2021 수학의 바이블 개념 중3-2 답지 정답

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(1)

정답과 풀이

개념

중학

3

-

2

(2)

Ⅰ. 삼각비

1.

삼각비

삼각비의 뜻

01

개념

본교재 | 6 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 35 ⑵ 45 ⑶ 34 ⑷ 45 ⑸ 35 ⑹ 43

2

'5 ⑵ sin`B= '5 ,5 cos`B=2'55 , tan`B= 12

2

⑴ BCÓ="Ã2Û`+1Û`='5 ⑵ sin`B= ACÓ BCÓ= 1'5= '55 cos`B= ABÓ BCÓ= 2'5= 2'55 tan`B= ACÓ ABÓ= 12 본교재 | 7 ~ 8 쪽

대표 유형

1 sin`A= 35 , cos`A= 45 , tan`A= 34 1 -1 sin`C= 1213 , cos`C= 513 , tan`C= 125 1 -2 2317 2 2'5 2 -1 5'1Œ3 2 -23 cos`A= '6 ,1Œ1 tan`A=5'1Œ111 3 -1 sin`A= '7 ,2Œ1 cos`A=2'77 3 -24 45 4 -1 '26 4 -2 513 1 -1 ABÓ="Ã13Û`-5Û`='¶144=12이므로 sin`C= ABÓ ACÓ= 1213 cos`C= BCÓ ACÓ= 513 tan`C= ABÓ BCÓ= 125

 sin`C= 1213 , cos`C=13 , tan`C=5 125

1 -2 ABÓ="Ã17Û`-15Û`='6Œ4=8이므로 sin`B= ACÓ BCÓ= 1517 , cos`B=ABÓBCÓ= 817 ∴ sin`B+cos`B= 1517 +17 =8 2317 2317 2 -1 tan`A= BCÓ10 =32 이므로 BCÓ=15 ∴ ACÓ="Ã10Û`+15Û`='¶325=5'1Œ3  5'1Œ3 2 -2 sin`A= BCÓ6 ='53 이므로 BCÓ=2'5(cm) 이때 ACÓ=¿¹6Û`-(2'5)Û`='1Œ6=4(cm)이므로ABC= 12 _2'5_4=4'5(cmÛ`)  ① 3 -1 tan`A= '32 이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù, ABÓ=2, BCÓ='3인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다. 이때 ACÓ=¿¹2Û`+('3)Û`='7이므로 sin`A= BCÓ

ACÓ= '3'7= '2Œ17 , cos`A=ABÓACÓ= 2'7= 2'77

 sin`A= '27 , cos`A=Œ1 2'77 3 -2 cos`B= 13 이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90ù, ABÓ=3, BCÓ=1인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다. 이때 ACÓ="Ã3Û`-1Û`='8=2'2이므로 sin`B= ACÓ ABÓ= 2'2 3 , tan`B=ACÓBCÓ=2'2 ∴ sin`B_tan`B=2'23 _2'2=;3*;  ⑤ 4 -1 △ABC와 △DAC에서 ∠C는 공통, ∠BAC=∠ADC=90ù이므로 △ABC»△DAC (AA 닮음) ∴ ∠B=∠CAD=x △ABC에서 ACÓ=¿¹('1Œ0)Û`-2Û`='6이므로 tan`x=tan`B= ACÓ ABÓ= '62  '26 A B C 2 3 A B C 3 1 x x A D B C 2 10

(3)

1. 삼각비 4 -2 △ABC와 △EDC에서 ∠C는 공통, ∠A=∠DEC=90ù이므로 △ABC»△EDC (AA 닮음) ∴`∠B=∠CDE=x △ABC에서 BCÓ="Ã5Û`+12Û`='¶169=13이므로 cos`x=cos`B= ABÓ BCÓ= 513 513

30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값

02

개념

본교재 | 9 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 1 ⑵ '23 ⑶ 12 ⑷ '32

2

⑴ 30ù ⑵ 45ù ⑶ 60ù

3

⑴ x=2, y=2'3 ⑵ x=3'2, y=3

1

sin`30ù+cos`60ù= 12 +12 =1 ⑵ tan`60ù-cos`30ù='3- '2 =3 '32 ⑶ sin`45ù_cos`45ù= '2 _2 '22 =12 ⑷ sin`60ùÖtan`45ù= '2 Ö1=3 '32

3

sin`30ù= x4 =12 ∴ x=2 cos`30ù=y4 ='32 ∴ y=2'3 cos`45ù= 3x ='22 ∴ x=3'2 tan`45ù=y3 =1 ∴ y=3 본교재 | 10 쪽

대표 유형

5 ⑴ 3 ⑵ '6-'24 5 -1 ⑴ 3'24 ⑵ 94 5 -2 ㄴ, ㄹ 6 2'3 6 -1 4'3 6 -2x A B C D E x 12 5 5 -1 ⑴ (주어진 식)= '2 Ö3 '33 _'22 ='32 _ 3 '3_ '2 =2 3'24 ⑵ (주어진 식) ={;2!;+1}{;2!;+1}=;2#;_;2#;= 94 ⑴ 3'24 94 5 -2 ㄱ. sinÛ``30ù+cosÛ``60ù={ 12 }2`+{12 }2`=12 ㄴ. sin`30ù= 12 , cos`30ù_tan`30ù='32 _'33 =12 이므로 sin`30ù=cos`30ù_tan`30ù ㄷ. 2`sin`45ù=2_ '2 ='2, tan`45ù=1이므로2 2`sin`45ù+tan`45ù ㄹ. tan`30ù= '3 , 3 tan`60ù =1 '31 = '3 이므로3 tan`30ù=tan`60ù1 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.  ㄴ, ㄹ 6 -1 △BCD에서 tan`45ù= BCÓ2'3=1 ∴ BCÓ=2'3 △ABC에서 sin`30ù=2'3 ACÓ= 12 ∴ ACÓ=4'3  4'3 6 -2

△ABD에서 sin`45ù= ADÓ12 ='22 ∴ ADÓ=6'2 △ADC에서 sin`60ù=6'2 ACÓ= ' 3 2 ∴ ACÓ=4'6  ④ 본교재 | 11 쪽

0

1

0

2

34

0

3

2'1Œ9

0

4

0

5

2720

0

6

32

0

7

0

8

12 배운대로

해결하기

0

1

BCÓ=¿¹4Û`-('7)Û`='9=3 ④ sin`C= '4 7  ④

(4)

0

2

y= 34 x+3에 y=0을 대입하면 0= 34 x+3, -;4#;x=3, x=-4 ∴ A(-4, 0) y= 34 x+3에 x=0을 대입하면 y=3 ∴ B(0, 3) 직각삼각형 AOB에서 AOÓ=4, BOÓ=3이므로 tan`a= BOÓ AOÓ= 34 34 다른 풀이 tan`a‌‌= BOÓ AOÓ= ( y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) =(일차함수의 그래프의 기울기)= 34

0

3

sin`C= ABÓ10 ='65 이므로 ABÓ=2'6

∴ ACÓ=¿¹10Û`-(2'6 )Û`='7Œ6=2'1Œ9 2'1Œ9

0

4

tan`A= 23 이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù, ABÓ=3, BCÓ=2인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다. 이때 ACÓ="Ã3Û`+2Û`='1Œ3이므로 sin`A= BCÓ ACÓ= 2'1Œ3= 2'131Œ3 cos`A= ABÓ ACÓ= 3'1Œ3= 3'13 1Œ3 ∴ sin`A+cos`A=2'1Œ313 +3'1Œ313 =5'1Œ313  ①

0

5

△ABC와 △ACD에서 ∠A는 공통, ∠BCA=∠CDA=90ù이므로 △ABC»△ACD (AA 닮음) ∴`∠B=∠ACD=x 같은 방법으로 △ABC»△CBD (AA 닮음)이므로 ∠A=∠BCD=y △ABC에서 ABÓ="Ã3Û`+4Û`='2Œ5=5이므로 cos`x=cos`B= BCÓ ABÓ= 35 tan`y=tan`A= BCÓ ACÓ= 34 ∴ cos`x+tan`y= 35 +34 =2720 2720 A B C 2 3 B D 4 3 C A yx y x

0

6

(주어진 식) ='2_ '2 _;2!;+2_2 '33 _'32 = 12 +1=32 32

0

7

ABC에서 sin`45ù= 2'2 BCÓ= ' 2 2 ∴ BCÓ=4 △BCD에서 tan`30ù= CDÓ4 ='33 ∴ CDÓ=4'33  ②

0

8

△ABC에서 tan`30ù=6'3 BCÓ= ' 3 3 ∴ BCÓ=18 △ADC에서 tan`60ù=6'3 DCÓ='3 ∴ DCÓ=6 ∴ BDÓ=BCÓ-DCÓ=18-6=12 12

예각과 0ù, 90ù의 삼각비의 값

03

개념

본교재 | 12 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 0.6428 ⑵ 0.7660 ⑶ 0.8391 ⑷ 0.7660 ⑸ 0.6428

2

⑴ 12 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ '33

1

△AOC에서 ∠OAC=180ù-(40ù+90ù)=50ù 이므로 ⑴ sin`40ù=ACÓ OÕAÓ= ACÓ1 =0.6428 ⑵ cos`40ù=OCÓ OÕAÓ= OCÓ1 =0.7660 ⑶ tan`40ù=BDÓ ODÓ= BDÓ1 =0.8391 ⑷ sin`50ù=OCÓ OÕAÓ= OCÓ1 =0.7660 ⑸ cos`50ù= ACÓ OÕAÓ= ACÓ1 =0.6428

2

⑴ sin`0ù+sin`30ù=0+ 12 =12 ⑵ sin`90ù-cos`0ù=1-1=0 ⑶ tan`0ù_cos`90ù=0_0=0 ⑷ sin`90ùÖtan`60ù=1Ö'3= 1'3= '33 y O 40° x 50° A B 1 0.7660C D 0.83911 0.6428

(5)

1. 삼각비 본교재 | 13 ~ 14 쪽

대표 유형

11 -11 -22 1.5355 2 -1 0.3675 2 -2 1.03 3 '63 3 -1'3 3 -244 -14 -21 -1 ABÓCDÓ이므로 ∠OAB=∠OCD=y ∴ cos`x= OBÓ

OAÓ= OBÓ1 =OBÓ, sin`y= OBÓ

OAÓ= OBÓ1 =OBÓ

 ④ 1 -2ADE에서 cos`x= ADÓ AEÓ= 1AEÓ ∴ AEÓ= 1cos`x  ⑤ 2 -1 △AOB에서 ∠OAB=180ù-(48ù+90ù)=42ù 이므로 tan`48ù= CDÓ OÕDÓ= CDÓ1 =CDÓ=1.1106 cos`42ù= ABÓ

OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.7431

∴ tan`48ù-cos`42ù‌‌=1.1106-0.7431‌ ‌

=0.3675  0.3675

2 -2

sin`x= ABÓ

OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.5150

cos`(90ù-x) =cos`(∠OAB)= ABÓ OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.5150 ∴ sin`x+cos`(90ù-x) =0.5150+0.5150 =1.03 1.03 3 -1 (주어진 식)=0_1+1_'3-0='3 '3 y y x A B C D O 1 y O A B D C x 0.6691 48° 42° 0.74311 1.1106 1 3 -2 ① (좌변)=0_ '2 =03 ② (좌변)=1+0=1 ③ (좌변)=(1-1)_'3=0 ④ (좌변)=(1-0)_(0+0)=0 ⑤ (좌변)={1+ 12 }_(0+1)=32 따라서 옳은 것은 ⑤이다.  ⑤ 4 -1 ① sin`0ù=0, cos`90ù=0이므로 sin`0ù=cos`90ù ② 0ùÉxÉ90ù일 때, x의 크기가 커지면 sin`x의 값은 증가하므로 sin`38ù<sin`43ù ③ 0ùÉxÉ90ù일 때, x의 크기가 커지면 cos`x의 값은 감소하므로 cos`20ù>cos`25ù ④ cos`0ù=1, sin`20ù<sin`90ù=1이므로 cos`0ù>sin`20ù ⑤ 0ùÉxÉ90ù일 때, x의 크기가 커지면 tan`x의 값은 증가하므로 tan`62ù<tan`70ù 따라서 대소 관계로 옳지 않은 것은 ③이다.  ③ 4 -2 ① sin`65ù<sin`90ù=1 ② cos`0ù=1 ③ sin`45ù<sin`65ù ④ tan`46ù>tan`45ù=1 ⑤ tan`70ù>tan`46ù 따라서 sin`45ù<sin`65ù<cos`0ù<tan`46ù<tan`70ù이므로 그 값이 가장 큰 것은 ⑤ tan`70ù이다.  ⑤

삼각비의 표

04

개념

본교재 | 15 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 0.5150 ⑵ 0.8387 ⑶ 0.6249 ⑷ 0.5736 ⑸ 0.8572 ⑹ 0.6745

2

⑴ 64ù ⑵ 62ù ⑶ 63ù

3

ABÓ, 0.4848, 48.48

(6)

본교재 | 16 쪽

대표 유형

5 30ù 5 -15 -2 1.0087 6 14.004 6 -1 6.725 5 -1 cos`51ù=0.6293이므로 x=51ù tan`49ù=1.1504이므로 y=49ùx-y=51ù-49ù=2ù 5 -2 sin`13ù+cos`12ù-tan`11ù‌‌=0.2250+0.9781-0.1944‌‌ =1.0087  1.0087 6 -1 cos`63ù= x5 =0.4540 ∴ x=2.27 sin`63ù= y5 =0.8910 ∴ y=4.455x+y=2.27+4.455=6.725 6.725 본교재 | 17 쪽

0

1

③, ⑤

0

2

1.38

0

3

-1

0

4

0

5

0

6

0

7

0

8

32.006 배운대로

해결하기

0

1

① sin`x= ABÓ

OAÓ= ABÓ1 =ABÓ ② cos`x= OBÓ

OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ ③ tan`x= CDÓ

ODÓ= CDÓ1 =CDÓ ④ sin`y= OBÓ

OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ ⑤ cos`z=cos`y= ABÓ

OAÓ= ABÓ1 =ABÓ

따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다.  ③, ⑤

0

2

△AOB에서

∠OAB=180ù-(54ù+90ù)=36ù이므로 sin`54ù= ABÓ

OAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.81 cos`36ù= ABÓ

OAÓ= ABÓ1 =ABÓ=0.81 54°

36° A 1.38 1 0.81 C B D 1 0.59 y O x tan`54ù= CDÓ ODÓ= CDÓ1 =CDÓ=1.38 ∴ sin`54ù-cos`36ù+tan`54ù‌‌=0.81-0.81+1.38‌ ‌ =1.38‌  1.38

0

3

(주어진 식)=0-1_1+0_ '2 =-1 3  -1

0

4

① (좌변)=0+0=0 ② (좌변)= 12 _0=0 ③ (좌변)=1+1_1=1+1=2 ④ (좌변)= 12 +1_12 -1=12 +12 -1=0 ⑤ (좌변)={0+ '3 }_{0+3 '33 }='33 _'33 =13 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.  ③

0

5

⑤ tan`A의 값 중 가장 작은 값은 tan`0ù=0이지만 tan`90ù의 값 은 정할 수 없으므로 tan`A의 가장 큰 값은 알 수 없다.  ⑤

0

6

① sin`0ù=0 ② cos`20ù<cos`0ù=1 ③ cos`45ù= '2 <cos`20ù2 ④ sin`35ù<sin`45ù= '22 ⑤ tan`45ù=1 따라서 sin`0ù<sin`35ù<cos`45ù<cos`20ù<tan`45ù이므로 삼각 비의 값 중 두 번째로 큰 것은 ② cos`20ù이다.  ②

0

7

④ sin`58ù=0.8480이므로 x=58ù  ④

0

8

∠A=180ù-(32ù+90ù)=58ù이므로 tan`58ù= BCÓ20 =1.6003 ∴ BCÓ=32.006  32.006 32° 58° A B C 20

(7)

1. 삼각비 본교재 | 18 ~ 20 쪽

0

1

0

2

8 15

0

3

0

4

36

0

5

0

6

79

0

7

3'32

0

8

ㄴ, ㄷ

0

9

'3

10

4'2

11

12

13

2'3

14

15

16

1.3270

17

'5 5

18

43

19

1.55

20

2-'3

21

22

2`sin`x 개념 넓히기로

마무리

0

1

BCÓ=¿¹('3)Û`+1Û`='4=2이므로 sin`B= ACÓ BCÓ= 12 , cos`B=ABÓBCÓ= ' 3 2 ∴ sin`B+cos`B= 12 +'32 =1+2'3  ①

0

2

△ADC에서 ACÓ=¿¹(4'5)Û`-4Û`='6Œ4=8 △ABC에서 BCÓ="Ã17Û`-8Û`='¶225=15 ∴ tan`B= ACÓ BCÓ= 815 815

0

3

△FGH에서 FHÓ="Ã3Û`+3Û`='1Œ8=3'2(cm) △BFH에서 BHÓ=¿¹3Û`+(3'2)Û`='2Œ7=3'3(cm) ∴ cos`x= FHÓ BHÓ= 3' 2 3'3= '63  ③

0

4

cos`B= 9 ABÓ= 35 이므로 ABÓ=15 이때 ACÓ="Ã15Û`-9Û`='¶144=12이므로 △ABC의 둘레의 길이는 ABÓ+BCÓ+CAÓ=15+9+12=36  36

0

5

tan`A='2이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù, ABÓ=1, BCÓ='2인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다. 이때 ACÓ=¿¹1Û`+('2)Û`='3이므로 sin`A= BCÓ ACÓ= '2'3= '63 cos`A= ABÓ ACÓ= 1'3= '33sin`Acos`A ='63 Ö'33 ='63 _'33 ='2  ④ A B C 1 2

0

6

△ABD와 △HAD에서 ∠D는 공통, ∠BAD=∠AHD=90ù이므로 △ABD»△HAD (AA 닮음) ∴ ∠ABD=∠HAD=x △ABD에서 BDÓ=¿¹(4'2‌)Û`+7Û`='8Œ1=9이므로 cos`x=cos`(∠ABD)= ABÓ BDÓ= 4'29 tan`x=tan`(∠ABD)= ADÓ ABÓ= 74'2= 7'28 ∴ cos`x_tan`x=4'29 _7'28 =79 79

0

7

△ABC와 △ADE에서 ∠A는 공통, ∠C=∠AED=90ù이므로 △ABC»△ADE (AA 닮음) ∴`∠ADE=∠B=x △AED에서 AEÓ="Ã4Û`-2Û`='1Œ2=2'3이므로 sin`x=sin`(∠ADE)= AEÓ ADÓ= 2'34 ='32 tan`x=tan`(∠ADE)= AEÓ DEÓ= 2'32 ='3 ∴ sin`x+tan`x= '2 +'3=3 3'32 3'32

0

8

ㄱ. sin`60ù_tan`30ù= '2 _3 '33 =12 ㄴ. cos`30ù_tan`60ù= '2 _'3=3 32 , 3`sin`30ù=3_12 =32 이 므로 cos`30ù_tan`60ù=3`sin`30ù ㄷ. sin`30ù-cos`60ù+tan`45ù= 12 -12 +1=1 ㄹ. '2`sin`45ù_cos`60ù+'3`tan`60ù‌ ‌ ='2_ '2 _2 12 +'3_'3=12 +3=72 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ㄴ, ㄷ

0

9

sin`45ù= '22 이므로 x+15ù=45ù ∴ x=30ù ∴ cos`x+sin`2x=cos`30ù+sin`60ù= '2 +3 '32 ='3 '3

10

ABD에서 cos`60ù= 4 BDÓ= 12 ∴ BDÓ=8 △BCD에서 sin`45ù= BCÓ8 ='22 ∴ BCÓ=4'2  4'2 x x B H C A 7 D 4 2 A B C D E x x 4 2

(8)

11

구하는 직선의 방정식을 y=ax+b라고 하면 a=(직선의 기울기)=tan`60ù='3 y='3x+b에 x=-3, y=0을 대입하면 0=-3'3+b ∴ b=3'3 따라서 구하는 직선의 방정식은 y='3x+3'3  ⑤

12

sin`a= ABÓ

OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ, cos`a=OÕAÓOBÓ= OBÓ1 =OBÓ

따라서 점 A의 좌표는 (cos`a, sin`a)이다.  ②

13

(주어진 식) =0_ '3 +'3_1+1_'3 3 ='3+'3=2'3  2'3

14

45ù<A<90ù일 때, '2 2 =sin`45ù<sin`A<sin`90ù=1 0=cos`90ù<cos`A<cos`45ù= '22 1=tan`45ù<tan`A ∴ cos`A<sin`A<tan`A  ③

15

ㄱ, ㄹ. sin`45ù<sin`75ù<sin`90ù=1 ㄴ. cos`0ù=1 ㄷ, ㅁ. 1=tan`45ù<tan`50ù<tan`65ù 따라서 sin`45ù<sin`75ù<cos`0ù<tan`50ù<tan`65ù이므로 작은 것부터 차례대로 나열하면 ㄱ-ㄹ-ㄴ-ㅁ-ㄷ이다.  ①

16

OBÓ=ODÓ-BDÓ=1-0.3982=0.6018 cos`x= OBÓ

OÕAÓ= OBÓ1 =OÕBÓ=0.6018이므로 x=53ù 이때 tan`53ù=CDÓ

ODÓ= CDÓ1 =CDÓ이므로 CDÓ=1.3270  1.3270

17

ABÓ`:`BCÓ=1`:`2이므로 ABÓ=a, BCÓ=2a(a>0)라고 하면

ACÓ=¿¹aÛ`+(2a)Û`='5a yy 40%

이때 cos`C= BCÓ ACÓ= 2a'5a= 2'55 , tan`C= ABÓ BCÓ= a2a =12 이므로 yy 40% cos`C_tan`C= 2'55 _12 ='55 yy 20%  '55

