2005년 5월 고1 성취도평가 수리영역

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오. ◦ 답안지에 수험 번호 답을 표기할 때에는 반드시 수험생이 지켜야, ‘ 할 일 에 따라 표기하시오’ . ◦ 단답형 답의 숫자에 이 포함된 경우0 , 0을 OMR답안지에 반드시 표기해야 합니다. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고, 하시오 배점은. 2 , 3점 점 또는 점입니다4 . ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오. 1. 다음은 전체집합 U의 세 부분집합 A, B, C 에 대한 벤 다이어 그램이다 어두운 부분을 집합으로 옳게 표현한 것은. ? [2 ]점 U B A C ① (A ∩C ) - B ② (B ∩C ) - A ③ A - ( B∪C ) ④ B - ( A∪C )C ⑤ B - ( A∩C )C 2. A =- 3x2_{+x + 2, B = 2x - 1, C =- x}2_{+2x 일 때,} A + B - C 를 간단히 나타낸 것은?[2 ]점 ① -4x2_{+x +1} ② - 4x2_+5x+3 ③ -2x2₊ x +1 ④ - 2x2_+5x+1 ⑤ - 2x2_+5x+3 3. 다음은 다항식 x4_+2x2_{+9를 인수분해하는 과정이다.} x4_+2x2_{+9 =x}4_{+ 6x}2_{+ 9- x}2 = (x2_{+ 3)}2_{- x}2 = (x2_{+ 3)}2_{-( x)}2 = (x2_{+ x +3)( x}2_-2x+3) 가 ( ) 가 ( ) 나 ( ) 나 ( ) 위의 과정에서 가( ), ( )나 에 알맞은 수를 바르게 짝지은 것은? 점 [2 ] 가 ( ) ( )나 ① - 4 - 2 ② - 4 2 ③ - 4 4 ④ 4 2 ⑤ 4 - 4 4. 다항식 f (x)를 x - 2로 나눈 나머지는 2이고, x - 5로 나눈 나머지 는 8이다. f (x)를 ( x - 2)( x - 5 )로 나누면 나머지가 ax+b 라고 할 때, a - b 의 값은? ( ,단 a, b 는 상수) [3 ]점 ① 0 ② 2 ③ 4 ④ 6 ⑤ 10

학년도 경기도 학업성취도 평가 문제지

2005

고 1

수리 영역

제

2

교시

성명

수험번호

1

1

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2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5. 철수의 자전거 앞바퀴가 높이 12 cm인 턱에 걸려 있다 지면과 앞. 바퀴가 만난 지점을 A 턱과 지면이 수직으로 만난 지점을, B라 하면, A에서 B까지의 거리는 24 cm이다 이 때 자전거 앞바퀴. , 의 반지름의 길이는? ( ,단 자전거 바퀴는 지면과 수직이고 항상, 원을 이루고 두께는 무시한다.) [4 ]점 ① 28 cm ② 29 cm ③ 30 cm ④ 31 cm ⑤ 32 cm 6. 두 실수 a, b 에 대하여 복소수 z = a +b i 이고, 일 때, z -1의 값은? ( ,단 는 z 의 켤레복소수이고, i = - 1 이다.) 점 [3 ] ① 0 ② 2a ③ - 2a ④ 2bi ⑤ - 2bi 7. 2005년 5월의 달력에서 그림과 같이 ‘ ’자 또는‘ ’자 모양으로인 접한 임의의 3개의 수를 택할 때 이 수들을 더한 값이 될 수 있, 는 것은? [4 ]점 ① 22 ② 39 ③ 44 ④ 59 ⑤ 83 8. 전체집합 U의 두 부분집합 A 와 B에 대하여 연산 ＊를 A＊B = ( A∪B ) - ( A∩B ) 라고 정의할 때, <보기 에서 항상> 성립하는 것을 모두 고른 것은? ( ,단 U≠φ) [4 ]점 보 기 〈 〉 . ㄱ A＊ φ = A ㄴ. A＊U = U .

