2020 풍산자 라이트 수학2 답지 정답

(1)

수학Ⅱ

풍산자

필수 개념 연계 문항들로 빠르게 끝내는 단기 완성서

정답과 풀이

(2)

p. 06

01

⑴ 2 ⑵ 3 ⑶ -¦ ⑷ ¦

02

⑴ -2 ⑵ 0 ⑶ ¦ ⑷ ¦

03

④

04

⑤

05

-2

06

-3

07

⑤

함수의 수렴과 발산

0

1

⑴ f(x)=xÛ`+1로 놓으면 O 1 2 -1 x y _y=f(x) y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑴ ∴ lim x Ú -1(xÛ`+1)=2 ⑵ f(x)= xÛ`-3x_{x-3 로 놓으면} ⑵ x+3일 때 f(x) = xÛ`-3x_{x-3 =}x(x-3) _{x-3 =x} ⑴ 이므로 y=f(x)의 그래프는 O 3 x y y=f(x) 3 ⑵ 오른쪽 그림과 같다. ⑵ ∴ lim x Ú 3 = xÛ`-3xx-3 =3 참고 분자를 인수분해하고 약분하여 식을 간단히 한 후 그래 프를 그린다. ⑶ f(x)=1- 1 xÛ` 로 놓으면 x y y=f(x) 1 1 -1 O y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑵ ∴ lim x Ú 0 {1- 1xÛ` }=-¦ ⑷ f(x)=_|x+2|1 로 놓으면 x y y=f(x) O -2 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑵ ∴ lim x Ú -2 1 |x+2| =¦

0

2

⑴ f(x)=;[!;-2로 놓으면 x y y=f(x) O -2 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑵ ∴ lim x Ú¦ {;[!;-2}=-2 ⑵ f(x)= 1_{x-3 로 놓으면} x y _y=f(x) O 3 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑵ ∴ lim x Ú-¦ 1x-3 =0 ⑶ f(x)=2xÛ`-4로 놓으면 x y y=f(x) O '2 -'2 -4 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑵ ∴ lim x Ú ¦ (2xÛ`-4)=¦ ⑷ f(x)='Ä1-x 로 놓으면 x y y=f(x) O 1 1 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑵ ∴ lim x Ú-¦ 'Ä1-x =¦

0

3

lim x Ú 0- f(x)=1, limx Ú 0+ f(x)=1이므로 lim x Ú 0 f(x)=1 lim x Ú 1+ f(x)=3 ∴ lim x Ú 0 f(x)+ limx Ú 1+ f(x)=1+3=4

0

4

함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 x y y=f(x) O 3 4 1 2 -2 -1 그림과 같다. lim x Ú 1- f(x)=3, _xlim_{Ú 1+} f(x)=-1 이므로 a=3, b=-1 ∴ a+b=3+(-1)=2

0

5

x>0일 때 f(x)= x_{x =1} x y O 1 -1 x<0일 때 f(x)= -x_{x =-1} 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ∴ lim x Ú 0- `f(x)- limx Ú 0+ `f(x)=-1-1=-2

0

6

lim x Ú -2 {8 f(x)g(x)-g(x)} =8_ lim x Ú -2 f(x)_ limx Ú -2 g(x)- limx Ú -2 g(x) =8_;4!;_(-3)-(-3)=-3

0

7

lim x Ú -1 (3x-7)(x+6)= limx Ú -1 (3x-7) limx Ú -1 (x+6) ={3_(-1)-7}_(-1+6) =-50 lim x Ú 3 x-5x+5 = lim x Ú 3 (x-5) lim x Ú 3 (x+5) = 3-5_3+5 =-;4!; 따라서 a=-50, b=-;4!;이므로 ab=-50_{-;4!;}=:ª2°:

정

답

과

풀

이

(3)

p. 08

01

⑤

02

④

03

②

04

-1

05

①

06

1

07

2

극한값의 계산

0

1

lim x Ú 2 3xÛ`-5x-2 x-2 =limx Ú 2 (x-2)(3x+1) x-2 =lim_x_{Ú 2}(3x+1) =3_2+1=7

0

2

lim x Ú¦ (4x-1)(6xÛ`+5) 2xÜ`-3xÛ` =limx Ú¦ {4-;[!;}{6+ 5_xÛ` } 2-;[#; = 4_6 _{2 =12}

0

3

lim x Ú¦ "Ã xÛ`-4x-1 "Ã9xÛ`+3x =limx Ú¦ ®Â1-;[$; -;[!; ®Â9+;[#; =;3!;

0

4

lim x Ú¦ ("ÃxÛ`-x-"ÃxÛ`+x`) =lim x Ú¦ (_{"ÃxÛ`-x-"ÃxÛ`+x )("ÃxÛ`-x+"ÃxÛ`+x )} "ÃxÛ`-x+"ÃxÛ`+x` =lim x Ú¦ -2x "ÃxÛ`-x +"ÃxÛ`+x` =lim x Ú¦ -2 ®Â1-;[!; +®Â1+;[!; `=-1

0

5

lim x Ú 0 ;[!;[ 1_(x+2)Û`-;4!;]=limx Ú 0 [;[!;_ -x(x+4) 4(x+2)Û` ] =lim x Ú 0 -(x+4) 4(x+2)Û` = -4 4_4 =-;4!;

0

6

lim x Ú 1 xÛ`-ax+b x-1 =-2에서 limx Ú 1 (x-1)=0이므로 lim_x_{Ú 1} (xÛ`-ax+b)=1-a+b=0 ∴ b=a-1 ……`㉠㉠을 주어진 식에 대입하면 lim

x Ú 1 xÛ`-ax+b x-1 =limx Ú 1 xÛ`-ax+a-1 x-1 =lim x Ú 1 (x-1)(x-a+1) x-1 =lim x Ú 1(x-a+1) =-a+2=-2 ∴ a=4 a=4를 ㉠에 대입하면 b=3 ∴ a-b=4-3=1

0

7

2xÛ`+x-1 xÛ`+9 <f(x)< 2xÛ`+8xÛ`+1 에서 lim x Ú¦ 2xÛ`+x-1 _xÛ`+9 =2, limx Ú¦ 2xÛ`+8_xÛ`+1=2이므로 lim x Ú¦ f(x)=2

0

1

④

0

2

①

0

3

④

0

4

-1

0

5

⑤

0

6

④

0

7

30

0

8

②

0

9

②

10

⑤

11

①

12

①

13

①

14

④

15

③

16

①

17

②

18

③

19

④

20

6

21

③

22

②

23

2

24

③

실력

확인 문제

p. 10

0

1

lim x Ú -1- f(x)=2, limx Ú 1+ f(x)=-2이므로 lim x Ú -1- f(x)- limx Ú 1+ f(x)=2-(-2)=4

0

2

x>2일 때 f(x)=xÛ`-4 _{x-2 =}(x+2)(x-2) x-2 =x+2 x<2일 때 f(x)= xÛ`-4 -(x-2) = (x+2)(x-2) -(x-2) =-x-2 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. x y=f(x) y O 4 2 -4 lim x Ú 2- f(x)=-4이므로 a=-4 lim x Ú 2+ f(x)=4이므로 b=4 ∴ a+b=-4+4=0

0

3

x Ú`0+일 때, x-1 Ú`-1+이므로 [ x-1 ] Ú`-1 ∴ lim x Ú 0+ x-1 [ x-1 ] = 0-1 -1 =1 참고 [ x ]가 x보다 크지 않은 최대의 정수일 때, 정수 n에 대하여 ⑴ x _{Ú`n-이면 n-1Éx<n이므로} lim x Ú n- [ x ]=n-1 ⑵ x Ú`n+이면 nÉx<n+1이므로 lim x Ú n+ [ x ]=n 정답과 풀이

03

(4)

0

8

lim x Ú -2 xÛ`+2x (x+1)(x+2) = limx Ú -2 x(x+2) (x+1)(x+2) = lim_x_{Ú -2} x_x+1 = -2_-2+1 =2

0

9

lim x Ú 2 3-_"ÃxÛ`+5` x-2 =limx Ú 2 (3-_{"ÃxÛ`+5)(3+"ÃxÛ`+5)} (x-2)(3+"ÃxÛ`+5) =lim_x_Ú 2 4-xÛ` (x-2)(3+"ÃxÛ`+5) =lim x Ú 2 -(x+2)(x-2) (x-2)(3+"ÃxÛ`+5) =lim_x_Ú 2 -(x+2) 3+"ÃxÛ`+5` =-(2+2) 3+'9 =-;3@;

10

lim x Ú 3 (x-3)f(x) 'Äx+6-3 =limx Ú 3 (x-3)f(x)('Äx+6+3) ('Äx+6-3)('Äx+6+3) =lim x Ú 3 (x-3)f(x)(_'Äx+6+3) x-3 =lim_x_Ú 3`f(x)('Äx+6+3) =lim_x_Ú 3`f(x)_lim_x_Ú 3`('Äx+6+3) =;6!;_('9+3)=1