18

5`sin`A-4=0에서

5`sin`A=4 ∴ sin`A= 45 yy 20%

sin`A= 45 이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù, ACÓ=5, BCÓ=4인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다. yy 40% 이때 ABÓ="Ã5Û`-4Û`='9=3이므로 tan`A= BCÓ ABÓ= 43 yy 40% 43

19

△AOB에서 ∠OAB=180ù-(37ù+90ù)=53ù이므로 yy 20% sin`53ù= OBÓ

OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ=0.8 yy 30%

tan`37ù= CDÓ ODÓ= CDÓ1 =CDÓ=0.75 yy 30% ∴ sin`53ù+tan`37ù=0.8+0.75=1.55 yy 20%  1.55

20

△CDB에서 sin`30ù= 2 CDÓ= 12 ∴ CDÓ=4 tan`30ù= 2 DBÓ= '33 ∴ DBÓ=2'3 이때 ∠DCA=∠CAD=15ù이므로 ADÓ=CDÓ=4 ∴ ABÓ=4+2'3 따라서 △ABC에서 tan`15ù= CBÓ ABÓ=4+22'3=2-'3  2-'3

21

∠A=180ù_1+2+3 =30ù이므로1 tan`A_cos`A+sin`A

sin`A+cos`A =tan`30ù_cos`30ù+sin`30ùsin`30ù+cos`30ù ‌ ={ '3 _3 '32 +12 }Ö{12 +'32 } =1Ö 1+'32 = 21+'3='3-1  ②

22

0ù<x<90ù일 때, 0<sin`x<1이므로 sin`x+1>0, sin`x-1<0"Ã(sin`x+1)Û`-"Ã(sin`x-1)Û` =sin`x+1-{-(sin`x-1)}‌ =sin`x+1+sin`x-1‌‌ =2`sin`x  2`sin`x A B C 5 4

(9)

2. 삼각비의 활용 Ⅰ. 삼각비

2.

삼각비의 활용

직각삼각형의 변의 길이

01

개념

본교재 | 22 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 10, 10, 10, 5.7 ⑵ 10, 10, 10, 8.2

2

⑴ 20, 20, 20, 15 ⑵ 20, 20, 20, 25 본교재 | 23 쪽

대표 유형

1 11.28 1 -1 2.04 1 -222 -12 -2 23.1`m 1 -1 x=6`cos`31ù=6_0.86=5.16 y=6`sin`31ù=6_0.52=3.12x-y=5.16-3.12=2.04 2.04 1 -2 ∠A=180ù-(33ù+90ù)=57ù이므로 BCÓ=tan`33ù12 =12`tan`57ù  ④ 2 -1 (나무의 높이)=20`tan`50ù=20_1.2=24(m)  ④ 2 -2 손에서 연까지의 높이는 30`sin`46ù=30_0.72=21.6(m) 따라서 지면에서 연까지의 높이는 1.5+21.6=23.1(m)  23.1`m

일반 삼각형의 변의 길이

02

개념

본교재 | 24 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 3'3 ⑵ 6 ⑶ 3'7

2

⑴ 60ù ⑵ 4'2` ⑶ 8'63 33° 57° A B C 12

1

⑴ △ABH에서 AÕHÓ=6`sin`60ù=6_ '32 =3'3 ⑵ △ABH에서 BÕHÓ=6`cos`60ù=6_ 12 =3 ∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ=9-3=6 ⑶ △AHC에서 ACÓ=¿¹(3'3)Û`+6Û`='6Œ3=3'7

2

⑴ ∠A=180ù-(45ù+75ù)=60ù ⑵ △BCH에서 CHÓ=8`sin`45ù=8_ '22 =4'2 ⑶ △AHC에서 ACÓ=sin`60ù4'2 =4'2_ 2 '3= 8'63 본교재 | 25 쪽

대표 유형

3 '7 3 -1 3'5 3 -2 14`km 4 2'6 4 -1 10'2 4 -23 -1 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 고 하면 △ABH에서 AHÓ=6'2`sin`45ù=6'2_ '2 =62 BHÓ=6'2`cos`45ù=6'2_ '2 =62 이때 CHÓ=BCÓ-BHÓ=9-6=3이므로 △AHC에서 ACÓ=¿¹6Û`+3Û`='4Œ5=3'5 3'5 3 -2 꼭짓점 A에서‌BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △AHC에서 AÕHÓ‌‌=10`sin`60ù‌ ‌ =10_ '32 =5'3(km) CHÓ=10`cos`60ù=10_ 12 =5(km) 이때 BHÓ=BCÓ-CHÓ=16-5=11(km)이므로 △ABH에서 ABÓ=¿¹11Û`+(5'3‌)Û`='¶196=14(km) 따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 14`km이다.  14`km 4 -1 ∠A=180ù-(30ù+105ù)=45ù 꼭짓점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 고 하면 △BCH에서 CÕHÓ=20`sin`30ù=20_ 12 =10 A B H C 6 2 45° 9 60° H A B C 16`km 10`km 30° 105° 45° A C H B 20

(10)

따라서 △AHC에서 ACÓ= 10sin`45ù=10_ 2'2=10'2  10'2 4 -2 ∠A=180ù-(60ù+75ù)=45ù 꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 고 하면 △BHC에서 BÕHÓ=12`sin`60ù=12_ '32 =6'3(m) △AHB에서 ABÓ=sin`45ù6'3 =6'3_ 2 '2=6'6(m) 따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 6'6`m이다.  ④

삼각형의 높이

03

개념

본교재 | 26 쪽 개념 콕콕

1

tan`60ù, '3h, tan`45ù, h, '3h, h, '3, 1, '3+1, 5('3-1)

2

⑴ ∠BAH=60ù, ∠CAH=30ù ⑵ BHÓ='3h, CHÓ= '3 h3 ⑶ 4'3

2

⑴△ABH에서 ∠BAH=180ù-(30ù+90ù)=60ù △ACH에서 ∠CAH=120ù-90ù=30ù ⑵△ABH에서 BHÓ=h`tan`60ù='3hACH에서 CHÓ=h`tan`30ù= '33 h ⑶ BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 8='3h- '3 h, 3 2'33 h=8 ∴ h=4'3 본교재 | 27 쪽

대표 유형

5 6(3-'3) 5 -1 2'3 5 -2 20('3-1)`m 6 3('3+1) 6 -1 5(3+'3) 6 -2 50'3`m 5 -1 AHÓ=h라고 하면

ABH에서 ∠BAH=60ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h

AHC에서 ∠CAH=30ù이므로 CHÓ=h`tan`30ù= '33 h

75° 75° 45° 45° A C H B 60° 12`m 이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 8='3h+ '3 h, 3 4'33 h=8 ∴ h=2'3 ∴ AHÓ=2'3 2'3 5 -2 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고 AHÓ=h`m라고 하면 △ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 BÕHÓ=h`tan`45ù=h(m) △AHC에서 ∠CAH=60ù이므로 CHÓ=h`tan`60ù='3h(m) 이때 BCÓ=BÕHÓ+CÕHÓ이므로 40=h+'3h, (1+'3)h=40 ∴ h= 401+'3=20('3-1) 따라서 지면으로부터 기구까지의 높이는 20('3-1)`m이다.  20('3-1)`m 6 -1 AHÓ=h라고 하면

ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h

ACH에서 ∠CAH=30ù이므로 CHÓ=h`tan`30ù= '33 h

이때 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 10=h- '3 h, 3 3-3'3h=10 ∴ h= 30 3-'3=5(3+'3) ∴ AHÓ=5(3+'3) 5(3+'3) 6 -2 ADÓ=h`m라고 하면

ABD에서 ∠BAD=60ù이므로 BDÓ=h`tan`60ù='3h(m)

ACD에서 ∠CAD=30ù이므로 CDÓ=h`tan`30ù= '33 h(m)

이때 BCÓ=BDÓ-CDÓ이므로 100='3h- '3 h, 3 2'33 h=100 ∴ h=50'3 따라서 산의 높이는 50'3`m이다.  50'3`m 본교재 | 28 쪽

0

1

②, ⑤

0

2

150'3`cmÜ`

0

3

0

4

(30+10'3)`m

0

5

0

6

9'6

0

7

30(3-'3 )`m

0

8

4('3+1)`cmÛ` 배운대로

해결하기

h`m H 30° 45° 40`m B A C

(11)

2.

삼각비의 활용

0

1

② tan`B= ba 이므로 a=tan`Bb

⑤ cos`A= bc 이므로 c=cos`A b  ②, ⑤

0

2

CGÓ=10`sin`60ù=10_ '32 =5'3(cm) FGÓ=10`cos`60ù=10_ 12 =5(cm) 따라서 직육면체의 부피는 6_5_5'3=150'3(cmÜ`) 150'3`cmÜ`

0

3

ABÓ=6`tan`32ù=6_0.6=3.6(m) ACÓ=cos`32ù =6 0.8 =7.5(m)6 ∴ (부러지기 전의 나무의 높이) =ABÓ+ACÓ =3.6+7.5=11.1(m)  ①

0

4

△CHD에서 DÕHÓ=30`tan`30ù=30_ '33 =10'3(m) △CEH에서 EHÓ=30`tan`45ù=30_1=30(m) ∴ DEÓ=DÕHÓ+EHÓ=10'3+30(m) 따라서 건물 B의 높이는 (30+10'3)`m이다.  (30+10'3)`m

0

5

∠B=180ù-135ù=45ù 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 AHÓ=3'2`sin`45ù=3'2_ '2 =32 BHÓ=3'2`cos`45ù=3'2_ '2 =32 이때 CHÓ=BCÓ-BHÓ=7-3=4이므로 △AHC에서 ACÓ="Ã3Û`+4Û`='2Œ5=5  ②

0

6

∠A=180ù-(75ù+60ù)=45ù 꼭짓점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하 면 △BCH에서 BHÓ=18`sin`60ù=18_ '32 =9'3 따라서 △ABH에서 ABÓ= 9'3sin`45ù =9'3_'22 =9'6  9'6 30° 45° C D 30`m A B H E 135° 45° C D H A B 7 3 2 75° 45° 60° H A C B 18

0

7

꼭짓점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H 라 하고 CHÓ=h`m라고 하면 △CAH에서 ∠ACH=45ù이므로 AHÓ=h`tan`45ù=h(m) △CHB에서 ∠BCH=30ù이므로 BHÓ=h`tan`30ù= '33 h(m) 이때 ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로 60=h+ '3 h, 3 3+3'3h=60 ∴ h= 180 3+'3=30(3-'3) 따라서 나무의 높이는 30(3-'3)`m이다.  30(3-'3)`m

