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2014 개념원리 RPM 확률과통계 답지 정답

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(1)

RPM

확률과 통계

정답

풀이

하나를 알면 10개, 20개를 풀 수 있는 개념원리수학

(2)

0001

두 주사위의 눈의 수를 각각 a, b라 하면 ⑴ a+b=7일 때, 순서쌍 (a, b)는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가지 ⑵ ⁄ a+b=10일 때, 순서쌍 (a, b)는 (4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지 ¤a+b=11일 때, 순서쌍 (a, b)는 (5, 6), (6, 5)의 2가지a+b=12일 때, 순서쌍 (a, b)는 (6, 6)의 1가지, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 3+2+1=6⑴ 6 ⑵ 6

0002

⑴ 7의 배수의 집합을 A, 9의 배수의 집합을 B라 하 면 A;B는 63의 배수의 집합이므로 n(A)=7, n(B)=5, n(A;B)=0 ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)=12 ⑵ 2의 배수의 집합을 A, 3의 배수의 집합을 B라 하면 A;B 는 6의 배수의 집합이므로 n(A)=25, n(B)=16, n(A;B)=8 ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =25+16-8=33⑴ 12 ⑵ 33

0003

A⁄ B로 가는 방법이 3가지이고, 그 각각에 대하여 B⁄ C로 가는 방법이 2가지이므로 구하는 방법의 수는 3_2=66

0004

⑴ (a+b)(x+y+z+w)에서 a, b에 곱해지는 항이 각각 x, y, z, w의 4개이므로 구하는 항의 개수는 2_4=8 ⑵ (a+b+c)(p+q)(x+y)에서 a, b, c 각각에 p, q가 곱해 지고, 이들 각각에 x, y가 곱해지므로 구하는 항의 개수는 3_2_2=12⑴ 8 ⑵ 12

0005

⑴ ∞P™=5¥4=20 ⑵ ¢P£=4¥3¥2=24 ⑶ ¶Pº=1⑴ 20 ⑵ 24 ⑶ 1

0006

⑴ «P£=n(n-1)(n-2)이므로 n(n-1)(n-2)=120=6¥5¥4∴∴∴ n=6 ⑵ ¶P®=210=7¥6¥5∴∴∴ r=3 ⑶ «P«=n!이고 120=5¥4¥3¥2¥1이므로 n!=5¥4¥3¥2¥1∴∴∴ n=5⑴ 6 ⑵ 3 ⑶ 5

0007

∞P™=5¥4=2020

0008

4!=4¥3¥2¥1=2424

0009

6개의 숫자에서 3개를 뽑는 순열의 수이므로 §P£=6¥5¥4=120120

0010

10명의 대의원 중에서 3명을 뽑아 일렬로 나열하는 경 우의 수와 같으므로 ¡ºP£=10¥9¥8=720720

0011

(6-1)!=5!=120 답 120

0012

(5-1)!=4!=24 답 24

0013

A와 C를 한 사람으로 생각하면 4명의 학생을 원형으 로 배열하는 원순열의 수는 (4-1)!=3!=6 이때 A와 C가 자리를 바꾸는 방법의 수가 2!이므로 구하는 방법의 수는 6¥2!=12 답 12

0014

™P£=2‹ =8 답 8

0015

§Pº=6‚ =1 답 1

0016

«P£=n‹ 이므로 n‹ =64=4‹ ∴ n=44

0017

™P®=2® 이므로 2® =64=2fl ∴ r=66

0018

5개의 숫자 중 1이 2개, 3이 2개 있으므로 = =3030

0019

3을 제외한 4개의 숫자를 일렬로 나열하고 그 앞에 3 을 놓으면 되므로 = =1212

0020

눈의 수의 합이 4가 되는 경우 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지 ¤눈의 수의 합이 8이 되는 경우 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지눈의 수의 합이 12가 되는 경우 (6, 6)의 1가지, ¤, ‹은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 3+5+1=9 답 ⑤ 4¥3¥2¥1 11112¥1 4! 132! 5¥4¥3¥2¥1 111112¥1¥2¥1 5! 1132!2!

순열

01

Ⅰ.순열과 조합

(3)

0021

공을 두 개 꺼낼 때, 나오는 수를 각각 a, b라 하면`|a-b|=0일 때, 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8)의 8가지 ¤`|a-b|=1일 때, 순서쌍 (a, b)는 (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5), (7, 6), (8, 7) 의 14가지`|a-b|=2일 때, 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7), (6, 8), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4), (7, 5), (8, 6) 의 12가지, ¤, ‹은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 8+14+12=3434

0022

⁄`a=1일 때, b…9이므로 b=1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개 ¤`a=2일 때, b…;2(;이므로 b=1, 2, 3, 4의 4개 ‹`a=3일 때, b…3이므로 b=1, 2, 3의 3개,`¤,`‹은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 순서쌍 (a, b) 의 개수는 6+4+3=13 답 ②

0023

⑴ 3으로 나누어떨어지는 수의 집합, 즉 3의 배수의 집 합을 A, 5로 나누어떨어지는 수의 집합, 즉 5의 배수의 집 합을 B라 하면 n(A)=33, n(B)=20 또 3과 5의 최소공배수인 15의 배수의 집합은 A;B이므로 n(A;B)=6 3또는 5로 나누어떨어지는 수의 개수는 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =33+20-6=47 따라서 3과 5로 나누어떨어지지 않는 자연수의 개수는 100-47=53 ⑵ 10=2_5이므로 10과 서로소인 수는 2의 배수도 5의 배수 도 아닌 자연수이다. 2의 배수의 개수는 50, 5의 배수의 개수는 20, 2와 5의 공배 수, 즉 10의 배수의 개수는 10이므로 구하는 개수는 100-(50+20-10)=40⑴ 53 ⑵ 40

0024

⁄A 또는 B로 들어오는 경우 2_6=12 ¤A, B 이외의 출입문으로 들어오는 경우 6_5=30, ¤는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 방법의 수는 12+30=42 답 ③

0025

스프 3종류, 주메뉴 4종류, 음료수 3종류에서 동시에 하나씩 주문하는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_4_3=3636

0026

⑴ 3_4_2=24 ⑵ (x+y+z)(p+q+r)의 전개식의 항의 개수는 3_3=9 (x+y)(a+b)의 전개식의 항의 개수는 2_2=4 이때 (x+y+z)(p+q+r)를 전개한 결과와 (x+y)(a+b)를 전개한 결과에서 동류항이 없으므로 구 하는 항의 개수는 9+4=13 ⑶ (x+y+z)¤ (a+b) =(x¤ +y¤ +z¤ +2xy+2yz+2zx)(a+b) ∴ 6_2=12⑴ 24 ⑵ 13 ⑶ 12

0027

세 주사위 A, B, C를 동시에 던졌을 때, 나오는 눈의 수의 곱이 짝수인 경우의 수는 전체 경우의 수에서 눈의 수의 곱이 홀수인 경우의 수를 뺀 것과 같다. 전체 경우의 수는 6_6_6=216 눈의 수의 곱이 홀수인 경우의 수는 3_3_3=27 따라서 구하는 경우의 수는 216-27=189189

0028

⁄A⁄ B ⁄ C ⁄ D로 가는 방법의 수 2_3_2=12 ¤A⁄ C ⁄ B ⁄ D로 가는 방법의 수 1_3_1=3, ¤는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 방법의 수는 12+3=1515

0029

⁄보신각⁄ 경복궁 ⁄ 종묘 ⁄ 보신각으로 가는 방 법의 수 3_2_4=24 ¤보신각⁄ 종묘 ⁄ 경복궁 ⁄ 보신각으로 가는 방법의 수 4_2_3=24 ▶본문

009 ~ 011

(4)

⁄, ¤는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 방법의 수는 24+24=4848

0030

⁄A⁄ C ⁄ B ⁄ C ⁄ A인 경우의 수 1_2_2_1=4 ¤A⁄ C ⁄ B ⁄ D ⁄ A인 경우의 수 1_2_2_3=12 ‹A⁄ D ⁄ B ⁄ C ⁄ A인 경우의 수 3_2_2_1=12 ›A⁄ D ⁄ B ⁄ D ⁄ A인 경우의 수 3_2_2_3=36, ¤, ‹, ›는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 방법의 수는 4+12+12+36=64 답 ⑤

0031

B도시와 C도시를 잇는 도로의 수를 x개라 하면 ⁄A⁄ B ⁄ D인 경우의 수:2_2=4 ¤A⁄ C ⁄ D인 경우의 수:3_3=9 ‹A⁄ B ⁄ C ⁄ D인 경우의 수:2_x_3=6x ›A⁄ C ⁄ B ⁄ D인 경우의 수:3_x_2=6x ⁄~›에서 A도시에서 D도시로 가는 모든 방법의 수는 4+9+6x+6x=13+12x 이때 A도시에서 D도시로 가는 모든 방법의 수가 100가지 이 상이어야 하므로 13+12xæ100∴∴∴ xæ7.25 따라서 B도시와 C도시를 잇는 도로는 최소 8개 건설해야 한다.8

0032

540을 소인수분해하면 540=2¤ _3‹ _5 648을 소인수분해하면 648=2‹ _3› 따라서 540과 648의 최대공약수는 2¤ _3‹ 이므로 540과 648의 공약수 중 양수의 개수는 2¤ _3‹ 의 양의 약수의 개수와 같다. ∴ (2+1)(3+1)=1212

