2013학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학B형 문제지

1 ₁₂

1.

행렬  



_{ }  



 에 대하여 행렬 가    





      을 만족시킬 때 행렬, 의 모든 성분의 합은? [2 ]점 ① ② ③ ④ ⑤

2.

_{cos   }   일 때, sin 의 값은 단?( , _{    }   점 ) [2 ] ① _   ② _   ③ _   ④ _   ⑤ _  

3.

함수     에 대하여  ′의 값은? [2 ]점 ①  ②  ③  ④  ⑤ 

4.

일차변환를 나타내는 행렬이



 



   일 때, 두 행렬 



 



,  



  



에 대하여  는? [3 ]점 ①



 



②



 



③



 



④



 



⑤



 



학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지

2013

4

3

수학 영역

(B )

형

제

2

교시

성명

수험번호

3

수학 영역 형

(B )

5.

열린 구간   에서 정의된 함수   sin   cos 의 극댓값을,극솟값을 이라 할 때,  의 값은? [3 ]점 ①  ②  ③ _   ④ _   ⑤ _  

6.

좌표평면에서 행렬



   



   로 나타내어지는 일차변환에 의하여 직선     이 직선   로 옮겨질 때 상수, 의 값은? 점 [3 ] ①  ②  ③ ④ ⑤

7.

그림과 같이 두 함수  



,  



의 그래프와 직선  가 만나는 점을 각각 A, B라 하고 직선,   가축과 만나는 점을C라 하자.    



   



    A B C O  BC, OC, AC가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때 상수, 의 값은? 단 ( ,  이고, O는 원점이다.)[3 ]점 ① ②



 ③ ④



 ⑤

수학 영역 형

(B )

3 ₁₂

8.

삼각방정식  sin   cos_       의 서로 다른 실근의 개수는 단?( ,     ) [3 ]점 ① ② ③ ④ ⑤

9.

함수  의 역함수의 그래프를축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동시키면 함수   의 그래프가 된다 두 함수.   ,   의 그래프가 직선   과 만나는 점을 각각 A, B라 할 때 선분, AB의 중점의 좌표가   이다. 이때 실수, 의 값은? [3 ]점 ①  ②  ③  ④  ⑤ 

10.

함수     





  sin    ≠      가  에서 연속일 때 두 상수, , 에 대하여  의 값은? 점 [3 ] ① _   ② _   ③ ④ _   ⑤ _  

수학 영역 형

(B )

11.

맥동변광성은 팽창과 수축을 반복하여 광도가 바뀌는 별이다. 맥동변광성의 반지름의 길이가 km , 표면온도가 K 일 때의 절대등급이_이고 이 맥동변광성이 팽창하거나 수축하여, 반지름의 길이가_km ,표면온도가_K일 때의 절대등급을 _라고 하면 이들 사이에는 다음 관계식이 성립한다고 한다. _ _{  log }     log _   어느 맥동변광성의 반지름의 길이가 × km ,표면온도가  K일 때의 절대등급이이었고 이 맥동변광성이 수축하여, 반지름의 길이가 km ,표면온도가K일 때의 절대등급이  이었다 이때. , 의 값은? [3 ]점 ① ×  ② ×  ③ ×  ④ ×  ⑤ × 

12.

수열

_

_

_

의 첫째항부터 제항까지의 합을_이라 할 때,



_  _{ } _{ } _     ⋯ 이 성립한다. 다음은



      



    를 구하는 과정이다. _{ } _{ } _{ }에서 _{  }_{ } ( )가 × _이다. _{  } _ _이라 하면, 수열

_

_

_

은 공비가 인 등비수열이다. _ ( )나      ⋯ ∴ 따라서



( )다     _{ } 



    _ 위의 가 에 알맞은 수를( ) , ( ), ( )나 다 에 알맞은 식을 각각  , 이라 할 때, _  ×   ×  ×  의 값은? [3 ]점 ①  ②  ③  ④  ⑤ 

수학 영역 형

(B )

5 ₁₂ 함수 [13~14] _{  }     에 대하여13번과14번의 두 물음에 답하시오.

13.



   의 값은? [3 ]점 ①   ②   ③   ④   ⑤  

14.