ㄷ A＊AC_{= φ ㄹ. A＊B = B}C_＊AC

, ① ㄱ ㄴ , ② ㄱ ㄹ , ③ ㄴ ㄷ , ④ ㄴ ㄹ , ⑤ ㄷ ㄹ z z z⋅z = 1 A 24 cm B 12 cm

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₃

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9. 원의 외부의 한 점 P에서 원에 그은 접선과 두 할선이 원과 만나는 점을 각각 T, A, B, C, D라고 할 때, AB + CD의 값 은?[3 ]점 A B C D T P 3 4 6 ① 14 ② 16 ③ 17 ④ 18 ⑤ 21 10. 그림과 같이 사각형 ABCD의 두 대각선이 직교하는 점을 H 라 하고 AH = CH라고 할 때 삼각형, BCH의 넓이와 삼각형 의 넓이의 비는? [3 ]점 D B C H A 2 3 5 2 10 ① 1 : 2 ② 2 : 3 ③ 1 : 2 ④ 3 : 2 ⑤ 2 : 3 11. 그래프는 이차함수 y = ax2_{+bx+c 를 나타낸 것이다 이 때. ,} abc 의 값은? ( ,단 a, b, c 는 상수) [3 ]점 y O - 1 3 2 x ① - 6 ② - 4 ③ - 1 ④ 4 ⑤ 6 12. 0이 아닌 두 실수 a, b 에 대하여 a b =-a b 를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3 ]점 보 기 < > . ㄱ ab ＞0 ㄴ. |b |+b =0 . ㄷ (a -b)2 _{=a - b ㄹ. a b = - ab} , ① ㄱ ㄴ , ② ㄱ ㄹ , ③ ㄴ ㄷ , ④ ㄴ ㄹ , ⑤ ㄷ ㄹ AHD

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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 13. 다음은 중심이 O인 원에 내접하는 사각형 ABCD에 대하여 AB⋅ CD + BC⋅ DA = AC⋅ BD가 성립함을 증명한 것이다. 증명 < > D E F C B O A

∠BAE = ∠CAD가 되는 점 E를 대각선 BD 위에 잡으면, ∠ABD = ∠ACD(호 AD에 대한 원주각 이므로)

△ABE ꁀ △ACD이다.

따라서, AB⋅ CD = ………①

또한, ∠BAC = , ∠ACB = ∠ADE이므로 △ABC ꁀ △AED이다.

따라서, BC⋅ AD = ………② 과 를 같은 변끼리 더하면

① ②

AB⋅ CD + BC⋅ DA = AC⋅( BE + ED)= AC⋅ BD 그러므로, AB⋅ CD + BC⋅ DA = AC⋅ BD가 성립함을 알 수 있다. 다 ( ) 나 ( ) 가 ( ) 위의 증명에서 가( ), ( ), ( )나 다 에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은? [4 ]점 가 ( ) ( )나 ( )다 ① AC⋅ BE ∠EAD AC⋅ ED ② AC⋅ BE ∠EAD AB⋅ ED ③ AC⋅ AE ∠EAD AC⋅ ED ④ AC⋅ AE ∠CDA AB⋅ ED ⑤ AD⋅ BE ∠CDA AB⋅ ED

14. 가게 이름이 네 글자인 두 가게의 간판이 아래와 같은 순서로 1초 간격으로 글자에 불이 들어왔다가 꺼진다고 한다. 가게 이름 최고 싼 집 맛있는 집 불이 켜지는 순서 ……… 최 고 싼 집 최 고 싼 집 최 고 싼 집 ……… 맛 있 는 집 맛 있 는 싼 집 있 는 두 가게의 간판에 첫 번째로 집 이라는 글자에 동시에 불이 들어오‘ ’ 는 것은 스위치를 켠 후 초가 되는 순간이다 다섯 번째로 집 이라3 . ‘ ’ 는 글자에 동시에 불이 들어오는 것은 스위치를 켠 후 몇 초가 되는 순간인가? 단 스위치를 켜면 즉시 첫 글자부터 불이 들어온다( , .) 점 [4 ] ① 41 ② 46 ③ 51 ④ 56 ⑤ 61 15. a ＞b ＞1일 때, |2a-b |+|2-a-b |를 간단히 한 것은? 점 [3 ] ① - 3a - 2b + 2 ② - 3a + 2 ③ -a + 2b - 2 ④ a - 2b + 2 ⑤ 3a - 2