0

8

AHÓ=h`cm라고 하면ABH에서 ∠BAH=60ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h(cm)ACH에서 ∠CAH=45ù이므로 CHÓ=h`tan`45ù=h(cm) 이때 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 4='3h-h, ('3-1)h=4 ∴ h= 4'3-1=2('3+1) ∴ △ABC = 12_4_2('3+1) =4('3+1)(cmÛ`)  4('3+1)`cmÛ`

삼각형의 넓이

04

개념

본교재 | 29 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 12`cmÛ` ⑵ 15'3`cmÛ` ⑶ 6'2`cmÛ` ⑷ 14`cmÛ`

2

⑴ 21'2`cmÛ` ⑵ 9'32 `cmÛ` ⑶ 10`cmÛ` ⑷ 352'3`cmÛ`

1

⑴ △ABC = 12 _6_8_sin`30ù = 12 _6_8_12 =12(cmÛ`) ⑵ △ABC = 12 _5_12_sin`60ù = 12 _5_12_'32 =15'3(cmÛ`) ⑶ △ABC = 12 _6_4_sin`45ù = 12 _6_4_'22 =6'2(cmÛ`) ⑷ △ABC = 12 _8_7_sin`30ù = 12 _8_7_12 =14(cmÛ`) 45° 60° H C A h`m B 60`m

(12)

2

⑴ △ABC‌‌= 12 _14_6_sin`(180ù-135ù)‌ ‌ = 12 _14_6_'22 =21'2(cmÛ`) ⑵ △ABC‌‌= 12 _6_3_sin`(180ù-120ù)‌ ‌ = 12 _6_3_'32 =9'32 (cmÛ`) ⑶ △ABC‌‌= 12 _8_5_sin`(180ù-150ù)‌ ‌ = 12 _8_5_12 =10(cmÛ`) ⑷ △ABC‌‌= 12 _7_10_sin`(180ù-120ù)‌ ‌ = 12 _7_10_'32 =352 (cmÛ`)'3 본교재 | 30 쪽

대표 유형

1 60ù 1 -1 30ù 1 -222 -12 -2 49'3`cmÛ` 1 -1 1 2 _11_12_sin`C=33이므로 sin`C=12 이때 sin`30ù= 12 이므로 ∠C=30ù  30ù 1 -2 ∠C=∠B=75ù이므로 ∠A=180ù-(75ù+75ù)=30ù ∴ △ABC‌‌= 12 _6_6_sin`30ù‌ = 12 _6_6_12 =9(cmÛ`)  ① 2 -1 1 2 _ABÓ_10_sin`(180ù-120ù)=15'3이므로 1 2 _ABÓ_10_'32 =15'3,‌5'32 ABÓ=15'3 ∴ ABÓ=6(cm)  ③ 2 -2 ∠C=180ù-(30ù+120ù)=30ù이므로 ABC는 ABÓ=BCÓ인 이 등변삼각형이다. ∴ △ABC = 12 _14_14_sin`(180ù-120ù) = 12 _14_14_'32 =49'3(cmÛ`) 49'3`cmÛ`

사각형의 넓이

05

개념

본교재 | 31 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 24'3`cmÛ` ⑵ 21'2`cmÛ` ⑶ 60'3`cmÛ` ⑷ 12`cmÛ`

2

⑴ 20'3`cmÛ` ⑵ 634'2`cmÛ`

1

⑴ ABCD‌‌=6_8_sin`60ù‌ ‌ =6_8_ '32 =24'3(cmÛ`) ⑵ ABCD‌‌=7_6_sin`45ù‌ ‌ =7_6_ '22 =21'2(cmÛ`) ⑶ ABCD‌‌=10_12_sin`(180ù-120ù)‌ ‌ =10_12_ '32 =60'3(cmÛ`) ⑷ ABCD‌‌=4_6_sin`(180ù-150ù)‌ ‌ =4_6_ 12 =12(cmÛ`)

2

ABCD‌‌= 12 _10_8_sin`60ù‌‌ = 12 _10_8_'32 =20'3(cmÛ`) ABCD‌‌= 12 _7_9_sin`(180ù-135ù)‌‌ = 12 _7_9_'22 =634 (cmÛ`)'2 본교재 | 32 쪽

대표 유형

3 10`cm 3 -1 7`cm 3 -24 35'3`cmÛ` 4 -14 -2 30ù 3 -1 12_DCÓ_sin`(180ù-135ù)=42'2이므로 12_DCÓ_ '2 =42'2, 6'2 DCÓ=42'22 ∴ DCÓ=7(cm) 7`cm

(13)

2.

삼각비의 활용

3 -2

BCÓ=ADÓ=6(cm)이므로

APD‌‌= 14ABCD=14 _(4_6_sin`60ù)‌

= 14_{4_6_'32 }=3'3(cmÛ`)  ② 4 -1 △AOD에서 ∠AOD=180ù-(30ù+15ù)=135ù ∴ ABCD‌‌= 12 _7_8_sin`(180ù-135ù)‌‌ = 12 _7_8_'22 =14'2(cmÛ`)  ② 4 -2 1 2 _12_10_sin`x=30이므로 sin`x=12 이때 sin`30ù= 12 이므로 ∠x=30ù  30ù 본교재 | 33 쪽

0

1

0

2

4'2`cmÛ``

0

3

32'2`cmÛ`

0

4

135ù

0

5

14'3`cmÛ`

0

6

50`cmÛ`

0

7

0

8

③ 배운대로

해결하기

0

1

1 2 _5'3_ACÓ_sin`60ù=30이므로 1 2 _5'3_ACÓ_'32 =30, 154 ACÓ=30 ∴ ACÓ=8(cm)  ④

0

2

점 G가 △ABC의 무게중심이므로 △GBC‌‌= 13ABC= 13 _{12 _6_8_sin`45ù} = 13 _{12 _6_8_'22 } =4'2(cmÛ`)  4'2`cmÛ`

0

3

점 O를 지나는 정팔각형의 대각선을 모두 그으 면 정팔각형은 두 변의 길이가 각각 4`cm이고 그 끼인각의 크기가 45ù인 8개의 합동인 이등변 삼각형으로 나누어진다. 4`cm O 45° ∴ (정팔각형의 넓이) =8_{ 12 _4_4_sin`45ù} =8_{ 12 _4_4_'22 } =32'2(cmÛ`)  32'2`cmÛ`

0

4

1 2 _13_12_sin`(180ù-B)=39'2이므로 sin`(180ù-B)= '22 이때 sin`45ù= '2 이므로2 180ù-∠B=45ù ∴ ∠B=135ù  135ù

0

5

BDÓ를 그으면 ABCD =△ABD+△BCD = 12 _2'3_4_sin`(180ù-150ù)+ 12 _6_8_sin`60ù = 12 _2'3_4_12 +12 _6_8_'32 =2'3+12'3=14'3(cmÛ`)  14'3`cmÛ`

0

6

마름모 ABCD는 네 변의 길이가 같은 평행사변형이므로 ABCD =10_10_sin`30ù =10_10_ 12 =50(cmÛ`) 50`cmÛ`

0

7

AMC‌‌= 14 ‌ABCD=14 _(14_16_sin`45ù)

= 14 _{14_16_'22 }=28'2(cmÛ`)  ③

0

8

BDÓ=x`cm라고 하면 ABCD는 등변사다리꼴이므로 ACÓ=BDÓ=x(cm) 이때 12 _x_x_sin`(180ù-120ù)=16'3이므로 1 2 _x_x_'32 =16'3, '34 xÛ`=16'3 xÛ`=64 ∴ x=8 (∵ x>0) ∴ BDÓ=8(cm)  ③ 60° 150° C D A B 8`cm 6`cm 4`cm 2 3 cm

(14)

본교재 | 34 ~ 36 쪽

0

1

②, ③

0

2

8'33 p`cmÜ`

0

3

0

4

(12-6'3‌)`cm

0

5

50'3`m

0

6

0

7

8'6

0

8

0

9

10(3+'3‌)`m

10

9'3`cmÛ`‌

11

12

126`cmÛ`‌

13

14

16`cm

15

4'2`cmÛ`

16

17

10('3-1)`m

18

'3Œ7

19

(12p-9'3‌)`cmÛ`

20

253'3`cmÛ`

21

125'3

22

③ 개념 넓히기로

마무리

0

1

∠A‌‌=180ù-(90ù+51ù)‌ ‌ =39ù 이므로 ABÓ=7`sin`51ù=7`cos`39ù  ②, ③

0

2

△ABO에서 AOÓ=4`sin`60ù=4_ '32 =2'3(cm) BOÓ=4`cos`60ù=4_ 12 =2(cm) ∴ (부피)= 13 _p_2Û`_2'3=8'33 p(cmÜ`) 8'33 p`cmÜ`

0

3

△ACB에서 BCÓ=10`tan`50ù=10_1.2=12(m) ∴ BDÓ=BCÓ+CDÓ=12+1.6=13.6(m) 따라서 나무의 높이는 13.6`m이다.  ③

0

4

점 B에서‌OÕAÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △OBH에서 OHÓ=12`cos`30ù=12_ '32 =6'3(cm) ∴ AÕHÓ=OÕAÓ-OÕHÓ=12-6'3(cm) 따라서 B 지점은 A 지점을 기준으로 (12-6'3)`cm의 높이에 있다.  (12-6'3)`cm

0

5

ABH에서 AÕHÓ‌‌=100`cos`30ù=100_ '32 =50'3(m) △AHC에서 CÕHÓ=50'3`tan`45ù=50'3_1=50'3(m)‌ 따라서 산의 높이는 50'3`m이다.  50'3`m 51° 39° A B C 7 30° 12`cm A B B' O H

0

6

꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 AHÓ=15`sin`B=15_ 35 =9 BHÓ=15`cos`B=15_ 45 =12 이때 CHÓ=BCÓ-BHÓ=18-12=6이므로 △AHC에서 ACÓ="Ã9Û`+6Û`='¶117=3'1Œ3  ④

0

7

∠A=180ù-(60ù+75ù)=45ù 꼭짓점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △AHC에서 CÕHÓ=24`sin`45ù=24_ '22 =12'2 따라서 △BCH에서 BCÓ=sin`60ù =12'2_12'2 '32 =8'6  8'6

0

8

AÕHÓ=h라고 하면 △ABH에서 ∠BAH=40ù이므로 BHÓ=h`tan`40ù △AHC에서 ∠CAH=50ù이므로 CHÓ=h`tan`50ù 이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 12=h`tan`40ù+h`tan`50ù h(tan`40ù+tan`50ù)=12h=tan`40ù+tan`50ù ‌12 따라서 AHÓ의 길이를 구하는 식은 ③이다.  ③

0

9

AÕHÓ=h`m라고 하면 △ABH에서 ∠BAH=45ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h(m) △ACH에서 ∠CAH=45ù-15ù=30ù이므로 CHÓ=h`tan`30ù= '33 h(m) 이때 BCÓ=BÕHÓ-CHÓ이므로 20=h- '3 h, 3 3-3'3h=20h= 603-'3=10(3+'3‌) 따라서 건물의 높이는 10(3+'3‌)`m이다.  10(3+'3‌)`m H A C B 15 18 A B C H 60° 24 75° 45°

(15)

2.