11

lim x Ú 0 f(x)

x =limx Ú 0 xÛ`+ax x =limx Ú 0 (x+a)=a=4

12

lim x Ú¦ 10xÛ`-3x+1 -5xÛ`+x-2=limx Ú¦ 10-;[#;+ 1_xÛ` -5+;[!;- 2_xÛ` = 10 _-5 =-2

13

lim x Ú¦ 7-4x "ÃxÛ`+8-1=limx Ú¦ ;[&;-4 ®Â1+;[*;-;[!;=-4

14

lim x Ú¦ 2xÛ`-3 f(x) xÛ`+4 f(x) =limx Ú¦ 2-3_`f(x)_{x _;[!;} 1+4_`f(x)_{x _;[!;} = 2-3_a_0_{1+4_a_0 =2}

0

4

lim x Ú -1- f(x)= limx Ú -1- (ax-a)=-2a lim x Ú -1+ f(x)= limx Ú -1+ (xÛ`-2x+a)=3+a lim x Ú -1 f(x)의 값이 존재하려면 limx Ú -1- f(x)= limx Ú -1+ f(x) 이어야 하므로 -2a=3+a ∴ a=-1

0

5

lim x Ú 1 (xÛ`+ax+6)=1에서 1+a+6=1 ∴ a=-6 ∴ lim x Ú -1 'Ä-3x-a = limx Ú -1 'Ä-3x+6 ='9 =3

0

6

2 f(x)-5 g(x)=h(x)로 놓으면 lim_x_{Ú a} h(x)=3이고, g(x)=2 f(x)-h(x) ₅ 이므로 lim x Ú a g(x) =limx Ú a 2 f(x)-h(x) 5 =2 limx Ú a f(x)-limx Ú a h(x) 5 = 2_4-3 ₅ =1 참고 두 함수 _{f(x), g(x)에 대하여} lim x Ú a{ f(x)-g(x)}=L`(L은 실수)일 때 ⇨ f(x)-g(x)=h(x)로 놓고 _{g(x)=f(x)-h(x), lim} x Ú a h(x)=L 임을 이용한다.

0

7

[1단계] lim x Ú 1 (x+1)f(x)=1에서 lim x Ú 1 (x+1)_limx Ú 1 f(x)=1 2 lim x Ú 1 f(x)=1 ∴ lim x Ú 1 f(x)=;2!; [2단계]

lim_x_{Ú 1}(2xÛ`+1)f(x)=lim_x_{Ú 1}(2xÛ`+1)_lim_x_{Ú 1} f(x)

=3 lim x Ú 1 f(x) =3_;2!;=;2#; [3단계] 따라서 a=;2#;이므로 20a=20_;2#;=30

(5)

[2단계]

a=8을 주어진 식에 대입하면 lim_x_{Ú 2} xÜ`-a_{x-2 =lim}

x Ú 2 xÜ`-8 x-2 =lim_x_{Ú 2} (x-2)(xÛ`+2x+4)_x-2 =lim_x_{Ú 2}(xÛ`+2x+4) =4+4+4 =12=b [3단계] ∴ a+b=8+12=20

20

[1단계] lim_x_{Ú 1} 'Äx+a-b x-1` =;4!;에서 limx Ú 1 (x-1)=0이므로 lim_x_{Ú 1} ('Äx+a-b)='Ä1+a-b=0 ∴ b='Ä1+a ……`㉠ [2단계] ㉠을 주어진 식에 대입하면 lim x Ú 1 'Ä x+a-b x-1`

=lim_x_{Ú 1} 'Äx+a-_x-1'Ä1+a =lim x Ú 1 ('Äx+a-'Ä1+a`)('Äx+a+'Ä1+a`) (x-1)(_{'Äx+a+'Ä1+a`)} =lim_x_{Ú 1} x-1 (x-1)('Äx+a+'Ä1+a`) =lim x Ú 1 1 'Äx+a+'Ä1+a` = 1 2'Ä1+a` [3단계] 1 2_'Ä1+a`=;4!; 에서 a=3 a=3을 ㉠에 대입하면 b=2 ∴ ab=3_2=6

21

[1단계] lim x Ú-3 x+3 xÛ`-ax-b =-;2!;에서 -;2!;+0이고 lim x Ú -3 (x+3)=0이므로 lim x Ú -3 (xÛ`-ax-b)=9+3a-b=0 ∴ b=3a+9 ……`㉠

15

lim x Ú¦ axÜ`+bxÛ`-x+6 xÛ`-2x-10 =3이므로 a=0 lim x Ú¦ bxÛ`-x+6 xÛ`-2x-10 =limx Ú¦ b-;[!;+ 6_xÛ` 1-;[@;- 10 _xÛ` =b=3 ∴ a+b=0+3=3

16

lim x Ú¦ ('Äx+5-'Äx-5`) =lim_x_Ú¦ ('Äx+5-'Äx-5`)('Äx+5+'Äx-5`) 'Äx+5+'Äx-5` =lim x Ú¦ 10 'Äx+5+'Äx-5` =lim x Ú¦ 10 'x ®Â1+;[%;+®Â1-;[%;` =0

17

x=-t로 놓으면 x `Ú -¦일 때 t `Ú ¦이므로 lim x Ú-¦ ("ÃxÛ`+2x+9+x) =lim t Ú¦ ("ÃtÛ`-2t+9-t) =lim t Ú¦ ("ÃtÛ`-2t+9-t)("ÃtÛ`-2t+9+t) "ÃtÛ`-2t+9+t =lim_t_Ú¦ -2t+9 "ÃtÛ`-2t+9+t =lim t Ú¦ -2+ 9t ®Â1- 2t +tÛ`9+1 = -2_1+1 =-1

18

lim x Ú 0 ;[!; { 1'3` -1 '3-x }=limx Ú 0 [;[!;_ -x '3('3-x) ] =lim_x_{Ú 0} -1 '3('3-x) = -1 '3_'3 =-;3!;

19

[1단계] lim x Ú 2 xÜ`-a x-2 =b에서 limx Ú 2 (x-2)=0이므로 lim x Ú 2 (xÜ`-a)=8-a=0 ∴ a=8 정답과 풀이

05

(6)

24

Ú x>0일 때, 주어진 부등식의 각 변에 x를 곱하면 3xÛ`+x xÛ`+5 <x`f(x)< 3xÛ`+6x xÛ`+3 이때 lim x Ú¦ 3xÛ`+x xÛ`+5 =3, limx Ú¦ 3xÛ`+6x xÛ`+3 =3이므로 lim x Ú¦ x`f(x)=3 Û x<0일 때, 주어진 부등식의 각 변에 x를 곱하면 3xÛ`+6x xÛ`+3 <x`f(x)< 3xÛ`+x xÛ`+5 이때 lim x Ú¦ 3xÛ`+6x xÛ`+3 =3, limx Ú¦ 3xÛ`+x xÛ`+5 =3이므로 lim x Ú¦ x`f(x)=3 Ú, Û에 의하여 lim x Ú¦ x`f(x)=3 p. 14

01

ㄱ, ㄷ

02

⑴ 연속 ⑵ 불연속 ⑶ 불연속

03

④

04

⑤

05

(-¦, 9)'(9, ¦)

06

[4, ¦)

07

⑤

함수의 연속

0

1

ㄱ. lim x Ú 0- `f(x)=0, limx Ú 0+ `f(x)=0이므로 limx Ú 0 `f(x)의 값 이 존재한다. (참) ㄴ. lim x Ú -1 ` f(x)=1, f(-1)=0이므로 lim x Ú -1 ` f(x)+f(-1) 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 불연속이다. (거짓) ㄷ. lim x Ú 1- `f(x)=1, limx Ú 1+ `f(x)=-1 즉, lim x Ú 1- `f(x)+ limx Ú 1+ `f(x)이므로 limx Ú 1 `f(x)의 값이 존재하지 않는다. 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 불연속이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

0

2

⑴ lim x Ú 0 `f(x)=-1, f(0)=-1이므로 lim x Ú 0 `f(x)=f(0) 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. ⑵ 함숫값 f(0)이 정의되지 않으므로 함수 f(x)는 x=0에 서 불연속이다. ⑶ lim x Ú 0- `f(x)= limx Ú 0- `[ x ]=-1, lim x Ú 0+ `f(x)= limx Ú 0+ `[ x ]=0 즉, lim x Ú 0- `f(x)+ limx Ú 0+ `f(x)이므로 limx Ú 0 `f(x)의 값이 존 재하지 않는다. 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 불연속이다. [2단계] ㉠을 주어진 식에 대입하면 lim x Ú-3 x+3 xÛ`-ax-b = limx Ú-3 x+3 xÛ`-ax-3a-9 = lim_x_Ú-3 x+3 (x+3)(x-a-3) = lim_x_Ú-3 _x-a-31 =- 1_a+6 [3단계] - 1_a+6 =-;2!; 에서 a=-4 a=-4를 ㉠에 대입하면 b=-3 ∴ a-b=-4-(-3)=-1

22

[1단계] 조건 ㈎의 lim x Ú¦ `f(x) xÛ` =2에서 f(x)는 이차항의 계수가 2 인 이차식이어야 한다. 조건 ㈏의 lim x Ú 0 `f(x) x =3에서 limx Ú 0 `x=0이므로 lim x Ú 0 `f(x)=f(0)=0 따라서 f(x)=2xÛ`+ax`(a는 상수)로 놓을 수 있다. [2단계] lim x Ú 0 `f(x) x =limx Ú 0 x(2x+a) x =lim_x_{Ú 0} (2x+a)=a ∴ a=3 [3단계] 따라서 f(x)=2xÛ`+3x이므로 f(2)=14 참고 인수정리 x에 대한 다항식 f(x)가 일차식 x-a로 나누어 떨어지면 f(a)=0이다. 그 역도 성립한다.