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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 16. 교지 편집부원 A, B, C는 철수 영수 미래 나래가 일 년 동, , , 안 읽은 책의 권수를 조사하여 많이 읽은 순으로 아래와 같이 순 위를 적어 놓았다 그런데 실제 순위와 비교하였더니 세 사람이. , 조사한 순위는 각각 1개씩만 맞았다고 한다 실제 순위를. 1위부 터 차례대로 나열한 것은? ( ,단 철수 영수 미래 나래의 순위는 모, , , 두 다르다.) [4 ]점 A:철수는 1위 영수는, 3위 B:미래는 1위 나래는, 4위 C:나래는 2위 철수는, 3위 미래 나래 영수 철수, , , ① 미래 영수 철수 나래, , , ② 나래 미래 철수 영수, , , ③ 철수 미래 영수 나래, , , ④ 철수 나래 영수 미래, , , ⑤ 17. ∠A = 60°, ∠C = 90° 이고 AC = 2인 직각삼각형 ABC 에 서 BC의 길이는? [3 ]점 B C A 2 60° ① 2 ② 4 ③ 3 18. 다음은 모든 실수 a에 대하여 a⋅0 = 0임을 두 가지 방법으 로 증명한 것이다. 증명 < 1>

a⋅0 = a⋅ ( 0 + 0 ) = a ⋅0 + a⋅0 ………( )가 이므로

a⋅0 = a ⋅0 + a⋅0 의 양변에 ( -a ⋅0 )을 더하면 a⋅0 + ( - a⋅0 ) = ( a⋅0 + a⋅0 ) + ( - a⋅0 )

0 =a⋅0 +{ ( a ⋅0 ) + ( - a⋅0 ) } 0 =a⋅0 + 0 따라서, a⋅0 = 0이 성립함을 알 수 있다. 증명 < 2> a = a⋅1 = a⋅ ( 1 + 0 )‥………( )나 =a ⋅1 + a⋅0 = a + a⋅0 이므로 a = a + a ⋅0의 양변에 ( - a )를 더하면 a⋅0 = 0이 성립함을 알 수 있다. 위의 증명에서 가( ), ( )나 에 공통으로 사용된 실수의 연산에 대한 기본 성질은? [3 ]점 덧셈에 대한 항등원 ① 곱셈에 대한 항등원 ② 곱셈에 대한 결합법칙 ③ 덧셈에 대한 교환법칙 ④ 곱셈에 대한 교환법칙 ⑤ 19. 나눗셈에 대하여 닫혀 있는 집합을 보기 에서 모두 고른 것은< > ? 단 ( , i = - 1 ) [3 ]점 보 기 < > . ㄱ {x∣x 는 자연수} ㄴ. {x∣x 는 무리수} . ㄷ {x∣x 는 실수, x ≠0} ㄹ. { -1, 1, -i, i } , ① ㄱ ㄴ , ② ㄱ ㄹ , ③ ㄴ ㄷ , ④ ㄴ ㄹ , ⑤ ㄷ ㄹ

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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 20. 세 실수 a, b, c 에 대하여 a + b + c =1, ab + bc + ca = - 5, a3_+b3_+c3_{= 25일 때, abc 의 값은? [4 ]점} ① - 9 ② - 3 ③ - 1 ④ 1 ⑤ 3 21. 세 실수 x, y, z 에 대하여 x₃ = y₄ = z₅≠0가 성립할 때, 3x+5y+2z 2x+3y+4z의 값은?[3 ]점 ① 43₄₁ ② 39₃₈ ③ 33₃₁ ④ 29₂₇ ⑤ 21₂₀