0033

⑴ 600=2‹ _3_5¤ 이므로 600의 양의 약수의 개수는 (3+1)(1+1)(2+1)=24 이 중 3의 배수가 아닌 약수는 2‹ _5¤ 의 약수이므로 그 개수는 (3+1)(2+1)=12 따라서 구하는 3의 배수의 개수는 24-12=12 ⑵ 10=2_5이므로 10« =2« ¥5« (n은 자연수) 따라서 10« 의 양의 약수의 개수는 (n+1)(n+1)=(n+1)¤ 그런데 양의 약수의 개수가 100이므로 (n+1)¤ =100=10¤ , n+1=10∴∴∴ n=9 그러므로 10의 거듭제곱 중 양의 약수의 개수가 100인 수는 10·이다. 답 ⑴ 12 ⑵ 10·

0034

100원짜리 동전을 지불하는 방법의 수는 0, 1, 2개의 3가지 50원짜리 동전을 지불하는 방법의 수는 0, 1, 2, 3개의 4가지 10원짜리 동전을 지불하는 방법의 수는 0, 1, 2, 3, 4개의 5가지 이때 0원을 지불하는 경우가 1가지이므로 구하는 방법의 수는 3¥4¥5-1=5959

0035

⁄지불할 수 있는 방법의 수 10000원짜리 지폐를 지불하는 방법의 수는 0, 1, 2, 3개의 4가지 5000원짜리 지폐를 지불하는 방법의 수는 0, 1, 2개의 3가지 1000원짜리 지폐를 지불하는 방법의 수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6개의 7가지 이때 0원을 지불하는 경우가 1가지이므로 구하는 방법의 수는 a=4¥3¥7-1=83 ¤지불할 수 있는 금액의 수 10000원짜리 지폐 3장으로 지불할 수 있는 금액은 0원,≥10000원, 20000원, 30000원 5000원짜리 지폐 2장으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 5000원,≥10000원 1000원짜리 지폐 6장으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 1000원, 2000원, 3000원, 4000원, 5000원, 6000그런데 5000원짜리 2장으로 지불하는 금액과 10000원짜리 1장으로 지불하는 금액은 같고, 1000원짜리 5장으로 지불 하는 금액과 5000원짜리 1장으로 지불하는 금액이 서로 같 으므로 10000원짜리 지폐 3장과 5000원짜리 지폐 2장을 모두 1000원짜리 지폐로 바꾸면 1000원짜리 지폐 46장의 지불 방법의 수와 같다. 1000원짜리 지폐 46장을 지불하는 방법의 수는 0, 1, 2, 3, y, 45, 46개의 47가지 이때 0원을 지불하는 경우가 1가지이므로 b=47-1=46, ¤에서 a-b=83-46=3737 단계 채점요소 배점 보신각⁄ 경복궁 ⁄ 종묘 ⁄ 보신각으로 가는 방법의 수 구하기 40% 보신각⁄ 종묘 ⁄ 경복궁 ⁄ 보신각으로 가는 방법의 수 구하기 40% 전체 방법의 수 구하기 20%

(5)

0036

500원, 1000원, 2000원짜리의 우표를 각각 x장, y장, z장 산다고 하면 500x+1000y+2000z=7000 ∴ x+2y+4z=14 yy㉠ 그런데 세 종류의 우표를 적어도 한 장씩 사야 하므로 xæ1, yæ1, zæ1z=1일 때, ㉠에서 x+2y=10이므로 순서쌍 (x, y)는 (8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4)의 4가지 ¤z=2일 때, ㉠에서 x+2y=6이므로 순서쌍 (x, y)는 (4, 1), (2, 2)의 2가지, ¤에서 구하는 방법의 수는 4+2=6 답 ③

0037

x, y가 자연수이므로 x+3y…8을 만족시키는 경우는

x+3y=4, x+3y=5, x+3y=6, x+3y=7, x+3y=8

x+3y=4일 때, 순서쌍 (x, y)는 (1, 1)의 1가지 ¤x+3y=5일 때, 순서쌍 (x, y)는 (2, 1)의 1가지x+3y=6일 때, 순서쌍 (x, y)는 (3, 1)의 1가지x+3y=7일 때, 순서쌍 (x, y)는 (4, 1), (1, 2)의 2가지x+3y=8일 때, 순서쌍 (x, y)는 (5, 1), (2, 2)의 2가지 ⁄`~fi`에서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는 1+1+1+2+2=7 답 ④

0038

x+2y+3z=15 yy㉠ x, y, z가 자연수이고 z의 계수가 x, y의 계수보다 크므로 z의 값을 기준으로 x, y에 대한 방정식을 만들면 3…3z…12, 1…z…4 ∴ z=1, 2, 3, 4 z=1일 때, ㉠에서 x+2y=12이므로 순서쌍 (x, y)는 (6, 3), (4, 4), (2, 5)의 3가지 ¤ z=2일 때, ㉠에서 x+2y=9이므로 순서쌍 (x, y)는 (5, 2), (3, 3), (1, 4)의 3가지z=3일 때, ㉠에서 x+2y=6이므로 순서쌍 (x, y)는 (4, 1), (2, 2)의 2가지z=4일 때, ㉠에서 x+2y=3이므로 순서쌍 (x, y)는 (1, 1)의 1가지 ⁄`~›`에서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 3+3+2+1=99

0039

x+2y+4z=12에서 xæ0, yæ0이므로 4z…12, z…3 ∴ z=0, 1, 2, 3z=0일 때, x+2y=12이므로 순서쌍 (x, y)는 (12, 0), (10, 1), (8, 2), (6, 3), (4, 4), (2, 5), (0, 6)의 7가지 ¤z=1일 때, x+2y=8이므로 순서쌍 (x, y)는 (8, 0), (6, 1), (4, 2), (2, 3), (0, 4)의 5가지z=2일 때, x+2y=4이므로 순서쌍 (x, y)는 (4, 0), (2, 1), (0, 2)의 3가지z=3일 때, x+2y=0이므로 순서쌍 (x, y)는 (0, 0)의 1가지 ⁄`~›`에서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 7+5+3+1=16 답 ④

0040

A에 칠할 수 있는 색은 4가지 B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지 C에 칠할 수 있는 색은 A와 B에 칠한 색을 제외한 2가지 D에 칠할 수 있는 색은 A와 C에 칠한 색을 제외한 2가지 따라서 구하는 방법의 수는 4_3_2_2=4848

0041

A에 칠할 수 있는 색은 5가지 C에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4가지 D에 칠할 수 있는 색은 A와 C에 칠한 색을 제외한 3가지 B에 칠할 수 있는 색은 C에 칠한 색을 제외한 4가지 E에 칠할 수 있는 색은 D에 칠한 색을 제외한 4가지 따라서 구하는 방법의 수는 5_4_3_4_4=960960

0042

A, C가 같은 색인 경우 A, C에 칠할 수 있는 색은 4가지 B에 칠할 수 있는 색은 A, C에 칠한 색을 제외한 3가지 D에 칠할 수 있는 색은 A, C에 칠한 색을 제외한 3가지 이므로 방법의 수는 4_3_3=36 ¤A, C가 다른 색인 경우 A에 칠할 수 있는 색은 4가지 C에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지 B, D에 칠할 수 있는 색은 각각 A, C에 칠한 색을 제외한 2가지 이므로 방법의 수는 4_3_2_2=48, ¤에서 구하는 방법의 수는 36+48=8484 ▶본문

011 ~ 012

쪽 단계 채점요소 배점 z의 값이 될 수 있는 수 구하기 30% 각 경우의 수 구하기 50% 순서쌍 (x, y, z)의 개수 구하기 20%

(6)

0043

B, D가 같은 색인 경우 B, D에 칠할 수 있는 색은 5가지 A에 칠할 수 있는 색은 B, D에 칠한 색을 제외한 4가지 C, E에 칠할 수 있는 색은 각각 A, B, D에 칠한 색을 제외 한 3가지이므로 방법의 수는 5_4_3_3=180 ¤B, D가 다른 색인 경우 B에 칠할 수 있는 색은 5가지 D에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 4가지 A에 칠할 수 있는 색은 B, D에 칠한 색을 제외한 3가지 C, E에 칠할 수 있는 색은 각각 A, B, D에 칠한 색을 제외 한 2가지이므로 방법의 수는 5_4_3_2_2=240, ¤에서 구하는 방법의 수는 180+240=420 답 ④

0044

12명에서 3명을 택하는 순열의 수이므로 ¡™P£=12_11_10=1320 답 ⑤

0045

«P™+4«P¡=28에서 n(n-1)+4n=28 n¤ +3n-28=0 (n+7)(n-4)=0 ∴ n=-7 또는 n=4 그런데 n은 자연수이므로 n=4 답 ②

0046

«P£:5«P™=3:1에서 «P£=15«P™ n(n-1)(n-2)=15n(n-1) «P£에서 næ3이므로 양변을 n(n-1)로 나누면 n-2=15 ∴ n=17 답 ①

0047

⑴ n명의 축구 선수를 일렬로 세우는 방법의 수와 같 으므로 n!=120=5! ∴ n=5 ⑵ n명의 학생 중에서 2명을 택하는 순열의 수이므로 «P™=210 n(n-1)=210=15_14 ∴ n=15⑴ 5 ⑵ 15

0048

a와 f 를 한 문자로 생각하여 5개의 문자를 일렬로 배 열하는 방법의 수는 5!=120 a와 f 의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 120_2=240240

0049

부부를 각각 한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 앉히 는 방법의 수는 3!=6 각각의 부부가 부부끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!_2!_2!=8 따라서 구하는 방법의 수는 6_8=4848

0050

이웃하지 않게 앉는 경우는 남학생이 먼저 앉고 남학생 의 양 끝과 그 사이사이에 여학생이 앉는 방법을 생각한다. ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ 남학생 4명이 일렬로 앉는 방법의 수는 4!=24 ∨의 5개의 자리에서 3개를 택하여 여학생이 앉는 방법의 수는 ∞P£=60 따라서 구하는 방법의 수는 24_60=14401440