23

2xÛ`+1>0이므로 4xÛ`-2É(2xÛ`+1)f(x)É4xÛ`+3의 각 변을 2xÛ`+1로 나누면 4xÛ`-2 2xÛ`+1 É`f(x)É 4xÛ`+3 2xÛ`+1 이때 lim x Ú¦ 4xÛ`-2 2xÛ`+1 =2, limx Ú¦ 4xÛ`+3 2xÛ`+1 =2이므로 lim x Ú¦ `f(x)=2

06

정답과풀이

(7)

p. 16

01

⑴ (-¦, ¦) ⑵ (-¦, -1)'(-1, ¦)

02

ㄱ, ㄴ, ㄹ

03

최댓값: 없다., 최솟값: -2

04

③

05

㈎ 연속, ㈏ 연속, ㈐ 사잇값의 정리

06

풀이 참조

07

③

연속함수의 성질

0

1

⑴ _{2f(x)-f(x)g(x) =2(2xÛ`-1)-(2xÛ`-1)(x+1)} =-2xÜ`+2xÛ`+x-1 은 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이다. 따라서 연속인 구간은 (-¦, ¦)이다. ⑵ f(x) g(x)= 2xÛ`-1x+1 은 유리함수이므로 x+-1인 모든 실 수에서 연속이다. 따라서 연속인 구간은 (-¦, -1)'(-1, ¦)이다.

0

2

ㄱ. 3g(x)가 x=a에서 연속이므로 함수 f(x)+3g(x)도 x=a에서 연속이다. ㄴ. {g(x)}Û`=g(x)_g(x)이므로 {g(x)}Û`도 x=a에서 연속이다. ㄷ. (반례) g(a)=0이면 함수 1_2g(x)은 x=a에서 정의되 지 않으므로 함수 f(x)- 1 2g(x)은 x=a에서 불연속 이다. ㄹ. 함수 f(x)g(x)가 x=a에서 연속이므로 함수 2f(x)g(x)도 x=a에서 연속이다. 따라서 x=a에서 항상 연속인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

0

3

닫힌구간 [-2, 2]에서 최댓값은 없고 x=-2일 때 최솟값 은 -2이다.

0

4

f(x)= 2x_{x-3 =}2(x-3)+6_x-3 f(x)= 6_{x-3 +2} 함수 f(x)는 닫힌구간 [-3, 1]에서 연속이므로 최대·최 소 정리에 의하여 f(x)는 닫힌구간 [-3, 1]에서 반드시 최 댓값과 최솟값을 갖는다. 닫힌구간 [-3, 1]에서 함수 f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. x y=f(x) y O -3 -1 1 2 3 1

0

3

함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=-1에서도 연속이어야 하므로 lim x Ú -1 `f(x)=f(-1) lim x Ú -1 `(x+3)=f(-1) 즉, -1+3=-(-1)+k이어야 하므로 2=1+k ∴ k=1

0

4

함수 f(x)가 x=2에서 연속이려면 lim x Ú 2 `f(x)=f(2) lim x Ú 2 xÛ`-7x+ax-2 =b ……`㉠㉠이 수렴하고 lim x Ú 2 `(x-2)=0이므로 lim x Ú 2 `(xÛ`-7x+a)=-10+a=0 ∴ a=10 a=10을 ㉠에 대입하면 lim x Ú 2 xÛ`-7x+ax-2 =limx Ú 2 xÛ`-7x+10x-2 =lim x Ú 2 (x-2)(x-5) x-2 =lim x Ú 2 `(x-5) =-3=b ∴ a+b=10+(-3)=7

0

5

정의역은 x+9인 실수 전체의 집합이므로 구간으로 나타 내면 (-¦, 9)'(9, ¦)이다.

0

6

x-4¾0에서 x¾4 즉, 함수 f(x)는 x¾4인 모든 실수에서 연속이다. 따라서 연속인 구간은 [4, ¦)이다.

0

7

함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=-2에서 연 속이어야 하므로 lim x Ú -2- f(x)= limx Ú -2+ f(x)=f(-2) lim x Ú -2- (x-7)= limx Ú -2+ (xÛ`+8x+a)=f(-2) -2-7=4-16+a ∴ a=3 정답과 풀이

07

(8)

0

2

①, ③ lim x Ú -1- f(x)=-1, limx Ú -1+ f(x)=1 즉, lim x Ú -1- f(x)+ limx Ú -1+ f(x)이므로 limx Ú -1 f(x)의 값이 존재하지 않는다. 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 불연속이다. ②, ⑤ lim x Ú 1- f(x)=0, limx Ú 1+ f(x)=0 즉, lim x Ú 1- f(x)= limx Ú 1+ f(x)이므로 limx Ú 1 f(x)의 값이 존재한다. 또한, f(1)=0이므로 lim x Ú 1 f(x)=f(1) 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다. ④ lim x Ú 0 f(x)=-1, f(0)=0이므로 lim x Ú 0 f(x)+f(0) 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 불연속이다.

0

3

Ú lim x Ú -2- f(x)=2, limx Ú -2+ f(x)=2 즉, lim x Ú 2- f(x)= limx Ú 2+ f(x)=2이므로 limx Ú -2 f(x)의 값 이 존재한다. 또한, f(-2)=0이므로 lim x Ú -2 f(x)+f(-2) 따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 불연속이다. Û lim x Ú -1- f(x)=0, limx Ú -1+ f(x)=-1 즉, lim x Ú -1- f(x)+ limx Ú -1+ f(x)이므로 limx Ú -1 f(x)의 값 이 존재하지 않는다. 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 불연속이다. Ü lim x Ú 0- f(x)=0, limx Ú 0+ f(x)=0 즉, lim x Ú 0- f(x)= limx Ú 0+ f(x)=0이므로 limx Ú 0 f(x)의 값 이 존재한다. 또한, f(0)=-1이므로 lim x Ú 0 f(x)+f(0) 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 불연속이다. Ú, Û, Ü에서 불연속인 점은 x=-2, x=-1, x=0일 때의 3개이고 극한값이 존재하지 않는 점은 x=-1의 1개 이므로 a=3, b=1 ∴ ab=3_1=3

0

4

lim x Ú 2 `f(x)=limx Ú 2 ` xÛ`+3x-10 x-2 `f(x)=lim x Ú 2 ` (x-2)(x+5) x-2 `f(x)=lim x Ú 2 `(x+5)=7 또한, f(2)=5이므로 lim x Ú 2 `f(x)+f(2) 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 불연속이다. 함수 f(x)는 x=-3일 때 최댓값 1, x=1일 때 최솟값 -1을 갖는다. 따라서 a=1, b=-1이므로 ab=1×(-1)=-1

0

6

f(x)=xÛ`-9x+4로 놓으면 함수 f(x)는 모든 실수 x에 서 연속이므로 닫힌구간 [-1, 1]에서 연속이고 f(-1)=14, f(1)=-4 이므로 f(-1)f(1)<0 따라서 사잇값의 정리에 의하여 방정식 xÛ`-9x+4=0은 열린구간 (-1, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

0

7

f(x)=2xÜ`+x-5로 놓으면 함수 f(x)는 모든 실수 x에 서 연속이고 f(-1)=-8, f(0)=-5, f(1)=-2, f(2)=13, f(3)=52, f(4)=127 이므로 f(1)f(2)<0 따라서 사잇값의 정리에 의하여 방정식 2xÜ`+x-5=0은 열린구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

0

1

③

0

2

②

0

3

0

4

불연속

0

5

②

0

6

④

0

7

①

0

8

②

0

9

①

10

(-¦, -4)'(-4, 4)'(4, ¦)

11

③

12

②

13

③

14

(-¦, 3)'(3, ¦)

15

④

16

②

17

최댓값: 2, 최솟값: 0

18

②

19

③

20

④

21

②

22

④

23

①

24

-1<a<2

실력

확인 문제

p. 18

0

1

ㄱ. lim x Ú 1 `f(x)=0, f(1)=0이므로 lim x Ú 1 `f(x)=f(1) 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다. ㄴ. 함숫값 f(1)이 정의되지 않으므로 x=1에서 불연속이 다. ㄷ. lim x Ú 1 xÛ`-1 x-1 =limx Ú 1 (x+1)(x-1) x-1 =lim x Ú 1 (x+1)=2 f(1)=2 따라서 lim x Ú 1 f(x)=f(1)이므로 함수 f(x)는 x=1에 서 연속이다. 이상에서 x=1에서 항상 연속인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

(9)

ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 lim x Ú 0 `(g`ç`f)(x)+(g`ç`f)(0)이므로 (g`ç`f)(x)는 x=0에서 불연속이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

0

9

[1단계] f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=2에서도 연 속이다. 따라서 lim x Ú 2 f(x)=f(2)이어야 한다. x+2일 때, f(x)= xÛ`+x+k _{x-2 이므로} lim x Ú 2 ` xÛ`+x+k x-2 =f(2) ……`㉠㉠이 수렴하고 lim x Ú 2 (x-2)=0이므로 lim_x_{Ú 2}`(xÛ`+x+k)=6+k=0 ∴ k=-6 [2단계] k=-6을 ㉠에 대입하면 f(2)=lim_x_{Ú 2} xÛ`+x-6 _{x-2 =lim} x Ú 2 (x+3)(x-2) (x-2) f(2)=lim x Ú 2 (x+3) f(2)=2+3=5

10

xÛ`-16+0에서 x+Ñ4 즉, 함수 f(x)는 x+Ñ4인 모든 실수에서 연속이다. 따라서 연속인 구간은 (-¦, -4)'(-4, 4)'(4, ¦) 이다.