삼각비의 활용

10

AEÓDCÓ이므로 △AED=△AEC

∴ ABED‌‌=△ABE+△AED‌‌

=△ABE+△AEC‌‌ =△ABC = 12 _4_9_sin`60ù‌‌ = 12 _4_9_'32 =9'3(cmÛ`)  9'3`cmÛ`

11

△ABD는 직각이등변삼각형이므로 AÕDÓ=ABÓ=3'2(cm) 또, BDÓ= 3'2 sin`45ù=3'2_ 2'2=6(cm) ∴ ABCD‌‌=△ABD+△BCD‌ ‌ = 12 _3'2_3'2+12 _6_5_sin`30ù = 12 _3'2_3'2+12 _6_5_12 =9+ 152 =332 (cmÛ`)  ②

12

BDÓ를 그으면 ABCD =△ABD+△BCD =‌‌12_6_6'2_sin`(180ù-135ù)‌‌ + 12 _12'2_18_sin`45ù = 12_6_6'2_'22 +12 _12'2_18_'22 ‌ ‌ =18+108=126(cmÛ`)  126`cmÛ`

13

ABCD는 정사각형이므로 ABÓ=ADÓ=8(cm) △ADE에서 AEÓ=8`sin`60ù=8_ '32 =4'3(cm) 이때 ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90ù+30ù=120ù이므로 △ABE‌‌= 12 _8_4'3_sin`(180ù-120ù)‌ ‌ = 12 _8_4'3_'32 =24(cmÛ`)  ③

14

마름모 ABCD의 한 변의 길이를 x`cm라고 하면 x_x_sin`(180ù-120ù)=8'3이므로 x_x_ '2 =8'33 '3 2 xÛ`=8'3, xÛ`=16 ∴ x=4‌(∵ x>0) 45° 135° C D A B 18`cm 6`cm 6 2 cm 12 2 cm 따라서 마름모 ABCD의 둘레의 길이는 4_4=16(cm)  16`cm

15

∠A`:`∠B=3`:`1이므로 ∠B=180ù_ 13+1 =45ù ∴ △ABO = 14 ABCD‌= 14 _(4_8_sin`45ù)‌‌ = 14 _{4_8_'22 } =4'2(cmÛ`)  4'2`cmÛ`

16

BÕDÓ=x`cm라고 하면 ACÓ= 12 x(cm) 1 2 _12 x_x_sin`60ù=18'3이므로 1 2 _12 x_x_'32 =18'3 '3 8 xÛ`=18'3, xÛ`=144 ∴ x=12‌(∵ x>0)‌ ∴ BDÓ=12(cm)  ④

17

ADB에서 BDÓ=10`tan`60ù=10'3(m) yy 35%ADC에서 CDÓ=10`tan`45ù=10(m) yy 35% 따라서 국기 게양대의 높이는 BCÓ =BDÓ-CDÓ=10'3-10 =10('3-1)(m) yy 30%10('3-1)`m

18

꼭짓점 A에서 BCÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하면 ∠ACH=180ù-120ù=60ù yy 20% △ACH에서 AÕHÓ=4`sin`60ù=4_ '32 =2'3 CHÓ=4`cos`60ù=4_ 12 =2 yy 40% 이때 BHÓ=BCÓ+CHÓ=3+2=5이므로 △ABH에서 ABÓ=¿¹5Û`+(2'3)Û`='3Œ7 yy 40% '3Œ7 H 120° A B 3 C 4

(16)

19

OCÓ를 그으면 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OCA=∠OAC=30ù ∴ ∠AOC‌‌=180ù-(30ù+30ù)‌‌ =120ù yy 40% ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC =p_6Û`_ 120360 -12 _6_6_sin`(180ù-120ù) =p_6Û`_ 13- 12 _6_6_'32 =12p-9'3(cmÛ`) yy 60%  (12p-9'3‌)`cmÛ`

20

BEÓ를 그으면 △BEA와 △BEC'에서

∠BAE=∠BC'E=90ù, BEÓ는 공통, BÕAÓ=BÕC'Ó이므로 △BEAª△BEC' (RHS 합동) ∴ ∠ABE‌‌=∠C'BE‌ ‌ = 12 _(90ù-30ù)=30ù 이때 △BC'E에서 EÕC'Ó=5`tan`30ù=5_ '33 =5'33 (cm) ∴ ABC'E‌‌=2△BC'E‌ ‌ =2_{ 12_5_5'33 }=253 (cmÛ`) '3253 `cmÛ`'3

21

∠BAD=∠CAD= 12 ∠BAC=12 _60ù=30ù

이때 △ABC=△ABD+△ADC이므로

1

2 _4_6_sin`60ù

= 12 _4_AÕDÓ_sin`30ù+12 _AÕDÓ_6_sin`30ù 1

2 _4_6_'32 =12 _4_AÕDÓ_12 +12 _AÕDÓ_6_12

6'3=AÕDÓ+ 32 AÕDÓ, 52 AÕDÓ=6'3

∴ AÕDÓ=125 ‌'3125'3

22

두 대각선이 이루는 예각의 크기를 ∠x라고 하면 ABCD= 12 _7_10_sin`x=35`sin`x 이때 sin`x의 값 중 가장 큰 값은 1이므로 ABCD의 넓이 중 가 장 큰 값은 35`cmÛ`이다.  ③ 30° C O A 6`cm B 30° C C' D D' E A A' B 5`cm Ⅱ. 원의 성질

1.

원과 직선

현의 수직이등분선

01

개념

본교재 | 38 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 2 ⑵ '3 ⑶ 14 ⑷ 2'5 ⑸ 6 ⑹ 4'2

1

x=2AÕMÓ=2_7=14x=2MòBÓ=2_'5=2'5 ⑸ x= 12 ABÓ=12 _12=6x= 12 ABÓ=12 _8'2=4'2 본교재 | 39 ~ 40 쪽

대표 유형

1 6`cm 1 -1 4`cm 1 -22 5`cm 2 -1 253 `cm 2 -23 15`cm 3 -1 10`cm 3 -24 8'3`cm 4 -1 4'6`cm 4 -21 -1 직각삼각형 OMB에서 BÕMÓ=¿¹(2'2)Û`-2Û`='4=2(cm) ∴ ABÓ=2BÕMÓ=2_2=4(cm)  4`cm 1 -2 AÕMÓ= 12 ABÓ=12 _30=15(cm) OÕAÓ를 그으면 직각삼각형 OAM에서 OÕAÓ="Ã15Û`+8Û`='¶289=17(cm) 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_17=34p(cm)  ⑤ 2 -1 OÕBÓ=r`cm라고 하면 OCÓ=OBÓ=r(cm)이므로 OÕMÓ=r-6(cm) BÕMÓ=AÕMÓ=8(cm)이므로 직각삼각형 OMB에서 rÛ`=(r-6)Û`+8Û`, rÛ`=rÛ`-12r+36+64 12r=100 ∴ r= 253 ∴ OBÓ=253 (cm) 253 `cm A M B O 8`cm 30`cm

(17)

1. 원과 직선 2 -2 OCÓ=OBÓ=6(cm)이므로 OÕMÓ=6-3=3(cm) 직각삼각형 OMB에서 MòBÓ="Ã6Û`-3Û`='¶27=3'3(cm)‌ ∴ ABÓ=2MòBÓ=2_3'3=6'3(cm)  ③ 3 -1 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OÕAÓ=r`cm, ODÓ=r-4(cm) 직각삼각형 AOD에서 rÛ`=8Û`+(r-4)Û`, rÛ`=64+rÛ`-8r+16 8r=80 ∴ r=10 따라서 원의 반지름의 길이는 10`cm이다.  10`cm 3 -2 AÕDÓ= 12 ABÓ=12 _24=12(cm) 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 O라고 하면 직각삼각형 AOD 에서 OÕDÓ="Ã13Û`-12Û`='¶25=5(cm) ∴ CÕDÓ=OCÓ-OÕDÓ=13-5=8(cm)  ② 4 -1 OÕAÓ를 긋고 점 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발 을 M이라고 하면 OÕAÓ=4'2`cm OÕMÓ= 12 OÕAÓ=12 _4'2=2'2(cm) 직각삼각형 AOM에서 AÕMÓ=¿¹(4'2)Û`-(2'2)Û`='¶24=2'6(cm) ∴ ABÓ=2AÕMÓ=2_2'6=4'6(cm)  4'6`cm 4 -2 OÕAÓ를 긋고 점 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발 을 M이라고 하자. 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OÕAÓ=r`cm OÕMÓ= 12 OÕAÓ=12 r(cm) A B C O 4`cm 8`cm D r`cm (r-4)`cm D 12`cm 13`cm A B C O A M B O B A O M 14 3 cm AÕMÓ= 12 ABÓ=12 _14'3=7'3(cm)이므로 직각삼각형 OAM에서 rÛ`=(7'3‌)Û`+{ 12 r}2`, rÛ`=147+14 rÛ` 3 4 rÛ`=147, rÛ`=196r=14 (∵ r>0) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 14`cm이다.  ②

현의 길이

02

개념

본교재 | 41 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 5 ⑵ 7 ⑶ 8 ⑷ 6

2

⑴ 5 ⑵ 6

1

⑶ OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CBÓ ∴ x= 12 CBÓ=12 ABÓ=12 _16=8 ⑷ OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ ∴ x=CDÓ=2CNÓ=2_3=6

2

⑵ ABÓ=2BÕMÓ=2_7=14 즉, ABÓ=CDÓ이므로 x=OÕNÓ=6 본교재 | 42 쪽

대표 유형

5 6`cm 5 -1 8`cm 5 -26 65ù 6 -1 58ù 6 -25 -1 직각삼각형 OND에서 DÕNÓ=¿¹(2'5)Û`-2Û`='¶16=4(cm) ∴ CDÓ=2DÕNÓ=2_4=8(cm) 이때 OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=8(cm)  8`cm

(18)

5 -2 CNÓ= 12 CDÓ=12 _12=6(cm)이므로 직각삼각형 OCN에서‌ OÕNÓ="Ã10Û`-6Û`='¶64=8(cm) 이때 ABÓ=2AÕMÓ=2_6=12(cm)이므로 ABÓ=CDÓ ∴ OÕMÓ=ONÓ=8(cm)  ③ 6 -1 OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ 따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ACB= 12 _(180ù-64ù)=58ù 58ù 6 -2 OÕDÓ=OÕEÓ=OÕFÓ이므로 AÕBÓ=BCÓ=CÕAÓ 따라서 △ABC는 정삼각형이므로 △ABC의 둘레의 길이는 3_12=36(cm)  ⑤ 본교재 | 43 쪽

0

1

0

2

0

3

16p`cmÛ`

0

4

13`cm

0

5

4'3`cm

0

6

4'2`cm

0

7

0

8

40ù 배운대로

해결하기

0

1

오른쪽 그림과 같은 원 O에서 AÕMÓ= 12 ABÓ=12 _6=3(cm) 직각삼각형 OAM에서 OÕMÓ="Ã4Û`-3Û`='7(cm) 따라서 구하는 거리는 '7`cm이다.  ③