0051

⑴ 모음이 a, e, i의 3개이므로 t, r, n, g, l을 일렬로 나열하고 양 끝과 그 사이사이의 6개의 자리 중 3개의 자리 에 모음 a, e, i를 나열하면 된다. ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ 따라서 구하는 경우의 수는 5!_§P£=5!_120=14400 ⑵ A와 B는 이웃하고 C와 D는 이웃하지 않도록 세우는 경우 는 다음과 같다. ∨ ∨ ∨ ∨ A와 B를 한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 경우 의 수는 3!=6 A와 B가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 양 끝과 그 사이사이의 4개의 자리 중 2개의 자리에 C, D를 세우는 경우의 수는 ¢P™=12 따라서 구하는 경우의 수는 6_2_12=144⑴ 14400 ⑵ 144

0052

남자 2명, 여자 3명, 즉 5명을 일렬로 세우는 방법의 수는 a=5!=120 또, 여자 3명 중 2명을 양 끝에 세우는 방법의 수는 £P™=6이 고, 그 각각에 대하여 나머지 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 F E AB l g n r t 남 남 남 남 단계 채점요소 배점 A, C가 같은 색인 경우의 수 구하기 40% A, C가 다른 색인 경우의 수 구하기 40% 전체 경우의 수 구하기 20%

(7)

3!=6이므로 b=6_6=36 ∴ a+b=120+36=156 답 ④

0053

tuesday에서 자음은 t, s, d, y의 4개이고 모음은 u, e, a의 3개이다. 자음과 모음이 교대로 오는 경우는 자음 4개를 일렬로 배열하 고 그 사이사이에 모음 3개를 배열하면 된다. 자음 4개를 일렬로 배열하는 방법의 수는 4!=24 자음 사이사이에 모음 3개를 배열하는 방법의 수는 3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 24_6=144 답 ③

0054

s r를 한 문자로 생각하여 모두 4개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4!=24 s와 r 사이에 3개의 문자를 나열하는 경우의 수는 §P£=120 s와 r의 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 24_120_2=57605760

0055

korea의 5개의 문자 중에서 자음은 k, r의 2개이고 모음은 o, e, a의 3개이다. 맨 앞에 자음, 맨 뒤에 모음이 오는 경우의 수는 2_3=6 맨 앞에 모음, 맨 뒤에 자음이 오는 경우의 수는 3_2=6 즉, 한쪽 끝에는 자음, 다른 한쪽 끝에는 모음이 오는 경우의 수는 6+6=12 나머지 세 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 12_6=72 답 72

0056

picture에서 모음은 i, u, e, 자음은 p, c, t, r이다. picture의 7개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 7!=5040 양쪽 끝에 모두 자음이 오는 경우의 수는 ¢P™_5!=1440 따라서 적어도 한쪽 끝에 모음이 오는 경우의 수는 5040-1440=3600 답 ②

0057

5개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 5!=120 a, b, c 중 어느 것도 이웃하지 않는 경우의 수는 a, b, c를 일 렬로 배열하고 그 사이사이에 d, e가 오도록 배열하는 경우의 수와 같으므로 3!_2!=12 따라서 구하는 경우의 수는 120-12=108 답 ②

0058

mailbox의 7개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 7!=5040 모음 a, i, o 중 어느 것도 이웃하지 않는 경우의 수는 자음 m, l, b, x의 4개의 문자를 일렬로 나열한 다음 양 끝과 그 사이사 이의 5개의 자리 중 3개의 자리에 모음 3개를 일렬로 나열하는 경우의 수이므로 4!_∞P£=1440 ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ 따라서 적어도 두 개의 모음이 이웃하는 경우의 수는 5040-1440=36003600

0059

6개의 자연수를 일렬로 나열하는 경우의 수는 6!=720 홀수의 개수를 n이라 하면 양 끝에 홀수가 오는 경우의 수는 홀수 n개 중에서 2개를 양 끝에 나열하는 경우의 수가 «P™=n(n-1)이고 나머지 4개의 숫자를 일렬로 나열하는 경 우의 수가 4!=24이므로 n(n-1)_24=24n(n-1) 즉, 720-24n(n-1)=432 24n(n-1)=288, n(n-1)=12=4_3 ∴ n=4 따라서 짝수의 개수는 6-4=22 자 자 자 자 ▶본문

012 ~ 014

쪽 단계 채점요소 배점 s r를 한 문자로 생각하여 일렬로 나열하는 경우의 수 구하기 30% s와 r 사이에 3개의 문자를 나열하는 경우의 수 구하기 30% s와 r의 자리를 바꾸는 경우의 수 구하기 30% 전체 경우의 수 구하기 10% 단계 채점요소 배점 7개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수 구하기 40% 모음이 이웃하지 않는 경우의 수 구하기 40% 적어도 두 개의 모음이 이웃하는 경우의 수 구하기 20%

(8)

0060

백의 자리에는 0이 올 수 없으므로 1, 2, 3, 4, 5의 5가지이고 십의 자리와 일의 자리에는 남은 5개의 숫자에 서 2개의 숫자가 올 수 있으므로 ∞P™=20 따라서 세 자리의 자연수의 개수는 5_20=100 ¤양쪽 끝에 홀수가 오는 방법의 수는 £P™=6이고, 가운데 숫 자는 양쪽 끝에 온 홀수를 제외한 숫자가 올 수 있으므로 4 가지이다. 따라서 양쪽 끝이 홀수인 세 자리의 자연수의 개수는 6_4=24, ¤에서 적어도 한쪽 끝이 짝수인 자연수의 개수는 100-24=76 답 ③

0061

천의 자리와 일의 자리에 홀수가 오는 방법의 수는 ™P™ 이고, 백의 자리와 십의 자리에는 남은 3개의 숫자에서 2개를 택하여 나열하면 된다. 따라서 구하는 네 자리의 자연수의 개수는 ™P™_£P™=2_6=1212

0062

세 자리의 자연수가 3의 배수이려면 각 자리의 수의 합이 3의 배수이어야 한다. 1, 2, 3, 4, 5, 6에서 서로 다른 3개의 수를 택할 때, 그 수의 합 이 3의 배수인 경우는 다음과 같다. (1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (1, 5, 6), (2, 4, 6), (3, 4, 5), (4, 5, 6) 구하는 3의 배수의 개수는 각각을 일렬로 나열하는 경우의 수 이므로 8_£P£=8_3!=48 답 ⑤

0063

어떤 수가 4의 배수가 되려면 끝의 두 자리의 수가 4의 배수이어야 한다. ⁄끝의 두 자리의 수가 04, 20, 40인 경우 나머지 4개의 수에서 2개를 택하여 앞의 두 자리에 나열하 면 되므로 3_¢P™=36 ¤끝의 두 자리의 수가 12, 24, 32, 52인 경우 천의 자리에는 나머지 4개의 숫자 중 0을 제외한 3개의 숫 자가 올 수 있고, 백의 자리에는 천의 자리에 온 숫자를 제 외하고, 0을 포함한 3개의 숫자가 올 수 있으므로 4_3_3=36, ¤에서 구하는 경우의 수는 36+36=7272

0064

250보다 큰 세 자리의 자연수는 25 , 26 , 3 , 4 , 5 , 6 꼴의 수이다. ⁄25 일 때, 안에 들어갈 숫자는 1, 3, 4, 6의 4가지 ¤26 일 때, 안에 들어갈 숫자는 0, 1, 3, 4, 5의 5가지3 , 4 , 5 , 6 일 때, 백의 자리에 오는 수를 제외한 6개의 숫자 중 2개를 택하여 나열하는 방법의 수와 같으므로 4_§P™=120, ¤, ‹에서 구하는 개수는 4+5+120=129129

0065

a , b , c , d 의 꼴인 문자열의 개수는 4¥4!=96 ¤eab , eac 의 꼴인 문자열의 개수는 2¥2!=4, ¤에서 100번째의 문자열은 eacdb이다. 답 ④

0066

a 의 꼴인 문자열의 개수는 4!=24 ¤ba , bc , bd 의 꼴인 문자열의 개수는 3¥3!=18bea , bec 의 꼴인 문자열의 개수는 2¥2!=4 따라서 bedac는 ⁄, ¤, ‹의 다음에 오는 문자열이므로 24+18+4+1=47(번째) 답 ③

0067

1 의 꼴인 자연수의 개수는 4!=24 20 , 21 의 꼴인 자연수의 개수는 2¥3!=12 따라서 구하는 수는 23 의 꼴의 네 번째 수이다. 즉, 23014, 23041, 23104, 23140에서 23140이다. 답 ②

0068

C와 D를 한 사람으로 생각하여 5명이 원탁에 둘러앉 는 방법의 수는 (5-1)!=4!=24 C와 D가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 따라서 구하는 방법의 수는 24_2=48 답 ① 단계 채점요소 배점 끝의 두 자리의 수가 04, 20, 40인 경우의 수 구하기 40% 끝의 두 자리의 수가 12, 24, 32, 52인 경우의 수 구하기 40% 전체 경우의 수 구하기 20%

(9)

0069

어른 4명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6 어른과 어른 사이의 4개의 자리 중에서 3개를 택하여 아이를 앉히는 방법의 수는 ¢P£=24 따라서 구하는 방법의 수는 6_24=144 답 ⑤

0070

남학생 5명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (5-1)!=4!=24 남학생과 남학생 사이의 5개의 자리에 여학생 5명을 앉히는 방 법의 수는 ∞P∞=5!=120 따라서 구하는 방법의 수는 24_120=2880 답 ⑤