집합 







_{  }           



에 대하여   이 되도록 하는 모든 실수 의 값의 합은 단?( , 는 집합의 원소의 개수이다.) [4 ]점 ①   



_{ ②  }

_

_{ ③  }

_

_ ④  



 ⑤  





수학 영역 형

(B )

15.

열린 구간   에서 정의된 함수   의 그래프가 그림과 같을 때 옳은 것만을, <보기 에서 있는 대로 고른 것은> ? 점 [4 ] O             보 기 . ㄱ

lim

 →      . ㄴ

lim

 → sin     . ㄷ   sin 라 할 때, 함수  ∘ 는 열린 구간    에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, , ④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

16.

그림과 같이 한 변의 길이가인 정사각형A_B_C_D_이 있다. 두 선분B_C_, C_D_의 중점을 각각 E_, F_이라 하고, 두 선분A_E_과A_C_이 선분B_F_과 만나는 두 점을 각각G_,B_라 하자 이때 세 삼각형. , A_G_B_,B_E_G_, C_F_B_의 넓이의 합을_이라 하자. 점B_를 지나고 선분A_B_에 수직인 직선과 선분C_D_이 만나는 점을 C_라 하자 점. C_를 지나고 선분 B_C_에 수직인 직선과 선분A_D_이 만나는 점을D_라 하고 점, D_에서 선분A_B_에 내린 수선의 발을 A_라 하자 정사각형. A_B_C_D_에서 두 선분B_C_, C_D_의 중점을 각각 E_, F_라 하고 두 선분, A_E_와 A_C_가 선분B_F_와 만나는 두 점을 각각G_,B_이라 하자 이때 세 삼각형. , A_G_B_, B_E_G_, C_F_B_의 넓이의 합을_라 하자. 점B_을 지나고 선분A_B_에 수직인 직선과 선분C_D_가 만나는 점을 C_이라 하자 점. C_을 지나고 선분 B_C_에 수직인 직선과 선분A_D_가 만나는 점을D_이라 하고 점, D_에서 선분A_B_에 내린 수선의 발을A_이라 하자 정사각형. A_B_C_D_에서 두 선분B_C_, C_D_의 중점을 각각 E_, F_이라 하고 두 선분, A_E_과 A_C_이 선분 B_F_과 만나는 두 점을 각각 G_, B_라 하자. 이때 세 삼각형, A_G_B_, B_E_G_,C_F_B_의 넓이의 합을_이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 세 삼각형 A_G_B_{ }, B_E_G_, C_F_B_{ }의 넓이의 합을_이라 할 때,



   ∞ _의 값은? 점 [4 ] B_ C_ D_ A_ B_ C_ D_ A_ B_ C_ D_ A_ E_ F_ G_ E_ F_ G_ G_ F_ B_{ E}   ① _   ② _   ③ _   ④ _   ⑤ _  

수학 영역 형

(B )

7 ₁₂

17.

두 이차정사각행렬,가    ,     를 만족시킬 때 옳은 것만을, <보기 에서 있는 대로 고른 것은> ? 단 ( , 는 단위행렬이다.) [4 ]점 보 기 행렬 . ㄱ 가 역행렬을 갖는다. . ㄴ    . ㄷ   ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, , ④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

18.

그림과 같이 이차함수  의 그래프와 함수       의 그래프가 두 점에서 만난다.            O  방정식 



 



_{  } _

_

_

_{  }

_

  의 실근의 개수는 단?( ,       ,   ) [4 ]점 ① ② ③ ④ ⑤

수학 영역 형

(B )

19.

그림은 다음 조건을 만족시키는 함수  의 그래프의 일부이다. 가 ( )         ≤  ≤  나 모든 실수 ( ) 에 대하여     이다. O          



   라 할 때,

lim

→∞ 



    의 값은? [4 ]점 ① ② _   ③ ④ _   ⑤

20.

그림은 함수 



  ≤        의 그래프이다.  O       실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 를  



     라 할 때 옳은 것만을, <보기 에서 있는 대로 고른 것은> ? [4 ]점 보 기 . ㄱ _{    }   함수 . ㄴ 는 극댓값_{  }   을 갖는다. 방정식 . ㄷ   의 실근의 개수는 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, , ④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

수학 영역 형

(B )

9 ₁₂

21.