0

2

원 O의 반지름의 길이가 10`cm이므로 OCÓ=10`cm ∴ OÕMÓ= 12 `OCÓ=12 _10=5(cm) 직각삼각형 OMB에서‌ MòBÓ="Ã10Û`-5Û`='¶75=5'3(cm) ∴ AÕMÓ=MòBÓ=5'3(cm)  ④

0

3

직각삼각형 MCB에서 MòBÓ=¿¹(2'6 )Û`-3Û`='1Œ5(cm) OBÓ를 긋고 원 O의 반지름의 길이를 r`cm 라고 하면 OBÓ=r`cm, OÕMÓ=r-3(cm) O A M B 4`cm 6`cm O A B C M 3`cm 2 6 cm 직각삼각형 OMB에서 rÛ`=(r-3)Û`+('1Œ5)Û` rÛ`=rÛ`-6r+9+15, 6r=24 ∴ r=4 ∴ (원 O의 넓이)=p_4Û`=16p(cmÛ`) 16p`cmÛ`

0

4

현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므 로 원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OÕAÓ=r`cm, ODÓ=r-4(cm) ADÓ= 12 ABÓ=12 _12=6(cm)이므로 직각삼각형 AOD에서 rÛ`=6Û`+(r-4)Û` rÛ`=36+rÛ`-8r+16 8r=52 ∴ r= 132 따라서 원래의 접시의 지름의 길이는 13 2 _2=13(cm)  13`cm

0

5

OÕAÓ를 그으면 OÕAÓ=2OÕMÓ=2_2=4(cm) 직각삼각형 OAM에서 AÕMÓ="Ã4Û`-2Û`='1Œ2=2'3(cm) ∴ ABÓ=2AÕMÓ=2_2'3=4'3(cm) 4'3`cm

0

6

OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=CDÓ=8(cm)

이때 AÕMÓ= 12 ABÓ=12 _8=4(cm)이므로 직각삼각형 OAM에서

OÕAÓ="Ã4Û`+4Û`='¶32=4'2(cm)  4'2`cm

0

7

점 O에서 CDÓ에 내린 수선의 발을 N이라고 하 면 ABÓ=CDÓ이므로 ONÓ=OÕMÓ=2'6(cm) 직각삼각형 OND에서 DNÓ=¿¹7Û`-(2'6)Û`='¶25=5(cm) 따라서 CDÓ=2DÕNÓ=2_5=10(cm)이므로 △OCD= 12 _10_2'6=10'6(cmÛ`)  ③

0

8

OÕMÓ=OÕNÓ이므로 ABÓ=ACÓ 따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠BAC=180ù-2_70ù=40ù  40ù A C B D O 6`cm (r-4)`cm 4`cm r`cm (r-4)`cm r`cm A M B O 2 cm O M N A B C D 7`cm 2 6 cm

(19)

1. 원과 직선

원의 접선

03

개념

본교재 | 44 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 60 ⑵ 4

2

⑴ 130ù ⑵ 65ù

3

⑴ 9 ⑵ 70

1

⑴ ∠PTO=90ù이므로 직각삼각형 OPT에서 ∠POT=180ù-(30ù+90ù)=60ù ‌ ∴ x=60 ⑵ ∠PTO=90ù이므로 직각삼각형 POT에서 ‌ PTÓ="Ã5Û`-3Û`='¶16=4(cm)x=4

2

⑴ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서 ∠x‌‌=360ù-(90ù+50ù+90ù)‌ ‌ =130ù ⑵ ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 AOBP에서 ∠x‌‌=360ù-(90ù+115ù+90ù)‌‌ =65ù

3

⑵ PÕAÓ=PBÓ이므로 △PAB에서 ∠PBA=∠PAB=70ù ‌ ∴ x=70 본교재 | 45 ~ 46 쪽

대표 유형

1 4`cm 1 -1 3`cm 1 -2 5`cm 2 5'3`cm 2 -1 2'1Œ0`cm 2 -23 5`cm 3 -1 10`cm 3 -2 5`cm 4 12`cm 4 -1 8'6`cm 4 -2 14p`cmÛ` 1 -1 ∠PTO=90ù이므로 직각삼각형 PTO에서 POÓ=¿¹(3'3)Û`+3Û`='¶36=6(cm) ∴ PÕAÓ=POÓ-AOÓ=6-3=3(cm)  3`cm 1 -2 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OÕAÓ=OTÓ=r(cm), OPÓ=r+8(cm) 이때 ∠OTP=90ù이므로 직각삼각형 OTP에서 (r+8)Û`=rÛ`+12Û`, rÛ`+16r+64=rÛ`+144 16r=80 ∴ r=5 따라서 원 O의 반지름의 길이는 5`cm이다. 5`cm 2 -1 OQÓ=OÕAÓ=3(cm)이므로 POÓ=4+3=7(cm) ∠PAO=90ù이므로 직각삼각형 POA에서 PÕAÓ="Ã7Û`-3Û`='¶40=2'¶10(cm) ∴ PBÓ=PÕAÓ=2'¶10(cm)  2'¶10`cm 2 -2 ∠PAO=90ù이므로 ∠PAB=90ù-22ù=68ù 이때 △PBA는 PÕAÓ=PBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠APB=180ù-2_68ù=44ù  ③ 3 -1 ADÓ=AFÓ=20(cm)이므로 BEÓ=BDÓ=20-16=4(cm) CEÓ=CFÓ=20-14=6(cm) ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=4+6=10(cm)  10`cm 3 -2 BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ이므로 ADÓ+AF‌‌Ó=(ABÓ+BDÓ)+(ACÓ+CFÓ)‌ ‌ =(ABÓ+BEÓ)+(ACÓ+CEÓ)‌ =ABÓ+(BEÓ+CEÓ)+ACÓ‌ ‌ =ABÓ+BCÓ+ACÓ‌ ‌ =7+8+9=24(cm) 이때 ADÓ=AFÓ이므로 2ADÓ=24 ∴ ADÓ=12(cm) ∴ BDÓ=12-7=5(cm)  5`cm 4 -1 CEÓ=CÕAÓ=8(cm), DEÓ=DBÓ=12(cm) 이므로 CDÓ=8+12=20(cm) 꼭짓점 C에서 BDÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 HBÓ=CÕAÓ=8(cm)이므로 DÕHÓ=12-8=4(cm) 직각삼각형 CDH에서 CHÓ="Ã20Û`-4Û`='¶384=8'6(cm) ∴ ABÓ=CHÓ=8'6(cm)  8'6`cm A 8`cm 12`cm B C O D H E

(20)

4 -2 CEÓ=CÕAÓ=7(cm) DBÓ=DEÓ=11-7=4(cm) 꼭짓점 D에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H 라고 하면 HÕAÓ=DBÓ=4(cm)이므로 CÕHÓ=7-4=3(cm) 직각삼각형 CHD에서 HDÓ="Ã11Û`-3Û`='¶112=4'7(cm) 이때 ABÓ=HDÓ=4'7(cm)이므로 반원 O의 반지름의 길이는 1 2 _4'7=2'7(cm) ∴ (반원 O의 넓이)= 12 _p_(2'7)Û`=14p(cmÛ`)  14p`cmÛ`

삼각형의 내접원

04

개념

본교재 | 47 쪽 개념 콕콕

1

⑴ x=3, y=8, z=7 ⑵ x=5, y=4, z=6

2

⑴ 4 ⑵ 11

1

⑵ AFÓ=ADÓ=5 ∴ x=5 CEÓ=CFÓ=11-5=6 ∴ z=6 BDÓ=BEÓ=10-6=4 ∴ y=4

2

⑴ BEÓ=BDÓ=5이므로 ‌ CFÓ=CEÓ=9-5=4 ∴ x=4 ⑵ AFÓ=ADÓ=10-6=4이므로 ‌ CFÓ=15-4=11 ∴ x=11 본교재 | 48 쪽

대표 유형

5 3`cm 5 -1 12`cm 5 -2 36`cm 6 1`cm 6 -1 2`cm 6 -2 9p`cmÛ` 5 -1 BDÓ=x`cm라고 하면 BEÓ=BDÓ=x(cm) AFÓ=ADÓ=22-x(cm), CFÓ=CEÓ=17-x(cm) 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 15=(22-x)+(17-x), 2x=24 ∴ x=12 ∴ BDÓ=12(cm)  12`cm H O 7`cm 11`cm A B D C E 5 -2 ADÓ=AFÓ,‌BEÓ=BDÓ, CFÓ=CEÓ이므로 (△ABC의 둘레의 길이) =2(AFÓ+BDÓ+CEÓ)‌‌ =2_(4+6+8)=36(cm) 36`cm 6 -1 ODÓ, OEÓ를 긋고 원 O의 반지름의 길 이를 r`cm라고 하면 DBEO는 정 사각형이므로 BDÓ=BEÓ=OEÓ=r(cm), AFÓ=ADÓ=5-r(cm), CFÓ=CEÓ=12-r(cm) 이때 직각삼각형 ABC에서 ACÓ="Ã5Û`+12Û`='¶169=13(cm)이고 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 13=(5-r)+(12-r) 2r=4 ∴ r=2 따라서 원 O의 반지름의 길이는 2`cm이다.  2`cm 6 -2 ODÓ, OFÓ를 긋고 원 O의 반지름의 길이 를 r`cm라고 하면 ADOF는 정사각 형이므로 ADÓ=AFÓ=OFÓ=r(cm) 또, BDÓ=BEÓ=6(cm), CFÓ=CEÓ=9(cm)이므로 ABÓ=r+6(cm), ACÓ=r+9(cm) 이때 직각삼각형 ABC에서 (6+9)Û`=(r+6)Û`+(r+9)Û` 225=rÛ`+12r+36+rÛ`+18r+81 2rÛ`+30r-108=0, rÛ`+15r-54=0 (r-3)(r+18)=0 ∴ r=3 (∵ r>0) ∴ (원 O의 넓이)=p_3Û`=9p(cmÛ`)  9p`cmÛ`

원에 외접하는 사각형

05

개념

본교재 | 49 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 13`cm ⑵ 16`cm

2

⑴ 3 ⑵ 7 ⑶ 8 ⑷ 15

1

⑴ ADÓ+BCÓ‌‌=ABÓ+CDÓ‌ ‌ =5+8=13(cm) ⑵ ADÓ+BCÓ‌‌=ABÓ+CDÓ‌ ‌ =10+6=16(cm) A B C D E F 5`cm 12`cm O A B C D E F 6`cm 9`cm O

(21)

1. 원과 직선

2

⑴ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ‌ 6+10=x+13 ∴ x=3 ⑵ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ‌ x+5=4+8 ∴ x=7 ⑶ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ‌ 7+(5+x)=8+12 ∴ x=8 ⑷ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ‌ 20+16=12+(x+9) ∴ x=15 본교재 | 50 쪽