0071

부모를 한 사람으로 생각하여 5명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (5-1)!=4!=24 부모가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 ∴ a=24_2=48 또, 부모가 마주 보도록 원탁에 앉은 다음 나머지 네 자리에 4 명을 앉히면 되므로 b=4!=24 ∴ a+b=48+24=7272

0072

10명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (10-1)!=9! 이때 직사각형 모양의 식탁에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 5가지씩 존재하므로 9!_5 답 ②

0073

6명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (6-1)!=5! 이때 정삼각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방 법에 대하여 서로 다른 경우가 2가지씩 존재하므로 5!_2=240 답 ②

0074

7명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (7-1)!=6! 그런데 부채꼴 모양의 탁자는 원형으로 배열하는 한 가지 방법 에 대하여 서로 다른 경우가 7가지씩 존재한다. 따라서 구하는 방법의 수는 6!_7=5040 답 5040

0075

12명을 원형으로 배열하는 방법의 수는 (12-1)!=11! 이때 정육각형 모양의 탁자에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 2가지씩 존재하므로 2_11!=;6!;_12! ∴ a=;6!; 답 ①

0076

4개의 영역에 4가지 색을 칠하는 방법의 수는 4! 그런데 이 도형을 회전시켰을 때 같은 모양이 4가지가 나오므로 구하는 경우의 수는 =3!=6 답 ③

0077

오른쪽 그림과 같이 빨강과 보 라가 서로 마주 보도록 칠하는 방법의 수는 1가지이고, 그 각각에 대하여 주 황, 노랑, 초록, 파랑의 4가지 색을 칠하 는 방법의 수는 4!이므로 구하는 경우의 수는 4!=24 답 24

0078

특정한 색을 윗면에 칠하면 아랫면을 칠하는 방법의 수는 5가지이고, 옆면을 칠하는 방법의 수는 (4-1)!=3! 이므로 구하는 방법의 수는 5_3!=30 답 30

0079

바깥쪽의 네 영역에 4가지 색을 칠하는 경우의 수는 =420 이 경우 각각에 대하여 안쪽의 네 영역에 나머지 4가지 색을 칠하는 경우의 수는 4!=24 따라서 구하는 경우의 수는 420_24=10080 답 ②

0080

백색, 청색의 2개에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ™P¢=2› =16 답 ③

0081

○, ×로 답하는 2개에서 중복을 허락하여 5개를 택하 는 중복순열의 수와 같으므로 ™P∞=2fi =3232 •P¢ 4 빨강 보라 4! 4 ▶본문

015 ~ 017

쪽 단계 채점요소 배점 7명을 원형으로 배열하는 방법의 수 구하기 30% 부채꼴 모양의 탁자에서 서로 다른 경우의 수 구하기 60% 전체 방법의 수 구하기 10%

(10)

0082

⑴ 서로 다른 3개의 학급에서 5개를 택하는 중복순열 의 수와 같으므로 £P∞=3fi =243 ⑵ 각 선거인마다 3가지의 투표하는 방법이 있으므로 구하는 방법의 수는 3명의 후보에서 6개를 택하는 중복순열의 수와 같다. ∴ £P§=3fl =729⑴ 243 ⑵ 729

0083

2개의 모스 부호 중에서 중복을 허락하여 3개를 사용하여 만들 수 있는 신호의 개수는 ™P£=2‹ =8 4개를 사용하여 만들 수 있는 신호의 개수는 ™P¢=2› =16 5개를 사용하여 만들 수 있는 신호의 개수는 ™P∞=2fi =32 따라서 구하는 신호의 개수는 8+16+32=5656

0084

한 자리의 자연수는 ¢P¡=4 ¤ 두 자리의 자연수는 ¢P™=16세 자리의 자연수는 ¢P£=64, ¤, ‹에서 구하는 자연수의 개수는 4+16+64=8484

0085

⑴ 백의 자리에는 0이 올 수 없으므로 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3의 3가지이다. 십의 자리, 일의 자리 에는 0, 1, 2, 3의 4개의 숫자를 중복을 허락하여 나열할 수 있으므로 ¢P™=16 따라서 구하는 자연수의 개수는 3_16=48 ⑵ 3000보다 큰 자연수는 3 , 4 의 꼴이다. ⁄3 의 꼴인 경우 5개의 수에서 중복을 허락하여 3개를 뽑아 만들 수 있는 자연수의 개수와 같으므로 ∞P£=5‹ =125 ¤4 의 꼴인 경우 5개의 수에서 중복을 허락하여 3개를 뽑아 만들 수 있는 자연수의 개수와 같으므로 ∞P£=5‹ =125 이때 3000보다 큰 자연수이므로 3000은 제외되어야 한다. 따라서 구하는 3000보다 큰 자연수의 개수는 125+125-1=249⑴ 48 ⑵ 249

0086

X에서 Y로의 함수의 개수는 집합 Y의 원소 a, b, c, d, e에서 중복을 허락하여 3개를 뽑는 중복순열의 수와 같으 므로 x=∞P£=5‹ =125 또, X에서 Y로의 일대일함수의 개수는 Y의 원소 a, b, c, d, e에서 서로 다른 3개를 뽑아 일렬로 나열하는 방법의 수와 같 으므로 y=∞P£=5_4_3=60 ∴ x+y=125+60=185 답 ②

0087

집합 Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5에서 중복을 허락하여 3 개를 뽑아 3을 제외한 정의역의 원소 1, 2, 4에 대응시키는 경 우의 수와 같으므로 ∞P£=5‹ =125125

0088

전체 경우의 수는 6개의 숫자 모두를 일렬로 나열하는 경우의 수이고 1이 2개, 2가 3개이므로 =60 맨 앞자리에 0이 오는 수를 제외한 수들을 나열하는 경우의 수 는 1, 1, 2, 2, 2의 5개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수이 고 이때 1이 2개, 2가 3개이므로 =10 따라서 구하는 여섯 자리의 자연수의 개수는 60-10=50 답 ④

0089

=30 답 ②

0090

⁄`맨 앞자리에 5가 오는 경우 : =60 ¤`맨 앞자리에 4가 오는 경우 : =30, ¤에서 구하는 자연수의 개수는 60+30=90 답 ③

0091

일의 자리의 숫자가 1 또는 3일 때 홀수가 된다. ⁄ 일의 자리의 숫자가 1인 경우 0, 1, 2, 2, 3이 적힌 카드를 일렬로 나열하는 방법의 수는 =60 이때 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는 =12 ∴ 60-12=48 ¤`일의 자리의 숫자가 3인 경우 0, 1, 1, 2, 2가 적힌 카드를 일렬로 나열하는 방법의 수는 =30 이때 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수는 =6 ∴ 30-6=24 4! 2!2! 5! 2!2! 4! 2! 5! 2! 5! 2!2! 5! 2! 5! 2!2! 5! 3!2! 6! 3!2!

(11)

⁄, ¤에서 구하는 홀수의 개수는 48+24=72 답 72

0092

l l과 같이 양 끝에 l을 나열하고 중간 에 c, h, a, e, n, g, e를 일렬로 나열하면 되므로 =2520 답 ②

0093

⑴ happiness에서 모음은 a, i, e이므로 3개의 모음 을 한 문자 A로 생각하면 A, h, p, p, n, s, s의 7개의 문 자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 =1260 이때 모음끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!=6 따라서 구하는 방법의 수는 1260_6=7560 ⑵ i 와 같이 i를 맨 앞에 고정시키고 나머지 문 자 n, t, e, r, n, e, t를 일렬로 배열하면 되므로 x= =630 또, 2개의 t를 한 문자 A로 생각하면 A, i, n, e, r, n, e 의 7개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 y= =1260 ∴ = =2 답 ⑴ 7560 ⑵ 2

0094

모음은 a, e이므로 a, e를 A로 바꾸어 생각하면 A, A, b, c, d, f의 6개의 문자를 일렬로 나열한 후 첫 번째, 두 번째 A를 각각 a, e로 바꾸면 된다. ∴ =360 답 360

0095

⑴ t, m의 순서가 정해져 있으므로 t, m을 모두 A로 바꾸어 생각하면 A, A, o, o, r, r, o, w의 8개의 문자 를 일렬로 나열한 후 첫 번째 A는 t, 두 번째 A는 m으로 바꾸면 된다. ∴ =1680 ⑵ 2, 3, 4의 순서가 정해져 있으므로 2, 3, 4를 모두 A로 바 꾸어 생각하면 1, 1, 1, 5, A, A, A의 7개의 문자를 일 렬로 나열한 후 첫 번째 A는 2, 두 번째 A는 3, 세 번째 A 는 4로 바꾸면 된다. ∴ =140 답 ⑴ 1680 ⑵ 140

0096

A에서 P로 가는 최단 경로의 수는 =10 P에서 B로 가는 최단 경로의 수는 =2 따라서 구하는 최단 경로의 수는 10_2=20 답 ③

0097

오른쪽 그림과 같이 세 지점 X, Y, Z를 잡으면 ⁄P → X → Q의 경우 1_1=1 ¤P → Y → Q의 경우 _ =16 ‹P → Z → Q의 경우 { -1}_{ -1}=25 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 최단 경로의 수는 1+16+25=42 답 ⑤

0098

A에서 B로 가는 최단 경로 의 수는 ⁄ A → P → B의 경우 1_ =6 ¤ A → Q → B의 경우 _ =24 ‹ A → R → B의 경우 1_1=1 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 최단 경로의 수는 6+24+1=31 답 ①

