(3)+f(5)=6a+b 조건확장 조건확장11
함숫값 구하기 문제 속 조건 찾기 f(xy)=f(x)+f(y) f(x« )=f(x)+f(x)+y+f(x)=nf(x) f(2)=1 f(5)=;3&; g(xy)=g(x)g(y) g(0)+0 조건으로 문제 풀기 ⁄ f(xy)=f(x)+f(y) f(x« )=f(x)+f(x)+y+f(x)=nf(x) n 2000=2› _5‹ n 조건확장f(2000)=f(2› ¥5‹ )=4f(2)+3f(5) f(2000)=4+7 f(2000)=11 ¤ g(xy)=g(x)g(y) y=0 g(0)=g(x)g(0) g(x)=1 g(2000)=1 ⁄ ¤ f(2000)-g(2000)=11-1=10 f(x)=g(x) x‹ -3x=2x x‹ -2x¤ -3x=0 x(x+1)(x-3)=0 x=-1 x=0 x=3 a+b+c=(-1)+0+3=2
12
조건을 이용하여 함숫값 구하기 문제 속 조건 찾기 x y f(x-y)=f(x)-f(y) f(nx)=nf(x) 조건으로 문제 풀기 x=y=0 f(0)=0 x=0 f(-y)=f(0)-f(y)=-f(y) f(-x)=-f(x) f(x+y)=f(x-(-y))=f(x)-f(-y)=f(x)+f(y) f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x) f(nx)=nf(x) 조건확장13
서로 같은 함수 문제 속 조건 찾기 f g f(1)=g(1) f(2)=g(2) f(3)=g(3) 조건으로 문제 풀기 f(1)=2 f(2)=1 f(3)=2 g(1)=a+b g(2)=b g(3)=a+b f g f(1)=g(1) f(2)=g(2) f(3)=g(3) a+b=2 b=1 a=1 b=1 3a+b=3+1=414
서로 같은 함수 문제 속 조건 찾기 f(x)=x‹ -3x g(x)=2x¤ a b c f(x)=g(x) 조건으로 문제 풀기 {a b c} f(x)=x‹ -3x g(x)=2x¤ f(a)=g(a) f(b)=g(b) f(c)=g(c) a b c f(x)=g(x) 조건확장 조건확장15
함수의 그래프 문제 속 조건 찾기 f(x)= y=f(x-1) y=f(x) x 1 조건으로 문제 풀기 y=f(x-1) y=f(x) x 1 x<-1 f(x)+f(x-1)=0+0=0 -1…x<0 f(x)+f(x-1)=(x+1)+0=x+1 0…x<1 f(x)+f(x-1)=(1-x)+x=1 1…x<2 f(x)+f(x-1)=0+(2-x)=2-x xæ2 f(x)+f(x-1)=0+0=0 y=f(x)+f(x-1) O -1 1 1 2 -2 x y O -1 1 1 2 -2 x y y=f(x) O -1 1 1 2 x y y=f(x-1) 0 (|x|>1) x+1 (-1…x<0) -x+1 (0…x…1)[
조건확장16
일대일함수 문제 속 조건 찾기 x¡<X x™<X x¡+x™ f(x¡)+f(x™) f f(1)+f(2)+f(3)=14 조건으로 문제 풀기 조건확장17
일대일함수 문제 속 조건 찾기 X={a‹ 2-5a¤ 7a -3} X 4 f f f f 2 조건으로 문제 풀기 f f f f 2 f 2a‹ +(2-5a¤ )+7a+(-3)=2 a‹ -5a¤ +7a-3=0
(a-1)¤ (a-3)=0 a=1 a=3 ⁄a=1 X={1 -3 7} ¤a=3 X={27 -43 21 -3} a=3 3 f ( ) x¡<X x™<X x¡+x™ f(x¡)+f(x™) f f(1) f(2) f(3 Y={1 2 3 4 5 6} f(1)+f(2)+f(3)=14 {f(1) f(2) f(3 }={3 5 6} f(4) f(5) {1 2 4} f(4)+f(5) 2+4=6 조건확장