단답형 (22 30)

～

22. 연립방정식

{

3x+y = 8 x-4y = 7 의 해가 x =α, y =β 일 때, α 2_+β2 의 값을 구하시오.[3 ]점 23. 등식 3x2_{+ 2x + 1 = a( x - 1)( x +1) +bx( x +1)+ cx( x - 1)이} x에 대한 항등식이 되도록 상수 a, b, c 를 정할 때, a +b +c 의 값을 구하시오. [3 ]점

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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 24. 그림과 같이 가로 세로의 길이가 각각, 20, 30인 직사각형 모양의 종이에 제본과 여백을 제외한 직사각형 부분에 글을 쓸려고 한다. 제본은 5 위아래의 여백은 좌우 여백의, 2배 글이 쓰여질, 부분의 넓이는 242가 되도록 편집용지를 설정하였다 좌우 여백의 길이. 를 x라 할 때, x의 값을 구하시오. [4 ]점 x 5 2x 2x 20 30 0 5 0 2x x x 2x 유레카~! 현대인들은 누구나 그리 스어 한 마디는 알고 있 다 바로 아르키메데스가. 외쳤다는 ‘Eureka’이다. 유레카라는 말을 들으면 무슨 생각이 떠오르는가? 아마도 벌거벗고 길거리 를 달리는 아르키메데스 일 것이다 이 사건은 웃. 어 넘기기에는 너무나 귀 중한 것을 알려준다. x ₃₀ 20 25. 자연수 a, b, c, d 에 대하여 a + 1 b+ 1 c + 1 d = 151₁₁₅일 때, a + b + c + d 의 값을 구하시오. [4 ]점 26. 다음은 어느 학급 학생 40명의 수학 성적과 국어 성적을 조사하 여 만든 상관표이다. 국어 수학 50 ～ 60 60 ～ 70 70 ～ 80 80 ～ 90 90 ～ 100이상 미만 합 계 이상 미만 1 1 90 ～ 100 80 ～ 90 A B 2 C 70 ～ 80 3 7 3 13 60 ～ 70 1 4 5 2 12 50 ～ 60 1 2 3 합 계 2 9 D E 2 40 수학 성적과 국어 성적이 모두 70점 이상인 학생이 n 명일 때, n 의 값을 구하시오.[3 ]점 27. 임의의 실수 x, y 에 대하여 연산 ◎를 x ◎ y = x + y - 3으로 정의할 때 연산, ◎에 대한 1의 역원을 구하시오. [4 ]점

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━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 28. 다음의 세 조건 p, q, r 에 대하여 q는 p이기 위한 필요조건, p 는 r 이기 위한 충분조건이 되도록 상수 a, b 를 정할 때, a의 최소값을 m, b의 최대값을 M이라 하자 이 때. , |M-m|의 값을 구하시오. [4 ]점 p : x =- 3 또는 - 1≦x ≦4 q : x≦a r : x≧b 29. x= 1 2- 3 , y = 7- 48 일 때, x 3_+y3_{의 값을 구하시} 오. [4 ]점 30. 두 자동차 A, B 의 연료통을 가득 채운 휘발유 양의 비는 9 : 7이고, 1 ℓ 의 휘발유로 갈 수 있는 거리의 비는 8 : 9이다. 자동차 A, B 의 연료통에 휘발유를 가득 채우고 144 km 를 간 후 남아있는 휘발유 양의 비는 4 : 3이었다 자동차. B에 휘발유 를 가득 채우면 최대 x km를 갈 수 있다 이 때. , x의 값을 구하 시오. ( ,단 자동차의 속도와 노면 상태 등 주어진 조건 이외의 상 황은 고려하지 않는다.) [4 ]점 확인사항 ※