0099

A에서 B로 가는 최단 경로 의 수는 ⁄A → P → B의 경우 1_1=1 ¤A → Q → B의 경우 _ =20 ‹A → R → B의 경우 _ =12 ›A → S → B의 경우 _ =20 fiA → T → B의 경우 1_1=1 5! 4!1! 4! 3!1! 4! 3!1! 3! 2!1! 4! 3!1! 5! 1!4! B A T S R Q P 4! 2!2! 4! 3!1! 6! 5!1! A P R Q B 4! 2!2! 4! 2!2! 4! 3! 4! 3! Q P X Y Z 2! 1!1! 5! 3!2! 7! 3!3! 8! 2!2!3! 6! 2! 1260 630 y x 7! 2!2! 7! 2!2!2! 7! 2!2! 7! 2! ▶본문

017 ~ 019

쪽 단계 채점요소 배점 일의 자리의 숫자가 1인 경우의 수 구하기 40% 일의 자리의 숫자가 3인 경우의 수 구하기 40% 홀수의 개수 구하기 20%

(12)

⁄~fi에서 구하는 최단 경로의 수는 1+20+12+20+1=54 답 ⑤

0100

눈의 수의 곱이 12의 배수인 경우는 12, 24, 36인 경우 이다. ⁄눈의 수의 곱이 12인 경우 (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)의 4가지 ¤눈의 수의 곱이 24인 경우 (4, 6), (6, 4)의 2가지눈의 수의 곱이 36인 경우 (6, 6)의 1가지 이때 이들 세 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우 의 수는 4+2+1=7 답 ②

0101

(x+y+z+w)(p+q)의 전개식의 항의 개수는 4_2=8 (a+b)(p+q)의 전개식의 항의 개수는 2_2=4 위의 두 전개식에서 동류항이 없으므로 구하는 항의 개수는 8+4=12 답 ⑤

0102

서로 다른 6개에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중 복순열의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 §P£=6‹ =216 답 ④

0103

A⁄ B, B ⁄ C, C ⁄ B, B ⁄ A로 가는 방법의 수 는 각각 4, 2, 3, 3이므로 구하는 방법의 수는 4_2_3_3=7272

0104

5의 배수의 집합을 A, 7의 배수의 집합을 B라 하면 집합 A;B는 5와 7의 공배수, 즉 5와 7의 최소공배수인 35의 배수의 집합이다. A={5, 10, 15, y, 100}에서 n(A)=20 B={7, 14, 21, y, 98}에서 n(B)=14 A;B={35, 70}에서 n(A;B)=2 따라서 5 또는 7의 배수의 집합은 A'B이므로 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =20+14-2 =3232

0105

양 끝에 i와 e를 일렬로 나열하는 방법의 수는 2!=2 나머지 4개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4!=24 따라서 구하는 경우의 수는 2_24=48 답 ③

0106

w a를 한 문자로 생각하여 모두 3개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 3!=6 w와 a 사이에 3개의 문자를 나머지 5개의 문자에서 택하여 나 열하는 경우의 수는 ∞P£=60 w와 a의 위치를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 6_60_2=720 답 ⑤

0107

남자를 △, 여자를 로 나타내면 남자와 여자가 교대 로 서는 경우는 다음과 같다. △ △ △ △ △ 또는 △ △ △ △ △ 따라서 구하는 경우의 수는 5!_5!_2=28800 답 ⑤

0108

280=2‹ _5_7이므로 280의 양의 약수의 개수는 (3+1)(1+1)(1+1)=16 이 중 2의 배수가 아닌 약수는 5_7의 약수이므로 그 개수는 (1+1)(1+1)=4 따라서 구하는 2의 배수의 개수는 16-4=12 답 ②

0109

50원짜리 동전 4개이면 100원짜리 동전 2개와 같으므 로 금액이 중복된다. 100원짜리 동전 2개를 50원짜리 동전 4 개로 바꾸면 50원짜리 동전 8개와 1000원짜리 지폐 1장으로 지불하는 방법의 수와 같다. 50원짜리 동전을 지불하는 방법의 수는 0, 1, 2, 3, y, 8개의 9가지 1000원짜리 지폐를 지불하는 방법의 수는 0, 1개의 2가지 이때 0원을 지불하는 경우가 1가지이므로 구하는 금액의 수는 9¥2-1=1717

0110

«P¢=n(n-1)(n-2)(n-3), «P™=n(n-1) 이므로 주어진 식에 대입하면 n(n-1)(n-2)(n-3)=6n(n-1) 양변을 n(n-1)로 나누면 (n-2)(n-3)=6 (∵ næ4) n¤ -5n=0, n(n-5)=0 ∴ n=5 (∵ næ4) ∴ ∞P™=5_4=20 답 ④

(13)

0111

부부를 한 사람으로 생각하면 3명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (3-1)!=2! 부부끼리 자리를 바꾸는 방법의 수가 각각 2!이므로 2!_2!_2!_2!=16 답 ③

0112

Y의 원소 1, 2, 3에서 4개를 뽑는 중복순열의 수와 같 으므로 £P¢=3› =81 답 ④

0113

1, 2, 3의 숫자로 중복을 허락하여 네 자리의 자연수 를 만들 때, 1과 3이 모두 포함되는 경우는 (1, 3, 1, 1), (1, 3, 2, 2), (1, 3, 3, 3), (1, 3, 1, 2), (1, 3, 1, 3), (1, 3, 2, 3) 의 6가지이다. (1, 3, 1, 1)인 경우 : =4 (1, 3, 2, 2)인 경우 : =12 (1, 3, 3, 3)인 경우 : =4 (1, 3, 1, 2)인 경우 : =12 (1, 3, 1, 3)인 경우 : =6 (1, 3, 2, 3)인 경우 : =12 따라서 구하는 자연수의 개수는 4+12+4+12+6+12=50 답 ③

0114

위의 그림에서 ⓐ를 지난 다음 ⓑ를 지나야 한다. ⓐ를 지나는 방법의 수는 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 방법의 수 와 같으므로 3!=6 ⓑ를 지나는 방법의 수는 4, 5, 6, 7, 8을 일렬로 나열하는 방법 의 수와 같으므로 5!=120 따라서 구하는 방법의 수는 6_120=720 답 ⑤

0115

5의 배수가 되려면 일의 자리의 숫자가 0 또는 5이어 야 한다. ⁄일의 자리의 숫자가 0인 경우 백의 자리에 1, 2, 3, 4, 5의 5가지가 올 수 있고, 십의 자리 에는 백의 자리에 온 숫자를 제외한 4가지가 올 수 있으므로5_4=20 ¤일의 자리의 숫자가 5인 경우 백의 자리에 1, 2, 3, 4의 4가지가 올 수 있고, 십의 자리에 는 백의 자리에 온 숫자를 제외한 3가지와 0을 포함한 4가 지가 올 수 있으므로 ⁄4_4=16, ¤에서 구하는 자연수의 개수는 20+16=3636

0116

5개의 알파벳을 일렬로 나열하는 경우의 수는 5!=120 자음의 개수를 n이라 하면 양쪽 끝에 모두 자음이 오는 경우의 수는 «P™_3!이므로 적어도 한쪽 끝에 모음이 오는 경우의 수120-«P™_3!=84 «P™_6=36, «P™=6 n(n-1)=3_2 ∴ n=3 따라서 자음의 개수가 3이므로 모음의 개수는 5-3=22

0117

모음 i, i, e를 한 문자 A로 생각하면 A, A, A, p, r, n, c, p, l의 9개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으 므로 =30240 답 ⑤

0118

정사각뿔의 밑면을 칠하는 방법의 수는 5이고, 나머지 4가지 색을 옆면에 칠하는 방법의 수는 (4-1)!=3!=6 따라서 구하는 방법의 수는 5_6=30 답 30

0119

오른쪽 그림에서 홀수 1, 1, 1, 3 은 △에 놓여야 하고 짝수 2, 2, 4, 4는 에 놓여야 한다. 따라서 구하는 방법의 수는 _ =24 답 ④

0120

⁄ 주어진 7개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 =420 ¤ 양쪽 끝에 모두 b가 오는 경우의 수는 =20 5! 133! 7! 1132!3! 4! 2!2! 4! 3! △ △ △ △ 9! 3!2! A 1 4 5 6 7 8 2 3 B ⓐ ⓑ 4! 2! 4! 2!2! 4! 2! 4! 3! 4! 2! 4! 3! ▶본문

020 ~ 022

(14)

‹ 양쪽 끝에 모두 c가 오는 경우의 수는 =60 따라서 구하는 경우의 수는 420-20-60=340 답 340

0121

15명을 원형으로 배열하는 경우의 수는 (15-1)!=14! 이때 정오각형 모양의 식탁에서는 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 각각 3가지 경우가 존재하므로 구하는 방법의 수는 14!_3 답 ③

0122

a 꼴의 문자열의 개수는 4!=24 b 꼴의 문자열의 개수는 4!=24 c 꼴의 문자열의 개수는 4!=24 da 꼴의 문자열의 개수는 3!=6 db 꼴의 문자열의 개수는 3!=6 24+24+24+6+6=84이므로 85번째에 오는 문자열은 dcabe, 86번째에 오는 문자열은 dcaeb이다. 따라서 86번째에 오는 문자열의 마지막 문자는 b이다. 답 ②

0123

한 자리의 자연수의 개수는 5 두 자리의 자연수의 개수는 5_§P¡=30 세 자리의 자연수의 개수는 5_§P™=180 네 자리의 자연수 중 천의 자리의 숫자가 1인 자연수의 개수는 §P£=216 따라서 2000보다 작은 자연수의 개수는 5+30+180+216=431 이므로 2000은 432번째에 오는 수이다. 답 432