11

함수 f(x)가 x=4에서 연속이므로 lim x Ú 4- f(x)= limx Ú 4+ f(x)=f(4) 이때 lim x Ú 4- f(x)= limx Ú 4- (2x+3)=11, lim x Ú 4+ f(x)= limx Ú 4+ (ax+1)=4a+1, f(4)=4a+1 이므로 4a+1=11 ∴ a=;2%;

12

[1단계] ` f(x)가 모든 실수 x에서 연속이므로 x=-1, x=1에서 연속이다. 즉, lim x Ú 1- `f(x)= limx Ú 1+ `f(x)=f(1), lim x Ú -1- f(x)= limx Ú -1+ f(x)=f(-1) [2단계] ` lim x Ú 1- `xÛ`=1, limx Ú 1+ (ax+b)=a+b, f(1)=1이므로 a+b=1 ……`㉠

0

5

함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=1에서 연속 이어야 하므로 lim x Ú 1 `f(x)=f(1) lim x Ú 1 `(5xÛ`-a)=f(1) 즉, 5-a=1+a이어야 하므로 a=2

0

6

[1단계] 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=3에서 연속 이어야 하므로 lim x Ú 3 ` f(x)=f(3) lim_x_{Ú 3}` xÛ`-5x+a _{x-3 =b} ……`㉠ [2단계] ㉠이 수렴하고 lim x Ú 3 ` (x-3)=0이므로 lim x Ú 3 `(xÛ`-5x+a)=9-15+a=0 ∴ a=6 [3단계] a=6을 ㉠에 대입하면

lim_x_{Ú 3}` xÛ`-5x+a _{x-3 =lim}_x_{Ú 3}` xÛ`-5x+6 _x-3

` =lim x Ú 3 ` (x-3)(x-2) x-3 ` =lim x Ú 3 `(x-2) ` =1=b [4단계] ∴ a+b=6+1=7

0

7

x+1이면 f(x)= 'Äx+8-3` _x-1 이때 함수 f(x)가 연속함수이므로 x=1에서도 연속이다. 따라서 lim x Ú 1 ` f(x)=f(1)이어야 한다. ∴ f(1)=lim x Ú 1 ` 'Ä x+8-3` x-1 ∴ f(1)=lim_x_{Ú 1}`('Äx+8-3`)('Äx+8+3`) (x-1)('Äx+8+3) ∴ f(1)=lim x Ú 1 ` x-1 (x-1)('Äx+8+3) ∴ f(1)=lim_x_{Ú 1}` 1 'Äx+8+3 ∴ f(1)= 1 '9+3=;6!;

0

8

ㄱ. (g`ç`f)(0)=g(f(0))=g(0)=0 (참) ㄴ. lim x Ú 0- g(f(x))=g(-1)=-1, ㄴ. lim x Ú 0+ g(f(x))=g(1)=-1 ㄴ. 따라서 lim x Ú 0- (g`ç`f)(x)= limx Ú 0+ (g`ç`f)(x)이므로 ㄴ. lim x Ú 0 `(g`ç f)(x)의 값이 존재한다. (참) 정답과 풀이

09

(10)

17

함수 f(x)는 닫힌구간 [-2, 2]에서 연속이므로 최대·최 소 정리에 의하여 f(x)는 닫힌구간 [-2, 2]에서 반드시 최 댓값과 최솟값을 갖는다. 닫힌구간 [-2, 2]에서 함수 f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. x y=f(x) y O -2 2 2 따라서 함수 f(x)는 x=-2일 때 최댓값 2, x=2일 때 최 솟값 0을 갖는다.

18

f(x)= x+3_x-1 = (x-1)+4_x-1 f(x)= 4_x-1 +1 함수 f(x)는 닫힌구간 [2, 5]에서 연속이므로 최대·최소 정리에 의하여 f(x)는 닫힌구간 [2, 5]에서 반드시 최댓값 과 최솟값을 갖는다. 닫힌구간 [2, 5]에서 함수 f(x)의 그래프는 다음 그림과 같 다. x y=f(x) y O1 2 5 2 1 5 함수 f(x)는 x=2일 때 최댓값 5, x=5일 때 최솟값 2를 갖는다. 따라서 M=5, m=2이므로 M-m=5-2=3

19

x+1일 때 f(x)= xÜ`+xÛ`-4x-4 _x+1 f(x)= (x+1)(x+2)(x-2) _x+1 f(x)=(x+2)(x-2) f(x)=xÛ`-4 이때 f(-1)=-3이고, lim x Ú -1 `f(x)= limx Ú -1 (xÛ`-4)=-3이므로 lim x Ú -1 `f(x)=f(-1) lim x Ú -1- (ax+b)=-a+b, limx Ú -1+ xÛ`=1, f(-1)=1 이므로 -a+b=1 ……`㉡ [3단계] ` ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=1 ∴ a-b=0-1=-1

13

ㄱ. lim x Ú 1+ `f(x)= limx Ú 1+ (-x+2)=1 (참) ㄴ. a=0일 때, 함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면 lim x Ú 1 `f(x)=f(1)이어야 한다. ㄱ에서 lim x Ú 1+ `f(x)=1이고 limx Ú 1- `f(x)=0 따라서 lim x Ú 1- `f(x)+ limx Ú 1+ `f(x)이므로 함수 f(x)는 x=1에서 불연속이다. (거짓) ㄷ. _{g(x)=(x-1)f(x)라고 하면 함수 g(x)가 실수 전체} 의 집합에서 연속이려면 x=1에서 연속이어야 한다. lim x Ú 1 `g(x)=limx Ú 1 (x-1)f(x)=0, g(1)=0이므로 lim x Ú 1 `g(x)=g(1) 따라서 함수 g(x)는 x=1에서 연속이므로 함수 y=(x-1)f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

14

`f(x) g(x)=xÛ`-6x+9 x+3 = x+3 (x-3)Û` 은 유리함수이므로 x+3 인 모든 실수에서 연속이다. 따라서 연속인 구간은 (-¦, 3)'(3, ¦)이다.

15

① f(x)+g(x)=xÛ`+;[!;+1은 x=0에서 불연속이다. ② _{f(x)-g(x)=xÛ`-;[!;+1은 x=0에서 불연속이다.} ③ _{f(x)g(x)=x+;[!;은 x=0에서 불연속이다.} ④ `f(x) g(x)=xÜ`+x는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ⑤ {_{g(x)+1}Û`={;[!;+1}Û`=}`1 xÛ`+;[@;+1은 x=0에서 불 연속이다.

16

`f(x) g(x)= x-1 xÛ`+x-2 = x-1 (x+2)(x-1) 은 x=-2, x=1 에서 정의되지 않으므로 함수 `f(x) g(x)는 x=-2, x=1에 서 불연속이다. 따라서 구하는 모든 상수 a의 값의 합은 -2+1=-1

(11)

23

f(x)=xÛ`+kx-5로 놓으면 함수 f(x)는 모든 실수 x에 서 연속이므로 f(-1)f(3)<0일 때 사잇값의 정리에 의하 여 방정식 f(x)=0은 열린구간 (-1, 3)에서 적어도 하나 의 실근을 갖는다. `f(-1)=-k-4, f(3)=3k+4이므로 f(-1)f(3)<0에서 (-k-4)(3k+4)<0 (k+4)(3k+4)>0 ∴ k<-4 또는 k>-;3$; 따라서 이 범위에 속하지 않는 k의 값은 ①이다.

24

_{g(x)=f(x)+xÛ`으로 놓으면 함수 g(x)는 연속함수이므} 로 g(1)g(2)<0일 때 사잇값의 정리에 의하여 방정식 g(x)=0은 1과 2 사이에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. g(1)=f(1)+1=a+1, _{g(2)=f(2)+4=(a-6)+4=a-2} 이므로 _{g(1)g(2)<0에서} (a+1)(a-2)<0 ∴ -1<a<2 즉, 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이므로 닫힌구간 [-2, 3]에서 연속이다. 따라서 최대·최소 정리에 의하여 f(x)는 닫힌구간 [-2, 3]에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 닫힌구간 [-2, 3]에서 함수 f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. x y=f(x) y O 5 3 -2 -4 함수 f(x)는 x=3일 때 최댓값 5, x=0일 때 최솟값 -4 를 갖는다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 5+(-4)=1

20

ㄱ. 주어진 그래프가 x=-1, x=1에서 끊어져 있으므로 불연속이 되는 점은 x=-1, x=1일 때의 2개이다. (참) ㄴ. x=1에서 불연속이므로 닫힌구간 [0, 2]에서 최솟값을 갖지 않는다. (거짓) ㄷ. 닫힌구간 [2, 4]에서 x=3일 때 최댓값 1을 갖는다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

21

f(0)f(1)<0, f(1)f(2)<0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f(x)=0은 열린구 간 (0, 1), (1, 2)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 방정식 f(x)=0은 열린구간 (-2, 2)에서 적어도 2개의 실근을 갖는다.