그림과 같이 두 정점P, Q 사이의 거리가 m이고 점, Q를 지나고 선분 PQ에 수직인 직선을이라 하자. 점A가 점Q에서 출발하여 직선을 따라 초속 m의 일정한 속력으로 움직일 때 직선,  위의 점 B는 AP  PB   m 을 만족시키며 점Q쪽으로 움직이고 있다. AQ   m가 되는 순간 선분, BQ의 길이m의 시간 초 에 대한 변화율은( ) ? [4 ]점 P Q B A   m ①_{ } 



 ②_{ } 



 ③_{ } 



 ④_{ } 



 ⑤_{ } 





단답형

22.

로그부등식 log_     log_   의 해가 ＜  ＜  일 때, 의 값을 구하시오. [3 ]점

23.

공차가인 등차수열

_

_

_

이



 







 



을 만족시킨다 이때. , _ 를 만족시키는 자연수 의 최솟값을 구하시오. [3 ]점

수학 영역 형

(B )

24.

A지점과B지점 사이의 거리가  km인 직선도로가 있다. A지점에서 출발하여 이 직선도로를 따라 B지점까지 갈 때는 시속  km의 일정한 속력으로 이동하고, B지점에서 같은 도로를 따라 A지점으로 돌아올 때는 갈 때의 속력보다 시속  km 더 빠르게 이동하려고 한다. A지점에서 B지점까지 갈 때 걸린 시간과 B지점에서A지점으로 돌아올 때 걸린 시간의 차가분 이상일 때, 의 최댓값을 구하시오 단 속력의 단위는.( , km시이다.) [3 ]점

25.

그림과 같이 좌표평면에서 점P가 원점O를 출발하여축을 따라 양의 방향으로 이동할 때 점, Q는 점   을 출발하여  PQ  을 만족시키며축을 따라 음의 방향으로 이동한다. ∠OPQ   (_{ ＜  ＜ }   일 때 삼각형 ) , OPQ의 내접원의 반지름의 길이를 라 하자. 이때,

lim

 →   의 값을 구하시오. [3 ]점  O P  Q   

26.

좌표평면에서 두 일차변환와를 나타내는 행렬이 각각

 

    ,





cos   sin  sin  cos  일 때 일차변환,  ∘  에 의하여 점



 







이 점





  



로 옮겨진다 이때 두 상수. , 와 에 대하여 _   의 값을 구하시오 단.( ,   이고, _{＜＜ }   이다.) [4 ]점

수학 영역 형

(B )

11 ₁₂

27.

그림과 같이 평면에서 중심이O이고 반지름의 길이가인 원 위의 점A를 점O를 중심으로 시계 반대 방향으로 각  (_{    }   ) 만큼 회전시킨 원 위의 점을B,점B를 점O를 중심으로 시계 반대 방향으로 _   만큼 회전시킨 원 위의 점을 C라 하자. 점A에서의 접선이 점B에서의 접선과 만나는 점을D,점C에서의 접선과 만나는 점을E라 하자. 사각형 OADB의 넓이가 일 때 사각형, OAEC의 넓이를 구하시오. [4 ]점 O A B C D E  

28.

곡선 _{  }      (  ) 위의 점에서 그은 접선 중에 서 기울기가 최소인 접선과축,축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [4 ]점

수학 영역 형

(B )

29.

그림과 같이 한 변의 길이가인 정사각형ABCD가 있다.  이상의 자연수 에 대하여 변 BC를등분한 각 분점을 점B에서 가까운 것부터 차례로P_, P_, P_, ⋯, P_{ }이라 하고, 변 CD를 등분한 각 분점을 점 C에서 가까운 것부터 차례로 Q_, Q_, Q_, ⋯, Q_{ }이라 하자.  ≤  ≤   인 자연수 에 대하여 사각형AP_Q_D의 넓이를라 하자.

lim

→∞ 



      일 때, 의 값을 구하시오. [4 ]점 A C D B P_ P_ P_ ⋯ P_ ⋯ P_{ } Q_ Q_ Q_ ⋮ Q_ ⋮ Q_{ } 

30.

함수_{    cos   }   에 대하여 함수를       (는    인 상수) 라 하자 함수. 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 의 값의 합을 _   라 할 때,  의 값을 구하시오. 단 ( , 와는 서로소인 자연수이다.) [4 ]점