0124

⁄꼭짓점 A에서 꼭짓점 B로 가려면 가로, 세로, 높 이의 방향으로 각각 3번, 2번, 3번 이동해야 하므로 최단 경 로의 수는 =560 ¤꼭짓점 A에서 모서리 CD를 거쳐 꼭짓점 B로 가는 최단 경로의 수는 1_1_ =4 따라서 구하는 최단 경로의 수는 560-4=556 답 556

0125

a, b가 이웃하는 경우의 수 a와 b를 한 문자로 생각하여 5개의 문자를 일렬로 배열하 는 방법의 수는 5!=120 a와 b의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 ∴ 120_2=240 ¤b, c가 이웃하는 경우의 수는 ⁄과 마찬가지 방법으로 구하면 120_2=240a, b와 b, c가 모두 이웃하는 경우의 수 a, b, c를 한 문자로 생각하여 4개의 문자를 일렬로 배열하 는 방법의 수는 4!=24 a와 c의 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 ∴ 24_2=48 ⁄, ¤, ‹ 에서 구하는 경우의 수는 240+240-48=432432

0126

여섯 자리의 자연수 중 400000보다 큰 경우는 5 , 6 의 꼴일 때이다. ⁄5 의 꼴인 경우 5개의 안에 2, 3, 3, 6, 6을 일렬로 나열하면 되므로 =30 ¤6 의 꼴인 경우 5개의 안에 2, 3, 3, 5, 6을 일렬로 나열하면 되므로 =60, ¤에서 구하는 자연수의 개수는 30+60=90 답 90 5! 2! 5! 2!2! 4! 3! 8! 3!2!3! 5! 132! 단계 채점요소 배점 a, b가 이웃하는 경우의 수 구하기 30% b, c가 이웃하는 경우의 수 구하기 30% a, b와 b, c가 모두 이웃하는 경우의 수 구하기 30% a, b또는 b, c가 이웃하는 경우의 수 구하기 10% 단계 채점요소 배점 5 의 꼴인 경우의 수 구하기 40% 6 의 꼴인 경우의 수 구하기 40% 400000보다 큰 자연수의 개수 구하기 20%

(15)

▶본문

022 ~ 023

쪽 단계 채점요소 배점 A에서 B로 가는 최단 경로의 수 구하기 30% A에서 P를 거쳐 B로 가는 최단 경로의 수 구하기 50% 최단 경로의 수 구하기 20%

0127

A에서 B로 가는 최단 경로의 수는 =126 A에서 P로 가는 최단 경로의 수는 =6 P에서 B로 가는 최단 경로의 수는 =10 따라서 A에서 P를 거쳐 B로 가는 최단 경로의 수는 6_10=60 그러므로 구하는 최단 경로의 수는 126-60=6666

0128

⑴ 1, 1, 1, 2, 2, 3에서 4개의 숫자를 택하는 방법은 (1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 3), (1, 1, 2, 2), (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 3) 의 5가지이다. ⁄(1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 3)으로 만들어지는 네 자리의 자연수의 개수는 2_ =8 ¤(1, 1, 2, 2)로 만들어지는 네 자리의 자연수의 개수는 =6 ‹(1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 3)으로 만들어지는 네 자리의 자연수의 개수는 2_ =24 ⁄, ¤, ‹에서 자연수의 개수는 8+6+24=38 ⑵ 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수일 때, 3의 배수가 되므로 (1, 1, 1, 3), (1, 1, 2, 2)의 2가지이다. ⁄(1, 1, 1, 3)인 경우 =4 ¤(1, 1, 2, 2)인 경우 =6 ⁄, ¤에서 3의 배수의 개수는 4+6=10 답 ⑴ 38 ⑵ 10

0129

p=5_4_3_2_1=120 같은 색을 중복하여 사용할 수 있을 때에는 A에 칠하는 방법의 수가 5이 므로 ⁄B, D에 같은 색을 칠하는 방법의 수 : 4 C, E에 칠하는 방법의 수 : 3_3=9 ∴ 4_9=36 ¤B, D에 다른 색을 칠하는 방법의 수 : 4_3=12 C, E에 칠하는 방법의 수 : 2_2=4 ∴ 12_4=48 따라서 구하는 경우의 수는 q=5_(36+48)=420 ∴ |p-q|=300 답 ④

0130

f(1)=0, f(2)=2인 경우 : ∞P™=5¤ =25 ¤f(1)=1, f(2)=1인 경우 : ∞P™=5¤ =25f(1)=2, f(2)=0인 경우 : ∞P™=5¤ =25 따라서 구하는 함수 f의 개수는 25+25+25=75 답 ④

0131

⁄ A → P → B로 가는 최단 경로의 수 _ =18 ¤ A → Q → B로 가는 최단 경로 의 수 _ =9 따라서 구하는 최단 경로의 수는 18+9=27 답 ② 3! 2! 3! 2! 4! 2!2! 3! 2! B P Q A A D E B C 4! 2!2! 4! 3! 4! 2! 4! 2!2! 4! 3! 5! 3!2! 4! 2!2! 9! 5!4! 단계 채점요소 배점 자연수의 개수 구하기 50% 3의 배수의 개수 구하기 50%

(16)

0132

⑴ §Cº=1 ⑵ •C£= =56 ⑶ ¶C¢= =35 ⑷ ¡∞C¡¢=¡∞C¡=15⑴ 1 ⑵ 56 ⑶ 35 ⑷ 15

0133

⑴ «C™=10에서 =10 n(n-1)=20=5¥4∴∴∴ n=5 ⑵ ∞C£+∞C™= + =10+10=20 §C£= =20이므로 r=3 ⑶ ⁄ ¡ºC®=¡ºC®≠¢에서 r=r+4 이 식을 만족시키는 r의 값은 존재하지 않는다. ¤¡ºC®=¡ºC®≠¢이므로 ¡ºC¡º–®=¡ºC®≠¢에서 10-r=r+4∴∴∴ r=3, ¤에서 r=3 ⑷ «C£=«C«–£이므로 «C«–£=«C∞에서 n-3=5∴∴∴ n=8⑴ 5 ⑵ 3 ⑶ 3 ⑷ 8

0134

⑴ 15명 중에서 5명을 뽑는 방법의 수는 ¡∞C∞= =3003 ⑵ 남자 10명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 ¡ºC£= =120 여자 5명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 ∞C™= =10 따라서 구하는 방법의 수는 120_10=1200⑴ 3003 ⑵ 1200

0135

8개의 점 중에서 3개를 선택하면 하나의 삼각형이 결 정되므로 구하는 삼각형의 개수는 •C£= =5656

0136

™H¢=∞C¢=∞C¡=5 답 5

0137

£H∞=¶C∞=¶C™= =2121

0138

서로 다른 4개에서 2개를 택하는 중복조합의 수이므로 ¢H™=∞C™= =10 답 10

0139

S(5, 3)

0140

S(6, 4)

0141

⑴ S(4, 3)=¢C™_™C¡_¡C¡_ =6 ⑵ S(3, 3)=£C¡_™C¡_¡C¡_ =1 답 ⑴ 6 ⑵ 1

0142

P(6, 3)

0143

P(10, 3)

0144

⑴ 4를 3개의 자연수로 분할하는 방법의 수는 4=2+1+1 ∴ P(4, 3)=1 ⑵ 5를 4개의 자연수로 분할하는 방법의 수는 5=2+1+1+1 ∴ P(5, 4)=1⑴ 1 ⑵ 1

0145

(x+y)fi =∞Cº xfi +∞C¡ x› y+∞C™ x‹ y¤ +∞C£ x¤ y‹

+∞C¢ xy› +∞C∞ yfi

(x+y)fi=xfi +5x› y+10x‹ y¤ +10x¤ y‹ +5xy› +yfixfi +5x› y+10x‹ y¤ +10x¤ y‹ +5xy› +yfi

0146

(3a+2b)› =¢Cº(3a)› +¢C¡(3a)‹ (2b)

+¢C™(3a)¤ (2b)¤ +¢C£(3a)(2b)‹ +¢C¢(2b)›

(3a+2b)¤=81a› +216a‹ b+216a¤ b¤ +96ab‹ +16b›81a› +216a‹ b+216a¤ b¤ +96ab‹ +16b›

0147

(x+y)‡의 전개식의 일반항은 ¶C® x¶–®y® x› y‹항은 r=3일 때이므로 x› y‹ 의 계수는 ¶C£=35 답 35

0148

{a- }fl 의 전개식의 일반항은 §C® afl —® {- } ® =§C®(-1)® afl —¤ ® 상수항은 6-2r=0일 때이므로 r=3 따라서 상수항은 §C£¥(-1)‹ =-20-20 1 1a 1 1a 1 3! 1 2! 5¥4 112¥1 7¥6 112¥1 8¥7¥6 3¥2¥1 5¥4 2¥1 10¥9¥8 3¥2¥1 15¥14¥13¥12¥11 5¥4¥3¥2¥1 6¥5¥4 3¥2¥1 5¥4 2¥1 5¥4¥3 3¥2¥1 n(n-1) 2¥1 7¥6¥5¥4 4¥3¥2¥1 8¥7¥6 3¥2¥1

조합

02

Ⅰ.순열과 조합

(17)