22

[1단계] f(x)=xÜ`+3x-3으로 놓으면 함수 f(x)는 모든 실수 x 에서 연속이고 f(-2)=-17, f(-1)=-7, f(0)=-3 f {;2!;}=-:Á8Á:, f(1)=1, f(2)=11 [2단계] 즉, `f {;2!;} f(1)<0이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 f(x)=0은 열린구간 {;2!;, 1}에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 a는 열린구간 {;2!;, 1}에 속한다. 정답과 풀이

11

(12)

0

6

lim h Ú0 f(1+3h)-f(1-h) h =lim h Ú0 f(1+3h)-f(1)+f(1)-f(1-h) h =lim h Ú0 [ f(1+3h)-f(1) 3h _3+ f(1-h)-f(1) -h ] =3f '(1)+f '(1)=4f '(1) =4_(-2)=-8

0

7

lim x Ú2 f(x)-f(2) xÛ`-4 =limx Ú2 [ f(x)-f(2) x-2 _ 1 x+2 ] =;4!; f '(2) =_{;4!;_12=3}

0

8

lim x Ú1 xÛ`f(1)-f(x) x-1 =lim x Ú1 xÛ`f(1)-f(1)+f(1)-f(x) x-1 =lim x Ú1 f(1)(xÛ`-1)-{ f(x)-f(1)} x-1 =lim x Ú1 [ f(1)(x+1)- f(x)-f(1) x-1 ] =2f(1)-f '(1) =2_3-5=1 p. 24

01

㈎ 0 ㈏ 연속 ㈐ 1 ㈑ -1 ㈒ 미분가능

02

⑴ 연속이다. ⑵ 미분가능하다.

03

⑴ 연속이지만 미분가능하지 않다. ⑵ 연속이지만 미분가능하지 않다.

04

④

05

7

06

③

미분가능성과 연속성

0

2

⑴ lim x Ú 0- f(x)= limx Ú 0- xÛ`=0, lim x Ú 0+ f(x)= limx Ú 0+ xÜ`=0, f(0)=0이므로 lim x Ú 0 f(x)=f(0) 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. ⑵ lim x Ú 0- f(x)-f(0) x-0 = limx Ú 0- xÛ` x = limx Ú 0- x=0, lim x Ú 0+ _f(x)-f(0) x-0 = limx Ú 0+ xÜ` x = limx Ú 0+ xÛ`=0 이므로 f '(0)=lim x Ú 0 _f(x)-f(0) x-0 이 존재한다. 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 미분가능하다. p. 22

01

①

02

④

03

④

04

⑤

05

④

06

-8

07

⑤

08

①

평균변화율과 미분계수

0

1

Dy_{Dx =} f(2)-f(-1) 2-(-1) = -2-7 3 =-3

0

2

f '(-3)= lim x Ú-3 f(x)-f(-3) x-(-3) f '(-3)= lim x Ú-3 (-xÜ`+x-4)-20 x+3 f '(-3)= lim x Ú-3 (x+3)(-xÛ`+3x-8) x+3 f '(-3)= lim x Ú-3 (-xÛ`+3x-8) f '(-3)=-26

0

3

점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)과 같으므로 f '(1)=lim h Ú0 f(1+h)-f(1) h f '(1)=lim h Ú0 {3(1+h)Ü`-(1+h)Û`}-2 h f '(1)=lim h Ú0 3hÜ`+8hÛ`+7h h f '(1)=lim h Ú0 (3hÛ`+8h+7) f '(1)=7

0

4

x의 값이 1에서 2까지 변할 때의 평균변화율은 Dy_{Dx =} f(2)-f(1) 2-1 = 11-5 1 =6 x=a에서의 미분계수는 f '(a)=lim h Ú0 f(a+h)-f(a) h f '(a)=lim h Ú0 {(a+h)Û`+3(a+h)+1}-(aÛ`+3a+1) h f '(a)=lim h Ú0 hÛ`+2ah+3h h f '(a)=lim h Ú0 (h+2a+3) f '(a)=2a+3 따라서 2a+3=6이므로 a=_;2#;

0

5

lim h Ú0 f(a+2h)-f(a) h =limh Ú0 f(a+2h)-f(a) 2h _2 =2f '(a)

(13)

0

4

①, ③ x=a에서 연속이지만 f '(a)가 존재하지 않으므로 미분가능하지 않다. ②, ⑤ x=a에서 불연속이므로 미분가능하지 않다. ④ f '(a)=0이므로 미분가능하다.

0

5

열린구간 (a, e)에서 함수 f(x)가 불연속인 점은 x=b, x=c일 때의 2개이므로 m=2 미분가능하지 않은 점은 x=b, x=c, x=d의 3개이므로 n=3 ∴ 2m+n=2_2+3=7

0

6

ㄴ. x=1에서 연속이 아니므로 x=1에서 미분가능하지 않다. (거짓) ㄹ. f '(3)의 값이 존재하지 않으므로 f(x)는 x=3에서 미 분가능하지 않다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. p. 26

01

⑴ y'=0 ⑵ y'=6xÞ` ⑶ y'=-2

⑷ y'=3xÛ`+4x-5

02

⑴ y'=9xÛ`+6x-4 ⑵ y'=4xÜ`+18xÛ`-4x-12 ⑶ y'=6(2x-5)Û` ⑷ y'=3xÛ`-14x+15

03

-5

04

⑤

05

-27

06

⑤

07

②

08

13x-18

도함수

0

2

⑴ y' =(x+1)'(3xÛ`-4)+(x+1)(3xÛ`-4)' =1×(3xÛ`-4)+(x+1)×6x =9xÛ`+6x-4 ⑵ y' =(x)'(xÛ`-2)(x+6)+x(xÛ`-2)'(x+6) +x(xÛ`-2)(x+6)' ⑵ y'=1_(xÛ`-2)(x+6)+x_2x_(x+6) +x(xÛ`-2)_1 ⑵ y'=4xÜ`+18xÛ`-4x-12 ⑶ y' =3(2x-5)Û`(2x-5)' =3(2x-5)Û`_2=6(2x-5)Û` ⑷ y' ={(3-x)Û`}'(x-1)+(3-x)Û`(x-1)' =2(3-x)_(-1)_(x-1)+(3-x)Û`_1 =3xÛ`-14x+15

0

3

f '(x)=xÜ`+xÛ`+x+1이므로 x=-2에서의 미분계수는 f '(-2)=-8+4-2+1=-5

0

3

⑴ Ú lim x Ú 1- f(x)= limx Ú 1- |xÛ`-1|= limx Ú 1- (-xÛ`+1)=0, ⑴ Ú lim x Ú 1+ f(x)= limx Ú 1+ |xÛ`-1|= limx Ú 1+ (xÛ`-1)=0, ⑴ Ú f(1)=0이므로 ⑴ Ú lim x Ú 1 f(x)=f(1) ⑴ Ú 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다. Û lim x Ú 1- f(x)-f(1) x-1 = limx Ú 1- -(xÛ`-1)-0 x-1 Ú = lim_x_{Ú 1-} -(x+1)(x-1) _x-1 Ú = lim_x_{Ú 1-} {-(x+1)}=-2, Ú _xlim_{Ú 1+} f(x)-f(1) _x-1 = lim_x_{Ú 1+} (xÛ`-1)-0 _x-1 Ú = lim x Ú 1+ (x+1)(x-1) x-1 Ú = lim x Ú 1+ (x+1)=2 Ú 이므로 f '(1)=lim x Ú 1 f(x)-f(1) x-1 이 존재하지 않는 다. 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하지 않 다. Ú, Û에 의하여 함수 f(x)는 x=1에서 연속이지만 미 분가능하지 않다. ⑵ Ú lim x Ú 1- f(x)= limx Ú 1- (xÛ`-2)=-1, Ú lim x Ú 1+ f(x)= limx Ú 1+ (2xÛ`+x-4)=-1, Ú f(1)=-1이므로 Ú lim_x_{Ú 1} f(x)=f(1) Ú 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다. Û lim x Ú 1- f(x)-f(1) x-1 = limx Ú 1- (xÛ`-2)-(-1) x-1 Ú = lim x Ú 1- xÛ`-1 x-1 Ú = lim x Ú 1- (x+1)(x-1) x-1 Ú = lim x Ú 1- (x+1) Ú =2 Ú lim x Ú 1+ _f(x)-f(1) x-1 = limx Ú 1+ (2xÛ`+x-4)-(-1) x-1 Ú = lim_x_{Ú 1+} 2xÛ`+x-3_x-1 Ú = lim x Ú 1+ (x-1)(2x+3) x-1 Ú = lim x Ú 1+ (2x+3) Ú =5 Ú 이므로 f '(1)=lim x Ú 1 f(x)-f(1) x-1 이 존재하지 않는 다. 따라서 함수 f(x)는 x=1에서 미분가능하지 않 다. Ú, Û에 의하여 f(x)는 x=1에서 연속이지만 미분가 능하지 않다. 정답과 풀이

13

(14)

0

8

xÞ`+4xÛ`-10을 (x-1)Û`으로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라고 하면 xÞ`+4xÛ`-10=(x-1)Û``Q(x)+ax+b …… ㉠㉠의 양변에 x=1을 대입하면 a+b=-5 …… ㉡㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 5xÝ`+8x=2(x-1)Q(x)+(x-1)Û`Q'(x)+a 이 식의 양변에 x=1을 대입하면 a=13 a=13을 ㉡에 대입하면 b=-18 따라서 구하는 나머지는 13x-18이다.