대표 유형

7 42`cm 7 -1 34`cm 7 -28 6`cm 8 -1 15`cm 8 -2 53 `cm 7 -1 DHÓ=DGÓ=3(cm)이므로 ADÓ=3+3=6(cm) 이때 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ABCD의 둘레의 길이는 ABÓ+BCÓ+CDÓ+DÕAÓ =2(ADÓ+BCÓ) =2_(6+11) =34(cm) 34`cm 7 -2 직각삼각형 BCD에서 CDÓ="Ã13Û`-12Û`='¶25=5(cm) ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 11+5=ADÓ+12 ∴ ADÓ=4(cm)  ③ 8 -1 직각삼각형 DEC에서 ECÓ="Ã13Û`-12Û`='¶25=5(cm) ADÓ=x`cm라고 하면 BCÓ=ADÓ=x(cm)이므로 BEÓ=x-5(cm) 이때 ABED가 원 O에 외접하므로 ABÓ+EDÓ=ADÓ+BEÓ, 12+13=x+(x-5) 2x=30 ∴ x=15 ∴ ADÓ=15(cm)  15`cm 8 -2 CEÓ=x`cm라고 하면 BEÓ=5-x(cm) ABED가 원 O에 외접하므로 ABÓ+EDÓ=ADÓ+BEÓ, 4+DEÓ=5+(5-x) ∴ DEÓ=6-x(cm) 직각삼각형 DEC에서 (6-x)Û`=xÛ`+4Û`, 36-12x+xÛ`=xÛ`+16 -12x=-20 ∴ x= 53 ∴ CEÓ= 53 (cm) 53 `cm 본교재 | 51 쪽

0

1

0

2

4'3`cmÛ`

0

3

0

4

8'1Œ5`cmÛ`

0

5

0

6

17`cm

0

7

0

8

15 2 `cm 배운대로

해결하기

0

1

OTÓ를 긋고 원 O의 반지름의 길이를 r`cm 라고 하면 OÕAÓ=OTÓ=r(cm) OPÓ=r+8(cm) 이때 ∠OTP=90ù이므로 직각삼각형 OPT에서 (r+8)Û`=rÛ`+16Û`, rÛ`+16r+64=rÛ`+256 16r=192 ∴ r=12 따라서 원 O의 둘레의 길이는 2p_12=24p(cm)  ③

0

2

PBÓ=PÕAÓ=4(cm)이므로 △APB‌‌= 12 _4_4_sin`60ù‌ ‌ = 12 _4_4_'32 =4'3(cmÛ`)  4'3`cmÛ`

0

3

∠ODA=90ù이므로 직각삼각형 AOD에서 ADÓ="Ã6Û`-2Û`='¶32=4'2(cm) 이때 ADÓ=AFÓ, BEÓ=BDÓ, CEÓ=CFÓ이므로 (△ACB의 둘레의 길이) =ACÓ+BCÓ+ABÓ‌ ‌ =ACÓ+(BEÓ+CEÓ)+ABÓ‌ ‌ =ACÓ+(BDÓ+CFÓ)+ABÓ‌ ‌ =(ACÓ+CFÓ)+(ABÓ+BDÓ)‌ ‌ =AFÓ+ADÓ‌‌ =2ADÓ‌‌ =2_4'2‌‌ =8'2(cm)  ⑤ 16`cm 8`cm A T P O

(22)

0

4

BEÓ=BCÓ=5(cm)이므로 ADÓ=AEÓ=8-5=3(cm) 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 HCÓ=ADÓ=3(cm)이므로 BÕHÓ=5-3=2(cm) 직각삼각형 ABH에서 AHÓ="Ã8Û`-2Û`='¶60=2'¶15(cm) ∴ ABCD‌‌= 12 _(3+5)_2'¶15‌‌ =8'¶15(cmÛ`)‌  8'¶15`cmÛ`

0

5

AFÓ=ADÓ=4(cm)이므로 BEÓ=BDÓ=11-4=7(cm), CEÓ=CFÓ=10-4=6(cm) ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=7+6=13(cm)  ②

0

6

OEÓ를 그으면 DBEO는 정사각형이므로 BEÓ=BDÓ=DOÓ=3(cm) CFÓ=CEÓ=8-3=5(cm) AFÓ=x`cm라고 하면 ADÓ=AFÓ=x(cm)이므로 ABÓ=x+3(cm), ACÓ=x+5(cm) 직각삼각형 ABC에서 (x+5)Û`=(x+3)Û`+8Û`` xÛ`+10x+25=xÛ`+6x+9+64 4x=48 ∴ x=12 따라서 AFÓ=12(cm)이므로 ACÓ=AFÓ+CFÓ=12+5=17(cm)  17`cm

0

7

ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 2x+(x+4)=(x+2)+(3x-4) 3x+4=4x-2 ∴ x=6  ②

0

8

AEÓ=x`cm라고 하면 AECD가 원 O에 외접하므로 AEÓ+CDÓ=ADÓ+ECÓ x+6=9+ECÓ ∴ ECÓ=x-3(cm) 이때 BEÓ=9-(x-3)=12-x(cm)이므로 직각삼각형 ABE에서 xÛ`=6Û`+(12-x)Û`, xÛ`=36+144-24x+xÛ` 24x=180 ∴ x= 152 ∴ AEÓ= 152 (cm) 152 `cm O D 8`cm 5`cm C A E B H A O B C D E F 3`cm 8`cm 본교재 | 52 ~ 54 쪽

0

1

9`cm

0

2

0

3

8`cm

0

4

30`cm

0

5

0

6

16'3`cm

0

7

0

8

0

9

6'3`cm

10

15`cm

11

2`cm

12

7`cm

13

14

24`cm

15

80`cmÛ`

16

4'2`cm

17

16`cm

18

6`cm

19

18`cm

20

25p`cmÛ`

21

6'3`cm

22

16'1Œ5`cmÛ` 개념 넓히기로

마무리

0

1

CDÓ가 현 AB를 수직이등분하므로 원의 중심을 지난다. 따라서 CDÓ가 원의 지름이므로 반지름의 길이는 1 2 CDÓ=12 _18=9(cm) 9`cm

0

2

원 O의 반지름의 길이는 1 2 `ABÓ=12 _20=10 OCÓ를 그으면 OCÓ=10, OÕMÓ=10-4=6 직각삼각형 OMC에서 CÕMÓ="Ã10Û`-6Û`='¶64=8 ∴ CDÓ=2CÕMÓ=2_8=16  ④

0

3

ABÓ와 작은 원의 접점을 M이라 하고 OÕMÓ을 그으면 OÕMÓ⊥ABÓ, AÕMÓ=BÕMÓ OÕAÓ를 그으면 OÕAÓ=5`cm, OÕMÓ=3`cm이므로 직각삼각형 OAM에서 AÕMÓ="Ã5Û`-3Û`='¶16=4(cm) ∴ ABÓ=2AÕMÓ=2_4=8(cm) 8`cm

0

4

현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나 므로 원의 중심을 O, 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OÕAÓ=r`cm ODÓ=r-12(cm) 직각삼각형 AOD에서 rÛ`=24Û`+(r-12)Û` rÛ`=576+rÛ`-24r+144 24r=720 ∴ r=30 따라서 타이어의 반지름의 길이는 30`cm이다.  30`cm A M B C D O 20 4 O M A B 3 cm 5 cm A B C D O 12`cm (r-12)`cm r`cm 24`cm

(23)

1. 원과 직선

0

5

OÕAÓ를 긋고 점 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 M이라고 하자. 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 OÕAÓ=r`cm, OÕMÓ= 12 OÕAÓ=12 r(cm) AÕMÓ= 12 ABÓ=12 _12=6(cm)이므로 직각삼각형 AMO에서 rÛ`=6Û`+{ 12 r}2`, rÛ`=36+14 rÛ` 3 4 rÛ`=36, rÛ`=48 ∴ r=4'3`(∵ r>0) 따라서 원 O의 넓이는 prÛ`=p_(4'3)Û`=48p(cmÛ`)  ③

0

6

OÕAÓ를 그으면 OÕAÓ=8`cm이므로 직각삼각형 OAM에서 AÕMÓ="Ã8Û`-4Û`='¶48=4'3(cm) ∴ ABÓ=2AÕMÓ=2_4'3=8'3(cm) 이때 OÕMÓ=OÕNÓ이므로 CDÓ=ABÓ=8'3(cm) ∴ ABÓ+CÕDÓ=8'3+8'3=16'3(cm)  16'3`cm

0

7

OÕDÓ=OFÓ이므로 ABÓ=ACÓ 즉, △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ABC= 12 _(180ù-56ù)=62ù 따라서 DBEO에서 ∠DOE=360ù-(90ù+62ù+90ù)=118ù  ④

0

8

③ APBO에서 ∠AOB=360ù-(90ù+45ù+90ù)=135ù ④ △PAO와 △PBO에서 ∠PAO=∠PBO=90ù, POÓ는 공통, OÕAÓ=OBÓ(반지름)이므로 △PAOª△PBO (RHS 합동) ⑤ 색칠한 부채꼴의 중심각의 크기는 360ù-135ù=225ù ∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_4Û`_ 225360 =10p(cmÛ`)  ⑤

0

9

OPÓ를 그으면 △AOPª△BOP (RHS 합동)이므로 ∠APO= 12 ∠APB=12 _60ù=30ù ∠OAP=90ù이므로 직각삼각형 AOP에서 PAÓ=tan`30ù =6_6 '33 =6'3(cm)

한편, PÕAÓ=PBÓ, ∠APB=60ù이므로 △PAB는 정삼각형이다.