0149

오른쪽 파스칼의 삼각형에서

(x+y)›

=x› +4x‹ y+6x¤ y¤ +4xy‹ +y›

yy답

0150

오른쪽 파스칼의 삼각형에서

(a-1)fi

=afi +5a› ¥(-1)+10a‹ ¥(-1)¤ +10a¤ ¥(-1)‹ +5a¥(-1)›

+(-1)fi

=afi -5a› +10a‹ -10a¤ +5a-1 yy답

0151

£Cº+£C¡+¢C™=¢C¡+¢C™=∞C™ 답 ∞C™

0152

¢C™+¢C¡+∞C¡+§C¡=∞C™+∞C¡+§C¡ =§C™+§C¡ =¶C™ 답 ¶C™

0153

«P£=120에서 n(n-1)(n-2)=120 yy㉠ «C¢=15에서 =15 yy㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 120(n-3)=360 n-3=3∴∴∴ n=6 ∴ «C£+«P¢=§C£+§P¢ ∴ «C£+«P¢= +6¥5¥4¥3 ∴ «C£+«P¢=20+360=380 답 ⑤

0154

¡™C®–£=¡™C£®–¡에서 r-3=3r-1이면 r=-1이므로 모순이다. 따라서 ¡™C®–£=¡™C¡™–[®–£]=¡™C¡∞–®이므로 ¡™C¡∞–®=¡™C£®–¡ 15-r=3r-1 ∴ r=4 답 ③

0155

™«P∞=10k_™«C∞에서 ™«P∞=10k_ 10k=5!=5_4_3_2_1 ∴ k=12 답 ②

0156

⑴ ∞C£=«C£+¢C™에서 «C£=∞C£-¢C™= - =4 즉, =4 n(n-1)(n-2)=4¥3¥2 ∴ n=4 ⑵ «≠¢C™+«≠£C™=100에서 + =100 =100 (n+3)¤ =100 n+3=10 (∵ n+3æ2) ∴ n=7⑴ 4 ⑵ 7

0157

n개의 팀이 참가했다고 하면 n개의 팀이 서로 다른 팀 과 1번씩 경기를 치르는 경우의 수는 «C™ 그런데 5번의 리그전을 치루었으므로 «C™_5=140, «C™=28 =28, n(n-1)=56=8_7 ∴ n=8 답 ③

0158

⑴ 남학생 6명 중 남자 대표 2명을 뽑는 경우의 수는 §C™= =15 여학생 4명 중 여자 대표 1명을 뽑는 경우의 수는 ¢C¡=4 따라서 구하는 경우의 수는 15_4=60 ⑵ ⁄ 3명이 모두 남자인 경우의 수는 ∞C£=∞C™= =10 ¤3명이 모두 여자인 경우의 수는 ∞C£=∞C™= =10 ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 10+10=20 답 ⑴ 60 ⑵ 20

0159

원소의 개수가 0인 부분집합의 개수는 §Cº=1 원소의 개수가 1인 부분집합의 개수는 §C¡=6 원소의 개수가 2인 부분집합의 개수는 §C™= =15 따라서 구하는 부분집합의 개수는 1+6+15=22 답 ② 6¥5 2¥1 5¥4 2¥1 5¥4 2¥1 6¥5 2¥1 n(n-1) 2¥1 (n+3)(2n+6) 2 (n+3)(n+2) 2¥1 (n+4)(n+3) 2¥1 n(n-1)(n-2) 3¥2¥1 4¥3 2¥1 5¥4¥3 3¥2¥1 ™«P∞ 5! 6¥5¥4 3¥2¥1 n(n-1)(n-2)(n-3) 4¥3¥2¥1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 ▶본문

025 ~ 026

(18)

0160

두 수의 합이 짝수가 되는 경우는 (홀수)+(홀수) 또는 (짝수)+(짝수)(홀수)+(홀수)인 경우 5개의 홀수 중 2개를 뽑는 경우의 수는 ∞C™= =10 ¤(짝수)+(짝수)인 경우 4개의 짝수 중 2개를 뽑는 경우의 수는 ¢C™= =6, ¤에서 구하는 경우의 수는 10+6=1616

0161

특정한 2가지의 색이 칠해진 공을 꺼내고 나머지 8개 의 공 중에서 3개의 공을 꺼내면 되므로 •C£= =5656

0162

⑴ A는 선출되지 않고 B, C는 함께 선출되어야 하므 로 남은 5명 중 2명을 뽑는 경우의 수는 ∞C™= =10 ⑵ A동호회의 특정한 2명을 이미 뽑았다고 생각하여 2명을 제 외하고 남은 12명 중에서 나머지 대표 2명을 뽑는 경우의 수는 ¡™C™= =66 답 ⑴ 10 ⑵ 66

0163

가장 큰 원소가 8이고 n(A)=4이므로 7 이하의 자연 수 중에서 3개의 원소를 택하면 된다. ∴ ¶C£= =3535

0164

A, B가 모두 빈 좌석에 앉고 A, B를 제외한 5명 중에서 1명이 빈 좌석에 앉는 방법의 수는 l=∞C¡=5 ¤A, B가 모두 빈 좌석에 앉지 못하고 A, B를 제외한 5명 중 3명이 빈 좌석에 앉는 방법의 수는 m=∞C£= =10A, B 중 한 사람만 빈 좌석에 앉을 때 A는 앉고 B를 제외한 5명 중에서 2명이 빈 좌석에 앉는 경 우의 수는 ∞C™= =10 마찬가지 방법으로 B만 앉는 경우의 수는 10 ∴ n=10+10=20 ⁄, ¤, ‹에서 l+m-n=5+10-20=-5-5

0165

6장의 카드 중에서 2장의 카드를 뽑는 경우의 수는 §C™= =15 홀수 1, 3, 5의 숫자가 쓰여 있는 3장의 카드에서 2장의 카드를 뽑는 경우의 수는 £C™=£C¡=3 따라서 구하는 경우의 수는 15-3=1212

0166

남자 5명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 ∞C™= =10 여자 4명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수는 ¢C™= =6 ∴ A=10_6=60 ¤전체 9명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 ªC¢= =126 남자 5명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 ∞C¢=∞C¡=5 ∴ B=126-5=121전체 9명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 ªC¢= =126 남자 5명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 ∞C¢=∞C¡=5 여자 4명 중에서 4명을 뽑는 방법의 수는 ¢C¢=1 ∴ C=126-(5+1)=120, ¤, ‹에서 A<C<B 답 ②

0167

⑴ 8명 중에서 5명을 선발하는 모든 경우의 수는 •C∞=•C£=8¥7¥6=56 3¥2¥1 9¥8¥7¥6 4¥3¥2¥1 9¥8¥7¥6 4¥3¥2¥1 4¥3 2¥1 5¥4 2¥1 6¥5 2¥1 5¥4 2¥1 5¥4¥3 3¥2¥1 7¥6¥5 3¥2¥1 12¥11 2¥1 5¥4 2¥1 8¥7¥6 3¥2¥1 4¥3 2¥1 5¥4 2¥1 단계 채점요소 배점 l의 값 구하기 30% m의 값 구하기 30% n의 값 구하기 30% l+m-n의 값 구하기 10%

(19)

A, B 두 선수를 제외한 6명 중에서 5명을 선발하는 경우의 수는 §C∞=§C¡=6 따라서 구하는 경우의 수는 56-6=50 ⑵ 전체 14명의 사원 중에서 3명의 영업사원을 뽑는 경우의 수는 ¡¢C£= =364 9명의 남자 사원 중에서 3명의 영업사원을 뽑는 경우의 수는 ªC£= =84 5명의 여자 사원 중에서 3명의 영업사원을 뽑는 경우의 수는 ∞C£=∞C™= =10 따라서 구하는 경우의 수는 364-(84+10)=270⑴ 50 ⑵ 270

0168

10명의 회원 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는 ¡ºC™ 여자 회원의 수를 x명이라 하면 여자 회원 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는xC™ 이때 적어도 한 명은 남자 회원이 뽑히는 경우의 수가 30가지이 므로 ¡ºC™-xC™=30 - =30 45- =30 x(x-1)=30=6_5 ∴ x=6 따라서 남자 회원의 수는 10-6=4(명)4

0169

8명 중 특정한 2명을 포함하여 4명을 뽑는 방법의 수 는 나머지 6명 중에서 2명만 뽑으면 되므로 §C™= =15 또한, 뽑힌 4명을 일렬로 세울 때, 특정한 2명이 이웃하도록 세 우는 방법의 수는 3!_2!=12 따라서 구하는 방법의 수는 15_12=180 답 ④

0170

5개의 과일 중에서 3개를 택하는 방법의 수는 ∞C£= =10 3개의 야채 중에서 2개를 택하는 방법의 수는 £C™=£C¡=3 택한 5개의 과일과 야채를 일렬로 진열하는 방법의 수는 5!=120 따라서 구하는 방법의 수는 10_3_120=3600 답 ③

0171

흰 바둑돌 5개와 검은 바둑돌 4개를 일렬로 나열할 때, 가운데 놓인 바둑돌을 중심으로 대칭인 형태로 바둑돌이 놓이 려면 다음 그림과 같이 가운데에는 반드시 흰 바둑돌이 놓여야 한다. 따라서 구하는 방법의 수는 가운데 놓인 흰 바둑돌을 중심으로 왼 쪽의 4군데에 흰 바둑돌을 놓을 2곳을 정하는 방법의 수이므로 ¢C™= =6 답 ①

0172

동호회의 총 회원 수를 n명이라 하면 특정한 2명을 포 함하여 4명을 뽑는 방법의 수는 특정한 2명을 제외한 나머지 (n-2)명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수이므로 «–™C™= 또, 뽑은 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4!=24 따라서 특정한 2명을 포함하여 4명을 뽑아 일렬로 세우는 방법 의 수가 240이므로 ¥24=240 (n-2)(n-3)=20=5¥4 n-2=5∴∴∴ n=77