0

1

②

0

2

④

0

3

-3

0

4

④

0

5

ㄷ

0

6

③

0

7

①

0

8

②

0

9

①

10

2

11

ㄷ, ㄹ

12

④

13

⑤

14

①

15

④

16

④

17

③

18

①

19

②

20

③

21

16

22

②

23

36

24

①

실력

확인 문제

p. 28

0

1

함수 f(x)의 x의 값이 a에서 a+1까지 변할 때의 평균변 화율은 Dy_{Dx =} f(a+1)-f(a) (a+1)-a ={(a+1)Û`-2(a+1)}-(aÛ`-2a) ₁ =2a-1=-5 ∴ a=-2

0

2

함수 f(x)의 닫힌구간 [-1, 1]에서의 평균변화율은 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기와 같으므로 Dy_{Dx =}f(1)-f(-1) 1-(-1) = 3-(-1) 2 =2 따라서 직선 AB의 기울기는 2이다.

0

3

[1단계] 직선 AB의 기울기는 함수 f(x)의 닫힌구간 [1, 2]에서의 평균변화율과 같으므로 Dy_{Dx =} f(2)-f(1) _2-1 =3 ∴ f(2)-f(1)=3 [2단계] 주어진 이차함수 y=f(x)의 그래프는 x=1을 기준으로 좌우대칭이므로 f(0)=f(2)

0

4

f '(x) =(xÜ`+3)'(xÛ`-x)+(xÜ`+3)(xÛ`-x)' =3xÛ`(xÛ`-x)+(xÜ`+3)(2x-1) =5xÝ`-4xÜ`+6x-3 ∴ f '(1)=4

0

5

lim h Ú0 f(3+h)-f(3-2h) h =lim h Ú0 f(3+h)-f(3)+f(3)-f(3-2h) h =lim h Ú0 [ f(3+h)-f(3) h + f(3-2h)-f(3) -h ] =lim h Ú0 [ f(3+h)-f(3) h + f(3-2h)-f(3) -2h _2] =f '(3)+2f '(3) =3f '(3) 이때 f '(x)=-4x+3이므로 f '(3)=-9 ∴ 3f '(3)=3_(-9)=-27

0

6

lim x Ú -1 f(x)-f(-1) x+1 =3에서 f '(-1)=3 lim x Ú 2 f(x)-f(2) x-2 =-6에서 f '(2)=-6 f(x)=xÜ`+axÛ`+bx에서 f '(x)=3xÛ`+2ax+b f '(-1)=3-2a+b=3 ∴ 2a-b=0 …… ㉠ f '(2)=12+4a+b=-6 ∴ 4a+b=-18 …… ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-6 ∴ ab=-3×(-6)=18

0

7

Ú f(x)가 x=2에서 연속이므로 lim x Ú 2- (xÜ`-ax)= limx Ú 2+ (bxÛ`+2x+4)=f(2) 8-2a=4b+4+4 ∴ a+2b=0 …… ㉠ Û f '(x)=à3xÛ`-a (x<2) 2bx+2 (x>2) f '(2)가 존재하므로 lim x Ú 2- (3xÛ`-a)= limx Ú 2+ (2bx+2) 12-a=4b+2 ∴ a+4b=10 …… ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-10, b=5 ∴ a+b=-10+5=-5

(15)

0

7

lim x Ú 1 f('x)-f(1) xÛ`-1 =lim x Ú 1 f('x)-f(1) (x+1)('x+1)('x-1) =lim_x_{Ú 1} [f('x)-f(1) 'x-1 _(x+1)(1 'x+1) ] =;4!;`f '(1)

0

8

lim x Ú 2 xf(2)-2f(x) x-2 =lim x Ú 2 xf(2)-2f(2)+2f(2)-2f(x) x-2 =lim_x_{Ú 2} f(2)(x-2)-2{ f(x)-f(2)} x-2 =lim x Ú 2 [ f(2)-2_ _f(x)-f(2) x-2 ] =f(2)-2f '(2) =-4-2_5=-14

0

9

[1단계] lim_x_{Ú 1} f(x)-2 xÛ`-1 =3에서 극한값이 존재하고 lim_x_{Ú 1} (xÛ`-1)=0이므로 lim x Ú 1 { f(x)-2}=0 ∴ f(1)=2 [2단계] lim_x_{Ú 1} f(x)-2 xÛ`-1 =limx Ú 1 f(x)-f(1) (x+1)(x-1) =lim x Ú 1 [ f(x)-f(1) x-1 _ 1 x+1 ] =;2!;f '(1)=3 ∴ f '(1)=6 [3단계] ∴ f '(1) f(1) =;2^;=3

10

[1단계] ` f(x+y)=f(x)+f(y)-1의 양변에 x=0, y=0을 대입 하면 f(0)=f(0)+f(0)-1 ∴ f(0)=1 [2단계] f '(2)=lim h Ú 0 _f(2+h)-f(2) h f '(2)=lim h Ú 0 { f(2)+f(h)-1}-f(2) h f '(2)=lim h Ú 0 _f(h)-1 h =1 …… ㉠ [3단계] 따라서 x의 값이 0에서 1까지 변할 때의 평균변화율은 _{Dx =}Dy f(1)-f(0) 1-0 =f(1)-f(2) =-{ f(2)-f(1)}=-3

0

4

[1단계] 함수 f(x)의 닫힌구간 [1, 4]에서의 평균변화율은 _{Dx =}Dy f(4)-f(1) _4-1 =(16+4a+b)-(1+a+b) ₃ =15+3a ₃ =5+a=2 ∴ a=-3 [2단계] 따라서 함수 f(x)=xÛ`-3x+b의 x=4에서의 미분계수 는 f '(4)=lim h Ú 0 _f(4+h)-f(4) h f '(4)=lim h Ú 0 {(4+h)Û`-3(4+h)+b}-(16-12+b) h f '(4)=lim h Ú 0 hÛ`+5h h f '(4)=lim h Ú 0 (h+5)=5

0

5

ㄱ. f(a) _{a 는 원점과 점} f(a) f(b) x y y=f(x) y=x O a b (a, f(a))를 잇는 직선의 기울기이고, f(b) _{b 는 원점} 과 점 (b, f(b))를 잇는 직 선의 기울기이므로 f(a) _{a >} f(b) _{b (거짓)} ㄴ. A(a, f(a)), B(b, f(b))일 때, 직선 AB의 기울기는 1보다 작으므로 f(b)-f(a) _b-a <1 이때 b-a>0이므로 f(b)-f(a)<b-a (거짓) ㄷ. f '(a), f '(b)는 각각 점 (a, f(a)), (b, f(b))에서의 접선의 기울기이고, 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울 기가 점 (b, f(b))에서의 접선의 기울기보다 크므로 f '(a)>f '(b) (참) 이상에서 옳은 것은 ㄷ이다.

0

6

lim h Ú 0 f(3+2h)-f(3) -h =limh Ú 0 f(3+2h)-f(3) 2h ×(-2) =-2f '(3) =-2×(-5)=10 정답과 풀이

15

풍산자특강수학II-정답.indd 15 2018-10-26 오전 10:05:43

(16)

ㄹ. Ú lim x Ú 0- f(x)= limx Ú 0- (|x|-x)= limx Ú 0- (-2x)=0, lim x Ú 0+ f(x)= limx Ú 0+ (|x|-x)= limx Ú 0+ 0=0, f(0)=0이므로 lim x Ú 0 f(x)=f(0) 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. ㄹ. Û lim x Ú 0- f(x)-f(0) x-0 = limx Ú 0- |x|-x x = lim_x_{Ú 0-} -2x _x = lim_x_{Ú 0-} (-2)=-2, lim x Ú 0+ f(x)-f(0) x-0 = limx Ú 0+ |x|-x x = lim_x_{Ú 0+} 0=0 이므로 f '(0)=lim x Ú 0 f(x)-f(0) x-0 이 존재하지 않는 다. 즉, 함수 f(x)는 x=0에서 미분가능하지 않다. Ú, Û에 의하여 함수 f(x)는 x=0에서 연속이고 미 분가능하지 않다. ㅁ. Ú lim x Ú 0- f(x)= limx Ú 0- 0=0, _xlim_{Ú 0+} f(x)= lim_x_{Ú 0+} xÛ`=0, f(0)=0이므로 lim x Ú 0 f(x)=f(0) 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. ㅁ. Û lim x Ú 0- f(x)-f(0) x-0 = limx Ú 0- 0=0, lim x Ú 0+ f(x)-f(0) x-0 = limx Ú 0+ xÛ` x = limx Ú 0+ x=0 이므로 f '(0)=lim x Ú 0 f(x)-f(0) x-0 이 존재한다. 즉, 함수 f(x)는 x=0에서 미분가능하다. Ú, Û에 의하여 함수 f(x)는 x=0에서 연속이고 미 분가능하다. 이상에서 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수 는 ㄷ, ㄹ이다.