∴ ABÓ=PÕAÓ=6'3(cm) 6'3`cm O A B M 12`cm O A B C D N M 4`cm 4`cm A B O 60° P 6 cm

10

직각삼각형 ACB에서 ACÓ="Ã5Û`+12Û`='¶169=13(cm) BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ이므로 ADÓ+AFÓ =(ABÓ+BDÓ)+(ACÓ+CFÓ) =(ABÓ+BEÓ)+(ACÓ+CEÓ) =ABÓ+(BEÓ+CEÓ)+ACÓ =ABÓ+BCÓ+ACÓ =5+12+13=30(cm) 이때 ADÓ=AFÓ이므로 ADÓ= 12 _30=15(cm) 15`cm

11

점 E에서 CDÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 EHÓ=BCÓ=8(cm) EBÓ=x`cm라고 하면 HCÓ=EBÓ=x(cm)이므로 DÕHÓ=8-x(cm)‌ 또, EPÓ=EBÓ=x(cm), DPÓ=DCÓ=8(cm)이므로 EDÓ=x+8(cm) 직각삼각형 DEH에서 (x+8)Û`=8Û`+(8-x)Û`, xÛ`+16x+64=64+64-16x+xÛ` 32x=64 ∴ x=2 ∴ EBÓ=2(cm)  2`cm

12

AFÓ=ADÓ=3`cm이므로 CEÓ=CFÓ=8-3=5(cm) BEÓ=x`cm라고 하면 BDÓ=BEÓ=x(cm) (△ABC의 둘레의 길이)=2(ADÓ+BEÓ+CFÓ)이므로 30=2(3+x+5), 2x=14 ∴ x=7 ∴ BEÓ=7(cm) 7`cm

13

△ABC에서 ∠C=180ù-(50ù+66ù)=64ù 이때 CEÓ=CFÓ이므로 △CFE는 이등변삼각형이다. ∴ ∠x= 12 _(180ù-64ù)=58ù  ③

14

ADÓ=x`cm라고 하면 AFÓ=ADÓ=x(cm) BDÓ=BEÓ=4(cm), CFÓ=CEÓ=2(cm)이므로 ABÓ=x+4(cm), ACÓ=x+2(cm) 직각삼각형 ABC에서 (x+4)Û`=6Û`+(x+2)Û`, xÛ`+8x+16=36+xÛ`+4x+4 4x=24 ∴ x=6 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 2(ADÓ+BEÓ+CEÓ)=2_(6+4+2)=24(cm) 24`cm A 8`cm 8`cm B E P O C D H

(24)

15

원 O의 반지름의 길이가 4`cm이므로 ABÓ=2_4=8(cm) 이때 ADÓ+BCÓ=ABÓ+CDÓ=8+12=20(cm)이므로 ABCD‌‌= 12 _(ADÓ+BCÓ)_8‌ ‌ = 12 _20_8=80(cmÛ`)  80`cmÛ`

16

ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ=4+8=12(cm) 이때 ABÓ=CDÓ이므로 ABÓ= 12 _12=6(cm) 두 꼭짓점 A, D에서‌BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 H, I라고 하면 HIÓ=ADÓ=4(cm)이므로 BHÓ= 12 _(8-4)=2(cm)‌ 따라서 직각삼각형 ABH에서 AÕHÓ="Ã6Û`-2Û`='¶32=4'2(cm)이 므로 원 O의 지름의 길이는 4'2`cm이다.  4'2`cm

17

OÕAÓ를 그으면 OÕAÓ =ODÓ =6+4=10(cm) yy 30% 직각삼각형 OAC에서 ACÓ="Ã10Û`-6Û`='¶64=8(cm) yy 30%

∴ ABÓ=2ACÓ=2_8=16(cm) yy 40%

16`cm

18

BEÓ=x`cm라고 하면 BDÓ=BEÓ=x(cm)‌‌ yy 20% AFÓ=ADÓ=9-x(cm), CFÓ=CEÓ=10-x(cm)‌ yy 40% 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 7=(9-x)+(10-x) 2x=12 ∴ x=6 ∴ BEÓ=6(cm)‌‌ yy 40%  6`cm

19

ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ=18+12=30(cm)‌ yy 50% 이때 ABÓ`:`CDÓ=2`:`3이므로 CDÓ=30_ 32+3=18(cm)‌‌ yy 50%  18`cm A O 4`cm 8`cm B C D H I A C B D O 6 cm 4 cm

20

점 O에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AHÓ= 12 `ABÓ=12 _10=5(cm) OAÓ를 긋고 큰 원의 반지름의 길이를 R`cm, 작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 직각삼각형 OAH에서 RÛ`=5Û`+rÛ` ∴ RÛ`-rÛ`=25 ∴ (색칠한 부분의 넓이) =pRÛ`-prÛ`‌‌ =p(RÛ`-rÛ`)‌‌ =25p(cmÛ`) 25p`cmÛ`

21

△ADOª△AEO (RHS 합동)이므로 ∠DAO‌‌=∠EAO‌ ‌ = 12 ∠DAE‌= 12 _60ù=30ù △AOD에서 ADÓ=6`cos`30ù=6_ '2 =3'3(cm)3 BCÓ와 원 O의 접점을 F라고 하면 ADÓ=AEÓ, BFÓ=BDÓ, CFÓ=CEÓ 이므로 (△ACB의 둘레의 길이) =ACÓ+CBÓ+BÕAÓ‌ ‌ =ACÓ+(CFÓ+BFÓ)+BÕAÓ‌ ‌ =ACÓ+(CEÓ+BDÓ)+BÕAÓ =(ACÓ+CEÓ)+(BDÓ+BÕAÓ)‌ ‌ =AEÓ+ADÓ=2ADÓ‌ ‌ =2_3'3=6'3(cm)  6'3`cm

22

CEÓ=CÕAÓ=6(cm), DEÓ=DBÓ=10(cm)이므로 CDÓ=6+10=16(cm) 꼭짓점 C에서 BDÓ에 내린 수선의 발을 H라고 하면 HBÓ=CÕAÓ=6(cm)이므로 DHÓ=10-6=4(cm) 직각삼각형 CHD에서 CHÓ="Ã16Û`-4Û`='¶240=4'¶15(cm) 즉, ABÓ=CHÓ=4'¶15(cm)이므로 원 O의 반지름의 길이는 1 2 _4'¶15=2'¶15(cm) 따라서 OEÓ를 그으면 OEÓ⊥CDÓ이고 OEÓ=2'¶15`cm이므로 △COD‌‌= 12 _16_2'¶15‌ ‌ =16'¶15(cmÛ`)  16'¶15`cmÛ` O A 10`cmH B 60° A B F D C E O 6`cm A B C D E O H 6`cm 10`cm

(25)

2. 원주각 Ⅱ. 원의 성질

2.

원주각

원주각과 중심각

01

개념

본교재 | 56 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 40ù ⑵ 60ù ⑶ 50ù ⑷ 74ù

2

⑴ 220ù ⑵ 50ù

1

⑴ ∠x= 12 ∠AOB=12 _80ù=40ù ⑵ ∠x= 12 ∠AOB=12 _120ù=60ù ⑶ ∠x‌‌=2∠APB=2_25ù=50ù ⑷ ∠x‌‌=2∠APB=2_37ù=74ù

2

⑴ ∠AOB=2∠APB=2_70ù=140ù ∴ ∠x =360ù-140ù=220ù ⑵ ∠AOB=360ù-260ù=100ù ∴ ∠x = 12 ∠AOB=12 _100ù=50ù 본교재 | 57 쪽

대표 유형

11 -11 -2 120ù 2 70ù 2 -166ù 2 -2118ù 1 -1 ¨ACB에 대한 중심각의 크기는 2∠APB=2_110ù=220ù ∴ ∠x‌‌=360ù-220ù‌ ‌ =140ù  ④ 1 -2 OBÓ를 그으면 ∠AOB=2∠APB=2_25ù=50ù ∠BOC=2∠BQC=2_35ù=70ù ∴ ∠x‌‌=∠AOB+∠BOC‌ ‌ =50ù+70ù=120ù‌ ‌  120ù 110° x B A P O C 25° 35° x A B P Q C O 2 -1 OÕAÓ, OBÓ를 그으면 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 AOBP에서 ∠AOB =360ù-(90ù+48ù+90ù) =132ù ∴ ∠ACB = 12 ∠AOB = 12 _132ù=66ù 66ù 2 -2 OÕAÓ, OBÓ를 그으면 ∠PAO=∠PBO=90ù이므로 APBO에서 ∠AOB‌‌=360ù-(90ù+56ù+90ù)‌‌ =124ù ∴ ∠x= 12 _(360ù-124ù)=118ù  118ù

원주각의 성질

02

개념

본교재 | 58 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 45ù ⑵ 68ù

2

⑴ ∠x=30ù, ∠y=42ù ⑵ ∠x=25ù, ∠y=35ù

3

⑴ 35ù ⑵ 70ù

3

⑴ ∠ACB=90ù이므로 ∠x=180ù-(90ù+55ù)=35ù ⑵ ∠ACB=90ù이므로 ∠x=180ù-(20ù+90ù)=70ù 본교재 | 59 쪽

대표 유형

3 45ù 3 -180ù 3 -24 66ù 4 -1 58ù 4 -23 -1 ∠ABD=∠ACD=45ù △ABP에서 ∠x=35ù+45ù=80ù  80ù P O 48° A B C 56° x A B P C O

(26)

3 -2 QBÓ를 그으면 ∠BQC=∠BRC=30ù`∠x =∠AQB =∠AQC-∠BQC =55ù-30ù=25ù  ② 4 -1 ABÓ는 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù 이때 ∠DCB=∠DAB=32ù이므로 ∠x‌‌=∠ACB-∠DCB‌ ‌ =90ù-32ù=58ù‌  58ù 4 -2 AQÓ를 그으면 ACÓ는 원 O의 지름이므로 ∠AQC=90ù 이때 ∠AQB‌‌=∠AQC-∠BQC =90ù-47ù=43ù 이므로 ∠x=∠AQB=43ù  ④

원주각의 크기와 호의 길이

03

개념

본교재 | 60 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 26 ⑵ 6

2

⑴ 36 ⑵ 21 ⑶ 9 ⑷ 15

2

⑴ 12ù`:`xù=4`:`12이므로 12`:`x=1`:`3 ∴ x=36xù`:`42ù=7`:`14이므로 x`:`42=1`:`2, 2x=42x=21 ⑶ 45ù`:`30ù=x`:`6이므로 3`:`2=x`:`6, 2x=18x=9 ⑷ 40ù`:`24ù=x`:`9이므로 5`:`3=x`:`9, 3x=45x=15 A B C R Q P x 55° 30° x 47° A C B P Q O 본교재 | 61 쪽

대표 유형

55 -15 -2 5`cm 6 80ù 6 -1 60ù 6 -2 36ù 5 -1 µAC=µ BD이므로 ∠DCB=∠ABC=∠xPCB에서 ∠x+∠x=30ù 2∠x=30ù ∴ ∠x=15ù  ② 5 -2 △ABP에서 ∠BAP+20ù=60ù이므로 ∠BAP=40ù ∠ABD`:`∠BAC=µAD`:`µ BC이므로 20ù`:`40ù=µAD`:`10, 1`:`2=µAD`:`10 2µAD=10 ∴ µAD=5(cm)  5`cm 6 -1 ∠ACB`:`∠BAC`:`∠ABC‌‌=µAB`:`µ BC`:`µ CA‌ ‌ =4`:`5`:`6 ∴ ∠x=180ù_4+5+6 =60ù 5  60ù 6 -2 한 원에 대한 원주각의 크기는 180ù이므로 ∠BEC=180ù_ 15 =36ù 36ù 본교재 | 62 쪽

0

1

0

2

16'3`cmÛ`

0

3

52ù

0

4

0

5

70ù

0

6

0

7

0

8

56ù 배운대로

해결하기

0

1

∠AOB=2∠APB=2_46ù=92ù 이때 △OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠x= 12 _(180ù-92ù)=44ù  ⑤

0

2

∠AOB=2∠APB=2_60ù=120ù ∴ △OAB = 12 _8_8_sin`(180ù-120ù) = 12 _8_8_'32 =16'3(cmÛ`) 16'3`cmÛ`

수치

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참조

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