0173

x<y이면 f(x)<f(y)이므로 f(1)<f(2)<f(3) 즉, Y의 원소 1, 2, 3, 4 중 3개를 뽑아 작은 수부터 차례로 f(1), f(2), f(3)에 대응시키면 되므로 구하는 함수의 개수는 Y의 원소 4개 중에서 3개를 택하는 방법의 수와 같다. 따라서 구하는 함수의 개수는 ¢C£=¢C¡=4 답 ③

0174

x¡<x™이면 f(x¡)>f(x™)이므로 f(-1)>f(2)>f(4) 즉, Y의 원소 6개 중 3개를 뽑아 큰 수부터 차례로 f(-1), f(2), f(4)에 대응시키면 된다. 따라서 구하는 함수의 개수는 §C£= =2020

0175

f(1)=f(2)인 경우의 수는 f(1)=f(2)=1, f(1)=f(2)=2, f(1)=f(2)=3, f(1)=f(2)=4 의 4가지 ¤f(1)<f(2)인 경우의 수는 Y의 원소 4개 중 2개를 뽑아 작은 수부터 차례로 f(1), f(2)에 대응시키면 되므로 6¥5¥4 3¥2¥1 (n-2)(n-3) 2¥1 (n-2)(n-3) 2¥1 4¥3 2¥1 5¥4¥3 3¥2¥1 6¥5 2¥1 x(x-1) 2 x(x-1) 2¥1 10¥9 2¥1 5¥4 2¥1 9¥8¥7 3¥2¥1 14¥13¥12 3¥2¥1 ▶본문

026 ~ 028

(20)

¢C™= =6, ¤에서 구하는 함수의 개수는 4+6=10 답 ⑤

0176

f(3)=5이고 x¡<x™이면 f(x¡)<f(x™)이므로 Y의 원소 1, 2, 3, 4 중 2개를 뽑아 작은 수부터 차례로 f(1), f(2) 에 대응시키면 된다. ∴ ¢C™= =6 또, Y의 원소 6, 7, 8, 9, 10 중 2개를 뽑아 작은 수부터 차례로 f(4), f(5)에 대응시키면 된다. ∴ ∞C™= =10 따라서 구하는 함수의 개수는 6_10=6060

0177

어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므로 5개의 점 중 2개를 택하여 만들 수 있는 직선의 개수는 ∞C™= =1010

0178

원 위에 있는 8개의 점 중에서 어떤 세 점도 일직선 위 에 있지 않으므로 만들 수 있는 직선의 개수는 •C™= =28 답 ④

0179

x축 위의 두 점, y축 위의 두 점을 선택하여 오른쪽 그림과 같이 직 선을 이으면 1개의 교점이 제 1 사분면 에 생기게 된다. 따라서 구하는 방법의 수는 ∞C™_£C™= _3=3030

0180

9개의 점 중에서 2개의 점을 선택하는 방법의 수는 ªC™= =36 이 중에서 각 변에 놓인 4개의 점 중에서 2개의 점을 택하여 이 은 직선은 삼각형을 나눌 수 없으므로 구하는 직선의 개수는 36-3¥¢C™=36-18=18 답 ③

0181

정육각형의 6개의 꼭짓점 중 어느 세 점도 일직선 위 에 있지 않으므로 6개의 점 중에서 2개를 택하는 경우의 수는 §C™= =15 이 중에서 정육각형의 변이 되는 선분 6개를 제외하면 구하는 대각선의 개수는 15-6=9 답 ④

0182

n개의 꼭짓점에서 2개를 택하는 경우의 수는 «C™= ¤볼록 n각형이므로 변의 개수는 n, ¤에서 볼록 n각형의 대각선의 개수는 -n=

0183

볼록 다각형의 변의 개수를 n이라 하면 대각선의 개수 는 «C™-n이므로 «C™-n=20에서 -n=20, n¤ -3n-40=0, (n-8)(n+5)=0 ∴ n=8 (∵ n>0) 답 ③

0184

대각선의 교점은 두 대각선에 의하여 결정되고 두 대 각선은 4개의 점에 의하여 결정되므로 20각형의 서로 다른 대 각선의 교점의 개수의 최댓값은 ™ºC¢=™ºC¡§ 답 ⑤

0185

9개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는 ªC£= =84 이때 일직선 위에 있는 세 점을 택하면 삼각형을 만들 수 없고 이러한 경우는 오른쪽 그림에서 모두 8가지이다. 따라서 구하는 삼각형의 개수는 84-8=76 답 ③

0186

정팔각형의 8개의 꼭짓점 중에서 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않으므로 구하는 삼각형의 개수는 •C£= =5656

0187

삼각형이 되려면 7개의 점 중에서 세 점을 택해야 하 고, 이 중에서 일직선 위에 있는 세 점을 택하는 경우는 제외해 야 하므로 ¶C£-¢C£= -¢C¡=35-4=31 답 ④

0188

정십이각형의 12개의 꼭짓점 중에서 어느 세 점도 일 직선 위에 있지 않으므로 만들 수 있는 삼각형의 개수는 ¡™C£=12¥11¥10=220 3¥2¥1 7¥6¥5 3¥2¥1 8¥7¥6 3¥2¥1 x y O 1 1 2 3 2 3 9¥8¥7 3¥2¥1 n(n-1) 2 n(n-3) 2 n(n-3) 2 n(n-1) 2 n(n-1) 2 6¥5 2¥1 9¥8 2¥1 5¥4 2¥1 x y O 8¥7 2¥1 5¥4 2¥1 5¥4 2¥1 4¥3 2¥1 4¥3 2¥1

(21)

정십이각형의 대각선 중에서 6개가 정십이각형의 외접원의 지 름이고, 원의 지름이 되는 대각선 1개당 10개의 직각삼각형을 만들 수 있으므로 직각삼각형의 개수는 6_10=60 따라서 직각삼각형이 아닌 삼각형의 개수는 220-60=160 답 160

0189

가로로 놓인 평행선 중에서 2개, 세로로 놓인 평행선 중에서 2개를 택하면 하나의 평행사변형이 만들어지므로 구하 는 평행사변형의 개수는 ¢C™_∞C™=6_10=60 답 ①

0190

가로로 그을 수 있는 직선에서 2개, 세로로 그을 수 있 는 직선에서 2개를 택하면 하나의 직사각형이 만들어지므로 그 개수는 ¢C™_£C™=6_3=18 또한, 오른쪽 그림과 같이 네 점을 택해도 직사각 형이 2개 생긴다. 따라서 구하는 직사각형의 개수는 18+2=20 답 ②

0191

직사각형은 가로로 놓인 선 4개 중에서 2개를 택하고, 세로로 놓인 선 4개 중 2개를 택하면 만들어지므로 직사각형의 개수는 ¢C™_¢C™=6_6=36 이 중에서 한 변의 길이가 1, 2, 3인 정사각형의 개수가 각각 9, 4, 1이므로 정사각형의 개수는 9+4+1=14 따라서 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는 36-14=2222

0192

n개의 평행선에서 두 직선을 택하고 (n-1)개의 평 행선 중에서 두 직선을 택하면 평행사변형 하나가 결정되므로 만들어지는 평행사변형의 개수는 «C™_«–¡C™ 이때 평행사변형의 개수가 150이므로 «C™_«–¡C™=150 _ =150 n(n-1)¤ (n-2)=600=6_5¤ _4 ∴ n=66

0193

서로 다른 5개 중에서 중복을 허락하여 10개를 뽑는 중복조합의 수이므로 ∞H¡º=¡¢C¡º=¡¢C¢=1001 답 1001

0194

⑴ ¶H£=ªC£=«C£ ∴ n=9 ⑵ 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 7개를 뽑는 중복조합의 수이므로 £H¶=ªC¶=ªC™=36 답 ⑴ 9 ⑵ 36

0195

전개식의 각 항은 a¬bμc«(l+m+n=8)의 꼴이 되므 로 a, b, c의 세 문자 중에서 중복을 허락하여 8개를 택하는 중 복조합의 수와 같다. ∴ £H•=¡ºC•=¡ºC™=45 답 45

0196

주어진 조건에 의하여 `f(1)…f(2)…f(3) 즉, Y의 원소 2, 4, 6, 8, 10 중 3개를 순서에 상관없이 중복을 허락하여 뽑아 크기가 작은 것부터 차례로 `f(1), f(2), f(3)에 대응시키면 된다. 따라서 함수 f의 개수는 공역의 원소 5개 중 3개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로 ∞H£=¶C£=35 답 35

0197

음이 아닌 정수해의 개수는 x, y, z 중에서 중복을 허 락하여 10개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 a=£H¡º=¡™C¡º=¡™C™=66 또한, 양의 정수해의 개수는 x, y, z는 양의 정수이므로 xæ1, yæ1, zæ1이고 X=x-1, Y=y-1, Z=z-1로 놓으면 x+y+z=10에서 (X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10 ∴ X+Y+Z=7 따라서 구하는 양의 정수해의 개수는 X+Y+Z=7의 음이 아 닌 정수해의 개수와 같다. 즉, X, Y, Z에서 중복을 허락하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 b=£H¶=ªC¶=ªC™=36 ∴ a-b=66-36=30 답 ③

0198

X=x-2, Y=y-2, Z=z-1로 놓으면 x+y+z=12에서 (X+2)+(Y+2)+(Z+1)=12 ∴ X+Y+Z=7 즉, 구하는 양의 정수해의 개수는 X+Y+Z=7을 만족시키 는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. ∴ £H¶=ªC¶=ªC™=3636 (n-1)(n-2) 2 n(n-1) 2 ▶본문

028 ~ 031

쪽 단계 채점요소 배점 12개의 점 중에서 세 점을 택하는 경우의 수 구하기 40% 직각삼각형의 개수 구하기 40% 직각삼각형이 아닌 삼각형의 개수 구하기 20%

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