12

① 불연속인 점은 x=d, x=e일 때의 2개이다. ② lim x Ú d+ f(x)= limx Ú d- f(x)이므로 limx Ú d f(x)의 값이 존재 한다. ③ f '(x)=0인 점, 즉 기울기가 0인 점은 a<x<c, c<x<d, d<x<e에서 존재하고, e<x<b에서 함수 f(x)는 상수함수이므로 f '(x)=0이다. ④ 미분가능하지 않은 점은 x=c, x=d, x=e일 때의 3개 이다. ⑤ 연속이지만 미분가능하지 않은 점은 x=c일 때의 1개 이다.

13

f(x)=-3xÛ`+ax-6에서 f '(x)=-6x+a f '(2)=-12+a=-7이므로 a=5 [3단계] f '(1)=lim h Ú 0 _f(1+h)-f(1) h f '(1)=lim h Ú 0 { f(1)+f(h)-1}-f(1) h f '(1)=lim h Ú 0 f(h)-1 h =1`(∵ ㉠) [4단계] ∴ f(0)+f '(1)=1+1=2

11

ㄱ. lim x Ú 0- f(x)= limx Ú 0- |x| x = limx Ú 0- -x x =-1 lim x Ú 0+ f(x)= limx Ú 0+ |x| x = limx Ú 0+ x x =1 이므로 함수 f(x)는 x=0에서 불연속이다. ㄴ. Ú lim x Ú 0- f(x)= limx Ú 0- x|x|= limx Ú 0- -xÛ`=0, _xlim_{Ú 0+} f(x)= lim_x_{Ú 0+} x|x|= lim_x_{Ú 0+} xÛ`=0,

f(0)=0이므로 lim x Ú 0 f(x)=f(0) 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. ㄴ. Û lim x Ú 0- f(x)-f(0) x-0 = limx Ú 0- x|x| x = limx Ú 0- -xÛ` x = lim_x_{Ú 0-} (-x)=0, lim x Ú 0+ f(x)-f(0) x-0 = limx Ú 0+ x|x| x = limx Ú 0+ xÛ` x = lim_x_{Ú 0+} x=0 이므로 f '(0)=lim x Ú 0 f(x)-f(0) x-0 이 존재한다. 즉, 함수 f(x)는 x=0에서 미분가능하다. Ú, Û에 의하여 함수 f(x)는 x=0에서 연속이고 미 분가능하다. ㄷ. f(x)=_"xÛ`=|x| ㄷ. Ú lim x Ú 0- f(x)= limx Ú 0- |x|= limx Ú 0- (-x)=0, _xlim_{Ú 0+} f(x)= lim_x_{Ú 0+} |x|= lim_x_{Ú 0+} x=0, f(0)=0이므로 lim x Ú 0 f(x)=f(0) 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. ㄷ. Û lim x Ú 0- f(x)-f(0) x-0 = limx Ú 0- |x| x = lim x Ú 0- -x x =-1, lim x Ú 0+ f(x)-f(0) x-0 = limx Ú 0+ |x| x = lim x Ú 0+ x x =1 이므로 f '(0)=lim x Ú 0 f(x)-f(0) x-0 이 존재하지 않는 다. 즉, 함수 f(x)는 x=0에서 미분가능하지 않다. Ú, Û에 의하여 함수 f(x)는 x=0에서 연속이고 미 분가능하지 않다.

(17)

19

g '(x) =(2xÛ`-5x)'f(x)+(2xÛ`-5x)f '(x) =(4x-5)f(x)+(2xÛ`-5x)f '(x) ∴ _g '(2) =3f(2)-2f '(2) =3_3-2_(-1)=11

20

f(x)=xÚ`â`+4x로 놓으면 f(1)=1+4=5이므로 lim x Ú 1 xÚ`â`+4x-5 x-1 =limx Ú 1 f(x)-f(1) x-1 =f '(1) 이때 f '(x)=10xá`+4이므로 f '(1)=10+4=14

21

[1단계] `f(x)를 n차함수라고 하면 f '(x)는 (n-1)차함수이므로 f(x)f '(x)는 n+(n-1)=2n-1에서 (2n-1)차식이다. 2xÜ`-9xÛ`+5x+6은 삼차식이므로 2n-1=3 ∴ n=2 즉, f(x)는 이차식이고 최고차항의 계수가 1이므로 f(x)=xÛ`+ax+b`(a, b는 상수)로 놓을 수 있다. [2단계] f '(x)=2x+a이므로 f(x)f '(x) =(xÛ`+ax+b)(2x+a) =2xÜ`+3axÛ`+(aÛ`+2b)x+ab =2xÜ`-9xÛ`+5x+6 따라서 3a=-9, aÛ`+2b=5, ab=6이므로 a=-3, b=-2 [3단계] 즉, f(x)=xÛ`-3x-2이므로 f(-3)=9+9-2=16

22

함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속이 다. f(x)가 x=1에서 연속이므로 lim x Ú 1- (3xÛ`-b)= limx Ú 1+ (ax+2)=f(1) 3-b=a+2 ∴ a+b=1 …… ㉠ f '(x)=à`a (x>1) 6x (x<1)이고 f '(1)이 존재하므로 lim x Ú 1- 6x= limx Ú 1+ a ∴ a=6 a=6을 ㉠에 대입하면 b=-5 ∴ ab=6×(-5)=-30

23

함수 f(x)가 모든 실수에서 미분가능하므로 x=3에서 미 분가능하다. 즉, x=3에서 연속이고 f '(3)이 존재한다. f(x)가 x=3에서 연속이므로

14

lim h Ú 0 f(1+h)-f(1) 2h =limh Ú 0 f(1+h)-f(1) h _;2!; =;2!; f '(1)=6 ∴ f '(1)=12 이때 f '(x)=2x+a이므로 f '(1)=2+a=12 ∴ a=10

15

f(1)=1+3-1=3이므로 lim x Ú 1 _f(x)-3 x-1 =limx Ú 1 _f(x)-f(1) x-1 =f '(1) f(x)=xÜ`+3xÛ`-1에서 f '(x)=3xÛ`+6x ∴ f '(1)=3+6=9

16

lim x Ú -1 f(x) x+1 =3에서 극한값이 존재하고 lim x Ú -1 (x+1)=0이므로 _xlim_{Ú -1} f(x)=0 ∴ f(-1)=0 lim x Ú -1 f(x) x+1 =x limÚ -1 f(x)-f(-1) x-(-1) =f '(-1)=3 f(x)=xÛ`+ax+b에서 f '(x)=2x+a f(-1)=1-a+b=0 ∴ a-b=1 …… ㉠ f '(-1)=-2+a=3 ∴ a=5 a=5를 ㉠에 대입하면 b=4 ∴ ab=5×4=20

17

f '(x)=3xÛ`+2ax+aÛ`이므로 f '(1)=3+2a+aÛ`=6 ∴ aÛ`+2a-3=0 따라서 상수 a의 값의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 -2이다. 참고 이차방정식의 근과 계수의 관계 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근을 a, b라고 하면 a+b=-;aB;, ab=;aC;

18

[1단계] (xÛ`+x+1)f(x)=(x+1)(xß`-1)에서 (xÛ`+x+1)f(x) =(x+1)(x-1)(xÜ`+1)(xÛ`+x+1) ∴ f(x)=(xÛ`-1)(xÜ`+1) [2단계] f '(x) =(xÛ`-1)'(xÜ`+1)+(xÛ`-1)(xÜ`+1)' =2x_(xÜ`+1)+(xÛ`-1)_3xÛ` =5xÝ`-3xÛ`+2x [3단계] ∴ f '(-1)=5-3-2=0 정답과 풀이

17

(18)

0

2

f(x)=xÜ`-3x로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-3 이 곡선 위의 점 (2, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(2)=9이므로 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 -;9!; 이다. 따라서 구하는 직선의 방정식은 y-2=-;9!;(x-2) y=-_{;9!;x+:ª9¼:} ∴ x+9y-20=0

0

3

f(x)=-;3!;xÜ`+4x로 놓으면 f '(x)=-xÛ`+4 접선의 기울기가 3이므로 접점의 x좌표를 a라고 하면 -aÛ`+4=3, aÛ`=1 ∴ a=Ñ1 따라서 접점의 좌표는 {-1, -:Á3Á:}, {1, :Á3Á:}이므로 구하는 접선의 방정식은 y-{-:Á3Á:}=3{x-(-1)}, y-:Á3Á:=3(x-1) ∴ y=3x-;3@;, y=3x+;3@;

0

4

직선 2x-y+7=0에서 y=2x+7 따라서 접선의 기울기는 2이다. f(x)=-xÛ`+6x+2로 놓으면 f '(x)=-2x+6 접선의 기울기가 2이므로 접점의 x좌표를 a라고 하면 -2a+6=2 ∴ a=2 따라서 접점의 좌표는 (2, 10)이므로 구하는 접선의 방정 식은 y-10=2(x-2) ∴ y=2x+6

0

5

f(x)=xÜ`-xÛ`+2x로 놓으면 f '(x)=3xÛ`-2x+2 접점의 좌표를 (a, aÜ`-aÛ`+2a)라고 하면 접선의 기울기 는 f '(a)=3aÛ`-2a+2이므로 접선의 방정식은 y-(aÜ`-aÛ`+2a)=(3aÛ`-2a+2)(x-a) …… ㉠ 이 직선이 점 (0, -1)을 지나므로 -1-(aÜ`-aÛ`+2a) =(3aÛ`-2a+2)_(-a) 2aÜ`-aÛ`-1=0 (a-1)(2aÛ`+a+1)=0 ∴ a=1`(∵ a는 실수) a=1을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=3x-1 lim x Ú 3- xÛ`= limx Ú 3+ [-;2!;(x-a)Û`+b]=f(3) 9=-;2!;(3-a)Û`+b …… ㉠ f '(x)=_à 2x (x<3) -x+a (x>3)이고 f '(3)이 존재하므로 lim x Ú 3- 2x= limx Ú 3+ (-x+a) 6=-3+a ∴ a=9 a=9를 ㉠에 대입하면 b=27 ∴ a+b=9+27=36

24

xß`+axÜ`+bx+3을 (x+1)Û`으로 나눈 몫을 Q(x)라고 하 면 xß`+axÜ`+bx+3=(x+1)Û`Q(x) …… ㉠㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 1-a-b+3=0 ∴ a+b=4 …… ㉡㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 6xÞ`+3axÛ`+b=2(x+1)Q(x)+(x+1)Û`Q'(x) 이 식의 양변에 x=-1을 대입하면 -6+3a+b=0 ∴ 3a+b=6 …… ㉢㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=3 ∴ a-b=1-3=-2 참고 다항식 f(x)를 (x-a)Û`으로 나눌 때 ① 나누어떨어지면 ⇨ f(a)=0, f '(a)=0 ② 몫이 Q(x), 나머지가 R(x)이면 ② ⇨ f(x)=(x-a)Û` Q(x)+R(x)에서 f '(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)Û` Q'(x)+R'(x) p. 32

01

49

02

④

03

y=3x-;3@;, y=3x+;3@;

04

④

05

y=3x-1

06

①

07

3

08

②

접선의 방정식과 평균값 정리

0

1

f(x)=3xÜ`-2x+1로 놓으면 f '(x)=9xÛ`-2 곡선 y=f(x) 위의 점 (-1, 0)에서의 접선의 기울기는 f '(-1)=7 따라서 점 (-1, 0)에서의 접선의 방정식은 y-0=7{x-(-1)} ∴ y=7x+7 즉, a=7, b=7이므로 ab=7_7=49

(19)

0

2

f '(x)=6xÛ`-6x=6x(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x … 0 … 1 … f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 1 ↘ 0 ↗ 따라서 함수 f(x)는 구간 (-¦, 0], [1, ¦)에서 증가하 고, 닫힌구간 [0, 1]에서 감소한다.

0

3

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하려면 f '(x)=-3xÛ`+2kx-3É0 위의 이차부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라고 하면 D _4 =kÛ`-9É0 (k+3)(k-3)É0 ∴ -3ÉkÉ3 참고 이차부등식이 항상 성립할 조건 ① 모든 실수 x에 대하여 axÛ`+bx+c>0이면 ⇨ a>0, bÛ`-4ac<0 ② 모든 실수 x에 대하여 axÛ`+bx+c¾0이면 ⇨ a>0, bÛ`-4acÉ0 ③ 모든 실수 x에 대하여 axÛ`+bx+c<0이면 ⇨ a<0, bÛ`-4ac<0 ④ 모든 실수 x에 대하여 axÛ`+bx+cÉ0이면 ⇨ a<0, bÛ`-4acÉ0

0

4

함수 f(x)가 열린구간 (1, 3)에서 증가하므로 이 구간에서 f '(x)¾0이어야 한다. f '(x)=-3xÛ`-6x+3a x y=f`'(x) 1 3 f '(x)=-3(x+1)Û`+3a+3 이므로 y=f '(x)의 그래프가 오른 쪽 그림과 같아야 한다. f '(1)=-3-6+3a¾0에서 a¾3 …… ㉠ f '(3)=-27-18+3a¾0에서 a¾15 …… ㉡㉠, ㉡에서 a¾15 따라서 a의 최솟값은 15이다.

0

5

ㄱ. 구간 (-¦, a)에서 f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 이 구간에서 증가한다. (거짓) ㄴ. 열린구간 (b, c)에서 f '(x)<0이므로 함수 f(x)는 이 구간에서 감소한다. (거짓) ㄷ. f '(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f '(x)의 부호가 양에 서 음으로 바뀌므로 f(x)는 x=a에서 극댓값을 갖는 다. (참)

0

6

_{f(x)=axÜ`+b, g(x)=xÛ`-5x+6으로 놓으면} f '(x)=3axÛ`, g '(x)=2x-5 두 곡선이 점 (1, 2)에서 공통인 접선을 가지므로 f(1)=g(1)에서 a+b=1-5+6 ∴ a+b=2 …… ㉠ f '(1)=g '(1)에서 3a=2-5 ∴ a=-1 a=-1을 ㉠에 대입하면 b=3 ∴ ab=-1_3=-3

0

7

함수 f(x)는 닫힌구간 [2, 4]에서 연속이고 열린구간 (2, 4)에서 미분가능하며 f(2)=f(4)=8이므로 롤의 정 리에 의하여 f '(c)=0인 c가 2와 4 사이에 적어도 하나 존 재한다. f '(x)=-2x+6이므로 f '(c)=-2c+6=0 ∴ c=3

0

8

함수 f(x)는 닫힌구간 [-3, 2]에서 연속이고 열린구간 (-3, 2)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 f(2)-f(-3) 2-(-3) =f '(c)인 c가 -3과 2 사이에 적어도 하 나 존재한다. f '(x)=3xÛ`-2x이므로 5-(-35) 2-(-3) =3cÛ`-2c 3cÛ`-2c-8=0 (3c+4)(c-2)=0 ∴ c=-;3$;`(∵ -3<c<2) p. 34

01

⑴ 감소 ⑵ 증가

02

구간 (-¦, 0], [1, ¦)에서 증가, 닫힌구간 [0, 1]에서 감소

03

-3ÉkÉ3

04

④

05

③

06

극댓값: 없다., 극솟값: ;1°6;

07

-12

08

④

함수의 극대와 극소

0

1

⑴ 구간 (-¦, 1)에서 f '(x)=-6x+2<0이므로 함수 f(x)는 구간 (-¦, 1)에서 감소한다. ⑵ 구간 (-¦, ¦)에서 f '(x)=12xÛ`+1>0이므로 함수 f(x)는 구간 (-¦, ¦)에서 증가한다. 정답과 풀이

19

(20)

p. 36

01

풀이 참조

02

풀이 참조

03

③

04

a<0 또는 0<a<;2#;

05

최댓값: -2, 최솟값: -11

06

③

07

⑤

08

④

함수의 그래프

0

1

⑴ f(x)=;3@;xÜ`-2x에서 ⑴ f '(x)=2xÛ`-2=2(x+1)(x-1) ⑴ f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 ⑴ 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. ⑴ x … -1 … 1 … f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ ;3$; ↘ -;3$; ↗ ⑴ 따라서 f(x)는 x=-1일 때 ⑴ 극댓값 ;3$;, x=1일 때 극솟값 ⑴ -;3$; 를 가지므로 함수 f(x)의 ⑴ 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑵ f(x)=-xÜ`+3xÛ`-3x에서 ⑴ f '(x)=-3xÛ`+6x-3=-3(x-1)Û` ⑴ f '(x)=0에서 x=1 ⑴ 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. ⑴ x … 1 … f'(x) - 0 -f(x) ↘ -1 ↘ ⑴ 따라서 f(x)는 극값을 갖지 않으 므로 함수 f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다.

0

2

⑴ f(x)=xÝ`-4xÜ`+4xÛ`+1에서 ⑴ f '(x)=4xÜ`-12xÛ`+8x=4x(x-1)(x-2) ⑴ f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1 또는 x=2 ⑴ 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. ⑴ x … 0 … 1 … 2 … f'(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) ↘ 1 ↗ 2 ↘ 1 ↗ ⑴ 따라서 f(x)는 x=1일 때 극댓값 2, x=0, x=2일 때 극솟값 1을 가지므로 함수 f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. x y=f(x) O 1 -1 -4 3 y 4 3 x y=f(x) O -1 1 y x y=f(x) O 1 2 1 2 y ㄹ. f '(c)=0이고 x=c의 좌우에서 f '(x)의 부호가 음에 서 양으로 바뀌므로 f(x)는 x=c에서 극솟값을 갖는 다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

0

6

f '(x)=4xÜ`-6xÛ` f '(x)=2xÛ`(2x-3) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=;2#; 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x … 0 … ;2#; … f'(x) - 0 - 0 + f(x) ↘ 2 ↘ ;1°6; ↗ 따라서 함수 f(x)는 극댓값을 갖지 않고, x=;2#;일 때 극솟 값 ;1°6; 를 갖는다.

0

7

f '(x)=3xÛ`-6x-9 f '(x)=3(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x … -1 … 3 … f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 10 ↘ -22 ↗ 따라서 함수 f(x)는 x=-1일 때 극댓값 10을 갖고, x=3 일 때 극솟값 -22를 갖는다. 즉, M=10, m=-22이므로 M+m=10+(-22)=-12

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8

f '(x)=-3xÛ`+a 함수 f(x)가 x=1에서 극댓값 4를 가지므로 f(1)=-1+a+b=4 ∴ a+b=5 ……`㉠ f '(1)=-3+a=0 ∴ a=3 a=3을 ㉠에 대입하면 b=2 ∴ ab=3_2=6